Пространственные фигуры подробно рассматриваются в старших классах общеобразовательных школ в курсе стереометрии. Данная статья содержит ответ на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого и образующую соответствующей усеченной фигуры.
Фигура конус
Чтобы понять, как найти образующую конуса, следует дать представление об этой фигуре. Круглым прямым конусом называют фигуру вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов. Рисунок ниже демонстрирует процесс вращения.
Полученная пространственная фигура имеет следующие характеристики:
- Сторона AB треугольника является высотой h конуса. Она лежит на оси вращения фигуры.
- Сторона AC треугольника — это радиус r конуса. Круг, который описывает этот радиус, называется основанием фигуры.
- Сторона CB треугольника для конуса является его образующей, или генератрисой. Это название она получила за то, что в процессе вращения она описывает коническую поверхность.
- Вершина B треугольника — это вершина конуса.
Заметим, что высота фигуры пересекает круглое основание в его центре. Это является достаточным условием, чтобы считать конус прямым.
Образующая конуса
Теперь можно переходить к ответу на вопрос о том, как найти образующую конуса круглого прямого. Выше было сказано, что она представляет собой отрезок, который лежит на конической поверхности и соединяет вершину с точкой окружности основания. В прямоугольном треугольнике, из которого был конус получен, образующая является гипотенузой. Это наблюдение позволяет записать известную теорему Пифагора, связав образующую g с радиусом r и высотой h фигуры. Формула, как найти образующую конуса, имеет вид:
g = √(r2 + h2)
Помимо этой формулы, на практике вместо высоты или радиуса фигуры может быть известен угол φ между образующей и основанием. В этом случае генератрису g можно рассчитать с помощью следующих выражений:
g = h/sin(φ);
g = r/cos(φ)
Эти формулы следуют из свойств тригонометрических функций синуса и косинуса.
Таким образом, вычисление образующей конуса возможно, если знать любые два параметра фигуры.
Фигура конус усеченный
Он также является фигурой вращения, только вместо прямоугольного треугольника следует вращать прямоугольную трапецию. На рисунке ниже показан усеченный конус.
Здесь синие стрелки показывают прямоугольную трапецию. Длина вертикальной стрелки является высотой h фигуры, длины двух других синих стрелок — это радиусы оснований конуса. В отличие от цилиндра, основания усеченного конуса имеют разную площадь. Обозначим их радиусы r1 и r2. Четвертая наклонная к основанию сторона трапеции является образующей или генератрисой. Как и для обычного конуса, для усеченного все генератрисы равны друг другу и образуют боковую поверхность фигуры.
Заметим, что усеченный конус получил такое название потому, что его можно получить не только вращением трапеции, но и с помощью отсечения плоскостью верхней части круглого прямого конуса.
Генератриса усеченной фигуры
Итак, мы познакомились с усеченным конусом, а также с понятием о его образующей. Как находить образующую конуса усеченного? Для того чтобы получить нужную формулу, заметим, если высоту h перенести параллельно самой себе к боковой поверхности конуса так, чтобы она касалась одним концом образующей фигуры, то получится прямоугольный треугольник. Его сторонами будут высота h (катет), генератриса g (гипотенуза) и r1-r2 (катет). Тогда можно записать формулу для определения g:
g = √((r1 — r2)2 + h2)
Соответственно, если дан острый угол φ1 между большим основанием и генератрисой, тогда последнюю можно определить так:
g = h/sin(φ1);
g = (r1 — r2)/cos(φ1)
Если же известен тупой угол φ2 между малым основанием и генератрисой, тогда для ее вычисления необходимо применять такие выражения:
g = h/sin(φ2);
g = (r2 — r1)/cos(φ2)
Здесь первая формула является точно такой же, как для угла φ1, а во второй формуле радиусы в числителе поменялись местами.
Таким образом, найти образующую конуса усеченного можно, если знать любые три его параметра.
Зная радиусы окружностей, лежащих в основаниях конуса, можно найти диаметры, периметры и площади оснований конуса по формулам окружности.
d=2r
D=2R
p=2πr
P=2πR
S_r=πr^2
S_R=πR^2
Если построить внутри усеченного конуса трапецию, соединяющую высоту и образующую через радиусы оснований, то в ней можно найти высоту конуса, зная радиусы и образующую, а также углы между основаниями и образующей.
h=√(l^2-(R-r)^2 )
cosβ=(R-r)/l
α=180°-β
Площадь боковой поверхности усеченного конуса равна произведению числа π на образующую и сумму радиусов оснований конуса. Чтобы найти площадь полной поверхности усеченного конуса, необходимо прибавить к площади боковой поверхности два основания.
S_(б.п.)=πl(R+r)
S_(п.п.)=S_(б.п.)+S_r+S_R=πl(R+r)+πr^2+πR^2
Чтобы найти объем усеченного конуса через радиусы оснований, нужно умножить треть числа π на высоту и сумму квадратов радиусов с произведением радиусов.
V=πh/3(R^2+rR+r^2)
Данный сайт находится в режиме тестирования, обо всех выявленных проблемах Вы можете сообщить на почту
Формулы усеченного конуса
Для расчёта всех основных параметров усеченного конуса воспользуйтесь калькулятором.
Объём усеченного конуса
$$
V = {1 over 3} * pi * h * (R_Н^2 + R_Н * R_В + R_В^2)
$$
Площадь боковой поверхности усечённого конуса
$$
S_Б = pi * (R_Н + R_В) * L
$$
Высота усеченного конуса через образующую и радиусы оснований
$$
h = sqrt{L^2 — (R_Н — R_В)^2}
$$
Развертка (выкройка) усеченного конуса
Длина образующей, L
$$
L = sqrt{(R_Н — R_В)^2 + h^2}
$$
$$
R_1 = {L * R_В over R_Н — R_В}
$$
$$
R_2 = L + R_1
$$
Угол ∠ f
$$
∠ f = 360° * {R_Н — R_В over L}
$$
Как найти образующую усеченного конуса
Усеченным конусом называется геометрическое тело, которое получилось в результате сечения полного конуса плоскостью, параллельной его основанию. Согласно другому определению, усеченный конус образован вращением прямоугольной трапеции вокруг той ее боковой стороны, которая перпендикулярна основаниям. Вторая боковая сторона при этом является образующей. Вычислять ее необходимо так же, как и боковую сторону прямоугольной трапеции.
Вам понадобится
Сделайте чертеж. Обозначьте на нем заданные размеры усеченного конуса. Его можно построить по нескольким параметрам. Вам должны быть известны радиусы основания и высота. Могут быть и другие наборы данных — например, радиусы обоих оснований и угол наклона образующей к одному из них. Могут быть заданы высота, угол наклона и один из радиусов. Если вы пока еще не знаете нужных для построения точного чертежа параметров, начертите конус приблизительно и обозначьте имеющиеся условия.
Постройте осевое сечение. Оно представляет собой равнобедренную трапецию ABCD, параллельные стороны которой являются диаметрами основания, а боковые — образующими. Обозначьте точки пересечения оси с основаниями усеченного конуса как O’ и O». Ось О’О» одновременно является и высотой прямого усеченного конуса. Обозначьте радиус нижнего основания как R, а верхнего — как r. Образующую CD обозначьте как L.
Выполните дополнительное построение. Начертите из точки C высоту к радиусу нижнего основания. Она будет параллельная и равна оси O’O». Точку пересечения ее с плоскостью нижнего основания обозначьте как N, а саму высоту — h. У вас получился прямоугольный треугольник CND.
Посмотрите, какие данные для вычисления гипотенузы этого треугольника у вас имеются и найдите недостающие. При условии, что даны оба радиуса, найдите сторону DN. Она равна разности радиусов R и r. То есть, согласно теореме Пифагора, сторона L в данном случае равна квадратному корню из суммы квадратов высоты и разности радиусов или L = √h2+(R-r)2.
Если даны высота h и угол наклона образующей к основанию, найдите образующую L по теореме синусов. Она равна дроби, в числителе которой будет известный катет h, а в знаменателе — синус противолежащего ей угла СDN.
При условии, что даны радиус верхней окружности, высота и угол BCD, вычислите сначала нужный вам угол наклона образующей к нижнему основанию. Вспомните, чему равна сумма углов выпуклого четырехугольника. Она равна 360°. У прямоугольной трапеции O’O»CD вам известны три угла. Найдите по ним четвертый и по его синусу — образующую.
Объем и площадь усеченного конуса
Рассчитайте онлайн объем и площадь поверхности усеченного конуса по его радиусам и высоте.
Радиус основания 1
см
Радиус основания 2
см
Высота
см
Размерность
Раcсчитать
Оглавление:
- 📝 Как это работает?
- 🤔 Частые вопросы и ответы
- 📋 Похожие материалы
- 📢 Поделиться и комментировать
Что считает калькулятор?
Калькулятор объема и площади усеченного конуса — это онлайн инструмент, который используется для быстрого расчета объема и площади усеченного конуса по его радиусам большего и меньшего оснований и высоте. Объем такого конуса представляет собой объем пространства, которое занимает эта фигура в трехмерном пространстве.
Калькулятор объема и площади усеченного конуса может быть полезным инструментом для учебных заданий или практических задач, связанных с расчетами объемов и площадей таких геометрических фигур. Он также может использоваться в различных профессиональных областях, где необходимы точные расчеты объемов и площадей, например, в архитектуре, инженерии, физике и т.д.
Где можно применить калькулятор объема и площади усеченного конуса?
Калькулятор объема и площади усеченного конуса может применяться в различных сферах, включая:
- Инженерия и строительство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для создания конструкций и деталей, таких как колонны, башни, фонари, вазы и т.д. такие расчеты помогают определить необходимое количество материала для изготовления детали.
- Производство: усеченный конус может использоваться в качестве формы для изготовления различных изделий из металла, стекла, керамики, пластика и т.д. Расчёт его параметров помогает определить необходимое количество сырья для производства изделия.
- Математика: усеченный конус может быть использован для примеров и задач в математическом образовании. Расчёт объёма и площади позволяет ученикам узнать, как применять формулы для нахождения объёма и площади фигур.
- Машиностроение: усеченный конус может использоваться в качестве детали для различных механизмов и машин. Расчёт объёма и площади помогает определить размеры и форму детали.
- Архитектура и дизайн: усеченный конус может использоваться в качестве элемента декора и оформления интерьера и экстерьера зданий. Расчёт объёма и площади помогает определить оптимальный размер и форму элемента декора.
В чем преимущество усеченного конуса как геометрической фигуры?
Усеченный конус — это геометрическая фигура, у которой основаниями являются две круглые плоскости, соединенные боковой поверхностью, которая имеет форму конуса, но сечение вдоль его высоты меньше его оснований.
Преимущества этой геометрической фигуры могут включать:
- Усеченный конус имеет большую устойчивость, чем обычный конус, так как он имеет большую поверхность опоры на основаниях, что делает его лучшим выбором для некоторых приложений, например, при проектировании оболочек реакторов.
- Усеченный конус может быть более экономичным в использовании материала, чем обычный конус, так как он имеет меньшую высоту, но сохраняет ту же площадь оснований. Это может быть полезно в проектировании строительных элементов, таких как колонны или башни.
- Усеченный конус может иметь большую универсальность в применении, так как его форма может быть изменена путем изменения размеров его оснований и высоты. Это позволяет использовать усеченные конусы в различных областях, например, в качестве башенной опоры или формы для литья металла.
- Усеченный конус может иметь более эргономичную форму, что делает его удобным в использовании в некоторых приложениях, например, при проектировании мебели или автомобильных деталей.
- Усеченный конус может иметь более интересный внешний вид, что делает его привлекательным для использования в художественном дизайне или архитектуре.
В целом, усеченный конус является полезной геометрической фигурой, которая имеет множество преимуществ в различных областях применения.
Как вычислить объем усеченного конуса через радиусы его оснований и высоту?
Для расчета объема усеченного конуса необходимо знать радиусы большего и меньшего оснований, а также высоту усеченного конуса.
Формула для расчета объема усеченного конуса:
V = (1/3) * π * h * (R2 + Rr + r2)
где:
- π — число Пи (3.14)
- V — объем усеченного конуса
- h — высота усеченного конуса
- R — радиус большего основания
- r — радиус меньшего основания
Чтобы использовать эту формулу, нужно знать значения h, R и r. Затем необходимо подставить значения в формулу и выполнить вычисления.
Пример:
Допустим, у нас есть усеченный конус с высотой 10 см, радиусом большего основания 6 см и радиусом меньшего основания 4 см. Чтобы найти объем усеченного конуса, мы можем использовать формулу:
- V = (1/3) * π * h * (R2 + Rr + r2)
- V = (1/3) * 3,14 * 10 * (6^2 + 6*4 + 4^2)
- V = 795,5 см3
Ответ: объем усеченного конуса равен 795,5 кубическим сантиметрам.
Как вычислить площадь усеченного конуса через радиусы его оснований и образующую?
Площадь усеченного конуса можно рассчитать с использованием следующей формулы:
S = π(r + R)ℓ + π(R2 + r2)
- где S — площадь усеченного конуса,
- π — математическая константа, примерно равная 3.14,
- r1 и r2 — радиусы оснований большего и меньшего конусов соответственно,
- и ℓ — образующая, т.е. расстояние между вершиной и основанием, вычисленная по теореме Пифагора.
Для решения задачи необходимо знать значения радиусов оснований и образующей. Если известны только высоты обоих конусов, то необходимо использовать теорему Пифагора для вычисления образующей.
После подстановки всех известных значений в формулу можно вычислить площадь усеченного конуса.
❓ Вопросы и ответы
А вот несколько ответов на часто задаваемы вопросе о шаре и его объеме.
Как пользоваться онлайн калькулятором объема и площади усеченного конуса?
Для того, чтобы использовать калькулятор объема усеченного конуса, нужно ввести значения радиусов его оснований и высоту в соответствующие поля калькулятора, затем калькулятор автоматически рассчитает объем шара. Для расчёта площади нужно проделать соответствующие действия со значениями радиусов оснований и образующей, которая вычисляется по теореме Пифагора.
Что такое усеченный конус?
Усеченный конус — это геометрическое тело, полученное из обычного конуса путем удаления верхней части тела параллельным срезом, расположенным на определенном расстоянии от вершины конуса.
Для чего нужен расчет объема усеченного конуса?
Расчет объема и площади усеченного конуса может быть полезен во многих областях, включая инженерию, архитектуру, производство и технику. Например, в производственной отрасли расчет объема и площади усеченного конуса может помочь определить количество материалов, необходимых для создания детали.
Какой материал лучше всего подходит для изготовления усеченных конусов?
Для изготовления усеченного конуса можно использовать различные материалы в зависимости от требований к конструкции. Однако, наиболее распространенными материалами для изготовления усеченных конусов являются металлы. Это может быть сталь, алюминий, медь, латунь и другие металлы. Металлические конусы обычно используются в технических приложениях, где требуется высокая прочность и устойчивость к износу.
Как вычислить образующую усеченного конуса?
Образующая конуса (l) может быть найдена с помощью теоремы Пифагора, для этого можно воспользоваться формулой: l = √((R — r)² + h²). Таким образом, чтобы вычислить образующую усеченного конуса, необходимо знать значения радиуса большего основания, радиуса меньшего основания и высоты конуса, после чего следует применить формулу, описанную выше.
Похожие калькуляторы
Возможно вам пригодятся ещё несколько калькуляторов по данной теме:
- Калькулятор площади шара (сферы). Рассчитайте онлайн площадь поверхности шарообразного объекта (сферы).
- Площадь правильного шестиугольника: калькулятор. Рассчитайте площадь правильного (равностороннего) шестиугольника с помощью онлайн-калькулятора.
- Калькулятор числа «e». Посмотрите онлайн нужное число знаков после запятой в числе «e» (Эйлера или Непера).
- Площадь поверхности куба: калькулятор. Рассчитайте онлайн площадь поверхности куба по длине ребер, диагонали куба или диагоналям его сторон.
- Калькулятор масштабов. Переведите онлайн именованный масштаб на чертеже в реальный и наоборот.
- Калькулятор числа Пи. Узнайте, чему равно число Пи с точностью до нужного количества знаков после запятой.
- Калькулятор объема параллелепипеда. Рассчитайте онлайн объем любого параллелепипеда по длинам его ребер и не только.
- Калькулятор объема куба. Рассчитайте онлайн объем любого кубического предмета по длине стороны или диагоналям.
- Калькулятор объема бака. Посчитайте объем цилиндрического, прямоугольного или автомобильного бака по габаритам (по расходу и пройденному расстоянию).
- Калькулятор объема помещения. Посчитайте объем комнаты или любого помещения в кв.метра или литрах.
Если понравилось, поделитесь калькулятором в своих социальных сетях: вам нетрудно, а проекту полезно для продвижения. Спасибо!
Есть что добавить?
Напишите своё мнение, комментарий или предложение.
Показать комментарии