Как найти образующий элемент группы

1. Циклические группы

Определение
6. Группа G
называется циклической, если она состоит
из степеней одного из своих элементов
а, т.е. совпадает с одной из своих
циклических подгрупп (а).

Элемент а
называется образующим элементом
циклической группы (а). Каждая
циклическая группа абелева, т.к.

Пример
1.

– бесконечно циклическая группа. Её
образующий элемент – число 1. Образующим
элементом этой группы является, очевидно,
n-1.

Пример 2.
Мультипликативная группа n-й
степени из 1 является циклической группой
порядка n. Действительно,
корни n-й степени из
1 находятся по формуле:

По формуле Муавра

Т.о. каждый корень
n-й степени из 1 является
определенной степенью корня

₁
и, следовательно, группа n-й
степени из 1 является циклической группой
(
₁),
образующим элементом которой является

.

Теорема 7.
Каждая бесконечная циклическая группа
изоморфизма аддитивной группы целых
чисел Z.

□ Пусть G=(a)
– произвольная циклическая бесконечная
группа с образующим элементом а.
Каждому элементу а^k
группы G поставим в
соответствие элемента R
Z.
Этим, очевидно, будет задано взаимно
однозначное отображение G
на Z. Это отображение
является изоморфизмом, т.к. из а^k



и а^s

S
следует, что

■

Теорема 8.
Каждая циклическая группа порядка n
изоморфна мультипликативной группе
корней n-й степени из
1.

□ Пусть
G
= (a)
– произвольная циклическая группа
порядка n
с образующим элементом а.
Она состоит из следующих элементов:

Мультипликативная группа корней n
— й степени
из 1 состоит из корней

.

Рассмотрим
отображение f, заданное
по правилу

.
Очевидно, что из

следует, что

■

Из теоремы 7 и 8
следует, что аддитивной группой целых
чисел и мультипликативной группой
корней n-й степени из
1 по существу исчерпываются все циклические
группы.

Теорема 9.
Каждая группа циклической группы сама
циклическая.

□ Пусть G
= (a) – произвольно
циклическая группы и H
– некоторая ее подгруппа. Будем считать,
что Н отлична от единичной подгруппы
Е, в противном случае не надо
доказывать, что она циклическая.

Среди положительных
степеней элемента а, которые
содержатся в Н, существует наименьшая,
т.к. в произвольном множестве натуральных
чисел всегда есть наименьшее. Пусть
этой наименьшей положительной степенью
является а^к. Покажем, что
если

,
то l делится на k.
Действительно,

Если r>0, то в
подгруппе Н содержится элемент

,
т.е. содержится положительная степень
элемента а, меньшая чем а^k,
что противоречит нашему предположению.
Следовательно, r=0
и k делится на k.■

1. Разложение группы по подгруппе

Пусть даны группа
G и подмножества А
и В этой группы. Совокупность всех
элементов из G, каждый
из которых можно записать в виде
некоторого элемента из А на некоторый
элемент из В, называется произведением
множества А на множество В и
обозначается АВ.

Если, например,
множество А состоит только из одного
элемента а, то речь идет о произведении
аА элемента а на множество А.

Из ассоциативности
умножения в группе G
вытекает ассоциативность умножения
подмножеств этой группы:

Очевидно, если H
– подгруппа группы G,
то НН=Н.

Покажем это. Для
любых а,b

имеем

и
значит

.
С другой стороны

,
поскольку Н = Не. Значит, НН=Н.

Пусть Н –
произвольная подгруппа группы G.
Используем эту подгруппу для введения
на множестве G бинарное
отношение

,
считая, что

,
где а, b – произвольные
элементы множества G.

Очевидно, что
условие, а

есть
то же самое, что и

,
где h некоторый элемент
подгруппы Н.

Покажем, что

является отношением эквивалентности.

1)

2)

;

3)

Отношение

задает разбиение группы G
на классы эквивалентных элементов.
Выясним, что представляют собой эти
классы эквивалентности. Если H = G,
то разбиение состоит только из одного
класса, т.к.

и, следовательно,

Если

то

является обычным равенством и поэтому
каждый элемент группы G
составляет класс разбиения. Если Н
– подгруппа
отличная от Е
и G
и если В_i
– один из классов разбиения, и пусть
g
.
Тогда

,
где

,
принадлежит

,
т.к.

.
Наоборот, если b
,
то

,
поэтому

,

.
Следовательно,

Т.о.,
мы доказали, что каждый класс разбиения
группы G
по отношению

,
когда

является произведением gH
произвольного элемента g
этого класса на подгруппу Н.
Эти классы разбиения называют левыми
смежными классами
группы G
по подгруппе Н,
а само разбиение называют левосторонним
разложением
G
по Н.
О смежном классе В_i
= gH
говорят, что он порождается элементом
g.

Если
группа G
конечная, то левостороннее разложение
G
по Н
записывают так:

,
где знаки + и

обозначают объединение множеств, которые
не пересекаются, – левых смежных классов.

На
множестве элементов группы G
можно ввести отношение эквивалентности

В этом случае
приходим к понятию правого смежного
класса Hg группы G
по подгруппе Н, порожденного элементом
g и k
правостороннему разложению G
по Н.

Возникает
вопрос: левостороннее и правостороннее
разложения G
по Н
– это различные разбиения разложения
или нет? Если группа G
– абелева, то, очевидно, левостороннее
и правостороннее разложения G
по Н совпадают,
т.к. gH=Hg
для

Для неабелевой группы разложения по
одной группе могут совпадать, а по другой
могут оказаться различными.

Пример1.


.
G – абелева группа.
Левостороннее и правостороннее разложение
этой группы по подгруппе Н совпадают.
Каждое из этих разложений состоит из k
различных смежных классов, которые
порождаются соответственно числами
0,1,2,3,…,k-1.
Левосторонний смежный класс, порожденный
элементом l имеет вид
l+H,
а правосторонний – H+l.

Пусть
G
– группа невырожденных квадратных
матриц n-го
порядка над полем R,
H
– подгруппа, состоящая из всех матриц
n-го
порядка, определитель каждой из которых
равен 1. Множество всех матриц с равными
определителями составляет левый (а
также и правый) смежный класс. В самом
деле, если

т.е.

,
где

,
то

т.е.

.
Наоборот, если

,
то

т.к.

поэтому

Сгруппировав
в один смежный класс (левый и правый)
все матрицы с равными определителями,
получим разложение (левое и правое)
группы G
по подгруппе Н.

Пример
3. G=S₃

Подмножество
Н={E,A}
группы G
является подгруппой этой группы
(докажите это). Левые смежные группы S₃
по подгруппе Н
следующие:

Видим,
что левые и правые смежные классы
различны. Значит, различны и левостороннее
и правостороннее разложения S₃
по Н.

Для конечных групп
справедливо утверждение.

Теорема
10. (Теорема
Лагранжа)
В каждой конечной группе порядок ее
подгруппы является делителем порядка
группы.

□ Пусть
G
– конечная группа порядка n,
Н – некоторая
ее подгруппа порядка k.
Рассмотрим левостороннее разложение
группы G
по подгруппе Н.
Предположим, что оно состоит из S
смежных классов.

(6)

Подгруппа
Н
состоит из k
элементов, а поэтому и каждый смежный
класс

также состоит из k
элементов,
т.к. если

где

,
то

Следовательно,
из разложения (6) вытекает, что n=ks.
■

Следствие
1. Порядок
каждого элемента а
конечной группы G
является
делителем порядка группы.

Следствие
2. Каждая
конечная группа, порядок которой является
простым числом, является циклической
группой (докажите эти следствия
самостоятельно).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Группоиды, полугруппы, группы

Рассмотрим алгебры, сигнатуры которых состоят из одной. бинарной операции. Эту операцию будем обозначать точкой и условно называть в этом случае умножением.

Группоидом называют любую алгебру , сигнатура которой состоит из одной бинарной операции. В группоиде на бинарную операцию нет никаких ограничений.

Группоид называют полугруппой, если его операция ассоциативна, т.е. для любых элементов носителя выполняется равенство

Пример 2.6. а. Множество свободных векторов вместе с операцией векторного умножения является группоидом, но не полугруппой, так как векторное умножение не ассоциативно.

б. Множество натуральных чисел вместе с операцией возведения в степень также будет только группоидом, так как .

в. Множество всех подмножеств множества вместе с операцией (разность множеств) тоже только группоид, поскольку указанная операция не ассоциативна.

г. Множество натуральных чисел вместе с операцией сложения будет полугруппой.

---

Группоид называют моноидом, если его операция ассоциативна и относительно операции существует нейтральный элемент. Его называют нейтральным элементом моноида или единицей моноида и обозначают .

Таким образом, моноид есть полугруппа, в которой для любого а имеют место равенства , где — нейтральный элемент (единица) моноида.

Поскольку нейтральный элемент относительно любой бинарной операции является единственным, мы можем рассматривать моноид как алгебру , сигнатура которой состоит из двух операций: бинарной операции (умножение) и нульарной операции (нейтрального элемента). Введение в сигнатуру моноида удобно тем, что зачастую при рассмотрении конкретных примеров моноидов целесообразно явно указать нейтральный элемент относительно его операции. Например, алгебра есть моноид всех бинарных отношений на множестве с операцией композиции бинарных отношений, в котором нейтральным элементом является диагональ множества .

Среди полугрупп выделяют полугруппы с коммутативной операцией — коммутативные полугруппы.

---

Пример 2.7. а. Множество всех бинарных отношений на произвольном множестве с операцией композиции отношений будет моноидом, нейтральным элементом которого служит диагональ множества , поскольку для любых бинарных отношений и на множестве имеют место равенства

и .

б. Множество всех отображений некоторого множества в себя по операции композиции отображений есть моноид.

Напомним, что композиция отображений снова есть отображение и операция композиции имеет нейтральный элемент: тождественное отображение на себя. Поскольку любое отображение множества в себя можно рассматривать как бинарное отношение на этом множестве, а композицию отображений — как частный случай композиции отношений, требуемые свойства операции композиции отображений выполняются (см. пример 2.7.а). При этом тождественному отображению соответствует диагональ множества . Этот моноид называют часто симметрическим моноидом или симметрической полугруппой множества .

в. Алгебра , где носитель — множество неотрицательных целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции сложения, есть коммутативный моноид, в котором нейтральный элемент — это число 0. Действительно, сумма двух натуральных чисел есть натуральное число, операция сложения ассоциативна, коммутативна и для любого натурального числа имеет место равенство .

Обратим внимание на то, что свойства нейтральных элементов и нулей ассоциируются со свойствами чисел 1 и 0 относительно операций умножения и сложения чисел.

г. Алгебра , у которой носителем является множество целых чисел, а сигнатура состоит из одной операции умножения, есть коммутативный моноид. Нейтральным элементом этого моноида является число 1.

д. Пусть — конечное множество, а — множество кортежей длины . На множестве всех кортежей определим операцию соединения (конкатенации) кортежей следующим образом:

Можно видеть, что введенная операция ассоциативна, но не имеет нейтрального элемента. Таким образом, построена полугруппа, но не моноид.

Чтобы превратить эту полугруппу в моноид, расширим носитель полугруппы, введя понятие нулевой декартовой степени произвольного множества . Под понимают одноэлементное множество , единственный элемент которого называют пустым кортежем. Такое определение множества объясняется следующим: мощность положительной декартовой степени конечного множества равна . При должно быть , откуда заключаем, что — одноэлементное множество.

Обозначив , по определению для любого полагаем . В результате получим алгебру , являющуюся моноидом, с нейтральным элементом . Его называют свободным моноидом, порожденным множеством .

---

Полурешетка в абстрактной алгебре

Полугруппу, операция которой коммутативна и идемпотентна, называют полурешеткой.

Пример 2.8. а. Алгебры (для произвольного фиксированного множества ) являются полурешетками, поскольку операции и ассоциативны, коммутативны и идемпотентны.

б. Алгебра , где — операция вычисления наименьшего общего кратного двух чисел, является полурешеткой. Покажем, что указанная операция ассоциативна. Рассмотрим произвольные натуральные числа и . Каждое из этих чисел можно разложить на произведение простых чисел и представить в виде

где набор простых чисел выбран одинаковым для всех трех чисел, а некоторые из показателей и могут быть равными нулю. Тогда для чисел тип имеем

Таким образом, ассоциативность операции сводится к ассоциативности операции max вычисления наибольшего из двух натуральных чисел. Ассоциативность последней вытекает из очевидного тождества , верного для любых чисел и .

Поскольку , операция коммутативна, а так как для любого натурального числа справедливо равенство , то операция идемпотентна.

в. Алгебра , где — операция вычисления наибольшего общего делителя двух целых чисел, также является полурешеткой.

---

Способы задания группы как алгебры

Группоид называют группой, если операция ассоциативна, существует нейтральный элемент (единица) относительно умножения и для каждого существует такой элемент , называемый обратным к , что .

Таким образом, группа — это алгебра , в которой для всех выполняется равенство , существует единственный элемент , такой, что для любого , и для каждого существует такой элемент , что . Короче говоря, группа — это моноид, в котором для каждого элемента существует обратный элемент.

Отметим, что задать группу как алгебру можно несколькими способами в зависимости от состава операций, включенных в сигнатуру.

Во-первых, в сигнатуру может быть включена единственная бинарная операция. В этом случае пишут , а все свойства операции описывают дополнительно.

Во-вторых, в сигнатуру может быть включена нульарная операция — нейтральный элемент группы. В этом случае пишут и дополнительно указывают существование обратного элемента относительно бинарной операции для всех элементов носителя.

Третий способ задания группы как алгебры вытекает из следующей теоремы.

Теорема 2.1. В любой группе для каждого элемент, обратный к , единственный.

Пусть в группе с единицей для некоторого существуют два элемента и , обратных к . Тогда в силу свойства единицы. Так как , то . Используя ассоциативность и учитывая, что — элемент, обратный к а, получим

---

Единственность для каждого элемента обратного элемента группы позволяет обозначать его как и операцию вычисления (или взятия) обратного элемента ввести в сигнатуру группы. Таким образом, группу можно рассматривать и как алгебру , сигнатура которой состоит из бинарной операции умножения, унарной операции взятия обратного элемента и нульарной операции — единицы группы (нейтрального элемента).

В дальнейшем в зависимости от контекста будем использовать все указанные варианты задания группы.

Среди групп также выделяют те, бинарная операция в которых коммутативна, — коммутативные (абелевы) группы. В коммутативных полугруппах и группах бинарную операцию часто обозначают знаком и называют сложением.

Уместно здесь рассмотреть вопрос о двух формах записи бинарной операции группы. В аддитивной записи операции ее обозначают знаком , нейтральный элемент — знаком , а элемент, обратный к относительно операции , записывают в виде , называя его при этом противоположным к .

В мультипликативной записи операцию обозначают знаком , нейтральный элемент — знаком , а элемент, обратный к , записывают в виде . В этом случае бинарную операцию группы часто называют умножением (также умножением группы или групповым умножением), а элемент , как правило записываемый в виде , — произведением элементов и .

В алгебраической литературе сложилась такая традиция, что аддитивная запись используется преимущественно для коммутативных групп. Поскольку одним из самых простых, распространенных и вместе с тем важных примеров коммутативной группы служит аддитивная группа целых чисел, то обозначения и термины для произвольной аддитивно записываемой коммутативной группы «скопированы» с терминов для группы . Аналогично мультипликативная запись произвольной группы » позаимствована» у мультипликативных групп рациональных и вещественных чисел.

---

Пример 2.9. а. Алгебра — коммутативная группа, поскольку на множестве целых чисел операция сложения ассоциативна и коммутативна, число 0 есть нейтральный элемент, и для каждого целого числа существует обратный по сложению элемент, а именно число , противоположное . Рассматриваемую группу называют аддитивной группой целых чисел.

б. Множество всех биекций некоторого множества на себя с операцией композиции отображений есть группа.

Это следует из того, что композиция двух биекций есть биекция, операция композиции ассоциативна, ее нейтральный элемент — тождественное отображение — есть биекция, для всякой биекций отображение , обратное биекций , определено, является биекцией и выполнены равенства

Эту группу называют симметрической группой множества , а в том случае, когда множество конечно, — группой подстановок множества . Если множество состоит из элементов, группу подстановок этого множества называют также симметрической группой степени или группой подстановок n-й степени и обозначают (см. пример 2.10).

в. Алгебры и есть коммутативные группы. Их называют мультипликативной группой рациональных чисел и мультипликативной группой действительных чисел соответственно. В каждой из них число 1 есть нейтральный элемент (единица) группы, а обратный к числу по операции умножения элемент есть число .

г. Для произвольно фиксированного множества рассмотрим алгебру , где — операция вычисления симметрической разности множеств. Операция ассоциативна и коммутативна. Для любого имеем . Кроме того, тогда и только тогда, когда . Поэтому алгебра является абелевой группой, в которой каждый элемент обратен сам себе, а нейтральный элемент — пустое множество.

д. Рассмотрим алгебру , в которой операция (сложения по модулю ) определяется так: для любых двух и число , называемое суммой чисел и по модулю , равно остатку от деления арифметической суммы на . Можно проверить, что эта алгебра является коммутативной группой. Ее называют аддитивной группой вычетов по модулю . Нейтральным элементом служит число 0, а обратным к числу будет , поскольку .

е. Множество всех невырожденных (т.е. имеющих ненулевой определитель) числовых квадратных матриц порядка с операцией умножения матриц является группой. Действительно, произведение двух невырожденных матриц снова есть невырожденная матрица; единичная матрица порядка невырожденная, и матрица, обратная к невырожденной, также является невырожденной. Эту группу будем обозначать .

---

Из рассмотренных четырех видов алгебр — группоида, полугруппы, моноида и группы — последняя обладает наиболее интересными свойствами. Изучим более подробно операцию вычисления обратного элемента.

Теорема 2.2. Пусть — группа. Для любых элементов верны тождества

В силу ассоциативности умножения группы имеем

Используя еще раз ассоциативность, определение элемента, обратного к данному, и свойства единицы, получим

Итак, . Точно так же доказывается, что . Поэтому элемент является обратным к элементу . Согласно теореме 2.1, обратный элемент единственный, и поэтому . Второе из доказываемых равенств следует непосредственно из определения элемента, обратного к данному. Действительно, определение элемента , обратного к , равенством можно рассматривать как определение — обратного элемента к , которым является, согласно этим равенствам, элемент . В силу теоремы 2.1 он единственный, то есть .

Таким образом, мы установили, что элемент, обратный к произведению , равен , а элемент, обратный к элементу, обратному к , равен .

---

Теорема 2.3. В любой группе справедливы левый и правый законы сокращения: если , то , и если , то .

Пусть . Умножая обе части этого равенства слева на элемент , получаем

В силу ассоциативности групповой операции последнее равенство можно записать так:

Поскольку , то , откуда . Тем самым доказан левый закон сокращения. Аналогично доказывается и правый закон.

---

Пусть — группа, и — фиксированные элементы . Рассмотрим задачу решения уравнений

в группе , т.е. поиска всех таких элементов , для которых уравнение (2.1) (или (2.2)) превращается в тождество.

Теорема 2.4. В любой группе уравнения вида (2.1) и (2.2) имеют решения, и притом единственные.

Покажем, что есть решение (2.1). Действительно, .

Докажем единственность решения. Пусть для фиксированных и и некоторого выполнено равенство . В группе для любого существует и однозначно определен элемент , обратный к . Умножив на него обе части равенства, получим . В силу ассоциативности преобразуем последнее равенство к виду . Поскольку , то , откуда . Это решение единственное в силу единственности обратного элемента.

Аналогично из получаем , и это решение также единственное.

---

Замечание. При использовании аддитивной записи операции для коммутативной группы оба написанных выше уравнения сводятся к одному:

а его решение есть . Правую часть этого равенства в коммутативной группе называют разностью элементов и и обозначают . Саму же операцию, сопоставляющую упорядоченной паре разность , называют операцией вычитания. С учетом введенных обозначений решение уравнения в коммутативной группе можно записать так: .

В случае коммутативной группы при употреблении для бинарной операции мультипликативной записи решения обоих уравнений имеют вид . Выражение в коммутативной группе называют частным от деления на и обозначают (или ), а саму операцию называют операцией деления. Решение уравнения в этом случае записывают в виде (или ).

---

Пример 2.10. Рассмотрим группу подстановок n-й степени всех биекций n-элементного множества . Произвольную биекцию из обычно записывают в виде

обозначая тем самым, что образ 1 (при отображении ) есть , образ 2 есть образ есть . Биекцию множества на себя называют подстановкой этого множества. Подстановку, которая отображает в , в , в , а в , где и все попарно различны, а все элементы, отличные от , отображаются сами в себя, называют циклом длины и записывают ее в виде . Например, подстановку из группы

можно записать в виде .

Цикл длины 2 называют транспозицией. Транспозиция представляет такое отображение множества в себя, при котором два элемента меняются местами, а остальные остаются на своих местах. Так, полная запись транспозиции в будет иметь вид

Подстановка, обратная подстановке , есть подстановка, которая отображает в 1, в 2, в . Отметим, что при записи обратной подстановки элементы первой строки тем не менее записываются в обычном порядке: .

В группе решим следующее уравнение:

Умножив обе части уравнения слева на

, получим .

Далее, умножив полученное уравнение справа на

окончательно получим .

---

Степень элемента в полугруппе

В полугруппе в общем случае законы сокращения и разрешимость уравнений типа (2.1) и (2.2) могут не иметь места. Например, в полугруппе квадратных матриц фиксированного порядка с операцией умножения матриц из матричного равенства , вообще говоря, не следует, что . Это можно утверждать лишь при дополнительном предположении, что . Можно доказать, что в свободном моноиде, порожденном некоторым конечным множеством, оба закона сокращения справедливы, но никаких обратных элементов не существует.

В полугруппе можно умножать любой элемент сам на себя, причем в силу ассоциативности операции полугруппы элемент определен однозначно. Этот элемент называют n-й степенью элемента и обозначают . При этом

В моноиде вводят также нулевую степень элемента, полагая .

Если — группа, то можно ввести и отрицательные степени элемента согласно равенству

Без доказательства сформулируем утверждения о свойствах степеней.

---

Теорема 2.5. Для любой полугруппы .

Теорема 2.6. Для любой группы .

Определение 2.4. Полугруппу (в частности, группу) называют циклической, если существует такой элемент , что любой элемент полугруппы является некоторой (целой) степенью элемента . Элемент называют образующим элементом полугруппы (группы).

Пример 2.11. а. Полугруппа циклическая, с образующим элементом 1. При аддитивной записи бинарной операции возведение элемента в положительную степень есть сумма этих элементов, и это записывают (или , без знака умножения).

б. Группа также циклическая. Для нее образующими элементами могут быть 1 и –1. Рассмотрим элемент 1. Тогда

Если в качестве образующего взять элемент –1, то , отрицательные целые числа получаются как положительные «степени» –1, а положительные — как отрицательные «степени» –1. Например, .

в. Группа вычетов по модулю 3 циклическая, причем любой ее ненулевой элемент является образующим.

Действительно, для 1 имеем , а для 2 получим

---

Строение конечных циклических групп

Изучим подробнее строение конечных циклических групп, используя мультипликативную запись бинарной операции. Напомним, что конечная алгебра {конечная группа, в частности) — это алгебра, носитель которой — конечное множество.

Порядком конечной группы называют количество элементов в этой группе.

Так, например, аддитивная группа вычетов по модулю имеет порядок . Симметрическая группа степени , т.е. группа подстановок , имеет порядок !. Мультипликативная группа вычетов по модулю , где — простое число, имеет порядок .

Порядок элемента а циклической группы — это наименьшее положительное , такое, что .

Теорема 2.7. Порядок образующего элемента конечной циклической группы равен порядку самой группы.

Пусть — конечная циклическая группа с образующим элементом и — порядок этого элемента.

Тогда все степени попарно различны. Действительно, если

, то .

Поскольку , получено противоречие с выбором как порядка элемента (ибо найдена степень, меньшая , при возведении в которую элемента получится единица).

Осталось доказать, что любая степень элемента принадлежит множеству . Для любого целого существуют также целые , такие, что , где — целое и . Тогда

Поскольку каждый элемент группы есть некоторая степень элемента , то и порядок группы равен .

Из доказанной теоремы следует, что в бесконечной циклической группе не существует такого , что для образующего элемента группы выполняется равенство .

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.