Как найти обратный косинус - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определение
График арккосинуса
Свойства арккосинуса
Таблица арккосинусов

Определение

Арккосинус (arccos) – это обратная тригонометрическая функция.

Арккосинус x определяется как функция, обратная к косинусу x, при -1≤x≤1.

Если косинус угла у равен х (cos y = x), значит арккосинус x равняется y:

arccos x = cos^-1 x = y

Примечание: cos^-1x означает обратный косинус, а не косинус в степени -1.

Например:

arccos 1 = cos^-1 1 = 0° (0 рад)

График арккосинуса

Функция арккосинуса пишется как y = arccos (x). График в общем виде выглядит следующим образом:

Свойства арккосинуса

Ниже в табличном виде представлены основные свойства арккосинуса с формулами.

Таблица арккосинусов


x	arccos x (рад)	arccos x (°)
-1	π	180°
-√3/2	5π/6	150°
-√2/2	3π/4	135°
-1/2	2π/3	120°
0	π/2	90°
1/2	π/3	60°
√2/2	π/4	45°
√3/2	π/6	30°
1	0	0°

microexcel.ru

Источник

Арккосинус(y = arccos(x)) – это обратная тригонометрическая функция к косинусу x = cos(y). Область определения -1 ≤ x ≤ 1 и множество значений 0 ≤ y ≤ π.

arccos(1) = 0°	arccos(-0.5) = 120°	arccos(-0.5) = 240°
arccos(0.9998476952) = 1°	arccos(-0.5150380749) = 121°	arccos(-0.4848096202) = 241°
arccos(0.999390827) = 2°	arccos(-0.5299192642) = 122°	arccos(-0.4694715628) = 242°
arccos(0.9986295348) = 3°	arccos(-0.544639035) = 123°	arccos(-0.4539904997) = 243°
arccos(0.9975640503) = 4°	arccos(-0.5591929035) = 124°	arccos(-0.4383711468) = 244°
arccos(0.9961946981) = 5°	arccos(-0.5735764364) = 125°	arccos(-0.4226182617) = 245°
arccos(0.9945218954) = 6°	arccos(-0.5877852523) = 126°	arccos(-0.4067366431) = 246°
arccos(0.9925461516) = 7°	arccos(-0.6018150232) = 127°	arccos(-0.3907311285) = 247°
arccos(0.9902680687) = 8°	arccos(-0.6156614753) = 128°	arccos(-0.3746065934) = 248°
arccos(0.9876883406) = 9°	arccos(-0.629320391) = 129°	arccos(-0.3583679495) = 249°
arccos(0.984807753) = 10°	arccos(-0.6427876097) = 130°	arccos(-0.3420201433) = 250°
arccos(0.9816271834) = 11°	arccos(-0.656059029) = 131°	arccos(-0.3255681545) = 251°
arccos(0.9781476007) = 12°	arccos(-0.6691306064) = 132°	arccos(-0.3090169944) = 252°
arccos(0.9743700648) = 13°	arccos(-0.6819983601) = 133°	arccos(-0.2923717047) = 253°
arccos(0.9702957263) = 14°	arccos(-0.6946583705) = 134°	arccos(-0.2756373558) = 254°
arccos(0.9659258263) = 15°	arccos(-0.7071067812) = 135°	arccos(-0.2588190451) = 255°
arccos(0.9612616959) = 16°	arccos(-0.7193398003) = 136°	arccos(-0.2419218956) = 256°
arccos(0.956304756) = 17°	arccos(-0.7313537016) = 137°	arccos(-0.2249510543) = 257°
arccos(0.9510565163) = 18°	arccos(-0.7431448255) = 138°	arccos(-0.2079116908) = 258°
arccos(0.9455185756) = 19°	arccos(-0.7547095802) = 139°	arccos(-0.1908089954) = 259°
arccos(0.9396926208) = 20°	arccos(-0.7660444431) = 140°	arccos(-0.1736481777) = 260°
arccos(0.9335804265) = 21°	arccos(-0.7771459615) = 141°	arccos(-0.156434465) = 261°
arccos(0.9271838546) = 22°	arccos(-0.7880107536) = 142°	arccos(-0.139173101) = 262°
arccos(0.9205048535) = 23°	arccos(-0.79863551) = 143°	arccos(-0.1218693434) = 263°
arccos(0.9135454576) = 24°	arccos(-0.8090169944) = 144°	arccos(-0.1045284633) = 264°
arccos(0.906307787) = 25°	arccos(-0.8191520443) = 145°	arccos(-0.08715574275) = 265°
arccos(0.8987940463) = 26°	arccos(-0.8290375726) = 146°	arccos(-0.06975647374) = 266°
arccos(0.8910065242) = 27°	arccos(-0.8386705679) = 147°	arccos(-0.05233595624) = 267°
arccos(0.8829475929) = 28°	arccos(-0.8480480962) = 148°	arccos(-0.0348994967) = 268°
arccos(0.8746197071) = 29°	arccos(-0.8571673007) = 149°	arccos(-0.01745240644) = 269°
arccos(0.8660254038) = 30°	arccos(-0.8660254038) = 150°	arccos(0) = 270°
arccos(0.8571673007) = 31°	arccos(-0.8746197071) = 151°	arccos(0.01745240644) = 271°
arccos(0.8480480962) = 32°	arccos(-0.8829475929) = 152°	arccos(0.0348994967) = 272°
arccos(0.8386705679) = 33°	arccos(-0.8910065242) = 153°	arccos(0.05233595624) = 273°
arccos(0.8290375726) = 34°	arccos(-0.8987940463) = 154°	arccos(0.06975647374) = 274°
arccos(0.8191520443) = 35°	arccos(-0.906307787) = 155°	arccos(0.08715574275) = 275°
arccos(0.8090169944) = 36°	arccos(-0.9135454576) = 156°	arccos(0.1045284633) = 276°
arccos(0.79863551) = 37°	arccos(-0.9205048535) = 157°	arccos(0.1218693434) = 277°
arccos(0.7880107536) = 38°	arccos(-0.9271838546) = 158°	arccos(0.139173101) = 278°
arccos(0.7771459615) = 39°	arccos(-0.9335804265) = 159°	arccos(0.156434465) = 279°
arccos(0.7660444431) = 40°	arccos(-0.9396926208) = 160°	arccos(0.1736481777) = 280°
arccos(0.7547095802) = 41°	arccos(-0.9455185756) = 161°	arccos(0.1908089954) = 281°
arccos(0.7431448255) = 42°	arccos(-0.9510565163) = 162°	arccos(0.2079116908) = 282°
arccos(0.7313537016) = 43°	arccos(-0.956304756) = 163°	arccos(0.2249510543) = 283°
arccos(0.7193398003) = 44°	arccos(-0.9612616959) = 164°	arccos(0.2419218956) = 284°
arccos(0.7071067812) = 45°	arccos(-0.9659258263) = 165°	arccos(0.2588190451) = 285°
arccos(0.6946583705) = 46°	arccos(-0.9702957263) = 166°	arccos(0.2756373558) = 286°
arccos(0.6819983601) = 47°	arccos(-0.9743700648) = 167°	arccos(0.2923717047) = 287°
arccos(0.6691306064) = 48°	arccos(-0.9781476007) = 168°	arccos(0.3090169944) = 288°
arccos(0.656059029) = 49°	arccos(-0.9816271834) = 169°	arccos(0.3255681545) = 289°
arccos(0.6427876097) = 50°	arccos(-0.984807753) = 170°	arccos(0.3420201433) = 290°
arccos(0.629320391) = 51°	arccos(-0.9876883406) = 171°	arccos(0.3583679495) = 291°
arccos(0.6156614753) = 52°	arccos(-0.9902680687) = 172°	arccos(0.3746065934) = 292°
arccos(0.6018150232) = 53°	arccos(-0.9925461516) = 173°	arccos(0.3907311285) = 293°
arccos(0.5877852523) = 54°	arccos(-0.9945218954) = 174°	arccos(0.4067366431) = 294°
arccos(0.5735764364) = 55°	arccos(-0.9961946981) = 175°	arccos(0.4226182617) = 295°
arccos(0.5591929035) = 56°	arccos(-0.9975640503) = 176°	arccos(0.4383711468) = 296°
arccos(0.544639035) = 57°	arccos(-0.9986295348) = 177°	arccos(0.4539904997) = 297°
arccos(0.5299192642) = 58°	arccos(-0.999390827) = 178°	arccos(0.4694715628) = 298°
arccos(0.5150380749) = 59°	arccos(-0.9998476952) = 179°	arccos(0.4848096202) = 299°
arccos(0.5) = 60°	arccos(-1) = 180°	arccos(0.5) = 300°
arccos(0.4848096202) = 61°	arccos(-0.9998476952) = 181°	arccos(0.5150380749) = 301°
arccos(0.4694715628) = 62°	arccos(-0.999390827) = 182°	arccos(0.5299192642) = 302°
arccos(0.4539904997) = 63°	arccos(-0.9986295348) = 183°	arccos(0.544639035) = 303°
arccos(0.4383711468) = 64°	arccos(-0.9975640503) = 184°	arccos(0.5591929035) = 304°
arccos(0.4226182617) = 65°	arccos(-0.9961946981) = 185°	arccos(0.5735764364) = 305°
arccos(0.4067366431) = 66°	arccos(-0.9945218954) = 186°	arccos(0.5877852523) = 306°
arccos(0.3907311285) = 67°	arccos(-0.9925461516) = 187°	arccos(0.6018150232) = 307°
arccos(0.3746065934) = 68°	arccos(-0.9902680687) = 188°	arccos(0.6156614753) = 308°
arccos(0.3583679495) = 69°	arccos(-0.9876883406) = 189°	arccos(0.629320391) = 309°
arccos(0.3420201433) = 70°	arccos(-0.984807753) = 190°	arccos(0.6427876097) = 310°
arccos(0.3255681545) = 71°	arccos(-0.9816271834) = 191°	arccos(0.656059029) = 311°
arccos(0.3090169944) = 72°	arccos(-0.9781476007) = 192°	arccos(0.6691306064) = 312°
arccos(0.2923717047) = 73°	arccos(-0.9743700648) = 193°	arccos(0.6819983601) = 313°
arccos(0.2756373558) = 74°	arccos(-0.9702957263) = 194°	arccos(0.6946583705) = 314°
arccos(0.2588190451) = 75°	arccos(-0.9659258263) = 195°	arccos(0.7071067812) = 315°
arccos(0.2419218956) = 76°	arccos(-0.9612616959) = 196°	arccos(0.7193398003) = 316°
arccos(0.2249510543) = 77°	arccos(-0.956304756) = 197°	arccos(0.7313537016) = 317°
arccos(0.2079116908) = 78°	arccos(-0.9510565163) = 198°	arccos(0.7431448255) = 318°
arccos(0.1908089954) = 79°	arccos(-0.9455185756) = 199°	arccos(0.7547095802) = 319°
arccos(0.1736481777) = 80°	arccos(-0.9396926208) = 200°	arccos(0.7660444431) = 320°
arccos(0.156434465) = 81°	arccos(-0.9335804265) = 201°	arccos(0.7771459615) = 321°
arccos(0.139173101) = 82°	arccos(-0.9271838546) = 202°	arccos(0.7880107536) = 322°
arccos(0.1218693434) = 83°	arccos(-0.9205048535) = 203°	arccos(0.79863551) = 323°
arccos(0.1045284633) = 84°	arccos(-0.9135454576) = 204°	arccos(0.8090169944) = 324°
arccos(0.08715574275) = 85°	arccos(-0.906307787) = 205°	arccos(0.8191520443) = 325°
arccos(0.06975647374) = 86°	arccos(-0.8987940463) = 206°	arccos(0.8290375726) = 326°
arccos(0.05233595624) = 87°	arccos(-0.8910065242) = 207°	arccos(0.8386705679) = 327°
arccos(0.0348994967) = 88°	arccos(-0.8829475929) = 208°	arccos(0.8480480962) = 328°
arccos(0.01745240644) = 89°	arccos(-0.8746197071) = 209°	arccos(0.8571673007) = 329°
arccos(0) = 90°	arccos(-0.8660254038) = 210°	arccos(0.8660254038) = 330°
arccos(-0.01745240644) = 91°	arccos(-0.8571673007) = 211°	arccos(0.8746197071) = 331°
arccos(-0.0348994967) = 92°	arccos(-0.8480480962) = 212°	arccos(0.8829475929) = 332°
arccos(-0.05233595624) = 93°	arccos(-0.8386705679) = 213°	arccos(0.8910065242) = 333°
arccos(-0.06975647374) = 94°	arccos(-0.8290375726) = 214°	arccos(0.8987940463) = 334°
arccos(-0.08715574275) = 95°	arccos(-0.8191520443) = 215°	arccos(0.906307787) = 335°
arccos(-0.1045284633) = 96°	arccos(-0.8090169944) = 216°	arccos(0.9135454576) = 336°
arccos(-0.1218693434) = 97°	arccos(-0.79863551) = 217°	arccos(0.9205048535) = 337°
arccos(-0.139173101) = 98°	arccos(-0.7880107536) = 218°	arccos(0.9271838546) = 338°
arccos(-0.156434465) = 99°	arccos(-0.7771459615) = 219°	arccos(0.9335804265) = 339°
arccos(-0.1736481777) = 100°	arccos(-0.7660444431) = 220°	arccos(0.9396926208) = 340°
arccos(-0.1908089954) = 101°	arccos(-0.7547095802) = 221°	arccos(0.9455185756) = 341°
arccos(-0.2079116908) = 102°	arccos(-0.7431448255) = 222°	arccos(0.9510565163) = 342°
arccos(-0.2249510543) = 103°	arccos(-0.7313537016) = 223°	arccos(0.956304756) = 343°
arccos(-0.2419218956) = 104°	arccos(-0.7193398003) = 224°	arccos(0.9612616959) = 344°
arccos(-0.2588190451) = 105°	arccos(-0.7071067812) = 225°	arccos(0.9659258263) = 345°
arccos(-0.2756373558) = 106°	arccos(-0.6946583705) = 226°	arccos(0.9702957263) = 346°
arccos(-0.2923717047) = 107°	arccos(-0.6819983601) = 227°	arccos(0.9743700648) = 347°
arccos(-0.3090169944) = 108°	arccos(-0.6691306064) = 228°	arccos(0.9781476007) = 348°
arccos(-0.3255681545) = 109°	arccos(-0.656059029) = 229°	arccos(0.9816271834) = 349°
arccos(-0.3420201433) = 110°	arccos(-0.6427876097) = 230°	arccos(0.984807753) = 350°
arccos(-0.3583679495) = 111°	arccos(-0.629320391) = 231°	arccos(0.9876883406) = 351°
arccos(-0.3746065934) = 112°	arccos(-0.6156614753) = 232°	arccos(0.9902680687) = 352°
arccos(-0.3907311285) = 113°	arccos(-0.6018150232) = 233°	arccos(0.9925461516) = 353°
arccos(-0.4067366431) = 114°	arccos(-0.5877852523) = 234°	arccos(0.9945218954) = 354°
arccos(-0.4226182617) = 115°	arccos(-0.5735764364) = 235°	arccos(0.9961946981) = 355°
arccos(-0.4383711468) = 116°	arccos(-0.5591929035) = 236°	arccos(0.9975640503) = 356°
arccos(-0.4539904997) = 117°	arccos(-0.544639035) = 237°	arccos(0.9986295348) = 357°
arccos(-0.4694715628) = 118°	arccos(-0.5299192642) = 238°	arccos(0.999390827) = 358°
arccos(-0.4848096202) = 119°	arccos(-0.5150380749) = 239°	arccos(0.9998476952) = 359°

Источник

Обратные тригонометрические функции — это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс.

Сначала дадим определения.

Арксинусом числа а называется число $varphi in left[-frac{pi }{2} ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что Или, можно сказать, что это такой угол varphi , принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен числу а.

Арккосинусом числа а называется число , такое, что

Арктангенсом числа а называется число $varphi in left(-frac{pi }{2};frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Арккотангенсом числа а называется число , такое, что

Расскажем подробно об этих четырех новых для нас функциях — обратных тригонометрических.

Помните, мы уже встречались с обратными функциями.

Например, арифметический квадратный корень из числа а — такое неотрицательное число, квадрат которого равен а.

${(sqrt{a})}^2=a; sqrt{a}ge 0; age 0.$

Логарифм числа b по основанию a — такое число с, что $boldsymbol{a^c=b.}$

При этом

Мы понимаем, для чего математикам пришлось «придумывать» новые функции. Например, решения уравнения x^2=5 — это sqrt{5} и Мы не смогли бы записать их без специального символа арифметического квадратного корня.

Понятие логарифма оказалось необходимо, чтобы записать решения, например, такого уравнения: 2^x=7. Решение этого уравнения — иррациональное число ${log}_27.$ Это показатель степени, в которую надо возвести 2, чтобы получить 7.

Так же и с тригонометрическими уравнениями. Например, мы хотим решить уравнение $sinx = frac{1}{4}.$

Ясно, что его решения соответствуют точкам на тригонометрическом круге, ордината которых равна $frac{1}{4}.$ И ясно, что это не табличное значение синуса. Как же записать решения?

Здесь не обойтись без новой функции, обозначающей угол, синус которого равен данному числу a. Да, все уже догадались. Это арксинус.

Угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , синус которого равен $frac{1}{4}$ — это арксинус одной четвертой. И значит, серия решений нашего уравнения, соответствующая правой точке на тригонометрическом круге, — это $arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

А вторая серия решений нашего уравнения — это $pi -arcsin frac{1}{4}+2 pi n,, nin Z.$

Подробнее о решении тригонометрических уравнений — здесь.

Осталось выяснить — зачем в определении арксинуса указывается, что это угол, принадлежащий отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ ?

Дело в том, что углов, синус которых равен, например, $frac{1}{4}$ , бесконечно много. Нам нужно выбрать какой-то один из них. Мы выбираем тот, который лежит на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Взгляните на тригонометрический круг. Вы увидите, что на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ каждому углу соответствует определенное значение синуса, причем только одно. И наоборот, любому значению синуса из отрезка [-1;1] отвечает одно-единственное значение угла на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что на отрезке [-1;1] можно задать функцию принимающую значения от $-frac{pi }{2}$ до $frac{pi }{2}.$

Повторим определение еще раз:

Арксинусом числа a называется число $varphi in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ , такое, что

Обозначение: Область определения арксинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Можно запомнить фразу «арксинусы живут справа». Не забываем только, что не просто справа, но ещё и на отрезке $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Мы готовы построить график функции

Как обычно, отмечаем значения х по горизонтальной оси, а значения у — по вертикальной.

Поскольку , следовательно, х лежит в пределах от -1 до 1.

Значит, областью определения функции y = arcsin x является отрезок [-1;1].

Мы сказали, что у принадлежит отрезку $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ . Это значит, что областью значений функции y = arcsin x является отрезок $left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$ .

Заметим, что график функции y=arcsinx весь помещается в области, ограниченной линиями $x= -1; , x = 1, , y= -frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2} .$

Как всегда при построении графика незнакомой функции, начнем с таблицы.

По определению, арксинус нуля — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен нулю. Что это за число? — Понятно, что это ноль.

Аналогично, арксинус единицы — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен единице. Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

Продолжаем: $arcsin frac{1}{2}$ — это такое число из отрезка $[-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ]$ , синус которого равен $frac{1}{2}$ . Да, это $frac{pi}{6}.$

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
	$-frac{pi}{2}$	$-frac{pi}{6}$	0	$frac{pi}{6}$	$frac{pi}{2}$

Строим график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in left[-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right]$

3. , то есть эта функция является нечетной. Ее график симметричен относительно начала координат.

4. Функция монотонно возрастает. Ее наименьшее значение, равное — $frac{ pi }{2}$ , достигается при x=-1 , а наибольшее значение, равное $frac{pi}{2}$ , при x = 1.

5. Что общего у графиков функций y=sin x и ? Не кажется ли вам, что они «сделаны по одному шаблону» — так же, как правая ветвь функции y=x^2 и график функции , или как графики показательной и логарифмической функций?

Представьте себе, что мы из обычной синусоиды вырезали небольшой фрагмент от $-frac{pi}{2}$ до $frac{pi}{2}$ , а затем развернули его вертикально — и мы получим график арксинуса.

То, что для функции y=sin x на этом промежутке — значения аргумента, то для арксинуса будут значения функции. Так и должно быть! Ведь синус и арксинус — взаимно-обратные функции. Другие примеры пар взаимно обратных функций — это y = x^2 при xgeq 0 и , а также показательная и логарифмическая функции.

Напомним, что графики взаимно обратных функций симметричны относительно прямой y=x.

Аналогично, определим функцию Только отрезок нам нужен такой, на котором каждому значению угла соответствует свое значение косинуса, а зная косинус, можно однозначно найти угол. Нам подойдет отрезок

Арккосинусом числа a называется число , такое, что

Легко запомнить: «арккосинусы живут сверху», и не просто сверху, а на отрезке

Обозначение: Область определения арккосинуса — отрезок [-1;1]. Область значений — отрезок

Очевидно, отрезок [0;pi ] выбран потому, что на нём каждое значение косинуса принимается только один раз. Иными словами, каждому значению косинуса, от -1 до 1, соответствует одно-единственное значение угла из промежутка

Арккосинус не является ни чётной, ни нечётной функцией. Зато мы можем использовать следующее очевидное соотношение:

Построим график функции

Нам нужен такой участок функции , на котором она монотонна, то есть принимает каждое свое значение ровно один раз.

Выберем отрезок . На этом отрезке функция монотонно убывает, то есть соответствие между множествами и взаимно однозначно. Каждому значению х соответствует свое значение у. На этом отрезке существует функция, обратная к косинусу, то есть функция у = arccosx.

Заполним таблицу, пользуясь определением арккосинуса.

Арккосинусом числа х, принадлежащего промежутку [-1; 1] , будет такое число y, принадлежащее промежутку [0;pi ] , что

Значит, , поскольку ;

, так как ;

$arccos 0 = frac{pi}{2}$ , так как $cos frac{pi}{2} = 0$ ,

$arccos frac{1}{2} = frac{pi }{3}$ , так как $cos frac{pi }{3} = 0$ ,

		$-frac{1}{2}$	0	$frac{1}{2}$
		$frac{2pi}{3}$	$frac{pi}{2}$	$frac{pi}{3}$	0

Вот график арккосинуса:

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

Эта функция общего вида — она не является ни четной, ни нечетной.

4. Функция является строго убывающей. Наибольшее значение, равное , функция у = arccosx принимает при x=-1 , а наименьшее значение, равное нулю, принимает при x=1.

5. Функции и являются взаимно обратными.

Следующие — арктангенс и арккотангенс.

Арктангенсом числа a называется число $varphi in left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ , такое, что

Обозначение: . Область определения арктангенса — промежуток Область значений — интервал $left(-frac{pi }{2}, ;frac{pi }{2}right)$ .

Почему в определении арктангенса исключены концы промежутка — точки $pm frac {pi}{2}$ ? Конечно, потому, что тангенс в этих точках не определён. Не существует числа a, равного тангенсу какого-либо из этих углов.

Построим график арктангенса. Согласно определению, арктангенсом числа х называется число у, принадлежащее интервалу $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ , такое, что

Как строить график — уже понятно. Поскольку арктангенс — функция обратная тангенсу, мы поступаем следующим образом:

— Выбираем такой участок графика функции , где соответствие между х и у взаимно однозначное. Это интервал Ц На этом участке функция принимает значения от -infty до +infty.

Тогда у обратной функции, то есть у функции , область, определения будет вся числовая прямая, от -infty до +infty, а областью значений — интервал $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} ).$

Дальше рассуждаем так же, как при построении графиков арксинуса и арккосинуса.

, значит,

$tg frac{pi}{4} = 1$ , значит, $arctg 1 = frac{pi}{4}$

$tg (-frac{pi}{4}) = -1$ , значит, $arctg (-1) = - frac{pi}{4}.$

А что же будет при бесконечно больших значениях х? Другими словами, как ведет себя эта функция, если х стремится к плюс бесконечности?

Мы можем задать себе вопрос: для какого числа из интервала $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$ значение тангенса стремится к бесконечности? — Очевидно, это $frac{pi}{2} .$

А значит, при бесконечно больших значениях х график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y=frac{pi}{2} .$

Аналогично, если х стремится к минус бесконечности, график арктангенса приближается к горизонтальной асимптоте $y= - frac{pi}{2} .$

На рисунке — график функции

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений $E (y): y in (-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

3. Функция нечетная.

4. Функция является строго возрастающей.

5. Прямые $y= - frac{pi}{2}$ и $y= frac{pi}{2}$ — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными — конечно, когда функция рассматривается на промежутке $(-frac{pi}{2} ; frac{pi}{2} )$

Аналогично, определим функцию арккотангенс и построим ее график.

Арккотангенсом числа a называется число , такое, что

График функции :

Свойства функции

1. Область определения

2. Область значений

3. Функция — общего вида, то есть ни четная, ни нечетная.

4. Функция является строго убывающей.

5. Прямые y= 0 и y= pi — горизонтальные асимптоты данной функции.

6. Функции и являются взаимно обратными, если рассматривать на промежутке

Спасибо за то, что пользуйтесь нашими материалами.
Информация на странице «Обратные тригонометрические функции и их графики» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.

Публикация обновлена:
08.05.2023

Источник

Сферы применения правил обратных тригонометрических функций

Определение

Тригонометрия — раздел математики, объясняющий зависимость между сторонами и углами треугольника, правила используют для расчета углов.

Изучая постулаты тригонометрических функций, ученики и студенты часто задаются вопросом, где эти знания могут пригодиться. Сфер применения достаточно много. Астрономы используют понятия для расчёта положения небесных объектов, тригонометрия помогает выполнять чертежи и создавать архитектурные шедевры, выстраивать модель биологических ритмов. В морской и воздушной навигации, акустике и оптике, в анализе финансового рынка, статистике, медицине, химии, во многих областях используются тригонометрические вычисления. Поэтому так важно научиться применять и выводить формулы самостоятельно.

Обратные функции тригонометрии

Обратными называются функции, которые ещё называют арксинус, арккосинус, арктангенс, арккотангенс.

Название данный вид тригонометрической зависимости, получил от соответствующей прямой функции с приставкой арк — дуга. Взаимосвязь просматривается между длиной дуги единичной окружности и соответствующим определённым отрезком.

Правила обратной функции справедливы в пределах интервалов, например,

формула арксинуса возможна при:

[arcsin (sin mathrm{x})=mathrm{x} text { при }-frac{pi}{2} leq mathrm{x} leq frac{pi}{2}]

[arccos (cos mathrm{x})=mathrm{x} text { при } 0 leq mathrm{x} leq pi]

и так далее.

Формулы с обратными функциями тригонометрии

Уже были рассмотрены обратные тригонометрические функции. Они, как и другие функции имеют между собой связи и зависимости, которые можно выразить в виде формул и использовать для решения задач.

В данной работе мы рассмотрим основные формулы, в которых применяются функции тригонометрии. Разберём их виды, деление на группы, доказательства и способы решения задач с их помощью.

Группировка основных понятий

Сначала проведём группировку формул, для того чтобы сделать более понятной логику объяснений. И объединим все правила и доказательства в одну статью.

Синус от арксинуса для [alpha in(-1 ; 1) sin (arcsin alpha)=alpha, cos (arccos alpha)=alpha]

Тангенса от арктангенса для [alpha in(-infty, infty) operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha, operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha].

Указанное в данных выражениях легко выводится из самих определений обратных функций тригонометрии. При необходимости найти arcsin tg, можно использовать приведённые формулы.

Тангенс, арктангенс, котангенс, арккотангенс, синус, арксинус, косинус, арккосинус и формулы

[text{Для }-frac{pi}{2} leq alpha leq frac{pi}{2} arcsin (sin alpha)=alpha],

[text{Для } leq alpha leq pi arccos (cos alpha)=alpha],

[text{Для }-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2} operatorname{arctg}(operatorname{tg} alpha)=alpha],

[text{Для } 0<alpha<pi operatorname{arcctg}(operatorname{ctg} alpha)=alpha].

В данном примере собраны тригонометрические выражения, достаточно очевидные, которые можно вывести из определений функций тригонометрии. Необходимо обратить внимание, на то, что высказывания будут верны, если «а» (угол, или числовое значение) будет входить в определённый предел. Если условие не выполняется, расчёт будет не верен и формулу использовать нельзя.

Соотношение между собой обратных тригонометрических функций противоположных чисел

Рассмотрим важное определение:

Обратные функции тригонометрии можно выразить через аркфункции противоположного положительного числа.

[text{Для }alpha in operatorname{open}-1,1] text { arccis }(-alpha)= -operatorname{arc} sin alpha, quad operatorname{arc} cos (-alpha)=pi -a r c cos alpha]

[text { Для } alpha in(-infty, infty) operatorname{arctg}(-alpha)= -operatorname{arctg} alpha, operatorname{arcctg}(-alpha)=pi-operatorname{arcctg} alpha]

Это значит, если расчёты имеют функции отрицательного числа, от них можно избавиться. Для этого необходимо преобразовать их в аркфункции положительных чисел. Такие вычисления проводить проще.

Формулы суммы: arcsin + arccos, arctg +arcctg

Правила суммы выглядят так:

Для [alpha in[-1,1] arcsin alpha+arccos alpha=frac{pi}{2}],

Для [alpha in[-infty, infty] operatorname{arctg} alpha+operatorname{arctg} alpha=frac{pi}{2}].

Отсюда видно, что arcsin определённого числа можно выразить через его arccos , и наоборот. Тоже правило касается и arctg и arcctg, которые выражаются аналогично.

Формулы связи между обратными и прямыми тригонометрическими функциями

Чтобы иметь возможность решить множество задач, требуется знание связей между прямыми тригонометрическими функциями, и их аркфункциями. Рассмотрим, как необходимо поступить, если нужно вычислить тангенс арксинуса. Ниже представлен список основных формул, которые помогут в решении таких задач.

[-1 leq alpha leq 1], [sin (arcsin alpha)=alpha]	[-1 leq alpha leq 1], [sin (arccos alpha) =sqrt{1-alpha^{2}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arctg} alpha)=frac{alpha}{sqrt{1+alpha^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1 leq alpha leq 1], [cos (arcsin alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]	[-1 leq alpha leq 1], [cos (arccos alpha)=alpha]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]	[-infty leq alpha leq+infty], [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]
[-1<alpha<1], [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]	[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-a^{2}}}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{tg}(operatorname{arctg} alpha)=alpha]	[alpha neq 0], [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{alpha}]
[alpha in(-1,0) cup(0,1)], [operatorname{ctg}(arcsin alpha)=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}]	[-1<alpha<1], [operatorname{ctg}(arccos alpha)=frac{alpha}{sqrt{1-a^{2}}}]	[alpha neq 0], [operatorname{ctg}(operatorname{arctg} alpha)=frac{1}{alpha}]	[-infty leq alpha leq+infty], [operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)=alpha]

Таблица 1.

Примеры 1 — 2

Нужно найти косинус арктангенса из 5.

Решение. Для этого необходимо воспользоваться формулой следующего вида: [cos (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

Подставим необходимое значение: [cos (operatorname{arctg} sqrt{5})=frac{1}{sqrt{1+sqrt{5^{2}}}}=frac{2}{sqrt{6}}]

Определить синус арккосинуса [frac{1}{2}]
Решение. Реализовать решение нам поможет формула: [sin (arccos alpha)=sqrt{1-alpha^{2}}]

Ставим значение и получаем: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sqrt{1-left(frac{1}{2}right)^{2}}=frac{sqrt{3}}{2}]

Заметим, что непосредственное вычисление приведёт к тому же ответу: [sin left(arccos frac{1}{2}right)=sin frac{pi}{3}=frac{sqrt{3}}{2}]

Для правильного вычисления значений прямых и обратных тригонометрических функций, стоит вспомнить начальные материалы.

Доказательство формул синуса от арккосинуса, арккотангенса и арктангенса

Чтобы вывести формулы и разобрать их более наглядно, необходимо применить основные тригонометрические тождества и правила обратных тригонометрических функций, которые были выведены ранее.

Доказательство формул 1

Используя тождества получим:

[sin ^{2} alpha+cos ^{2} alpha=1]

[1+operatorname{ctg}^{2} alpha=frac{1}{sin ^{2} alpha}]

Вспомним тот факт, что tg α *ctg α= 1, следовательно

[sin alpha=sqrt{1-cos ^{2} alpha}, 0 leq alpha leq pi]

[sin alpha=frac{operatorname{tg} alpha}{sqrt{1+operatorname{tg}^{2} alpha}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]

[sin alpha=frac{1}{sqrt{1+c t g^{2} alpha}}, 0<alpha<pi]

Результатом станет вывод синуса через подходящие аркфункции в заданном условии.

В математическое выражение вместо α, ставим arccos α, получаем в итоге формулу синуса арккосинуса.

Во втором случае вместо α подставляем arctg α, соответственно получаем формулу синуса арктангенса.

В третьем варианте проводим аналогичную операцию и подставляем arcctg α для выражения формулы синуса арккотангенса.

Нет времени решать самому?

Наши эксперты помогут!

Доказательство формул для тангенса, обратных функций(arcsin, arccos, arcctg)

В данном разделе рассмотрим доказательство закона тангенса обратных функций тригонометрии.

Доказательство формул 2

Исходя из: [frac{sin alpha}{sqrt{1-sin alpha^{2}}},-frac{pi}{2}<alpha<frac{pi}{2}]Получим [operatorname{tg}(arcsin alpha)=frac{sin (arcsin alpha)}{sqrt{1-sin ^{2}(arcsin alpha)}}=frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]При условии [-1<alpha<1]
Из выражения [operatorname{tg} alpha=frac{sqrt{1-cos ^{2} alpha}}{cos alpha}, alpha inleft[0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright]]
Получаем [operatorname{tg}(arccos alpha)=frac{sqrt{1-cos ^{2}(arccos alpha)}}{cos (arccos alpha)}=frac{sqrt{1-alpha^{2}}}{alpha}] при условии [alpha in(-1,0) cup(0,1)].
Исходя из [operatorname{tg} alpha=frac{1}{operatorname{ctg} alpha}, alpha inleft(0, frac{pi}{2}right) cupleft(frac{pi}{2}, piright)] получаем [operatorname{tg}(operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{operatorname{ctg}(operatorname{arcctg} alpha)}=frac{1}{alpha}] при условии, что [alpha neq 0].

Далее нам понадобятся понятия котангенсов арксинуса, арккосинуса, арктангенса. Напомним такое тригонометрическое равенство:

[operatorname{ctg} alpha=frac{1}{operatorname{tg} alpha}]

Применяя данное выражение можно вывести необходимые формулы, вставляя выражения тангенса обратных функций тригонометрии. Практически необходимо поменять местами числитель и знаменатель.

Выражение арксинуса с помощью арккосинуса, арктангенса и арккотангенса

Прямые и обратные функции в тригонометрии связаны между собой. Полученные в результате выведения формулы помогут найти связь и между обратными функциями тригонометрии, выразив одни аркфункции через другие. Рассмотрим примеры.

В первом случае меняем арксинус на арккосинус, а арктангенс на арккотангенс, получим следующие формулы арксинуса и арккосинуса:

[begin{aligned} &arcsin a=left{begin{array}{l} arccos sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ -arccos sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arcsin a=operatorname{arctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 \ &arcsin a=left{begin{array}{l} operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ operatorname{arcctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}-pi,-1 leq a<0 end{array}right. end{aligned}]

Для арккосинуса также есть свои формулы:

[begin{aligned} &arccos a=left{begin{array}{l} arcsin sqrt{1-a^{2}}, 0 leq a leq 1 \ pi-arcsin sqrt{1-a^{2}},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=left{begin{array}{l} operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a}, 0<a leq 1 \ pi+operatorname{arctg} frac{sqrt{1-a^{2}}}{a},-1 leq a<0 end{array}right. \ &arccos a=operatorname{arcctg} frac{a}{sqrt{1-a^{2}}},-1<a<1 end{aligned}]

Выражения для арктангенса:

[begin{aligned} &operatorname{arctg} a=arcsin frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arctg} a=left{begin{array}{l} arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ -arccos frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=operatorname{arcctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Последний блок формул покажет преобразование арккотангенса через другие обратные функции тригонометрии:

[begin{aligned} &operatorname{arcctg} a=left{begin{array}{l} arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a geq 0 \ pi-arcsin frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}, a<0 end{array}right.\ &operatorname{arctg} a=arccos frac{a}{sqrt{1+a^{2}}},-infty<a<+infty\ &operatorname{arcctg} a=operatorname{arctg} frac{1}{a}, a neq 0 end{aligned}]

Рассмотренные формулы арксинуса, арккосинуса, арктангенса помогут в решении различных задач. Разберём доказательство с использованием основных определений обратных функций и ранее рассмотренных правил.

Возьмём arcsin [alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1] для выведения доказательства.

Мы имеем выражение [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] — число, которое имеет значение от минус половины [pi] до плюс половины [pi]. Используя выражение синуса арктангенса, получаем следующее:

[sin left(operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+left(frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}right)^{2}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{sqrt{1+frac{alpha^{2}}{1-alpha^{2}}}}=frac{frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}}{frac{1}{sqrt{1-alpha^{2}}}}=alpha]

Получается, что [operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}] с условием [-1<alpha<1] — арксинус числа [alpha].

Вывод: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}},-1<alpha<1].

Другие подобные формулы доказываются по аналогичной схеме.

Рассмотрим пример применения полученных истин.

Пример 3

Необходимо вычислить синус арккотангенса — [sqrt{3}]
Решение. Для того чтобы провести решение задачи, необходимо использовать формулу связи арккотангенса и арксинуса: [arcsin alpha=operatorname{arctg} frac{alpha}{sqrt{1-alpha^{2}}}]

Подставим в неё [alpha=-sqrt{3}] и получим [-frac{1}{2}].

Используя непосредственное вычисление ответ был бы такой же: [sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=sin frac{5 pi}{6}=frac{1}{2}]

Можно использовать и следующую формулу:

[sin (operatorname{arcctg} alpha)=frac{1}{sqrt{1+a^{2}}}]

[sin (operatorname{arcctg}(-sqrt{3}))=frac{1}{sqrt{1+(-sqrt{3})^{2}}}=frac{1}{2}]

Другие формулы, в которых используются обратные функции тригонометрии

Разобраны основные функции, которые чаще всего используются для решения задач. Но представлены не все формулы с обратными тригонометрическими функциями, есть некоторые специфичные, употребляемые редко, но они тоже полезны. Учить их нет смысла, лучше вывести при необходимости.

Пример 4

Разберём для примера одну такую формулу. Выглядит она так:

[sin ^{2} frac{alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos alpha}{2}}]

Если представленный угол имеет значение больше нуля, но меньше Пи, то получаем:

[sin frac{arccos alpha}{2}=sqrt{frac{1-cos (arccos alpha)}{2}}]

[Leftrightarrow sin frac{arccos alpha}{2}=frac{sqrt{1-alpha}}{2}]

Здесь мы выводим следующую готовую формулировку, арксинус которой выведен через арккосинус:

[frac{arccos alpha}{2}=arcsin sqrt{frac{1-alpha}{2}}]

В тексте рассмотрены лишь некоторые, самые популярные виды связей между прямыми и обратными функциями тригонометрии. Главное не выучить наизусть данные постулаты, а научиться их применять и выводить, исходя из уже известных определений.

Удобно использовать инженерный вид калькулятора, на котором есть, необходимые для вычислений тригонометрические формулы и функции.

Источник

План урока:

Арккосинус

Арксинус

Арктангенс

Решение уравнения cosx = a

Решение уравнения sinx = a

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Арккосинус

Напомним, что на единичной окружности косинус угла – это координата х точки А, соответствующей этому углу:

Можно утверждать, что косинус – это ф-ция, которая ставит каждому углу в соответствие некоторую координату х. Теперь предположим, что нам известна эта координата (пусть она будет равна величине а), и по ней надо определить значение угла. Отложим на оси Ох отрезок длиной а, проведем через него вертикальную прямую и отметим ее точки пересечения с единичной окружностью. Если – 1<а < 1, то должно получиться две точки, которым соответствуют два противоположных угла:

2hgjhj

Получается, что каждому значению числа а соответствует некоторый угол α. А если есть соответствие, то есть и функция:

α = f (a)

В математике ее называют арккосинусом. Записывается она так:

3hgfgh

Вертикальная прямая может пересекать единичную окружность в двух разных точках. Им соответствуют разные углы. Принято считать, что арккосинус – это значение того угла, который лежит в первой или второй четверти, то есть ему соответствует точка, лежащая выше оси Ох. Тогда другая точка пересечения будет соответствовать углу (– arccosa):

4gfgh

Выходит, что арккосинус может принимать только значения из отрезка [0; π]. Дадим определение арккосинуса:

5gfdhg

Задание. Вычислите арккосинус числа 1/2.

Решение. Мы помним, что косинус угла π/3 равен 1/2:

6gfgjhj

Следовательно, arccos 1/2 – это и есть угол π/3:

7fdfg

Ответ: π/3.

Обратим внимание, что если число а равно 1 или (– 1), то его арккосинус равен нулю в первом случае и π во втором:

В тех случаях, когда а > 1 либо а <– 1, то соответствующая прямая не пересечет единичную окружность. Это значит, что эти значения не входят в область определения арккосинуса:

9gfghh

Получается, что область определения арккосинуса – это промежуток [– 1; 1].

Для вычисления арккосинусов от отрицательных величин удобно пользоваться формулой

10gfdty

Действительно, если отложить на координатной прямой числа а и (– а), то вертикальные прямые, проходящие через них, пересекут окружность в некоторых точках А и С:

11fdty

Дополнительно обозначим буквой В точку с координатами (1; 0) и буквой D точку с координатами (– 1; 0). Эти точки располагаются на пересечении оси Ох и единичной окружности. Тогда можно записать, что

ведь эти два угла образуют вместе развернутый угол ВОD, равный π. С другой стороны, из симметрии очевидно, что углы ∠COD и ∠АОВ равны друг другу, значит, ∠COD = ∠АОВ = arccosa. Тогда

Но ∠СОВ – это арккосинус от (– а), поэтому

15hfyu

Задание. Вычислите arccos (– 1/2).

Решение. Используем только что полученную формулу:

Ответ: 2π/3.

Арксинус

Арккосинус – это ф-ция, обратная косинусу. Аналогично можно вести и другие обратные тригонометрические ф-ции. Пусть нам требуется узнать, синус какого угла равен числу а. Так как синус – это координата у точки на единичной окружности, то достаточно провести горизонтальную линию у = а:

18bgfhy

Прямая может пересечь окружность сразу в двух точках. За арксинус принимают угол, соответствующей точке, расположенной правее оси Оу. Вторая же точка соответствует углу π – arcsin α:

Арксинус может быть вычислен и для отрицательного значения а. В этом случае точка пересечения прямой и окружности будет располагаться в IV четверти, а соответствующий ему угол окажется отрицательным:

20nhkjk

При значениях а, равных (– 1) и 1, точка пересечения будет только одна. В этих случаях арксинус окажется равным либо углу π/2, либо углу (– π/2):

21bghjk

Таким образом, арксинус может принимать значения из отрезка [– π/2; π/2], а вычислить его можно для чисел а, принадлежащих отрезку [– 1; 1]. Если же число а выходит за пределы этого промежутка, то горизонтальная прямая не пересекает единичную окружность, а потому ф-ция арксинуса становится неопределенной:

22hghjt

Получается, что областью определения арксинуса является промежуток [– 1; 1], а областью значений – промежуток [– π/2; π/2].

Дадим определение арксинусу:

23gfghy

Задание. Чему равен arcsin0,5?

Решение. Мы знаем, что sinπ/6 = 1/2 = 0,5. Следовательно, арксинус 0,5 равен π/6.

24bgfhy

Для вычисления арксинусов отрицательных углов используется формула

25bgj

Справедливость этой формулы очевидна из картинки:

26bghj

Задание. Вычислите arcsin (– 0,5).

Решение. Используем формулу для арксинуса отрицательного числа:

28bgjhj

Арктангенс

Введем ф-цию, обратную тангенсу. Она называется арктангенс.

Напомним, что величину тангенса на координатной плоскости можно получить, если продолжить угол до его пересечения с вертикальной прямой х = 1. Аналогично, чтобы определить арктангенс некоторого числа а, надо отметить на этой прямой точку с координатами (1; а) и соединить её с началом координат:

29bghjf

Несложно видеть, что, какое бы число а нами не было выбрано, мы с помощью построения всегда сможем соединить точку А с началом координат и получить некоторый угол arctga. Это значит, что область определения арктангенса – это вся числовая прямая, то есть промежуток (– ∞; + ∞).

Ещё раз уточним, что вводимые нами функции arcos, arcsin, arctg называются ОБРАТНЫМИ тригонометрическими функциями. C их помощью можно определить угол, если известно значение его синуса, косинуса или тангенса.Образно говоря, обратные триг-кие функции играют в тригонометрии ту же роль, что и квадратные корни при исследовании квадратных ур-ний. Как без квадратных корней невозможно решать квадратные ур-ния, так и без знания об обратных триг-ких функций нельзя решать уже тригом-кие уравнения.

Теперь вернемся к понятию арктангенса. При положительном значении числа а угол arctga будет принадлежать I четверти. Если же а – отрицательное число, то угол arctga окажется также отрицательным и будет принадлежать IV четверти:

30ghjuk

Получается, что величина arctgа может принадлежать промежутку (– π/2; π/2). Обратите внимание, что в данном случае у промежутка круглые скобки. Действительно для углов (– π/2) и π/2 тангенс не определен, а потому арктангенс не может принимать эти два значения.

31gfgh

Задание. Чему равен arctg 1?

Решение. Из таблицы тангенсов мы знаем, что tgπ/4 = 1. Это значит, что

Для вычисления арктангенсов отрицательных чисел используют формулу

33bgj

В ее справедливости можно убедиться, взглянув на рисунок:

34gfhj

35nghjh

Задание. Вычислите arctg (– 1).

Решение.

36nhgh

Ответ: – 1

В принципе можно ввести ещё ф-цию, обратную котангенсу – арккотангенс. Однако для решения тригонометрических уравнений, как мы убедимся далее, она не требуется, а поэтому в рамках школьного курса математики ее можно не изучать.

В заключение приведем таблицы, которые помогают вычислять значение обратных тригон-ких функций:

Решение уравнения cosx = a

Рассмотрим тригонометрическое уравнение, в левой части которого стоит ф-ция cosx, а в правой – число, например, 0,5:

38hfgh

По определению арккосинуса очевидно, что arccos 0,5 будет его решением, ведь

39hgfgh

Так как arccos 0,5 = π/3, то мы находим очевидный корень х = π/3. И действительно, если подставить это значение в исходное ур-ние, то получится верное равенство:

40gfyu

Значит ли это, что мы решили ур-ние? Нет, ведь мы нашли только один корень, а их может быть несколько. Проведем на единичной окружности вертикальную прямую х = 0,5 и посмотрим, где она пересечет окружность:

41gfdyu

Видно, что есть ещё одна точка пересечения, соответствующая углу (– arccos 0,5). Это значит, что этот угол также является решением ур-ния. Проверим это:

42gfjhj

Здесь мы использовали тот факт, косинус – четная функция, то есть

Итак, число – π/3 также является корнем ур-ния. Есть ли ещё какие-нибудь корни? Оказывается, есть. Построим график ф-ции у = cosx и посмотрим, где ее пересекает прямая у = 0,5:

Оказывается, прямая пересекает график в бесконечном количестве точек! Это связано с периодичностью ф-ции у = cosx. Период этой ф-ции равен 2π, то есть

45bgjhj

Поэтому, если число π/3 является решением ур-ния, то так же решением будут и число π/3 + 2π. Но к этому числу можно ещё раз добавить 2π и получить число π/3 + 4π. И оно тоже будет корнем. С другой стороны, период можно не только добавлять, но и вычитать, поэтому корнями ур-ния окажутся числа π/3 – 2π, π/3 – 4π и т.д. Как же записать все эти бесчисленные решения? Для этого используется такая запись:

46hhkjk

Запись «π/3+ 2πn» называется серией решений. Она включает в себя бесконечное количество значений х, которые обращают ур-ние в справедливое равенство. Достаточно выбрать любое целое число и подставить его в серию решений. Например, при n = 0 получим решение

47hgfj

При n = 5 получим корень

48hgjj

При n = – 10 у нас получится решение

49jhkjk

Однако помимо серии х = π/3 + 2πn решениями ур-ния будет определять ещё одна серия:

50hgfyu

Действительно, число (– π/3) является корнем, но не входит в первую серию. Поэтому оно порождает собственную серию корней. Так, подставив в эту серию n = 4, получим корень

51ghjhj

Итак, решением ур-ния являются две серии решений. Заметим, что каждой серии решений с периодом 2π соответствует ровно одна точка на единичной окружности:

52hjkjk

Объединить же обе серии можно одной записью:

53ghyu

Напомним, что мы решали ур-ние

54gfhyu

и получили для него решение

55bggfh

Число π/3 появилось в записи по той причине, что arccos 0,5 = π/3. Поэтому в общем случае, когда ур-ние имеет вид

56hgi

где а – некоторое число, его решением будут все такие х, что

57jhjk

58jyui

Для краткости запись «n– целое число» заменяют эквивалентной записью

«n ∈ Z»

Напомним, что буквой Z обозначают множество целых чисел.

Задание. Решите ур-ние

59nhgj

Решение. Вспомним, что

60hgfhf

Задание. Решите ур-ние

61gfty

Решение. В таблице стандартных углов нет такого числа, у которого косинус равен 0,25. Поэтому вычислить значение arccos 0,25 мы не сможем. Но для записи решения и не нужно его вычислять:

62kgit

Иногда встречаются задачи, в которых надо не просто решить ур-ние, но и выбрать некоторые его корни, удовлетворяющие определенному условию. Процедуру выбора корней, удовлетворяющих условию задачи, часто называют отбором корней. Заметим, что иногда при отборе корней удобнее записывать решение ур-ние не в виде одной серии, а в виде двух серий, у каждой из которых период равен 2π. Рассмотрим отбор корней на примере.

Задание. Укажите три наименьших положительных корня ур-ния

63bgh

Решение. Так как

64gfdgd

то все решения образуют две серии:

65gfdfg

Начнем подставлять вместо n целые числа и выпишем из каждой серии несколько чисел. Так мы сможем найти наименьшие положительные числа в каждой серии.

Для первой серии:

66gfdfg

Для второй серии:

Отметим все найденные корни на координатной прямой (схематично, не выдерживая масштаб):

68gfdgs

Видно, что тремя наименьшими положительными корнями являются числа π/4, 7π/4 и 9π/4

Ответ: π/4, 7π/4 и 9π/4.

Отметим, что возможны три частных случая, когда две серии решений сливаются в одну. Для ур-ния

69fhgh

На графике видно, что этим значениям х соответствуют вершины синусоиды. Решениями же ур-ния

являются точки, в которых график пересекает ось Ох:

71gdfg

Отдельно отметим, что если правая часть в ур-нии – это число, большее единицы или меньшее (– 1), то ур-ние корней не имеет, ведь область определения косинуса – это отрезок [– 1; 1].

Решение уравнения sinx = a

Ур-ние cosx = a называют простейшим тригонометрическим уравнением, ведь, ведь для его решения не требуется проводить никаких преобразований. Аналогично простейшими являются ур-ния sinx = a, tgx = a и ctgx = a.

Ситуация с ур-нием sinx = a аналогична ситуации с косинусом. Если число а не принадлежит промежутку [– 1; 1], то корней у ур-ния не будет. Если же число а будет принадлежать этому промежутку, то у ур-ния окажется бесконечное число решений.

Рассмотрим случай, когда 0<а< 1. Тогда решениями ур-ния окажутся числа arcsina и π – arcsina:

В свою очередь каждое из этих двух решений порождает свою собственную бесконечную серию решений

73fdhh

Однако, как и в случае с косинусом, существует способ записать одной формулой сразу оба этих решения. Для этого перепишем первую серию таким образом:

Действительно, если n окажется четным, то, то выражение (– 1)ⁿ,будет равно единице, и мы получим первую серию. Если же n – нечетное число, то, то выражение (– 1)ⁿокажется равным (– 1), и мы получим вторую серию.

Задание. Решите ур-ние

76gghj

Задание. Запишите корни ур-ния

77gdhgh

Теперь будем подставлять в это решение значения n, чтобы найти конкретные значения х. Нас интересуют корни, которые больше π, но меньше 4π, поэтому будем сразу сравнивать полученные результаты с этими числами.

78dfgf

Получили два корня, относящихся к промежутку – это 7π/3 и 8π/3. Нет смысла проверять другие возможные значения n, ведь они будут давать корни, заведомо меньшие 2π/3 или большие 13π/3:

79gfdfg

Ответ: 7π/3 и 8π/3.

Как и в случае с косинусом, есть несколько частных случаев, когда решение ур-ния записывается проще. Ур-ние

80gdfhg

Это видно из графика, где корням ур-ния соответствуют точки пересечения синусоиды с осью Ох:

81jhdfg

Решениями ур-ния

83gtyui

Наконец, решениями ур-ния

Решение уравнений tgx = a и ctgx = a

Ур-ния вида tgx = a отличаются тем, что имеют решение при любом значении а. Действительно, построим одну тангенсоиду и проведем горизонтальную линии у = а. При любом а прямая пересечет тангенсоиду, причем ровно в одной точке, которая имеет координаты (arctga; a):

85ghyu

Таким образом, у ур-ния tgx = a существует очевидное решение

x = arctg a

Однако напомним, что тангенс является периодической ф-цией, его график представляет собой бесконечное множество тангенсоид, расстояние между которыми равно π. Поэтому корень х = arctga порождает целую серию корней, которую можно записать так:

86gdfgy

87fgjt

88yiui

Задание. Решите ур-ние

89gfjdg

Задание. Запишите формулу корней ур-ния

Далее рассмотрим ур-ние вида

91gfdgu

Задание. Решите ур-ние

92gjiyu

Существует особый случай, когда нельзя заменить котангенс на тангенс. В ур-нии

Из сегодняшнего урока мы узнали про обратные тригонометрические ф-ции – арксинус, арккосинус и арктангенс. Также мы научились находить решения простейших тригонометрических уравнений. Это поможет нам в будущем при изучении более сложных ур-ний.

Источник