Как найти общее решение линейного дифференциального уравнения

Как найти общее и частное решение линейных дифференциальных уравнений

Линейное дифференциальное уравнение — это уравнение, в котором все $y$ и его производные, входят только в первой степени и не перемножаются между собой.

В этой статье рассмотрим решение таких уравнений первого и второго порядка с неоднородной правой частью. В зависимости от порядка диффура выбирается метод его решения. Хотя есть универсальный метод вариации произвольных постоянных. Разберем все методы.

Линейное ДУ первого порядка

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка имеют следующий вид $$y’+g(x)y=f(x),$$ где $g(x)$ и $f(x)$ некоторые функции. Для решения такого типа уравнений можно применить метод Бернулли, либо метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной).

Метод Бернулли

1. Выполняем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$, где $u(x),v(x)$ некоторые функции
2. Строим систему уравнений, чтобы найти $u(x)$ и $v(x)$
3. Подставляем $u(x), v(x)$ в $y=uv$, чтобы получить общее решение.

Пример 1

Найти частное решение линейного дифференциального уравнения первого порядка $$y’-y tg x=frac{1}{cos x}, y(0)=0.$$

Решение

Первым шагом делаем подстановку $y=uv, y’=u’v+uv’$ и получаем $$u’v+uv’-uv tg x=frac{1}{cos x}.$$ Теперь выносим за скобки функцию $u$ и составляем систему уравнений: $$u’v+u(v’-v tg x)=frac{1}{cos x}$$ $$begin{cases} v’-v tg x = 0 \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases}.$$ Сначала решаем первое уравнение методом разделяющихся переменных, чтобы из него получить $v(x)$: $$begin{cases} frac{dv}{v} = tg x dx \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} ln|v| = -int frac{d(cos x)}{cos x} \ u’v = frac{1}{cos x} end{cases}$$ $$begin{cases} ln|v| = -ln|cos x| \ u’v=frac{1}{cos x} end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u’ = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} v=frac{1}{cos x} \ u=x+C end{cases}.$$ Таким образом подставляем найденные $u$ и $v$ в подстановку $y=uv$, чтобы получить общее решение линейного дифференциального уравнения $$y=frac{x+C}{cos x}.$$ Но по условию требуется найти частное решение, поэтому используя дополнительное условие $y(0)=0$ находим константу $C$ $$frac{0+C}{cos 0} = 0 Rightarrow C = 1.$$ Теперь зная значение $C=1$ подставляем его в общее решение и получаем ответ в виде частного решения линейного дифференциального уравнения $$y = frac{x}{cos x}.$$ Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$y = frac{x}{cos x}$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

1. Находим общее решение однородного уравнения
2. В общем решении заменяем постоянную $C$ на функцию $C(x)$
3. Находим $y’$ и подставляем его вместе с $y$ в исходное уравнение
4. Получаем чему равно $C(x)$ из последнего равенства
5. Подставляем $C(x)$ в ранее полученное общее решение и записываем ответ

Пример 2

Решить линейное дифференциальное уравнение первого порядка $$y’ cos^2 x + y = tg x, quad y(0)=0.$$

Решение

Сначала приведем уравнение к виду $y’+g(x)=f(x)$ путем деления обеих частей диффура на квадрат косинуса $$y’ + frac{y}{cos^2 x} = frac{sin x}{cos^3 x}.$$ Теперь находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y’+frac{y}{cos^2 x} = 0.$$ Разделяем переменные по разные стороны и интегрируем обе части: $$frac{dy}{dx}=-frac{y}{cos^2 x}$$ $$int frac{dy}{y}=-int frac{dx}{cos^2 x}$$ $$ln|y|=-tg x + C$$ $$y = Ce^{-tg x}.$$ Теперь найдем частное решение неоднородного уравнения методом Лагранжа варьируя произвольную постоянную. А именно, заменяем в полученном общем решении константу $C$ на функцию $C(x)$ $$y = C(x)e^{-tg x}.$$ Находим производную функции $$y’ = C'(x)e^{-tg x} — C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}.$$ Подставляем общее решение и его производную в исходное линейное дифференциальное уравнение, чтобы получить $C'(x)$ $$(C'(x)e^{-tg x} — C(x)e^{-tg x} frac{1}{cos^2 x}) cos^2 x + C(x)e^{-tg x} = tg x.$$ После упрощения получаем, что $$C'(x)e^{-tg x} cos^2 x = tg x.$$ Умножаем уравнение на $e^{tg x}$ и делим на $cos^2 x$ $$C'(x) = frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x}.$$ Теперь, можно получить $C(x)$, просто проинтегрировав правую часть уравнения $$C(x) = int frac{tg x}{cos^2 x} e^{tg x} dx. $$ Выполняем подведение под знак дифференциала $frac{1}{cos^2 x}$ $$C(x) = int tg x e^{tg x} d(tg x).$$ Для комфорта взятия интеграла сделаем замену $tg x = t$, а затем применяя метод интегрирования по частям найдем решение интеграла $$C(x)=int t e^t dt = begin{vmatrix} u = t qquad du=dt \ dv=e^t qquad v=e^t end{vmatrix} = te^t — int e^t dt = te^t — e^t + C.$$ Возвращаемся назад к иксам $$C(x) = te^t — e^t + C = tg x e^{tg x} — e^{tg x} + C.$$ Итак, теперь можно записать общее решение линейного дифференциального уравнения неоднородного $$ytext{о.н.} = ( tg x e^{tg x} — e^{tg x} + C)e^{-tg x} = tg x — 1 + Ce^{-tg x}.$$ По условию задачи требуется найти частное решение, значит применяем условие $y(0)=0$ и находим значение постоянной $C$ $$0 — 1 + C = 0 Rightarrow C=1.$$ Теперь можно записать окончательный ответ $$y = e^{-tg x} + tg x — 1.$$

Ответ

$$y = e^{-tg x} + tg x — 1$$

Линейное ДУ второго порядка

Обычно в контрольных работах дают задачи на решение линейных дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами. Поэтому разберем как решать именно такие уравнения $$y»+py’+qy=f(x).$$

Метод подбора по правой части

Общее решение линейного неоднородного уравнения складывается из общего решения однородного и частного решения неоднородного уравнений $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.}.$$ Поэтому первым делом нужно решить однородное уравнение (т.е. f(x)=0), а затем найти частное решение подобрав правую часть по таблице.

Для того, чтобы найти общее решение линейного однородного уравнения, требуется составить характеристический многочлен и найти его корни $$lambda^2 + plambda + q = 0.$$ В зависимости от получившихся корней общее решение однородного уравнения выглядит следующим образом:

1. $lambda_1 neq lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 e^{lambda_2 x}$
2. $lambda_1 = lambda_2$, то $y_text{о.о.} = C_1 e^{lambda_1 x} + C_2 xe^{lambda_1 x}$
3. $lambda_{1,2} = alpha pm beta i$, то $y_text{о.о.} = C_1e^{alpha x}cos beta x + C_2 e^{alpha x} sin beta x$.

Далее необходимо по виду правой части подобрать частное решение $y_text{ч.н.}$. Для этого нужно воспользоваться таблицей.

№	Правая часть	Корни характеристического многочлена	Вид частного решения
1	$$P_n (x)$$	Число 0 не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde{P_n}(x)$$
Число 0 – корень характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s tilde{P_n}(x)$$
2	$$P_n (x) e^{alpha x}$$	Число $alpha$ не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
Число $alpha$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s tilde{P_n} (x) e^{alpha x}$$
3	$$P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x$$	Число $pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения.	$$tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x$$
Число $pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения кратности $S$.	$$x^s (tilde {P_n} cos beta x + tilde{Q_m} sin beta x)$$
4	$$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$	Число $alpha pm ibeta$ не является корнем характеристического уравнения.	$$e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$
Число $alpha pm ibeta$ является корнем характеристического уравнения.	$$x^s e^{alpha x}[P_n (x) cos beta x + Q_m (x) sin beta x]$$

Где $P_n(x)$ и $Q_m(x)$ многочлены.

Пример 3

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y»+y’-2y=8sin 2x.$$

Решение

Первым делом находим общее решение однородного дифференциального уравнения $$y»+y’-2y=0.$$ Для этого составляем характеристический многочлен и находим его корни по общей формуле решения квадратных уравнений: $$lambda^2+lambda-2=0$$ $$lambda_{1,2} = frac{-1pm sqrt{1^2-4cdot 1 cdot (-2)}}{2} = frac{-1pm 3}{2}$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 1.$$ Теперь, используя корни, записывам $$y_text{о.о.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x}.$$ Теперь нужно найти частное решение неоднородного уравнения $y_text{ч.н.}$ методом подбора правой части. Смотрим на неё и видим, что в нее входит произведение многочлена нулевой степени на косинус. Значит, частное решение будет подбирать в виде $$y_text{ч.н.} = Acos 2x + Bsin 2x,$$ где $A$ и $B$ неизвестные коэффициенты, которые требуется найти на следующем этапе решения. Найдем первую и вторую производную от частного решения: $$y’_text{ч.н.} = -2Asin 2x + 2Bcos 2x$$ $$y»_text{ч.н.} = -4Acos 2x — 4Bsin 2x$$ Теперь подставим полученные производные от $y_text{ч.н.}$ и его само в исходное дифференциальное уравнение, чтобы получить значения $A$ и $B$ методом неопределенных коэффициентов: $$-4Acos 2x — 4Bsin 2x -2Asin 2x + 2Bcos 2x — 2Acos 2x -2Bsin 2x = 8sin 2x$$ $$(2B — 6A)cos 2x + (-6B — 2A)sin 2x = 8sin 2x.$$ Теперь необходимо составить систему уравнений. Справа видим только синус, значит все что перед косинусом слева равно нулю. А всё что перед синусом равно восьми $$begin{cases} 2B-6A = 0 \ -6B-2A = 8 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B-3A=0 \ 3B+A=-4 end{cases} Leftrightarrow begin{cases} B = frac{6}{5} \ A=-frac{2}{5} end{cases}$$ Теперь частное решение неоднородного уравнения выглядит следующим образом $$y_text{ч.н.} = -frac{2}{5} cos 2x — frac{6}{5}sin 2x.$$ Подставляем все найденные данные в окончательную формулу, чтобы записать ответ $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.} + y_text{ч.н.} = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x — frac{6}{5}sin 2x.$$

Ответ

$$y = C_1e^{-2 x} + C_2e^{x} -frac{2}{5} cos 2x — frac{6}{5}sin 2x$$

Пример 4

Решить линейное дифференциальное уравнение $$y»-4y=e^{2x}sin 2x.$$

Решение

Сначала получим общее решение однородного уравнения $$y»-4y=0.$$ Составляем характеристическое уравнение и найдем его корни: $$lambda^2 — 4 = 0$$ $$(lambda — 2)(lambda + 2) = 0$$ $$lambda_1 = -2, quad lambda_2 = 2.$$ Записываем теперь решение $$y_text{о.о.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}.$$ Теперь выполним подбор частного решения неоднородного уравнения, основываясь на типе правой части. Она состоит из произведение экспоненты на синус, перед которым многочлен. По таблице находим, что частное решение нужно искать в виде $$y_text{ч.н.} = Ae^{2x}cos 2x + Be^{2x}sin 2x.$$ Необходимо найти коэффициенты $A$ и $B$. Для этого нужно найти вторую производную частного решения и подставить в исходное уравнение $$y’_text{ч.н.} = 2Ae^{2x}cos 2x — 2Ae^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}sin 2x + 2Be^{2x}cos 2x = $$ $$ = (2A+2B)e^{2x}cos 2x + (2B-2A)e^{2x}sin 2x$$ $$y»_text{ч.н.} = 2(2A+2B)e^{2x}cos 2x — 2(2A+2B)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}sin 2x + 2(2B-2A)e^{2x}cos 2x = $$ $$ = 8Be^{2x}cos 2x — 8Ae^{2x}sin 2x.$$ Подставляем в исходное ДУ: $$8Be^{2x}cos 2x — 8Ae^{2x}sin 2x — 4Ae^{2x}cos 2x — 4Be^{2x}sin 2x = e^{2x} sin 2x$$ $$(8B-4A)e^{2x}cos 2x + (-8A-4B)e^{2x}sin 2x = e^{2x}sin 2x.$$ Теперь составляем систему уравнений путем сопоставления левой и правой части. То, что слева перед синусом приравниваем к тому, что справа перед синусом. А справа косинуса нет, значит там ноль. Поэтому приравниваем скобки перед косинусом слева к нулю $$begin{cases} 8B-4A=0 \ -8A-4B = 1 end{cases} Rightarrow begin{cases} 2B-A=0 \ -8A-4B=1 end{cases} Rightarrow begin{cases} A = -frac{1}{10} \ B = -frac{1}{20} end{cases}.$$ Теперь частное решение приобретает вид $$y_text{ч.н.} = -frac{1}{10}e^{2x}cos 2x — frac{1}{20} e^{2x} sin 2x,$$ и можно записать окончательный ответ к задаче $$y_text{о.н.} = y_text{о.о.}+y_text{ч.н.} = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x — frac{1}{20} e^{2x} sin 2x.$$

Ответ

$$y = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x}-frac{1}{10}e^{2x}cos 2x — frac{1}{20} e^{2x} sin 2x$$

Метод Лагранжа (вариация произвольной постоянной)

Данный метод удобно применять тогда, когда правая часть не подходит под формулы из таблицы. Таким образом, метод Лагранжа становится универсальной палочкой-выручалочкой при решении данного типа задач. Алгоритм следующий:

1. Находим общее решение однородного уравнения $y_text{о.о.} = C_1 y_1 + C_2 y_2$
2. Заменяем константы $C_1,C_2$ на функции $C_1(x)$ и $C_2(x)$
3. Решаем систему методом Крамера $begin{cases} C_1 ‘(x)y_1 + C_2 ‘(x)y_2 = 0 \ C_2 ‘(x)y’_1 + C_2 ‘(x) y’_2 = f(x) end{cases}$
4. Интегрируем полученные $C’_1 (x)$ и $C’_2 (x)$
5. Подставляем $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в общее решение $y_text{о.о.}$

Пример 5

Найти общее решение линейного дифференциального уравнения второго порядка $$y»+y=frac{1}{sin x}.$$

Решение

Первым делом находим общее решение однородного уравнения $$y»+y=0, $$ составив характериcтический многочлен $$lambda^2 + 1 = 0, $$ и вычислив его корни $$lambda_{1,2} = pm i.$$ Записываем решение $$y_text{о.о.} = C_1 cos x + C_2 sin x.$$ Далее заменяем в нём постоянные $C_1$ и $C_2$ на функции $C_1(x)$ и соответственно $C_2(x)$. И сразу замечаем, что $y_1 = cos x$ и $y_2 = sin x$. Это пригодится для дальнейшего решения задачи при построении системы уравнений. А сейчас записываем, что $$y_text{о.о.} = C_1 (x) cos x + C_2(x) sin x.$$ Перед тем как составим систему уравнений найдем производные: $$y’_1 = -sin x$$ $$y’_2 = cos x.$$ Теперь получаем систему и решаем её методом Крамера $$begin{cases} C_1 ‘(x)cos x+C_2(x)sin x = 0 \ -C’_1 (x)sin x + C’_2(x) cos x = frac{1}{sin x} end{cases}.$$ Находим значение главного определителя $$Delta = begin{vmatrix} cos x & sin x \ -sin x & cos x end{vmatrix} = cos^2 x + sin^2 x = 1.$$ Найдем значение первого дополнительного определителя $$Delta_1 = begin{vmatrix} 0 & sin x \ frac{1}{sin x} & cos x end{vmatrix} = -1 .$$ Найдем значение второго дополнительного определителя $$Delta_2 = begin{vmatrix} cos x & 0 \ -sin x & frac{1}{sin x} end{vmatrix} = frac{cos x}{sin x}.$$ Теперь можно получить производные от искомых функций: $$C’_1(x) = frac{Delta_1}{Delta} = -1$$ $$C’_2(x) = frac{Delta_2}{Delta} = frac{cos x}{sin x}.$$ А затем путем интегрирования находим первообразные последних функций: $$C_1(x)=int (-1) dx = -x + tilde{C_1}$$ $$C_2(x)=int frac{cos x}{sin x} dx = int frac{d(sin x)}{sin x} = ln|sin x| + tilde{C_2}.$$ Теперь получим общее решение неоднородного линейного дифференциального уравнения путем подстановки найденных $C_1(x)$ и $C_2(x)$ в $y_text{о.о.}$ $$y_text{о.о.} = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x.$$

Ответ

$$y = (-x + tilde{C_1})cos x + (ln|sin x|+tilde{C_2})sin x$$

I. Обыкновенные дифференциальные
уравнения

1.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением называется
уравнение, связывающее между собой
независимую переменную x, искомую
функцию y и её производные или
дифференциалы.

Символически дифференциальное уравнение
записывается так:

F(x,y,y’)=0, F(x,y,y»)=0, F(x,y,y’,y»,.., y⁽ⁿ⁾)=0

Дифференциальное уравнение называется
обыкновенным, если искомая функция зависит
от одного независимого переменного.

Решением дифференциального уравнения
называется такая функция ,
которая обращает это уравнение в тождество.

Порядком дифференциального уравнения
называется порядок старшей производной,
входящей в это уравнение

Примеры.

1. Рассмотрим дифференциальное уравнение
первого порядка

Решением этого уравнения является
функция y = 5 ln x. Действительно, ,
подставляя y’ в уравнение, получим
– тождество.

А это и значит, что функция y = 5 ln x– есть
решение этого дифференциального уравнения.

2. Рассмотрим дифференциальное уравнение
второго порядка y» — 5y’ +6y = 0. Функция
– решение этого уравнения.

Действительно, .

Подставляя эти выражения в уравнение,
получим: ,

– тождество.

А это и значит, что функция
– есть решение этого дифференциального
уравнения.

Интегрированием дифференциальных
уравнений называется процесс нахождения
решений дифференциальных уравнений.

Общим решением дифференциального
уравнения называется функция вида ,в
которую входит столько независимых
произвольных постоянных, каков порядок
уравнения.

Частным решением дифференциального
уравнения называется решение, полученное
из общего решения при различных числовых
значениях произвольных постоянных.
Значения произвольных постоянных
находится при определённых начальных
значениях аргумента и функции.

График частного решения
дифференциального уравнения называется интегральной
кривой.

Примеры

1.Найти частное решение дифференциального
уравнения первого порядка

xdx + ydy = 0, если y = 4 при x = 3.

Решение. Интегрируя обе части уравнения,
получим

Замечание. Произвольную постоянную С,
полученную в результате интегрирования,
можно представлять в любой форме, удобной
для дальнейших преобразований. В данном
случае, с учётом канонического уравнения
окружности произвольную постоянную С
удобно представить в виде .

— общее решение дифференциального
уравнения.

Частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y =
4 при x = 3 находится из общего
подстановкой начальных условий в общее
решение: 3² + 4²= C²; C=5.

Подставляя С=5 в общее решение, получим x²
+y² = 5².

Это есть частное решение
дифференциального уравнения, полученное из
общего решения при заданных начальных
условиях.

2. Найти общее решение дифференциального
уравнения

Решением этого уравнения является всякая
функция вида ,
где С – произвольная постоянная.
Действительно, подставляя в уравнения ,
получим: ,
.

Следовательно, данное дифференциальное
уравнение имеет бесконечное множество
решений, так как при различных значениях
постоянной С равенство
определяет различные решения уравнения .

Например, непосредственной подстановкой
можно убедиться, что функции
являются решениями уравнения .

Задача, в которой требуется найти частное
решение уравнения y’ = f(x,y) 
удовлетворяющее начальному условию y(x₀)
= y₀, называется задачей Коши.

Решение уравнения y’ = f(x,y),
удовлетворяющее начальному условию, y(x₀)
= y₀, называется решением задачи Коши.

Решение задачи Коши имеет простой
геометрический смысл. Действительно,
согласно данным определениям, решить
задачу Коши y’ = f(x,y)  при условии y(x₀)
= y₀,, означает найти интегральную
кривую уравнения y’ = f(x,y)  которая
проходит через заданную точку M₀(x₀,y₀).

II. Дифференциальные уравнения первого
порядка

2.1. Основные понятия

Дифференциальным уравнением первого
порядка называется уравнение вида F(x,y,y’) =
0.

В дифференциальное уравнение первого
порядка входит первая производная и не
входят производные более высокого порядка.

Уравнение y’ = f(x,y) называется
уравнением первого порядка, разрешённым
относительно производной.

Общим решением дифференциального
уравнения первого порядка называется
функция вида ,
которая содержит одну произвольную
постоянную.

Пример. Рассмотрим дифференциальное
уравнение первого порядка .

Решением этого уравнения является
функция .

Действительно, заменив в данном уравнении,

его значением, получим

то есть 3x=3x

Следовательно, функция
является общим решением уравнения
при любом постоянном С.

Найти частное решение данного уравнения,
удовлетворяющее начальному условию y(1)=1
Подставляя начальные условия x = 1, y =1 
в общее решение уравнения ,
получим
откуда C = 0.

Таким образом, частное решение получим из
общего
подставив в это уравнение, полученное
значение C = 0

– частное решение.

2.2. Дифференциальные уравнения с
разделяющимися переменными

Дифференциальным уравнением с
разделяющимися переменными называется
уравнение вида: y’=f(x)g(y) или через
дифференциалы ,
где f(x)  и g(y)– заданные функции.

Для тех y, для которых ,
уравнение y’=f(x)g(y) равносильно уравнению,

в котором переменная y присутствует
лишь в левой части, а переменная x- лишь в
правой части. Говорят, «в уравнении y’=f(x)g(y
разделим переменные».

Уравнение вида
называется уравнением с разделёнными
переменными.

Проинтегрировав обе части уравнения
по x, получим G(y) = F(x) + C– общее
решение уравнения, где G(y) и F(x) –
некоторые первообразные соответственно
функций
и f(x), C произвольная постоянная.

Алгоритм решения дифференциального
уравнения первого порядка с разделяющимися
переменными

1. Производную функции переписать через её
   дифференциалы
2. Разделить переменные.
3. Проинтегрировать обе части равенства,
   найти общее решение.
4. Если заданы начальные условия, найти
   частное решение.

Пример 1

Решить уравнение y’ = xy

Решение. Производную функции y’
заменим на

разделим переменные

проинтегрируем обе части равенства:

Ответ:

Пример 2

Найти частное решение уравнения

2yy’ = 1- 3x²,
если y₀ = 3 при x₀ = 1

Это—уравнение с разделенными
переменными. Представим его в
дифференциалах. Для этого перепишем данное
уравнение в виде
Отсюда

Интегрируя обе части последнего
равенства, найдем

Подставив начальные значения x₀ = 1,
y₀ = 3 найдем С 9=1-1+C, т.е. С = 9.

Следовательно, искомый частный интеграл
будет
или

Пример 3

Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;-3) и имеющей касательную с угловым
коэффициентом

Решение. Согласно условию

Это уравнение с разделяющимися
переменными. Разделив переменные, получим:

 Проинтегрировав обе части уравнения,
получим:

Используя начальные условия, x = 2  и y
= — 3 найдем C:

Следовательно, искомое уравнение имеет
вид

2.3. Линейные дифференциальные уравнения
первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением
первого порядка называется уравнение вида y’
= f(x)y + g(x)

где f(x) и g(x) — некоторые заданные функции.

Если g(x)=0 то
линейное дифференциальное уравнение
называется однородным и имеет вид:  y’ = f(x)y

Если
то уравнение y’ = f(x)y + g(x) называется неоднородным.

Общее решение линейного однородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y задается формулой:
где С – произвольная постоянная.

В частности, если С =0, то решением
является  y = 0 Если линейное однородное уравнение имеет
вид y’ = ky где k — некоторая постоянная, то его общее решение
имеет вид: .

Общее решение линейного неоднородного
дифференциального уравнения y’ = f(x)y + g(x) задается формулой ,

т.е. равно сумме общего решения
соответствующего линейного однородного
уравнения и частного решения
данного уравнения.

Для линейного неоднородного уравнения
вида y’
= kx + b,

где k и b—
некоторые числа и частным
решением будет являться постоянная функция
.
Поэтому общее решение имеет вид .

Пример. Решить уравнение y’ + 2y +3 = 0

Решение. Представим уравнение в виде y’
= -2y — 3 где k = -2, b= -3 Общее решение задается формулой .

Следовательно,
где С – произвольная постоянная.

Ответ:

2.4. Решение линейных дифференциальных
уравнений первого порядка методом Бернулли

Нахождение общего решения линейного
дифференциального уравнения первого
порядка y’ = f(x)y + g(x) сводится к решению двух дифференциальных
уравнений с разделенными переменными с
помощью подстановки y=uv,
где u и v — неизвестные функции от x.
Этот метод решения называется методом
Бернулли.

 Алгоритм решения линейного дифференциального
уравнения первого порядка

y’ = f(x)y + g(x)

1. Ввести подстановку y=uv.

2. Продифференцировать это равенство y’ =
u’v + uv’

3. Подставить y и y’ в данное уравнение:  
u’v + uv’ = f(x)uv + g(x) или u’v + uv’ +  f(x)uv = g(x).

4. Сгруппировать члены уравнения так, чтобы
u вынести
за скобки:

5. Из скобки, приравняв ее к нулю, найти
функцию

Это уравнение с разделяющимися
переменными:

Разделим переменные и получим:

Откуда .
.

6. Подставить полученное значение v в уравнение
(из п.4):

и найти функцию
Это уравнение с разделяющимися переменными:

7. Записать общее решение в виде: ,
т.е. .

Пример 1

Найти частное решение уравнения y’ = -2y
+3 = 0  если y =1  при x = 0

Решение. Решим его с помощью
подстановки y=uv, .y’ = u’v + uv’

Подставляя y и y’
в данное уравнение, получим

Сгруппировав второе и третье слагаемое
левой части уравнения, вынесем общий
множитель u за
скобки

Выражение в скобках приравниваем к нулю и,
решив полученное уравнение, найдем функцию v
= v(x)

Получили уравнение с разделенными
переменными. Проинтегрируем обе части
этого уравнения:
Найдем функцию v:

Подставим полученное значение v в уравнение
Получим:

Это уравнение с разделенными переменными.
Проинтегрируем обе части уравнения:
Найдем функцию u = u(x,c)
Найдем общее решение:
Найдем частное решение уравнения,
удовлетворяющее начальным условиям y = 1 при
x = 0:

Ответ:

III. Дифференциальные уравнения высших
порядков

3.1. Основные понятия и определения

Дифференциальным уравнением второго
порядка называется уравнение, содержащее
производные не выше второго порядка. В
общем случае дифференциальное уравнение
второго порядка записывается в виде: F(x,y,y’,y»)
= 0

Общим решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
функция вида ,
в которую входят две произвольные
постоянные C₁ и C₂.

Частным решением дифференциального
уравнения второго порядка называется
решение, полученное из общего
при некоторых значениях произвольных
постоянных C₁ и C₂.

3.2. Линейные однородные дифференциальные
уравнения второго порядка с



постоянными коэффициентами.

Линейным однородным дифференциальным
уравнением второго порядка с постоянными
коэффициентами называется уравнение вида
y» + py’ +qy = 0, где pи q—
постоянные величины.

Алгоритм решения однородных дифференциальных
уравнений второго порядка с постоянными
коэффициентами

1. Записать дифференциальное уравнение в
виде: y» + py’ +qy = 0.

2. Составить его характеристическое
уравнение, обозначив y» через r²,
y’  через r, yчерез
1:
r² + pr +q = 0

3.Вычислить дискриминант  D = p² -4q
и найти корни характеристического
уравнения; при этом если:

а) D > 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет два
различных действительных корня .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде ,
где C₁ и C₂ — произвольные постоянные.

б) D = 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет равные
действительные корни .
Общее решение дифференциального уравнения
выражается в виде

в) D < 0; следовательно,
характеристическое уравнение имеет
комплексные корни,
Общее решение дифференциального уравнения
выражается, в виде 

Примеры.

1. Найти частное решение дифференциального
уравнения

Решение. Составим характеристическое
уравнение

D>0,

Общее решение

Дифференцируя общее решение, получим

Составим систему из двух уравнений

Подставим вместо ,и

заданные начальные условия:

Таким образом, искомым частным решением
является функция

.

2. Найти частное решение уравнения

Решение

<0,

Общее решение

—
частное решение.

IV. Практическая работа

Вариант 1

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(1;2) и имеющей угловой коэффициент .

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

Вариант 2

1. Составить уравнение кривой, проходящей
через точку M(2;1) и имеющей угловой коэффициент

2. Найти частные решения дифференциальных
уравнений:

а)

б)

в)

г)

V. Ответы