Как найти общее комплексное сопротивление цепи

Комплексное сопротивление элемента (участка цепи)

Под комплексным сопротивлением понимают
отношения комплексной амплитуды входного
напряжения к комплексной амплитуде
входного тока:

.
(1.6)

где Z
–модуль
комплексного сопротивления, φ=ψ_u
— ψ_i
– начальная фаза или аргумент комплексного
сопротивления; R
— активного
сопротивления, X–
реактивному сопротивлению, причем
Z=(R²+X²)^1/2,
а φ_z(ω)=ψ_u—ψ_i
=arctg(X/R).

По виду записи
комплексного сопротивления можно судить
о характере участка цепи: Z=R
– активное (резистивное) сопротивление;
Z=R+jX —
активно-индуктивное сопротивление; Z=R
– j X —
активно-емкостное

—
комплексная проводимость, величина,
обратная комплексному сопротивлению:

Метод комплексных амплитуд состоит
в следующем:

1) исходная
схема электрической цепи заменяется
комплексной схемой замещения, в которой:

а) все пассивные элементы заменяются
их комплексными сопротивлениями, как
показано на рис. 4.27.

б)
все токи и напряжения в схеме заменяются
их комплексными амплитудами, т.е.х(t) =X_m
cos(₀t
– _x) X_m
=X_m
e^–jx.

R

Z_R=R

C

Z_C=1/(jC)

L

Z_L=jL

Рис. 4.27

2)
Расчет электрической цепи сводится к
составлению уравнений состояния цепи
на основе законов Ома и Кирхгофа в
комплексной форме и нахождениюкомплексных
амплитуд токов или напряжений на
интересующих нас участках цепи, т.е.Y_m
= Y_m
e^–jy.

3) Запись окончательного решения состоит
в замене рассчитанных комплексных
амплитуд на гармонические функции
времени, т.е.

Y_m=Y_m
e ^–jy

y(t) =Y_m
cos(₀t – _y).

Пример 5. Алгоритм
метода рассмотрим на примере анализа
цепи, структура которой приведена на
рис. 4.29.

Рис. 4.29. RLC-цепь
второго порядка

На вход цепи
подается синусоидальное воздействие
.
Параметры воздействия и элементов цепи
известны:U_m=1
В, ω =1 с^-1
, φ _u=90⁰
, R=1
Ом, L=1
Гн, C=1
Ф. Требуется определить токи и напряжения
ветвей, построить векторную диаграмму.

Решение.

1. Представим
   воздействие в комплексной форме:

.

1. Построим схему
   замещения цепи в частотной области,
   заменив элементы цепи комплексными
   двухполюсниками, как это показано на
   рис. 4.30.

Рис. 4.30. Схема
замещения цепи в частотной области

3. Произведем расчет
реакций (токов и напряжений) в комплексной
области. При этом можно воспользоваться
законами Кирхгофа и Ома в комплексной
форме, а также известными методами
расчета резистивных цепей:

,
,,

,

,
,

,

,
.

1. Построим векторную
   диаграмму для токов и напряжений в
   цепи. Для этого на комплексной плоскости
   откладываются в соответствующем
   масштабе найденные токи и напряжения,
   как показано на рис. 4.31.

Рис. 4.31. Векторная
диаграмма

 Построение
векторной диаграммы, как правило,
является конечным результатом решения
подобных задач. Векторная диаграмма
показывает амплитуду и начальную фазу
любого тока или напряжения. При
необходимости записать временную
функцию тока или напряжения, это всегда
можно сделать, имея векторную диаграмму.
Например, напряжение на L-элементе
имеет амплитуду
,
а начальную фазу 135⁰,
значит, во временной области это
напряжение можно записать так:

.

Пример 2.

Активное сопротивление
катушки R_к=6
Ом, индуктивное X_l=10
Ом. Последовательно с катушкой включено
ативное сопротивление R=2Ом
и конденсатор сопротивлением х_с=4
Ом (рис.2,а). К цепи приложено напряжение
U=50В
( действующее значение). Определить :1)
полное сопротивление цепи;2)ток;3)коэффициент
мощности;4)активную, реактивную и полную
мощности;5) напряжения на каждом
сопротивлении. Начертите в масштабе
векторную диаграмму цепи.

Решение:

1.Определяем полное
сопротивление цепи

2.Определяем ток

3.Определяем
коэффициент мощности цепи

по таблицам Брадиса
находим =36⁰50’
. Угол сдвига фаз 
находим по синусу во избежание потери
знака угла ( косинус является четной
функцией)

4.Определяем
активную мощность цепи

или

Здесь

5.Определяем
реактивную мощность цепи

6.Определяем
активную мощность цепи

или

7.Определяем падение
напряжения на сопротивлениях цепи

;
;;

Построение векторной
диаграммы начинаем с выбора масштаба
для тока и напряжения. Задаемся масштабом
по току : в 1см – 1,0А и масштабом по
напряжению : 1см- 10В. Построение векторной
диаграмм ( рис.2,.б) начинаем с вектора
тока, который откладываем по горизонтали
в масштабе

Вдоль вектора тока
откладываем векторы падения напряжения
на активных сопротивления U_Rк
и U_R:

Из конца вектора
U_R
откладываем
в сторону опережения вектора тока на
90⁰
вектор падения напряжения U_L
на индуктивном сопротивлении длиной
.Из
конца вектораU_I
откладываем в сторону отставания от
вектора тока на 90⁰
вектор падения напряжения на конденсаторе
U_C
длиной
.
Геометрическая сумма векторовU_Rк,
U_R,
U_L
и U_C
равна полному напряжению U,
приложенному к цепи .

Пример 3.

На рис. 3,а задана
векторная диаграмма для неразветвленной
цепи, ток I
и падения напряжений на каждом
сопротивлении ( U₁,
U₂
и т.д.) Определить характер и величину
каждого сопротивления, начертить
эквивалентную схему цепи, вычислить
приложенное напряжение и угол сдвига
фаз .

Решение:

1.Из векторной
диаграммы следует, что напряжение U₁
отстает от тока на угол 90⁰.
Следовательно, на первом участке
включен конденсатор, сопротивление
которого

Вектор напряжение
на втором участке U₂
направлен параллельно вектору тока,
т.е. совпадает с ним по фазе. Значит, на
втором участке включено активное
сопротивление

Вектор напряжения
на третьем участке U₃
опережает вектор тока на угол 90⁰,
что характерно для индуктивности,
сопротивление которой

На четвертом
участке включено активное сопротивление

Эквивалентная
схема цепи приведена на рис. 3, б.

2.Из векторной
диаграммы определяем значение приложенного
напряжения и угол сдвига фаз:

.

Пример:

К электрической
цепи, рис. 3.12, а, подведено синусоидальное
напряжение частотой f
= 50 Гц с действующим значением U
= 100 В. Параметры элементов схемы: R₁
= 30 Ом, L
= 0,1 Гн, C
= 50 мкФ, R₂
= 20 Ом. Определить токи в ветвях схемы и
показания приборов. Составить баланс
мощности. Построить в масштабе векторную
диаграмму токов и напряжения.

Рис.
3.12 – Параллельная цепь:
а) схема
замещения; б) векторная диаграмма

Решение

Определяем
комплексные сопротивления параллельных
ветвей. Сопротивление первой ветви

Z₁
= R₁
+ jX_L,

где

X_L
= jωL
= 2πfL
= 6,28∙50∙0,1 = 31,4 Ом;

Z₁
= 30 + j31,4
Ом.

Комплексное
сопротивление второй ветви

Z₂
= R₂
– jX_С;

Z₂
= 20 – j63,7
Ом.

Находим комплексные
значения токов в ветвях

I
= I₁
+ I₂
= 1,6 – j1,64
+ 0,45 + j1,43
= 2,05 – j0,21
A.

Действующие
значения

Для определения
показания вольтметра составляем
уравнение согласно второго закона
Кирхгофа для контура б, в, г, д, б.
Произвольно выбираем направление обходе
контура, показанное на рис. 3.12, а стрелкой

0 = U_бв
+ R₂I₂
– R₁I₁;

1. . U_бв
= R₂I₂
– R₁I₁
= 20·(0,45 + j1,43)
– 30(1,6 – j1,64)
=

= 9 + j28,6
– 48 + j49,2
= — 39 + j77,8;

U_бв
= 39 – j77,8
В.

Вольтметр покажет
действующее значение напряжения U_бв

Ваттметр измеряет
мощность, потребляемую активной нагрузкой
(R₁
и R₂).

Известно, что

Р
= U·I·cosφ.

В этом выражении
неизвестным является cosφ,
где φ
угол сдвига между напряжением U
и током I.
Определить угол φ
(или cosφ)
можно разными путями. Например, cosφ
можно найти из выражения для общего
тока, учитывая, что начальная фаза
напряжения равна нулю. Для этого обратимся
к комплексному значению общего тока

I
= 2,05 – j0,21
A,

где I_R
= 2,05 – активная составляющая тока
(проекция комплексного вектора полного
тока на ось действительных чисел);

I_X
= — j0,21
– реактивная составляющая тока (проекция
комплексного вектора полного тока на
ось мнимых чисел).

Тогда

где I
= 2,06 А – действующее значение общего
тока.

Показание ваттметра

Р
= 100∙2,06∙0,995 = 205 Вт.

Составим баланс
мощностей.

Полная мощность,
поступающая от источника

где P_И
= 205 Вт; Q_И
= 21 Вар.

Мощности приёмников

S_П
= Р_П
+ jQ_П
= 205 + j21,34
ВА.

Результаты расчётов
показывают, что баланс мощности сходится,
т. е. токи найдены правильно.

Векторную диаграмму
строим на комплексной плоскости, рис.
3.12, б. Выбираем масштабы тока и напряжения:
(Масштаб
выбирается с таким расчётом, чтобы
векторная диаграмма занимала примерно
половину страницы). Откладываем вектор
напряжения совпадающий с осью+1.
Затем откладываем вычисленные значения
токов I₁,
I₂,
I.
Действительные значения – на оси +1,
мнимые значения – на оси +j.

Контрольные
вопросы к экзамену (зачету)

Контрольные вопросы к зачету
(экзамену ) по разделу «Основы
электротехники».

1. Электробезопасность.
Характеристики поражения человека
электрическим током.

2. Основные определения: электротехника,
электричество, электрическое поле,
потенциал, напряжение, электрический
ток, источники тока , электродвижущая
сила (ЭДС), закон Ома , законы Кирхгофа.

3. Электрическая цепь. Пассивные и
активные элементы цепи. Параметры
электрической цепи.

4. Расчет электрических
цепей постоянного тока методом законов
Кирхгофа, методом контурных токов.

5. Энергия и мощность
постоянного тока. Баланс мощностей.

6. Переменный ток. Однофазный синусоидальный
ток. Основные параметры: мгновенные,
действующие и средние значения тока,
напряжения и ЭДС. Генерирование
переменного тока.

7. Представление переменного тока
комплексными величинами. Метод комплексных
диаграмм.

8. Метод комплексных амплитуд.
Закон Ома и законы Кирхгофа в комплексной
форме.

9. Активное сопротивление,
индуктивность и емкость в цепи переменного
тока.

10. Последовательная и разветвленные
цепи переменного тока с активным
сопротивлением, емкостью и индуктивностью.
Резонанс тока. Резонанс напряжения.

11.Мощность и энергия в цепи переменного
тока. Активная, реактивная и полная
мощность. Единицы измерения. Баланс
мощностей.

12.Трехфазные электрические цепи. Основные
определения. Линейные и фазные токи и
напряжения. Маркировка фазы. Способы
соединения генераторов и приемников
типа звезда и треугольник. Трехпроводные
и четырехпроводные цепи. Нейтральный
провод.

13. Короткое замыкание фазы. Разрыв
линейного провода. Мощность в цепи
трехфазного тока.

14. Нелинейные электрические цепи.
Аппроксимация нелинейных характеристик.

15. Расчет цепей постоянного тока с одним
или несколькими нелинейными элементами.

16. Основные магнитные величины. Магнитные
цепи постоянного тока.

17. Магнитные цепи переменного тока.
Ферромагнитные материалы.

18. Расчет катушки с магнитопроводом и
воздушным зазором.

19. Энергия и основные потери в
магнитопроводе.

20 Трансформатор. Основные режимы работы.

21. Устройство и принцип действия машин
постоянного тока.

22. Генератор постоянного тока. Основные
характеристики.

23.Двигатель постоянного тока. Основные
характеристики.

24.Устройство и принцип действия машины
переменного тока.

25. Асинхронный двигатель. Основные
характеристики.

26. Синхронный генератор. Основные
характеристики.

Темы
рефератов.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ САМОСТОЯТЕЛЬНОЙ РАБОТЫ

Самостоятельная работа студентов
состоит в изучении ряда теоретических
вопросов по темам дисциплины, перечень
которых приведен в таблице 5 и составления
рефератов..

Таблица 5

№ п/п	Тема дисциплины
1	2
1	Тема 1. Электрические цепи. Основные определения, топологические параметры
2	Тема 2. Методы расчета линейных электрических цепей
3	Тема З. Однофазный переменный ток
4	Тема 4. Электрические цепи трехфазного тока.
5	Тема 5. Магнитные цепи и электромагнитные устройства.
6	Тема 6. Трансформаторы
7	Тема 7. Асинхронные машины
8	Тема 8. Машины постоянного тока (МПТ)
9	Тема 9. Синхронные машины
10	Тема 10. Электрические измерения и приборы
11	Тема 11. Основы электроники и элементной базы современных электронных устройств
12	Тема 12. Источники вторичного электропитания
13	Тема 13. Усилители электрических сигналов
14	Тема 14. Импульсные и автогенераторные устройства
15	Тема 15. Основы цифровой электроники
16	Тема 16. Микропроцессорные средства

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Одним из способов расчета цепей переменного тока является комплексный, или еще как говорят, символический метод расчета. Этот метод применяется при анализе схем с гармоническими ЭДС, напряжениями и токами. В результате решения получают комплексное значение токов и напряжений, используя для решения любые методы (эквивалентных преобразований, контурных токов, узловых потенциалов и т.п.). Но для начала необходимо иметь понятие, в каких именно формах может представляться синусоидальная величина. 1. Одна из форм представления – это вращающийся вектор (см. рис.1):

Рис.1. Вращающийся вектор

С помощью рисунка ясно видно, как с течением времени меняется значение синусоидальной величины. В нашем случае – это величина а на графике, которая может быть, например, входным напряжением. Величина имеет некоторое начальное значение при t = 0 при начальной фазе φ

имеет положительное максимальное значение при угле ωt₃, когда при времени t₃ сумма ωt₃ + φ = 90° и соответственно,

имеет отрицательное максимальное значение при угле ωt₇, когда при времени t₇ сумма углов ωt₇ + φ = 270° и, соответственно,

и имеет два нулевых значения при ωt_n + φ = 0, когда ωt_n = —φ (на рис.1 эта область не показана и находится слева от начала координат)

и тогда

и имеет нулевое значение при угле ωt₁₁, когда при времени t₁₁ сумма ωt₁₁ + φ = 360° и соответственно,

Именно по такому закону и меняется привычное нам переменное напряжение 220 В, изменяясь по синусоидальному закону от  значения  0 В до максимальных 311 В и обратно.

2. Другая форма представления – это комплексное число. Чтобы представить ранее рассмотренную форму представления синусоидальной величины, которая имеет некоторую начальную фазу φ, создают комплексную плоскость в виде графика зависимости двух величин (рис.2)

Рис.2. Комплексное число на комплексной плоскости

Длина вектора Am на такой комплексной плоскости равна амплитуде (максимальному значению) рассматриваемой величины. С учетом начальной фазы φ такое число записывают как .

На практике при использовании для расчетов символического (комплексного) метода расчета используют для некоторых удобств не амплитудное значение величины, а так называемое действующее значение. Его величина в корень из двух раз меньше амплитудного и обозначается без индекса m, т.е. равна

На рисунке выше этот вектор также показан.
Например, при том же нашем напряжении в сети, максимальное значение синусоидально изменяющегося напряжения равно 311 В, а действующее значение, к значению которого мы привыкли

При работе с комплексными числами и расчетов применяют различные формы записи комплексного числа. Например, при сложении комплексных чисел удобнее использовать алгебраическую форму записи таких чисел, а при умножении или делении – показательную форму записи. В некоторых случаях пишут тригонометрическую форму.
Итак, три формы записи комплексного числа:

1) показательная форма в виде

2) тригонометрическая форма в виде

3) алгебраическая форма

где ReA — это действительная составляющая комплексного числа, ImA — мнимая составляющая.

Например, имеем комплексное число в показательной форме вида

в тригонометрической форме записи это запишется как

при подсчете получим число, плавно переходящее в алгебраическую форму с учетом того, что

В итоге получим

где

При переходе от алгебраической формы к показательной комплексное число вида

переходит к показательному виду  по следующим преобразованиям

а угол

Таким образом, и получим

Перейдем к рассмотрению несложных примеров использования  символического, или по-другому, комплексного метода расчета электрических цепей. Составим небольшой алгоритм комплексного метода:

1. 1. • Составить комплексную схему, заменяя мгновенные значения ЭДС, напряжений и токов их комплексным видом
      • В полученной схеме произвольно выбирают направления токов в ветвях и обозначают их на схеме.
      • При необходимости составляют комплексные уравнения по выбранному методу решения.
      • Решают уравнения относительно комплексного значения искомой величины.
      • Если требуется, записывают мгновенные значения найденных комплексных величин.

Пример 1. В схеме рис.3 закон изменения ЭДС e = 141sin*ωt. Сопротивления R1 = 3 Ом, R2 = 2 Ом, L = 38,22 мГн, С = 1061,6 мкФ. Частота f = 50 Гц. Решить символическим методом. Найти ток и напряжения на элементах. Проверить 2-ой закон Кирхгофа для цепи.

Рис.3. Схема с последовательным соединением элементов

Составляем комплексную схему, обозначив комплексные токи и напряжения (рис.4):

Рис.4. Схема с комплексными обозначениями

По закону Ома ток в цепи равен

где U — комплексное входное напряжение, Z — полное сопротивление всей цепи. Комплекс входного напряжения находим как

Пояснение: здесь начальная фаза  φ = 0°, так как  общее выражение для мгновенного значения напряжение вида при  φ = 0° равно

Соответственно, комплекс входного напряжения в показательной форме запишется как

Полное комплексное сопротивление цепи в общем виде

Находим комплексное сопротивление индуктивности

Находим комплексное сопротивление емкости

Соответственно, общее комплексное сопротивление цепи

Ток в цепи

Комплексные напряжения на элементах

Проверяем второй закон Кирхгофа для замкнутого контура, т.е. должно выполняться равенство

Проверяем

С небольшим расхождением из-за округлений промежуточных вычислений всё верно.

Пример 2. В электрической цепи (рис.5) однофазного синусоидального тока, схема и параметры элементов которой заданы для каждого варианта в таблице, определить:
1)  полное сопротивление электрической цепи и его характер;
2)  действующие значения токов в ветвях;
3) показания вольтметра и ваттметра;

1. Исходные данные: Е = 220 В, f = 50 Гц, L1 = 38,2 мГн, R2 = 6 Ом, С2 = 318 мкФ, L2 = 47,7 мГн, R3 = 10 Ом, С3 = 300 мкФ.

Рис.5.Цепь однофвзного синусоидального тока

Решение:
1.  Находим комплексные сопротивления ветвей и всей цепи:
Учитываем, что

Комплексное сопротивление первой ветви:

Комплексное сопротивление второй ветви:

Комплексное сопротивление третьей ветви:

Общее сопротивление цепи

Откуда

— нагрузка носит активно-индуктивный характер

2. Находим действующие значения токов в ветвях:

Рис.6. Схема с обозначенными комплексными токами

Действующие значения, соответственно,

3. Определим показания приборов:
Вольтметр подключен по схеме параллельно источнику питания. Соответственно его показание равно:
U=220 В
Ваттметр включен токовой обмоткой в разрыв третьей ветви, а обмоткой напряжения также к выводам третьей ветви, измеряя, таким образом,  активную мощность третьей ветви. Эта мощность равна мощности на сопротивлении R3. Его показания:

Была ли эта статья полезной?

Электрический импеданс

Импеданс (impedance) – комплексное, полное сопротивление переменному току электрической цепи с активным и реактивным сопротивлением.

Импеданс и общий сдвиг фаз для синусоидального тока можно рассчитать исходя из последовательного или параллельного соединения элементов цепи.

Последовательное соединение

При последовательном соединении, согласно Закону Ома для переменного тока,
во всех элементах цепи ток будет общим I = U/Z, а значения напряжений на каждом элементе определятся пропорционально его сопротивлению:
на выводах резистора U_R = IR; на выводах конденсатора U_C = IX_C; на выводах катушки U_L = IX_L.

Векторы индуктивной и ёмкостной составляющих напряжения направлены в противоположные стороны.
С учётом отрицательного ёмкостного сдвига, общее напряжение на реактивных элементах U_X = U_L — U_C .

Пропорционально напряжению, получим общее реактивное сопротивление X = X_L — X_C .

Векторы напряжений на активной и реактивной составляющей импеданса имеют угол сдвига фаз 90 градусов.
U , U_R и U_X представим в виде прямоугольного треугольника напряжений с углом сдвига фаз φ.

Тогда получим соотношение, согласно Теореме Пифагора, U ² = U_R² + U_X² .
Следовательно, с учётом пропорциональности элементов R, L, C значениям напряжений на их выводах,
определим импеданс, который будет равен квадратному корню из суммы квадратов активного и реактивного сопротивлений цепи.

X_L = ωL = 2πfL — реактивное сопротивление индуктивности.

X_C = 1/(ωC) = 1/(2πfC) — реактивное сопротивление ёмкости.

Угол сдвига фаз φ и его дополнение до 90° δ
определятся тригонометрическими функциями из треугольника сопротивлений с катетами R, X и гипотенузой Z, как показано на рисунке:

Обычно, для облегчения расчётов, импеданс представляют в виде комплексного числа,
где действительной его частью является активное сопротивление, а мнимой — реактивное.
Для последовательного соединения импеданс можно записать в комплексном виде следующим образом:

Z = R + jX

Тогда в тригонометрической интерпретации модулем этого числа будет импеданс, а аргументом — угол φ.
В соответствии с формулой Эйлера, запишем показательную форму комплексного импеданса:

Z = |Z|e^jargZ = Ze^jφ

Отсюда активная составляющая импеданса R = Zcosφ
Реактивная составляющая X = Zsinφ.

---

Параллельное соединение

Для вычисления импеданса при параллельном соединении активных и реактивных сопротивлений
будем исходить из суммы обратных им величин — проводимостей y = 1/Z, G = 1/R, b = 1/X.

y = 1/Z = √(G² + b²)

Сдвиг фаз в этом случае будет определён треугольником сопротивлений следующим образом:

Комплексную проводимость, как величину, обратную комплексному импедансу, запишем в алгебраической форме:

Y = G — jb

Либо в показательной форме:

Y = |Y|e ^-jφ = ye ^-jφ

Здесь:

Y — комплексная проводимость.
G — активная проводимость.
b — реактивная проводимость.
y — общая проводимость цепи, равная модулю комплексной проводимости.
e — константа, основание натурального логарифма.
j — мнимая единица.

φ — угол сдвига фаз.

---

Онлайн-калькулятор расчёта импеданса и угла сдвига фаз

Необходимо вписать значения и кликнуть мышкой в таблице.
При переключении множителей автоматически происходит пересчёт результата.

Последовательное соединение Z = √(R²+(XL-Xc)²)

Параллельное соединение Z = 1/√(1/R²+(1/XL-1/Xc)²)

---

Похожие страницы с расчётами:

Реактивное сопротивление. Расчёт.

Частота резонанса колебательного контура LC. Расчёт.

Реактивная мощность и компенсация. Расчёт.