Как найти обратный код десятичного числа

Пользователь Евгений попросил нас сделать перевод из прямого в дополнительный или обратный коды.

Далее идет калькулятор, который переводит введенное положительное или отрицательное целое число в двоичный код, а также выводит обратный код этого числа и его дополнительный код. Под калькулятором, как водится, немного теории.

Обновление: Из комментариев становится ясно, что люди не вполне понимают, что делает этот калькулятор. Точнее, что делал — применял алгоритм вычисления дополнительного кода к любому числу. Люди хотят, чтобы он им просто показывал дополнительный код числа. Ну хорошо — теперь при вводе положительного числа калькулятор показывает представление числа в двоичной форме, ибо для него нет обратного и дополнительного кода, а при вводе отрицательного показывает дополнительный и обратный код.

Итак, теория

Прямой код числа это представление беззнакового двоичного числа. Если речь идет о машинной арифметике, то как правило на представление числа отводится определенное ограниченное число разрядов. Диапазон чисел, который можно представить числом разрядов n равен

Обратный код числа, или дополнение до единицы (one’s complement) это инвертирование прямого кода (поэтому его еще называют инверсный код). То есть все нули заменяются на единицы, а единицы на нули.

Дополнительный код числа, или дополнение до двойки (two’s complement) это обратный код, к младшему значащему разряду которого прибавлена единица

А теперь «зачем, зачем это все?» ©

А это все для удобной работы со знаками. Поскольку я все люблю понимать на примерах, рассказывать я тоже буду на примерах. Итак, предположим, что у нас 4 разряда для работы с двоичными числами. Представить таким образом можно 16 чисел — 0, 1, … 15
00 — 0000
…
15 — 1111

Но если нет знака, убогая получается арифметика. Нужно вводить знак. Чтобы никого не обидеть, половину диапазона отдадим положительным числам (8 чисел), половину — отрицательным (тоже 8 чисел). Ноль, что отличает машинную арифметику от обычной, мы отнесем в положительные числа (в обычной арифметике у нуля нет знака, если не ошибаюсь). Итого, в положительные числа попадают 0,…,7, а в отрицательные -1, …, -8.

Для различия положительных и отрицательных чисел выделяют старший разряд числа, который называется знаковым (sign bit)
0 в этом разряде говорит нам о том, что это положительное число, а 1 — отрицательное.

С положительными числами все вроде бы понятно, для их представления можно использовать прямой код
0 — 0000
1 — 0001
7 — 0111

А как представить отрицательные числа?

Вот для их представления как раз и используется дополнительный код.
То есть, -7 в дополнительном коде получается так
прямой код 7 = 0111
обратный код 7 = 1000
дополнительный код 7 = 1001

Обратим внимание на то, что прямой код 1001 представляет число 9, которое отстоит от числа -7 ровно на 16, или .
Или, что тоже самое, дополнительный код числа «дополняет» прямой код до , т.е. 7+9=16

И это оказалось очень удобно для машинных вычислений — при таком представлении отрицательного числа операции сложения и вычитания можно реализовать одной схемой сложения, при этом очень легко определять переполнение результата (когда для представления получившегося числа не хватает разрядности)

Пара примеров
7-3=4
0111 прямой код 7
1101 дополнительный код 3
0100 результат сложения 4

-1+7=6
1111 дополнительный код 1
0111 прямой код 7
0110 результат сложения 6

Что касается переполнения — оно определяется по двум последним переносам, включая перенос за старший разряд. При этом если переносы 11 или 00, то переполнения не было, а если 01 или 10, то было. При этом, если переполнения не было, то выход за разряды можно игнорировать.

Примеры где показаны переносы и пятый разряд

7+1=8

00111 прямой код 7
00001 прямой код 1
01110 переносы
01000 результат 8 — переполнение

Два последних переноса 01 — переполнение

-7+7=0
00111 прямой код 7
01001 дополнительный код 7
11110 переносы
10000 результат 16 — но пятый разряд можно игнорировать, реальный результат 0

Два последних переноса 11 з перенос в пятый разряд можно отбросить, оставшийся результат, ноль, арифметически корректен.
Опять же проверять на переполнение можно простейшей операцией XOR двух бит переносов.

Вот благодаря таким удобным свойствам дополнительный код это самый распространенный способ представления отрицательных чисел в машинной арифметике.

P.S. Ну а обратный код дополняет число до , или до всех 1, потому и называется дополнением до 1. Им тоже можно представлять отрицательные числа, и реализовать вычитание и сложение схемой сложения, только сложение там хитрее — с циклическим переносом, ну и представить можно меньше на одно число, так как все единицы уже заняты — это обратный код нуля, эдакий «минус нуль», то есть диапазон получается, если брать наш пример от -7 до 7. Не так удобно, одним словом.

Тема 3: Представление
целых чисел в компьютере.

Представление числовой информации в
компьютере

Любая информация (числа,
текстовая, графическая и т. д.) представляется
в ЭВМ в виде двоичных кодов фиксированной
или переменной длины. Отдельные элементы
двоичного кода, имеющие значение 0 или
1, называют битами.
Двоичный код состоящий из 8 разрядов
носит название байта.

Целые числа могут
представляться в компьютере со знаком
или без знака.

Представление целых чисел без знака
в компьютере

Целые числа без знака обычно  занимают
 в  памяти  компьютера  один,
два или 4 байта.    

В  однобайтовом  формате
 числа принимают  значения  от 
00000000₂  
до   11111111₂.

В двубайтовом формате —
от  00000000 00000000₂  
до   11111111 11111111₂.

В четырехбайтовом —  от
00000000 00000000 00000000 00000000₂
до 11111111 1111111 11111111 11111111₂

Диапазоны значений целых чисел без
знака

Например,
в однобайтовом формате число 62=111110₂
имеет вид:

В двубайтовом формате число 1402=10101111010₂
имеет вид:

Пример 1. Для хранения целого числа
без знака используется один

байт. Записать представление числа 19 в
компьютере.

1 шаг: Переведем число 19 из десятичной
системы счисления в двоичную.

2 шаг:
Так как для представления числа в
компьютере выделен 1 байт, то код числа
должен содержать 8 знаков (8 бит). Поэтому
впереди числа дописываем 3 незначащих
нуля.

Задания.

1. Запишите числа в беззнаковом коде
(формат 1 байт):

 а) 31;      б)
163;    в) 65;    г) 128. 

2. Найдите десятичные
представления чисел, записанных в
беззнаковом коде:

 а) 0 1011000;     
б) 1 0011011;     в) 0 1101001;     
г) 1 1000000. 

Представление целых чисел со знаком

Так же как беззнаковые целые числа целые
со знаком обычно  занимают  в
 памяти  компьютера  один, два
или 4 байта.

Диапазоны значений целых чисел со
знаком

Самый левый (старший бит)
разряд определяет знак числа. 
 Если
он равен 0, число положительное, если 1,
то отрицательное.

Например,
в однобайтовом формате число 46=101110₂
имеет вид:

В ЭВМ в целях упрощения
выполнения арифметических операций
применяют специальные коды для
представления чисел. Использование
кодов позволяет свести операцию вычитания
чисел к арифметическому сложению кодов
этих чисел. Применяются прямой,
обратный
и дополнительный
коды чисел. Дополнительный код используется
для хранения чисел в запоминающем
устройстве ЭВМ. Обратный и дополнительный
коды используются для замены операции
вычитания операцией сложения, что
упрощает устройство арифметического
блока ЭВМ.

Прямой код.
Прямой код двоичного числа совпадает
по изображению с записью самого числа.
Значение знакового разряда для
положительных чисел равно 0, а для
отрицательных чисел 1.

Обратный код.
Обратный код для
положительного числа совпадает с прямым
кодом. Для отрицательного числа все
цифры числа заменяются на противоположные
(1 на 0, 0 на 1), а в знаковый разряд заносится
единица.

Дополнительный код.
Дополнительный код
положительного числа совпадает с прямым
кодом. Для отрицательного числа
дополнительный код образуется путем
получения обратного кода и добавлением
к младшему разряду единицы.

Например, в однобайтовом формате числа
27 и -27 имеют вид:

Пример 1. Найти прямой, обратный и
дополнительный код представления числа
13 в однобайтном формате.

1 шаг: Переведем число 13 из десятичной
системы счисления в двоичную.

2 шаг: Для представления
числа в компьютере выделен 1 байт. Старший
бит занимает знак числа – 0. Сам код
числа должен занимать 7 бит. Таким образом
прямой код числа 13

Так как для положительных чисел прямой,
обратный и дополнительный код совпадает,
то ответ 00001101.

Пример 2. Найти прямой, обратный и
дополнительный код представления числа
-23 в однобайтовом формате.

1 шаг: Переведем число -23 из десятичной
системы счисления в двоичную. Получим

-23₁₀=-10111₂

2 шаг: Прямой код числа в однобайтовом
формате, учитывая, что старший бит
занимает знак числа -1, имеет вид

3 шаг: Найдем обратный код числа -23,
заменив все цифры числа на
противоположные (1 на 0, 0 на 1), а в знаковый
разряд заносится единица. Имеем,

4 шаг: Найдем дополнительный код
числа -23, добавив 1 к младшему
разряду обратного кода.

Ответ:
прямой код – 10010111; обратный – 11101000;
дополнительный – 11101001.

Так
вот, прямой
обратный и дополнительный код — это
модели представления целых чисел,
как положительных, так и отрицательных.
Примеры записи некоторых чисел во всех
трех восьмиразрядных кодах показаны в
таблице ниже.

Во
всех трех кодах старший разряд указывает
на знак числа и он равен единице, если
число отрицательное и нулю в противном
случае. Остальные разряды содержат
представление модуля числа. Различие
между кодами наблюдается именно в
способах представления модуля. Для
положительного числа модуль во всех
трех кодах представляется одинаково —
это просто естественная запись двоичного
числа.
Для отрицательных чисел, в обратном
коде это просто поразрядная инверсия
прямого кода, а в дополнительном — к
обратному коду, как к числу, просто
прибавляется единица.

Распространёнными
формами представления чисел со знаками
является их представление в прямом,
обратном и дополнительном коде.
Прямой
код числа образуется кодированием знака
числа нулём, если число положительно и
единицей, если число отрицательно (для
двоичной системы)
Для общего случая
(q — 1) — если число отрицательно, и 0 — если
число положительно. q — основание системы
счисления.
Код знака записывается
перед старшей цифрой числа и отделяется
от неё точкой:
-1.01 = 1.101
Прямой, обратный
и дополнительный коды положительных
чисел совпадают между собой.
Обратный
код отрицательного числа образуется
из прямого кода, заменой его цифр на их
дополнения до величины q-1. Код знака
сохраняется без изменения.
Пример
:
+123₁₀ =
0.123_пр =
0.123_об.
-123₁₀ =
9.123_пр =
9.876_об
+3А7С00₁₆ =
0.3А7С00_пр =
0.3А7С00_об.
-3А7С00₁₆ =
F.3А7С00_пр=
F.C583FF_об.
-101₂ =
1.101_пр =
1.010_об.
Замена
цифр их дополнениями для двоичной
системы совпадает с операцией инверсии,
то есть нули заменяются единицами,
единицы — нулями. Знак принимает значение,
равное единице.
Дополнительный код
отрицательного числа образуется из
обратного увеличением на 1 его младшего
разряда. При этом перенос из знакового
разряда игнорируется.
Пример:
+236₁₀ =
0.236_пр.=
0.236_об.=
0.236_доп.
-236₁₀ =
9.236_пр.=
9.763_об.=
9.764_доп.
-101₂=
1.101_пр.=
1.010_об=
1.011_доп.
-3А7С₁₆=
F.3А7С_пр=
F.C583_об.=
F.C584_доп.
Правила
перевода из прямого кода в обратный и
из обратного в прямой, а также из прямого
в дополнительный и из дополнительного
в прямой совпадают между собой.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Инфоурок

›

Информатика

›Презентации›Представление чисел в компьютере. Прямой, обратный и дополнительный код

Представление чисел в компьютере. Прямой, обратный и дополнительный код

Прямой, дополнительный и обратный коды