Как найти обратную матрицу уравнения

Матрица
называется обратнойк квадратной матрице,
если

,

где
— единичная матрица, имеющая тот же
порядок, что и матрица. Обратная
матрица существует только в том случае,
если,
и ее элементы находятся по формуле

,

где
— алгебраическое дополнение к элементу.

Внимание! Алгебраические дополнения
вычисляются к элементам строки, а
записываются в столбец.

Если
,
то матрицаназываетсявырожденной,
в противном случаеневырожденной,т.е. обратная матрица существует только
для невырожденных матриц.

Обозначается обратная матрица
,
т.е.

,

при этом ее определитель
.

Для невырожденных матриц
ивыполнены соотношения

,

.

Введение обратной матрицы позволяет
решать матричные уравнения. В конечном
счете, матричные уравнения сводятся к
двум простейшим уравнениям:

или.

Если матрица
— квадратная, невырожденная, то эти
уравнения имеют единственное решение,
которое можно получить с помощью обратной
матрицы. Так как при умножении матриц
коммутативный закон не выполняется,
указанные уравнения имеют различные
решения.

При поиске решения первое из уравнений
надо умножать на обратную матрицу
слева, а второе справа, т.е.

,
(5)

.
(6)

►Пример 5. Найти решение матричного
уравнения,
то есть определить матрицу,
если;.

Решение.

Решение в матричном виде определяется
формулой (5), т.е.
,
если матрицаневырожденная. Вычислим определитель
матрицы:

.

Следовательно, матрица
невырожденная, и для нее существует
обратная матрица. Проведем вычисления,
необходимые для построения обратной
матрицы. Вычислим алгебраические
дополнения:

Составим обратную матрицу
и
найдем неизвестную матрицу.

,.
◄

При вычислениях множитель
лучше оставлять перед матрицей и
проводить умножение полученной матрицы
на него на последнем этапе вычислений.

Упражнения.

1. Для заданных матриц найти обратную
матрицу:

а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.

Ответы:

а)
;
б) ; в)
;
г)
;

д)
.

2. Найти неизвестную матрицу из уравнений:

а)
;
б);
в);

г)
;
д).

Ответы: а);
б);
в);
г);
д).

4. Ранг матрицы

Рангомматрицы(обозначение:)
называетсяпорядок отличного от
нуля минора этой матрицы при условии,
что все ее миноры более высоких порядков
равны нулю. Минор наивысшего порядка,
отличный от нуля, называетсябазисным
миноромили просто базисом.
Матрица может иметь несколько различных
базисов. Для определения базиса над
матрицей производятэлементарные
преобразования, при которых ранг
матрицы не изменяется.

К элементарным
преобразованиямматрицы относятся:

— транспонирование;

— удаление или добавление строки
(столбца), состоящей из нулей;

— умножение строки (столбца) на число,
отличное от нуля;

— перестановка строк (столбцов);

-прибавление к элементам какой-либо
строки элементов другой строки,
умноженных на постоянное число (то же
самое для столбцов).

Выполняя элементарные преобразования
над матрицей, получаем другую матрицу,
называемую эквивалентной.
Переход от исходной матрицы к эквивалентной
будем обозначать символом.

Используя выше перечисленные действия,
матрицу можно преобразовать к треугольному
виду, что позволяет легко определить
ее ранг.

►Пример 7.Найти ранг матрицы.

Решение.

Преобразуем матрицу:

Минор
,
а все миноры четвертого порядка равны
нулю, т.к. содержат нулевую строку.
Следовательно,.
◄

При преобразовании матрицы мы проводили
операции только со строками и по
определенному алгоритму. Этот метод
стандартный, но не является обязательным.

Упражнения.

1. Найти ранг матриц:

а);
б);

в);
г).Ответы:а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Как найти обратную матрицу

1. Быстрый способ для матриц $2 times 2$
   1. Пример 1
   2. Пример 2
2. Нахождение с помощью метода Гаусса
   1. Пример 3
   2. Пример 4
3. Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)
   1. Пример 5

Обратная матрица обозначается $ A^{-1} $ и существует только для матриц, у которых определитель не равен нулю $ det A neq 0 $.

Быстрый способ для матриц $2 times 2$

Пусть задана матрица $A = begin{pmatrix} a&b\c&d end{pmatrix}$. Для быстрого способа нахождения обратной матрицы необходимо поменять местами элементы стоящие на главной диагонали, а для оставшихся элементов поменять знак на противоположный. Затем каждый элемент разделить матрицы разделить на определитель исходной матрицы. Математическая формула выглядит следующим образом $$A^{-1} = frac{1}{det A} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix} = frac{1}{ad-bc} begin{pmatrix} d&-b \ -c&a end{pmatrix}.$$ 

Нахождение с помощью метода Гаусса

На практике чаще всего метод Гаусса используется как способ нахождения обратной матрицы. Суть метода в том, что к основной матрице добавляется дополнительная единичная матрица с такой же размерностью.

$$ Bigg (begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{matrix} Bigg | begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg ) $$

Далее нужно путем простейших элементарных преобразований привести левую матрицу к единичной, а одновременно с ней справа получится обратная матрица:

$$ Bigg (begin{matrix} 1&0&0\0&1&0\0&0&1 end{matrix} Bigg | begin{matrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{matrix} Bigg ) $$

$$A^{-1} = begin{pmatrix} b_{11}&b_{12}&b_{13}\b_{21}&b_{22}&b_{23}\b_{31}&b_{32}&b_{33} end{pmatrix}$$

Метод союзной матрицы(алгебраические дополнения)

Формула нахождения обратной матрицы через алгебраические дополнения выглядит следующим образом

$$A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T. $$

Матрица $A^*$ называется союзной (присоединенной) матрицей и представляет собой набор алгебраических дополнений матрицы $ A $:

$$ A^* = begin{pmatrix} A_{11}&A_{12}&A_{13}\A_{21}&A_{22}&A_{23}\A_{31}&A_{22}&A_{33} end{pmatrix}, text{ где } A_{ij}=(-1)^{i+j} M_{ij} $$

$M_{ij} $ называется минором матрицы, который получается путем вычеркивания $ i $-ой строки и $ j $-того столбца из матрицы.

Пример 5

Найти обратную матрицу методом алгебраических дополнений $$ A = begin{pmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{pmatrix} $$

Решение

Итак, пользуемся формулой $ A^{-1} = frac{1}{|A|} (A^*)^T $ Первым делом вычисляем определитель матрицы $ A $, так как необходимым условием существование обратной матрицы является неравенство его к нулю: $$ |A| = begin{vmatrix} 3&1&2\-1&3&-2\0&-1&4 end{vmatrix} = 36 + 0 + 2 — 0 — 6 + 4 = 36 neq 0 $$ Находим алгебраические дополнения матрицы $ A $. Для этого удаляем все элементы стоящие в i-ой строке и в j-ом столбце. Оставшиеся элементы матрицы переписываем в определитель и проводим его вычисление. Вычеркиваем первую строку и первый столбец: $$ A_{11} = (-1)^{1+1} cdot begin{vmatrix} 3&-2\-1&4 end{vmatrix} = 12 — 2 = 10 $$ Убираем первую строку и второй столбец: $$ A_{12} = (-1)^{1+2} cdot begin{vmatrix} -1&-2\0&4 end{vmatrix} = -(-4 — 0) = 4 $$ Оставшиеся алгебраические дополнения находим по аналогии с предыдущими двумя. $$ A_{13} = (-1)^{1+3} cdot begin{vmatrix} -1&3\0&-1 end{vmatrix} = 1 — 0 = 1 $$ $$ A_{21} = (-1)^{2+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\-1&4 end{vmatrix} = -(4 + 2) = -6 $$ $$ A_{22} = (-1)^{2+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\0&4 end{vmatrix} = 12 — 0 = 12 $$ $$ A_{23} = (-1)^{2+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\0&-1 end{vmatrix} = -(-3 — 0) = 3 $$ $$ A_{31} = (-1)^{3+1} cdot begin{vmatrix} 1&2\3&-2 end{vmatrix} = -2 — 6 = -8 $$ $$ A_{32} = (-1)^{3+2} cdot begin{vmatrix} 3&2\-1&-2 end{vmatrix} = -(-6 + 2) = 4 $$ $$ A_{33} = (-1)^{3+3} cdot begin{vmatrix} 3&1\-1&3 end{vmatrix} = 9+1 = 10 $$ Составляем союзную (присоединенную) матрицу $ A^* $ из алгебраических дополнений: $$ A^* = begin{pmatrix} 10&4&1\-6&12&3\-8&4&10 end{pmatrix}. $$ Транспонируем её и обозначаем $ (A^*)^T $: $$ (A^*)^T = begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ В итоге находим обратную матрицу $ A^{-1} $: $$ A^{-1} = frac{1}{36} begin{pmatrix} 10&-6&-8\4&12&4\1&3&10 end{pmatrix} $$ Делим каждый элемент матрицы на 36 и получаем следующее: $$begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}.$$

Ответ

$$A^{-1} =begin{pmatrix} frac{5}{18}&-frac{1}{6}&-frac{2}{9}\ frac{1}{9}&frac{1}{3}&frac{1}{9}\frac{1}{36}&frac{1}{12}&frac{5}{18} end{pmatrix}$$

Содержание:

Теоремы существования и единственности обратной матрицы:

Рассмотрим квадратную матрицу:

Определение 4.1.1. Матрица, которая в результате умножения на матрицу А, равна единичной матрице Е, называется обратной А и обозначается

.

Отметим, что если А и В квадратные матрицы одного порядка, то определитель произведения матриц равен произведению

определителей множителей

Теорема 4.1.1. (теорема существования). Для существования обратной матрицы необходимо и достаточно, чтобы матрица А была невырожденной, т. е. чтобы .

Доказательство. Необходимость. Пусть обратная матрица существует. Докажем, что .

Так как обратная матрица существует, то и .Поскольку правая часть не равна нулю, то ни один из множителей левой части не может быть равен нулю. Следовательно , что означает, что матрица A невырожденная.

Достаточность. Пусть , докажем, что обратная матрица существует.

Вычислим алгебраические дополнения каждого элемента в определителе D(A). Из полученных алгебраических дополнений построим матрицу:

Матрица С называется союзной, или присоединенной, по отношению к матрице А, причем в i-й строке союзной матрицы С стоят алгебраические дополнения элементов i-го столбца матрицы А. Составим произведение матриц С и А, тогда элемент произведения, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен

. На основании теоремы разложения сумма произведений элементов определителя на их алгебраические дополнения равна величине определителя. А сумма парных произведений какого-нибудь ряда определителя на алгебраические дополнения параллельного ряда равна нулю (см. теорему аннулирования). Значит, все недиагональные элементы матрицы АС равны нулю, а диагональные равны D(A), следовательно:

(4.1.1)

Так как , то равенство (4.1.1) можно умножить на скаляр . Получим:

Тогда матрица будет обратной для матрицы А. Теорема доказана.

Сформулируем алгоритм нахождения обратной матрицы:.

1. Вычислите определитель исходной квадратной матрицы
2. Если определитель равен нулю, то исходная матрица не имеет обратной; если определитель не равен нулю, то переходите ко второму шагу.
3. Вычислите алгебраические дополнения элементов определителя исходной матрицы.
4. Составьте присоединенную матрицу С, записав алгебраические дополнения элементов строк в столбцы.
5. Умножьте элементы присоединенной матрицы на обратную величину определителя исходной матрицы, тем самым постройте обратную матрицу .
6. Выполните проверку, т. е. рассмотрите произведение или . Должны получить единичную матрицу.

Этот алгоритм можно представить в виде следующей схемы:

Теорема 4.1.2. (теорема единственности). Для каждой неособенной матрицы А существует единственная обратная матрица.

Доказательство. Допустим, что наряду с обратной матрицей существует другая обратная матрица . Тогда по определению . Умножая обе части этого равенства слева на , получим .

Поскольку , то, а это значит, что . Теорема доказана.

Вычислив определители левой и правой частей равенства , получим , следовательно то есть определители матриц взаимно обратные.

Замечание. Формула позволяет найти явные выражения для элементов обратной матрицы через элементы матрицы А (см. алгоритм 1). Однако построение союзной матрицы очень трудоемкая операция при больших размерностях матриц. Поэтому доказанная формула, в большей мере, важна в теоретическом отношении.

Свойства обратной матрицы. Подобная матрица

Укажем некоторые свойства обратной матрицы:

1. Обратная матрица является невырожденной, т.е. .
2. Обратной матрице будет матрица .
3. Обратная к транспонированной матрице равна транспонированной обратной матрице: .
4. Если матрица А симметрическая, то такой же будет обратная матрица: .
5. Матрица, обратная к произведению матриц, равна произведению обратных матриц, взятых в обратном порядке при условии, что обратные матрицы существуют: .
6. Если А такова, что обратная к ней матрица равна транспонированной матрице А, то говорят, что А — ортогональная матрица и .
7. Обратная для блочной квазидиагональной матрицы равна квазидиагональной матрице, состоящей из обратных матриц диагональных клеток:

Понятие обратной матрицы позволяет ввести следующее определение:

Определение 4.2.1. Квадратная матрица А называется подобной матрице В, если существует невырожденная матрица Т, для

которой выполняется равенство .

Говорят, что матрица А трансформируется в матрицу В при помощи матрицы Т.

Отношение подобия обладает тремя основными свойствами:

• а) рефлексивности: А подобна А;
• б) симметричности: если А подобна В, то и В подобна А;
• в) транзитивности: если А подобна В и В подобна С, то и А подобна С.

Приложения обратной матрицы в экономических исследованиях

Применение обратных матриц в экономических исследованиях столь многочисленно и разнообразно, что мы приведём отдельные примеры использования обратной матрицы в экономических исследованиях.

Пример:

Предположим, что затраты времени оборудования при выпуске изделий пропорциональны количеству готовых изделий и пусть известна квадратная матрица Т норм затрат времени оборудования на различные изделия на различных типах оборудования. Если задана матрица-столбец А затрат времени на различных типах оборудования, необходимое для выполнения производственной профаммы, то определение возможного выпуска готовых изделий X осуществляется с использованием обратной матрицы :

• 

Валовой выпуск продукции X также можно определить, зная матрицу Z норм затрат рабочего времени рабочих различных категорий и фонд рабочего времени F по категориям рабочих, вычислив произведение обратной матрицы на F, т.е. .

Пример:

Рассмотрим четырёхсскторнос описание экономики, в котором выделены две отрасли: сельское хозяйство и промышленность, один первичный фактор производства — труд и государственный сектор, который потребляет продукцию обеих отраслей и использует труд. Государственный сектор ничего не производит для экономики и его потребление представляет собой конечный спрос на товары, производимые в этих секторах. В процессе производства каждая отрасль потребляет некоторое количество продукции другой, отрасли, а также труд; рабочая сила нуждается в продукции обеих отраслей и, наряду с этим, в затратах труда для своего воспроизводства. Трудовые ресурсы могут быть свободно импортированы и экспортированы, таким образом, никогда не может быть безработицы или излишнего спроса на труд. Основной капитал и запасы продукции поддерживаются на одном и том же уровне в течение всего периода. Наблюдая за потоками продукции между четырьмя секторами экономики составим таблицу «затраты-выпуск», табл.4.3.1.

Таблица 4.3.1

Сумма показателей в строках даёт общий выпуск каждой отрасли и суммарное число занятых. Суммы показателей по столбцам показывают затраты данного сектора, необходимые для производства всего объёма продукции. Следовательно, каждый столбец описывает производственную функцию данного сектора. Так, например, первый столбец характеризует основной производственный процесс, который в текущем периоде применяется в сельском хозяйстве. Для производства 520 т продукции сельского хозяйства требуется 120 т сельскохозяйственной продукции, 200 машин и 160 работников. Определим валовой выпуск продукции для конечного спроса, определяемого матрицей-столбцом: .

Решение:

Пусть — валовой выпуск продукции i,i=1,2,3; а -конечный спрос на продукцию /. Валовой выпуск каждого вида продукции должен быть равен сумме продукции, использованной при производстве всех видов продукции, плюс конечный спрос на эту же продукцию:

где— количество продукции i, используемое при производстве единицы продукции j. В матричном обозначении получим:

X = AX + Y, (4.3.1)

где X, Y- матрицы столбцы, а А- матрица коэффициентов прямых затрат. Все её элементы неотрицательны.

Воспользовавшись алгебраическими операциями над матрицами, перепишем уравнение (4.3.1) в виде: EX — АХ = Y, (E-A)X = Y. Умножив последнее матричное уравнение слева на обратную матрицу получаем матричное уравнение для определения матрицы-столбца валового выпуска продукции:

. (4.3.2)

Следовательно, для определения валового выпуска продукции X в новом периоде нам нужно последовательно определить элементы матрицы А, Е-А и обратной матрицы . Элементы матрицы А определим воспользовавшись предположением о пропорциональной зависимости между затратами и объёмами производства, т.е. линейными однородными функциями производственных затрат: . Тогда элементы матрицы А определим из разноств: Выполнив вычисления (разделив элементы первого столбца таблицы 4.3.1 на 520, второго — на 640, третьего — на 490), получаем матрицу А:

Далее вычисляем элементы матрицы Е-А:

вычисляем определитель

и алгебраические дополнения элементов матрицы (Е-А):

Составляем из алгебраических дополнений присоединённую матрицу С:

и вычисляем элементы обратной матрицы :

Тогда в силу (4.3) находим валовой выпуск продукции:

Таким образом, для удовлетворения новых показателей спроса необходимо будет произвести приблизительно 1042 т продукции сельского хозяйства, 1280 машин и нанять 1119 работников.

Особенности матриц в ценностном и натуральном выражении

Матрица коэффициентов прямых материальных затрат А, рассмотренная нами в примере предыдущего пункта, относится к классу неотрицательных матриц, так как матрица-столбец должна быть неотрицательна.

Определение 4.4.1. Если решение системы (4.3.1) сществует для любой неотрицательной матрицы Y конечного спроса, то матрица А называется продуктивной.

Поэтому элементы матрицы А не могут принимать произвольные положительные значения. Все диагональные элементы матрицы А должны быть меньше единицы. В противном случае производство лишается всякого смысла (если , то ). Произведение коэффициентов, симметричных относительно главной диагонали, должно быть также меньше единицы: . Указанные ограничения на значения элементов матрицы А не зависят от единиц измерения. Однако в общем случае выбор единиц измерения существенно влияет на анализ свойств матриц межотраслевого баланса. Для матриц межотраслевого баланса в ценностном выражении обычно выполняются условия • Если же для некоторой k-и отрасли , то экономически это означает, что данная отрасль настолько убыточна, что её убытки перекрывают расходы на амортизацию и оплату труда.

Так как норму матрицы А можно определить по формуле

, то при условии что норма матрицы А меньше единицы, т.е. .

Если норма матрицы А меньше единицы, то

Отметим, что в матрицах межотраслевого баланса в натуральном выражении условия , практически никогда не выполняются. Более того, многие элементы этих матриц больше единицы. Однако можно подобрать такие новые измерители (матрицу T), что для подобной матрицы будет выполняться и следствия из него.

Подобные матрицы имеют равные по величине собственные значения и главные миноры;

Для продуктивности матрицы А необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из приведенных ниже условий:

1. Все главные миноры матрицы (Е — А) положительны и меньше единицы.
2. Все собственные значения матрицы А по модулю меньше единицы.
3. Матрица полуположительна.

Условие является достаточным для продуктивностн матрицы А.

Матрица называется матрицей коэффициентов полных затрат, а её элементы- коэффициентами полных затрат. Они показывают, какой должен быть валовой выпуск i-Й отрасли для того, чтобы обеспечить выпуск единицы конечного продукта j-й отрасли.

Коэффициенты полных затрат не меньше коэффициентов прямых затрат: так как они характеризуют совокупность прямых и косвенных затрат.

Вернёмся к примеру 1.12 и проанализируем матрицы коэффициентов прямых затрат А и полных затрат :

Элементы матрицы А удовлетворяют условиям:

4) норма матрицы

Значит матрица А является продуктивной и для неё существует обратная матрица , называемая матрицей полных затрат.

Из вида матрицы В следует, что все коэффициенты полных затрат . Например, элементы первого столбца матрицы В показывают, что для того чтобы произвести единицу конечной продукции сельского хозяйства нужно произвести 2,222 единиц сельского хозяйства, 1,766 единиц промышленности и занять 1,845 работников.

Определение обратной матрицы

Рассмотрим квадратную матрицу

Обозначим

Квадратная матрица А называется невырожденной, или неособенной, если ее определитель отличен от нуля, и вырожденной, или особенной, если

Квадратная матрица В называется обратной для квадратной матрицы А того же порядка, если их произведение — единичная матрица того же порядка, что и матрицы А и В.

Теорема. Для того, чтобы матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы ее определитель был отличен от нуля.

Матрица, обратная матрице А, обозначается через так что

Обратная матрица вычисляется по формуле где — алгебраические дополнения элементов

Вычисление обратной матрицы по формуле (4.5) для матриц высокого порядка очень трудоемко, поэтому на практике бывает удобно находить обратную матрицу с помощью метода элементарных преобразований (ЭП). Любую неособенную матрицу А путем ЭП только столбцов (или только строк) можно привести к единичной матрице Е. Если совершенные над матрицей А ЭП в том же порядке применить к единичной матрице Е, то в результате получится обратная матрица. Удобно совершать ЭП над матрицами А и Е одновременно, записывая обе матрицы рядом через черту. Отметим еще раз, что при отыскании канонического вида матрицы с целью нахождения ее ранга можно пользоваться преобразованиями строк и столбцов. Если нужно найти обратную матрицу, в процессе преобразований следует использовать только строки или только столбцы.

• Заказать решение задач по высшей математике

Пример:

Для матрицы найти обратную.

Решение:

Находим сначала детерминант матрицы А:

значит, обратная матрица существует и мы ее можем найти по формуле: — алгебраические дополнения элементов исходной матрицы. откуда

Пример:

Методом элементарных преобразований найти обратную матрицу для матрицы:

Решение:

Приписываем к исходной матрице справа единичную матрицу того же порядка:

С помощью элементарных преобразований столбцов приведем левую “половину” к единичной, совершая одновременно точно такие преобразования над правой матрицей. Для этого поменяем местами первый и второй столбцы:

К третьему столбцу прибавим первый, а ко второму — первый, умноженный на -2:

Из первого столбца вычтем удвоенный второй, а из третьего — умноженный на 6 второй;

Прибавим третий столбец к первому и второму:

Умножим последний столбец на -1:

Полученная справа от вертикальной черты квадратная матрица является обратной к данной матрице А. Итак,

Что такое обратная матрица и как её решать

Квадратная матрица, у которой все элементы вне главной диагонали равны нулю, называется диагональной.

Диагональная матрица, элементы которой равны единице, называется единичной матрицей. Обозначение: Е.

Пусть А — квадратная матрица порядка n. Матрица называется обратной к А, если выполнены равенства

где Е — единичная матрица порядка n.

Внимание! Обратная матрица существует только для невырожденной квадратной матрицы.

Квадратная матрица, определитель которой отличен от нуля, называется невырожденной. В противном случае матрица называется вырожденной.

Теорема:

Для невырожденной матрицы существует единственная обратная матрица

где — алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Пример:

Найти матрицу X из матричного уравнения АХ=В, где

Решение:

Умножим уравнение АХ=В на слева:

Найдем Обратная матрица к А существует, т.к. матрица А невырожденная:

Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

Произведение матриц существует, т.к. количество столбцов матрицы А равно количеству строк матрицы В и равно 3. Найдем его:

Матрица BB является обратной матрицей к квадратной матрице AA, если AB=BA=EAB = BA = E.
Из определения можно понять, что обратная матрица BB будет квадратной матрицей аналогичного порядка, какой имеет матрица AA (иначе какое-либо из произведений ABAB или BABA будет не определено).
Обратная матрица для исходной матрицы AA определяется так: A−1A^{-1}. Можно утверждать, что если A−1A^{-1} существует, то AA−1=A−1A=EAA^{-1} = A^{-1} A= E.
Также легко видеть, что (A−1)−1=A(A^{-1})^{-1} = A.

Если детерминант матрицы является нулем, то обратную к ней матрицу нельзя получить.

Онлайн-калькулятор

Квадратную матрицу AA можно назвать вырожденной матрицей тогда, когда определитель матрицы AA равен нулю, и невырожденной, если определитель не равен нулю.

Важно

В том случае, если обратная матрица может существовать, то она будет единственной.

Формула для вычисления обратной матрицы

Обратную матрицу A−1A^{-1} к матрице AA можно найти по формуле:

A−1=1det⁡A⋅A∗A^{-1}=frac{1}{det A}cdot A^*

det⁡Adet A — определитель матрицы A,A,

A∗A^* — транспонированая матрица алгебраических дополнений к матрице A.A.

Задача 1

Нужно найти обратную матрицу для следующей матрицы:

A=(1−20 342 −131)A = begin{pmatrix}
1& -2 & 0\
3 & 4 & 2\
-1& 3& 1 \
end{pmatrix}

Решение

Вычислим детерминант:

det⁡A=∣1−20342−131∣=1∣4231∣−(−2)∣32−11∣+0∣34−13∣=8det A = begin{vmatrix}
1 & -2 & 0 \
3 & 4 & 2 \
-1 & 3 & 1 \
end{vmatrix} = 1 begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} — (-2) begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} +0 begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 8

Так как det⁡A≠0det A neq 0, то матрица – невырожденная, и обратная для нее существует.

Посчитаем алгебраические дополнение:

A11=(−1)1+1∣4231∣=−2,A_{11} = (-1)^{1+1} begin{vmatrix}
4 & 2 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = -2,

A12=(−1)1+2∣32−11∣=−5,A_{12} = (-1)^{1+2} begin{vmatrix}
3 & 2 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = -5,

A13=(−1)1+3∣34−13∣=13A_{13} = (-1)^{1+3} begin{vmatrix}
3 & 4 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = 13,

A21=(−1)2+1∣−2031∣=2A_{21} = (-1)^{2+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
3 & 1 \
end{vmatrix} = 2,

A22=(−1)2+2∣10−11∣=1A_{22} = (-1)^{2+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
-1 & 1 \
end{vmatrix} = 1,

A23=(−1)2+3∣1−2−13∣=−1A_{23} = (-1)^{2+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
-1 & 3 \
end{vmatrix} = -1,

A31=(−1)3+1∣−2042∣=−4A_{31} = (-1)^{3+1} begin{vmatrix}
-2 & 0 \
4 & 2 \
end{vmatrix} = -4,

A32=(−1)3+2∣1032∣=−2A_{32} = (-1)^{3+2} begin{vmatrix}
1 & 0 \
3 & 2 \
end{vmatrix} = -2,

A33=(−1)3+3∣1−234∣=10.A_{33} = (-1)^{3+3} begin{vmatrix}
1 & -2 \
3 & 4 \
end{vmatrix} = 10.

Обратная матрица:

A−1=18(−22−4−51−213−110)A^{-1} = frac{1}{8} begin{pmatrix}
-2 & 2 & -4 \
-5 & 1 & -2 \
13 & -1 & 10 \
end{pmatrix}

Важно

Чтобы избежать ошибок, необходимо сделать проверку: для этого нужно посчитать произведение первоначальной матрицы на конечную. Если в результате получится единичная матрица, то вы нашли обратную матрицу безошибочно.

Задача 2

Найдите обратную матрицу для матрицы:

A=(13−25)A = begin{pmatrix}
1 & 3\
-2 & 5 \
end{pmatrix}

Решение

det⁡A=11≠0→A−1det A= 11 neq 0 rightarrow A^{-1} – существует.

A11=(−1)1+1⋅5=5A_{11} = (-1)^ {1+1} cdot 5 = 5,

A12=(−1)1+2⋅(−2)=2A_{12} = (-1)^ {1+2} cdot (-2) = 2,

A21=(−1)2+1⋅3=−3A_{21} = (-1)^ {2+1} cdot 3 = -3,

A22=(−1)2+2⋅1=1.A_{22} = (-1)^ {2+2} cdot 1 = 1.

Ответ:

A−1=111(5−321)A^{-1} = frac{1}{11} begin{pmatrix}
5 & -3 \
2 & 1 \
end{pmatrix}

Нами был рассмотрен способ нахождения матрицы с помощью алгебраических дополнений. Существует еще один способ, который называется методом элементарных преобразований.

Метод элементарных преобразований

Метод основан на элементарных преобразованиях матриц, под которыми будем понимать такие преобразования, в результате которых сохраняется эквивалентность матриц:

1. перестановка местами любых двух рядов (строк или столбцов) матрицы;
2. умножение любого ряда матрицы (строки или столбца) на некоторое число, отличное от нуля;
3. прибавление к любому ряду (строке или столбцу) матрицы другого ряда (строки или столбца), умноженного на некоторое число, отличное от нуля.

Рассмотрим алгоритм нахождения обратной матрицы данным методом.

Алгоритм нахождения обратной матрицы методом элементарных преобразований

1. Из исходной матрицы AA и единичной матрицы EE того же порядка составить расширенную матрицу, т.е. матрицу вида (A∣E)begin{pmatrix}A|Eend{pmatrix}.
2. С помощью элементарных преобразований над строками расширенной матрицы получить единичную матрицу слева от черты: (E∣A−1)begin{pmatrix}E|A^{-1}end{pmatrix}.
3. Выписать обратную матрицу, которая находится справа от черты.

Задача 1

Найти матрицу K−1K^{-1}, если K=(1301)K=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}.

Из матрицы KK второго порядка и единичной матрицы второго порядка составим расширенную матрицу:

(1301∣1001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №3, умноженную на -3:

(1301∣1001)∼(1001∣1−301)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&3\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0\0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-3\0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

K−1=(1−301)K^{-1}=begin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

K⋅K−1=(1301)⋅(1−301)=(1⋅1+3⋅01⋅(−3)+3⋅10⋅1+1⋅00⋅(−3)+1⋅1)=(1001)Kcdot K^{-1}=begin{pmatrix}1&3\0&1end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-3\0&1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1cdot1+3cdot0&1cdot(-3)+3cdot1\0cdot1+1cdot0&0cdot(-3)+1cdot1end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0\0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Задача 2

Найти матрицу F−1F^{-1}, если F=(110010033)F=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}.

Из матрицы FF третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка составим расширенную матрицу:

(110010033∣100010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Произведем элементарные преобразования расширенной матрицы.

Прибавим к строке №1 строку №2, умноженную на -1:

(110010033∣100010001)∼(100010033∣1−10010001)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}.

Прибавим к строке №3 строку №2, умноженную на -3:

(100010033∣1−10010001)∼(100010003∣1−100100−31)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&3&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}.

Умножим строку №3 на 13frac{1}{3}:

(100010003∣1−100100−31)∼(100010001∣1−100100−113)begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&3end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-3&1end{matrix}end{pmatrix}sim begin{pmatrix}left.begin{matrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{matrix}right|begin{matrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{matrix}end{pmatrix}.

Слева получили единичную матрицу.

Выпишем обратную матрицу:

F−1=(1−100100−113)F^{-1}=begin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}.

Сделаем проверку, чтобы убедиться в том, что найденная матрица действительно является обратной.

F⋅F−1=(110010033)⋅(1−100100−113)=(100010001)Fcdot F^{-1}=begin{pmatrix}1&1&0\0&1&0\0&3&3end{pmatrix}cdotbegin{pmatrix}1&-1&0\0&1&0\0&-1&frac{1}{3}end{pmatrix}=begin{pmatrix}1&0&0\0&1&0\0&0&1end{pmatrix}.

Значит, обратная матрица найдена правильно.

Выполнение контрольных работ на заказ недорого от профильных авторов на бирже Студворк!