Как найти обратную функцию sin - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Арксинус

Что такое арксинус?

Понятие арксинуса появляется в ходе решения задачи нахождения числа по данному значению синуса этого числа.

Найдём функцию, обратную к функции y=sin x. Для этого выберем промежуток [-π/2; π/2], на котором функция y=sinx строго монотонна (возрастает), то есть выполняется условие обратимости:

1) В формуле функции y=sin x на место x подставляем y, на место y — x:

x=sin y.

2) Из полученного равенства нужно выразить y через x. Для этого вводится определения арксинуса (арксинус x обозначают как arcsin x).

Определение

Арксинусом числа a называется такое число b из промежутка [-π/2;π/2], синус которого равен a:

$[arcsin a = b Leftrightarrow left{ begin{array}{l} b in [ - frac{pi }{2};frac{pi }{2}]\ sin b = a end{array} right.]$

Таким образом, решение уравнения x=sin y на [-π/2; π/2] —

y=arsin x.

Так как функция y=sin x определена на промежутке [-π/2;π/2] и принимает на этом промежутке все значения [-1; 1], то область определения арксинуса — промежуток [-1; 1], область значений — [-π/2;π/2].

Таблица значений синуса из промежутка [-π/2; π/2] —

$[begin{array}{*{20}{c}} b&vline& { - frac{pi }{2}}&vline& { - frac{pi }{3}}&vline& { - frac{pi }{4}}&vline& { - frac{pi }{6}}\ hline {sin b}&vline& { - 1}&vline& { - frac{{sqrt 3 }}{2}}&vline& { - frac{{sqrt 2 }}{2}}&vline& { - frac{1}{2}} end{array}]$

$[begin{array}{*{20}{c}} b&vline& 0&vline& {frac{pi }{6}}&vline& {frac{pi }{4}}&vline& {frac{pi }{3}}&vline& {frac{pi }{2}}\ hline {sin b}&vline& 0&vline& {frac{1}{2}}&vline& {frac{{sqrt 2 }}{2}}&vline& {frac{{sqrt 3 }}{2}}&vline& 1 end{array}]$

Соответственно, таблица значений арксинуса —

$[begin{array}{*{20}{c}} a&vline& { - 1}&vline& { - frac{1}{2}}&vline& { - frac{{sqrt 2 }}{2}}&vline& { - frac{{sqrt 3 }}{2}}\ hline {arcsin a}&vline& { - frac{pi }{2}}&vline& { - frac{pi }{6}}&vline& { - frac{pi }{4}}&vline& { - frac{pi }{3}} end{array}]$

$[begin{array}{*{20}{c}} a&vline& {frac{1}{2}}&vline& {frac{{sqrt 2 }}{2}}&vline& {frac{{sqrt 3 }}{2}}&vline& 1\ hline {arcsin a}&vline& {frac{pi }{6}}&vline& {frac{pi }{4}}&vline& {frac{pi }{3}}&vline& {frac{pi }{2}} end{array}]$

Графики взаимно обратных функций y=arcsinx и y=sinx (на рассматриваемом промежутке) симметричны относительно прямой y=x:

В алгебре (точнее, в тригонометрии. Раньше тригонометрия изучалась отдельным от алгебры и геометрии курсом) арксинус нужен для решения тригонометрических уравнений вида sin x=a.

Источник

Алгебра и начала математического анализа, 11 класс

Урок №6. Обратные тригонометрические функции.

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме

Рассмотреть свойства арксинуса и арккосинуса;
Рассмотреть свойства арктангенса и арккотангенса;
Объяснять расположение промежутков монотонности;
Определять наибольшее и наименьшее значение функции;
Применять знания при решении задач.

Глоссарий по теме

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ). Он имеет область определения и множество значений

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ). Он имеет область определения и множество значений .

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ). Он имеет область определения и множество значений

Основная литература:

Колягин Ю.М., Ткачева М.В., Федорова Н.Е. и др., под ред. Жижченко А.Б Алгебра и начала математического анализа (базовый и профильный уровни) 11 кл. – М.: Просвещение, 2010.–336 с.

Дополнительная литература:

Шахмейстер, А.Х. Тригонометрия / А.Х. Шахмейстер.— СПб.: Петроглиф, 2014. — 750 с.

Открытые электронные ресурсы:

Открытый банк заданий ЕГЭ ФИПИ [Электронный ресурс].– Режим доступа: http://ege.fipi.ru/

Решу ЕГЭ образовательный портал для подготовки к экзаменам [Электронный ресурс].– Режим доступа: https://ege.sdamgia.ru/

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Актуализация знаний

Обратные тригонометрические функции решают задачу вычисления углов по известному значению тригонометрической функции. Например, косинус какого угла равен ? Первое, что хочется ответить, что это угол 60° или , но вспомнив о периоде косинуса, понимаем, что углов, при которых косинус равен , бесконечное множество. И такое множество значений углов, соответствующих данному значению тригонометрической функции, будет наблюдаться и для синусов, тангенсов и котангенсов, т.к. все они обладают периодичностью. Для внесения точности для каждой из обратных тригонометрических функций диапазон углов, которые она возвращает, выбран свой, и мы их рассмотрим отдельно.

Объяснение нового материала

Рассмотрим свойства функции y=arcsin x и построим ее график.

Арксинус ( y = arcsin x ) – это функция, обратная к синусу ( x = sin y ).

Свойства	Функции y=arcsin х
E(f)
D(f)
Чётность	Нечётная, т.к. arcsin(-x)= — arcsin x
Промежутки монотонности	Возрастающая

Рис.1 График функции y=arcsin х

Рассмотрим свойства функции y=arcos x и построим ее график.

Арккосинус ( y = arccos x ) – это функция, обратная к косинусу ( x = cos y ).

Свойства	Функции y=arccos х
E(f)
D(f)
Чётность	Ни чётная, ни нечётная
Промежутки монотонности	Убывающая

Рис.2 График функции y=arccos х

Рассмотрим свойства функции y=arctgx и y=arcctgx и построим их графики.

Арктангенс ( y = arctg x ) – это функция, обратная к тангенсу ( x = tg y ).

Арккотангенс ( y = arcctg x ) – это функция, обратная к котангенсу ( x = ctg y ).

Свойства	y=arctg х	y=arcctg х
E(f)	R	R
D(f)
Чётность	Нечётная	Нечётная
Промежутки монотонности	Возрастающая	Убывающая

Рис.3 График функции y=arctgx

Рис.4 График функции y=arcсtgx

Примеры и разборы решения заданий тренировочного модуля:

Пример 1.

Найдите значение выражения

Обозначим , по определения арктангенса получаем х=60°, т.е. нам нужно найти

Ответ:

Пример 2.

Решите неравенство

;

Накладываем ограничения по свойствам арксинуса:

;

Ответ:

Источник

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число $varphi in left[-frac{pi }{2} ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол varphi , принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число $varphi in left(-frac{pi }{2};frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

${(sqrt{a})}^2=a; sqrt{a}ge 0; age 0.$

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что $boldsymbol{a^c=b.}$

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения x^2=5 — это sqrt{5} и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: 2^x=7. Решение этого уравнения — иррациональное число ${log}_27.$ Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение $sinx = frac{1}{4}.$

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна $frac{1}{4}.$ И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен $frac{1}{4}$ — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это $arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

А вторая серия решений нашего уравнения — это $pi -arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, $frac{1}{4}$ , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка [-1;1] отвечает одно-единственное значение угла на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что на отрезке [-1;1] можно задать функцию принимающую значения от $-frac{pi }{2}$ до $frac{pi }{2}.$

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число $varphi in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок [-1;1].

Мы сказали, что у принадлежит отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями $x= -1; , x = 1, , y= -frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2} .$

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен единице. Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

Продолжаем: $arcsin frac{1}{2}$ — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен $frac{1}{2}$ . Да, это $frac{pi}{6}.$

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
	$-frac{pi}{2}$	$-frac{pi}{6}$	0	$frac{pi}{6}$	$frac{pi}{2}$

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — $frac{ pi }{2}$ , достигается при x=-1 , а наибольшее значение, равное $frac{pi}{2}$ , при x = 1.

5. Что общего у графиков функций y=sin x и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции y=x^2 и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от $-frac{pi}{2}$ до $frac{pi}{2}$ , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции y=sin x на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это y = x^2 при xgeq 0 и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок [0;pi ] выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку [-1; 1] , будет такое число y, принадлежащее промежутку [0;pi ] , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

$arccos 0 = frac{pi}{2}$ , так как $cos frac{pi}{2} = 0$ ,

$arccos frac{1}{2} = frac{pi }{3}$ , так как $cos frac{pi }{3} = 0$ ,

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
		$frac{2pi}{3}$	$frac{pi}{2}$	$frac{pi}{3}$	0

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при x=-1 , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при x=1.

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число $varphi in left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал $left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки $pm frac {pi}{2}$ ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от -infty до +infty.

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от -infty до +infty, а областью значений — интервал $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ).$

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

$tg frac{pi}{4} = 1$ , значит, $arctg 1 = frac{pi}{4}$

$tg (-frac{pi}{4}) = -1$ , значит, $arctg (-1) = - frac{pi}{4}.$

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y=frac{pi}{2} .$

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y= - frac{pi}{2} .$

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in (-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые $y= - frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2}$ — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые y= 0 и y= pi — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Обратные тригонометрические функции и их графики» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Inverse trigonometric functions are the inverse functions of the trigonometric functions. There are inverses of the sine, cosine, cosecant, tangent, cotangent, and secant functions. They are also termed as arcus functions, antitrigonometric functions, or cyclometric functions. These inverse functions in trigonometry are used to get the angle with any of the trigonometry ratios. Let’s discuss each inverse trigonometric function in detail.

arcsine

arcsine function is an inverse of the sine function denoted by sin^-1x. It returns the angle whose sine corresponds to the provided number.

sinθ = (Opposite/Hypotenuse)

=> sin^-1 (Opposite/Hypotenuse) = θ

The theorem of sin inverse is: d/dx sin^-1x = 1/√(1 – x²)

Proof:

sin(θ) = x

now,

f(x) = sin^-1x ..(eq1)

substitute value of sin in eq(1)

f(sin(θ)) = θ

f'(sin(θ))cos(θ) = 1 .. differentiating the equation

we know that,

sin²θ+ cos²θ= 1

so,

cos = √(1 – x²)

f'(x) = 1/√(1 – x²)

now,

d/dx sin^-1x = 1/√(1 – x²)

hence proved.

Example:

sin^-1(1/2) = π/6

arccosine

arccosine function is an inverse of the sine function denoted by cos^-1. It returns the angle whose cosine corresponds to the provided number.

cosθ = (Hypotenuse/Adjacent)

=> cos^-1 (Hypotenuse/Adjacent) = θ

The theorem of cos inverse is: d/dx cos^-1(x) = -1/√(1 – x²)

Proof:

cos(θ) = x

θ = arccos(x)

dx = dcos(θ) = −sin(θ)dθ .. differentiate the equation

now,

we know that,

sin² + cos² = 1

so,

cos = √(1 – x²)

−sin(θ) = −sin(arccos(x)) = -√(1 – x²)

dθ/dx = −1/sin(θ) = -1/√(1 – x²)

so,

dθ/dx cos^-1(x) = -1/√(1 – x²)

hence proved.

Example:

cos^-1(1/2) = π/3

arctangent

arctangent function is an inverse of the tangent function denoted by tan^-1. It returns the angle whose tangent corresponds to the provided number.

tanθ = (Opposite/Adjacent)

=> tan^-1(Opposite/Adjacent) = θ

The theorem of tan inverse is: d/dx tan^-1(x) = 1/(1 + x²)

Proof:

tan(θ) = x

θ = arctan(x)

we know that,

tan²θ + 1 = sec²θ

dx/dθ = sec²y .. differentiating tan function

dx/dθ = 1+x²

therefore,

dθ/dx = 1/(1 + x²)

hence proved.

Example:

tan^-1(1) = π/4

Restricting Domains of Functions to Make them Invertible

A real function in the range ƒ : R ⇒ [-1 , 1] defined by ƒ(x) = sin(x) is not a bijection since different images have the same image such as ƒ(0) = 0, ƒ(2π) = 0,ƒ(π) = 0, so, ƒ is not one-one. Since ƒ is not a bijection (because it is not one-one) therefore inverse does not exist. To make a function bijective we can restrict the domain of the function to [−π/2, π/2] or [−π/2, 3π/2] or [−3π/2, 5π/2] after restriction of domain ƒ(x) = sin(x) is a bijection, therefore ƒ is invertible. i.e. to make sin(x) we can restrict it to the domain [−π/2, π/2] or [−π/2, 3π/2] or [−3π/2, 5π/2] or……. but [−π/2, π/2] is the Principal solution of sinθ, hence to make sinθ invertible. Naturally, the domain [−π/2, π/2] should be considered if no other domain is mentioned.

ƒ: [−π/2 , π/2] ⇒ [-1 , 1] is defined as ƒ(x) = sin(x) and is a bijection, hence inverse exists. The inverse of sin^-1 is also called arcsine and inverse functions are also called arc functions.
ƒ:[−π/2 , π/2] ⇒ [−1 , 1] is defined as sinθ = x ⇔ sin^-1(x) = θ , θ belongs to [−π/2 , π/2] and x belongs to [−1 , 1].

Similarly, we restrict the domains of cos, tan, cot, sec, cosec so that they are invertible.

Domain & Range of Inverse Functions

Function	Domain	Range
sin^-1	[ -1 , 1 ]	[ −π/2, π/2 ]
cos^-1	[ -1 , 1 ]	[ 0, π ]
tan^-1	R	[ −π/2 , π/2 ]
cot^-1	R	[ 0 , π ]
sec^-1	( -∞ , -1 ] U [ 1,∞ )	[ 0 , π ] − { π/2 }
cosec^-1	( -∞ , -1 ] U [ 1 , ∞ )	[ −π/2 , π/2 ] – { 0 }

Using Inverse Trigonometric Functions with a Calculator

In a scientific calculator, it is possible to find inverse trigonometric functions as well as trigonometric functions. To find trigonometric functions of an angle, enter the chosen angle in degrees or radians. Underneath the calculator, six trigonometric functions will appear sine, cosine, tangent, cosecant, secant, and cotangent. Similarly to find inverse trigonometric functions in a scientific calculator go to the shift button in the calculator and press it then select any standard trigonometric function such as sine, cosine, tangent, cosecant, secant, and cotangent. This will enable you to use inverse trigonometric functions. After selecting the trigonometric function just enter your parameter whether in radians or degrees or in the case of inverse functions enter the values that lie within the domain of that particular function and the scientific calculator will solve it.

Inverse Trigonometric Functions

Periodic functions:

Since trigonometric functions are periodic, their inverse functions are varied to write it in the standard format we use the equations provided below.

arcsin(x) = (-1)ⁿarc sin x + πn

arccos(x) = ±arccos x + 2πn

arctan(x) = arctan(x) + πn

arccot(x) = arccot(x) + πn

where n = 0, ±1, ±2, ….

Substituting trigonometric functions in different functions:

tan(x) = sin(x)/√(1 – sin²(x)) , x ∈ ( -π/2 , π/2 )

arcsin(a) = arctan(a/√(1 – a²)) , |a| < 1

Derivatives of the inverse trigonometric functions:

d/dx sin^-1(x) = 1/√(1 – x²)

d/dx cos^-1(x) = -1/√(1 – x²)

d/dx tan^-1(x) = 1/(1 + x²)

d/dx cot^-1(x) = -1/(1 + x²)

Properties of Different Trigonometric Functions

Set 1: Properties of sin

1) sin(θ) = x ⇔ sin^-1(x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ], x ∈ [ -1 , 1 ]

2) sin^-1(sin(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

3) sin(sin^-1(x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Examples:

sin(π/2) = 1 ⇒ sin^-1(1) = π/2

sin^-1(sin(π/2)) = π/2

sin(sin^-1(1)) = 1

Set 2: Properties of cos

4) cos(θ) = x ⇔ cos^-1(x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ [ -1 , 1 ]

5) cos^-1(cos(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

6) cos(cos^-1(x)) = x , x ∈ [ -1 , 1 ]

Examples:

cos(π/3) = 1/2 ⇒ cos^-1(1/2) = π/3

cos^-1(cos(π/3)) = π/3

cos(cos^-1(1/2)) = 1/2

Set 3: Properties of tan

7) tan(θ) = x ⇔ tan^-1(x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] , x ∈ R

tan^-1(tan(θ)) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ]

9) tan(tan^-1(x)) = x , x ∈ R

Examples:

tan(π/4) = 1 ⇒ tan^-1(1) = π/4

tan^-1(tan(π/4)) = π/4

tan(tan^-1(1)) = 1

Set 4: Properties of cot

10) cot(θ) = x ⇔ cot^-1(x) = θ , θ ∈ [ 0 , π ] , x ∈ R

11) cot^-1(cot(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π ]

12) cot(cot^-1(x)) = x , x ∈ R

Examples:

cot(π/4) = 1 ⇒ cot^-1(1) = π/4

cot(cot^-1(π/4)) = π/4

cot(cot(1)) = 1

Set 5: Properties of sec

13) sec(θ) = x ⇔ sec^-1(x) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 } , x ∈ (-∞,-1] ∪ [1,∞)

14) sec^-1(sec(θ)) = θ , θ ∈ [ 0 , π] – { π/2 }

15) sec(sec^-1(x)) = x , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Examples:

sec(π/3) = 1/2 ⇒ sec^-1(1/2) = π/3

sec^-1(sec(π/3)) = π/3

sec(sec^-1(1/2)) = 1/2

Set 6: Properties of cosec

16) cosec(θ) = x ⇔ cosec^-1(x) = θ , θ ∈ [ -π/2 , π/2 ] – { 0 } , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1,∞ )

17) cosec^-1(cosec(θ)) = θ , θ ∈[ -π/2 , π ] – { 0 }

18) cosec(cosec^-1(x)) = x , x ∈ ( -∞,-1 ] ∪ [ 1,∞ )

Examples:

cosec(π/6) = 2 ⇒ cosec^-1(2) = π/6

cosec^-1(cosec(π/6)) = π/6

cosec(cosec^-1(2)) = 2

Set 7: Other inverse trigonometric formulas

19) sin^-1(-x) = -sin^-1(x) , x ∈ [ -1 , 1 ]

20) cos^-1(-x) = π – cos^-1(x) , x ∈ [ -1 , 1 ]

21) tan^-1(-x) = -tan^-1(x) , x ∈ R

22) cot^-1(-x) = π – cot^-1(x) , x ∈ R

23) sec^-1(-x) = π – sec^-1(x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

24) cosec^-1(-x) = -cosec^-1(x) , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Examples:

sin^-1(-1/2) = -sin^-1(1/2)

cos^-1(-1/2) = π -cos^-1(1/2)

tan^-1(-1) = π -tan^-1(1)

cot^-1(-1) = -cot^-1(1)

sec^-1(-2) = π -sec^-1(2)

cosec^-1(-2) = -cosec^-1(x)

Set 8: Sum of two trigonometric functions

25) sin^-1(x) + cos^-1(x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

26) tan^-1(x) + cot^-1(x) = π/2 , x ∈ R

27) sec^-1(x) + cosec^-1(x) = π/2 , x ∈ ( -∞ , -1 ] ∪ [ 1 , ∞ )

Proof:

sin^-1(x) + cos^-1(x) = π/2 , x ∈ [ -1 , 1 ]

let sin^-1(x) = y

now,

x = sin y = cos((π/2) − y)

⇒ cos^-1(x) = (π/2) – y = (π/2) −sin^-1(x)

so, sin^-1(x) + cos^-1(x) = π/2

tan^-1(x) + cot^-1(x) = π/2 , x ∈ R

Let tan^-1(x) = y

now, cot(π/2 − y) = x

⇒ cot^-1(x) = (π/2 − y)

tan^-1(x) + cot^-1(x) = y + π/2 − y

so, tan^-1(x) + cot^-1(x) = π/2

Similarly, we can prove the theorem of the sum of arcsec and arccosec as well.

Set 9: Conversion of trigonometric functions

28) sin^-1(1/x) = cosec^-1(x) , x≥1 or x≤−1

29) cos^-1(1/x) = sec^-1(x) , x ≥ 1 or x ≤ −1

30) tan^-1(1/x) = −π + cot^-1(x)

Proof:

sin^-1(1/x) = cosec^-1(x) , x ≥ 1 or x ≤ −1

let, x = cosec(y)

1/x = sin(y)

⇒ sin^-1(1/x) = y

⇒ sin^-1(1/x) = cosec^-1(x)

Similarly, we can prove the theorem of arccos and arctan as well.

Example:

sin^-1(1/2) = cosec^-1(2)

Источник