Как найти общее основание степени - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Возведению в степень обратны два действия:

извлечение корня,
нахождение логарифма.

Во-первых, сначала надо разобраться, что значит обратное действие. Так деление есть обратное действие умножению, а вычитание — сложению. Это вытекает из рассуждений, что произведение, получившееся от перемножения двух множителей, позволяет найти один из множителей, если известен другой. Например, 5 * 3 = 15. Если нам неизвестен второй множитель (5 * ? = 15), то его можно найти, выполнив деление: 15 : 5 = 3. Операция не меняется, если неизвестен первый множитель: ? * 3 = 15, 15 : 3 = 5. Это связано с тем, что умножение подчиняется переместительному закону (от перемены мест множителей произведение не меняется).

Аналогично и для вычитания: ? + 10 = 33, 33 — 10 = 23 или ? + 23 = 33, 33 — 23 = 10. Неважно, какое слагаемое неизвесто, его всегда находят вычитанием.

Но не все так просто с возведением в степень. Здесь от перестановки основания степени и показателя степени результат изменяется, т.е. возведение в степень не подчиняется переместительному закону: 4 3 = 64, но 3 4 = 81. (Хотя есть исключения: 2 4 = 16 и 4 2 = 16.)

Поэтому, если нам известен результат операции возведения в степень и показатель степени, то, чтобы найти основание степени, надо извлечь корень известной по показателю степени из результа возведения в степень:

? 3 = 125, следовательно 3 √125 = 5.

Если же известны основание степени и результат возведения в степень, а надо найти показатель степени, то используется такая операция как нахождение логарифма:

Обращаем ваше внимание, что в данном разделе разбирается понятие степени только с натуральным показателем и нулём.

Понятие и свойства степеней с рациональными показателями (с отрицательным и дробным) будут рассмотрены в уроках для 8 класса.

Итак, разберёмся, что такое степень числа. Для записи произведения числа самого на себя несколько раз применяют сокращённое обозначение.

Вместо произведения шести одинаковых множителей 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 пишут 4 6 и произносят «четыре в шестой степени».

4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 6

Выражение 4 6 называют степенью числа, где:

4 — основание степени;
6 — показатель степени.

В общем виде степень с основанием « a » и показателем « n » записывается с помощью выражения:

Степенью числа « a » с натуральным показателем « n », бóльшим 1 , называется произведение « n » одинаковых множителей, каждый из которых равен числу « a ».

Запись « a n » читается так: « а в степени n » или « n -ая степень числа a ».

Исключение составляют записи:

a 2 — её можно произносить как « а в квадрате»;
a 3 — её можно произносить как « а в кубе».

Конечно, выражения выше можно читать и по определению степени:

a 2 — « а во второй степени»;
a 3 — « а в третьей степени».

Особые случаи возникают, если показатель степени равен единице или нулю (n = 1; n = 0) .

Степенью числа « а » с показателем n = 1 является само это число:
a 1 = a

Любое число в нулевой степени равно единице.
a 0 = 1

Ноль в любой натуральной степени равен нулю.
0 n = 0

Единица в любой степени равна 1.
1 n = 1

Выражение 0 0 (ноль в нулевой степени) считают лишённым смысла.

При решении примеров нужно помнить, что возведением в степень называется нахождение числового или буквенного значения после его возведения в степень.

Пример. Возвести в степень.

5 3 = 5 · 5 · 5 = 125
2,5 2 = 2,5 · 2,5 = 6,25
(
) 4 =

·

·

·

=

3 · 3 · 3 · 3

4 · 4 · 4 · 4

=

Возведение в степень отрицательного числа

Основание степени (число, которое возводят в степень) может быть любым числом — положительным, отрицательным или нулём.

При возведении в степень положительного числа получается положительное число.

При возведении нуля в натуральную степень получается ноль.

При возведении в степень отрицательного числа в результате может получиться как положительное число, так и отрицательное число. Это зависит от того чётным или нечётным числом был показатель степени.

Рассмотрим примеры возведения в степень отрицательных чисел.

Из рассмотренных примеров видно, что если отрицательное число возводится в нечётную степень, то получается отрицательное число. Так как произведение нечётного количество отрицательных сомножителей отрицательно.

Если же отрицательное число возводится в чётную степень, то получается положительное число. Так как произведение чётного количество отрицательных сомножителей положительно.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, есть число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Квадрат любого числа есть положительное число или нуль, то есть:

a 2 ≥ 0 при любом a .

2 · (−3) 2 = 2 · (−3) · (−3) = 2 · 9 = 18
−5 · (−2) 3 = −5 · (−8) = 40

Обратите внимание!

При решении примеров на возведение в степень часто делают ошибки, забывая, что записи (−5) 4 и −5 4 это разные выражения. Результаты возведения в степень данных выражений будут разные.

Вычислить (−5) 4 означает найти значение четвёртой степени отрицательного числа.

В то время как найти « −5 4 » означает, что пример нужно решать в 2 действия:

Возвести в четвёртую степень положительное число 5 .
5 4 = 5 · 5 · 5 · 5 = 625
Поставить перед полученным результатом знак «минус» (то есть выполнить действие вычитание).
−5 4 = −625

Пример. Вычислить: −6 2 − (−1) 4

6 2 = 6 · 6 = 36
−6 2 = −36
(−1) 4 = (−1) · (−1) · (−1) · (−1) = 1
−(−1) 4 = −1
−36 − 1 = −37

Порядок действий в примерах со степенями

Вычисление значения называется действием возведения в степень. Это действие третьей ступени.

В выражениях со степенями, не содержащими скобки, сначала выполняют вовзведение в степень, затем умножение и деление , а в конце сложение и вычитание .

Если в выражении есть скобки, то сначала в указанном выше порядке выполняют действия в скобках, а потом оставшиеся действия в том же порядке слева направо.

Для облегчения решения примеров полезно знать и пользоваться таблицей степеней, которую вы можете бесплатно скачать на нашем сайте.

Для проверки своих результатов вы можете воспользоваться на нашем сайте калькулятором «Возведение в степень онлайн».

Логарифмом называется математическое введение, которое предназначено для того чтобы найти степень числа в уравнении. Если рассматривать степень числа, то число, возводимое в степень, называется основанием степени, а сама степень – показателем степени. Так, в числе 2 3 , 2 является основанием, а 3 – показателем. Для того чтобы понять суть логарифма, рассмотрим показательное тождество (равенство с использованием степени). В выражении 2 3 =8 взаимосвязаны три числа, основание степени, показатель и значение степени – 8 . Соответственно, каждое из этих чисел может быть заменено на переменную с тем, чтобы получить уравнение.
x 3 =8
2 3 =x
2 x =8

Если первые два уравнения считаются довольно стандартными, то третье уравнение становится в отдельный ряд показательных уравнений, и при усложнении его другими алгебраическими действиями появляется необходимость ввести дополнительный элемент для его решения. Этим элементом становится логарифм.
2 x =8
log₂8=x

Таким образом, чтобы найти неизвестную x , нужно вычислить логарифм от 8 по 2 . Названия чисел сохраняются те же самые, что и в степени, 2 остается основанием, но теперь уже не степени, а логарифма, 8 становится телом логарифма. Если обратить внимание, то они сохраняют и свое положение, и визуально легко запомнить, что для вычисления логарифма нужно узнать в какую степень нужно возвести 2 (число внизу, слева), чтобы получить 8 (число справа, вверху).

Чтобы вычислить логарифмы с различными основаниями и телами, можно воспользоваться приведенным ниже он-лайн калькулятором логарифмов.

Источник

Степень числа

Возведение в степень
Выражения со степенями. Порядок действий
Калькулятор возведения в степень

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

5 · 5 · 5 = 125.

Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5³ (пять в третьей степени). Выражение 5³ — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 5³ = 125.

Рассмотрим выражение 5³ . В этом выражении число 5 — основание степени, а число 3 — показатель степени.

Основание степени — это повторяющийся множитель. Показатель степени — это число, указывающее количество повторений, то есть показатель степени показывает сколько одинаковых множителей содержится в произведении.

Читаются степени так:

7² — семь во второй степени.
Вторую степень числа также называют квадратом этого числа. Следовательно, выражение 7² можно прочесть так: семь в квадрате или квадрат числа семь.
2³ — два в третьей степени.
Третью степень числа также называют кубом этого числа. Следовательно, выражение 2³ можно прочесть так: два в кубе или два куб.
6⁴ — шесть в четвёртой степени.
10¹⁵ — десять в пятнадцатой степени.
aⁿ — a в энной степени или a в степени эн.

Пример. Записать в виде степени:

a) 5 · 5;

б) 10 · 10 · 10 · 10;

в) 8 · 8 · 8.

Решение:

a) 5 · 5 = 5²;

б) 10 · 10 · 10 · 10 = 10⁴;

в) 8 · 8 · 8 = 8³.

Возведение в степень

Возведение числа в степень — это вычисление произведения одинаковых множителей. Например, возвести число 2 в третью степень (2³) — это значит найти произведение 2 · 2 · 2 , то есть

2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

Результат возведения в степень называется степенью (также как и само выражение, значение которого вычисляется). В выражении:

2³ = 8,

2 — это основание степени, ³ — показатель степени, 8 — степень.

Пример. Вычислите:

a) 11²;

б) 2⁵;

в) 10⁴.

Решение:

a) 11² = 11 · 11 = 121;

б) 2⁵ = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32;

в) 10⁴ = 10 · 10 · 10 · 10 = 10000.

Выражения со степенями. Порядок действий

Если выражение не содержит скобки и содержит степени, то сначала выполняется возведение в степень в порядке следования степеней (слева направо), а затем все остальные арифметические действия. Если выражение содержит скобки, то сначала выполняются действия в скобках, с учётом всех правил порядка выполнения действий.

Рассмотрим два выражения:

5² + 2²

(5 + 2)²

В соответствии с порядком выполнения действий в первом случае сначала выполняется возведение в степень, а затем вычисляется сумма. Во втором случае сначала вычисляется сумма, а затем результат возводится в квадрат.

5² + 2² = 25 + 4 = 29,

(5 + 2)² = 7² = 49.

Пример 1. Найти значение выражения:

5 · (10 — ³.

Решение: Сначала выполняется действие, заключённое в скобки:

1) 10 — 8 = 2.

Затем, по правилам порядка действий, выполняется возведение в степень:

2) 2³ = 2 · 2 · 2 = 8.

И последним действием вычисляется произведение:

3) 5 · 8 = 40.

Ответ: 5 · (10 — ³ = 40.

Пример 2. Вычислить:

a) (4 + 2) · 3²;

б) 3 · 5² — 50;

в) 3 · 4 + 6².

Решение:

a) (4 + 2) · 3² = 54

4 + 2 = 6
3² = 9
6 · 9 = 54

б) 3 · 5² — 50 = 25

5² = 25
3 · 25 = 75
75 — 50 = 25

в) 3 · 4 + 6² = 48

6² = 36
3 · 4 = 12
12 + 36 = 48

Калькулятор возведения в степень

Данный калькулятор поможет вам выполнить возведение в степень. Просто введите основание с показателем степени и нажмите кнопку Вычислить.

Источник

Сложение и вычитание степеней

Как складывать числа со степенями и как вычитать степени — очень просто. Основной принцип такой: выполняется сначала возведение в степень, а уже потом действия сложения и вычитания.

2³+ 3⁴= 8 + 81= 89

6³— 3³= 216 — 27 = 189

И еще парочка правил

Если есть скобки — начинать вычисления нужно внутри них
Только потом возводим этот результат из скобок в степень
Затем выполняем остальные действия: сначала умножение и деление по порядку (слева направо), а в конце — сложение и вычитание по порядку (слева направо)

Сложение степеней с разными показателями

В таком случае действуем согласно общему правилу: сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

2³+ 2⁴= 8 + 16= 24

Сложение степеней с разными основаниями

В целом это ничем не отличается от предыдущего пункта. Могут быть разные основания, но одинаковые показатели. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим сложение.

3⁴+ 5⁴=81 + 625 = 706
1⁴+ 7²= 1+ 49 = 50

Как складывать числа с одинаковыми степенями

Точно так же, как и в предыдущем примере. Если показатели степени одинаковые, а основания разные — нельзя сложить основания и затем эту сумму возводить в степень.

6³+ 3³= 216 + 27 = 243

В уравнениях с этим все проще. Если показатель и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a2, например) — их коэффициенты можно складывать. Коэффициент — это число перед переменной a2.

2a² + 3a² = 5a²

2,3, 5 — коэффициенты

a² — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Вычитание степеней с одинаковым основанием

Здесь принцип тот же, что и со сложением: возводим в степень числа и только потом вычитаем их.

6³— 3³= 216 — 27 = 189

Вычитание степеней с разными основаниями

Могут быть разные основания, но одинаковые показатели степени. А могут быть и разные основания, и разные показатели. Поэтому сначала выполняем возведение в степень каждого числа, затем — производим вычитание.

5⁴— 4⁴= 625 — 256 = 369
7⁴— 3²= 2401 — 9 = 2392

Вычитание степеней с одинаковыми показателями

Все точно так же, как и со сложением. Если показатели степени одинаковые, а основания разные — нельзя вычесть основания и затем эту разницу возводить в степень. Сначала возводим каждое число в степень и затем выполняем вычитание.

6³— 3³= 216 — 27 = 189

И та же история с коэффициентами: если показатель степени и основание степени одинаковые (тогда это называется переменная, a²) — их коэффициенты можно вычитать. Коэффициент — это число перед переменной a².

5a² — 3a² = 2a²

5, 3, 2 — коэффициенты

a² — переменная

Если перед переменной в уравнении нет коэффициента, это значит, что он равен 1.

Умножение и деление степеней

Здесь всё не так однозначно, как со сложением и вычитанием — общие правила для всех случаев выделить не получится. Все зависит от оснований и показателей степеней, с которыми нужно выполнить манипуляции.

Например, действия со степенями с разными основаниями будут отличаться от действий с числами, у которых основания одинаковые. Работа с показателями — одинаковыми и разными — тоже отличается. Давайте разбираться.

Умножение степеней с одинаковыми показателями

Чтобы произвести умножение степеней с одинаковыми показателями, нужно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным:

aⁿ · bⁿ = (a · b)ⁿ , где

a, b — основание степени (не равное нулю)

n — показатели степени, натуральное число

a⁵ · b⁵ = (a·a·a·a·a) ·(b·b·b·b·b) = (ab)·(ab)·(ab)·(ab)·(ab) = (ab)⁵
3⁵ · 4⁵ = (3·4)⁵ = 12⁵ = 248 832
16a² = 4²·a² = (4a)²

Умножение степеней с одинаковыми основаниями

Степени с одинаковыми основаниями умножаются путём сложения показателей степеней:

a^m · aⁿ= a^m+n, где

a — основание степени

m, n — показатели степени, любые натуральные числа

3⁵ · 3² = 3^{5 + 2} = 3⁷ = 2 187
2⁸ · 8¹= 2⁸ · 2³ = 2^{8 + 3} = 2¹¹ = 2048

Умножение степеней с разными основаниями и показателями

Если разные и показатели, и основания, и одна из степеней не преобразуется в число с тем же основанием, как у другой степени (как здесь: 2⁸ · 8¹= 2⁸ · 2³ = 2¹¹ = 2048), то производим возведение в степень каждого числа и лишь затем умножаем:

3³ · 5² = 27·25 = 675

Деление степеней с одинаковыми основаниями и одинаковыми показателями

Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным. формула деления степеней с разными основаниями

a — любое число, не равное нулю

m, n — любые натуральные числа такие, что m > n

Деление чисел с одинаковыми показателями степени

При делении степеней с одинаковыми показателями результат частного этих чисел возводится в степень:

aⁿ : bⁿ = (a : b)ⁿ , где

a, b — основание степени, любые числа, b ≠ 0,

n — показатель степени, натуральное число

Пример:

пример деления чисел с одинаковыми степенями

Деление степеней с разными основаниями и показателями

Если разные и показатели, и основания, то возводим в степень каждое число и только потом делим:

3³ ÷5² = 27÷25 = 1,08

Степень с отрицательным показателем и её свойства

Число в минусовой степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем:

Степень с отрицательным показателем

Примеры

Чтобы разобраться, как возводить число в отрицательную степень, вспомним правило деления степеней с одинаковыми основаниями.

Деление степеней с одинаковыми основаниями, но разными показателями осуществляется по следующей формуле: показатели отнимаются, а основание остается неизменным.

напоминание формулы частного степеней

Поэтому если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

a³÷a⁶=a^{3 — 6} = a^-3

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

запись деления в виде дроби

Умножение отрицательных степеней

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются, так же как и при умножении положительных степеней:

a^m · aⁿ = a^m+n

Примеры

примеры умножения отрицательных степеней

Деление отрицательных степеней

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя, так же как и при делении положительных степеней:

формула второго свойства степеней

Примеры

Возведение дроби в отрицательную степень

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

Возведение произведения в отрицательную степень

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, необходимо возвести в эту степень каждый множитель произведения отдельно:

формула возведения произведения в отрицательную степень

Как представить число в виде степени

Чтобы представить число в виде степени, нужно разложить его на простые множители. Если в произведении встречаются несколько одинаковых сомножителей, то это произведение записывается в виде степени.

Например, представим в виде степени число 243:

243 = 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 3⁵

Источник

Свойства степеней. Действия со степенями

В учебниках по математике можно встретить такое определение:

«Степенью n числа а является произведение множителей величиной а n раз подряд»

a n — степень,

a — основание степени;

n — показатель степени.

Читается такое выражение, как a в степени n

Если говорить проще то, степень, а точнее показатель степени (n), говорит нам о том, сколько раз следует умножить это число (основание степени) само на себя.

А значит, если у нас есть задачка, где спрашивают, как возвести число в степень, например, число 2 в третью степень, то она решается довольно просто:

2 3 = 2·2·2, где:

2 — основание степени;

3 — показатель степени.

Если вам нужно быстро возвести число в степень, можно использовать наш онлайн-калькулятор. Но чтобы не упасть в грязь лицом на контрольной по математике, придется все-таки разобраться с теорией.

Рассмотрим пример из жизни, чтобы было понятно, для чего можно использовать возведение чисел в степень на практике.

Задачка про миллион: представьте, что у вас есть миллион рублей. За один год вы заработали на нем еще два. Еще через год каждый миллион принес еще два и т. д. Получается, что миллион каждый год утраивается. Был один, а стало три — и так каждый год. Здорово, правда? А теперь посчитаем, какая сумма у вас будет через 4 года.

Как решаем: один миллион умножаем на три (1·3), затем результат умножаем на три, потом еще на три. Наверное, вам уже стало стало скучно, потому что вы поняли, что три нужно умножить само на себя четыре раза. Так и сделаем:

3·3·3·3 = 81. То есть получается, что три в степени четыре равно 81.

Математики заскучали и решили все упростить:

3 4 = 81

Ответ: через четыре года у вас будет 81 миллион.

Таблица степеней

Здесь мы приведем результаты возведения в степень натуральных чисел от 1 до 10 в квадрат (показатель степени 2) и куб (показатель степени 3).

Степень числа

Степень числа — это выражение, обозначающее краткую запись произведения одинаковых сомножителей.

Рассмотрим умножение одинаковых чисел, например:

Произведение 5 · 5 · 5 можно записать так: 5 3 (пять в третьей степени). Выражение 5 3 — это степень. Следовательно,

5 · 5 · 5 = 5 3 = 125.

Рассмотрим выражение 5 3 . В этом выражении число 5 — основание степени, а число 3 — показатель степени.

Корни и степени

Здесь — основание степени, — показатель степени.

Степень с натуральным показателем

Проще всего определяется степень с натуральным (то есть целым положительным) показателем.

Выражения «возвести в квадрат» и «возвести в куб» нам давно знакомы.
Возвести число в квадрат — значит умножить его само на себя.

Возвести число в куб — значит умножить его само на себя три раза.

Возвести число в натуральную степень — значит умножить его само на себя раз:

Степень с целым показателем

Показатель степени может быть не только натуральным (то есть целым положительным), но и равным нулю, а также целым отрицательным.

Это верно для . Выражение 0 0 не определено.

Определим также, что такое степень с целым отрицательным показателем.

Конечно, все это верно для , поскольку на ноль делить нельзя.

Заметим, что при возведении в минус первую степень дробь переворачивается.

Показатель степени может быть не только целым, но и дробным, то есть рациональным числом. В статье «Числовые множества» мы говорили, что такое рациональные числа. Это числа, которые можно записать в виде дроби , где — целое, — натуральное.

Здесь нам понадобится новое понятие — корень -степени. Корни и степени — две взаимосвязанные темы. Начнем с уже знакомого вам арифметического квадратного корня.

Арифметический квадратный корень из числа — это такое неотрицательное число, квадрат которого равен .

В школьной математике мы извлекаем корень только из неотрицательных чисел. Выражение для нас сейчас имеет смысл только при .

Выражение всегда неотрицательно, т.е. . Например, .

Свойства арифметического квадратного корня:

Кубический корень

Аналогично, кубический корень из — это такое число, которое при возведении в третью степень дает число .

Например, , так как ;

Обратите внимание, что корень третьей степени можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Теперь мы можем дать определение корня -ной степени для любого целого .

Корень -ной степени

Корень -ной степени из числа — это такое число, при возведении которого в -ную степень получается число .

Заметим, что корень третьей, пятой, девятой — словом, любой нечетной степени, — можно извлекать как из положительных, так и из отрицательных чисел.

Квадратный корень, а также корень четвертой, десятой, в общем, любой четной степени можно извлекать только из неотрицательных чисел.

Итак, — такое число, что . Оказывается, корни можно записывать в виде степеней с рациональным показателем. Это удобно.

Сразу договоримся, что основание степени больше 0.

Выражение по определению равно .

При этом также выполняется условие, что больше 0.

Запомним правила действий со степенями:

— при перемножении степеней показатели складываются

— при делении степени на степень показатели вычитаются

— при возведении степени в степень показатели перемножаются

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Покажем, как применяются эти формулы в заданиях ЕГЭ по математике:

Внесли все под общий корень, разложили на множители, сократили дробь и извлекли корень.

Здесь мы записали корни в виде степеней и использовали формулы действий со степенями.

Источник