Взаимно обратные числа
- Как находить обратные числа
Взаимно обратные числа — это два числа, произведение которых равно единице:
Обратное число к данному числу — это число, умножение которого на данное число, даёт в результате единицу. Так, если числа p и q взаимно обратные, то можно сказать, что число p — это число, обратное числу q, а число q — это число, обратное числу p:
p · q = 1.
Как находить обратные числа
Если взять обыкновенную дробь и перевернуть
её, т. е. поменять местами числитель со знаменателем, то мы получим дробь обратную данной.
Возьмём дробь 
и перевернём
её, получится дробь 
:
Проверить, правильно ли найдено обратное число к данному можно с помощью умножения:
Теперь рассмотрим, как найти число, обратное натуральному числу: возьмём к примеру число 15, представим его в виде дроби 
, затем «перевернём» эту дробь, получится дробь 
.
Из сказанного следует, что:
Число, обратное данному натуральному числу, получается от деления единицы на это натуральное число.
Чтобы найти число обратное смешанному числу нужно:
- Представить его в виде неправильной дроби.
Перевернуть
полученную дробь.
Найдём обратное число для 
:
Проверяем:
Обратное число для десятичной дроби находится точно так же, как и для смешанного числа:
Проверяем:
Для единицы обратным числом является сама единица, так как:
1 · 1 = 1.
Для нуля не существует обратного числа, так как невозможно умножить нуль на какое-то число и получить единицу.
Таким образом, для любого числа, кроме нуля, существует обратное число.
Что такое обратное число?
Как вы помните, если некое число умножить на число, обратное ему, то получится 1. Из основ арифметики мы знаем следующее:
- Числом, обратным к числу A, называется такое число 1/A, что A * 1/A = 1 (то есть, к примеру, для числа 5 обратным будет 1/5).
- У каждого вещественного числа, кроме 0, есть обратное.
- Умножение на число, обратное A, эквивалентно делению на A (то есть, к примеру, 10/5 — это то же, что 10* 1/5).
Что такое обратное число по модулю?
В модульной арифметике нет операции деления, но есть обратные числа.
-
Число, обратное A (mod C), обозначается A^-1.
-
(A * A^-1) ≡ 1 (mod C) , или, что то же самое, (A * A^-1) mod C = 1.
-
Только у чисел, взаимно простых с C (то есть у тех, у которых нет с C общих простых делителей), есть обратные (mod C)
Как найти обратное число по модулю
Самый
простой метод
нахождения обратного числа к A (mod C) выглядит следующим образом:
Шаг 1. Вычисляем A * B mod C для всех B от 0 до C-1.
Шаг 2. Обратным числом для A mod C будет являться такое B, для которого A * B mod C = 1
Обратите внимание, что B mod C может принимать значения от 0 до C-1, поэтому нет смысла проверять числа, бо́льшие чем B.
Пример: A=3, C=7
Шаг 1. Вычисляем A * B mod C для значений B от 0 до C-1
3 * 5 ≡ 15 (mod 7) ≡
1
(mod 7) <—— ОБРАТНОЕ НАЙДЕНО!
3 * 6 ≡ 18 (mod 7) ≡ 4 (mod 7)
Шаг 2. Обратным значением для A mod C является такое B, при котором A * B mod C = 1
5 — это обратное значение для 3 mod 7, поскольку 5*3 mod 7 = 1.
Давайте рассмотрим другой пример, где обратного значения нет.
Пример: A=2, C=6
Шаг 1. Вычисляем A * B mod C для всех B от 0 до C-1**
Шаг 2. Обратным значением для A mod C является такое B, при котором A * B mod C = 1
Таких значений B, при которых A * B mod C = 1, не существует. Следовательно, у числа A нет обратного значения (mod 6).
Всё дело в том, что числа 2 и 6 не являются взаимно простыми (у них есть общий простой делитель 2).
Кажется, что этот метод слишком медленный…
Есть более быстрый способ нахождения обратного значения для A (mod C), который мы и обсудим в следующих статьях, посвящённых расширенному алгоритму Евклида.
Обратными (или взаимно-обратными) называют пару чисел, которые при перемножении дают 1. В самом общем виде обратными являются числа:
Как найти обратное число?
Для нахождения обратного числа, нужно единицу поделить на это число. В случае обыкновенной дроби просто поменять числитель и знаменатель местами.
Обратное число обыкновенной дроби
Когда ищем обратное число для обыкновенной дроби, то делить ее на 1 не очень удобно, так как запись получается громоздкой. В этом случае гораздо проще поступать иначе: дробь просто переворачиваем, меняя местами числитель и знаменатель. Если дана правильная дробь, то после переворачивания получается дробь неправильная, то есть такая, из которой можно выделить целую часть. Делать это или нет, решать нужно в каждом конкретном случае особо. Так, если с полученной перевернутой дробью далее придется совершать какие-то действия (к примеру, умножение или деление), то выделять целую часть не стоит. Если же полученная дробь – это конечный результат, то, возможно, выделение целой части и желательно.
Обратное число десятичной дроби
Если требуется найти обратное число к десятичной дроби, то следует воспользоваться первым правилом (деление 1 на число). В этой ситуации можно действовать одним из двух способов. Первый – просто разделить 1 на это число в столбик. Второй – сформировать дробь из 1 в числителе и десятичной дроби в знаменателе, а затем домножить числитель и знаменатель на 10, 100 или другое число, состоящее из 1 и такого количества нулей, которое необходимо, чтобы избавиться от десятичной запятой в знаменателе. В результате будет получена обыкновенная дробь, которая и является результатом. При необходимости ее может понадобиться сократить, выделить из нее целую часть или перевести в десятичный вид.
Как найти обратное число?
Принцип проверки основан на определении обратных чисел. То есть для того, чтобы убедиться, что числа являются обратными друг другу, нужно перемножить их. Если в результате будет получена единица, значит, числа – взаимно обратные.
Свойства обратных чисел
Свойство №1
Обратное число существует для любого числа, кроме 0.
Ограничение связано с тем, что нельзя делить на 0, а при определении обратного числа для нуля его как раз придется переместить в знаменатель, то есть фактически делить на него.
Свойство №2
Сумма пары взаимно-обратных чисел всегда не меньше, чем 2. Математически это свойство можно выразить неравенством:
Свойство №3
Умножение числа на два взаимно-обратных числа равносильно умножению на единицу. Математически:
Свойство №4
Взаимно-обратными могут быть числовые выражения.
Свойство №5
Для числа, представленного в виде степени с показателем х, обратным будет число в виде степени с показателем –х. Обоснование:
Это свойство означает, что и для всякой степени тоже может быть подобрано обратное число.
Даниил Романович | Просмотров: 3.7k
Математика
Тема 3: Умножение и деление обыкновенных дробей
Урок 3: Взаимно обратные числа
- Видео
- Тренажер
- Теория
Заметили ошибку?
52. Взаимно обратные числа
Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными.
Например, если умножить 815 на 158, то получится 1 – эти числа взаимно обратные.
815∙158=8∙1515∙8=1.
Другой пример – числа 3 и 13, при умножении которых получится 3∙13=1.
Также и числа 4,4 и 522 взаимно обратны, потому что 4,4∙522=4410∙522
Если нужно определить, являются ли два числа взаимно простыми, необходимо эти числа перемножить.
Если ответ равен единице, числа – взаимно обратные.
Чтобы найти число взаимно обратное данному, надо:
-
Если число натуральное, например 7, представить его в виде дроби 71 и перевернуть дробь – 17.
Действительно, 7∙17=1.
-
Если дробь обыкновенная, например 38 , ее надо перевернуть – 83 .
Действительно, 38∙83=3∙88∙3=1.
-
Если число смешанное, например 323 , представить его в виде неправильной дроби 113 и перевернуть дробь –311.
Действительно, 323∙311=113∙311=1.
-
Если десятичная дробь, например 5,8, представить его в виде дроби 5810 и перевернуть дробь –1058.
Действительно, 5,8∙1058=5810∙1058=1.
Сформулируем общее правило.
Число ab, где а ≠ 0 и b ≠ 0, обратно числу ba, так как ab·ba=a·bb·a=1
Пример 1. Найдем значение выражения, для этого сгруппируем взаимно обратные дроби и затем найдем произведение:
511∙37∙73=511∙37∙73=511∙1=511.
Если число х сначала умножить на некоторое число а , а потом на число, обратное а , то получим опять х.
x∙a∙1a=x∙1=x
Например, x∙5∙15=x∙1=x.
С помощью взаимно обратных чисел можно решать некоторые уравнения.
Пример 2. Решим уравнение 34x=1.
x=1:34=1∙43=43=113.
Пример 3. Решим уравнение 89x=89.
x=89:89=89∙98=1.
Заметили ошибку?
Расскажите нам об ошибке, и мы ее исправим.
Найти обратное число
Правила ввода
Вводить можно целые(1, 2, 3, -7), десятичные(0.25, -1.15), дробные(-1/8, 32/9). Если необходимо ввести смешанное число, то целую часть от дробной необходимо отделить пробелом(1 4/5)
Определение взаимно обратных чисел
Взаимно обратными числами называются числа, произведение которых равно единице.
Две дроби называются обратными дробями если их произведение равно единице.
Примеры взаимно обратных чисел
- 1/3 и 3
- 0.25 и 4
- 5 и 1/5
- 2/3 и 3/2
- 1 целая 2/5 и 5/7
При умножении этих чисел получится 1
Как найти число обратное обыкновенной дроби
Для этого необходимо числитель и знаменатель поменять местами. Для проверки можно перемножить исходную дробь и перевернутую, получится 1.
Например: 2/3 × 3/2 = 1
Как найти число обратное смешанному числу
Для начала необходимо смешанное число преобразовать в обыкновенную дробь. Затем числитель и знаменатель поменять местами.
Например: 2 7/8 = 23/8
23/8 × 8/23 = 1