Как найти общее произведение чисел - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Нахождение НОД и НОК чисел

Онлайн-калькулятор «Нахождение НОД и НОК чисел«. Наш калькулятор поможет вам найти наибольший общий делить (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) чисел. Особенностью данного калькулятора является то, что он может находить НОК и НОД не только двух чисел, но и трех или четырех чисел. Введите натуральные числа и нажмите кнопку «Вычислить» и наш калькулятор не просто выдаст ответ, но и представит подробное решение, где последовательно будет изложен порядок нахождения НОД и НОК чисел.

Выберите количество чисел, для которых требуется найти НОД и НОК:

2 числа
3 числа
4 числа

Первое число	Второе число

Наибольший общий делитель нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа делятся без остатка. Наибольший общий делитель обозначается следующим образом: НОД (18; 48) = 6

Наименьшее общее кратно нескольких чисел – это самое меньшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка. Например: НОК (18; 48) = 144

Это следует знать!
Как определить, что число делится на 3 без остатка? Очень просто – на 3 делятся только те числа, сумма цифр которых делится на 3. Например: число 795 делится на 3, так как сумма его цифр 7 + 9 + 5 = 21 делится на 3.
21 : 3 = 7

Источник

Калькулятор НОД и НОК

При помощи данного калькулятора вы можете легко найти наибольший общий делитель НОД и наименьшее общее кратное НОК благодаря подробно расписанному решению. Вы можете найти НОД и НОК для двух, трех и четырех чисел

Выберите количество чисел для НОД и НОК

Наибольший общий делитель НОД

Наибольший общий делитель НОД(a, b) – это наибольшее натуральной число, на которое можно разделить без остатка числа a и b.

Если числа имеют только один общий делитель – единицу, то такие числа называют взаимно простыми.

Наибольший общий делитель НОД обозначают: НОД(a, b), (a, b), gcd(a, b), hcf(a, b).

Свойства НОД

Наибольший общий делитель чисел a и b делится на любой общий делитель этих чисел.
Данное свойство означает, что если найти все общие делители чисел a и b, то НОД(a, b) будет делится на любой из этих делителей.
Например, возьмём два числа 15 и 30 и найдем все общие делители этих чисел: 1, 3, 5, 15. Наибольший из этих делителей – число 15. Тогда число 15 делится на 1, 3, 5, 15.
Если число a делится на b, то НОД(a, b) = b.
Например, число 20 делится на число 10, тогда НОД(20, 10) = 10.
При помощи наибольшего общего делителя можно привести дроби к несократимому виду.
Например, дробь 5/30 можно привести к несократимому виду, если найти НОД(30, 5). НОД(30, 5) = 5, следовательно число 5 – самое больше число из возможных делителей числа 30 и 5 на которое можно разделить эти числа, тогда 30:5 = 6, 5:5 = 1. Получаем дробь 5/30 = 1/6.
Любые действия с дробями и развернутое поэтапное решение можно вычислить, используя калькулятор дробей.

Как найти наибольший общий делитель НОД

Чтобы найти наибольший общий делитель НОД двух, трех и более чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители.
Найти общие множители чисел – такие числа, которые есть в разложении всех чисел и вычеркнуть их.
Перемножить оставшиеся множители.

Приведем пример, найдем наибольший общий делитель двух чисел 24 и 58.

Способ №1

Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
58 — составное число

Разложим число 24 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

24 : 2 = 12 — делится на простое число 2
12 : 2 = 6 — делится на простое число 2
6 : 2 = 3 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 3 простое число

Разложим число 58 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

58 : 2 = 29 — делится на простое число 2.
Завершаем деление, так как 29 простое число
Выделим синим цветом и выпишем общие множители.
24 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3
58 = 2 ⋅ 29

У чисел (24, 58) только один общий множитель — 2 и он и будет наибольшим общим делителем этих чисел

Ответ: НОД (24, 58) = 2

Способ №2

Найдем все возможные делители чисел (24, 58). Для этого поочередно разделим число 24 на делители от 1 до 24, число 58 на делители от 1 до 58. Если число делится без остатка, то делитель запишем в список делителей.
Для числа 24 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
24 : 1 = 24;
24 : 2 = 12;
24 : 3 = 8;
24 : 4 = 6;
24 : 6 = 4;
24 : 8 = 3;
24 : 12 = 2;
24 : 24 = 1;

Для числа 58 выпишем все случаи, когда оно делится без остатка:
58 : 1 = 58;
58 : 2 = 29;
58 : 29 = 2;
58 : 58 = 1;
Выпишем все общие делители чисел (24, 58) и выделим зеленым цветом самый большой, это и будет наибольший общий делитель НОД чисел (24, 58)
Общие делители чисел (24, 58): 1, 2

Ответ: НОД (24, 58) = 2

Наименьшее общее кратное НОК

Наименьшее общее кратное НОК(a, b) – это наименьшее число, которое можно разделить на числа a и b без остатка.

Наименьшее общее кратное НОК обозначается: НОК(a, b), [a, b], LCM(a, b), lcm(a, b).

Как найти наименьшее общее кратное НОК

Чтобы найти НОК двух, трех и более чисел необходимо:

Разложить эти числа на простые множители.
Выписать множители одного из чисел и добавить к ним множители из разложения остальных чисел, которых нет в разложении.
Умножить получившиеся множители.

Приведем пример, найдем наименьшее общее кратное НОК для чисел 30 и 225.

Способ №1

Разложим числа на простые множители. Для этого проверим, является ли каждое из чисел простым (если число простое, то его нельзя разложить на простые множители, и оно само является своим разложением).
225 — составное число
30 — составное число

Разложим число 225 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

225 : 3 = 75 — делится на простое число 3
75 : 3 = 25 — делится на простое число 3
25 : 5 = 5 — делится на простое число 5.
Завершаем деление, так как 5 простое число

Разложим число 30 на простые множители и выделим их зелены цветом. Начинаем подбирать делитель из простых чисел, начиная с самого маленького простого числа 2, до тех пор, пока частное не окажется простым числом

30 : 2 = 15 — делится на простое число 2
15 : 3 = 5 — делится на простое число 3.
Завершаем деление, так как 5 простое число
Прежде всего запишем множители самого большого числа, а затем меньшего числа. Найдем недостающие множители, выделим синим цветом в разложении меньшего числа множители, которые не вошли в разложение большего числа.

225 = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5

3) Теперь, чтобы найти НОК нужно перемножить множители большего числа с недостающими множителями, которые выделены синим цветом

НОК (225 ; 30) = 3 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 ∙ 2 = 450

Способ №2

Найдем все возможные кратные чисел (225 ; 30). Для этого поочередно умножим число 225 на числа от 1 до 30, число 30 на числа от 1 до 225.
Выделим все кратные числа 225 зеленым цветом:
зеленым цветом:

225 ∙ 1 = 225;   225 ∙ 2 = 450;   225 ∙ 3 = 675;   225 ∙ 4 = 900;
225 ∙ 5 = 1125;   225 ∙ 6 = 1350;   225 ∙ 7 = 1575;   225 ∙ 8 = 1800;
225 ∙ 9 = 2025;   225 ∙ 10 = 2250;   225 ∙ 11 = 2475;   225 ∙ 12 = 2700;
225 ∙ 13 = 2925;   225 ∙ 14 = 3150;   225 ∙ 15 = 3375;   225 ∙ 16 = 3600;
225 ∙ 17 = 3825;   225 ∙ 18 = 4050;   225 ∙ 19 = 4275;   225 ∙ 20 = 4500;
225 ∙ 21 = 4725;   225 ∙ 22 = 4950;   225 ∙ 23 = 5175;   225 ∙ 24 = 5400;
225 ∙ 25 = 5625;   225 ∙ 26 = 5850;   225 ∙ 27 = 6075;   225 ∙ 28 = 6300;
225 ∙ 29 = 6525;   225 ∙ 30 = 6750;

Выделим все кратные числа 30 зеленым цветом:

30 ∙ 1 = 30;   30 ∙ 2 = 60;   30 ∙ 3 = 90;   30 ∙ 4 = 120;
30 ∙ 5 = 150;   30 ∙ 6 = 180;   30 ∙ 7 = 210;   30 ∙ 8 = 240;
30 ∙ 9 = 270;   30 ∙ 10 = 300;   30 ∙ 11 = 330;   30 ∙ 12 = 360;
30 ∙ 13 = 390;   30 ∙ 14 = 420;   30 ∙ 15 = 450;   30 ∙ 16 = 480;
30 ∙ 17 = 510;   30 ∙ 18 = 540;   30 ∙ 19 = 570;   30 ∙ 20 = 600;
30 ∙ 21 = 630;   30 ∙ 22 = 660;   30 ∙ 23 = 690;   30 ∙ 24 = 720;
30 ∙ 25 = 750;   30 ∙ 26 = 780;   30 ∙ 27 = 810;   30 ∙ 28 = 840;
30 ∙ 29 = 870;   30 ∙ 30 = 900;   30 ∙ 31 = 930;   30 ∙ 32 = 960;
30 ∙ 33 = 990;   30 ∙ 34 = 1020;   30 ∙ 35 = 1050;   30 ∙ 36 = 1080;
30 ∙ 37 = 1110;   30 ∙ 38 = 1140;   30 ∙ 39 = 1170;   30 ∙ 40 = 1200;
30 ∙ 41 = 1230;   30 ∙ 42 = 1260;   30 ∙ 43 = 1290;   30 ∙ 44 = 1320;
30 ∙ 45 = 1350;   30 ∙ 46 = 1380;   30 ∙ 47 = 1410;   30 ∙ 48 = 1440;
30 ∙ 49 = 1470;   30 ∙ 50 = 1500;   30 ∙ 51 = 1530;   30 ∙ 52 = 1560;
30 ∙ 53 = 1590;   30 ∙ 54 = 1620;   30 ∙ 55 = 1650;   30 ∙ 56 = 1680;
30 ∙ 57 = 1710;   30 ∙ 58 = 1740;   30 ∙ 59 = 1770;   30 ∙ 60 = 1800;
30 ∙ 61 = 1830;   30 ∙ 62 = 1860;   30 ∙ 63 = 1890;   30 ∙ 64 = 1920;
30 ∙ 65 = 1950;   30 ∙ 66 = 1980;   30 ∙ 67 = 2010;   30 ∙ 68 = 2040;
30 ∙ 69 = 2070;   30 ∙ 70 = 2100;   30 ∙ 71 = 2130;   30 ∙ 72 = 2160;
30 ∙ 73 = 2190;   30 ∙ 74 = 2220;   30 ∙ 75 = 2250;   30 ∙ 76 = 2280;
30 ∙ 77 = 2310;   30 ∙ 78 = 2340;   30 ∙ 79 = 2370;   30 ∙ 80 = 2400;
30 ∙ 81 = 2430;   30 ∙ 82 = 2460;   30 ∙ 83 = 2490;   30 ∙ 84 = 2520;
30 ∙ 85 = 2550;   30 ∙ 86 = 2580;   30 ∙ 87 = 2610;   30 ∙ 88 = 2640;
30 ∙ 89 = 2670;   30 ∙ 90 = 2700;   30 ∙ 91 = 2730;   30 ∙ 92 = 2760;
30 ∙ 93 = 2790;   30 ∙ 94 = 2820;   30 ∙ 95 = 2850;   30 ∙ 96 = 2880;
30 ∙ 97 = 2910;   30 ∙ 98 = 2940;   30 ∙ 99 = 2970;   30 ∙ 100 = 3000;
30 ∙ 101 = 3030;   30 ∙ 102 = 3060;   30 ∙ 103 = 3090;   30 ∙ 104 = 3120;
30 ∙ 105 = 3150;   30 ∙ 106 = 3180;   30 ∙ 107 = 3210;   30 ∙ 108 = 3240;
30 ∙ 109 = 3270;   30 ∙ 110 = 3300;   30 ∙ 111 = 3330;   30 ∙ 112 = 3360;
30 ∙ 113 = 3390;   30 ∙ 114 = 3420;   30 ∙ 115 = 3450;   30 ∙ 116 = 3480;
30 ∙ 117 = 3510;   30 ∙ 118 = 3540;   30 ∙ 119 = 3570;   30 ∙ 120 = 3600;
30 ∙ 121 = 3630;   30 ∙ 122 = 3660;   30 ∙ 123 = 3690;   30 ∙ 124 = 3720;
30 ∙ 125 = 3750;   30 ∙ 126 = 3780;   30 ∙ 127 = 3810;   30 ∙ 128 = 3840;
30 ∙ 129 = 3870;   30 ∙ 130 = 3900;   30 ∙ 131 = 3930;   30 ∙ 132 = 3960;
30 ∙ 133 = 3990;   30 ∙ 134 = 4020;   30 ∙ 135 = 4050;   30 ∙ 136 = 4080;
30 ∙ 137 = 4110;   30 ∙ 138 = 4140;   30 ∙ 139 = 4170;   30 ∙ 140 = 4200;
30 ∙ 141 = 4230;   30 ∙ 142 = 4260;   30 ∙ 143 = 4290;   30 ∙ 144 = 4320;
30 ∙ 145 = 4350;   30 ∙ 146 = 4380;   30 ∙ 147 = 4410;   30 ∙ 148 = 4440;
30 ∙ 149 = 4470;   30 ∙ 150 = 4500;   30 ∙ 151 = 4530;   30 ∙ 152 = 4560;
30 ∙ 153 = 4590;   30 ∙ 154 = 4620;   30 ∙ 155 = 4650;   30 ∙ 156 = 4680;
30 ∙ 157 = 4710;   30 ∙ 158 = 4740;   30 ∙ 159 = 4770;   30 ∙ 160 = 4800;
30 ∙ 161 = 4830;   30 ∙ 162 = 4860;   30 ∙ 163 = 4890;   30 ∙ 164 = 4920;
30 ∙ 165 = 4950;   30 ∙ 166 = 4980;   30 ∙ 167 = 5010;   30 ∙ 168 = 5040;
30 ∙ 169 = 5070;   30 ∙ 170 = 5100;   30 ∙ 171 = 5130;   30 ∙ 172 = 5160;
30 ∙ 173 = 5190;   30 ∙ 174 = 5220;   30 ∙ 175 = 5250;   30 ∙ 176 = 5280;
30 ∙ 177 = 5310;   30 ∙ 178 = 5340;   30 ∙ 179 = 5370;   30 ∙ 180 = 5400;
30 ∙ 181 = 5430;   30 ∙ 182 = 5460;   30 ∙ 183 = 5490;   30 ∙ 184 = 5520;
30 ∙ 185 = 5550;   30 ∙ 186 = 5580;   30 ∙ 187 = 5610;   30 ∙ 188 = 5640;
30 ∙ 189 = 5670;   30 ∙ 190 = 5700;   30 ∙ 191 = 5730;   30 ∙ 192 = 5760;
30 ∙ 193 = 5790;   30 ∙ 194 = 5820;   30 ∙ 195 = 5850;   30 ∙ 196 = 5880;
30 ∙ 197 = 5910;   30 ∙ 198 = 5940;   30 ∙ 199 = 5970;   30 ∙ 200 = 6000;
30 ∙ 201 = 6030;   30 ∙ 202 = 6060;   30 ∙ 203 = 6090;   30 ∙ 204 = 6120;
30 ∙ 205 = 6150;   30 ∙ 206 = 6180;   30 ∙ 207 = 6210;   30 ∙ 208 = 6240;
30 ∙ 209 = 6270;   30 ∙ 210 = 6300;   30 ∙ 211 = 6330;   30 ∙ 212 = 6360;
30 ∙ 213 = 6390;   30 ∙ 214 = 6420;   30 ∙ 215 = 6450;   30 ∙ 216 = 6480;
30 ∙ 217 = 6510;   30 ∙ 218 = 6540;   30 ∙ 219 = 6570;   30 ∙ 220 = 6600;
30 ∙ 221 = 6630;   30 ∙ 222 = 6660;   30 ∙ 223 = 6690;   30 ∙ 224 = 6720;
30 ∙ 225 = 6750;
Выпишем все общие кратные чисел (225 ; 30) и выделим зеленым цветом самое маленькое, это и будет наименьшим общим кратным чисел (225 ; 30).
Общие кратные чисел (225 ; 30): 450, 900, 1350, 1800, 2250, 2700, 3150, 3600, 4050, 4500, 4950, 5400, 5850, 6300, 6750

Ответ: НОК (225 ; 30) = 450

Вам могут также быть полезны следующие сервисы

Калькуляторы (Теория чисел)

Калькулятор выражений

Калькулятор упрощения выражений

Калькулятор со скобками

Калькулятор уравнений

Калькулятор суммы

Калькулятор пределов функций

Калькулятор разложения числа на простые множители

Калькулятор НОД и НОК

Калькулятор НОД и НОК по алгоритму Евклида

Калькулятор НОД и НОК для любого количества чисел

Калькулятор делителей числа

Представление многозначных чисел в виде суммы разрядных слагаемых

Калькулятор деления числа в данном отношении

Калькулятор процентов

Калькулятор перевода числа с Е в десятичное

Калькулятор экспоненциальной записи чисел

Калькулятор нахождения факториала числа

Калькулятор нахождения логарифма числа

Калькулятор квадратных уравнений

Калькулятор остатка от деления

Калькулятор корней с решением

Калькулятор нахождения периода десятичной дроби

Калькулятор больших чисел

Калькулятор округления числа

Калькулятор свойств корней и степеней

Калькулятор комплексных чисел

Калькулятор среднего арифметического

Калькулятор арифметической прогрессии

Калькулятор геометрической прогрессии

Калькулятор модуля числа

Калькулятор абсолютной погрешности приближения

Калькулятор абсолютной погрешности

Калькулятор относительной погрешности

Дроби

Калькулятор интервальных повторений

Учим дроби наглядно

Калькулятор сокращения дробей

Калькулятор преобразования неправильной дроби в смешанную

Калькулятор преобразования смешанной дроби в неправильную

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления дробей

Калькулятор возведения дроби в степень

Калькулятор перевода десятичной дроби в обыкновенную

Калькулятор перевода обыкновенной дроби в десятичную

Калькулятор сравнения дробей

Калькулятор приведения дробей к общему знаменателю

Калькуляторы (тригонометрия)

Калькулятор синуса угла

Калькулятор косинуса угла

Калькулятор тангенса угла

Калькулятор котангенса угла

Калькулятор секанса угла

Калькулятор косеканса угла

Калькулятор арксинуса угла

Калькулятор арккосинуса угла

Калькулятор арктангенса угла

Калькулятор арккотангенса угла

Калькулятор арксеканса угла

Калькулятор арккосеканса угла

Калькулятор нахождения наименьшего угла

Калькулятор определения вида угла

Калькулятор смежных углов

Калькуляторы систем счисления

Калькулятор перевода чисел из арабских в римские и из римских в арабские

Калькулятор перевода чисел в различные системы счисления

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления двоичных чисел

Системы счисления теория

N₂ | Двоичная система счисления

N₃ | Троичная система счисления

N₄ | Четырехичная система счисления

N₅ | Пятеричная система счисления

N₆ | Шестеричная система счисления

N₇ | Семеричная система счисления

N₈ | Восьмеричная система счисления

N₉ | Девятеричная система счисления

N₁₁ | Одиннадцатиричная система счисления

N₁₂ | Двенадцатеричная система счисления

N₁₃ | Тринадцатеричная система счисления

N₁₄ | Четырнадцатеричная система счисления

N₁₅ | Пятнадцатеричная система счисления

N₁₆ | Шестнадцатеричная система счисления

N₁₇ | Семнадцатеричная система счисления

N₁₈ | Восемнадцатеричная система счисления

N₁₉ | Девятнадцатеричная система счисления

N₂₀ | Двадцатеричная система счисления

N₂₁ | Двадцатиодноричная система счисления

N₂₂ | Двадцатидвухричная система счисления

N₂₃ | Двадцатитрехричная система счисления

N₂₄ | Двадцатичетырехричная система счисления

N₂₅ | Двадцатипятеричная система счисления

N₂₆ | Двадцатишестеричная система счисления

N₂₇ | Двадцатисемеричная система счисления

N₂₈ | Двадцативосьмеричная система счисления

N₂₉ | Двадцатидевятиричная система счисления

N₃₀ | Тридцатиричная система счисления

N₃₁ | Тридцатиодноричная система счисления

N₃₂ | Тридцатидвухричная система счисления

N₃₃ | Тридцатитрехричная система счисления

N₃₄ | Тридцатичетырехричная система счисления

N₃₅ | Тридцатипятиричная система счисления

N₃₆ | Тридцатишестиричная система счисления

Калькуляторы площади геометрических фигур

Площадь квадрата

Площадь прямоугольника

КАЛЬКУЛЯТОРЫ ЗАДАЧ ПО ГЕОМЕТРИИ

Калькуляторы (Комбинаторика)

Калькулятор нахождения числа перестановок из n элементов

Калькулятор нахождения числа сочетаний из n элементов

Калькулятор нахождения числа размещений из n элементов

Калькуляторы линейная алгебра и аналитическая геометрия

Калькулятор сложения и вычитания матриц

Калькулятор умножения матриц

Калькулятор транспонирование матрицы

Калькулятор нахождения определителя (детерминанта) матрицы

Калькулятор нахождения обратной матрицы

Длина отрезка. Онлайн калькулятор расстояния между точками

Онлайн калькулятор нахождения координат вектора по двум точкам

Калькулятор нахождения модуля (длины) вектора

Калькулятор сложения и вычитания векторов

Калькулятор скалярного произведения векторов через длину и косинус угла между векторами

Калькулятор скалярного произведения векторов через координаты

Калькулятор векторного произведения векторов через координаты

Калькулятор смешанного произведения векторов

Калькулятор умножения вектора на число

Калькулятор нахождения угла между векторами

Калькулятор проверки коллинеарности векторов

Калькулятор проверки компланарности векторов

Генератор Pdf с примерами

Тренажёры решения примеров

Тренажер по математике

Тренажёр таблицы умножения

Тренажер счета для дошкольников

Тренажер счета на внимательность для дошкольников

Тренажер решения примеров на сложение, вычитание, умножение, деление. Найди правильный ответ.

Тренажер решения примеров с разными действиями

Тренажёры решения столбиком

Тренажёр сложения столбиком

Тренажёр вычитания столбиком

Тренажёр умножения столбиком

Тренажёр деления столбиком с остатком

Калькуляторы решения столбиком

Калькулятор сложения, вычитания, умножения и деления столбиком

Калькулятор деления столбиком с остатком

Конвертеры величин

Конвертер единиц длины

Конвертер единиц скорости

Конвертер единиц ускорения

Цифры в текст

Калькуляторы (физика)

Механика

Калькулятор вычисления скорости, времени и расстояния

Калькулятор вычисления ускорения, скорости и перемещения

Калькулятор вычисления времени движения

Калькулятор времени

Второй закон Ньютона. Калькулятор вычисления силы, массы и ускорения.

Закон всемирного тяготения. Калькулятор вычисления силы притяжения, массы и расстояния.

Импульс тела. Калькулятор вычисления импульса, массы и скорости

Импульс силы. Калькулятор вычисления импульса, силы и времени действия силы.

Вес тела. Калькулятор вычисления веса тела, массы и ускорения свободного падения

Оптика

Калькулятор отражения и преломления света

Электричество и магнетизм

Калькулятор Закона Ома

Калькулятор Закона Кулона

Калькулятор напряженности E электрического поля

Калькулятор нахождения точечного электрического заряда Q

Калькулятор нахождения силы F действующей на заряд q

Калькулятор вычисления расстояния r от заряда q

Калькулятор вычисления потенциальной энергии W заряда q

Калькулятор вычисления потенциала φ электростатического поля

Калькулятор вычисления электроемкости C проводника и сферы

Конденсаторы

Калькулятор вычисления электроемкости C плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряженности E электрического поля плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления напряжения U (разности потенциалов) плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления расстояния d между пластинами в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления площади пластины (обкладки) S в плоском конденсаторе

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора

Калькулятор вычисления энергии W заряженного конденсатора. Для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькулятор вычисления объемной плотности энергии w электрического поля для плоского, цилиндрического и сферического конденсаторов

Калькуляторы по астрономии

Вес тела на других планетах

Ускорение свободного падения на планетах Солнечной системы и их спутниках

Генераторы

Генератор примеров по математике

Генератор случайных чисел

Генератор паролей

Источник

НОК и НОД

Рассмотрим выражение:

(45:9)

Можем сказать, что 45 – делимое, а 9 – делитель данного выражения.

Мы знаем, что 45 делится нацело на число 9. В таком случае, если мы захотим описать, чем эти числа являются друг другу, то мы скажем, что

9 – делитель числа 45

45 – кратно числу 9

Иногда при решении задач нужно находить общие кратные или общие делители двух чисел.

Наименьший делитель двух чисел – всегда единица. Такой делитель нет смысла искать, поэтому ищут наибольший общий делитель.

А кратных наоборот – бесконечно много, невозможно искать наибольшее из них, поэтому ищут, наименьшее общее кратное.

НОД:

Наибольший общий делитель (НОД) двух чисел – это наибольшее число, на которое каждое из этих чисел можно поделить без остатка.

Пример №1:

Рассмотрим числа 30 и 45.

Найдем все их существующие делители, т.е. числа, на которые каждое из них поделится нацело:

Мы видим, что у этих двух чисел есть несколько общих делителей. Наибольший из них – 15 – является самым большим. Это и есть НОД.

Значит и число 45 и число 30 можно нацело поделить на 15. Записывают это так:

(НОД (30;45) = 15)

Ответ: 15.

Пример №2:

Найдем (НОД (20;36):)

Выпишем все делители этих чисел.

Так же делители можно сразу записывать парой. Если 20 нацело делится на 2, то

(20 : 2 = 10)

Значит 10 – тоже делитель числа 20. Запишем делители 2 и 10 парой:

Выделим все общие делители и найдем наибольший из них. В данном случае

(НОД(20;35) = 4.)

Ответ: 4.

НОК:

Наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел – это наименьшее число, которое можно поделить на каждое из этих чисел без остатка.

Пример №3:

Найдем (НОК (10;12).)

Возьмем наименьшее число. В данном случае – 10.

Будем умножать его на натуральные числа по порядку, пока не получим число, кратное 12, то есть такое, на которое нацело поделится и 10, и 12. Оно и будет НОК этих двух чисел. Такой метод называется методом подбора.

(10 bullet 1 = 10; 10 НЕ кратно 12)

(10 bullet 2 = 20; 20 НЕ кратно 12)

(10 bullet 3 = 30; 30 НЕ кратно 12)

(10 bullet 4 = 40; 40 НЕ кратно 12)

(10 bullet 5 = 50; 50 НЕ кратно 12)

(10 bullet 6 = 60; 60 кратно 12)

Первое число, которое будет кратно обоим числам и является их наименьшим общим кратным.

Общих кратный, в отличии от делителей, бесконечно много, поэтому обычно выбирают наименьший их них.

Ответ: 60.

Также можно находить НОК через разложение на множители:

Пример №4:

Найдём (НОК (6;8):)

Разложим числа 6 и 8 на простейшие множители, т.е. представим каждое число как произведения простых чисел. Множители большего числа запишем сверху:

8: (1 bullet 2 bullet 2 bullet 2)

6: (1 bullet 2 bullet 3)

Видим, что множители 1 и 2 повторяются у обоих чисел, поэтому для меньшего числа их уберем. Останется:

Перемножим все оставшиеся числа. Их произведение и будет НОК:

(НОК (6; = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 24)

Ответ: 24.

Пример №5:

Найдем (НОК (10;12)) разложением на множители:

Разложим оба числа на простые множители. Сверху запишем большее число:

12: 1, 2, 2, 3

10: 1, 2, 5

Для меньшего числа зачеркнем те множители, которые уже есть у большего числа:

Перемножим все оставшиеся числа:

(НОК (10; 12) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 60)

Наш ответ совпал с ответом, где мы использовали метод подбора.

Ответ: 60.

ВЗАИМОСВЯЗЬ НОК И НОД:

Произведение НОК и НОД некоторых чисел равно произведению самих этих чисел:

(НОК(a; b) bullet НОД(a; b) = a bullet b)

Докажем эту формулу на примере.

Пример №6:

Рассмотрим пару чисел 24 и 60.

Найдем их НОД:

(НОД (24;60) = 12)

Найдем их НОК:

(НОК (24; 60) = 1 bullet 2 bullet 2 bullet 2 bullet 3 bullet 5 = 120)

Рассмотрим поближе НОК. Чтобы его получить, мы переменожили все простые множители чисел 60 и 24 за исключением множителей 1, 2, 2, 3. Найдем отдельно их произведение:

(1 bullet 2 bullet 2 bullet 3 = 12)

Если перемножить все простые множители числе 60 и 24 мы получим просто их произведение, при этом оно будет состоять из НОК и числа 12, которое в свою очередь равно НОД:

Источник

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Наибольший общий делитель

Определение 2

Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.

Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.

Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит ,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи :

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

$НОД (a;b) или D (a;b)$

Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:

разложить числа на простые множители
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
Найти произведение чисел , найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 1

Найти НОД чисел $121$ и $132.$

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

разложить числа на простые множители

$242=2cdot 11cdot 11$

$132=2cdot 2cdot 3cdot 11$
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел

$242=2cdot 11cdot 11$

$132=2cdot 2cdot 3cdot 11$
Найти произведение чисел , найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=2cdot 11=22$

Пример 2

Найти НОД одночленов $63$ и $81$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:

Разложим числа на простые множители

$63=3cdot 3cdot 7$

$81=3cdot 3cdot 3cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел

$63=3cdot 3cdot 7$

$81=3cdot 3cdot 3cdot 3$
Найдем произведение чисел , найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

$НОД=3cdot 3=9$

«НОД и НОК двух чисел, алгоритм Евклида» 👇

Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.

Пример 3

Найти НОД чисел $48$ и $60$.

Решение:

Найдем множество делителей числа $48$: $left{{rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}right}$

Теперь найдем множество делителей числа $60$:$ left{{rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}right}$

Найдем пересечение этих множеств: $left{{rm 1,2,3,4,6,12}right}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.

$D(48;60)=12$

Определение НОК

Определение 3

Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д

Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
Найти произведение чисел , найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

Пример 4

Найти НОК чисел $99$ и $77$.

Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого

Разложить числа на простые множители

$99=3cdot 3cdot 11$

$77=7cdot 11$
Выписать множители, входящие в состав первого

$3,3,11$

добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого

$7$
Найти произведение чисел , найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным

$НОК=3cdot 3cdot 11cdot 7=693$

Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.

Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:
Если $a$ и $b$ —натуральные числа, причем $avdots b$, то $D(a;b)=b$
Если $a$ и $b$ —натуральные числа, такие что $b

Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
Если $avdots b$ , то К$(a;b)=a$
Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$

Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($frac{a}{d};frac{b}{d}$)=$ frac{k}{d}$
Если $avdots c$ и $bvdots c$ ,то $frac{ab}{c}$ — общее кратное чисел $a$ и $b$
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство

$D(a;b)cdot К(a;b)=ab$
Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Онлайн калькулятор НОД и НОК двух чисел

Наибольший общий делитель (НОД)

Определение НОД

НОД двух или более целых чисел — это наибольшее целое число, которое является делителем каждого из этих чисел.

Если натуральное число a делится на натуральное число bb, то bb называют делителем числа aa, а число aa называют кратным числа bb. aa и bb являются натуральными числами. Число gg называют общим делителем и для aa и для bb. Множество общих делителей чисел aa и bb конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем aa. Значит, среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел aa и bb и для его обозначения используют записи: НОД (a;b)(a;b) или D(a;b)(a;b)

Пример
Наибольший общий делитель (НОД) чисел 1818 и 2424 — это 66.

Как найти наибольший общий делитель (НОД)

Существует несколько способов нахождения наибольшего общего делителя (НОД) двух или более целых чисел:

Алгоритм Евклида: НОД(a,b)=(a, b) = НОД (b,a(b, a mod b)b), где «mod» — это операция взятия остатка от деления большего числа на меньшее. Этот алгоритм можно продолжать до тех пор, пока одно из чисел не станет равно нулю. В этом случае НОД равен ненулевому числу.

Пример
НОД(18,24)=НОД(24,18)=НОД(18,6)=НОД(6,0)=6НОД(18, 24) = НОД(24, 18) = НОД(18, 6) = НОД(6, 0) = 6

Разложение на простые множители: Найти все простые множители каждого из чисел и их степени. НОД будет равен произведению всех общих простых множителей в минимальной степени.

Пример
НОД(60,84)=22⋅31=12(60, 84) = 2^{2} cdot 3^{1} = 12, так как общие простые множители −2- 2 и 33, их минимальные степени −2- 2 и 11 соответственно.

Таблица делителей: Составить таблицы всех делителей каждого числа и найти наибольшее общее число, которое является делителем обоих чисел. Этот метод не рекомендуется для больших чисел, так как он требует много времени и усилий.

Наименьшее общее кратное (НОК)

Определение НОК

НОК двух или более целых чисел — это наименьшее число, которое делится на каждое из этих чисел без остатка.

Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка. Например для чисел 2525 и 5050 общими кратными будут числа 50,100,150,20050,100,150,200 и т.д Наименьшее из общих кратных будет называться НОК и обозначается НОК(a;b)(a;b) или K(a;b).(a;b).

Пример
Наименьшее общее кратное чисел 88 и 1212 – это 2424. Т.е. НОК (8,12)=24(8, 12) = 24.

Как найти наименьшее общее кратное (НОК)

Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:

Разложить числа на простые множители;
Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого;
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным.

Пример
Рассмотрим два числа: 88 и 1212. Найдем их НОКНОК:

Разложим 88 и 1212 на простые множители: 8=23,12=22⋅38 = 2^3, 12 = 2^2 cdot 3.

Выпишем все простые множители: 23⋅32^3 cdot 3.

Для каждого простого множителя выберем наибольшую кратность: 232^3 и 33.

Умножим выбранные простые множители между собой: 23⋅3=242^3 cdot 3 = 24.

Таким образом, НОК чисел 88 и 1212 равен 2424.

Свойства НОД и НОК

Любое общее кратное чисел aa и bb делится на K(a;b)(a;b);

Если a⋮bavdots b , то К(a;b)=a(a;b)=a;

Если К(a;b)=k(a;b)=k и mm-натуральное число, то К(am;bm)=km(am;bm)=km. Если dd-общий делитель для aa и bb,то К(ad;bdfrac{a}{d};frac{b}{d})= kd frac{k}{d}

Если a⋮cavdots c и b⋮cbvdots c ,то abcfrac{ab}{c} — общее кратное чисел aa и bb;

Для любых натуральных чисел aa и bb выполняется равенство D(a;b)⋅К(a;b)=abD(a;b)cdot К(a;b)=ab;

Любой общий делитель чисел aa и bb является делителем числа D(a;b)D(a;b).

Источник