Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.
Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.
Онлайн-калькулятор
Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.
В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.
Формула для вычисления обратной матрицы
Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:
A−1=1detA⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*
detAdet A — определитель матрицы A,A,
A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.
Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:
A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}
Решение
Вычислим детерминант:
detA=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} — (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8
Так как detA≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.
Посчитаем алгебраические дополнение:
A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,
A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,
A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,
A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,
A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,
A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,
A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,
A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,
A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.
Обратная матрица:
A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}
Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.
Найдите обратную матрицу для матрицы:
A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}
Решение
detA=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.
A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,
A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,
A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,
A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.
Ответ:
A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}
Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.
Метод элементарных преобразований
Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:
- перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
- умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
- прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.
Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.
Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований
- Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
- С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
- Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.
Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.
Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:
(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.
Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:
(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Слева получили единичную матрицу.
Выпишем обратную матрицу:
K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.
Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.
K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.
Значит, обратная матрица найдена правильно.
Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.
Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:
(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.
Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:
(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.
Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:
(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.
Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:
(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.
Слева получили единичную матрицу.
Выпишем обратную матрицу:
F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.
Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.
F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.
Значит, обратная матрица найдена правильно.
Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!
Как найти обратную матрицу
- Быстрый способ для матриц $2 times 2$
- Пример 1
- Пример 2
- Нахождение с помощью метода Гаусса
- Пример 3
- Пример 4
- Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
- Пример 5
Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.
Быстрый способ для матриц $2 times 2$
Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$
| Пример 1 |
| Найти обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 3&4 \ 5&9 end{pmatrix}$. |
| Решение |
|
Первым делом вычисляем определитель и убеждаемся, что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 3&4 \ 5&9 end{vmatrix} = 3cdot9 — 4cdot5 = 27 — 20 = 7.$$ Итак, определитель не равен нулю, значит, обратная матрица существует. Продолжаем наш алгоритм. Меняем элементы на главной диагонали местами, а у оставшихся элементов меняем знак на противоположный. $$A^{-1} = frac{1}{7} begin{pmatrix} 9&-4 \ -5&3 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}.$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{9}{7}&frac{-4}{7} \ frac{-5}{7}&frac{3}{7} end{pmatrix}$$ |
| Пример 2 |
| Вычислить обратную матрицу для $A = begin{pmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{pmatrix}$. |
| Решение |
|
Находим определитель $$det A = begin{vmatrix} 2&-1 \ 4&-6 end{vmatrix} = 2cdot(-6) — 4cdot(-1) = -12 + 4 = -8.$$ Меняем местами элементы главной диагонали, а остальным меняем знак на противоположный. Не забываем затем каждый элемент разделить на определитель. $$A^{-1} = frac{1}{-8} begin{pmatrix} -6&1 \ -4&2 end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{-6}{-8}&frac{1}{-8} \ frac{-4}{-8}&frac{2}{-8} end{pmatrix} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} frac{3}{4}&-frac{1}{8} \ frac{1}{2}&-frac{1}{4} end{pmatrix}$$ |
Нахождение с помощью метода Гаусса
На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.
$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$
Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:
$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$
$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$
| Пример 3 |
| Найти обратную матрицу элементарными преобразованиями $$A = begin{pmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Вычисляем определитель матрицы, чтобы убедиться что он не равен нулю $$det A = begin{vmatrix} 2&-1&0 \ 0&2&-1 \ -1&-1&1 end{vmatrix} = 4-1+0-0-2-0=1 neq 0.$$ Выписываем основную матрицу и добавляем справа единичную матрицу. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ -1&-1&1 &|& 0&0&1 end{pmatrix}$$ Проводим элементарные преобразования над строками матриц таким образом, чтобы слева получилась единичная матрица. В то же время как справа получим обратную матрицу. Умножаем третью строку на 2 и прибавляем первую. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&-3&2 &|& 1&0&2 end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и прибавляем к ней вторую строку, умноженную на 3. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&-1 &|& 0&1&0 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Теперь запускаем обратный ход преобразований снизу вверх. Ко второй строке прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 2&-1&0 &|& 1&0&0 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Умножаем первую строку на 2 и прибавляем к ней вторую строчку матрицы. $$begin{pmatrix} 4&0&0 &|& 4&4&4 \ 0&2&0 &|& 2&4&4 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Теперь, чтобы слева получилась единичная матрица нужно первую строку разделить на 4, вторую на 2. $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& 1&1&1 \ 0&1&0 &|& 1&2&2 \ 0&0&1 &|& 2&3&4 end{pmatrix}$$ Справа как видим получилась обратная матрица $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя! |
| Ответ |
| $$A^{-1} = begin{pmatrix} 1&1&1 \ 1&2&2 \ 2&3&4 end{pmatrix}$$ |
| Пример 4 |
| Дана матрица, найти обратную $$A = begin{pmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{pmatrix}.$$ |
| Решение |
|
Первым делом вычисляем определитель, чтобы убедиться в существовании обратной матрицы $$det A = begin{vmatrix} 3&2&1 \ 1&0&2 \ 4&1&3 end{vmatrix} = 0+16+1-0-6-6=5.$$ Теперь справа от матрицы дописываем единичную матрицу $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 1&0&2 &|& 0&1&0 \ 4&1&3 &|& 0&0&1 end{pmatrix}.$$ Теперь с помощью элементарных преобразований делаем так, чтобы слева стояла единичная матрица. А справа получим одновременно обратную матрицу. Умножаем вторую строку на 3 и вычитаем из неё первую. Умножаем третью строчку на 3 и вычитаем первую, умноженную на 4. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&-5&5 &|& -4&0&3 end{pmatrix}$$ Умножаем третью строку на 2 и вычитаем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-15 &|& -3&-15&6 end{pmatrix}$$ Третью строку можно разделить на 3, чтобы уменьшить числа для дальнейшего удобства. Сделаем это. $$begin{pmatrix} 3&2&1 &|& 1&0&0 \ 0&-2&5 &|& -1&3&0 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ Начинаем проводить преобразования над строками теперь снизу вверх. Умножаем первую строку на 5 и прибавляем к ней третью. Ко второй строке просто прибавляем третью. $$begin{pmatrix} 15&10&0 &|& 4&-5&2 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ К первой строке прибавляем вторую, умноженную на 5. $$begin{pmatrix} 15&0&0 &|& -6&-15&12 \ 0&-2&0 &|& -2&-2&2 \ 0&0&-5 &|& -1&-5&2 end{pmatrix}$$ Осталось разделить первую строку на 15, вторую на (-2), а третью на (-5). $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$ |
| Ответ |
| $$begin{pmatrix} 1&0&0 &|& -frac{2}{5}&-1&frac{4}{5} \ 0&1&0 &|& 1&1&-1 \ 0&0&1 &|& frac{1}{5}&1&-frac{2}{5} end{pmatrix}$$ |
Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом
$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$
Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:
$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$
$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.
| Пример 5 |
| Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$ |
| Решение |
|
Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 — 0 — 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 — 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 — 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 — 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 — 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 — 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 — 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$ |
| Ответ |
| $$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$ |
Нахождение обратной матрицы.
В
этой статье разберемся с понятием
обратной матрицы, ее свойствами и
способами нахождения. Подробно остановимся
на решении примеров, в которых требуется
построить обратную матрицу для заданной.
Навигация
по странице.
-
Обратная
матрица — определение. -
Нахождение
обратной матрицы с помощью матрицы из
алгебраических дополнений. -
Свойства
обратной матрицы. -
Нахождение
обратной матрицы методом Гаусса-Жордана. -
Нахождение
элементов обратной матрицы с помощью
решения соответствующих систем линейных
алгебраических уравнений.
Обратная матрица — определение.
Понятие
обратной матрицы вводится лишь для
квадратных матриц, определитель которых
отличен от нуля, то есть для невырожденных
квадратных матриц.
Определение.
Матрица 
называется
обратной для матрицы 
,
определитель которой отличен от нуля 
,
если справедливы равенства 
,
где E –
единичная матрица порядка n на n.
Нахождение обратной матрицы с помощью матрицы из алгебраических дополнений.
Как
же находить обратную матрицу для данной?
Во-первых,
нам потребуются понятия транспонированной
матрицы,
минора матрицы и алгебраического
дополнения элемента матрицы.
Определение.
Минор k-ого порядка матрицы A порядка m на n –
это определитель матрицы порядка k на k,
которая получается из элементов
матрицы А,
находящихся в выбранныхk строках
и k столбцах.
(k не
превосходит наименьшего из чисел m или n).
Минор (n-1)-ого порядка,
который составляется из элементов всех
строк, кроме i-ой,
и всех столбцов, кроме j-ого,
квадратной матрицы А порядка n на n обозначим
как 
.
Иными
словами, минор 
получается
из квадратной матрицы А порядка n на nвычеркиванием
элементов i-ой строки
и j-ого столбца.
Для
примера запишем, минор 2-ого порядка,
который получаетсся из матрицы 
выбором
элементов ее второй, третьей строк и
первого, третьего столбцов 
.
Также покажем минор, который получается
из матрицы 
вычеркиванием
второй строки и третьего столбца 
.
Проиллюстрируем построение этих
миноров: 
и 
.
Определение.
Алгебраическим
дополнением элемента 
квадратной
матрицы 
называют
минор (n-1)-ого порядка,
который получается из матрицы А,
вычеркиванием элементов ее i-ой строки
и j-ого столбца,
умноженный на 
.
Алгебраическое
дополнение элемента 
обозначается
как 
.
Таким обрзом, 
.
Например,
для матрицы 
алгебраическое
дополнение элемента 
есть 
.
Во-вторых,
нам пригодятся два свойства определителя,
которые мы разобрали в разделевычисление
определителя матрицы:
На
основании этих свойств определителя,
определения операции
умножения матрицы на число и
понятия обратной матрицы справедливо
равенство 
,
где 
—
транспонированная матрица, элементами
которой являются алгебраические
дополнения 
.
Матрица 
действительно
является обратной для матрицы А,
так как выполняются равенства 
.
Покажем это
Составим алгоритм
нахождения обратной матрицы с
использованием равенства 
.
-
Вычисляем
определитель матрицы А и
убеждаемся, что он отличен от нуля (в
противном случае матрица А необратима). -
Строим
—
матрицу из алгебраических дополнений
элементов
. -
Транспонируем
матрицу,
тем самым получаем
. -
Умножаем
каждый элемент матрицы на
число
.
Этой операцией завершается нахождение
обратной матрицы
. -
Проводим
проверку результата, вычисляя
произведения
и 
.
Если
,
то обратная матрица найдена верно, в
противном случае где-то была допущена
ошибка.
—
.
,
.
на
.
.
и 
.
,
Разберем
алгоритм нахождения обратной матрицы
на примере.
Пример.
Дана
матрица 
.
Найдите обратную матрицу.
Решение.
Вычислим
определитель матрицы А,
разложив его по элементам третьего
столбца:
Определитель
отличен от нуля, так что матрица А обратима.
Найдем
матрицу из алгебраических дополнений:
Поэтому
Выполним
транспонирование матрицы из алгебраических
дополнений:
Теперь
находим обратную матрицу как 
:
Проверяем
полученный результат:
Равенства 
выполняются,
следовательно, обратная матрица найдена
верно.
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Содержание:
- Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы
- Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы
- Облегченный способ для матрицы второго порядка
Обратную матрицу
можно найти с помощью двух ниже описанных методов.
Нахождение обратной матрицы с помощью присоединённой матрицы
Пример
Задание. Для матрицы $ A=left( begin{array}{ll}{7} & {4} \ {5} & {3}end{array}right) $
найти обратную методом присоединенной матрицы.
Решение. Приписываем к заданной матрице
справа
единичную матрицу второго порядка:
$$ Aleft|E=left( begin{array}{cc|cc}{7} & {4} & {1} & {0} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right. $$
От первой строки отнимаем вторую (для этого от элемента первой строки отнимаем соответствующий элемент второй строки):
$$ Aleft|E = left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {5} & {3} & {0} & {1}end{array}right)right. $$
От второй строки отнимаем две первых:
$$ Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{2} & {1} & {1} & {-1} \ {1} & {1} & {-2} & {3}end{array}right)right. $$
Первую и вторую строки меняем местами:
$$ Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {2} & {1} & {1} & {-1}end{array}right)right. $$
От второй строки отнимаем две первых:
$$ Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {1} & {-2} & {3} \ {0} & {-1} & {5} & {-7}end{array}right)right. $$
Вторую строку умножаем на (-1), а к первой строке прибавляем вторую:
$$ Aleft|E sim left( begin{array}{rr|rr}{1} & {0} & {3} & {-4} \ {0} & {1} & {-5} & {7}end{array}right)right. $$
Итак, слева получили единичную матрицу, а значит матрица, стоящая в
правой части (справа от вертикальной черты), является обратной к исходной.
Таким образом, получаем, что $ A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right) $
Ответ. $ A^{-1}=left( begin{array}{rr}{3} & {-4} \ {-5} & {7}end{array}right) $
Замечание
Если на некотором этапе в «левой» матрице получается
нулевая строка, то это
означает, что исходная матрица обратной не имеет.
Облегченный способ для матрицы второго порядка
Для матрицы второго порядка можно немного облегчить нахождение обратной, используя следующий алгоритм:
Шаг 1. Находим определитель $ Delta $ заданной матрицы,
если он равен нулю, то делаем вывод, что обратной матрицы не существует, иначе переходим к следующему шагу.
Шаг 2. Элементы, стоящие на
главной диагонали меняем местами, а у элементов
побочной диагонали меняем знак на противоположный.
Шаг 3. Делим все элементы на $ Delta $ и получаем обратную матрицу.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для
$ A=left( begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right) $
Решение. Шаг 1. $ Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {2} & {4}end{array}right|=4-4=0 $ ,
тогда обратной матрицы не существует.
Ответ. Так как
определитель матрицы $A$ равен нулю,
то она не имеет обратной.
Пример
Задание. Найти обратную матрицу для $ A=left( begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right) $
Решение. Шаг 1. Находим определитель: $ Delta=left| begin{array}{ll}{1} & {1} \ {1} & {2}end{array}right|=2-1=1 neq 0 $
Шаг 2. $ A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right) $
Шаг 3. $ A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot A^{prime}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right) $
Ответ. $ A^{-1}=left( begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {-1} & {1}end{array}right) $
Нахождение обратной матрицы с помощью союзной матрицы
Определение
Матрица $ tilde{A} $ называется lt strong>союзной lt /strong> к квадратной матрице $A$ ,
если элементы матрицы $ tilde{A} $ равны
алгебраическим дополнениям соответствующих
элементов матрицы $A$ .
$$ A=left( begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right) Rightarrow tilde{A}=left( begin{array}{ccc}{A_{11}} & {A_{12}} & {A_{13}} \ {A_{21}} & {A_{22}} & {A_{23}} \ {A_{31}} & {A_{32}} & {A_{33}}end{array}right) $$
Имеет место следующее свойство: $ A cdot widetilde{A}^{T}=|A| cdot E $
Тогда, если $ |A| neq 0 $ , то
$ A cdot tilde{A}^{T} cdot frac{1}{|A|}=E $ , а тогда
$ A^{-1}=frac{1}{|A|} cdot tilde{A}^{T} $
Таким образом, матрица имеет союзную тогда и только тогда, когда она
невырожденная.
Пример
Задание. Найти обратную матрицу к матрице $ A=left( begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right) $
Решение. Вычисляем определитель матрицы:
$$ Delta=left| begin{array}{rrr}{1} & {0} & {2} \ {2} & {-1} & {1} \ {1} & {3} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1) cdot(-1)+2 cdot 3 cdot 2+0 cdot 1 cdot 1- $$
$$ -1 cdot(-1) cdot 2-3 cdot 1 cdot 1-2 cdot 0 cdot(-1)=1+12+0+2-3+0=12 neq 0 $$
Так как определитель не равен нулю, то матрица имеет обратную.
Обратная матрица $A^{-1}$ к матрице
$A$ находится по формуле:
$$ A^{-1}=frac{1}{Delta} cdot widetilde{A}^{T} $$
Найдем союзную матрицу $ tilde{A} $ , для этого вычислим алгебраические
дополнения к элементам матрицы $A$ :
$$ A_{11}=(-1)^{1+1} left| begin{array}{rr}{-1} & {1} \ {3} & {-1}end{array}right|=(-1) cdot(-1)-3 cdot 1=1-3=-2 $$
$$ A_{12}=(-1)^{1+2} left| begin{array}{rr}{2} & {1} \ {1} & {-1}end{array}right|=-[2 cdot(-1)-1 cdot 1]=-(-2-1)=3 $$
$$ A_{13}=(-1)^{1+3} left| begin{array}{rr}{2} & {-1} \ {1} & {3}end{array}right|=2 cdot 3-1 cdot(-1)=6+1=7 $$
$$ A_{21}=(-1)^{2+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {3} & {-1}end{array}right|=-[0 cdot(-1)-3 cdot 2]=-(0-6)=6 $$
$$ A_{22}=(-1)^{2+2} left| begin{array}{rr}{1} & {2} \ {1} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-1 cdot 2=-1-2=-3 $$
$$ A_{23}=(-1)^{2+3} left| begin{array}{cc}{1} & {0} \ {1} & {3}end{array}right|=-[1 cdot 3-1 cdot 0]=-(3-0)=-3 $$
$$ A_{31}=(-1)^{3+1} left| begin{array}{rr}{0} & {2} \ {-1} & {1}end{array}right|=0 cdot 1-(-1) cdot 2=0+2=2 $$
$$ A_{32}=(-1)^{3+2} left| begin{array}{cc}{1} & {2} \ {2} & {1}end{array}right|=-[1 cdot 1-2 cdot 2]=-(1-4)=3 $$
$$ A_{33}=(-1)^{3+3} left| begin{array}{rr}{1} & {0} \ {2} & {-1}end{array}right|=1 cdot(-1)-2 cdot 0=-1-0=-1 $$
Таким образом, $ tilde{A}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {3} & {7} \ {6} & {-3} & {-3} \ {2} & {3} & {-1}end{array}right) $
Транспонируем эту матрицу (т.е. строки матрицы делаем столбцами с тем же номером):
$$ widetilde{A}^{T}=left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right) $$
Итак, $ A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right) $
Ответ. $ A^{-1}=frac{1}{12} left( begin{array}{rrr}{-2} & {6} & {2} \ {3} & {-3} & {3} \ {7} & {-3} & {-1}end{array}right) $
Читать дальше: линейно зависимые и линейно независимые строки.