Как найти общий множитель
Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.
Инструкция
Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y — 2) и (y + 3).
Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y — 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² — 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² — 2).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Вынесение общего множителя за скобки основано на распределительном законе.
Чтобы найти общий множитель, необходимо:
1) определить коэффициент общего множителя, то есть число, на которое делятся все коэффициенты одночленов;
2) определить общую буквенную часть для всех членов многочлена;
3) общий множитель получится путём произведения коэффициента и общей буквенной части, полученных в первом и втором пунктах, его выносим за скобки.
Пример:
разложить на множители:
25t4n−20t2
.
Решение.
1. Определим коэффициент общего множителя, найдя НОД коэффициентов (25) и (20) : (5).
2. Найдём общую буквенную часть с минимальным показателем степени:
t2
.
3. Общий множитель получим, вычислив произведение коэффициента и общей буквенной части, т. е.
5t2
— общий множитель, его выносим за скобки.
Finding the greatest common factor, or GCF, of two numbers is useful in many situations in math, but particularly when it comes to simplifying fractions. If you’re struggling with this or finding common denominators, learning two methods for finding common factors will help you achieve what you’re setting out to do. First, though, it’s a good idea to learn about the basics of factors; then, you can look at two approaches for finding common factors. Finally, you can look at how to apply your knowledge to simplify a fraction.
What Is a Factor?
Factors are the numbers you multiply together to produce another number. For example, 2 and 3 are factors of 6, because 2 × 3 = 6. Similarly, 3 and 3 are factors of 9, because 3 × 3 = 9. As you may know, prime numbers are numbers that have no factors other than themselves and 1. So 3 is a prime number, because the only two whole numbers (integers) that can multiply together to give 3 as an answer are 3 and 1. In the same way, 7 is a prime number, and so is 13.
Because of this, it’s often helpful to break down a number into “prime factors.” This means finding all of the prime number factors of another number. It basically breaks the number down into its fundamental “building blocks,” which is a useful step towards finding the greatest common factor of two numbers and is also invaluable when it comes to simplifying square roots.
Finding the Greatest Common Factor: Method One
The simplest method for finding the greatest common factor of two numbers is to simply list all of the factors of each number and look for the highest number that both of them share. Imagine that you want to find the highest common factor of 45 and 60. First, look at the different numbers you can multiply together to produce 45.
The easiest way to start is with the two you know will work, even for a prime number. In this case, we know 1 × 45 = 45, so we know 1 and 45 are factors of 45. These are the first and last factors of 45, so you can just fill in from there. Next, work out whether 2 is a factor. This is easy, because any even number will be divisible by 2, and any odd number won’t. So we know that 2 isn’t a factor of 45. What about 3? You should be able to spot that 3 is a factor of 45, because 3 × 15 = 45 (you can always build on what you know to work this out, for example, you’ll know that 3 × 12 = 36, and adding threes to this leads you to 45).
Next, is 4 a factor of 45? No – you know 11 × 4 = 44, so it can’t be! Next, what about 5? This is another easy one, because any number ending in 0 or 5 is divisible by 5. And with this, you can easily spot that 5 × 9 = 45. But 6 is no good because 7 × 6 = 42 and 8 × 6 = 48. From this you can also see that 7 and 8 aren’t factors of 45. We already know 9 is, and it’s easy to see that 10 and 11 aren’t factors. Continue this process, and you’ll spot that 15 is a factor, but nothing else is.
So the factors of 45 are: 1, 3, 5, 9, 15 and 45.
For 60, you run through the exact same process. This time the number is even (so you know 2 is a factor) and divisible by 10 (so 5 and 10 are both factors), which makes things a bit easier. After going through the process again, you should see that the factors of 60 are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60.
Comparing the two lists shows that 15 is the greatest common factor of 45 and 60. This method can be time consuming, but it’s simple and it will always work. You can also start at any high common factor you can spot straight away, and then simply look for higher factors of each number.
Finding the Greatest Common Factor: Method Two
The second method of finding the GCF for two numbers is to use prime factors. The process of prime factorization is a little easier and more structured than finding every factor. Let’s go through the process for 42 and 63.
The process of prime factorization basically involves breaking the number down until you’re only left with prime numbers. It’s best to start with the smallest prime (two) and work from there. So for 42, it’s easy to see that 2 × 21 = 42. Then work from 21: Is 2 a factor? No. Is 3? Yes! 3 × 7 = 21, and 3 and 7 are both prime numbers. This means the prime factors of 42 are 2, 3 and 7. The first “break” used 2 to get to 21, and the second broke this down into 3 and 7. You can check this by multiplying all of your factors together and checking you get the original number: 2 × 3 × 7 = 42.
For 63, 2 isn’t a factor, but 3 is, because 3 × 21 = 63. Again, 21 breaks down into 3 and 7 – both prime – so you know the prime factors! Checking shows that 3 × 3 × 7 = 63, as required.
You find the highest common factor by looking at which prime factors the two numbers have in common. In this case, 42 has 2, 3 and 7, and 63 has 3, 3 and 7. They have 3 and 7 in common. To find the highest common factor, multiply all of the common prime factors together. In this case, 3 × 7 = 21, so 21 is the greatest common factor of 42 and 63.
The previous example can be solved more quickly this way too. Because 45 is divisible by three (3 × 15 = 45), and 15 is also divisible by three (3 × 5 = 15), the prime factors of 45 are 3, 3 and 5. For 60, it’s divisible by two (2 × 30 = 60), 30 is divisible by two as well (2 × 15 = 30), and then you’re left with 15, which we know has three and five as prime factors, leaving 2, 2, 3 and 5. Comparing the two lists, three and five are the common prime factors, so the greatest common factor is 3 × 5 = 15.
In the event that there are three or more common prime factors, you multiply them all together in the same way to find the greatest common factor.
Simplifying Fractions With Common Factors
If you’re presented with a fraction like 32/96, it can make any calculations that come after it very complicated unless you can spot a way to simplify the fraction. Finding the lowest common factor of 32 and 96 will tell you the number to divide both by, to get a simpler fraction. In this case:
32 = 2 × 16 \ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \ text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
For 96, the process gives:
96 = 48 × 2 \ 48 = 24 × 2 \ 24 = 12 × 2 \ 12 = 6 × 2 \ 6 = 3 × 2 \ text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
It should be clear that 25 = 32 is the highest common factor. Dividing both parts of the fraction by 32 gives:
frac{32}{96} = frac{1}{3}
Finding common denominators is a similar process. Imagine that you had to add the fractions 15/45 and 40/60. We know from the first example that 15 is the highest common factor of 45 and 60, so we can immediately express them as 5/15 and 10/15. Since 3 × 5 = 15, and both numerators are also divisible by five, we can divide both parts of both fractions by five to get 1 /3 and 2/3. Now they are much easier to add and see that
frac{15}{45} + frac{40}{60} = 1
В контексте изучения тождественных преобразований очень важен вопрос о вынесении общего знаменателя за скобки.
В этой статье мы объясним, что именно представляет собой это преобразование, выведем основное правило и проанализируем типичные проблемные случаи. Вспомним урок 7 класса!
Для того, чтобы успешно применить преобразование, нужно знать, к каким выражениям оно будет применяться и какой результат вы хотите получить. Поясним эти моменты. Вы можете взять общий множитель из скобок в выражениях, представляющих собой суммы, где каждый член является произведением, а в каждом произведении есть общий (один и тот же) множитель для всех. Это называется общим фактором. Вынесем его за скобки.
Важно! Если у нас есть произведения [6 times 4] и [6 times 3], то мы можем вынести общий множитель 6. Что это за трансформация?
Нет времени решать самому?
Наши эксперты помогут!
- В ходе нее мы представим изначальное выражение в виде произведения общего множителя и выражения в скобках, содержащего сумму всех первоначальных членов, кроме общего множителя. Возьмем образец выше. Выделим общее число 6 в [6 times 4 ] и [6 times 3] и вынесем его за скобки.
- Получим [6 times(4+3)]. Окончательный вид выражения представляет собой произведение общего множителя 6 и выражения в скобках, представляющего собой сумму исходных членов без 6.
- Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения, которое мы уже изучали ранее.
- В буквальном виде это можно записать как [n times(m+6)=n times m+n times 6].
- Изменив правую часть на левую, мы увидим схему вынесения общего множителя в скобках.
- Используя все вышеизложенное, выводим основную формулу такого преобразования: [a(b+c)=a b+a c].
Правило
Для вынесения общего множителя за скобки необходимо исходное выражение записать в виде произведения общего множителя и скобок, в которые входит исходная сумма без общего множителя.
Примеры 1 — 5
Рассмотрим простой пример. У нас есть числовое выражение [5 times 6+5 times 3-5 times 7], которое представляет собой сумму трех слагаемых [5 times 6,5 times 3] и [5 times 7] и общего множителя 5. На основании полученного нами правила, произведение запишем в виде [5 times(6+3-7)]. Это результат нашей трансформации. Вся запись решения выглядит так: [5 times 6+5 times 3-5 times 7=5 times(6+3-7)].
[3 times 9+3 times 5+3 times 6=3 times(9+5+6)]
Мы можем убрать множитель из скобок не только в числовых выражениях, но и в буквенных выражениях. Например, в [5 x-8 x+6] можно удалить переменную x и получить [5 x-8 x+6=x times(5-8)+6] в выражении [left(x^{2}-yright) cdot x y+left(x^{2}-yright) cdot x^{3}] – общий множитель [left(x^{2}-yright)] и результат [left(x^{2}-yright) cdot x y+left(x^{2}-yright) cdot x^{3}=left(x^{2}-yright) cdotleft(x y+x^{3}right)]. Не всегда можно сразу определить, какой множитель является общим. Иногда выражение необходимо предварительно преобразовать, заменив числа и выражения произведениями, идентичными им.
В выражении 9 ⋅ x — 6 ⋅ y можно выделить общий множитель 3, который явно неопределен. Чтобы найти его, нам нужно преобразовать исходное выражение (путем разложения множителей), которое представляет девять как [3 times 3] и шесть как [3 times 2]. То есть [9 x-6 y=3 times 3 x-3 times 2 y=3 times(3 x-2 y)]. Или в выражении [x^{3}-x^{2}-5] можно поставить общий множитель в скобках. Это преобразование возможно благодаря основным свойствам степеней. Следовательно, получаем выражение [x cdotleft(x^{2}-x-5right)].
[5 a+30 a b-45 a c=5 a(1+6 b-9 c)]
Другой случай, который следует рассматривать отдельно — это минус за скобками. Так мы устраняем не сам знак, а минус 1. Например, преобразуем выражение [-8+14 x-5 x y] таким образом. Перепишите выражение в виде [(-1) times 8-(-1) times 14 x+(-1) times 5 times y], чтобы общий коэффициент был виден более четко. Вынесем его за скобки и получим [-(8-14 x+5 x y)]. Этот пример показывает, что в скобках получается одна и та же сумма, но с противоположными знаками.
[-4 x-5 x y+2 x=x(4+5 y-2)]
В итоге отметим, что преображение путем выноса общего сомножителя за скобки чрезвычайно часто применяется на практике, к примеру, для исчисления значения иррациональных выражений. Также этот метод продуктивен, когда нужно показать выражение в виде произведения, например, разложить многочлен на отдельные сомножители.
Как найти общий множитель при решении уравнений: шаг за шагом
Нахождение общего множителя является важным этапом при решении уравнений. Обычно это делается в целях упрощения выражений и получения более простой формы ответа. Чтобы найти общий множитель, следуйте следующим шагам:
Шаг 1: Разложите числа на простые множители
Первым шагом является разложение чисел на простые множители. Например, если нужно найти общий множитель для чисел 12 и 18, сначала следует разложить их на простые множители:
12 = 2 × 2 × 3
18 = 2 × 3 × 3
Шаг 2: Найдите общие простые множители
Вторым шагом является поиск общих простых множителей. Для чисел 12 и 18 общими множителями являются 2 и 3.
Шаг 3: Составьте произведение общих простых множителей
Третьим шагом является составление произведения общих простых множителей. Для чисел 12 и 18 произведение общих множителей будет равно:
2 × 3 = 6
Таким образом, общий множитель для чисел 12 и 18 равен 6. Можно убедиться, что 6 является делителем и 12, и 18.
Заключение
Нахождение общего множителя является важным шагом при решении уравнений, особенно если выражения состоят из большого количества множителей. Лучший способ найти общий множитель — разложить числа на простые множители, найти общие множители и составить из них произведение.