Как найти общее решение уравнения матрицы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Общее, базисное и частное решение систем линейных алгебраических уравнений.

Пусть переменных называются основными (или базисными), если определитель матрицы из коэффициентов при них (т.е. базисный минор) отличен от нуля. Остальные переменных называются неосновными (или свободными). Каждому разбиению переменных на основные и неосновные соответствует одно базисное решение, а число способов разбиения не превосходит числа сочетаний то и базисных решений имеется не более

Совместная система линейных уравнений с переменными имеет бесконечное множество решений, среди которых базисных решений конечное число, не превосходящее

Достоинства метода Гаусса по сравнению с другими:

— менее трудоемкий метод;

— позволяет однозначно установить, совместна система или нет и в случае совместности найти ее решение;

— дает возможность найти максимальное число линейно независимых уравнений – ранг матрицы системы.

Рассмотрим пример. Найти решение системы линейных алгебраических уравнений

Составим расширенную матрицу по данной системе

поменяем местами первую и вторую строку

умножим первую строку на и сложим со второй строкой; умножим первую строку на и сложим с третьей строкой

умножим вторую строку на и сложим с третьей строкой

последняя строка вычеркивается, так как все ее элементы равны нулю

Ранг основной матрицы ранг расширенной матрицы следовательно, система совместна. Число строк в основной матрице число столбцов в основной матрице следовательно, система имеет множество решений.

Выявим базисные переменные

следовательно, базисные переменные, тогда

Как найти общее и частное решение системы линейных уравнений

Пример 2. Исследовать совместность, найти общее и одно частное решение системы

Решение. Переставим первое и второе уравнения, чтобы иметь единицу в первом уравнении и запишем матрицу B.

Получим нули в четвертом столбце, оперируя первой строкой:

Теперь получим нули в третьем столбце с помощью второй строки:

Третья и четвертая строки пропорциональны, поэтому одну из них можно вычеркнуть, не меняя ранга:
Третью строку умножим на (–2) и прибавим к четвертой:

Видим, что ранги основной и расширенной матриц равны 4, причем ранг совпадает с числом неизвестных, следовательно, система имеет единственное решение:
-x₁=-3 → x₁=3; x₂=3-x₁ → x₂=0; x₃=1-2x₁ → x₃=5.
x₄ = 10- 3x₁ – 3x₂ – 2x₃ = 11.

Пример 3. Исследовать систему на совместность и найти решение, если оно существует.

Решение. Составляем расширенную матрицу системы.

Переставляем первые два уравнения, чтобы в левом верхнем углу была 1:
Умножая первую строку на (-1), складываем ее с третьей:

Умножим вторую строку на (-2) и прибавим к третьей:

Система несовместна, так как в основной матрице получили строку, состоящую из нулей, которая вычеркивается при нахождении ранга, а в расширенной матрице последняя строка останется, то есть r_B > r_A.

Задание. Исследовать данную систему уравнений на совместность и решить ее средствами матричного исчисления.
Решение

Пример. Доказать совместимость системы линейных уравнений и решить ее двумя способами: 1) методом Гаусса; 2) методом Крамера. (ответ ввести в виде: x1,x2,x3)
Решение:doc:doc:xls
Ответ: 2,-1,3.

Пример. Дана система линейных уравнений. Доказать ее совместность. Найти общее решение системы и одно частное решение.
Решение
Ответ:x₃ = — 1 + x₄ + x₅; x₂ = 1 — x₄; x₁ = 2 + x₄ — 3x₅

Задание. Найти общее и частное решения каждой системы.
Решение. Исследуем эту систему по теореме Кронекера-Капелли.
Выпишем расширенную и основную матрицы:

1	1	14	0	2	0
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1
x₁	x₂	x₃	x₄	x₅

Здесь матрица А выделена жирным шрифтом.
Приведем матрицу к треугольному виду. Будем работать только со строками, так как умножение строки матрицы на число, отличное от нуля, и прибавление к другой строке для системы означает умножение уравнения на это же число и сложение с другим уравнением, что не меняет решения системы.
Умножим 1-ую строку на (3). Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
3	4	2	3	0	1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (2). Умножим 3-ую строку на (-3). Добавим 3-ую строку к 2-ой:

0	-1	40	-3	6	-1
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Умножим 2-ую строку на (-1). Добавим 2-ую строку к 1-ой:

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-3	6	-1
2	3	-3	3	-2	1

Выделенный минор имеет наивысший порядок (из возможных миноров) и отличен от нуля (он равен произведению элементов, стоящих на обратной диагонали), причем этот минор принадлежит как основной матрице, так и расширенной, следовательно rang(A) = rang(B) = 3. Поскольку ранг основной матрицы равен рангу расширенной, то система является совместной.
Этот минор является базисным. В него вошли коэффициенты при неизвестных x₁,x₂,x₃, значит, неизвестные x₁,x₂,x₃ – зависимые (базисные), а x₄,x₅ – свободные.
Преобразуем матрицу, оставляя слева только базисный минор.

0	0	27	0	0	0
0	-1	13	-1	3	-6
2	3	-3	1	-3	2
x₁	x₂	x₃	x₄	x₅

Система с коэффициентами этой матрицы эквивалентна исходной системе и имеет вид:
27x₃ =
— x₂ + 13x₃ = — 1 + 3x₄ — 6x₅
2x₁ + 3x₂ — 3x₃ = 1 — 3x₄ + 2x₅
Методом исключения неизвестных находим:
Получили соотношения, выражающие зависимые переменные x₁,x₂,x₃ через свободные x₄,x₅, то есть нашли общее решение:
x₃ = 0
x₂ = 1 — 3x₄ + 6x₅
x₁ = — 1 + 3x₄ — 8x₅
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной, т.к. имеет более одного решения.

Задание. Решить систему уравнений.
Ответ ₂ = 2 — 1.67x₃ + 0.67x₄
x₁ = 5 — 3.67x₃ + 0.67x₄
Придавая свободным неизвестным любые значения, получим сколько угодно частных решений. Система является неопределенной

Пример. Проверить совместность линейной системы уравнений и в случае совместности решить ее: а) по формулам Крамера; б) методом Гаусса.
Решение: Проверяем совместность системы с помощью теоремы Кронекера — Капелли. Согласно теореме Кронекера — Капелли, из того, что следует несовместность исходной системы.
Ответ: система не совместна.
Решение

Разрешенная система уравнений. Общее, частное и базисное решения

Определение. Неизвестная х, называется разрешенной для системы уравнений, если она входит в одно из уравнений системы с коэффициентом +1, а в остальные уравнения не входит, т.е. входит с коэффициентом, равным нулю.

Определение. Неизвестная х. называется разрешенной, если в системе линейных уравнений (2.2) существует s-e уравнение, содержащее это неизвестное с коэффициентом a_sj = 1, а в остальных уравнениях системы (2.2) коэффициенты при этом неизвестном равны нулю, т.е. а- = 0 при / ф s.

Определение. Система уравнений называется разрешенной, если каждое уравнение системы содержит разрешенную неизвестную, отличную от разрешенных переменных в остальных уравнениях.

Разрешенные неизвестные, взятые по одной из каждого уравнения системы, образуют полный набор разрешенных неизвестных системы. Заметим, что полный набор разрешенных неизвестных определяется неоднозначно.

Разрешенные неизвестные, входящие в полный набор, называют также базисными переменными, а не входящие в полный набор — свободными переменными.

В общем случае разрешенная система уравнений имеет вид

Определение. Общим решением разрешенной системы уравнений называется совокупность выражений разрешенных неизвестных через свободные члены (правые части) и свободные неизвестные:

Определение. Частным решением системы уравнений называется решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях свободных неизвестных.

Определение. Базисным решением называется частное решение, получающееся из общего при нулевых значениях свободных неизвестных.

Определение. Базисное решение называется вырожденным, если число его координат, отличных от нуля, меньше числа разрешенных неизвестных.

Определение. Базисное решение называется невырожденным, если число его координат, отличных от нуля, равно числу разрешенных неизвестных системы, входящих в полный набор.

Любое общее решение системы представляет собой совокупность соотношений, используя которые можно получить любое частное решение из множества всех возможных частных решений системы.

Разрешенная система уравнений всегда совместна; причем если система не имеет свободных неизвестных, то она является определенной; если же имеется хотя бы одна свободная неизвестная, то система является неопределенной.

Пример 2.3. Найти общее, базисное и какое-либо частное решение системы

Решение. Система является разрешенной, поэтому, включив в набор разрешенных неизвестных х и х₂, записываем общее решение

Если включить в набор разрешенных неизвестных х₅ вместо х_<, то можно записать другое общее решение

Найдем частное решение, соответствующее значениям свободных переменных х₃ = 0, х₄ = 1, х₅ = 2, для этого, подставляя в первое общее решение заданные значения свободных неизвестных, получим

Запишем частное решение Х_ч = (9, 24, 0, 1, 2).

Если принять свободные переменные равными нулю х₃ = х₄ = ,r_g = О, то из первого общего решения получим ту = 10, х₂ = 20 и запишем базисное решение Х₆ = (10, 20, 0, 0, 0).

Если для какой-либо заданной системы уравнений получена равносильная ей разрешенная система, то общее, частное и базисное решения этой разрешенной системы являются также решениями исходной системы.

Е1еобходимо заметить, что любые две разрешенные системы уравнений, равносильные заданной системе, совпадают, если они имеют одни и те же разрешенные, а следовательно и свободные, неизвестные.

источники:

http://math.semestr.ru/gauss/example-system.php

http://bstudy.net/719710/estestvoznanie/razreshennaya_sistema_uravneniy_obschee_chastnoe_bazisnoe_resheniya

Источник

Пусть
переменныхназываются основными (или базисными),
если определитель матрицы из коэффициентов
при них (т.е. базисный минор) отличен от
нуля. Остальныепеременных
называются неосновными (или свободными).
Каждому разбиению переменных на основные
и неосновные соответствует одно базисное
решение, а число способов разбиения не
превосходит числа сочетанийто
и базисных решений имеется не более

Совместная
система
линейных уравнений спеременнымиимеет
бесконечное множество решений, среди
которых базисных решений конечное
число, не превосходящее

Достоинства
метода Гаусса по сравнению с другими:

—
менее трудоемкий метод;

—
позволяет однозначно установить,
совместна система или нет и в случае
совместности найти ее решение;

—
дает возможность найти максимальное
число линейно независимых уравнений –
ранг матрицы системы.

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
расширенную матрицу по данной системе

поменяем
местами первую и вторую строку

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой; умножим
первую строку наи сложим с третьей строкой

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

последняя
строка вычеркивается, так как все ее
элементы равны нулю

Ранг
основной матрицы
ранг
расширенной матрицыследовательно, система совместна. Число
строк в основной матрицечисло
столбцов в основной матрицеследовательно, система имеет множество
решений.

Выявим
базисные переменные

следовательно,
базисные
переменные, тогда

3.4. Однородные системы линейных алгебраических уравнений

Система
линейных уравнений спеременными называетсясистемой
линейных однородных уравнений,
если все их свободные члены равны нулю.

Системы
линейных однородных уравнений:

Система
линейных однородных уравнений всегда
совместна, так как имеет, по крайней
мере, нулевое решение

Если
в однородной системе
а
ее определитель отличен от нуля, то
такая система имеет только нулевое
решение.

Система
линейных однородных уравнений имеет
ненулевое решение тогда и только тогда,
когда ранг ее матрицы коэффициентов
при переменных меньше числа переменных,
т.е. при

Рассмотрим
пример. Найти
решение системы линейных алгебраических
уравнений

Составим
по данной системе расширенную матрицу

поменяем
местами первую и третью строки

умножим
первую строку на
и сложим со второй строкой, а затем с
третьей строкой, получим

умножим
вторую строку на
и сложим с третьей строкой

разделим
последнюю строку на

Таким
образом, ранг расширенной матрицы и
ранг основной матрицы равны
следовательно,
система совместна. Число строк в основной
матрице равно 3, а число столбцов равно
4, т.е. решений множество. Определим
базисные переменные

базисные
переменные.

Перейдем
от матрицы к системе, выразим переменные
через другие переменные

Контрольные
вопросы

Сформулировать
теорему Кронекера
– Капелли.
Сформулировать
Метод Гаусса решения систем m
линейных
уравнений с n
неизвестными.
Дать
определение базисному решению систем
линейных алгебраических уравнений.
Какие
системы линейных алгебраических
уравнений называют однородными?

Лекция
№4. Векторы

4.1.
Векторы в науке и технике. Понятие
вектора. Координаты вектора.

4.2.
Линейные операции над векторами.

4.3.
Декартова система координат. Базис
векторного пространства.

4.4.
Скалярное произведение векторов,
основные свойства и выражение в
координатной форме.

4.5.
Векторное произведение векторов.
Основные свойства векторного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.6.
Применение векторного произведения
векторов к решению задач.

4.7.
Смешанное произведение векторов.
Основные свойства смешанного произведения
векторов и выражение в координатной
форме.

4.8.
Применение смешанного произведения
векторов к решению задач.

Векторы
в науке и технике. Понятие вектора.
Координаты вектора

В
физике и математике вектор – это
величина, которая характеризуется
численным значением и направлением. В
физике встречается немало важных
величин, которые характеризуются
направлением. Например, сила, скорость,
ускорение, вращающий момент, импульс,
напряженность электрического и магнитного
полей. Их можно противопоставить другим
величинам, таким как масса, объем,
давление, температура, плотность, которые
можно описать обычным числом и называются
они скалярными величинами.

Векторная
запись используется при работе с
величинами, которые невозможно задать
полностью с помощью обычных чисел.
Например, необходимо описать положение
предмета, но полностью определить
местоположение предмета невозможно,
пока не будет известно направление, в
котором он находится. Таким образом,
местонахождение предмета характеризуется
численным значением (расстоянием в
километрах) и направлением.

При
изучении и расчете цепей переменного
тока удобно пользоваться векторными
диаграммами, на которых синусоидальные
напряжения и токи условно изображают
с помощью векторов. Применение этих
диаграмм упрощает изучение и расчет
цепей и вносит наглядность в рассматриваемые
соотношения.

Вектором
на плоскости называется
направленный отрезок

с начальной точкой
и конечной точкойкоторый
можно перемещать параллельно самому
себе.

Рис.
1

Вектор
на плоскости

От
любой точки можно отложить вектор,
равный данному, и притом только один,
используя параллельный перенос. При
параллельном переносе точки смещаются
по параллельным или совпадающим прямым
на одно и тоже расстояние.

Нулевой
вектор – точка
в пространстве. Начало и конец нулевого
вектора совпадают, и он не имеет длины
и направления.

Абсолютной
величиной или модулем вектора называется
длина отрезка, изображающего вектор.
Другими словами длина
вектора есть
расстояние между началом и концом
вектора

Векторы
называются коллинеарными,
если они
расположены на одной или на параллельных
прямых. Нулевой вектор коллинеарен
любому вектору. Если векторы
иколлинеарны и их лучи сонаправлены, то
векторыиназываютсонаправленными.
Обозначают
Если векторыиколлинеарны,
а их лучи не являются сонаправленными,
то векторы называютпротивоположно
направленными.
Обозначают
Нулевой вектор условились считать
сонаправленным с любым вектором.

Рис.2

Коллинеарные
вектора

Свойство
коллинеарных векторов.

Если
векторы
иколлинеарны и,
то существует числотакое,
что.
Причем, еслито векторыисонаправленные, еслито
противоположно направленные.

Векторы
называются компланарными,
если при
откладывании их от одной и той же точки
они будут лежать в одной плоскости.
Любые два вектора компланарны. Коллинеарные
векторы всегда компланарны, но не все
компланарные векторы коллинеарны.

Признак
компланарности трех векторов.

Если
вектор
можно разложить по векторами,
т.е. представить в виде,
где-некоторые
числа, то векторы-компланарны.

Рис.3

Компланарные
вектора

,
где
;

,
где

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Система линейных уравнений. Общее решение

Система линейных уравнений (СЛУ) может быть записана в виде

(1)

где m, n натуральные числа, a_ij (i=1,2, …m, j=1,2,…n) называются коэффициентами, b_i (i=1,2,…m) называются свободными членами, x_i (i=1,2,…n) называются неизвестными.

Систему линейных уравнений (1) можно записать в виде

где A матрица порядка m×n , x — вектор порядка n (x∈Rⁿ), b — вектор порядка m (b∈R^m).

Решением системы (2) называется выбор такого вектора x’, что выполнено равенство

Ax’≡b.

Если система линейных уравнений имеет хотя бы одно решение, то СЛУ называется совместным.

Если СЛУ не имеет решения, то СЛУ называется несовместным.

Если СЛУ имеет единственное решение, то СЛУ называется определенным.

Если СЛУ имеет более одного решения, то СЛУ называется неопределенным.

Система линейных уравнений (2) называется неоднородной cистемой линейных уравнений, если b≠0.

Система линейных уравнений (2) называется однородной cистемой линейных уравнений, если b=0.

Нахождение общего решения системы линейных уравнений

Общее решение системы линейных уравнений (1)((или (2))− это множество всех решений этой системы.

Пусть A m×n — матрица rankA=r. В общем случае можем предположить что r<n, r<m. Тогда r столбцов матрицы A линейно независимы. Для удобства записи предположим, что это первые r столбцы матрицы A. Запишем систему (2) в блочном виде:

(3)

где M — r×r — матрица, Q -m-r×r — матрица, F — n-r×r — матрица, P — m-r×n-r — матрица, .

Применяя метод исключения Гаусса для системы (3), получим:

(4)

где M₁ верхняя треугольная матрица, 0 — нулевые матрицы соответствующих порядков. Далее, применяя обратный ход исключения Гаусса, и, далее, разделив элементы каждой строки на ведущий элемент этой строки (если ведущий элемент существует) получим:

(5)

где E — единичная матрица порядка r×r.

Запишем (5) в виде системы линейных уравнений:

(6)

где

Решим систему линейных уравнений (6). Для этого перезапишем в следующем виде:

(7)

Из второго уравнения системы (7) следует, что для совместности системы (6) и, следовательно, (2) (или (1)) должно выполняться условие b₂»≡ 0. Если система совместна, то решаем первое уравнение системы (7) относительно вектора x_r:

(8)

Таким образом первые r координаты вектора x выражены через остальные координаты . — свободные координаты, т.е. могут принимать любые значения.

Найдем, далее, множество всех векторов x, удовлетворяющих уравнению (6) и, следовательно, (2)( или (1)).

Рассмотрим множество всех векторов х, удовлетворяющих условию

(9)

где λ — произвольный вектор-столбец длины n-r.

Подставляя (9) в (6) получим:

Следовательно (9) является решением системы (6) и, следовательно, (2)(или (1)). Отметим что вектор является частным решением неоднородной системы линейных уравнений Ax=b, а является общим решением однородной системы линейных уравнений Ax=0;

Нахождение общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы

Обозначим через R(A) пространство столбцов матрицы A, т.е.

R(A)={z: z=Ax, ∀x∈Rⁿ}.

1. Пусть A n×n матрица и rank(A)=n. Тогда существует обратная к A матрица A^-1, и следовательно единственное решение СЛУ (2) примет вид:

x’=A⁻¹b.

(10)

Действительно, подставляя (3) в (2) имеем:

Ax’=AA⁻¹b=Eb=b,

где E − единичная матрица.

2. Пусть A m×n − матрица, rank(A)=r.

Вычислим следующий вектор:

x’=A⁺b.

(11)

где A⁺ — псевдообратная к A матрица.

Подставляя (11) в (2), имеем:

AA⁺b=b.

(12)

Из равенства (12) следует, что для того, чтобы система линейных уравнений (2) имела решение, должно выполняться условие

b∈R(A).

Если СЛУ совместна, т.е. если AA⁺b=b, то x’=A⁺b является решением СЛУ (2).

Общее решение системы линейных уравнений является суммой частного решения неоднородной системы линейных уравнений и множества всех решений соответствующей однородной системы линейных уравнений.

Общее решение системы линейных уравнений (2) имеет следующий вид:

x=x*+(E−A⁺A)z, ∀z∈R^n.

(13)

где x^* — один из решений неоднородной системы (2) (например (4)), (E−A⁺A) образует ядро (нуль пространство) матрицы A.

Сделаем скелетное разложение матрицы (E−A⁺A):

E−A⁺A=Q·S

где Q n×n−r — матрица rank(Q)=n−r, S n−r×n-матрица rank(S)=n−r.

Тогда (13) можно записать в следующем виде:

x=x*+Q·k, ∀k∈R^n-r.

где k=Sz.

Итак, процедура нахождения общего решения системы линейных уравнений с помощью псевдообратной матрицы можно представить в следующем виде:

Вычисляем псевдообратную матрицу A⁺.
Вычисляем частное решение неоднородной системы линейных уравнений (2): x*=A⁺b.
Проверяем совместность системы. Для этого вычисляем AA⁺b. Если AA⁺b≠b, то система несовместна. В противном случае продолжаем процедуру.
Высисляем E−A⁺A.
Делаем скелетное разложение E−A⁺A=Q·S.
Строим решение

x=x*+Q·k, ∀k∈R^n-r.

Решение системы линейных уравнений онлайн

Онлайн калькулятор позволяет найти обшее решение системы линейных уравнений с подробными объяснениями.

Источник

Структура общего решения системы уравнений

Однородная система линейных уравнений

$begin{cases}a_{11}x_1+a_{12}x_2+ldots+a_{1n}x_n=0,\ a_{21}x_1+a_{22}x_2+ldots+ a_{2n}x_n=0,\ cdotscdotscdotscdotscdots\ a_{m1}x_1+a_{m2}x_2+ldots+a_{mn}x_n=0,end{cases}$ или Ax=o

всегда совместна, так как имеет тривиальное решение x_1=x_2=ldots=x_n=0~(x=o) . Если ранг матрицы системы равен количеству неизвестных (operatorname{rg}A=n) , то тривиальное решение единственное. Предположим, что r=operatorname{rg}A<n . Тогда однородная система имеет бесконечно много решений. Заметим, что расширенная матрица (Amid o) однородной системы при элементарных преобразованиях строк приводится к упрощенному виду (A'mid o) , т.е. b'_1=b'_2=ldots=b'_r=0 . Поэтому из (5.11) получаем общее решение однородной системы уравнений:

$begin{cases}x_1=-a'_{1,r+1}x_{r+1}-ldots-a'_{1n}x_n,\phantom{ x_1=-a'_{1,r+1}}vdots\ x_r=-a'_{r,r+1}x_{r+1}-ldots-a'_{rn}x_n.end{cases}$

(5.13)

Получим другую форму записи решений однородной системы, которая раскрывает структуру множества решений. Для этого подчеркнем следующие свойства.

Свойства решений однородной системы уравнений

1. Если столбцы varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_k — решения однородной системы уравнений, то любая их линейная комбинация alpha_1varphi_1+alpha_2varphi_2+ ldots+alpha_kvarphi_k также является решением однородной системы.

В самом деле, из равенств Avarphi_1=o,~ Avarphi_2=o,~ldots,~ Avarphi_k=o следует, что

$Acdot! begin{pmatrix}alpha_1cdotvarphi_1+ alpha_2cdotvarphi_2+ ldots+alpha_kcdotvarphi_k end{pmatrix}= alpha_1cdot Acdotvarphi_1+ alpha_2cdot Acdotvarphi_2+ ldots+alpha_kcdot Acdotvarphi_k=o,$

т.е. линейная комбинация решений является решением однородной системы.

2. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет (n-r) линейно независимых решений.

Действительно, по формулам (5.13) общего решения однородной системы найдем (n-r) частных решений $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ , придавая свободным переменным следующие стандартные наборы значений (всякий раз полагая, что одна из свободных переменных равна единице, а остальные — равны нулю):

$begin{aligned} mathsf{1)}&quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~ldots,~x_n=0colon~~ varphi_1= begin{pmatrix}-a'_{1,r+1}&cdots&-a'_{r,r+1}&1&0&cdots&0end{pmatrix}^T;\[5pt] mathsf{2)}&quad x_{r+1}=0,~x_{r+2}=1,~ldots,~x_n=0colon~~ varphi_2= begin{pmatrix}-a'_{1,r+2}&cdots&-a'_{r,r+2}&0&1&cdots&0end{pmatrix}^T;\[5pt] mathsf{n-r)}&quad x_{r+1}=1,~x_{r+2}=0,~ldots,~x_n=1colon~~ varphi_{n-r}= begin{pmatrix}-a'_{1n}&cdots&-a'_{rn}&0&0&cdots&1end{pmatrix}^T. end{aligned}$

Получим (n-r) решений

$varphi_1= begin{pmatrix}-a'_{1,r+1}\vdots\-a'_{r,r+1}\1\0\vdots\0end{pmatrix}!,quad varphi_2= begin{pmatrix}-a'_{1,r+2}\vdots\-a'_{r,r+2}\0\1\vdots\0end{pmatrix}!,quad ldots,quad varphi_{n-r}= begin{pmatrix}-a'_{1n}\vdots\-a'_{rn}\0\0\vdots\1end{pmatrix}!.$

которые линейно независимы. В самом деле, если из этих столбцов составить матрицу, то последние (n-r) ее строк образуют единичную матрицу. Следовательно, минор, расположенный в последних (n-r) строках не равен нулю (он равен единице), т.е. является базисным. Поэтому ранг матрицы будет равен (n-r) . Значит, все столбцы этой матрицы линейно независимы (см. теорему 3.4).

Любая совокупность (n-r) линейно независимых решений $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ однородной системы называется фундаментальной системой (совокупностью) решений.

Заметим, что фундаментальная система решений определяется неоднозначно. Однородная система может иметь разные фундаментальные системы решений, состоящие из одного и того же количества (n-r) линейно независимых решений.

Теорема 5.3 об общем решении однородной системы. Если $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ — фундаментальная система решений однородной системы уравнений (5.4), то столбец

$x=C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2+ldots+C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}$

(5.14)

при любых значениях произвольных постоянных $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ также является решением системы (5.4), и, наоборот, для каждого решения х этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных $C_{1},C_{2},ldots,C_{n-r}$ , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.14).

Прямое утверждение теоремы следует из свойства 1 решений однородной системы. Докажем обратное утверждение о том, что любое решение можно представить в виде (5.14). Для этого составим матрицу , приписав к столбцам фундаментальной системы решений столбец

$H=begin{pmatrix}varphi_1&cdots&varphi_{n-r}&xend{pmatrix}= begin{pmatrix}varphi_{11}&cdots&varphi_{1,n-r}&x_1\ vdots&ddots&vdots&vdots\ varphi_{r1}&cdots&varphi_{r,n-r}&x_r\ varphi_{r+11}&cdots&varphi_{r+1,n-r}&x_{r+1}\ vdots&ddots&vdots&vdots\ varphi_{n1}&cdots&varphi_{n,n-r}&x_n end{pmatrix}!.$

Найдем ранг этой матрицы. Так как первые (n-r) столбцов линейно независимы, то operatorname{rg}Hgeqslant n-r . Так как каждый из столбцов матрицы является решением системы A'x=o , то по первой формуле из (5.13) получаем

$begin{aligned} varphi_{11}&= -a'_{1,r+1}varphi_{r+11}-ldots- a'_{1n}varphi_{n1},\ cdots & cdotscdotscdotscdots\[2pt] varphi_{1,n-r}&= -a'_{1,r+1}varphi_{r+1,n-r}-ldots- a'_{1n}varphi_{n,n-r},\[2pt] x_1&= -a'_{1,r+1}x_{r+1}-ldots- a'_{1n}x_n. end{aligned}$

Следовательно, первая строка матрицы является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы.

По второй формуле из (5.13) получим, что вторая строка матрицы является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы, и т.д. По r-й формуле из (5.13) получим, что r-я строка матрицы является линейной комбинацией последних (n-r) строк этой матрицы. Значит, первые строк матрицы можно вычеркнуть и при этом ранг матрицы не изменится. Следовательно, operatorname{rg}Hleqslant n-r , так как после вычеркивания в матрице будет всего (n-r) строк. Таким образом, operatorname{rg}H=n-r . Значит, есть базисный минор матрицы , который расположен в первых (n-r) ее столбцах, а столбец не входит в этот базисный минор. Тогда по теореме о базисном миноре найдутся такие числа $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ , что

$x=C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2+ldots+C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}.$

Итак, обратное утверждение доказано.

Алгоритм решения однородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов алгоритма Гаусса. При этом не требуется выяснять совместность системы, так как любая однородная система имеет решение (пункт 3 метода Гаусса следует пропустить). Получить формулы (5.11) общего решения, которые для однородной системы будут иметь вид (5.13).

Если ранг матрицы системы равен числу неизвестных (r=operatorname{rg}A=n) , то система имеет единственное тривиальное решение x-o и процесс решения заканчивается.

Если ранг матрицы системы меньше числа неизвестных (operatorname{rg}A<n) , то система имеет бесконечно много решений. Структуру множества решений находим в следующих пунктах алгоритма.

6. Найти фундаментальную систему $varphi_1, varphi_2, ldots,varphi_{n-r}$ решений однородной системы. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все свободные переменные равны нулю, кроме одной, равной единице (см. свойство 2 решений однородной системы).

7. Записать общее решение однородной системы по формуле (5.14).

Замечания 5.3

1. В пункте 6 алгоритма вместо стандартного набора значений свободных переменных можно использовать и другие наборы значений, лишь бы они обеспечивали линейную независимость получаемых частных решений однородной системы.

2. Матрица $Phi=begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2&cdots&varphi_{n-r} end{pmatrix}$ столбцы которой образуют фундаментальную систему решений однородной системы, называется фундаментальной. Используя фундаментальную матрицу, общее решение (5.14) однородной системы можно записать в виде

x=Phicdot c , где $c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r} end{pmatrix}^T$ — столбец произвольных постоянных.

3. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) однородной системы можно представить в виде блочной матрицы

$begin{pmatrix}A'mid b'end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&cdots&0&a'_{1,r+1}&cdots&a'_{1n}!!&vline!!&0\ 0&1&cdots&0&a'_{2,r+1}&cdots&a'_{2n}!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&1&a'_{r,r+1}&cdots&a'_{rn}!!&vline!!&0\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix} E_r!!&vline!!&A'_{rtimes(n-r)}!!&vline!!&o\hline O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.$

Тогда блочная матрица $Phi=begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}$ размеров ntimes(n-r) является фундаментальной. В этом можно убедиться, используя стандартные наборы значений свободных переменных. Применение блочных матриц может служить вторым способом нахождения фундаментальной системы решений.

Пример 5.4. Найти фундаментальную систему решений и общее решение однородной системы

$begin{cases}x_1+x_2+2x_3+x_4=0,\[2pt] 2x_1+3x_2+x_4=0,\[2pt] 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=0. end{cases}$

Решение. 1. Составляем расширенную матрицу системы

$begin{pmatrix}Amid oend{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&1&2&1!!&vline!!&0\ 2&3&0&1!!&vline!!&0\ 3&4&2&2!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.$

2-4. Используя элементарные преобразования над строками матрицы (Amid o) , приводим ее к ступенчатому, а затем и к упрощенному виду (см. решение примера 5.3):

$begin{pmatrix}A'mid oend{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&6&2!!&vline!!&0\ 0&1&-4&-1!!&vline!!&0\ 0&0&0&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}!.$

Пункт 3 метода Гаусса пропускаем.

5. Переменные x_1,,x_2 — базисные, а x_3,,x_4 — свободные. Записываем формулу (5.13) общего решения однородной системы

$begin{cases}x_1=-6x_3-2x_4,\x_2=4x_3+x_4.end{cases}$

6. Находим фундаментальную систему решений. Так как n=4 и r=operatorname{rg}A=2 , надо подобрать n-r=2 линейно независимых решения. Подставляем в систему стандартные наборы значений свободных переменных:

1) если x_3=1,~x_4=0 , то x_1=-6,~x_2=4 ;

2) если x_3=0,~x_4=1 , то x_1=-2,~x_2=1 .

В результате получили фундаментальную систему решений

$varphi_1=begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}!,qquad varphi_2=begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.$

7. Записываем общее решение однородной системы по формуле (5.14):

$x=C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}+ C_2cdot!begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.$

Заметим, что фундаментальную систему решений можно получить, взяв иные наборы значений свободных переменных. Например, x_3=1,~x_4=2 и x_3=2,~x_4=3 . Тогда получим другую фундаментальную систему решений

$varphi_1=begin{pmatrix}-10\6\1\2end{pmatrix}!,quad varphi_2=begin{pmatrix}-18\11\2\3end{pmatrix}$ и общее решение системы $x=C_1cdot! begin{pmatrix}-10\6\1\2end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-18\11\2\3end{pmatrix}!.$

Несмотря на различия, обе формулы задают одно и то же множество решений.

Структура общего решения неоднородной системы уравнений

Ранее была выведена формула (5.11) общего решения системы линейных уравнений. Получим другую форму записи, отражающую структуру множества решений.

Рассмотрим неоднородную систему Ax=b и соответствующую ей однородную систему Ax=o . Между решениями этих систем имеются связи, выражающиеся следующими свойствами.

Свойства решений неоднородной системы уравнений

1. Разность двух решений и неоднородной системы есть решение однородной системы.

Действительно, из равенств Ax=b и Ay=b следует, что A(x-y)=Ax-Ay=b-b=o .

2. Пусть x^H — решение неоднородной системы. Тогда любое решение неоднородной системы можно представить в виде

x=x^H+x^O , где x^O — решение однородной системы.

В самом деле, для любого решения неоднородной системы разность x-x^H по свойству 1 является решением однородной системы, т.е. x^O=x-x^H — решение однородной системы.

Теорема 5.4 о структуре общего решения неоднородной системы.

Пусть x^H — решение неоднородной системы, а $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ — фундаментальная система решений соответствующей однородной системы уравнений. Тогда столбец

$x=x^H+C_1cdotvarphi_1+ C_2cdotvarphi_2+ldots+ C_{n-r}cdotvarphi_{n-r}$

(5.15)

при любых значениях [i]произвольных постоянных $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ является решением неоднородной системы, и, наоборот, для каждого решения этой системы найдутся такие значения произвольных постоянных $C_1,C_2,ldots,C_{n-r}$ , при которых это решение удовлетворяет равенству (5.15).[/i]

Говорят, что общее решение неоднородной системы есть сумма частного решения неоднородной системы и общего решения соответствующей однородной системы.

Доказательство теоремы вытекает из свойств 1, 2 и теоремы 5.3.

Алгоритм решения неоднородной системы уравнений

1-5. Выполнить первые 5 пунктов метода Гаусса решения системы уравнений и получить формулу общего решения неоднородной системы вида (5.11).

6. Найти частное решение x^H неоднородной системы, положив в (5.11) все свободные переменные равными нулю.

7. Записав формулы (5.13) общего решения соответствующей однородной системы, составить фундаментальную систему $varphi_1,varphi_2,ldots,varphi_{n-r}$ ее решений. Для этого подставить в (5.13) последовательно (n-r) стандартных наборов значений свободных переменных, в которых все переменные равны нулю, за исключением одной, равной единице.

8. Записать общее решение неоднородной системы по формуле (5.15).

Замечания 5.4

1. Используя фундаментальную матрицу Phi однородной системы Ax=o , решение неоднородной системы Ax=b можно представить в виде

x=x^H+Phicdot c,

где x^H — частное решение неоднородной системы, а $c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r}end{pmatrix}^T$ — столбец произвольных постоянных.

2. Если базисный минор матрицы расположен в левом верхнем углу (в первых строках и первых столбцах), то упрощенный вид расширенной матрицы (5.9) неоднородной системы можно представить в виде блочной матрицы

$begin{pmatrix}A'mid b'end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0&cdots&0&a'_{1,r+1}&cdots&a'_{1n}!!&vline!!&b'_1\ 0&1&cdots&0&a'_{2,r+1}&cdots&a'_{2n}!!&vline!!&b'_2\ vdots&vdots&ddots&vdots&vdots&ddots&vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&1&a'_{r,r+1}&cdots&a'_{rn}!!&vline!!&b'_r\ 0&0&cdots& 0&0&cdots&0!!&vline!!&0\ vdots&vdots&ddots&vdots& vdots&ddots& vdots!!&vline!!&vdots\ 0&0&cdots&0&0&cdots&0!!&vline!!&0 end{pmatrix}= begin{pmatrix}E_r!!& vline!!&A'_{rtimes(n-r)}!!&vline!!&b'_{rtimes1}\hline O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.$

Тогда блочная матрица $Phi=begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}$ оказывается фундаментальной (см. п.3 замечаний 5.3), а столбец $x^H=begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix}$ является частным решением неоднородной системы (в этом можно убедиться, подставляя в (5.11) нулевой набор свободных переменных). Используя блочные матрицы, общее решение (5 15) неоднородной системы можно представить в виде

$x=x^H+Phicdot c=begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix}+begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}!cdot c,$

(5.16)

где $c=begin{pmatrix}C_1&cdots&C_{n-r}end{pmatrix}^T$ — столбец произвольных постоянных. Полученную формулу можно считать вторым способом решения неоднородной системы.

Пример 5.5. Найти структуру (5.15) общего решения неоднородной системы

$begin{cases}x_1+ x_2+2x_3+x_4=1,\ 2x_1+3x_2+x_4=0,\ 3x_1+4x_2+2x_3+2x_4=1.end{cases}$

Решение. 1-5. Первые 5 пунктов метода Гаусса выполнены при решении примера 5.3, где получены формулы общего решения неоднородной системы:

$begin{cases}x_1=3-6x_3-2x_4,\x_2=-2+4x_3+x_4.end{cases}$

Переменные x_1,,x_2 — базисные, а x_3,,x_4 — свободные.

6. Полагая x_3=0,~x_4=0 , получаем частное решение неоднородной системы $x^H=begin{pmatrix}3&-2&0&0end{pmatrix}^T$ .

7. Находим фундаментальную систему решений однородной системы (см. пример 5.4):

$varphi_1=begin{pmatrix}-6&4&1&0end{pmatrix}^T,qquad varphi_2=begin{pmatrix}-2&1&0&1end{pmatrix}^T.$

8. Записываем по формуле (5.15) общее решение неоднородной системы

$x=x^H+C_1cdotvarphi_1+C_2cdotvarphi_2= begin{pmatrix}3\-2\0\0end{pmatrix}+ C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.$

Искомая структура множества решений найдена.

Получим формулу общего решения вторым способом, используя п.2 замечаний 5.4. При решении примера 5.3 расширенная матрица системы была приведена к упрощенному виду. Разбиваем ее на блоки:

$begin{pmatrix}Amid bend{pmatrix}= begin{pmatrix}1&0&6&2!!&vline!!&3\ 0&1&-4&-1!!&vline!!&-2\ 0&0&0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}= begin{pmatrix} 1&0!!& vline!!&6&2!!&vline!!&3\ 0&1!!&vline!!&-4&-1!!&vline!!&-2\hline 0&0!!&vline!!& 0&0!!&vline!!&0end{pmatrix}= begin{pmatrix} E_2!!&vline!!&A'_{2times2}!!& vline!!& b'_{2times1}\ O!!&vline!!&O!!&vline!!&o end{pmatrix}!.$

Записываем частное решение неоднородной системы

$x^H= begin{pmatrix}dfrac{b'_{rtimes1}}{o_{(n-r)times1}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}dfrac{b'_{2times1}}{o_{2times1}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}3\-2\0\0 end{pmatrix}$

и составляем фундаментальную матрицу:

$Phi= begin{pmatrix}dfrac{-A'_{rtimes(n-r)}}{E_{n-r}}end{pmatrix}= begin{pmatrix}dfrac{-A'_{2times2}}{E_2}end{pmatrix}= begin{pmatrix}-6&-2\4&1\1&0\ 0&1end{pmatrix}= begin{pmatrix}varphi_1&varphi_2end{pmatrix}!.$

По формуле (5.16) получаем общее решение неоднородной системы, которое преобразуем к виду (5.15):

$x=x^H+Phicdot! begin{pmatrix}C_1\C_2end{pmatrix}= x^H+C_1cdotvarphi_1+ C_2cdotvarphi_2= begin{pmatrix}3\-2\0\0end{pmatrix}+ C_1cdot! begin{pmatrix}-6\4\1\0 end{pmatrix}+ C_2cdot! begin{pmatrix}-2\1\0\1end{pmatrix}!.$

которое совпадает с ранее полученным.

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник