Как найти обратный код двоичных чисел

Двоичное число: прямой, обратный и дополнительный коды

Прямой код двоичного числа
Обратный код двоичного числа
Дополнительный код двоичного числа

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичного числа — способы представления двоичных чисел с фиксированной запятой в компьютерной (микроконтроллерной) арифметике, предназначенные для записи отрицательных и неотрицательных чисел

Мы знаем, что десятичное число можно представить в двоичном виде. К примеру, десятичное число 100 в двоичном виде будет равно 1100100, или в восьмибитном представлении 0110 0100. А как представить отрицательное десятичное число в двоичном виде и произвести с ним арифметические операции? Для этого и предназначены разные способы представления чисел в двоичном коде.
Сразу отмечу, что положительные числа в двоичном коде вне зависимости от способа представления (прямой, обратный или дополнительный коды) имеют одинаковый вид.

Прямой код

Прямой код — способ представления двоичных чисел с фиксированной запятой. Главным образом используется для записи неотрицательных чисел

Прямой код используется в двух вариантах.
В первом (основной) — для записи только неотрицательных чисел:

В этом варианте (для восьмибитного двоичного числа) мы можем записать максимальное число 255 (всего чисел 256 — от 0 до 255)

Второй вариант — для записи как положительных, так и отрицательных чисел.
В этом случае старший бит (в нашем случае — восьмой) объявляется знаковым разрядом (знаковым битом).
При этом, если:
— знаковый разряд равен 0, то число положительное
— знаковый разряд равен 1, то число отрицательное

В этом случае диапазон десятичных чисел, которые можно записать в прямом коде составляет от — 127 до +127:

Подводя итоги вопроса, не влезая в его дебри, скажу одно:
Прямой код используется главным образом для представления неотрицательных чисел.
 Использование прямого кода для представления отрицательных чисел является неэффективным — очень сложно реализовать арифметические операции и, кроме того, в прямом коде два представления нуля — положительный ноль и отрицательный ноль (чего не бывает):

Обратный код

Обратный код — метод вычислительной математики, позволяющий вычесть одно число из другого, используя только операцию сложения.
Обратный двоичный код положительного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 0, за которым следует значение числа.
Обратный двоичный код отрицательного числа состоит из одноразрядного кода знака (битового знака) — двоичной цифры 1, за которым следует инвертированное значение положительного числа.

Для неотрицательных чисел обратный код двоичного числа имеет тот же вид, что и запись неотрицательного числа в прямом коде.
Для отрицательных чисел обратный код получается из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов (1 меняем на 0, а 0 меняем на 1).
Для преобразования отрицательного числа записанное в обратном коде в положительное достаточного его проинвертировать.

При 8-битном двоичном числе — знаковый бит (как и в прямом коде) старший (8-й)

Диапазон десятичных чисел, который можно записать в обратном коде от -127 до + 127

Арифметические операции с отрицательными числами в обратном коде:

(Арифметические операции с двоичными числами)

1-й пример (для положительного результата)
Дано два числа:
100 = 0110 0100
-25 = — 0001 1001
Необходимо их сложить:
100 + (-25) = 100 — 25 = 75

1-й этап
Переводим число -25 в двоичное число в обратном коде:
25 = 0001 1001
-25= 1110 0110
и складываем два числа:
0110 0100 (100) + 1110 0110 (-25) = 1 0100 1010, отбрасываем старшую 1 (у нас получился лишний 9-й разряд — переполнение), = 0100 1010
2-й этап
Отброшенную в результате старшую единицу прибавляем к результату:
0100 1010 + 1 = 0100 1011 (знаковый бит =0, значит число положительное), что равно 75 в десятичной системе

2-й пример (для отрицательного результата)
Дано два числа:
5 = 0000 0101
-10 = — 0000 1010
Необходимо их сложить:
5 + (-10) = 5 — 10 = -5

1-й этап
Переводим число -10 в двоичное число в обратном коде:
10 = 0000 1010
-10= 1111 0101
и складываем два числа:
0000 0101 (5) + 1111 0101 (-10) = 1111 1010 (знаковый бит =1, значит число отрицательное)

2-й этап
Раз результат получился отрицательный, значит число представлено в обратном коде.
Переводим результат в прямой код (путем инвертирования значения, знаковый бит не трогаем):
1111 1010 —-> 1000 0101
Проверяем:
1000 0101 = — 0000 0101 = -5

Обратный код решает проблему сложения и вычитания чисел с различными знаками, но и имеет свои недостатки:
— арифметические операции проводятся в два этапа
— как и в прямом коде два представления нуля — положительный и отрицательный

Дополнительный код

Дополнительный код — наиболее распространенный способ представления отрицательных чисел. Он позволяет заменить операцию вычитания на операцию сложения и сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и беззнаковых чисел.

В дополнительном коде (как и в прямом и обратном) старший разряд отводится для представления знака числа (знаковый бит).

Диапазон десятичных чисел которые можно записать в дополнительном коде от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде та-же, что и в прямом и обратном кодах.

Дополнительный код отрицательного числа можно получить двумя способами
1-й способ:
— инвертируем значение отрицательного числа, записанного в прямом коде (знаковый бит не трогаем)
— к полученной инверсии прибавляем 1
Пример:
Дано десятичное число -10
Переводим в прямой код:
10 = 0000 1010 —-> -10 = 1000 1010
Инвертируем значение (получаем обратный код):
1000 1010 —-> 1111 0101
К полученной инверсии прибавляем 1:
1111 0101 + 1 = 1111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде

2-й способ:
Вычитание числа из нуля
Дано десятичное число 10, необходимо получить отрицательное число (-10) в дополнительном двоичном коде
Переводим 10 в двоичное число:
10 = 0000 1010
Вычитаем из нуля:
0 — 0000 1010 = 1111 0110 — десятичное число -10 в дополнительном коде

Арифметические операции с отрицательными числами в дополнительном коде

Дано: необходимо сложить два числа -10 и 5
-10 + 5 = -5
Решение:
5 = 0000 0101
-10 = 1111 0110 (в дополнительном коде)
Складываем:
1111 0110 + 0000 0101 = 1111 1011, что соответствует числу -5 в дополнительном коде

Как мы видим на этом примере — дополнительный код отрицательного двоичного числа наиболее подходит для выполнения арифметических операций сложения и вычитания отрицательных чисел.

Вывод:
1. Для арифметических операций сложения и вычитания положительных двоичных чисел наиболее подходит применение прямого кода
2. Для арифметических операций сложения и вычитания отрицательных двоичных чисел наиболее подходит применение дополнительного кода

Предыдущие статьи:
1. Микроконтроллеры — первый шаг
2. Системы счисления: десятичная, двоичная и шестнадцатиричная
3. Логические операции, логические выражения, логические элементы
4. Битовые операции

(39 голосов, оценка: 4,69 из 5)

Загрузка…

Машинные коды[править]

Все операции в ЭВМ выполняются над числами, представленными специальными машинными кодами. Их использование позволяет обрабатывать знаковые разряды чисел так же, как и значащие разряды, а также заменять операцию вычитания операцией сложения.

Различают следующие коды двоичных чисел:

• прямой код (П),
• обратный код (ОК),
• дополнительный код (ДК).

Прямой код[править]

Прямой код двоичного числа образуется из абсолютного значения этого числа и кода знака (0 или 1) перед его старшим числовым разрядом.

Пример.

А₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]_п = 0|1010

В₁₀ = –15; В₂ = –1111; [В₂]_п = 1|1111

Обратный код[править]

Обратный код двоичного числа образуется по следующему правилу. Обратный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Обратный код отрицательного числа содержит единицу в знаковом разряде числа, а значащие разряды числа заменяются на инверсные, т.е. нули заменяются единицами, а единицы нулями.

Пример.

А₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]ок = [А₂]п = 0|1010

В₁₀ = –15; В₂ = –1111; [В₂]ок = 1|0000

Свое название обратный код получил потому, что коды цифр отрицательного числа заменены на инверсные. Наиболее важные свойства обратного кода чисел:

• сложение положительного числа С с его отрицательным значением в обратном коде дает т.н. машинную единицу МЕок=1|11…11, состоящую из единиц в знаковом и в значащих разрядах числа;
• нуль в обратном коде имеет двоякое значение. Он может быть как положительным числом – 0|00…00, так и отрицательным 1|11…11. Значение отрицательного числа совпадает с МЕок. Двойственное представление 0 явилось причиной того, что в современных ЭВМ все числа представляются не обратным, а дополнительным кодом.

Дополнительный код[править]

Дополнительный код положительных чисел совпадает с их прямым кодом. Дополнительный код отрицательного числа представляет собой результат суммирования обратного кода числа с единицей младшего разряда (2⁰ – для целых чисел, 2^-л – для дробных)

Пример.

А₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]дк = [А₂]ок = [А₂]п = 0|1010

В₁₀ = –15; В₂ = –1111; [В₂]дк = [В₂]ок + 2⁰ = 1|0000+1 = 1|0001

Основные свойства дополнительного кода:

• сложение дополнительных кодов положительного числа С с его отрицательным значением дает т.н. машинную единицу дополнительного кода:

МЕдк=МЕок + 2⁰ = 10|00…00,

т.е. число 10 (два) в знаковых разрядах числа;

• дополнительный код называется так потому, что представление отрицательных чисел является дополнением прямого кода чисел до машинной единицы

МЕдк.

Модифицированные обратные и дополнительные коды[править]

Модифицированные обратные и дополнительные коды двоичных чисел отличаются соответственно от обратных и дополнительных кодов удвоением значений знаковых разрядов. Знак «+» в этих кодах кодируется двумя нулевыми знаковыми разрядами, а знак «–» – двумя единичными разрядами.

Пример.

А₁₀ = +10; А₂ = +1010; [А₂]дк = [А₂]ок = [А₂]п = 0|1010

[А₂]мок = [А₂]мдк = 00|1010

В₁₀ = –15; В₂ = –1111; [В₂]дк= [В₂]ок+2⁰ = 1|0000+1 = 1|0001

[В₂]мок= [В₂]мдк= 11|0001

Целью введения модифицированных кодов являются фиксация и обнаружение случаев получения неправильного результата, когда значение результата превышает максимально возможный результат в отведенной разрядной сетке машины. В этом случае перенос из значащего разряда может исказить значение младшего знакового разряда. Значение знаковых разрядов «01» свидетельствует о положительном переполнении разрядной сетки, а «10» — об отрицательном переполнении. В настоящее время практически во всех компьютерах роль сдвоенных разрядов для фиксации переполнения разрядной сетки играют переносы, идущие в знаковый и из знакового разряда.

Арифметические действия в машинных кодах.[править]

Сложение (вычитание). Операция вычитания приводится к операции сложения путем преобразования чисел в обратный или дополнительный код согласно таблице.

Здесь А и В неотрицательные числа.
Скобки в представленных выражениях указывают на замену операции вычитания операцией сложения с обратным или дополнительным кодом соответствующего числа. Сложение двоичных чисел осуществляется последовательно, поразрядно в соответствии с таблицей. При выполнении сложения цифр необходимо соблюдать следующие правила:

1. Слагаемые должны иметь одинаковое число разрядов. Для выравнивания разрядной сетки слагаемых можно дописывать незначащие нули слева к целой части числа и незначащие нули справа к дробной части числа.
2. Знаковые разряды участвуют в сложении так же, как и значащие.
3. Необходимые преобразования кодов производятся с изменением знаков чисел. Приписанные незначащие нули изменяют свое значение при преобразованиях по общему правилу.
4. При преобразовании единицы переноса из старшего знакового разряда, в случае использования ОК, эта единица складывается с младшим числовым разрядом. При использовании ДК единица переноса теряется. Знак результата формируется автоматически, результат представляется в том коде, в котором представлены исходные слагаемые.

Пример 1. Сложить два числа: А₁₀ = 7, В₁₀ = 16.

А₂ = +111 = +0111; В₂ = +10000.

Исходные числа имеют различную разрядность, необходимо провести выравнивание разрядной сетки:

[A₂]п = [A₂]ок = [A₂]дк = 0|00111; [В₂]п = [В₂]ок = [В₂]дк = 0|10000.

Сложение в обратном или дополнительном коде дает один и тот же результат:

0|00111

+0|10000

———-

С₂ = 0|10111

С₁₀ = +23

Пример 2. Сложить два числа: А₁₀ = +16, В₁₀ = -7 в ОК и ДК.

По таблице необходимо преобразование А+(-В), в которой второй член преобразуется с учетом знака

[A₂]п = [A₂]ок = [A₂]дк = 0|10000;

[В₂]п = 1|111 = 1|00111; [В₂]ок = 1|11000; [В₂]дк = 1|11001

При сложении чисел в ОК и ДК были получены переносы в знаковый разряд и из знакового разряда. В случае ОК перенос из знакового разряда требует дополнительного прибавления единицы младшего разряда (п.4 правил). В случае ДК этот перенос игнорируется.

Практическая часть.[править]

Задание:

1. Взять две пары десятичных двузначных целых числа: А, В, С, D. (Варианты по списку)
2. Вычислить (А-В)ок, (В-А)дк, (С-D)ок, (D-C)дк.

Варианты

1. Вариант — 78, 56, 11, 35;
2. Вариант — 67, 36, 45, 22;
3. Вариант — 21, 87, 38, 44;
4. Вариант — 99, 26, -73, 26,
5. Вариант — 28, 33, 42, 54;
6. Вариант — 61, 43, 65, 41;
7. Вариант — 11, 84, 49, 53;
8. Вариант — 85,- 47, 43, 66;
9. Вариант — 48, 52, 65, 88;
10. Вариант — 26, 58, 63, 77;
11. Вариант — 91, 22, 46, -14;
12. Вариант — 57, 14, 69, 55;
13. Вариант — 77, 98, 25, -88;
14. Вариант — 46, 66, 35, 36;
15. Вариант — 44, 37, 92, 28;
16. Вариант — 63, 46, 83, 71;
17. Вариант — 35, -51, 63, 24;
18. Вариант — 25, 95, -38, 33;
19. Вариант — 32, 29, 86, 27;
20. Вариант — 49, 55, -73, 22
21. Вариант — 33, -77, 53, 71;
22. Вариант — 48, 86, 62, 42;
23. Вариант — 69, -48, 11, 20;
24. Вариант — 10; 82, 80, 45;
25. Вариант — 70, 93, -27, 30;
26. Вариант — 88, -40, 16, 83;
27. Вариант — 64, 80, -17, 77;
28. Вариант — 40, 46, -73, 19;
29. Вариант — 14, -60, 11, 27;
30. Вариант — 90, 73, -10, 20.

Для определения
знака числа в двоичном коде используются
0 и 1. Нулем кодируется знак «+»,
Единицей кодируется знак «-«.

Для представления
положительных и отрицательных чисел в
вычислительной технике используются
ПРЯМОЙ, ОБРАТНЫЙ и ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЙ коды.

Положительные
числа в
прямом, обратном и дополнительном кодах
изображаются одинаково  —  двоичными
кодами с цифрой 0 в знаковом разряде.
Например:

Отрицательные
числа в
прямом, обратном и дополнительном кодах
имеют разное изображение.

1.
Прямой код.
В знаковый разряд помещается цифра 1, а
в разряды цифровой части числа — двоичный
код его абсолютной величины. Например: 

2.
Обратный
код. Получается
инвертированием всех цифр двоичного
кода абсолютной величины числа, включая
разряд знака: нули заменяются единицами,
а единицы — нулями. Например:

3.
Дополнительный
код. Получается
образованием обратного кода с последующим
прибавлением единицы к его младшему
разряду. Например:

Обычно
отрицательные
десятичные числа при вводе в машину
автоматически преобразуются в обратный
или дополнительный двоичный код
и в таком виде хранятся, перемещаются
и участвуют в операциях. При выводе
таких чисел из машины происходит обратное
преобразование в отрицательные десятичные
числа.

Пример:
Представить число +7, -12, -15, -16 в прямом,
обратном и дополнительном кодах.

Число	Прямой код	Обратный код	Дополнительный код
-12	1 0001100	1 1110011	1 1110100
-15	1 0001111	1 1110000	1 1110001
-16	1 0010000	1 1101111	1 1110000

При
переводе из
обратного
в прямой
код происходит инверсия
цифр числа.

При
переводе из
дополнительного в прямой код
происходит 1)
инверсия цифр числа,
2)добавляется
+1 в младший
разряд инвертированного числа.

Арифметические
действия над числами со знаком

В
большинстве компьютеров операция
вычитания не используется. Вместо нее
производится сложение обратных или
дополнительных кодов уменьшаемого и
вычитаемого.
Это позволяет существенно упростить
конструкцию АЛУ.

Сложение
обратных кодов.
Здесь при сложении чисел А и В имеют
место четыре основных и два особых
случая:

Алгебраическое сложение

Если
результат получен со знаком минус (с
«1»), то результат необходимо
преобразовать в прямой код!!!

1.
А и В положительные.
При суммировании складываются все
разряды, включая разряд знака. Так как
знаковые разряды положительных слагаемых
равны нулю, разряд знака суммы тоже
равен нулю. Например:

Получен правильный
результат.

2.
А положительное, B отрицательное и по
абсолютной величине больше, чем А.
|A|
< |B|

Например:

Если результат
получен со знаком минус с «1», то
результат необходимо преобразовать в
прямой код!!!

Получен
правильный результат в обратном коде.
При переводе в прямой код биты цифровой
части результата инвертируются: 1 0000111
= -7₁₀.

3.
А положительное, B отрицательное и по
абсолютной величине меньше, чем А.
|A|
> |B|

Например:

Компьютер
исправляет полученный первоначально
неправильный результат (6 вместо 7)
переносом
единицы из
знакового разряда в младший разряд
суммы.

4.
А и В отрицательные.
Например:

Полученный
первоначально неправильный результат
(обратный код числа -11₁₀
вместо обратного кода числа -10₁₀)
компьютер исправляет переносом единицы
из знакового разряда в младший разряд
суммы. При переводе результата в прямой
код биты цифровой части числа инвертируются:
1 0001010 = -10₁₀.

При
сложении может возникнуть ситуация,
когда старшие разряды результата
операции не помещаются в отведенной
для него области памяти. Такая ситуация
называется переполнением
разрядной сетки формата числа.
Для обнаружения переполнения и оповещения
о возникшей ошибке в компьютере
используются специальные средства.
Ниже приведены два возможных случая
переполнения.

5.
А и В положительные, сумма А+В больше,
либо равна 2^n-1,
где n — количество разрядов формата
чисел (для однобайтового формата n=8,
2^n-1
= 27 = 128). Вариант
переполнения.

Например:

Семи
разрядов цифровой части числового
формата недостаточно
для размещения восьмиразрядной суммы
(162₁₀
= 10100010₂),
поэтому старший
разряд суммы оказывается в знаковом
разряде. Это
вызывает несовпадение
знака суммы и знаков слагаемых,
что является
свидетельством переполнения разрядной
сетки.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Введение

Прямой, обратный и дополнительный коды двоичных чисел являются способами отображения двоичных чисел, имеющих фиксированную запятую, в компьютерных вычислительных операциях, которые предназначены для представления отрицательных и положительных чисел. Известно, что любые десятичные числа можно представить в двоичном коде. Например, десятичное число 101 в двоичном формате равняется 1100101, или в восьми битном формате это выглядит как 0110 0101. А чтобы представить отрицательные десятичные числа в двоичном виде и обеспечить возможность выполнения с ними арифметических операций, как раз и предназначены различные методы отображения чисел в двоичном коде.

Прямой, обратный и дополнительный коды

Следует подчеркнуть, что положительные числа в двоичном коде не зависимо от метода их представления, то есть в прямом, обратном или дополнительном кодах, обладают одинаковым видом.

Прямой код является методом отображения двоичных чисел с фиксированной запятой, который в основном применяется для записи неотрицательных чисел. Прямой код может применяться в следующих вариантах:

• В основном варианте он служит для записи только неотрицательных чисел. В этом случае для восьми битного двоичного числа может быть записано максимальное число 255 (всего чисел 256, то есть, от нуля до 255).
• Во втором варианте он служит для записи как положительных, так и отрицательных чисел.

Во втором случае старший бит принято считать знаковым разрядом (знаковым битом). Причём, если:

• Знаковый разряд равняется нулю, то число является положительным.
• Знаковый разряд равняется единице, то число является отрицательным.

В таком варианте диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в прямом коде, составляет от — 127 до +127.

Таким образом, на основании изложенного выше можно сделать вывод, что прямой код может применяться в основном для представления неотрицательных чисел. Применение прямого кода для представления отрицательных чисел считается малоэффективным, поскольку при этом достаточно сложно реализовать арифметические операции и, помимо этого, в прямом коде существует два представления нуля, а именно, положительный нуль и отрицательный нуль (чего не бывает).

Обратный код является способом вычислительной математики, который позволяет осуществить вычитание одного числа из другого, применяя лишь операцию суммирования. Обратный двоичный код положительного числа представляет собой одноразрядный код знака, то есть, двоичного числа нуль, за которым должно следовать числовое значение.

Обратные двоичные коды отрицательных чисел представляет собой одноразрядный код знака, а именно, двоичную цифру единица, за которой должны следовать инвертированные значения положительных чисел. Для положительных чисел обратный код двоичных чисел обладает таким же видом, что и представление неотрицательных чисел в прямом коде.

Для отрицательных чисел обратный код может быть получен из неотрицательного числа в прямом коде, путем инвертирования всех битов, то есть, единицы заменяются нулями, а нули должны быть заменены на единицы. Для преобразования отрицательного числа, которое записано в обратном коде, в положительное необходимо просто выполнить его инвертирование. Для восьми битного двоичного числа знаковым битом, как и в прямом коде, является старший, то есть, восьмой бит. Диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в обратном коде, простирается от -127 до + 127. Ниже приведены примеры записи чисел в обратном коде.

Далее рассмотрим выполнение арифметических операций с отрицательными числами в обратном коде (арифметические операции с двоичными числами).

Имеем следующие два числа:

100 = 0110 0100

–25 = – 0001 1001

Необходимо выполнить их сложение, которое в десятичном формате имеет общеизвестный вид:

100 + (–25) = 100 — 25 = 75

Для реализации этой операции в двоичных кодах, необходимо сначала выполнить перевод числа -25 в двоичное число в обратном коде:

25 = 0001 1001

–25= 1110 0110

Затем необходимо осуществить собственно операцию сложения двух чисел:

0110 0100 (100) + 1110 0110 (–25) = 1 0100 1010.

Старший единичный разряд необходимо отбросить, так как получился лишний девятый разряд, как результат переполнения:

= 0100 1010

Далее отброшенную в результате старшую единицу следует прибавить к результату:

0100 1010 + 1 = 0100 1011.

При этом знаковый бит равняется нулю и это означает, что число является положительным и равным 75 в десятичной системе.

Обратный код способен решить проблему сложения и вычитания чисел с разными знаками, но также и обладает определёнными недостатками:

1. Для выполнения арифметических операций необходимо осуществить два этапа.
2. Как и для прямого кода существует два представления нуля, а именно, положительный и отрицательный.

Дополнительный код является самым распространенным способом представления отрицательных чисел. Он предоставляет возможность замены операции вычитания операцией сложения, а также позволяет сделать операции сложения и вычитания одинаковыми для знаковых и без знаковых чисел.

Дополнительный код, аналогично прямому и обратному кодам, использует старший разряд для обозначения знака числа, то есть, этот разряд является знаковым битом. Диапазон десятичных чисел, которые могут быть записаны в дополнительном коде, простирается от -128 до +127. Запись положительных двоичных чисел в дополнительном коде выполняется так же, как и в прямом и обратном кодах.

Дополнительный код отрицательного числа может быть получен следующими способами:

1. Необходимо выполнить инвертирование значения отрицательного числа, которое записано в прямом коде (знаковый бит сюда не входит), а к полученной инверсии следует прибавить единицу.
2. Необходимо выполнить вычитание преобразуемого числа из нуля.