Как найти общее расстояние формула

А что делать, если нужно найти среднее значение? В принципе, вычисления, показанные выше, и дают в итоге результат среднего значение искомого нами параметра. Однако можно вывести и более точное значение, если известно, что на некоторых участках по сравнению с другими скорость объекта была непостоянной. Тогда пользуются таким видом формулы:

vср=(v1+v2+v3+…+vn)/n

где v1, v2, v3, vn – значения скоростей объекта на отдельных участках пути S,

n – количество этих участков,

vср – средняя скорость объекта на всем протяжении всего пути.

Эту же формулу можно записать иначе, используя путь и время, за которое объект прошел этот путь:

vср=(S1+S2+…+Sn)/t,

где vср – средняя скорость объекта на всем протяжении пути,

S1, S2, Sn – отдельные неравномерные участки всего пути,

t – общее время, за которое объект прошел все участки.

Можно записать использовать и такой вид вычислений:

vср=S/(t1+t2+…+tn),

где S – общее пройденное расстояние,

t1, t2, tn – время прохождения отдельных участков расстояния S.

Но можно записать эту же формулу и в более точном варианте:

vср=S1/t1+S2/t2+…+Sn/tn,

где S1/t1, S2/t2, Sn/tn – формулы вычисления скорости на каждом отдельном участке всего пути S.

Таким образом, очень легко найти искомый параметр, используя данные выше формулы. Они очень просты, и как уже было указано, используются в начальных классах. Более сложные формулы базируются на этих же формулах и на тех же принципах построения и вычисления, но имеют другой, более сложный вид, больше переменных и разных коэффициентов. Это нужно для получения наиболее точного значения показателей.

Трансфер из:https://blog.csdn.net/lin00jian/article/details/51209715

В процессе анализа данных и интеллектуального анализа данных нам часто необходимо знать размер различий между людьми, а затем оценивать сходство и категорию людей. Наиболее распространенными являются корреляционный анализ в алгоритмах анализа данных, классификации и кластеризации при извлечении данных, таких как K-ближайшие соседи (KNN) и K-средних (K-средние). Конечно, есть много способов измерения индивидуальных различий. Я недавно обращался к соответствующей информации, и здесь перечислены здесь.

Чтобы облегчить следующие объяснения и примеры, давайте сначала сравним различия между индивидуумами X и индивидуумами Y. Все они включают характеристики измерений N, то есть X = (x1, x2, x3,… xn), Y = ( y1, y2, y3,… yn). Давайте посмотрим, какие методы могут быть использованы для измерения разницы между ними, которые в основном делятся на меры расстояния и меры сходства.

Мера расстояния

Измерение расстояния используется для измерения расстояния, на котором люди существуют в пространстве. Чем больше расстояние, тем больше разница между людьми.

Евклидово расстояние

Евклидово расстояние является наиболее распространенной метрикой расстояния, которая измеряет абсолютное расстояние между точками в многомерном пространстве. Формула выглядит следующим образом:

Поскольку расчет основан на абсолютных значениях характеристик каждого измерения, евклидовы меры должны гарантировать, что показатели каждого измерения находятся на одном уровне шкалы.Например, использование евклидова расстояния для индикаторов с разными единицами роста (см) и весом (кг) может сделать результаты недействительными ,

Расстояние Минковского

Расстояние Мина — это обобщение евклидова расстояния, которое является общим выражением нескольких формул измерения расстояния. Формула выглядит следующим образом:

Здесь значение p является переменной, и когда p = 2, получается указанное выше евклидово расстояние.

Манхэттен Расстояние

Манхэттенское расстояние получено из расстояния городского квартала и является результатом суммирования расстояний в нескольких измерениях, то есть формула измерения расстояния, полученная при p = 1 на расстоянии Ming выше, выглядит следующим образом:

Расстояние Чебышева

Расстояние Чебышева происходит от ходов королей в шахматах. Мы знаем, что шахматный король может сделать только один шаг в окружающих 8 клетках за раз. Если вы хотите перейти от A (x1, y1) к B ( x2, y2) Какие минимальные шаги необходимы? На самом деле, расстояние Чебышева, расширяющееся в многомерное пространство, является расстоянием Минга, когда р стремится к бесконечности:

Фактически, вышеупомянутое Манхэттенское расстояние, евклидово расстояние и расстояние Чебышева являются приложениями расстояния Минковского в особых условиях.

Махаланобис Расстояние

Поскольку евклидово расстояние не может игнорировать разницу в показателях индикатора, базовый показатель необходимо проанализировать перед использованием евклидова расстояния.Стандартизация данныхПосле нормализации, основанной на измерениях каждого индекса, другая метрика расстояния, Расстояние Махаланобиса, называется расстоянием Махаланобиса после использования евклидова расстояния.

Мера сходства

Мера сходства (подобия), которая вычисляет степень сходства между людьми. В отличие от меры расстояния, чем меньше значение меры сходства, тем меньше сходство между людьми, тем больше разница.

Косинусное сходство в векторном пространстве

Косинусное сходство использует косинус угла между двумя векторами в векторном пространстве как меру разницы между двумя индивидуумами. По сравнению с метрикой расстояния сходство косинусов больше сфокусировано на разнице в направлении двух векторов, чем на расстоянии или длине. Формула выглядит следующим образом:

Коэффициент корреляции Пирсона

То есть коэффициент корреляции r в корреляционном анализе вычисляют косинус-угол пространственного вектора для X и Y на основе их собственной общей нормализации соответственно. Формула выглядит следующим образом:

Коэффициент Жакара

Коэффициент Жакара в основном используется для вычисления сходства между индивидами символьных или логических измерений.Так как характерные атрибуты индивидов идентифицируются символическими или логическими значениями, невозможно измерить конкретное значение разницы, и только «это одно и то же»? Из-за этого результата коэффициент Жакара заботится только о соответствии характеристик, разделяемых между людьми. Если вы сравниваете коэффициенты подобия Жакара для X и Y и сравниваете только одно и то же число в xn и yn, формула выглядит следующим образом:

Скорректированное косинусное сходство

Хотя косинусное сходство можно использовать для изменения смещения между индивидуумами, но поскольку оно может различать только различия между индивидуумами, невозможно измерить разницу в значениях каждого измерения, что приведет к такой ситуации, как оценка контента пользователями , 5-балльная шкала, пользователи X и Y оценили оба контента как (1,2) и (4,5) соответственно. Используя косинусное сходство, результат равен 0,98. Оба очень похожи, но из рейтинга Кажется, что X не любит эти два содержания, но Y предпочитает его. Нечувствительность сходства косинусов к значению приводит к ошибке в результате. Если эту иррациональность необходимо исправить, появляется корректировка сходства косинусов, то есть во всех измерениях. Минус среднее значение, например, средние значения X и Y равны 3, затем корректируются до (-2, -1) и (1,2), а затем вычисляются с использованием косинусного сходства, чтобы получить -0,8, сходство Это отрицательно и разница не маленькая, но, очевидно, более реалистична.

Евклидово расстояние и косинусное сходство

Евклидово расстояние является наиболее распространенной мерой расстояния, в то время как косинусное сходство является наиболее распространенной мерой подобия. Многие меры расстояния и меры сходства основаны на деформации и производной этих двух, поэтому ниже приводится сравнение между ними. Различия в реализации и среде применения при измерении индивидуальных различий.

Посмотрите на разницу между евклидовым расстоянием и косинусным сходством с помощью трехмерной системы координат:

Из рисунка видно, что метрика расстояния измеряет абсолютное расстояние между точками в пространстве и напрямую связана с координатами положения каждой точки (то есть значением размера отдельного элемента). Сходство косинусов измеряет угол пространственного вектора. Это больше разница в направлении, чем в позиции. Если положение точки A остается неизменным, а точка B находится вдали от начала координатной оси в направлении исходного направления, то косинусное сходство cosθ в это время остается неизменным, поскольку включенный угол не изменяется, а расстояние между двумя точками A и B, очевидно, изменяется. В этом разница между евклидовым расстоянием и косинусным сходством.

В соответствии с соответствующими методами расчета и характеристиками измерения евклидова расстояния и косинусного сходства они применимы к различным моделям анализа данных: евклидово расстояние может отражать абсолютную разницу отдельных числовых характеристик, поэтому оно больше используется при необходимости расчета значения по измерениям. Анализ, который отражает различия, такие как использование индикаторов поведения пользователя для анализа сходства или разницы в пользовательской ценности, косинусное сходство больше для того, чтобы отличать разницу от направления, но оно не чувствительно к абсолютным значениям и больше используется для использования пользователя в контенте Подсчет баллов позволяет различать сходство и различие интересов пользователей и устраняет проблему несовместимости метрик между пользователями (поскольку косинусное сходство не чувствительно к абсолютным значениям).

Выше приведены некоторые виды и краткие сведения о мерах расстояния и подобия. При фактическом использовании выбор подходящей меры расстояния или меры подобия может завершить многие анализ данных и моделирование интеллектуального анализа данных. Ниже будут представлены соответствующие введения.

Математика

5 класс

Урок № 35

Задачи на движение

Перечень вопросов, рассматриваемых в теме:

1. Понятия скорости, времени, расстояния.
2. Формулы нахождения скорости, времени, расстояния.
3. Понятия скорости сближения, скорости удаления.

Глоссарий по теме

Расстояние – это длина от одного пункта до другого.

Большие расстояния, в основном, измеряются в метрах и километрах.

Расстояние обозначается латинской буквой S.

Чтобы найти расстояние, надо скорость умножить на время движения:

S = v ∙ t

Скорость – это расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда.

Скорость обозначается латинской буквой v.

Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения:

v = S : t

Время – это продолжительность каких-то действий, событий.

Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Чтобы найти время, нужно расстояние разделить на скорость движения:

t = S : v

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Основная литература

1. Никольский С. М. Математика. 6 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений // С. М. Никольский, М. К., Потапов, Н. Н. Решетников и др. — М.: Просвещение, 2017. — 258 с.

2. Потапов М. К., Шевкин А. В. Математика. Книга для учителя. 5 – 6 классы — М.: Просвещение, 2010

Дополнительная литература

1. Чесноков А. С., Нешков К. И. Дидактические материалы по математике 5 кл. – М.: Академика учебник, 2014

2. Бурмистрова Т. А. Математика. Сборник рабочих программ. 5–6 классы // Составитель Бурмистрова Т. А.

3. Потапов М. К. Математика: дидактические материалы. 6 кл. // Потапов М. К., Шевкин А. В. — М.: Просвещение, 2010

Теоретический материал для самостоятельного изучения

Очень часто нам встречаются задачи на нахождение скорости, времени и расстояния. Что же всё это такое? Сейчас нам предстоит в этом разобраться.

Расстояние – это длина от одного пункта до другого. (Например, расстояние от дома до школы 2 километра). В основном большие расстояния измеряются в метрах и километрах. Общепринятое обозначение расстояния – заглавная латинская буква S.

Скоростью называют расстояние, пройденное телом за единицу времени. Под единицей времени подразумевается 1 час, 1 минута или 1 секунда. Скорость обозначается маленькой латинской буквой v.

Рассмотрим задачу:

Двое школьников решили проверить, кто быстрее добежит от двора до спортплощадки. Расстояние от двора до спортплощадки 200 метров. Первый школьник добежал за 50 секунд. Второй за 100 секунд. Кто из ребят бежал быстрее?

Решение:

Быстрее бежал тот, кто за 1 секунду пробежал большее расстояние. Говорят, что у него скорость движения больше. Чтобы найти скорость, нужно расстояние разделить на время движения.

Давайте найдём скорость первого школьника. Для этого разделим 200 метров на время движения первого школьника, то есть на 50 секунд:

200 м : 50 с = 4

Если расстояние дано в километрах, а время движения в часах, скорость измеряется в километрах в час (км/ч). 

У нас расстояние дано в метрах, а время в секундах. Значит, скорость измеряется в метрах в секунду:

200 м : 50 с = 4 (м/с)

Скорость движения первого школьника составляет 4 метра в секунду.

Теперь найдём скорость движения второго школьника. Для этого разделим расстояние на время движения второго школьника:

200 м : 100 c = 2 (м/с)

Скорость движения первого школьника – 4 (м/с).

Скорость движения второго школьника – 2 (м/с).

4 (м/с) > 2 (м/с)

Скорость первого школьника больше. Значит, он бежал до спортплощадки быстрее.

Иногда возникает ситуация, когда требуется узнать, за какое время тело преодолеет то или иное расстояние. Время движения обозначается маленькой латинской буквой t.

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 1200 метров. Мы должны доехать туда на велосипеде. Наша скорость будет 600 метров в минуту. За какое время мы доедем до спортивной секции?

Решение:

Если за одну минуту мы будем проезжать 600 метров, то сколько таких минут нам понадобится для преодоления тысячи двухсот метров? Очевидно, что надо разделить 1200 метров на то расстояние, которое мы будем проезжать за одну минуту, то есть на 600 метров. Тогда мы получим время, за которое мы доедем до спортивной секции:

1200 : 600 = 2 (мин)

Ответ: мы доедем до спортивной секции за 2 минуты.

Скорость, время и расстояние связаны между собой.

Если известны скорость и время движения, то можно найти расстояние. Оно равно скорости, умноженной на время:

S = v ∙ t

Рассмотрим задачу:

Мы вышли из дома и направились в магазин. Мы дошли до магазина за 15 минут. Наша скорость была 60 метров в минуту. Какое расстояние мы прошли?

Решение:

Если за одну минуту мы прошли 60 метров, то сколько таких отрезков по шестьдесят метров мы пройдём за 15 минут? Очевидно, что умножив 60 метров на 15 минут, мы определим расстояние от дома до магазина:

v = 60 (м/мин)

t = 15 (минут)

S = v ∙ t = 60 ∙ 15 = 900 (метров)

Ответ: мы прошли 900 метров.

Если известно время и расстояние, то можно найти скорость:

v = S : t

Рассмотрим задачу:

Расстояние от дома до школы 800 метров. Школьник дошёл до этой школы за 8 минут. Какова была его скорость?

Скорость движения школьника – это расстояние, которое он проходит за одну минуту. Если за 10 минут он преодолел 800 метров, то какое расстояние он преодолевал за одну минуту?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно разделить расстояние на время движения школьника:

S = 800 метров

t = 8 минут

v = S : t = 800 : 8 = 100 (м/мин)

Ответ: скорость школьника была 100 м/мин.

Если известна скорость и расстояние, то можно найти время:

t = S : v

Рассмотрим задачу:

От дома до спортивной секции 600 метров. Мы должны дойти до неё пешком. Наша скорость будет 120 метров в минуту (120 м/мин). За какое время мы дойдём до спортивной секции?

Если за одну минуту мы будем проходить 120 метров, то сколько таких минут со ста двадцатью метрами будет в шестистах метрах?

Чтобы ответить на этот вопрос, нужно 600 метров разделить на расстояние, которое мы будем проходить за одну минуту, то есть на 120. Тогда мы получим время, за которое мы дойдём до спортивной секции:

S = 600 метров

v = 120 (м/мин)

t = S : v = 600 : 120 = 5 (минут).

Ответ: мы дойдём до спортивной секции за 5 минут.

Итак, все рассмотренные нами формулы мы можем представить в виде треугольника для лучшего запоминания:

Теперь рассмотрим типы задач на движение.

Задачи на сближение.

Скорость сближения – это расстояние, пройденное двумя объектами навстречу друг другу за единицу времени.

Например, если из двух пунктов навстречу друг другу отправятся два пешехода, причём скорость первого будет 100 метров в минуту, а второго – 105 метров в минуту, то скорость сближения будет составлять 100 плюс 105, то есть 205 метров в минуту. Значит, каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 205 метров.

Чтобы найти скорость сближения, нужно сложить скорости объектов.

Задача.

Из двух пунктов навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста. Скорость первого велосипедиста 13 км/ч, а скорость второго – 15 км/ч. Через 3 часа они встретились. Определите расстояние между населёнными пунктами.

Решение:

1. Найдём скорость сближения велосипедистов:

13 км/ч + 15 км/ч = 28 км/ч

1. Определим расстояние между населёнными пунктами. Для этого скорость сближения умножим на время движения:

28 ∙ 3 = 84 км

Ответ: расстояние между населёнными пунктами 84 км.

Задачи на скорость удаления.

Скорость удаления – это расстояние, которое увеличивается за единицу времени между двумя объектами, двигающимися в противоположных направлениях.

Например, если два пешехода отправятся из одного и того же пункта в противоположных направлениях, причём скорость первого будет 4 км/ч, а скорость второго 6 км/ч, то скорость удаления будет составлять 4 плюс 6, то есть 10 км/ч. Каждый час расстояние между двумя пешеходами будет увеличиваться на 10 километров.

Чтобы найти скорость удаления, нужно сложить скорости объектов.

Рассмотрим задачу:

С причала одновременно в противоположных направлениях отправились теплоход и катер. Скорость теплохода составляла 60 км/ч, скорость катера 130 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 2 часа?

Решение:

1. Определим скорость удаления. Для этого сложим их скорости:

60 + 130 = 190 км/ч.

Получили скорость удаления равную 190 км/ч. Данная скорость показывает, что за час расстояние между теплоходом и катером будет увеличиваться на 190 километров.

1. Чтобы узнать какое расстояние будет между ними через два часа, нужно 190 умножить на 2:

190 ∙ 2 = 380 км.

Ответ: через 2 часа расстояние между теплоходом и катером будет составлять 380 километров.

Задачи на движение объектов в одном направлении.

В предыдущих пунктах мы рассматривали задачи, в которых объекты (люди, машины, лодки) двигались либо навстречу друг другу, либо в противоположных направлениях. В первом случае мы находили скорость сближения – в ситуации, когда два объекта двигались навстречу друг другу. Во втором случае мы находили скорость удаления – в ситуации, когда два объекта двигались в противоположных направлениях. Но объекты также могут двигаться в одном направлении, причём с различной скоростью.

Чтобы найти скорость удаления при движении в одном направлении, нужно из большей скорости вычесть меньшую скорость.

Рассмотрим задачу:

Из города в одном и том же направлении выехали легковой автомобиль и автобус. Скорость автомобиля 130 км/ч, а скорость автобуса 90 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 1 час? Через 3 часа?

Решение:

1. Найдём скорость удаления. Для этого из большей скорости вычтем меньшую:

130 км/ч − 90 км/ч = 40 км/ч

1. Каждый час легковой автомобиль отдаляется от автобуса на 40 километров. За один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км. За 3 часа в три раза больше:

40 ∙ 3 = 120 км

Ответ: через один час расстояние между автомобилем и автобусом будет 40 км, через три часа – 120 км.

Рассмотрим ситуацию, в которой объекты начали своё движение из разных пунктов, но в одном направлении.

Задача.

Пусть на одной улице имеется дом, школа и аттракцион. Дом находится на одном конце улицы, аттракцион на другом, школа между ними. От дома до школы 900 метров. Два пешехода отправились в аттракцион в одно и то же время. Причём первый пешеход отправился в аттракцион от дома со скоростью 90 метров в минуту, а второй пешеход отправился в аттракцион от школы со скоростью 85 метров в минуту. Какое расстояние будет между пешеходами через 3 минуты? Через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

Решение:

1. Определим расстояние, пройденное первым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 90 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 270 метров:

90 ∙ 3 = 270 метров

1. Определим расстояние, пройденное вторым пешеходом за 3 минуты. Он двигался со скоростью 85 метров в минуту. За три минуты он пройдёт в три раза больше, то есть 255 метров:

85 ∙ 3 = 255 метров

1. Теперь найдём расстояние между пешеходами. Чтобы найти расстояние между пешеходами, можно к расстоянию от дома до школы (900м) прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255м), и из полученного результата вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270м):

900 + 255 = 1155 м

1155 – 270 = 885 м

Либо из расстояния от дома до школы (900 м) вычесть расстояние, пройденное первым пешеходом (270 м), и к полученному результату прибавить расстояние, пройденное вторым пешеходом (255 м):

900 – 270 = 630 м

630 + 255 = 885 м

Таким образом, через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров.

1. Теперь давайте ответим на вопрос: через сколько минут после начала движения первый пешеход догонит второго?

В самом начале пути между пешеходами было расстояние 900 м. Через минуту после начала движения расстояние между ними будет составлять 895 метров, поскольку первый пешеход двигается на 5 метров в минуту быстрее второго:

90 ∙ 1 = 90 м

85 ∙ 1 = 85 м

900 + 85 – 90 = 985 – 90 = 895 м

Через три минуты после начала движения расстояние уменьшится на 15 метров и будет составлять 885 метров. Это был наш ответ на первый вопрос задачи:

90 ∙ 3 = 270 м

85 ∙ 3 = 255 м

900 + 255 – 270 = 1155 – 270 = 885 м

Можно сделать вывод, что каждую минуту расстояние между пешеходами будет уменьшаться на 5 метров.

А раз изначальные 900 метров с каждой минутой уменьшаются на одинаковые 5 метров, то мы можем узнать сколько раз 900 метров содержат по 5 метров, тем самым определяя через сколько минут первый пешеход догонит второго:

900 : 5 = 180 минут.

Ответ: через три минуты расстояние между пешеходами будет составлять 885 метров, первый пешеход догонит второго через 180 минут = 3 часа.

Разбор решения заданий тренировочного модуля

№1. Тип задания: ввод с клавиатуры пропущенных элементов в тексте

Заполните таблицу:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	____ ч
2.	____ м	12 м/с	4 с
3.	132 м	____ м/мин	11 мин

Для заполнения пропусков воспользуемся формулами нахождения скорости, времени, расстояния:

1. Надо найти время: t = S : v

135 : 9 = 15 часов.

1. Надо найти расстояние: S = v ∙ t

12 ∙ 4 = 48 м.

1. Надо найти скорость: v = S : t

132 : 11 = 12 м/мин.

Верный ответ:

	S	v	t
1.	135 км	9 км/ч	15 часов
2.	48 м	12 м/с	4 с
3.	132 м	12 м/мин	11 мин

№2. Тип задания: единичный / множественный выбор

Выберите верный ответ к задаче:

Из пунктов А и В, расстояние между которыми 300 км, отправились одновременно навстречу друг другу мотоциклист и автомобилист. Скорость автомобиля 60 км/ч, а мотоцикла 30 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 3 часа?

Варианты ответов:

1. 70
2. 30
3. 270
4. 240

Эта задача относится к типу задач на сближение, т.е. нам надо:

1. сложить скорости мотоциклиста и автомобилиста:

60 + 30 = 90 км/ч – скорость сближения;

1. узнать, сколько километров они пройдут за 3 часа вместе. Для этого:

90 ∙ 3 = 270 км;

1. из общего расстояния нам осталось вычесть пройденное:

300 – 270 = 30 км

Верный ответ: 2. 30 км.

Чтобы быстро решить задачи на движение, в том числе сложные и запутанные, нужно составить к ней схему или таблицу данных.

• Схемы задач на движение помогают представить наглядно условие задачи и найти верное решение.
• Таблица к задачам на движение позволяет структурировать данные, чтобы наглядно видеть исходные данные и неизвестные величины.

Поэтому, чтобы решить сложные задачи на движение, нужно нарисовать схему, а в дополнение к схеме рекомендуется нарисовать таблицу, где в шапке параметры скорости, времени и расстояния. При этом везде применяется основная формула:

Рассмотрим решение следующих типов задач:

• простые задачи на скорость, время и расстояние;
• задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление;
• задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление;
• решение задач на движение по реке.

Решить простые задачи на движение

Для решения простых задач на движение, как правило, схема или таблица не требуется, в них применяется формула нахождения скорости, времени или расстояния. Но иногда, чтобы не запутаться в решении, лучше воспользоваться каким-либо методом. Рассмотрим схему и таблицу, чтобы вы смогли выбрать наиболее удобный для себя способ разобраться в задаче.

Задача 1. Средняя скорость

Первые 5 часов автомобиль ехал со скоростью 60 км/ч, следующие 3 часа — со скоростью 100 км/ч, а последние 4 часа — со скоростью 75 км/ч. Найдите среднюю скорость автомобиля на протяжении всего пути.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом) 

Средняя скорость — это отношение пройденного пути ко времени, за который пройден этот путь.

• Найдем общее расстояние: 900 км.
• Найдем время в пути: 5 + 3 + 4 = 12 часов.
• Найдем среднюю скорость автомобиля: 900:12 = 75 км/ч.

Задача 2. Движение с остановкой

В 9:00 велосипедист выехал из пункта А в пункт Б. Доехав до пункта Б, он сделал остановку на полчаса, а в 11:30 выехал обратно с прежней скоростью. В 13:00 ему оставалось проехать 8 км до пункта А. Найдите расстояние между пунктами А и Б.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности.

• Найдем скорость: 8 : 0,5 = 16 км/ч
• Найдем расстояние: 16×2=32 км.

Задача 3. Уровень ЕГЭ.

Лыжник планировал проехать 10 км с горы за 20 минут с постоянной скоростью v. Вместо этого первые несколько километров он проехал в два раза быстрее, чем планировал, а оставшиеся километры он проехал в два раза медленнее, чем планировал. В итоге весь путь занял у него 34 минуты. Сколько километров лыжник проехал в два раза быстрее, чем планировал?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость, с которой лыжник планировал скатиться: 10 : 20 = 0,5км/мин
• Найдем скорости, с которыми лыжник скатывался: 3км/мин и 0,25км/мин.
• Составим систему уравнений:
  1) 1×t=s  → t=s
  2) 0,25×(34-t)=10-s → 0,25×(34-s)=10-s → s=2 км.

Решить задачи на движение в разных направлениях: сближение и удаление

Задача 4. Скорость удаления

Два автомобиля выехали одновременно из одного и того же пункта в противоположных направлениях. Скорость первого автомобиля  100  км/ч, скорость второго —  70  км/ч. Какое расстояние будет между автомобилями через  4  часа?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом) /

Способ 1.
1) 100× 4 = 400 (км)  — проехал первый автомобиль,
2) 70 × 4 = 280 (км)  — проехал второй автомобиль.
3) 400 + 280 = 680 (км).

Способ 2.
1)  (100 + 70),  170  км/ч — это скорость удаления автомобилей.
2) 170× 4 = 680 км.

Задача 5. Скорость сближения

Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

Способ 1.

• Составим уравнение: 50×t + 70×(t-3) =750
• Решим уравнение: 120t=960; t=8 часов.
• По условиям задачи нужно найти расстояние от пункта А, то есть расстояние для первого автомобиля: 50×8=400км.

Способ 2.

• За первые три часа пути автомобиль, выехавший из города А, проехал 150 километров и расстояние от него до города В стало равным 600 км.
• Скорость сближения двух автомобилей равна 120 км/ч, значит, они встретятся через 5 часов после выезда второго автомобиля: 600:120=5 часов.
• Таким образом, первый автомобиль всего ехал  8 часов: 50×8=400км.

Задача 6. Скорость сближения

Расстояние между пунктами А и В равно 135 км. Из пункта А в пункт В выехал легковой автомобиль. Одновременно с ним из пункта В в пункт А выехал грузовой автомобиль, скорость которого на 15 км/ч меньше скорости легкового. Через час после начала движения они встретились. Через сколько минут после встречи грузовой автомобиль прибыл в пункт А?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Пусть x км/ч — скорость грузового автомобиля, тогда (x + 15) км/ч — скорость легкового автомобиля. Получаем уравнение: x+x+15=135; x=60км/ч. 
• Найдем сколько времени грузовой автомобиль затратил на весь путь: 135:60=2,25 часов.
• Найдем сколько времени грузовой автомобиль затратил на путь после встречи: 2,25-1=1,25 часов или 75 минут (1,25*60).
• Ответ: 75 мин.

Задача 7. Уровень ЕГЭ.

Два поезда движутся навстречу друг другу – один со скоростью 70 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметим, что первый поезд прошел мимо него за 12 секунд. Какова длина первого поезда? Ответ дайте в метрах.

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость сближения: 70+80=150км/ч.
• Переведем ее в другие единицы измерения: 150 км/ч = 150000/3600 = 50/12 м/с
• Заметим, что фраза “первый поезд прошел мимо пассажира за 12с” означает, что с того момента, как пассажир увидел голову поезда, до того момента, как он увидел хвост поезда, прошло 12с.
  
• Найдем расстояние 50/12 × 12 =50 метров.

Решить задачи на движение в одном направлении: сближение и удаление

Задача 8. Скорость сближения

Поезд, двигаясь равномерно со скоростью 63 км/ч, проезжает мимо идущего в том же направлении параллельно путям со скоростью 3 км/ч пешехода за 57 секунд. Найдите длину поезда в метрах.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость поезда относительно пешехода: 63 − 3 = 60 км/ч
• Переведем скорость сближения в другие единицы измерения: 60 км/ч = 60000/3600=50/3 м/с.
• Найдем длину поезда (расстояние, которое проехал поезд): (50/3)*57=950 м.

Задача 9. Скорость сближения

Два туриста одновременно вышли в одном направлении в город N. При этом вышли они из разных городов, расстояние между которыми 9 км. Известно, что турист, изначально находившийся дальше от города N, шёл со скоростью, в два раза превышающей скорость другого туриста. В город N они прибыли одновременно, через 3 часа после начала движения. Найдите скорость туриста, который шёл быстрее. Ответ дайте в км/ч.

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость сближения туристов: 9:3=3 км/ч.
• По формуле сближения получаем: 2v-v=3  → v=3 →2v=6 км/ч.
• Ответ: 6

Задача 10. Скорость удаления

Два велосипедиста выехали из одного места в одном направлении. Скорость первого – 10 км/ч, а второго – 18 км/ч. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 104 км?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость удаления: 18-10=8 км/ч
• Найдем время в пути: 108:8=13 часов.
• Ответ: 13

Задача 11. Скорость удаления

Два велосипедиста выехали в одном направлении из мест, находящихся на расстоянии 13 км друг от друга. Скорость первого – 12 км/ч, а второго – 17 км/ч, причем второй находился в начале движения впереди. Через сколько часов расстояние между велосипедистами будет равно 58 км?

Решение.
Нарисуем схему движения.

Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Найдем скорость удаления: 17-12=5 км/ч
• Найдем расстояние, на которое они удались друг от друга: 58-13=45 км.
• Найдем время: 45:5=9 часов. 

Задача 12. Уровень ЕГЭ

Два кота одновременно выбегают в одном направлении из одного и того же подъезда. Скорость первого на 0,5 км/ч больше скорости второго. Через сколько минут расстояние между котами станет равным 200 метрам?

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Скорость удаления будет 0,5 км/ч — это скорость, с которой первый кот бежит быстрее второго.
• Найдем время: 0,2 : 0,5 = 0,4 часа
• Переведем время в другие единицы измерения: 0,4 ч = 0,4*60 = 24 мин.

Решить задачи на движение по реке

Задача 13.

Яхта движется по стоячей воде, ее собственная скорость равна 30 км/ч. Встречный ветер каждую минуту сносит яхту на 20 метров. За сколько часов яхта пройдет 259200 метров?

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Переведем скорость яхты в другие единицы измерения: 30 км/ч = 500 м/с.
• Найдем скорость удаления: 500-20=480 м/с.
• Найдем время: 259200 :480=540 минут = 9 часов.

Задача 14.

Расстояние от пристани А до пристани Б по течению реки катер прошёл за 5 часов, а на обратный путь он затратил на 1 час больше. Найдите скорость катера в неподвижной воде (собственную скорость), если скорость течения реки 2 км/ч. 

Решение.
Заполним все исходные данные в таблице. Также заполним другие ячейки таблицы по возможности (такие ячейки выделены зеленым цветом)

• Пусть скорость катера в неподвижной воде равна x км/ч.
• Составим уравнение: 5×(x+2)=6×(x-2); x=22 км/ч.

Правильность решения задач вы можете проверить на сайте intmag24.ru с помощью калькулятора решения задач на движение.

Советы для решения задач на движения

• В процессе решения задач на движение может быть составлена формула квадратного уравнения, которое будет иметь два корня. В этом случае нужно взять тот ответ, который  будет логичен для задачи (положительный). Отрицательный корень не берется во внимание.
• Внимательно следите, чтобы в задаче все данные измерялись одними величинами. Если это не так, нужно се привести к единым единицам измерения.