Как найти обратную матрицу методом гаусса онлайн

Для любой невырожденной квадратной матрицы (т.е. такой определитель которой отличен от нуля), существует
обратная матрица,
такая, что её произведение на исходную матрицу равно единичной:

A∙A⁻¹
= A⁻¹∙A
= E

Наш калькулятор поддерживает два различных способа вычисления обратной матрицы: по методу Гаусса-Жордана и при помощи построения алгебраических дополнений к исходной матрице.

Для нахождения обратной матрицы по методу Гаусса-Жордана, к исходной матрице справа дописывают единичную матрицу:

( A | E )

Затем, с помощью элементарных преобразований приводят исходную матрицу к единичной, выполняя теже самые операции и над единичной матрицей, записанной справа. В результате таких действий исходная матрица приводится к единичной, а единичная к обратной:

( A | E) → ( E | A⁻¹ )

Метод довольно простой, удобный и не очень трудоемкий.

Для нахождения обратной матрицы при помощи метода алгебраических дополнений используют следующую формулу:

где
| A |
— определитель матрицы
A,
A_{i j}
— алгебраическое дополнение элемента
a_{i j}
матрицы
A.

По определению:

A_{i j} = (-1) ^i+j M_{i j}

где
M_{i j}
— минор элемента
a_{i j}
матрицы
A.

По определению — минор элемента
a_{i j}
матрицы
A
— это определитель, полученный путем вычеркивания
i
строки,
j
столбца матрицы
A.

Таким образом, метод алгебраических дополнений для вычисления обратной матрицы порядка
n
является достаточно трудоемким, поскольку помимо определителя исходной матрицы, нужно вычислить
n²
определителей
n—1
порядка.

© 2011-2023 Довжик Михаил
Копирование материалов запрещено.

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Если Вы хотите связаться со мной, имеете вопросы, предложения или хотите помочь развивать сайт OnlineMSchool пишите мне support@onlinemschool.com

Понятие обратной матрицы

Матрица A⁻¹ считается обратной для матрицы A, если при умножении A⁻¹ на исходную матрицу получится новая матрица E, на главной диагонали которой расположены единицы, а вокруг них – нули. Образованная матрица E является единичной диагональной матрицей и может быть записана с помощью формулы: E=A×A⁻¹.

Инверсия матрицы существует лишь для квадратных матриц (с одинаковым количеством строк и столбцов) с детерминантом, не равном нулю. Такие матрицы называются невырожденными. 

Наиболее наглядно обратная матрица рассматривается на примере матрицы 3×3. Ее возможно обобщить с аналогичными произвольными матрицами. 

Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.

Свойства обратных матриц

1. Обратное значение обратной матрицы A⁻¹ эквивалентно исходной матрице A: (A⁻¹)⁻¹=A.
2. Определитель исходной матрицы A соответствует обратному значению детерминанта обратной матрицы A⁻¹: |A|=1/|A⁻¹|.
3. Матрица, обратная матрице A, умноженной на коэффициент λ≠0, равна значению, полученному при умножении обратной матрицы A⁻¹ и обратного значения коэффициента λ, то есть (λ×A)⁻¹=A⁻¹/λ.
4. Обратное значение произведения обратимых матриц A и B с одинаковым числом строк и столбцов будет равно значению, полученному при умножении матриц, обратных исходным, то есть (A×B)⁻¹=B⁻¹×A⁻¹.
5. Обратная матрица транспонированной матрицы эквивалентна транспонированной обратной матрице (A⁻¹)^T=(A^T)⁻¹.

Метод Гаусса для решения

Метод Гаусса – это правило, применяющееся в решении СЛАУ (систем линейных алгебраических уравнений). Данный метод имеет следующие плюсы:

1. Не нужно производить проверку системы уравнения на совместность.
2. Можно решать системы уравнений со следующими условиями:

• при равенстве числа определителей и неизвестных переменных;
• при несовпадении количества детерминантов и неизвестных переменных;
• при определителе, равном 0.

1. Ответ можно получить, выполнив относительно небольшое число вычислений.

Алгоритм решения

Исходная матрица имеет вид:

(A=begin{pmatrix}1&2\3&5end{pmatrix})

Нахождение обратной матрицы по правилу Гаусса необходимо выполнить в такой последовательности:

1. Записать матрицу, от которой необходимо выполнить преобразование в обратную. Рядом через вертикальную черту выполнить запись единичной диагональной матрицы аналогичного порядка:

(left(begin{array}{cc}1&2\3&5end{array}left|begin{array}{cc}1&0\0&1end{array}right.right))

2. Произвести поиск верхней треугольной матрицы по методу Гаусса. Это можно сделать двумя способами: разделить верхнюю строку на ее старший коэффициент или поменять верхнюю строку местами с той, где первый коэффициент равен 1. В данном примере поменяем верхнюю строку с нижней местами и получим:

(left(begin{array}{cc}1&2\3&5end{array}left|begin{array}{cc}0&1\1&0end{array}right.right))

3. Выполним умножение верхней строки матрицы на 3 и вычтем полученные произведения из нижней:

(left(begin{array}{cc}1&2\0&-1end{array}left|begin{array}{cc}0&1\1&-3end{array}right.right))

4. Данный шаг правила Гаусса именуют методом Жордана-Гаусса. В единичной диагонали, полученной в итоге предыдущих манипуляций, обнулим верхние правые элементы. Обнуление производится путем сложения верхней и удвоенной нижней строк:

(left(begin{array}{cc}1&0\0&-1end{array}left|begin{array}{cc}2&-5\1&-3end{array}right.right))

Теперь выполним деление нижней строки на −1:

(left(begin{array}{cc}1&0\0&1end{array}left|begin{array}{cc}2&-5\-1&3end{array}right.right))

Инверсия исходной матрицы A, будет выглядеть так:

(A^{-1}=begin{pmatrix}2&-5\-1&3end{pmatrix})

Решение задач методом Гаусса

Пример

Найти инверсию матрицы третьего порядка:

(A=begin{pmatrix}2&3&7\1&-5&2\3&-1&9end{pmatrix})

Решение:

1. Запишем справа от A единичную диагональную матрицу:

(left(begin{array}{ccc}2&3&7\1&-5&2\3&-1&9end{array}left|begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}right.right))

Теперь необходимо выполнить преобразования, чтобы единичная диагональная матрица оказалась справа.

2. Первую и вторую строку поменяем местами:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\2&3&7\3&-1&9end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&0&0\0&0&1end{array}right.right))

3. Вторую строку суммируем с первой, умноженной на −2. Третью строку сложим с первой, умноженной на −3:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&13&3\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&-2&0\0&-3&1end{array}right.right))

4. Вторую сложим с третьей строкой, умноженной на −1:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&-1&0\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\1&1&-1\0&-3&1end{array}right.right))

5. Выполним умножение второй строки на −1:

(left(begin{array}{ccc}1&-5&2\0&1&0\0&14&3end{array}left|begin{array}{ccc}0&1&0\-1&-1&1\0&-3&1end{array}right.right))

6. Первую строку сложим с рядом чисел, полученных при умножении второй строки на 5. К третьей строке прибавим вторую строку, умноженную на −14:

(left(begin{array}{ccc}1&0&2\0&1&0\0&0&3end{array}left|begin{array}{ccc}-5&-4&5\-1&-1&1\14&11&-13end{array}right.right))

7. Произведем деление третьей строки на 3:

(left(begin{array}{ccc}1&0&2\0&1&0\0&0&1end{array}left|begin{array}{ccc}-5&-4&5\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{array}right.right))

8. Сложим первую строку с умноженной на −2 третьей:

(left(begin{array}{ccc}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{array}left|begin{array}{ccc}frac{-43}3&frac{-34}3&frac{41}3\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{array}right.right))

Значит, инверсия матрицы A равна:

(A^{-1}=begin{pmatrix}frac{-43}3&frac{-34}3&frac{41}3\-1&-1&1\frac{14}3&frac{11}3&frac{-13}3end{pmatrix})