Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Углы при параллельных прямых и секущей
Пусть прямая пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы 1 и 3 — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы 5 и 7, 6 и 8 — тоже вертикальные.
Углы 1 и 2 — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы 3 и 5 (а также 1 и 7, 2 и 8, 4 и 6) — накрест лежащие.
Накрест лежащие углы равны.
,
,
,
.
Углы 1 и 6 — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы 4 и 7 — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
,
.
Углы 2 и 6 (а также 3 и 7, 1 и 5, 4 и называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
,
.
Углы 3 и 5 (а также 2 и 8, 1 и 7, 4 и 6) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
,
,
,
.
Чтобы применять все эти факты в решении задач по геометрии, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть две параллельных прямые и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это – один из шагов, из которых и состоит решение.
В этой статье – полезные теоремы и примеры решения задач ЕГЭ и ОГЭ по теме «Углы при параллельных прямых и секущей».
Этот материал можно использовать для проектов по геометрии, в работе на уроке и самостоятельно.
Теорема 1.
Углы с соответственно параллельными сторонами равны, если они оба острые или тупые.
Доказательство:
Дано два острых угла: и Известно, что их стороны параллельны: и
Докажем, что
Пусть
Тогда как соответственные углы при параллельных прямых CA и NF и секущей CB.
как соответственные углы при параллельных прямых CB и NM и секущей NF.
Отсюда следует, что что и требовалось доказать.
Аналогично и для тупых углов.
Теорема 2.
Углы с соответственно параллельными сторонами в сумме составляют если один из них острый, а другой тупой.
Доказательство:
Дано: – острый, а – тупой. Известно, что их стороны параллельны: и
Докажем, что сумма углов и равна
Пусть Продолжим луч NM за точку N и получим прямую MK.
Получили два острых угла, и с параллельными сторонами. Согласно теореме 1, они равны, т. е.
как смежные. Значит,
Теорема доказана.
Теорема 3.
Если накрест лежащие углы равны, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и секущей AB накрест лежащие углы равны:
Докажем, что Если углы 1 и 2 прямые, то прямые и перпендикулярны к прямой AB и, следовательно, параллельны.
Рассмотрим случай, когда углы 1 и 2 не прямые.
Из середины О отрезка АВ проведем перпендикуляр OH к прямой
На прямой от точки В отложим отрезок равный отрезку AH
по двум сторонам и углу между ними, поэтому и Из равенства следует, что точка лежит на продолжении луча OH, т. е. точки H, O и лежат на одной прямой, а из равенства следует, что угол 6 – прямой (так как угол 5 – прямой). Итак, прямые и перпендикулярны к прямой поэтому они параллельны. Теорема доказана.
Теорема 4.
Если соответственные углы равны, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и секущей соответственные углы равны, например
Так как углы 2 и 3 – вертикальные, то Из этих двух равенств следует, что . Но углы 1 и 3 – накрест лежащие, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана.
Теорема 5.
Если сумма односторонних углов равна 180 градусов, прямые параллельны.
Доказательство:
Пусть при пересечении прямых и секущей сумма односторонних углов равна например
Так как углы 3 и 4 – смежные, то Из этих двух равенств следует, что накрест лежащие углы 1 и 3 равны, поэтому прямые и параллельны. Теорема доказана
И самое главное. Подборка примеров заданий ОГЭ и ЕГЭ по темам: углы при параллельных прямых и секущей, внешние накрест лежащие и внутренние накрест лежащие углы, односторонние углы.
Задачи ОГЭ по теме: Свойства параллельных прямых и секущей, углы при пересечении параллельных прямых секущей
Задача 1. Биссектриса угла A параллелограмма ABCD пересекает сторону BC в точке K. Найдите периметр параллелограмма, если BK=5, CK=14.
Решение:
Стороны BC и AD параллелограмма параллельны, АК – секущая. Углы и равны как накрест лежащие.
– равнобедренный треугольник.
Мы доказали важное утверждение.
Биссектриса угла параллелограмма отсекает от него равнобедренный треугольник.
AB=BK=5.
Ответ: 48.
Задача 2. Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F.
Найдите AB, если AF=24, BF=10.
Решение:
Основания трапеции АD и ВС параллельны, поэтому углы BAD и АВС – односторонние при параллельных прямых АD и ВС и секущей АВ. Сумма односторонних углов равна
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна
Мы получили, что
AF — биссектриса угла А,
BF — биссектриса угла В, поэтому
тогда
Из треугольника AFB получим, что
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов трапеции, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AFB – прямоугольный.
По теореме Пифагора,
Ответ: 26.
Задача 3. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает стороны AB и BC в точках M и N соответственно, AB=28, AC=16, MN=12. Найдите AM.
Решение:
Пусть М – середина АВ, N – середина ВС. Тогда MN – средняя линия треугольника АВС,
Значит, как односторонние углы при параллельных прямых и и секущей АВ.
по двум углам.
Отсюда ;
Ответ: 21.
Задача 4. Угол A трапеции ABCD с основаниями AD и BC, вписанной в окружность, равен 108 Найдите угол B этой трапеции. Ответ дайте в градусах.
Решение:
ABCD – трапеция, – основания, AB – секущая.
Значит, и – внутренние односторонне углы.
Отсюда
Ответ:
Задача 5. Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC=7, а расстояние от точки K до стороны AB равно 4.
Решение:
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне параллелограмма, равна
Это значит, что
AК — биссектриса угла А,
BК — биссектриса угла В, поэтому
тогда
Из треугольника AKB получим, что
Мы доказали теорему:
Биссектрисы углов параллелограмма, прилежащих к боковой стороне, перпендикулярны.
Значит, треугольник AKB – прямоугольный.
Расстояние от точки K до стороны AB – это длина перпендикуляра, проведенного из точки на прямую АВ, т.е.
по гипотенузе и острому углу
Аналогично, по гипотенузе и острому углу
Получили:
Тогда ;
Ответ: 56.
Задача 6. На плоскости даны четыре прямые. Известно, что Найдите Ответ дайте в градусах.
Решение:
и – это внутренние односторонние углы,
Отсюда следует, что прямые параллельны, т.е.
Рассмотрим углы при параллельных прямых и секущей d.
и – это односторонние углы, а значит, они равны:
Ответ:
Задача 7. Прямые m и n параллельны. Найдите если Ответ дайте в градусах.
Решение:
как односторонние углы.
Сумма углов треугольника равна
Для треугольника на рисунке:
Ответ: 86.
Задача 8. Диагональ AC параллелограмма ABCD образует с его сторонами углы, равные 30 и 45 Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ, их сумма равна
Тогда
Это и есть наибольший угол параллелограмма.
Ответ: 105.
Задача 9. Найдите величину тупого угла параллелограмма ABCD, если биссектриса угла A образует со стороной BC угол, равный 15 Ответ дайте в градусах.
Решение:
AK – биссектриса угла А параллелограмма ABCD,
и – внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей АВ. Их сумма равна значит,
Ответ: 150.
Задача 10. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите меньший угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение: тогда – равнобедренный, в нем Значит,
Ответ: 5,5.
Задачи ЕГЭ по теме: Углы при параллельных прямых и секущей
Задача 1, ЕГЭ. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен 88.
Решение:
Напомним, что биссектриса угла – это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть BM – биссектриса тупого угла B. По условию, отрезки MD и AB равны 3x и 4x соответственно.
Рассмотрим углы CBM и BMA. Поскольку AD и BC параллельны, BM – секущая, углы CBM и BMA являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник ABM – равнобедренный, следовательно, AB = AM = 4x.
Периметр параллелограмма – это сумма всех его сторон, то есть
7x+7x+4x+4x=88.
Отсюда
Ответ: 28.
Задача 2, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Решение:
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на рисунок. По условию, то есть
Углы и – односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
по свойству односторонних углов.
Итак,
тогда
Ответ: 115.
Задача 3, ЕГЭ. Точка пересечения биссектрис двух углов параллелограмма, прилежащих к одной стороне, принадлежит противоположной стороне. Меньшая сторона параллелограмма равна 5. Найдите его большую сторону.
Решение:
и – внутренние односторонние углы и при параллельных прямых
и и секущей BC; их сумма равна
BE – биссектриса угла В, значит как накрест лежащие углы при и секущей BE. Тогда – равнобедренный,
Аналогично, CE – биссектриса угла С, значит как накрест лежащие углы при и секущей CE. Тогда – равнобедренный и
Значит
Ответ : 10.
Задача 4, ЕГЭ. В ромбе ABCD угол ABC равен 122 Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
и – это внутренние односторонние углы при параллельных прямых.
и секущей BC, их сумма равна
Значит,
– ромб, диагонали ромба делят его углы пополам.
Тогда
Ответ: 29.
Задача 5, ЕГЭ. Угол между стороной и диагональю ромба равен Найдите острый угол ромба.
Решение:
Диагональ ромба делит его угол пополам, то есть является биссектрисой угла ромба. Поэтому один из углов ромба равен градусов, и это тупой угол ромба. Тогда острый угол ромба равен
Ответ: 72.
Задача 6, ЕГЭ. Основания трапеции равны 18 и 6, боковая сторона, равная 7, образует с одним из оснований трапеции угол 150 Найдите площадь трапеции.
Решение:
Пусть
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними при и секущей BC. Их сумма равна
Тогда Построим высоту из вершины Получим прямоугольный треугольник с острым углом в 30
Высота трапеции DH – это катет, лежащий напротив угла в и равный половине гипотенузы, т. е.
Отсюда
Ответ: 42.
Задача 7, ЕГЭ. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Решение:
У равнобедренной трапеции углы при основании равны т.е.
По условию,
и прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых
и и секущей BC. Их сумма равна
Получили:
Сложив два уравнения, получим: тогда
Ответ: 115.
Задания ЕГЭ Базового уровня, геометрия. Свойства углов при параллельных прямых и секущей.
Задание 1. Основания трапеции равны 10 и 20, боковая сторона, равная 8, образует с одним из оснований трапеции угол Найдите площадь трапеции.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных основаниях трапеции и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол трапеции равен 30 Построив высоту, мы увидим, что она лежит против прямого угла в прямоугольном треугольнике. Значит, высота равна половине боковой стороны, т.е.
Отсюда
Ответ: 60.
Задание 2. В прямоугольной трапеции основания равны 4 и 7, а один из углов равен Найдите меньшую боковую сторону.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен
Вторая высота отсекает равнобедренный прямоугольный треугольник с катетом, равным разности оснований. Значит, высота равна: 7–4=3.
Отсюда
Ответ: 16,5.
Задание 3. В трапеции ABCD известно, что AB = CD, и Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Углы, прилежащие к боковой стороне трапеции, являются внутренними односторонними углами при параллельных прямых и секущей. Их сумма равна Значит, острый угол равен
Нам дана трапеция, в которой Очевидно, что это боковые стороны, и трапеция равнобедренная с основаниями и .
и параллельны, BD секущая, тогда
Ответ: 70.
Задание 4. В параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла A, пересекающая сторону BC в точке K. Найдите KC, если AB = 4, а периметр параллелограмма равен 20.
Решение:
ABCD – параллелограмм, тогда AB = DC = 4.
AK – биссектриса угла А, значит,
как накрест лежащие углы при параллельных прямых и и секущей AK.
Получили, что – равнобедренный и
значит
Ответ: 2.
Задание 5. Прямые m и n параллельны (см. рисунок). Найдите если Ответ дайте в градусах.
Решение:
(как накрест лежащие углы).
(развернутый угол).
Тогда
Ответ: 39.
Задание 6. В параллелограмме ABCD диагональ AC в 2 раза больше стороны AB и Найдите угол между диагоналями параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Решение:
Пусть диагонали пересекаются в точке О, т.е.
и параллельны, АС – секущая,
– равнобедренный, отсюда угол между диагоналями равен:
Ответ: 38.
Если вам понравился наш материал на тему «Углы при параллельных прямых и секущей» — записывайтесь на курсы подготовки к ЕГЭ по математике онлайн
Благодарим за то, что пользуйтесь нашими публикациями.
Информация на странице «Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы» подготовлена нашими авторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам.
Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или техникум нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий.
Также вы можете воспользоваться другими материалами из данного раздела.
Публикация обновлена:
08.05.2023
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Или
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
Пример:
Пары углов
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными.
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
Пары углов
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными.
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
Пары углов:
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными.
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
Пары углов:
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
Пары углов:
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними.
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
Пары углов:
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
Пары углов:
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими.
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны, то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника, необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
Скачать домашнее задание к уроку 2.
Пересечение двух параллельных прямых секущей
Параллельными называются пара прямых, которые при продолжении не пересекаются.
Когда две паралелльные прямые $a$ и $b$ пересекаются секущей $c$ , то образуется много разнообразных углов.
Некоторые пары углов имеют свои имена — названия:
пара накрест лежащие углы : ∠3 и ∠5, ∠4 и ∠6;
пара односторонние углы : ∠4 и ∠5, ∠3 и ∠6;
пара соответственные углы : ∠1 и ∠5, ∠4 и ∠8, ∠2 и ∠6, ∠3 и ∠7.
Свойства:
- накрест лежащие углы равны: 3 = 5, 4 = 6.
- соответственные углы равны: 1 = 5, 4 = 8, 2 = 6, 3 = 7.
- сумма односторонних углов равна 180 градусов: 3 + 6 = 180 градусов, 4 + 5 = 180 градусов.
_____________________________________________________________________________________
Теорема Если две параллельные линии пересекаются третьей (Секущей), тогда выполняется следующее:
ТеоремаТеорема * накрест лежащие углы равны ;
ТеоремаТеорема * соответственные углы равны ;
ТеоремаТеорема * сумма односторонних углов 180 град. ;
ТеоремаТеорема * вертикальные равны ∠3 = ∠1, ∠8 = ∠6 .
_____________________________________________________________________________________
Теорема Если две прямые перпендикулярны (обе одновременно) к третьей, то они параллельны друг другу.
_____________________________________________________________________________________
Теорема Если две прямые не параллельны друг другу, то равенства для сумм углов не выполняются: 3 + 6 < 180 ; 4 + 5 > 180 .
_____________________________________________________________________________________
Теорема Если одна прямая параллельна второй, а вторая параллельна третьей, то первая прямая так же параллельна третьей.
_____________________________________________________________________________________
Задача 1: На рисунке АС и МК параллельны, отрезки АВ = ВК равные. Дан угол ∠АКМ = 40°. Найти ∠КВС.
- Решение: АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$ ∠АКМ и ∠КАВ накрест лежащие, $Rightarrow$ ∠КАВ = 40°.
- ∆АВК – равнобедренный, АВ = ВК $Rightarrow$ углы у основания ∠КАВ = ∠АКВ значит, $Rightarrow$ ∠АКВ = 40°.
- Значит, углы ∠АКВ = ∠АКМ равные. Угол ∠МКВ состоит из частей, аддитивность, ∠МКВ = ∠АКВ + ∠АКМ = 80°.
- АС ║ МК параллельны, АК — секущая, $Rightarrow$ ∠ВКМ и ∠КВС накрест лежащие, $Rightarrow$ Ответ: ∠КВС = 80°.
Задача 2: На рисунке, даны углы ∠ВАМ = 30°, ∠АВК = 150°, ∠ВКС = 110°. Найти ∠АМР.
- Решение: Углы ∠ВАМ и ∠АВК — односторонные от секущей АВ. Их сумма ∠ВАМ + ∠АВК = 180°.
- Сумма односторонных 180°? … по теореме «о параллельных», прямые АМ и ВК должны быть параллельными. АМ ║ ВК.
- Теперь: АМ ║ ВК, СР — секущая. Односторонные углы равные, ∠ВКС = ∠АМК. Значит, ∠АМК = 110°.
- Наконец, углы ∠АМК и ∠АМР — смежные. Значит, ∠АМК + ∠АМР = 180°. $Rightarrow$ ∠АМР = 180° — ∠АМК = 70°.
- Ответ: ∠АМР = 70°. Замечание: «надо видеть все секущие к параллельным, и углы к ним».
Задача 3: На рисунке, АВ параллельно МК, угол ∠РМК составляет треть угла ∠САВ. Найти эти углы.
- Решение: Дано: отношение углов ∠РМК : ∠САВ = 1 : 3. Выразим: ∠САВ = 3∠РМК
- Как связаны искомые углы по рисунку? ∠САВ и ∠МАВ — смежные, значит ∠МАВ = 180° — ∠САВ.
- Углы ∠МАВ и ∠РМК односторонные углы при параллельных АВ ║ МК и секущей РС. Значит, ∠МАВ = ∠РМК
- Из двух равенств получаем ∠РМК = 180° — ∠САВ. Вспомним ∠САВ = 3∠РМК, подставим: ∠РМК = 180° — 3∠РМК
- ∠РМК = 45°, значит ∠САВ = 3∠РМК = 135°. Ответ: 45°, 135°
Задача 4: На рисунке, АD параллельно ВС, угол ∠МВС = 65°, ∠ВСК = 80°. Найти четырехугольника АВСD.
- Трапеция АВСD: Четырехугольник с двумя параллельными сторонами называется трапецией. АD ║ ВС.
- Решение: Угол трапеции ∠АВС смежен с ∠МВС, значит ∠АВС = 180° — ∠МВС = 115°.
- Аналогично, угол трапеции ∠ВСD смежный к углу ∠ВСК, значит ∠ВСD = 180° — ∠ВСК = 100°.
- АМ секущая к АD ║ ВС $Rightarrow$ ∠ВАD и ∠МВС соответственные, значит равные ∠ВАD = ∠МВС = 65°.
- Аналогично, КD секущая к АD ║ ВС $Rightarrow$ ∠АDС и ∠ВСК соответственные, значит равные ∠АDС = ∠ВСК = 80°.
- Ответ: Углы трапеции ∠ВАD = 65° ∠АВС = 115° ∠ВСD = 100° ∠АDС= 80°
Задача 4, продолжение, «углы в трапеции»: Пусть углы любые: ∠МВС = х, ∠ВСК = у.
- Такими же рассуждениями о смежных и односторонных, получим: ∠А = х ∠В = 180° — х ∠С = 180° — у ∠D = у
- Видно: ∠А + ∠В = 180° ∠С + ∠D = 180°. Сумма углов при боковой стороне трапеции 180° . Односторонные!
- Видно: ∠А + ∠В + ∠С + ∠D = 180°. Сумма всех углов трапеции равна 360°. . Как у четырехугольника?
Факты, Следствия из теорем о углах при параллельных и секущей к ним:
- В параллелограмме и трапеции диагонали образуют со сторонами равные накрест лежащие углы. Что секущая?
- В паралеллограмме сумма углов у одной стороны равен 180 град. — внутренные односторонные. Что секущая?
- В трапеции сумма углов у боковых сторон равен 180 град. — внутренные односторонные. Что секущая?
- Еще о углах: Диаметры в окружности при пересечении образуют равные вертикальные углы.
- Сумма углов треугольника 180 градусов . Достроить параллельную, увидеть секущую!
Интерактивные Упражнения:
Задачи из сайта https://resh.edu.ru :
Задача 1: Установите соответствие между углами и их градусными мерами, если ∠РМЕ = 50°, а ∠1 = ∠2 и РМ = РЕ.
Задача 2: На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 50% угла 2. Найдите угол 1.
Задача 3: По рисунку найдите градусную меру неизвестного угла х. Параллельные прямые а и b пересечены секущими МК и МF.
Задача 4: Прямые а и m параллельны. АК и КР – секущие, ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 120°. Чему равен ∠2?
Задача 5: На рисунке прямые AB║CD, при этом AB = AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол 2
Задача 6: Прямые FP и EK параллельны, чему равна градусная мера угла x?
Задача 7: Через параллельные прямые а и b проведены секущие ВА и ВС, так что АВ = ВС, при этом ∠ВСА = 80°. Найдите градусную меру угла 1.
Задача 8: В треугольнике АВС BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 40°. Чему равен угол ADВ?
Задача 9: Прямые KN и ME параллельны. По рисунку найдите угол ЕМР, если сумма углов треугольника равна 180°.
Задача 10: На рисунке через параллельные прямые m и n проведена секущая k, угол 1 составляет 20 % угла 2. Найдите угол 1.
Задача 11: Прямые a и b параллельны. Основываясь на рисунке, определите, чему равна градусная мера угла y.
Задача 12: ∆ВКО – равнобедренный. ∠3 = 110°. Чему равен ∠2?
Задача 13: На рисунке AB║CD, при этом AB=AC, ∠BCD = 45°. Найдите угол BAC.
Задача 14: На рисунке прямые а║b, при этом MO и ЕО – биссектрисы углов М и Е соответственно, пересекаются в точке О. Чему равна градусная мера угла МОЕ?
Задача 15: Дан треугольник АВС. BD – секущая к параллельным прямым BC и DE, при этом ВD = DC, ∠BDE = 50°. Чему равен угол ADE?
Задача 16: Прямые а и b параллельны. Чему равна градусная мера суммы углов 1, 2, 3?
Задача 17: Проведена секущая к прямым BC и DE, при этом ВD = DC, BC || DE, ∠BDE = 40°. Чему равен ∠ADE?
Задача 18: Один из односторонних углов при двух параллельных прямых и секущей на 66º меньше другого. Найдите меньший из односторонних углов.
Задача 19: Сумма пары накрест лежащих углов, образованных при пересечении параллельных прямых секущей, равна 110°. Найдите, чему равен один накрест лежащий угол.
Задача 20: «углы в параллелограмме и трапеции»:
-
один из углов параллелограмма 40. найти остальные
-
найти углы параллелограмма, если известно, что сумма двух 80. (100, 160)
-
найти углы параллелограмма, если известно, что разность двух 70. (110, 130)
-
Диагональ параллелограмма состовляет с одной из сторон углы 25 и 35. найти все углы параллелограмма
-
Углы параллелограмма относятся как 2:3 найти все углы
-
Чему равны углы равнобедренной трапеции, если разность противолежащих 40
Углы при пересечении двух прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.
Углы при параллельных прямых и секущей. Вертикальные, смежные, односторонние, соответственные, накрест лежащие углы
Пусть прямая с пересекает параллельные прямые и . При этом образуется восемь углов. Углы при параллельных прямых и секущей так часто используются в задачах, что в геометрии им даны специальные названия.
Углы и — вертикальные. Очевидно, вертикальные углы равны, то есть
Конечно, углы и , и — тоже вертикальные.
Углы и — смежные, это мы уже знаем. Сумма смежных углов равна .
Углы и (а также и , и , и ) — накрест лежащие. Накрест лежащие углы равны.
Углы и — односторонние. Они лежат по одну сторону от всей «конструкции». Углы и — тоже односторонние. Сумма односторонних углов равна , то есть
Углы и (а также и , и , и ) называются соответственными.
Соответственные углы равны, то есть
Углы и (а также и , и , и ) называют накрест лежащими.
Накрест лежащие углы равны, то есть
Чтобы применять все эти факты в решении задач ЕГЭ, надо научиться видеть их на чертеже. Например, глядя на параллелограмм или трапецию, можно увидеть пару параллельных прямых и секущую, а также односторонние углы. Проведя диагональ параллелограмма, видим накрест лежащие углы. Это — один из шагов, из которых и состоит решение.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
1. Биссектриса тупого угла параллелограмма делит противоположную сторону в отношении , считая от вершины тупого угла. Найдите большую сторону параллелограмма, если его периметр равен .
Напомним, что биссектриса угла — это луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.
Пусть — биссектриса тупого угла . По условию, отрезки и равны и соответственно.
Рассмотрим углы и . Поскольку и параллельны, — секущая, углы и являются накрест лежащими. Мы знаем, что накрест лежащие углы равны. Значит, треугольник — равнобедренный, следовательно, .
Периметр параллелограмма — это сумма всех его сторон, то есть
2. Диагональ параллелограмма образует с двумя его сторонами углы и . Найдите больший угол параллелограмма. Ответ дайте в градусах.
Нарисуйте параллелограмм и его диагональ. Заметив на чертеже накрест лежащие углы и односторонние углы, вы легко получите ответ: .
3. Чему равен больший угол равнобедренной трапеции, если известно, что разность противолежащих углов равна ? Ответ дайте в градусах.
Мы знаем, что равнобедренной (или равнобокой) называется трапеция, у которой боковые стороны равны. Следовательно, равны углы при верхнем основании, а также углы при нижнем основании.
Давайте посмотрим на чертеж. По условию, , то есть .
Углы и — односторонние при параллельных прямых и секущей, следовательно,
Геометрия. Урок 2. Углы
Смотрите бесплатные видео-уроки на канале Ёжику Понятно.
Видео-уроки на канале Ёжику Понятно. Подпишись!
Содержание страницы:
- Углы
Понятие угла
Угол – геометрическая фигура, образованная двумя лучами, выходящими из одной точки.
Стороны угла – лучи, которые образуют угол.
Вершина угла – точка, из которой выходят лучи.
Угол называют тремя заглавными латинскими буквами, которыми обозначены вершина и две точки, расположенные на сторонах угла.
Важно: в названии буква, обозначающая вершину угла, стоит между двумя буквами, обозначающими точки на сторонах угла. Так, угол, изображенный на рисунке, можно назвать: ∠ A O B или ∠ B O A , но ни в коем случае не ∠ O A B , ∠ O B A , ∠ A B O , ∠ B A O .
Величину угла измеряют в градусах. ∠ A O B = 24 ° .
Виды углов:
Биссектриса угла
Биссектриса угла – это луч с началом в вершине угла, делящий его на два равных угла.
Биссектриса угла – это геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла.
O D – биссектриса угла ∠ A O B . Она делит этот угол на два равных угла.
∠ A O D = ∠ B O D = ∠ A O B 2
Точка D – произвольная точка на биссектрисе. Она равноудалена от сторон O A и O B угла ∠ A O B .
Углы, образованные при пересечении двух прямых
Вертикальные углы – пара углов, у которых стороны одного угла являются продолжением сторон второго.
Свойство: вертикальные углы равны.
Смежные углы – пара углов, у которых одна сторона общая, а две другие стороны расположены на одной прямой.
Свойство: сумма смежных углов равна 180 ° .
( 1 ) и ( 3 )
( 2 ) и ( 4 )
называются вертикальными .
По свойству вертикальных углов:
∠ C O D = ∠ A O B
∠ B O D = ∠ A O C
( 1 ) и ( 2 )
( 2 ) и ( 3 )
( 3 ) и ( 4 )
( 4 ) и ( 1 )
называются смежными .
По свойству смежных углов:
∠ C O D + ∠ D O B = 180 ° ∠ D O B + ∠ B O A = 180 ° ∠ B O A + ∠ A O C = 180 ° ∠ A O C + ∠ C O D = 180 °
Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей
Прямая, пересекающая две заданные прямые, называется секущей этих прямых.
Существует пять видов углов, которые образуются при пересечении двух прямых секущей.
( 1 ) и ( 5 )
( 2 ) и ( 6 )
( 3 ) и ( 7 )
( 4 ) и ( 8 )
называются соответственными .
(Легко запомнить: они соответствуют друг другу, похожи друг на друга).
( 3 ) и ( 5 )
( 4 ) и ( 6 )
называются внутренними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей, между двумя прямыми).
( 1 ) и ( 7 )
( 2 ) и ( 8 )
называются внешними односторонними .
(Легко запомнить: лежат по одну сторону от секущей по разные стороны от двух прямых).
( 3 ) и ( 6 )
( 4 ) и ( 5 )
называются внутренними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат между двумя прямыми, расположены наискосок друг относительно друга).
( 1 ) и ( 8 )
( 2 ) и ( 7 )
называются внешними накрест лежащими .
(Легко запомнить: лежат по разные стороны от двух прямых, расположены наискосок друг относительно друга).
Если прямые, которые пересекает секущая, параллельны , то углы имеют следующие свойства:
- Соответственные углы равны.
- Внутренние накрест лежащие углы равны.
- Внешние накрест лежащие углы равны.
- Сумма внутренних односторонних углов равна 180 ° .
- Сумма внешних односторонних углов равна 180 ° .
Сумма углов многоугольника
Сумма углов произвольного n -угольника вычисляется по формуле:
S n = 180 ° ⋅ ( n − 2 )
где n – это количество углов в n -угольнике.
Пользуясь этой формулой, можно вычислить сумму углов для произвольного n -угольника.
Сумма углов треугольника: S 3 = 180 ° ⋅ ( 3 − 2 ) = 180 °
Сумма углов четырехугольника: S 4 = 180 ° ⋅ ( 4 − 2 ) = 360 °
Сумма углов пятиугольника: S 5 = 180 ° ⋅ ( 5 − 2 ) = 540 °
Так можно продолжать до бесконечности.
Правильный многоугольник – это выпуклый многоугольник, у которого все стороны равны и все углы равны.
На рисунках изображены примеры правильных многоугольников:
Чтобы найти величину угла правильного n -угольника , необходимо сумму углов этого многоугольника разделить на количество углов.
α n = 180 ° ⋅ ( n − 2 ) n
Примеры решений заданий из ОГЭ
Модуль геометрия: задания, связанные с углами
http://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/ugly-pri-parallelnyx-pryamyx/
Углы при пересечении двух прямых
- Углы при пересечении параллельных прямых
Если какие-нибудь две прямые пересечены третьей прямой, то пересекающая их прямая называется секущей по отношению к прямым, которые она пересекает.
При пересечении двух прямых третьей, образуется два вида углов: внешние и внутренние.
На рисунке изображены две прямые a и b, пересекаемые прямой c. Прямая c по отношению к прямым a и b является секущей. Синим цветом на рисунке обозначены внешние углы (∠1, ∠2, ∠7 и ∠8), а красным — внутренние углы (∠3, ∠4, ∠5 и ∠6).
Также при пересечении двух прямых третьей, образовавшиеся углы получают попарно следующие названия:
Углы при пересечении параллельных прямых
Если секущая пересекает две параллельные прямые линии, то:
- внутренние накрест лежащие углы равны;
- сумма внутренних односторонних углов равна 180°;
- соответственные углы равны;
- внешние накрест лежащие углы равны;
- сумма внешних односторонних углов равна 180°.