Логарифм числа – это показатель степени, в которую нужно возвести одно число, чтобы получить другое.
Если число b в степени y равняется x:
by = x
Значит логарифм числа x по основанию b равен y:
y = logb(x)
Например:
24 = 16
log2(16) = 4
- Логарифм как обратная функция к показательной
- Натуральный логарифм (ln)
- Обратный логарифм
- Таблица свойств логарифмов
- Логарифмическая функция
- График функции логарифма
Логарифм как обратная функция к показательной
Логарифмическая функция y = logb(x) является обратной функцией к показательной x=b y.
Так что, если мы вычислим показательную функцию логарифма х (х > 0), получится:
f (f -1(x)) = blogb(x) = x
Или если мы вычислим логарифм показательной функции х:
f -1(f (x)) = logb(bx) = x
Натуральный логарифм (ln)
Натуральный логарифм – это логарифм по основанию е.
ln(x) = loge(x)
Число e – это константа, которая может определяться как предел:
или так:
Обратный логарифм
Обратный логарифм (или антилогарифм) числа n – это число, логарифм которого по основанию a равен числу n.
ant logan = an
Таблица свойств логарифмов
Ниже представлены основные свойства логарифмов в табличном виде.
Логарифмическая функция
Функция, которая определена формулой f(x)=loga(x) – это логарифмическая функция с основанием a. При этом a>0, a≠1.
График функции логарифма
График логарифмической функции (логарифмика) может быть двух типов, в зависимости от значения основания a:
План урока:
Понятие логарифма
Ограничения, связанные с логарифмом
Основные свойства логарифмов
Функция логарифма
Три основных вида логарифмов
Преобразования логарифмических выражений
Переход к новому основанию алгоритма
Использование логарифма для вычислений
Логарифмическая функция в природе и науке
Понятие логарифма
Великий ученый Пьер-Симон Лаплас говорил, что изобретение логарифмов продлило жизнь астрономов вдвое, ведь с их помощью астрономические расчеты, которые ранее занимали несколько месяцев, стало возможно выполнять за считанные дни. Что же представляют собой логарифмы и как они так сильно упрощают вычисления? Для ответа на этот вопрос сначала следует вспомнить показательные уравнения.
Рассмотрим простейшее показательное уравнение 2х = 4. Так как 22 =4, то, очевидно, оно имеет единственный корень, равный 2. Найти его можно не только аналитически, но и графически:
Далее посмотрим на уравнение 2х = 8. Так как восьмерка – это двойка в кубе (23 = 8), то единственным корнем ур-ния будет число 3. Также проиллюстрируем это с помощью графика:
Однако если мы попытаемся решить уравнение 2х = 6, то мы столкнемся с проблемами. Представить шестерку как какую-то степень двойки не получается. Графический метод показывает, что у этого ур-ния есть единственный корень, который лежит между числами 2 и 3, но точно определить его значение не получается:
Можно доказать (мы не будем этого делать), что искомый нами корень невозможно выразить с помощью дробей и даже корней n-ой степени. Поэтому возникает необходимость ввести какое-то новое обозначение, чтобы записывать корни таких уравнений. Математики придумали для такого числа обозначение log2 6, которое читается как «логарифм шести по основанию два».
Рассмотрим теперь более общий случай. Пусть есть некоторое ур-ние
Если число b положительно, то уравнение имеет корень, и при том единственный. Для его обозначения используется запись logab. Покажем, как графически показать значение величины logab. Для этого надо построить показательную функцию у = ах и горизонтальную линию у = b. Они пересекутся в единственной точке (если b положительно). Абсцисса (координата х) этой точки и будет равна logab:
Дадим строгое определение логарифма:
Задание. Какое число является решением показательного уравнения
Задача. Слиток радиоактивного изотопа, чей период полураспада (его обозначают буквой Т) составляет 10 минут, имеет начальную массу (m0), равную 1 кг. Через сколько минут его вес уменьшится до 300 грамм (0,3 кг)? Масса радиоактивного изотопа изменяется по закону
m(t) = m0•2–t/T
Решение. Подставим исходные данные в формулу, и получим уравнение с неизвестной величиной t:
0,2 = 1•2–t/10
0,3 = 2–t/10
Получили простейшее показательное уравнение, однако его левую часть (число 0,3) нельзя представить как степень двойки. Однако с помощью определения логарифма мы можем записать, что
– t/10 = log2 0,3
Умножаем ур-ние на (– 10) и получаем:
t = – 10 log2 0,3
С помощью калькулятора или компьютера можно узнать, что
log2 0,3 ≈ – 1,737
Тогда искомое нами время примерно равно
t = – 10 log2 0,3 ≈ – 10•(– 1,737) ≈ 17,37 минут ≈ 17 минут 22 секунды
Ответ: – 10 log2 0,3 минут ≈ 17 минут 22 секунды.
Из задачи видно, что с логарифмы используются и при решении некоторых практических задач.
Иногда бывает удобнее использовать иное определение, которое по своей сути почти не отличается от первого:
Вычислим для примера несколько простейших логарифмов:
Ограничения, связанные с логарифмом
Заметим, что сам логарифм может оказаться любым вещественным числом, ведь мы умеем возводить числа и в отрицательные, и в дробные, и даже в иррациональные степени. Однако для логарифма logab некоторые ограничения накладываются на значение числа а (оно называется основанием логарифма) и на значение числа b (будем называть его аргументом логарифма).
Напомним, что при определении показательной функции у = ах было введено ограничение, согласно которому основание степени (число а) должно быть строго положительным числом и при этом НЕ может равняться единице. Из-за этого и основание логарифма должно также соответствовать этому ограничению. Основание логарифма и основание показательной функции даже специально обозначают одной буквой а, чтобы связь этих двух понятий была очевидней.
Также напомним, что показательное уравнение ах = b имеет решение только при положительных значениях b. Это решение и представляет собой logab. Если же число b отрицательно, то корня у уравнения нет, а значит и вычислить logab невозможно. Поэтому аргумент логарифма не может быть отрицательным.
Сформулируем эти ограничения в виде одного правила:
Ранее мы уже сталкивались с тремя случаями, когда выражения не имеют смысла. Во-первых, это происходит при делении на ноль (или нахождении нуля в знаменателе дроби, что, по сути, одно и то же). Во-вторых, выражения бессмысленны, если под корнем четной степени находится отрицательное число. В-третьих, не имеют смысла выражения, в которых отрицательные числа возводятся в дробную степень, ведь возведение в дробную степень можно заменить извлечением корня
а отрицательное число не должно оказываться под знаком корня
Сейчас мы узнали четвертый подобный случай, связанный с понятием логарифма. Больше в рамках школьного не будут рассматриваться никакие другие ситуации, в которых выражение может потерять смысл.
Основные свойства логарифмов
Любое число, возведенной в первую степень, равно самому себе. То есть справедливо равенство
а1 = а
Из него, пользуясь определением логарифма, получаем первое важное его свойство: logаa = 1.
Продемонстрируем использование этого правила:
Любое число при возведении в нулевую степень равно единице:
Из этого следует второе важное правило: логарифм единицы по любому основанию равен нулю:
Покажем несколько примеров использования этого тривиального правила:
Для получения третьего свойства логарифма запишем очевидно справедливое равенство:
Пользуясь определением логарифма, мы можем записать, что logaac = c.
Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:
Это правило можно применить для вычисления некоторых простейших логарифмов:
Логарифм logab, согласно одному из своих определений, это та степень, в которую нужно возвести а, чтобы получилось b. Это определение можно представить в виде формулы:
Данное равенство называют основным логарифмическим тождеством.
В силу этого тождества справедливы следующие равенства:
Функция логарифма
Арифметическое действие, в ходе которого находят логарифм какого-либо числа, называется логарифмированием. Это действие является обратным по отношению к возведению в степень. Проиллюстрируем это табличкой, в которой слева будет показана операция возведения в степень, а справа – логарифмирование:
Теперь подумаем о функции у = logax. Так как логарифмирование является обратным действием для возведения в степень, то и ф-ция у = logax должна быть обратной для показательной ф-ции у = ах.
В свою очередь это означает, что графики этих двух функций должны быть симметричны относительно прямой, задаваемой уравнением у = х.
Напомним, что на вид показательной функции у = ах влияет значение основания степени а. Если оно больше единицы, то функция оказывается возрастающей. Тогда и обратная ей логарифмическая функция также окажется возрастающей. Для примера построим графики у = 2х и у = log2x.
Полученный график логарифмической функции называют логарифмической кривой, однако понятно, что она представляет собой всё ту же экспоненту, которую отобразили симметрично относительно оси Ох.
График у = log2x можно и построить иначе, по точкам, просто вычислив ее значение в нескольких «удобных» для вычисления точках:
Видно, что в обоих случаях получился один и тот же график. Похожим будет и график любой функции у =logax, если число а будет больше единицы.
Ситуация меняется в том случае, когда а < 1, ведь при таком основании показательная функция у = ах будет убывающей. Тогда убывающим окажется и логарифмическая функция. Для примера построим график ф-ции = 0,5х и график обратной ей функции у = log0,5x:
Возможно, вы заметили, что графики у = log2x и у = log0,5xчем-то похожи друг на друга. И действительно, если построить их на одной плоскости, то мы увидим, что они симметричны относительно оси Ох:
Причиной такой симметрии является то, что их основания, числа 2 и 0,5, являются обратными числами, то есть при перемножении дают единицу (2•0,5 = 1).
Аналогично такой же симметрией будут обладать любые две логарифмические кривые с обратными основаниями. Это свойство логарифмов мы докажем чуть позднее.
Далее построим ещё несколько графиков, чтобы лучше понять свойства логарифмических функции:
Анализируя полученные графики, мы можем заметить следующие свойства функции логарифма:
Область определения логарифмической функции – это множество всех положительных чисел, то есть промежуток (0; + ∞). Действительно, выражение logаb имеет смысл только тогда, когда число b> 0.
Областью значения логарифмической функции является множество всех действительных чисел, то есть промежуток(– ∞; + ∞).
Логарифмическая функция является строго монотонной. При этом при основании а > 1 она возрастает, а при основании 0 <a< 1 она убывает.
График каждой логарифмической функции проходит через точку (1; 0). Это связано с тем, что для любого основания справедливо равенство loga 1 = 0.
Три основных вида логарифмов
Математика изучает логарифмы с любыми положительными основаниями. Однако на практике наиболее распространены три их вида.
Первым из них является десятичный логарифм, основание которого равно 10. Дело в том, что его помощью до изобретения калькуляторов и компьютеров можно было быстро и с высокой точностью перемножать большие числа, используя такой прибор, как логарифмическая линейка. История понятия логарифма начиналась в XVI-XVII веках и была связана именно с необходимостью выполнения сложных арифметических действий с большими числами. Для обозначения десятичных логарифмов используют специальный символ lg, то есть
Сегодня из-за развития электроники десятичные логарифмы используются значительно реже по сравнению с 50-60 г. XX века. Но, так как почти вся вычислительная техника построена на использовании двоичной системы счета, возросла значимость двоичного логарифма log2b. Для его обозначения не используются никакие специальные символы, однако в работах, посвященным информатике и оценке сложности алгоритмов, он используется особенно часто.
Наконец, самым важным является натуральный логарифм. Это логарифм, основанием которого является число e, примерно равное 2,71828… Для его обозначения используют символ ln, то есть
Свойства натурального логарифма, которые отличают его от других логарифмов, будут изучены нами позднее, в 11 классе. Заметим лишь, что многие физические формулы содержат именно натуральный логарифм.
Преобразования логарифмических выражений
Для работы с логарифмическими выражениями надо знать несколько основных свойств логарифмов. Первое из них помогает вычислять логарифм произведения.
Для доказательства этого правила введем обозначения. Пусть
Тогда нам надо доказать, что z = x + у. По определению логарифма мы можем записать что
Теперь подставим (1) и (2) в (3):
Получили, что az = ax+y. В этом равенстве в обеих частях стоят степени с совпадающим основанием а. Значит, должны совпадать и их степени, то есть
что и мы и пытались доказать.
Убедимся в справедливости этого правила на простейшем примере. Очевидно, что
log2 4 = 2, ведь 22 = 4
log2 8 = 3, ведь 23 = 8
log2 32 = 5, ведь 25 = 32
С одной стороны, так как
2 + 3 = 5
то и
log2 4 + log2 8 = log2 32
С другой стороны, число 32 можно представить как произведение 4•8, то есть
log2 32 = log2 (4•8)
С учетом этого получаем, что
log24 + log28 = log232 = log2(4•8)
Покажем несколько примеров использования только что доказанного правила:
Отдельно отметить, что правило сложения логарифмов действует и в том случае, когда складываются не два, а большее количество логарифмов:
Второе правило используют для определения логарифма от степени какого-либо числа.
Грубо говоря, показатель степени можно перенести и записать перед знаком логарифма. Сначала для наглядности приведем доказательство только для случая, когда r– целая степень. Тогда число br можно представить как произведение r множителей, равных b. Однако логарифм такого произведения можно заменить на сумму r логарифмов:
Однако более строгое доказательство должно рассматривать и случай, когда r – это отрицательное или даже дробное число. Поэтому, как и в ситуации с доказательством первого правила, введем переменные. Пусть
Получается, что нам доказать, что у = r•x. Из определения логарифма следуют следующие формулы:
Подставляя первую формулу во вторую, получаем:
И снова, если у двух равных степеней равны основания, то и показатели обязательно будут равными:
Это равенство мы и пытались доказать.
Продемонстрируем, как работает это свойство логарифмов:
Правило работает и в обратную сторону:
Задание. Чему равна дробь
Третье правило помогает вычислять логарифм от частного или дроби.
Для доказательства этого свойства логарифмов воспользуемся уже доказанными нами двумя правилами. Но предварительно напомним, что произвольное число с в степени (– 1) представляет собой дробь 1/с:
Тогда доказательство будет записываться в две строчки:
С помощью полученной формулы возможно выполнить следующие преобразования:
Заметим, что все полученные формулы справедливы только в том случае, когда под знаком логарифма стоят исключительно положительные числа. Например, вполне допустимо преобразование
но ошибочной будет такая запись:
ведь в левой части стоит выражение, имеющее смысл, а в правой – выражение, смысла не имеющее.
Но что делать в случае, если необходимо упростить выражение с переменными, которые могут принимать как положительные, так и отрицательные значения? Получается, что запись
не является корректной. Действительно, если и х, и у являются отрицательными числами, то их произведение ху положительно. Но тогда получается, что при некоторых значениях переменных левая часть равенства имеет смысл, а правая – нет. Это значит, что оно не является тождеством.
Здесь может помочь использование модуля числа. Запись
уже будет корректной при любых допустимых значениях х и у. Если же хоть одна из переменных будет равна нулю, то обе части равенства одновременно потеряют смысл. Таким образом, данное равенство можно считать тождеством.
Аналогично и формулу разности логарифмов можно представить в более общем случае, при котором допускаются отрицательные значения переменных:
Можно ли записать равенство logaх2 = 2logaх, если допускается, что х может быть и отрицательным? Нет, нельзя, ведь при отрицательных х выражение левая часть равенства будет иметь смысл, а правая нет. Однако использование модуля поможет и в этом случае. Можно написать, что
Аналогичным образом можно упростить и любые другие логарифмы, аргументы которых возведены в четную степень:
Ещё раз уточним, что эти правила используются при упрощении выражений с переменными, если те могут принимать отрицательные значения. Если же известно, что числа b и c положительны, то лучше использовать формулы, не содержащие модулей.
Переход к новому основанию алгоритма
До этого мы рассматривали преобразования, в ходе которых не менялось основание логарифма. Однако иногда возникает необходимость сложить или вычесть логарифмы с различными основаниями. Пусть надо вычислить значение выражения
Так как основания двух логарифмов различны, то мы не можем использовать выведенную нами формулу разности логарифмов. Однако можно попытаться привести один из логарифмов к новому основанию. Для такой операции существует специальная формула.
Докажем это утверждение. Для этого введем новые переменные:
Тогда по определению логарифма можно записать равенства
Отсюда следует, что ax = cy. Подставим в это равенство вместо а выражение cz и получим:
Отсюда следует, что zx = у, или х = y/z. Теперь заменим х, у и z на логарифмы и получим то самое тождество, которые необходимо доказать:
Вернемся к примеру
Теперь мы можем произвести эти вычисления, но для этого сначала приведем log259 к основанию 5:
Теперь можно вычислить, чему равна искомая разность:
Формула перехода к новому основанию позволяет иначе взглянуть на графики логарифмических функций. Пусть дана функция у =log4x. Попытаемся привести ее к показателю 2:
Выходит, что график у = log4x можно получить из графика у = log2x его сжатием в 2 раза. Убедимся в этом, построив оба графика в одной плоскости:
Заметим, что и более общем случае графики функций у = logax и у = logbx могут быть получены друг из друга растяжением или сжатием в некоторое число раз. Действительно, формулу перехода к новому основанию можно переписать в таком виде:
Теперь подставим вместо числа b переменную х и получим соотношение, связывающее любые две логарифмические функции:
В данном случае logсx и logax – это логарифмические функции, а logca – некоторое число. В результате можно заключить, что график функции у = logсx может быть получен из графика logax его растяжением в logca раз.
Попытаемся привести логарифм logab к обратному основанию, то есть к основанию 1/а:
Итак, logab = – log1/аb. Именно из-за этого графики логарифмов с обратными основаниями (например, 2 и 0,5) симметричны относительно оси Ох:
Покажем примеры использования этой формулы:
А что будет, если мы попробуем logab привести к основанию b? Сделаем это:
Получили ещё одну замечательную логарифмическую формулу.
Её работу иллюстрируют следующие примеры:
Ещё одна логарифмическая формула позволяет возводить основание логарифма и его аргумент в одинаковую степень:
Докажем это тождество в «обратном порядке», то есть из правой части выведем левую. Для этого просто перейдем к основанию а:
Проиллюстрируем, как это свойство можно применять на практике:
Использование логарифма для вычислений
Исторически развитие теории логарифмов было связано с необходимостью выполнять громоздкие вычисления. Например, пусть надо возвести число 7 в пятисотую степень, то есть вычислить величину 7500. Сделать напрямую это довольно затруднительно. Однако в силу основного логарифмического тождества мы можем записать, что
Напомним, что десятичный логарифм обозначают символом lg, поэтому перепишем это равенство в более привычном виде:
Степень из-под знака логарифма можно вынести:
Значение числа lg 7 можно узнать с помощью калькулятора, в древности же использовали специальные таблицы, в которых были указаны десятичные логарифмы всех чисел от 1 до 10 (с маленьким шагом, равным, например, 0,001). Так или иначе, можно узнать, что
Получили число, записанное в стандартном виде. При этом наши расчеты были относительно простыми, если сравнить их с необходимостью умножить число 7 само на себя 500 раз. Аналогично и многие другие сложные операции выполняются значительно быстрее, если используются логарифмы. Поэтому долгое время знание теории логарифмов было необходимо для выполнения сложных инженерных расчетов. Но сегодня развитие компьютерной техники позволило избавиться от необходимости использования логарифмических линеек и таблиц.
Логарифмическая функция в природе и науке
Логарифм – это не просто инструмент для выполнения сложных операций. Например, в теории вероятностей существуют логарифмическое и логнормальное (от слов «логарифм» и «нормальное») распределение случайных величин, которые используются в генетике и физике. Так, размеры астероидов в Солнечной системе описываются логарифмическим распределением, а размеры градин во время града – логнормальным.
В компьютерной технике многие величин можно вычислить с использованием логарифмов. Например, ясно, что чем больше телефонных номеров находится в базе данных, тем дольше компьютер будет искать требуемый необходимый номер в ней. Зависимость времени поиска от количества номеров в базе данных описывается логарифмической функцией.
Огромное значение логарифмы имеют в астрономии. Так, яркость звезд на небе характеризуется таким параметром, как «видимая звездная величина». Однако в физике для оценки яркости света используют величину «освещенность», измеряемую в люксах. Зависимость между освещенностью звезд и их видимой величиной также является логарифмической.
Используются логарифмы и в термодинамике для вычисления такой характеристики систем, как энтропия. При расчете количества топлива, необходимого ракете для набора определенной скорости, используется формула Циолковского, содержащая натуральный логарифм:
В биологии давно замечено, что зависимость человеческих ощущений от силы воздействующих на них факторов окружающей среды носит логарифмический характер. В связи с этим для измерения громкости звуков используется специальная шкала децибелов, которая является логарифмической.
В строении ряда организмов можно обнаружить логарифмические кривые. Классическим примером является форма некоторых ракушек.
Пример:
Найти положительный корень уравнения 
( По определению арифметического корня имеем- 
Пример:
Решить уравнение 
Запишем данное уравнение так: 
откуда х = 4. В задаче 1 неизвестным является основание степени, а в задаче 2 — показатель степени; Способ решения задачи 2 состоял в том, что левую и правую части уравнения удалось представить в виде степени с одним тем же основанием 3. Но уже, например, уравнение 
таким способом решить не удается. Однако вы знаете, что это уравнение имеет корень. Чтобы уметь решать такие уравнения, вводите понятие логарифма числа.
Уравнение 
, где а > 0 , а 
, имеет единственный корень. Этот корень называют ло-1
гарифмом числа b по основанию а и обозначают 
. Например
корнем уравнения 
является число 4, т. е. 
Лаплас Пьер Симон (1749— 1827)— французский математик, физик и астроном, адъюнкт Французской Академии Наук. После Великой Французской революции принимал активное участие в реорганизации системы образования. Важнейшие направления его исследований — математика, небесная механика и математическая физика. Один из создателей теории вероятностей.
Итак, логарифмом положительного числа b по основанию а, где
а > 0, 
, называется показатель степени, и которую надо возвести число а, чтобы получить b .
Например, 
так как 
так как 
так как 
так как 
Определение логарифма можно кратко записать так:
Это равенство справедливо при b > 0, а > 0, . Его обычно
называют основным логарифмическим тождеством.
Например, 
С помощью основного логарифмического тождества можио
показать, например, что 
является корнем уравнения 
В самом деле, 
Действие нахождения логарифма числа называют логарифмированием.
Пример:
Вычислить 
Обозначим 
По определению логарифма 
Так как 
то 
,
откуда 
Ответ. 
Пример:
Вычислить 
Используя свойства степени и основное логарифмическое равенство, находим:
Пример:
Решить уравнение 
Но определению логарифма 
откуда х = — 8.
Пример:
При каких значениях х существует 
Так как основание логарифма 5 > 0 и 
то данный логарифм
существует тогда и только тогда, когда 
Получено неравенство, находим 1 < х < 2.
Свойства логарифмов
При выполнении преобразований выражений, содержащих логарифмы, при вычислениях и при решении уравнений часто используются различные свойства логарифмов. Рассмотрим основные из них.
Пусть а>0, , b > 0, с > 0, r —любое действительное число. Тогда справедливы формулы:
По основному логарифмическому тождеству
1) Перемножая равенства (4) и (5), получаем:
откуда по определению логарифма 
Формула (1) доказана.
2) Разделив равенства (4) и (5), получим:
откуда по определению логарифма следует формула (2).
3) Возводя основное логарифмическое тождество 
в степень с показателем r, получаем:
откуда по определению логарифма следует формула (3). •
Приведем примеры применения формул (1) — (3):
Пример:
Вычислить 
Применяя формулы (1) — (3), находим:
Десятичные и натуральные логарифмы
Для логарифмов чисел составлены специальные таблицы
(таблицы логарифмов). Логарифмы вычисляют также с помощью
микрокалькулятора. И в том и в другом случае находятся только
десятичные или натуральные логарифмы.
Десятичным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию 10 и пишут lg b вместо 
Натуральным логарифмом числа называют логарифм этого числа по основанию e, где е — иррациональное число, приближенно равное 2,7. При этом пишут ln e вместо 
Иррациональное число е играет важную роль в математике
и ее приложениях. Число е можно представить как сумму:
Вычисление числа е на микрокалькуляторе проводится по
программе:
Вычисления на микрокалькуляторе lg b и ln b проводятся
соответственно по программам:
Например, вычисляя lg 13, получаем:
вычисляя ln 13, получаем:
Оказывается, что достаточно знать значения только десятичных или только натуральных логарифмов чисел, чтобы находить
логарифмы чисел по любому основанию. Для этого используется
формула перехода от логарифма по одному основанию к
логарифму по другому основанию:
где b > 0, а > 0 , , с > 0 , 
Докажем справедливость формулы (1).
Запишем основное логарифмическое тождество 
Возьмем от обеих его частей логарифмы по основанию с:
Используя свойство логарифма степени, получаем:
Из формулы (1) при с = 10 и с = е получаются формулы
перехода к десятичным и натуральным логарифмам:
Пример:
С помощью микрокалькулятора МК-54 вычислить 
1) С помощью десятичных логарифмов:
2) С помощью натуральных логарифмов:
Ответ. 
▲
Формула перехода от одного основания логарифма к другому
иногда используется при решении уравнений.
Пример:
Решить уравнение 
По формуле перехода
Поэтому уравнение принимает вид 
откуда 
▲
Пример:
Двухпроцентный вклад в Сбербанк, равный
а рублям, через п лет становится равным 
а
трехпроцентный вклад становится равным 
Через сколько лет каждый из вкладов удвоится?
1) Для первого вклада 
откуда 
2. Вычисления проведем на МК-54:
2) Для второго вклада 
и программа вычислений
такова:
Ответ. По первому вкладу приближенно через 36 лет, а
по второму — через 23,5 года.
Логарифмическая функция и ее график
В математике и ее приложениях часто встречается
логарифмическая функция
где а — заданное число, а > 0, .
Логарифмическая функция обладает следующими свойствами:
1) Область определения логарифмической функции — множество всех положительных чисел.
Это следует из определения логарифма, так как выражение 
; имеет смысл только при x > 0.
2) Множество значений логарифмической функции — множество R всех действительных чисел.
Это следует из того, что для любого действительного числа
b есть такое положительное число х, что 
, т. е. уравнение 
имеет корень. Такой корень существует и равен 
так как 
3) Логарифмическая функция 
является возрастающей на промежутке x > 0, если а > 1 , и убывающей, если
0 < а < 1 .
Пусть а > 1. Докажем, что если 
то 
т. е. 
Пользуясь основным логарифмическим
тождеством, условие 
можно записать так: 
Из этого неравенства по свойству степени с основанием a > 1 следует, что 
Пусть 0 < a < 1 . Докажем, что если 
то 
Записав условие 
в виде 
получим 
так как 0 < а < 1 .
4) Если а > 1, то функция 
принимает положительные значения при х >1, отрицательные — при 0 < x < ;1. Если 0 < а < 1 , то функция 
принимает положительные значения при 0 < x < 1, отрицательные — при х > 1.
Это следует из того, что функция принимает
значение, равное нулю, при x = 1 и является возрастающей на промежутке x > 0, если а > 1, и убывающей, если 0 < а < 1 .
Из рассмотренных свойств логарифмической функции следует, что ее график расположен правее оси Оу и имеет вид, указанный на рисунке 7, если а > 1, и на рисунке 8, если 0 < a < 1 .
На рисунке 9 изображен график функции 
а на рисунке 10 — график функции 
Отметим, что график любой логарифмической функции проходит через точку ( 1 ; 0). При решении уравнений часто используется следующая теорема:
Теорема:
Если 
где a > 0, ,
то 
Предположим, что 
например 
Если a > 1, то из неравенства 
следует, что 
если
0 < а < 1 , то из неравенства следует, что 
В обоих случаях получилось противоречие с условием 
Следовательно, 
Пример:
Решить уравнение 
Используя доказанную теорему, получаем Зх — 2 = 7, откуда Зх = 9,
х = 3.
Пример:
Решить неравенство 
Пользуясь тем, что 
запишем данное неравенство так: 
Так как функция 
определена при x > 0 и возрастает, то неравенство 
выполняется при х > 0 и x < 8.
Ответ. 0 < х < 8 .
Пример:
Решить неравенство 
Запишем данное неравенство так: 
Функция 
определена при 
и убывает, поэтому неравенство выполняется при х > 0 и 
Ответ.
Обратная функция
Известно, что зависимость скорости v от времени t движения
тела, брошенного вверх с начальной скоростью 
выражается
формулой 
Из этой формулы можно найти обратную зависимость — времени от скорости: 
Функцию 
называют обратной к функции 
а функцию v (t) — обратной к функции t (v ). Отметим, что в этом примере каждому значению t соответствует единственное значение v и, наоборот, каждому значению v соответствует единственное значение t.
Рассмотрим теперь показательную и логарифмическую
функции. Обозначим символом f(х) показательную функцию,
a g (х) — логарифмическую функцию:
где а — заданное число, а > 0, 
.
Решим уравнение 
относительно х. По определению
логарифма 
Поменяв в этом равенстве местами х и у,
получим логарифмическую функцию 
Функцию 
называют обратной к функции 
Если из равенства найти х, то получим 
, а поменяв местами х и у — показательную функцию 
Функцию 
называют обратной к функции . Поэтому функции f (х) и g (х) называют взаимно обратными.
Вообще если функция y = f(x) задана формулой, то для
нахождения обратной функции нужно решить уравнение
f (x) = у относительно х и затем поменять местами х и у.
Если уравнение f(x)= y имеет более чем один корень, то
функции, обратной к y = f (x), не существует.
Например, функция 
не имеет обратной, так как
уравнение 
имеет два корня 
для любого
у > 0.
Если функцию 
рассматривать только на промежутке 
, то она будет иметь обратную 
так как уравнение при 
имеет только один неотрицательный корень.
Пример:
Найти функцию, обратную к функции 
Решая это уравнение относительно х, получаем 
Заменив х на у и у на х, находим 
В этой задаче область определения функции есть
множество действительных чисел, не равных 2, а множество ее значений — все действительные числа, не равные 0. График этой
функции изображен на рисунке 11.
Для обратной функции 
область определения —
множество действительных чисел, не равных 0, а множество значений — все действительные числа, не равные 2. График обратной функции изображен на рисунке 12.
Вообще область определения обратной функции совпадает
с множеством значений исходной функции, а множество
значений обратной функции совпадает с областью определения
исходной функции.
Можно показать, что если функция имеет обратную, то
график обратной функции симметричен графику данной
функции относительно прямой у = х.
Примеры графиков взаимно обратных функций показаны на
рисунке 13.
Логарифмические уравнения
Пример:
Решить уравнение
( 1 )
Предположим, что х — такое число, при котором равенство ( 1 ) является верным, т. е. х — корень уравнения ( 1 ).
Тогда по свойству логарифма верно равенство
Из этого равенства по определению логарифма получаем:
откуда 
т. е. 
Последнее равенство верно, если 
или 
Итак, предположив, что число х — корень уравнения (1),
мы показали, что х может быть равным или 1, или —5.
Проверим, являются ли эти числа корнями уравнения (1).
Подставляя в левую часть данного уравнения х = 1 , получаем
т. е. х = 1 — корень уравнения ( 1 ).
При х = — 5 числа х + 1 и х + З отрицательны, и поэтому
левая часть уравнения ( 1 ) не имеет смысла, т. е. х = — 5 не
является корнем этого уравнения.
Ответ. х = 1 .
Заметим, что х = — 5 является корнем уравнения (2), так
как
Получилось, что число х = 1 является корнем обоих уравнений
( 1 ) и (2), а число х = — 5 не является корнем уравнения (1 ), но является корнем уравнения (2). Таким образом, при переходе от уравнения (1) к уравнению (2 ) корень х = 1 сохранился и появился посторонний корень х = —5. В этом случае уравнение (2) называют следствием уравнения (1 ).
Если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.
Отметим, что в уравнении, которое является следствием
данного, не всегда появляются посторонние корни; важно лишь
то, чтобы корни исходного уравнения не терялись.
В большинстве случаев, как и в задаче 1, уравнения решаются постепенным переходом к более простым уравнениям,
которые являются следствием исходного уравнения. В таких
случаях после нахождения корней необходима их проверка.
Пример:
Решить уравнение
Перенесем логарифм из правой части в левую;
откуда
Решая это уравнение, получаем 
Число 
не является корнем исходного уравнения, так
как при x = 5 левая и правая части уравнения теряю т смысл.
Проверка показывает, что число х = — 1 является корнем
исходного уравнения.
Ответ. х = — 1. ▲
Пример:
Решить уравнение
По свойству логарифмов
откуда
Проверка показывает, что оба значения x
являются корнями исходного уравнения.
Ответ. ▲
Проверкой можно убедиться в том, что числа 
являются корнями не только уравнений (6) и (3), но и уравнений
(4) и (5). Все эти уравнения других корней не имеют. Такие
уравнения называют равносильными.
Уравнения, имеющие одно и то же множество корней,
называют равносильными.
В частности, два уравнения, не имеющие корней, являются
равносильными.
Отметим, что любое из двух равносильных уравнений является следствием другого.
Большинство уравнений, с которыми вы встречались в курсе
алгебры, решались с помощью перехода от данного уравнения
к равносильному. Так решались уравнения первой степени с
одним неизвестным, квадратные уравнения, показательные
уравнения.
Напомним, что уравнение заменяется ему равносильным при
следующих преобразованиях:
любой член уравнения можно переносить из одной части
в другую, изменив его знак на противоположный;
обе части уравнения можно умножить или разделить на
одно и то же число, не равное нулю.
Однако не при любом преобразовании уравнение заменяется
на равносильное. Например, при возведении обеих частей
уравнения 
в квадрат получается уравнение 
, которое является следствием первого, но не равносильным ему. Поэтому после решения второго уравнения необходимо проверить, являются ли его корни корнями исходного уравнения.
Пример:
Решить уравнение
Приравнивая выражения, стоящие под знаком логарифма,
получаем:
откуда х = — 2. Выполняя проверку, убеждаемся, что при х = — 2
левая и правая части исходного уравнения не имеют смысла.
Ответ. Корней нет.
Здесь посторонний корень появился потому, что при переходе
от равенства логарифмов к равенству чисел не было учтено
требование, чтобы эти числа были положительными.
Рассмотренные примеры логарифмических уравнений
показывают, что при их решении с использованием свойств логарифмов получаются уравнения, которые являются следствиями исходного. Поэтому необходима проверка, которая позволяет
обнаружить посторонние корни. ▲
Пример:
Решить уравнение
Преобразуем данное уравнение:
Приравнивая каждый из множителей левой части уравнения
к нулю, получаем:
Проверка показывает, что оба значения х являются корнями
исходного уравнения.
Ответ. 
Отметим, что если обе части уравнения (7) разделить на
выражение 
то будет потерян корень х = 1.
Вообще при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное, может произойти потеря корней.
Поэтому уравнение, обе части которого содержат общий
множитель, решают переносом всех членов в одну часть и
разложением на множители.
При решении уравнений главное не потерять корни, а наличие посторонних корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.
Пример:
Решить систему уравнений
Из первого уравнения выразим х через 
Подставив х = 2у во второе уравнение системы,
получим 
откуда 
Найдем значения х : Проверкой убеждаемся,
что 
— решение системы, а ( — 4; —2) — постороннее
решение.
Ответ.
Логарифмические неравенства
При изучении логарифмической функции рассматривались
неравенства вида 
и 
Приведем примеры решения более сложных логарифмических неравенств. Обычный способ решения таких неравенств заключается в переходе от них к более простому неравенству или системе неравенств, имеющей то же самое множество решений.
Пример:
Решить неравенство
Правая часть данного неравенства имеет смысл при всех значениях x, а левая часть — при x + 1 > 0, т. е. при х > — 1.
Промежуток х > — 1 называют областью определения неравенства (1). Так как логарифмическая функция с основанием
10 возрастающая, то неравенство ( 1 ) при условии x + 1 > 0
выполняется, если 
(так как 2 = lg 100). Таким
образом, неравенство ( 1 ) равносильно системе неравенств
т. е. неравенство ( 1 ) и система (2) имеют одно и то же множество решений. Решая систему (2), находим 
Пример:
Решить неравенство
Логарифмическая функция определена при положительных значениях аргумента, поэтому левая часть неравенства имеет смысл при х — 3 > 0 и х — 2 > 0.
Следовательно, областью определения этого неравенства является промежуток х > 3 . По свойствам логарифма неравенство (3)
при х > 3 равносильно неравенству
Логарифмическая функция с основанием 2 возрастающая. Поэтому при х > 3 неравенство (4) выполняется, если 
Таким образом, исходное неравенство (3) равносильно системе неравенств
Решая первое неравенство этой системы, получаем 
откуда 
Совмещая этот отрезок с промежутком х > 3 , получаем 
(рис. 14).
Пример:
Решить неравенство
Область определения неравенства находится из условия
Неравенство (5) можно записать в следующем виде:
Так как логарифмическая функция с основанием 
является
убывающей, то для всех х из области определения неравенства
получаем:
Таким образом, исходное неравенство (5) равносильно системе неравенств
Решая первое квадратное неравенство, получаем х < — 4, х > 2 (рис. 15). Решая второе квадратное неравенство, получаем 
(рис. 16). Следовательно, оба неравенства систе
мы выполняются одновременно при 
и при 
. (рис. 17).
Ответ. 
Определение:
Логарифмом числа а по основанию b называется показатель степени, в которую надо возвести а, чтобы получить число b.
В качестве основания мы будем всегда брать положительное число а, отличное от 1.
В записи b = 
число а является основанием степени, t — показателем, b — степенью. Число t — это показатель степени, в которую надо возвести основание а, чтобы получить число b. Следовательно, t — это логарифм числа b по основанию а:
Можно сказать, что формулы = b и t = 
равносильны, выражают одну и ту же связь между числами a, t и b (при а>0, а ≠ 1, b>0). Число t — произвольно, никаких ограничений на показатель степени не накладывается.
Подставляя в равенство = b запись числа t в виде логарифма, получаем равенство, называемое основным логарифмическим тождеством:
Представляя в равенстве выражение b в виде степени, получим еще одно тождество:
Свойства логарифмов
Теорема:
Верны следующие тождества, выражающие свойства логарифмов:
1)
, т. е. логарифм произведения равен сумме логарифмов множителей;
2) 
т. е. логарифм дроби равен разности логарифмов числителя и знаменателя;
3) 
т. е. логарифм степени равен показателю степени, умноженному на логарифм основания.
Доказательство:
Свойства логарифмов выводятся из свойств степеней с помощью основного логарифмического тождества, выражающего определение логарифма. Выведем для примера первое свойство.
Обозначим
По основному логарифмическому тождеству имеем:
Перемножим эти равенства: 
По свойству степеней
По определению логарифма t1+ t2 = 
т. е. 
что и требовалось доказать. Свойства 2 и 3 выведите самостоятельно.
Свойства степеней и логарифмов тесно связаны между собой. Они фактически выражают одно и то же, только один раз мы обращаем внимание на поведение самих степеней, а другой — на поведение показателей:
С помощью свойств логарифмов можно логарифмировать выражения, составленные с помощью операций умножения, деления и возведения в степень.
Примеры.
Иногда приходится искать выражение по его логарифму. Такую операцию называют потенцированием.
Примеры:
Замечание. Запись имеет смысл лишь при b> 0. Поэтому в тождествах, отражающих свойства логарифмов, все выражения, стоящие под знаком логарифма, будем считать положительными. При логарифмировании буквенных выражений надо их раскладывать на множители так, чтобы все множители были положительны. Например, пусть необходимо прологарифмировать выражение А=х(х — 1). Сделать это можно лишь тогда, когда А >0, т. е. когда либо х<0, либо х> 1. Если х> 1, то оба множителя х и х— 1 положительны и мы можем записать:
Если же х<0, то оба множителя отрицательны и А нужно разложить на множители так: А =( — x)(1 — x), откуда
Аналогично 
при ( —x) при x<0. С помощью модуля это можно записать короче:
Модуль перехода
В вычислениях в качестве основания а часто берется число а=10. В то же время зачастую необходимы вычисления степеней и логарифмов с разными основаниями. Возникает вопрос: как связать между собой степени и логарифмы с разными основаниями?
Пусть дана степень b = . Мы хотим перейти к новому основанию с, т. е. записать число в виде сх при некотором х. Записав равенство
и прологарифмировав его по основанию а, получим 
, откуда 
Так как 
= b, 
= b, то можно с помощью логарифмов записать: 
, 
, откуда
Выведенную формулу называют формулой перехода от одного основания логарифма к другому.
Таким образом, мы видим, что при изменении основания значения логарифмов изменяются пропорционально. Коэффициент пропорциональности 
называют модулем перехода.
Отметим простые следствия выведенной формулы:
1) 
(положим в формуле перехода b = а)
2) 
(положим в формуле перехода с = аk)
3) 
(положим в предыдущей формуле k=-l).
С помощью логарифмов все степени можно привести к одному основанию. Если в качестве основания берется число a =10, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком lg и называются десятичными. Можно записать:
Если в качестве основания берется число е, то соответствующие логарифмы обозначаются знаком ln и называются натуральными:
Значения модулей перехода от десятичных логарифмов к натуральным и наоборот таковы:
Исследование логарифмической функции
Определение:
Логарифмической функцией называется функция вида 
Напомним, что в качестве основания логарифмов выбирается число а> 0, отличное от 1.
Основные свойства логарифмической функции (схема X).
- 1) Область определения: множество всех положительных чисел, т. е. промежуток (0; + ∞).
- 2) Монотонность: если а>1, то логарифмическая функция строго возрастает; если 0<а<1, то она строго убывает.
- 3) Область значений: множество всех вещественных чисел R.
Так как определение логарифмов основано на понятии степени,
то при доказательстве свойств логарифмической функции используют свойства показательной функции.
Свойство 1 в доказательстве не нуждается: оно опирается на определение логарифма числа х, по которому необходимо, чтобы число х было положительным.
Докажем свойство 2. Для этого сначала рассмотрим случай а>1. Возьмем два положительных числа х1 и x2, такие, что x1 <x2, и докажем, что 
Обозначив первое из этих чисел через t1, второе — через t2, по определению логарифма получим 
Если бы выполнялось неравенство t1 ≥ t2, то по свойству монотонности показательной функции выполнялось бы неравенство т. е. 
Это противоречит условию.
Следовательно, t1<t2, что и требовалось доказать. Случай 0<а<1 рассматривается аналогично.
Свойство 3 утверждает, что всякое вещественное число t может быть логарифмом некоторого числа х. Так как степень определена при любом t, то, взяв х =, получим 
что и требовалось доказать.
Графики логарифмических функций при различных основаниях показаны на рисунке 108.
Графики функций 
симметричны друг другу относительно прямой у = х. Действительно, если точка Р {с; d) лежит на графике функции у = ах, то d = ac. Но тогда 
и точка Q {d; с) лежит на графике функции 
Так как точки Р (с; d) и Q (d; с) симметричны относительно прямой у = х (рис. 109), то симметричны и графики показательной и логарифмической функций.
Вместо логарифмических функций с произвольным основанием удобно рассматривать функции вида у = с ln х. Так как 
то указанные функции исчерпывают все логарифмические функции.
Функция у = ln х растет с ростом х, однако медленнее, чем любая степенная функция вида 
(k>0), в частности медленнее, чем 
(схема IX).
Производная логарифмической функции
Рассмотрим две функции у = 
и у = ln х. Мы знаем, что их графики симметричны относительно прямой у = х. Это поможет нам найти производную логарифмической функции, зная производную экспоненты. Возьмем точку Р (с; d) на графике экспоненты (т. е. d = ec) и симметричную точку Q (d; с) на графике логарифмической функции (т. е. c = lnd). Касательные к графикам в этих точках тоже будут симметричны (рис. 109). Угловой коэффициент k1 касательной к графику экспоненты равен значению производной функции у = ех при х = с, т. е. k1=ec, так как 
Пусть a1 и а2 — углы, образованные проведенными касательными с осью абсцисс. Из рисунка 109 ясно, что 
Так как
Таким образом, производная функции у = ln х в точке x = d равна 
Можно написать:
Мы видим, что производная логарифмической функции y = ln х равна степенной функции 
. Интересно заметить, что функция не получается как производная какой-либо другой степенной функции вида у = схк. Действительно, хотя 
при любом к, но получить значение к— 1, равное —1, можно лишь при k = 0, а (x°)’ = 0.
Так как 
то
По формулам производной показательной функции 
и
Известно, что ,
где k= ln а. Поэтому 
т. е.
Примеры:
Зная производные экспоненты и логарифма, можно получить приближенные формулы для их вычисления.
Пусть 
Разность 
—это приращение у на отрезке [0; h]. Вычислив dy при хо = 0, получим dy = y’ (0) dx. Так как у’ = ех, то у'(0)= 1. Заменив ∆у на dy и подставив dx = h, получим приближенную формулу
Более точная формула для вычисления экспоненты такова:
Пусть теперь у =lnх. Выберем дго=1, xо = ln l =0. Положим dx = h и вычислим ln (l+h). Найдем dy при xo=1. Так как
(In то y’ (jc0)= 1 и dy= 1 •dx = h.
Заменяя ∆y= ln (1+h) — ln l = ln (l+h), получаем приближенную формулу
Более точная формула для вычисления логарифма такова:
Вычисление логарифмов
Более 300 лет логарифмы использовались для облегчения вычислений. Их основное достоинство — способность сводить умножение к сложению по формуле 
Были составлены обширные таблицы логарифмов чисел, с помощью которых можно легко переходить от чисел к их логарифмам и обратно.
Все таблицы логарифмов до 1950 г. являлись перепечаткой или сокращением таблиц Бриггса. Генри Бриггс (1561 —1630) с очень большой точностью (16 знаков после запятой) извлек подряд 57 квадратных корней из 10 и получил значения 
Комбинируя эти значения, он получил густую сетку чисел с известными десятичными логарифмами: 
и т. п. После этого десятичный логарифм любого числа х из промежутка [1; 10] с хорошей точностью находится округлением до ближайшего известного.
Это огромная работа, и за 300 лет не нашлось никого, кто повторил бы ее. Любопытно, что немного раньше Бриггса таблицу натуральных логарифмов составил Джон Непер (1550—1617).
С появлением ЭВМ ситуация переменилась. Умножение по-прежнему выполняется дольше, чем сложение, но логарифмирование требует еще больше времени. Поиск числа в таблице очень дорогая операция для ЭВМ. Поэтому теперь значение логарифмов как инструмента вычисления резко упало, а с распространением калькуляторов оно сходит на нет. С другой стороны, сами по себе логарифмические зависимости легко обрабатываются и используются при вычислениях на ЭВМ. Например, формула xk = exp(k ln x) служит основным средством возведения в степень (кроме k= l, 2, 3) на всех ЭВМ и на калькуляторах.
На современных ЭВМ (и на калькуляторах) значения In х и вычисляют, пользуясь заранее найденными приближенными формулами. По этим формулам вычисление логарифмов становится довольно простым. Пользователю ЭВМ никогда не приходится думать о вычислении логарифмов: на всех ЭВМ для этого имеются стандартные программы.
Прикладные примеры
Во вводной беседе мы уже говорили о том, что многие процессы описываются с помощью показательных функций. Почему так происходит, это мы обсудим в следующей главе, а сейчас приведем примеры зависимостей, в которых встречаются экспоненты и логарифмы.
- Радиоактивный распад. Изменение массы радиоактивного вещества происходит по формуле
, где m0 — масса вещества в начальный момент t = 0, m — масса вещества в момент времени t, Т — некоторая константа, смысл которой мы сейчас выясним.
Вычислим значение m при t — Т. Так,
Это означает, что через время Т после начального момента масса радиоактивного вещества уменьшается вдвое. Поэтому число Т называют периодом полураспада. Период полураспада радия равен 1600 лет, урана-238 — 4,5 млрд. лет, цезия-137 —31 год, иода-131 —8 суток.
Закон радиоактивного распада часто записывают в стандартном виде 
. Связь константы т с периодом полураспада нетрудно найти:
2. Рост народонаселения. Изменение количества людей в стране на небольшом отрезке времени с хорошей точностью описывается формулой 
, где Nо — число людей при t= 0, N — число людей в момент времени t, а — некоторая константа.
Барометрическая формула. Давление воздуха убывает с высотой (при постоянной температуре) по закону 
где ро — давление на уровне моря (А = 0), р — давление на высоте h, H — некоторая константа, зависящая от температуры. Для температуры 20 °С величина Н ≈ 7,7 км.
4. Формула Циолковского. Эта формула, связывающая скорость ракеты у с ее массой m, такова: 
, где vr — скорость вылетающих газов, mо — стартовая масса ракеты. Скорость истечения газа при сгорании топлива vr невелика (в настоящее время она меньше или равна 2 км/с). Логарифм растет очень медленно, и, для того чтобы достичь космической скорости, необходимо сделать большим отношение 
, т. е. почти всю стартовую массу отдать под топливо.
5. Коэффициент звукоизоляции стен измеряется по формуле 
где po — давление звука до поглощения, р — давление звука, прошедшего через стену, А — некоторая константа, которая в расчетах принимается равной 20 дБ. Если коэффициент звукоизоляции D равен, например, 20 дБ, то это означает, что 
=1 и po = 10 p, т. е. стена снижает давление звука в 10 раз (такую звукоизоляцию имеет деревянная дверь).
Дополнение к логарифмической функции
Смотрите также:
Предмет высшая математика
Логарифмическая функция
Определение логарифма: Логарифмом числа N по данному основанию а называется такой показатель степени, в который надо возвести основание а, чтобы получить число N; запись 
Примеры:
Таким образом, 
это другое название для показателя степени.
Примеры:
1. Проверить справедливость следующих равенств:
Решение:
следовательно, 
равенства
б), г), е) верны; 
следовательно, 
следовательно, 
2.Следующие равенства переписать в виде логарифмических равенств: 
Решение:
Указать, какие из нижеследующих уравнений имеют решение. Запишите это решение с помощью логарифма: 
Решение:
а) Уравнение 
можно переписать в вид 
откуда х = —6, или 
б) Уравнение 
также имеет решение 
Так как 
в) Уравнение 
не имеет решения (показательная функция не может принимать отрицательных значений). Таким образом, выражение 
не имеет смысла.
Десятичные логарифмы
Если основанием логарифмов служит число 10, то такие логарифмы называются десятичными. Десятичный логарифм числа N принято обозначать 
Примеры:
Найти десятичные логарифмы следующих чисел: 
Решение:
Так как 
Аналогично: 
поэтому 
наконец, 
2.Решить следующие уравнения:
Решение:
Функция 
Функция 
является монотонно возрастающей, поэтому у нее есть обратная функция. Для того чтобы найти эту обратную функцию, поменяем в равенстве переменные х и у местами. Получим 
откуда 
Этой формулой задается функция, обратная показательной функции Как отмечалось выше (см. стр. 118), графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой у = х—биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис. 88). Отметим основные свойства функции 
1.Областью определения функции является множество всех положительных чисел.
2.Областью значений функции является множество всех действительных чисел.
Справедливость этих двух свойств вытекает из того факта, что функции 
являются взаимно обратными и, следовательно, область определения и множество значений у них меняются местами.
3.Функция 
является монотонно возрастающей (большему числу соответствует больший логарифм).
4.При 
(график пересекает ось абсцисс в точке (1; 0)); если 
то 
(рис. 88).
Примеры:
1. На рис. 89 изображен график функции 
в случае, когда масштаб по оси Оу в 10 раз крупнее масштаба по оси Ох. Воспользовавшись этим графиком:
а) найти 
б) найти х, если 
Решение:
не существует, так как 
б) если 
Если 
2.Сравнить значения выражений: 
Решение:
а) Функция 
возрастающая, значит, 
так как 
то, следовательно, 
б) так как 
в) так как 
3.Решить уравнения и неравенства:
Решение:
Воспользовавшись изображенным на рис. 89 графиком функции 
получим следующие результаты:
4.Найти область определения функции:
Решение:
При решении этих примеров надо помнить о том, что область определения функции 
есть множество положительных чисел.
Таким образом областью определения служит множество 
Область определения —объединение двух множеств
Область определения —множество 
Выражение, стоящее под знаком логарифма, положительно при всех значениях х, кроме х = 2 (при котором оно обращается в ноль), а поэтому область определения этой функции есть множество 
5.Решить уравнения:
Решение:
а) Так как 
то уравнение 
можно переписать в виде 
Далее из свойства монотонности функции 
вытекает, что эта функция каждое значение принимает только один раз. Следовательно, 
откуда х = 4.
Аналогично решаются и остальные уравнения;
т.е. данное уравнение может быть записано в виде 
откуда 
поэтому 
откуда 
поэтому 
откуда 
или 
поэтому 
откуда 
или 
Логарифмирование и потенцирование
Применение логарифмов позволяет во многих случаях значительно упростить вычисления. Чтобы убедиться в этом, прежде всего выясним, как находятся логарифмы произведения, частного, степени и корня.
Теорема:
Логарифм произведения любых двух положительных чисел равен сумме логарифмов множителей, т. е.
Доказательство:
Пусть 
Тогда по определению логарифма 
Перемножив эти равенства почленно, получим
значит,
Предлагаем читателю самому доказать, что установленное свойство справедливо для любого числа положительных множителей.
Теорема:
Логарифм степени с положительным основанием равен произведению показателя степени и логарифма ее основания, т. е.
Доказательство:
Пусть 
Тогда по определению логарифма 
Возведем обе части этого равенства в степень 
Следовательно, 
Покажем, что знания этих теорем достаточно для нахождения логарифмов дроби и корня. Действительно, пусть дано выражение 
где 
Это выражение можно переписать в виде 
тогда
Пусть теперь дано выражение 
тогда 
Таким образом, если некоторое выражение составлено из положительных чисел с помощью операций умножения, деления, возведения в степень и извлечения корня, то его логарифм можно выразить через логарифмы входящих в него чисел. Такое преобразование называется логарифмированием. Действие, обратное логарифмированию, называется потенцированием.
Примеры:
1. Найти приближенные значения следующих логарифмов: 
Решение:
Прежде всего, воспользовавшись графиком функции 
(см. рис. 89), выпишем приближенные значения следующих логарифмов:
Теперь имеем:
2.Прологарифмировать следующие выражения (буквами обозначены положительные числа):
Решение:
3.Решить уравнения:
Решение:
а) Прологарифмировав обе части данного равенства, получим 
откуда 
(значения 
найдены графически с помощью рис. 89);
б) в результате логарифмирования имеем равенство 
откуда 
(значение 
найдено с помощью рис. 89);
4.Найти x, если: 
Решение:
5.Решить уравнения:
Решение:
а) Потенцируя обе части равенства, получаем уравнение
Сделаем проверку. Подставив в уравнение найденное решение х = 21, получим:
Таким образом, корень данного уравнения x=21;
б) прежде чем потенцировать, заметим, что 
и перепишем уравнение в виде
откуда
Сделаем проверку: 
Итак, х= 14 —корень уравнения; в) потенцируя, получаем
откуда
Сделаем проверку. Корень 
является посторонним, так как при этом значении x выражение 2х—4 будет отрицательным, а, как мы знаем, область определения логарифмической функции есть множество положительных чисел.
Корень x = 5, как легко видеть, удовлетворяет уравнению (Проверьте сами!);
г) уравнение 
не имеет корней, так как искомое значение х должно удовлетворять системе неравенств
а эта система противоречива и решения не имеет.
Стандартный вид числа. Характеристика и мантисса
Любое положительное число х можно записать в так называемом стандартном виде: 
Число n называется порядком числа х.
Примеры:
Записать следующие числа в стандартном виде и указать их порядок: а) 273; б) 51,83; в) 0,8912; г) 400012; д) 0,00051; е) 1,002.
Решение:
Легко видеть, что если 
то порядок числа неотрицателен, 
причем трехзначное число, например 273, имеет порядок 2; а число, содержащее две цифры в целой части, например 51,83, имеет порядок n= 1; наконец, число, содержащее одну цифру в целой части, имеет порядок n= 0. Можно сделать следующий вывод: если число 
содержит в целой части m цифр, то его порядок будет 
Если же число 
то его порядок отрицателен, 
причем 
равен числу нулей в x: до первой значащей цифры, включая ноль целых. Так, если x: = 0,8912, то n = —1; если х = 0,00051, то n = —4.
Пример:
Не переходя к стандартному виду записи, найти порядок чисел: а) х = 373,25; б) x: = 0,00085.
Решение:
а) Число 373,25 больше единицы и содержит в целой части три цифры. Следовательно, его порядок n= 2;
б) число 0,00085 меньше единицы и содержит четыре нуля до первой значащей цифры. Следовательно, n =—4.
Пусть х=375,8. Запишем это число в стандартном виде и найдем его логарифм:
Так как 
т. е. 
Таким образом, 
представлен в виде суммы целого числа 2 и положительного числа, меньшего единицы 
т. е. в виде суммы его целой и дробной частей. Целая часть логарифма числа х равна порядку этого числа, а дробная часть равна 
Целая часть логарифма числа называется его характеристикой, а дробная часть — мантиссой.
Теорема:
Характеристика логарифма числа 
где 
равна порядку этого числа, т. е. n, а мантисса равна 
Доказательство:
Пусть 
и 
Тогда 
Так как 
Следовательно, 
причем 
Следствие:
Логарифмы чисел, отличающихся друг от друга только порядком, имеют одну и ту же мантиссу.
Доказательство:
Пусть 
где 
тогда 
Таким образом,
Например, пусть 
Запишем эти числа в стандартном виде и найдем их логарифмы: 
Таким образом, доказанное следствие можно сформулировать иначе: мантисса логарифма числа не зависит от положения запятой в числе.
Примеры:
1. Найти характеристику логарифма числа а) 302;б) 87,5; в) 0,015.
Решение:
Как было доказано Выше, характеристика логарифма числа равна его порядку, а поэтому 
2.Зная, что 
найти: 
Решение:
Вычисления с помощью таблиц логарифмов
Как известно, характеристика логарифма числа легко находится устно (она равна порядку числа). Значения мантисс приведены в таблице «Четырехзначных математических таблиц» В. М. Брадиса. Приведем часть этой таблицы и укажем как ею пользоваться.
Примеры:
1. Найти логарифмы следующих чисел: 
Решение:
а) Характеристика 
равна 1, так как 
Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:
Для отыскания мантиссы мы, прочитав число 8739 на пересечении строки с меткой «74» и столбца с меткой «8», прибавим к этому числу поправку на четвертую цифру. Эта поправка расположена в правой части таблицы на пересечении той же строки и столбца поправок с меткой «5». Поправка равна 3, следовательно, мантисса равна 
Таким образом,
Для решения обратной задачи —нахождения числа по его логарифму пользуются таблицей, с которой мы уже знакомы (см. стр. 198)4
2.Найти x:, если: 
Решение:
а) По таблице значений функции 
найдем число 1,077, соответствующее мантиссе 
равной 0,0324. Так как характеристика логарифма равна 2, то
б) представим данный логарифм в виде суммы характеристики и мантиссы:
Мантиссу 0,0335 имеет любое число вида 
Характеристика равна —3, поэтому
В заключение приведем пример вычисления с помощью таблиц логарифмов.
3.Вычислить значение х, если 
Решение:
Логарифмируя, имеем:
По таблице логарифмов найдем:
Решение:
а) Характеристика равна 1, так как Мантиссу найдем на пересечении строки с меткой «72» и столбца с меткой «4». Получаем число 8597. Значит, мантисса равна (приблизительно) 0,8597. Отсюда:
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторная алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат
Введение в криптографию
Введение в криптографию
|
Ященко В.В. Введение в криптографию. Под общей ред. В. В. Ященко — СПб.: Питер, 2001. — 288 с. Данный учебник по криптографии содержит систематическое изложение научных основ от простейших примеров и основных понятий до современных криптографических концепций. Книга написана специалистами криптографами с целью популяризации основ этой отрасли знания; материал изложен хорошим языком и в доступной форме. Несомненным достоинством книги является то, что все её главы обладают высокой степенью независимости друг от друга. Хотя для понимания некоторой части материала книги всё же желателен определенный уровень математической подготовки, большая часть информации будет полезна массовому читателю. |
|
Оглавление
Предисловие ко второму изданию
Глава 1. Основные понятия криптографии
2. Предмет криптографии
3. Математические основы
4. Новые направления
5. Заключение
Глава 2. Криптография и теория сложности
2. Криптография и гипотеза P != NP
3. Односторонние функции
4. Псевдослучайные генераторы
5. Доказательства с нулевым разглашением
Глава 3. Криптографические протоколы
2. Целостность. Протоколы аутентификации и электронной подписи
Схема аутентификации Шнорра
Схема электронной подписи Шнорра
3. Неотслеживаемость. Электронные деньги
4. Протоколы типа «подбрасывание монеты по телефону»
Протокол подбрасывания монеты
5. Еще раз о разделении секрета
6. Поиграем в «кубики». Протоколы голосования
Протокол Шаума и Педерсена
7. За пределами стандартных предположений. Конфиденциальная передача сообщений
8. Вместо заключения
Глава 4. Алгоритмические проблемы теории чисел
2. Система шифрования RSA
3. Сложность теоретико-числовых алгоритмов
4. Как отличить составное число от простого
5.
Алгоритм, доказывающий непростоту числа
5. Как строить большие простые числа
6. Как проверить большое число на простоту
7. Как раскладывают составные числа на множители
8. Дискретное логарифмирование
9. Заключение
Глава 5. Математика разделения секрета
2. Разделение секрета для произвольных структур доступа
3. Линейное разделение секрета.
4. Идеальное разделение секрета и матроиды
Глава 6. Компьютер и криптография
2. Немного теории
Что надо знать перед написанием программы шифрования
3. Как зашифровать файл?
4. Поучимся на чужих ошибках
5. Вместо заключения
Глава 7. Олимпиады по криптографии для школьников
2. Шифры замены
А. Конан Дойл, «Пляшущие человечки»
Ж. Верн, «Путешествие к центру Земли»
3. Шифры перестановки
4. Многоалфавитные шифры замены с периодическим ключом
5. Условия задач олимпиад по математике и криптографии
6. Указания и решения
Приложение. Отрывок из статьи К. Шеннона «Теория связи в секретных системах»
Часть I.
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА СЕКРЕТНЫХ СИСТЕМ
3. Способы изображения систем
4. Примеры секретных систем
5. Оценка секретных систем
6. Алгебра секретных систем
7. Чистые и смешанные шифры
8. Подобные системы
Часть II. ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ СЕКРЕТНОСТЬ
10. Совершенная секретность
11. Ненадежность
Логарифмы и теория информации: physic4woman — LiveJournal
Логарифмы
Логарифмы — это существа математической природы, очень красивые и простые в обращении. То есть можно сразу на ты и без церемоний.
Однако порой они особенно кокетливы и куртуазны, и все те степени восторга, которые они выражают в математических формулах, оказываются прикрыты вуалью легкой загадочности (даже, страшно сказать, стыдливости), флёром инфернального кокетства.
Поговорим же подробнее об этих чудесных и загадочных созданиях.
У операции сложения (a+b = c) есть обратная операция (c-b = a, c-a = b).
У операции умножения (a*b = c) есть обратная операция (c/b = a, c/a = b).
А у возведения в степень (ab = c) есть ли обратная операция?
Да, это — логарифмирование (log по основанию a c = b)
Например, тебя интересует, в какую степень b восторга нужно возвести мужчину a, чтобы получить сексуально заинтересованного мужчину c. Ты берешь сексуально заинтересованного мужчину c, логарифмируешь его самым решительным образом, и узнаешь необходимую степень восторга. После чего пускаешь в ход неотразимые женские чары. 🙂
Еще один образный пример применения логарифмов. Представь, что твой папа, король, объявил поиск достойного и знатного жениха для любимой дочери — принцессы, то бишь для тебя. И вот со всех стран приехало множество принцев. Перед тобой собралась толпа восхищенных поклонников, n человек. Тебе предстоит выбрать среди них единственного и лучшего.
Допустим, ты задаешь принцам вопрос: «Кто из вас совершит для меня отважный подвиг?»
Принцы отправляются в разные концы света, и потом n/2 принцев возвращается с трофеями — головами поверженных драконов, скальпами заморских ассасинов и дипломами школы Геракла.
Ты задаешь следующий вопрос: «Кто из вас умеет петь?»
Половина принцев радостно начинает петь красивыми голосами, другая половина хором вздыхает и уезжает восвояси.
Будучи столь же капризной принцессой, сколь и романтичной, ты задаешь следующий вопрос: «Кто из вас способен перебрехать дельфийского оракула?»
Принцы, перебрехавшие оракула, выгоняются тобой прочь, а те, кто потерял дар речи от твоего очарования, продолжают участие.
После каждого испытания число принцев сокращается вдвое, и наконец остается один-единственный, который прошел все испытания, и вас благословляет король.
Теперь вопрос: сколько испытаний ты провела, если изначально принцев было n, и каждое испытание отсеивало половину претендентов на твою руку?
Ответ: х = log 2 n.
После первого испытания принцев осталось n/2. После второго (n/2)/2 = n/(2*2) = n/4. После третьего (n/4)/2 = n/(4*2) = n/8. Наконец остался один принц, что значит, что мы делили количество принцев надвое x раз: n/(2x) = 1.
Следовательно,
n = 2x
х = log 2 n
Теория информации
Логарифмы ужасно любят сплетничать. Именно поэтому на логарифмах основывается теория информации, созданная в 50-х годах 20-го века Клодом Шенноном. Согласно этой теории, единицей информации является 1 бит. Ответ на вопрос «Любите ли вы сыр, мадемуазель?», содержит один бит информации, независимо от того, каким будет ответ — утвердительным или отрицательным. Такое же количество информации содержит и ответ на вопрос «Любите ли вы меня, мадемуазель?», хотя очевидно, что эти два ответа по своему содержанию и значению совершенно различны.
Приведенный выше пример с выбором принца иллюстрирует, как происходит естественный отбор исчисление битов. Каждый твой вопрос приближал тебя к заветному соединению с лучшим из лучших; каждый твой вопрос делал тебя более информированной на 1 бит. Таким образом, чтобы выбрать принца, тебе нужны были всего-то: блеск пламенных очей, одна (зато какая!) очаровательная улыбка, а также log 2 n бит информации.
..
Пожалуй, на этом курс для благородных девиц по логарифмам и теории информации можно считать успешно пройденным. Всего тебе доброго, любознательная принцесса, и до новых встреч!
Обратные функции
Математика выполняет операций . В противном случае у нас была бы куча значений и ничего общего с ними; у нас не было бы возможности соединить их. Введите операции.
Операции объединяют строковые значения для получения других значений. Однако иногда нам нужно что-то отменить, поэтому мы создали обратные операции. Обратные операции — это математические уловки: это операции, которые отменяют друг друга. Сложение и вычитание являются операциями, обратными друг другу. Умножение и деление также являются операциями, обратными друг другу. Если вы начали с 3, умножили его на 2, а затем разделили результат на 2, вы сразу же вернетесь к 3.
Угадайте, к чему мы клоним? Экспоненты и логарифмы являются обратными операциями! Итак, если у нас есть это уравнение:
y = x
Мы можем добавить к обеим сторонам…
y + 2 = x + 2
Мы можем выбирать с обеих сторон…
16.
y – 2 = x – 2
Умножить…
2 y = 2 x
Разделить…
6 6 Также « ЭКОНЕНТИЧЕСКИЙ » Обе стороны:
10 y = 10 x
и, наконец, « Take The Log » с обеих сторон:
6 y = = = = = = = = x
Каждое из приведенных здесь выражений эквивалентно y = x и друг другу. Поскольку вы знаете, что логарифмы и показатели степени являются обратными операциями, как сложение и вычитание, манипулирование уравнениями с показателями степени не составит труда.
Теперь, когда вы знаете, что возведение в степень и получение журнала являются обратными операциями, давайте поговорим об обратных функциях.
Обратные функции
Представьте себе функцию, которая имеет этот набор входов и выходов. Нет, правда, закрой глаза и сосредоточься на своем внутреннем математике:
{(1, 5), (2, 9), (3, 13), (4, 17)}
Если ты на подъеме и вверх, вы можете узнать, что эти числа взяты из линейной функции y = 4 x + 1.
Круто. Инверсия этой функции просто переключает все входные и выходные значения:
{(5, 1), (9, 2), (13, 3), (17, 4)}
Что это за функция? Никакого обмана, на нас работают роботы.
Очень простой способ найти ответ на этот вопрос — найти x и поменять местами x и y .
Y = 4 x + 1
Y — 1 = 4 x
Затем мы переключаем x и Y .
Бам! Вот ваш ответ: обратно y = 4 x + 1 . Более ясным способом представить это было бы сказать .
Специальное примечание: f -1 ( x ), обратная функция, не такая же, как обратная функция, . Будь осторожен!
Если вы примените функцию и функцию, обратную ей, к входному значению, входные данные останутся без изменений. Докажите это себе: попробуйте поставить 4 в одну из функций, а затем подставьте ответ в другую.
Видишь? Это по-прежнему 4. (Если нет, то что-то пошло не так, и это сообщение самоуничтожится через 3 секунды.) Другими словами, более математическими терминами: )] = x
Вот некоторое доказательство:
Шаг 1, Удивительный шаг: y = 4( 4 ) +1 = 17
Шаг 2, Удивительный шаг0: 9000 Еще шаг:
Это как фокусник, который выходит на сцену, вытаскивает кролика из шляпы и…
ЭТО НЕ КРОЛИК! Он быстро кладет не-кролика обратно в шляпу и пятится со сцены, как будто ничего не произошло. Без возвратов.
В следующем разделе мы попытаемся найти обратную экспоненциальную функцию. Это будет не так просто, как в этом разделе, но вы почувствуете себя еще круче, когда во всем разберетесь.
Инверсия экспоненциальной функции
Примените волшебный урок инверсии к экспоненциальной функции. Во-первых, взгляните на экспоненциальную функцию. Как мы упоминали ранее, экспоненциальные функции проще, чем кажутся: просто вставьте x в экспоненте.
Вот один:
y = 10 x
Верно. Так что насчет обратного? Просто решите для x . Подождите, как это должно работать?
Без логарифмов можно застрять в грязи. Грязная, липкая, неприятная грязь, которая не смоется, сколько бы раз вы ни клали ее в стиральную машину. Математика может все; это может даже сохранить вашу одежду чистой и свежей. (Отказ от ответственности: не пытайтесь положить математику в стиральную машину, это приведет к аннулированию всех гарантий.)
Пройдемте с нами на секунду. Мы собираемся использовать логарифм , чтобы найти x , а затем поменять местами. Как мы говорили в предыдущем разделе, получение логарифма — это операция, обратная возведению в степень, поэтому мы можем использовать ее, чтобы сократить 10 в правой части уравнения. Начните с бревна обеих сторон:
бревно 10 y = бревно 10 10 x
бревно 10 y
17 =
x
Now we swap x and y to get our inverse function:
log 10 x = y
y = log 10 x
Ta-daaa: y = log 10 x , логарифмическая функция, обратная y = 10 x , экспоненциальная функция .
Как найти обратное логарифмическое преобразование в R?
Логарифм данного числа n — это показатель степени, в которую нужно возвести другое фиксированное число по основанию b, чтобы получить это число n. С точки зрения непрофессионала, логарифм подсчитывает количество вхождений одного и того же множителя при повторном умножении. Логарифмическая функция представляется как:
f(x) = log b (x)
Когда основание b логарифма равно 10, мы обычно не упоминаем об этом, т. е. f(x) = log (Икс). Обратная логарифмическая или экспоненциальная функция определяется как:
в общем случае,
Y = log B (x) ⇐ порядка B y = x
для натурального журнала:
Y = LN (x) ⇐ятно = x
Давайте посмотрим на некоторые примеры для лучшего понимания:
Пример 1: , если y = ln (544) = 6,298949
Антилог (y) = E Y = 544
Пример 2 : , если у = log (544) = 2,735598
antilog ( y ) = 10 y = 544
Обратное логарифмическое преобразование в языке программирования R может быть exp(x) и expm010(x) 5) 9010(x) функциями.
Функция exp( ) просто вычисляет экспоненциальную функцию, тогда как функция expm1( ) точно вычисляет exp(x) – 1 также и для |x| << 1. Здесь x должен быть числовым или комплексным вектором, а основание должно быть положительным.
Метод 1: Использование exp()
Синтаксис:
exp ( x )
Где x — числовое значение.
Example:
R
exp (100)
exp (9867528)
exp (0)
exp ( 1.7865)
Вывод:
[1] 2.688117e+43 # exp (100)
[1] Inf # Exp (9867528)
[1] 1 # exp (0)
[1] 5,968526 # exp (1,7865)
Для большего числа, он обычно возвращает «инф», что означает бесконечность.
Метод 2: Использование expm1()
Синтаксис:
expm1 ( x ) = exp (x) – 1
,
Числовое значение.
Пример:
R
expm1 (100)
expm1 (9867528)
expm1 (0)
expm1 (1.7865)
Output:
[1] 2,688117E+43 # expm1 (100)
[1] Inf # expm1 (9867528)
[1] 0 # expm1 (0)
[1] 4.968526 # expm1 (1,7865)
6 [1] 4.968526 # expm1 (1,7865) 6 [1] 4.968526 # expm1 (1,7865) 6 [1]
Для больших числовых значений функции exp() и expm1() возвращают одинаковые значения.
Правила логарифмирования
База б логарифм ряда является показателем , что нам нужно , чтобы поднять базу для того , чтобы получить номер.
- Определение логарифма
- Правила логарифмирования
- Задачи логарифмирования
- Комплексный логарифм
- График log (x)
- Таблица логарифмов
- Калькулятор логарифмов
Определение логарифма
Когда b возведен в степень y, равен x:
б у = х
Тогда логарифм x по основанию b равен y:
журнал b ( x ) = y
Например, когда:
2 4 = 16
затем
журнал 2 (16) = 4
Логарифм как функция, обратная экспоненциальной функции
Логарифмическая функция,
у = журнал b ( х )
является функцией, обратной экспоненциальной функции,
х = б у
Итак, если мы вычислим экспоненциальную функцию логарифма x (x/ 0),
f ( f -1 ( x )) = b журнал b ( x ) = x
Или, если мы вычислим логарифм экспоненциальной функции x,
f -1 ( f ( x )) = журнал b ( b x ) = x
Натуральный логарифм (ln)
Натуральный логарифм — это логарифм по основанию е:
ln ( x ) = журнал e ( x )
Когда константа e — это число:
или
См .: Натуральный логарифм.
Расчет обратного логарифма
Обратный логарифм (или антилогарифм) вычисляется путем возведения основания b до логарифма y:
х = журнал -1 ( у ) = б у
Логарифмическая функция
Логарифмическая функция имеет базовую форму:
f ( x ) = журнал b ( x )
Правила логарифмирования
| Название правила | Правило |
|---|---|
Правило произведения логарифма |
журнал b ( x ∙ y ) = журнал b ( x ) + журнал b ( y ) |
Правило логарифмического отношения |
журнал b ( x / y ) = журнал b ( x ) — журнал b ( y ) |
Правило логарифма мощности |
журнал b ( x y ) = y ∙ log b ( x ) |
Правило переключения логарифма |
журнал b ( c ) = 1 / журнал c ( b ) |
Правило изменения основания логарифма |
журнал b ( x ) = журнал c ( x ) / журнал c ( b ) |
Производная логарифма |
f ( x ) = журнал b ( x ) ⇒ f ‘ ( x ) = 1 / ( x ln ( b )) |
Интеграл от логарифма |
∫ журнал b ( x ) dx = x ∙ (журнал b ( x ) — 1 / ln ( b ) ) + C |
Логарифм отрицательного числа |
log b ( x ) не определено, когда x ≤ 0 |
Логарифм 0 |
log b (0) не определено |
 |
|
Логарифм 1 |
журнал b (1) = 0 |
Логарифм основания |
журнал b ( b ) = 1 |
Логарифм бесконечности |
lim log b ( x ) = ∞, когда x → ∞ |
См .: Правила логарифмирования
Правило произведения логарифма
Логарифм умножения x и y — это сумма логарифма x и логарифма y.
журнал b ( x ∙ y ) = журнал b ( x ) + журнал b ( y )
Например:
журнал 10 (3 ∙ 7) = журнал 10 (3) + журнал 10 (7)
Правило логарифмического отношения
Логарифм деления x и y — это разность логарифма x и логарифма y.
журнал b ( x / y ) = журнал b ( x ) — журнал b ( y )
Например:
войти 10 (3 / 7) = войти 10 (3) — войти в 10 (7)
Правило логарифма мощности
Логарифм x в степени y равен y, умноженному на логарифм x.
журнал b ( x y ) = y ∙ log b ( x )
Например:
журнал 10 (2 8 ) = 8 ∙ журнал 10 (2)
Правило переключения логарифма
Логарифм c по основанию b равен 1, деленному на логарифм по основанию c числа b.
журнал b ( c ) = 1 / журнал c ( b )
Например:
журнал 2 (8) = 1 / журнал 8 (2)
Правило изменения основания логарифма
Логарифм x по основанию b равен основанию c логарифма x, деленному на логарифм b по основанию c.
журнал b ( x ) = журнал c ( x ) / журнал c ( b )
Например, чтобы вычислить лог 2 (8) в калькуляторе, нам нужно изменить базу на 10:
журнал 2 (8) = журнал 10 (8) / журнал 10 (2)
См .: правило изменения базы журнала
Логарифм отрицательного числа
Действительный логарифм по основанию b от x, когда x <= 0, не определен, когда x отрицателен или равен нулю:
log b ( x ) не определено, когда x ≤ 0
См .: журнал отрицательного числа
Логарифм 0
Логарифм нуля по основанию b не определен:
log b (0) не определено
Предел логарифма x по основанию b, когда x стремится к нулю, равен минус бесконечности:
Смотрите: журнал нуля
Логарифм 1
Логарифм единицы по основанию b равен нулю:
журнал b (1) = 0
Например, логарифм единицы по основанию два равен нулю:
журнал 2 (1) = 0
Смотрите: журнал одного
Логарифм бесконечности
Предел логарифма x по основанию b, когда x стремится к бесконечности, равен бесконечности:
lim log b ( x ) = ∞, когда x → ∞
Смотрите: журнал бесконечности
Логарифм основания
Базовый логарифм b равен единице:
журнал b ( b ) = 1
Например, логарифм двух по основанию два равен единице:
журнал 2 (2) = 1
Производная логарифма
когда
f ( x ) = журнал b ( x )
Тогда производная от f (x):
f ‘ ( x ) = 1 / ( x ln ( b ))
Смотрите: производная журнала
Логарифм интеграл
Интеграл от логарифма x:
∫ журнал b ( x ) dx = x ∙ (журнал b ( x ) — 1 / ln ( b ) ) + C
Например:
∫ журнал 2 ( x ) dx = x ∙ (журнал 2 ( x ) — 1 / ln (2) ) + C
Приближение логарифма
log 2 ( x ) ≈ n + ( x / 2 n — 1),
Комплексный логарифм
Для комплексного числа z:
z = re iθ = x + iy
Комплексный логарифм будет (n = …- 2, -1,0,1,2, …):
Журнал z = ln ( r ) + i ( θ + 2nπ ) = ln (√ ( x 2 + y 2 )) + i · arctan ( y / x ))
Логарифм задачи и ответы
Проблема # 1
Найдите x для
журнал 2 ( x ) + журнал 2 ( x -3) = 2
Решение:
Используя правило продукта:
журнал 2 ( x ∙ ( x -3)) = 2
Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:
х ∙ ( х -3) = 2 2
Или
х 2 -3 х -4 = 0
Решение квадратного уравнения:
x 1,2 = [3 ± √ (9 + 16)] / 2 = [3 ± 5] / 2 = 4, -1
Поскольку для отрицательных чисел логарифм не определен, ответ будет следующим:
х = 4
Проблема # 2
Найдите x для
журнал 3 ( x +2) — журнал 3 ( x ) = 2
Решение:
Используя правило частного:
журнал 3 (( x +2) / x ) = 2
Изменение формы логарифма в соответствии с определением логарифма:
( х +2) / х = 3 2
Или
х +2 = 9 х
Или
8 х = 2
Или
х = 0,25
График log (x)
log (x) не определен для действительных неположительных значений x:
Таблица логарифмов
| х | журнал 10 x | журнал 2 x | журнал e x |
|---|---|---|---|
| 0 | неопределенный | неопределенный | неопределенный |
| 0 + | — ∞ | — ∞ | — ∞ |
| 0,0001 | -4 | -13,287712 | -9,210340 |
| 0,001 | -3 | -9,965784 | -6,907755 |
| 0,01 | -2 | -6,643856 | -4,605170 |
| 0,1 | -1 | -3,321928 | -2,302585 |
| 1 | 0 | 0 | 0 |
| 2 | 0,301030 | 1 | 0,693147 |
| 3 | 0,477121 | 1,584963 | 1.098612 |
| 4 | 0,602060 | 2 | 1,386294 |
| 5 | 0,698970 | 2,321928 | 1,609438 |
| 6 | 0,778151 | 2,584963 | 1,791759 |
| 7 | 0,845098 | 2,807355 | 1,945910 |
| 8 | 0,903090 | 3 | 2,079442 |
| 9 | 0,954243 | 3,169925 | 2,197225 |
| 10 | 1 | 3,321928 | 2,302585 |
| 20 | 1,301030 | 4,321928 | 2,995732 |
| 30 | 1,477121 | 4,906891 | 3,401197 |
| 40 | 1,602060 | 5,321928 | 3,688879 |
| 50 | 1,698970 | 5,643856 | 3,912023 |
| 60 | 1,778151 | 5,906991 | 4,094345 |
| 70 | 1,845098 | 6,129283 | 4,248495 |
| 80 | 1,903090 | 6,321928 | 4,382027 |
| 90 | 1,954243 | 6,491853 | 4,499810 |
| 100 | 2 | 6,643856 | 4,605170 |
| 200 | 2,301030 | 7,643856 | 5,298317 |
| 300 | 2,477121 | 8,228819 | 5,703782 |
| 400 | 2,602060 | 8,643856 | 5,991465 |
| 500 | 2,698970 | 8,965784 | 6,214608 |
| 600 | 2,778151 | 9,228819 | 6,396930 |
| 700 | 2,845098 | 9,451211 | 6,55 · 1080 |
| 800 | 2,903090 | 9,643856 | 6,684612 |
| 900 | 2,954243 | 9,813781 | 6,802395 |
| 1000 | 3 | 9,965784 | 6,907755 |
| 10000 | 4 | 13,287712 | 9.210340 |
Калькулятор логарифмов ►
Смотрите также
- Правила логарифмирования
- Изменение логарифма основания
- Логарифм нуля
- Логарифм единицы
- Логарифм бесконечности
- Логарифм отрицательного числа
- Калькулятор логарифмов
- Логарифм график
- Таблица логарифмов
- Калькулятор натурального логарифма
- Натуральный логарифм — ln x
- е постоянная
- Децибел (дБ)