Как найти общем правильной треугольной призмы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

На чтение 4 мин Просмотров 65.9к. Опубликовано 13 февраля, 2019

Здесь вы найдёте: Объем правильной треугольной призмы понятие, Объем призмы треугольной формула нахождения, Площадь треугольной призмы

Треугольная призма — это трехмерное тело, образованное соединением прямоугольников и треугольников. В этом уроке вы узнаете, как найти размер внутри (объем) и снаружи (площадь поверхности) треугольной призмы.

Содержание

Призма треугольная — определение
Элементы треугольной призмы
Виды треугольных призм
Прямая треугольная призма
Наклонная треугольная призма
Основные формулы для расчета треугольной призмы
Объем треугольной призмы
Площадь боковой поверхности призмы
Площадь полной поверхности призмы
Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.
Пример призмы
Задачи на расчет треугольной призмы

Призма треугольная — определение

Треугольная призма — это пятигранник, образованный двумя параллельными плоскостями, в которых расположены два треугольника, образующих две грани призмы, и оставшиеся три грани — параллелограммы, образованные со-сторонами треугольников.

Элементы треугольной призмы

Треугольники ABC и A₁B₁C₁ являются основаниями призмы.

Четырехугольники A₁B₁BA, B₁BCC₁ и A₁C₁CA являются боковыми гранями призмы.

Стороны граней являются ребрами призмы (A₁B₁, A₁C₁, C₁B₁, AA₁, CC₁, BB₁, AB, BC, AC), всего у треугольной призмы 9 граней.

Высотой призмы называется отрезок перпендикуляра, который соединяет две грани призмы (на рисунке это h).

Диагональю призмы называется отрезок, который имеет концы в двух вершинах призмы, не принадлежащих одной грани. У треугольной призмы такой диагонали провести нельзя.

Площадь основания — это площадь треугольной грани призмы.

Площадь боковой поверхности призмы — это сумма площадей четырехугольных граней призмы.

Виды треугольных призм

Треугольная призма бывает двух видов: прямая и наклонная.

У прямой призмы боковые грани прямоугольники, а у наклонной боковые грани — параллелограммы (см. рис.)

Прямая треугольная призма

Призма, боковые ребра которой перпендикулярны плоскостям оснований, называется прямой.

Наклонная треугольная призма

Призма, боковые ребра которой являются наклонными к плоскостям оснований, называется наклонной.

Основные формулы для расчета треугольной призмы

Объем треугольной призмы

Чтобы найти объем треугольной призмы, надо площадь ее основания умножить на высоту призмы.

Объем призмы = площадь основания х высота

или

V=S_осн^. h

Площадь боковой поверхности призмы

Чтобы найти площадь боковой поверхности треугольной призмы, надо периметр ее основания умножить на высоту.

Площадь боковой поверхности треугольной призмы = периметр основания х высота

или

S_бок=P_осн^.h

Площадь полной поверхности призмы

Чтобы найти площадь полной поверхности призмы, надо сложить ее площади оснований и площадь боковой поверхности.

так как S_бок=P_осн^.h, то получим:

S_{полн.пов.}=P_осн^.h+2S_осн

Правильная призма — прямая призма, основанием которой является правильный многоугольник.

Свойства призмы:

Верхнее и нижнее основания призмы – это равные многоугольники.
Боковые грани призмы имеют вид параллелограмма.
Боковые ребра призмы параллельные и равны.

Совет: при расчете треугольной призмы вы должны обратить внимание на используемые единицы. Например, если площадь основания указана в см², то высота должна быть выражена в сантиметрах, а объем — в см³ . Если площадь основания в мм², то высота должна быть выражена в мм, а объем в мм³ и т. д.

Пример призмы

В этом примере:
— ABC и DEF составляют треугольные основания призмы
— ABED, BCFE и ACFD являются прямоугольными боковыми гранями
— Боковые края DA, EB и FC соответствуют высоте призмы.
— Точки A, B, C, D, E, F являются вершинами призмы.

Задачи на расчет треугольной призмы

Задача 1. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8, боковое ребро равно 5. Найдите объем призмы.
Решение: Объем прямой призмы равен V = Sh, где S — площадь основания, а h — боковое ребро. Площадь основания в данном случае это площадь прямоугольного треугольника (его площадь равна половине площади прямоугольника со сторонами 6 и 8). Таким образом, объём равен:

V = 1/2 · 6 · 8 · 5 = 120.

Задача 2.

Через среднюю линию основания треугольной призмы проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Объем отсеченной треугольной призмы равен 5. Найдите объем исходной призмы.

Решение:

Объём призмы равен произведению площади основания на высоту: V = S_осн ·h.

Треугольник, лежащий в основании исходной призмы подобен треугольнику, лежащему в основании отсечённой призмы. Коэффициент подобия равен 2, так как сечение проведено через среднюю линию (линейные размеры большего треугольника в два раза больше линейных размеров меньшего). Известно, что площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, то есть S₂ = S₁k² = S₁2² = 4S₁.

Площадь основания всей призмы больше площади основания отсечённой призмы в 4 раза. Высоты обеих призм одинаковы, поэтому объем всей призмы в 4 раза больше объема отсечённой призмы.

Таким образом, искомый объём равен 20.

Источник

Объем правильной треугольной призмы

У правильной треугольной призмы в основании лежит правильный треугольник.

Объем правильной треугольной призмы

Объем правильной треугольной призмы равен произведению площади основания, т.е. площади правильного треугольника на высоту призмы.

[ V = Sh = frac{sqrt{3}}{4}a^2 h ]

(a — сторона равностороннего треугольника лежащего в основании призмы, h — высота призмы)

Вычислить, найти объем правильной треугольной призмы

Объем правильной треугольной призмы	стр. 359

Источник

Download Article

It’s easy to assume that you’d calculate the volume of a triangular prism the same way you would for a pyramid. However, a triangular prism is a three-sided polyhedron with two parallel triangular bases and three rectangular faces. To calculate the volume, all you have to do is find the area of one of the triangular bases and multiply it by the height of the prism.

1
Find the height and width of a triangle base. Look at the triangle and write down the base width and height. For example, your triangle might have a base of 8 cm and a height of 9 cm.^[1]
- Keep in mind that you’re identifying the height of the triangle, not the entire prism.
- You can use either of the triangular bases, since they should have the same dimensions.
2
Plug the numbers into the formula to find the triangular area. Once you know the width and height of the triangle, put the numbers into the formula for calculating triangular area:^[2]
- Area = 1/2 x width x height. You might also see it written as $A={frac {1}{2}}bh$
Advertisement
3
Multiply 1/2 by width by height to get the area of the triangle. In order to find the area of the triangular base for the prism, multiply the width by the height by 1/2. Remember to put the answer in square units because you’re calculating area.^[3]
- For example, if the base is 8 and the height is 9, your formula will look like ${displaystyle A={frac {1}{2}}*8*9}$ . The area of the triangle is 36 cm ².

1
2
Identify the height of the prism and put it in the formula. Now you need to find the height of the triangular prism, which is the length of 1 of its sides. For example, the prism may be 16 cm high. Place this number in the place of the formula.^[5]
- For example, your formula should now look like .
3
Multiply the triangular area by the height of the prism to find the volume. Since you now have all the parts of the equation, multiply the area by the height. The result will be the volume of the triangular prism.^[6]
- So, if , the answer is 576 cm ³.

Triangular Prism Volume Calculator, Practice Problems, and Answers

Add New Question

Question

How do I calculate the area of a triangular prism?

To find the surface area of a triangular prism, you would find the area of all the faces, then add them together.
Question

How can I find the volume of a rectangular prism?

To find the volume of a rectangular prism, multiply the prism’s width, height, and length. V = w*h*l
Question

How do I find the volume of a square pyramid?

V = (1/3)(s²)(h), where s is the length of a side of the base, and h is the height.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Ensure that the units of measurement are the same for all parts of the triangular prism before you begin the calculation. For example, if 1 part of the prism is in millimeters and the rest is in centimeters, convert the millimeters to centimeters first.

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To calculate the volume of a triangular prism, first you need to find the area of one of the triangular bases by multiplying ½ by the base of the triangle and by the height of the triangle. For example, if the base is 8 and the height is 9, you would get ½ x 8 x 9 = 36. Therefore, the area is 36. Next, plug the area into the formula for finding the volume of a triangular prism, which is V = b x h, or volume equals the area of the base multiplied by the height of the prism. Now, plug the height of the prism into the formula and solve. As an example, if the area of the triangular base is 36 and the height of the prism is 16, you would get 36 x 16 = 576. Therefore, the volume of the triangular prism is 576. Write your answer in cubic units. If you want to learn how to calculate the height of a regular triangle, keep reading!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 1,166,693 times.

Did this article help you?

Источник

Определение призмы

Призма — многогранное тело, основаниями которого являются два равных многоугольника, лежащие в параллельных плоскостях. Остальными гранями являются параллелограммы.

Такие параллелограммы в призме называются боковыми.

Онлайн-калькулятор объема призмы

Призмы разделяют на некоторые типы:

Треугольная призма — у нее основания — треугольники;
Четырехугольная призма — у нее основания — четырехугольники;
Пентапризма — пятиугольная призма.

Деление, в общем, продолжается до бесконечности.

Виды призм

Прямая — у такой призмы боковые грани образуют с основаниями прямой угол.
Правильная — ее основанием является какой-либо правильный многоугольник.
Усеченной называется призма, у которой основания не параллельны друг другу.

Формула объема призмы

Объем прямой призмы находится так же, как и объем других многогранников — путем умножения площади основания на высоту.

Объем призмы

V=Sосн⋅hV=S_{text{осн}}cdot h

SоснS_{text{осн}} — площадь основания призмы;
hh — высота призмы.

Разберем задачу на нахождение объема прямой призмы.

Задача

Найти объем призмы, если ее основанием является равнобедренный треугольник с равными сторонами по 5 см5text{ см} и основанием в 6 см6text{ см}. Высота призмы равна 10 см10text{ см}.

Решение

a=5a=5
b=6b=6
h=10h=10

Вычисляем площадь основания. Нужно провести высоту в данном равнобедренном треугольнике. Тогда, по теореме Пифагора, получаем:

a2=l2+(b2)2a^2=l^2+Big(frac{b}{2}Big)^2,

где ll — высота равнобедренного треугольника.

Отсюда:

l2=a2−(b2)2l^2=a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2

l=a2−(b2)2l=sqrt{a^2-Big(frac{b}{2}Big)^2}

l=25−9l=sqrt{25-9}

l=4l=4

Площадь равнобедренного треугольника SS это половина от произведения его основания на высоту:

S=12⋅b⋅l=12⋅6⋅4=12S=frac{1}{2}cdot bcdot l=frac{1}{2}cdot 6cdot 4=12

В нашем случае этот треугольник является основанием призмы, поэтому:

S=SоснS=S_{text{осн}}

Тогда объем призмы найдется по формуле:

V=Sосн⋅h=12⋅10=120 см3V=S_{text{осн}}cdot h=12cdot 10=120text{ см}^3

Ответ

120 см3.120text{ см}^3.

На нашем сайте вы можете оформить решение задач на заказ по самым низким ценам!

Тест по теме «Объем призмы»

Источник

Загрузить PDF

Призма — объемная геометрическая фигура с двумя равными основаниями и плоскими гранями. Призму называют по форме ее основания; так призмы с треугольным основанием называют «треугольной призмой». Чтобы найти объем призмы, нужно просто вычислить площадь ее основания и умножить его на ее высоту; тем не менее вычисление площади основания может быть нетривиальной задачей. Вот как можно вычислить объем различных призм.

1

Запишите формулу для нахождения объема треугольной призмы. Формула проста: V = площадь основания призмы х высота призмы. Вы можете найти площадь основания по формуле для нахождения площади треугольника — 1/2 умножить на сторону и умножить на высоту.
2
Найдите площадь основания. Чтобы вычислить объем треугольной призмы, необходимо сначала найти площадь треугольника, лежащего в основании. Найдите площадь основания призмы (в данном случае треугольника) путем умножения 1/2 на сторону треугольника и на его высоту.^[1]
- Например, если высота треугольника равна 5 см, а его сторона равна 4 см, то площадь основания равна 1/2 х 5 см х 4 см = 10 см².
3

Найдите высоту. Допустим, высота треугольной призмы равна 7 см.
4
Умножьте площадь основания (треугольника) на высоту призмы. После того, как вы умножите площадь на высоту, вы получите объем треугольной призмы.
- Для нашего примера: 10 см² x 7 см = 70 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. При расчете объема следует всегда использовать кубические единицы измерения, так как работа ведется с трехмерными объектами. Окончательный ответ 70 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для нахождения объема куба. Формула проста: V = (длина ребра) ³ Куб представляет собой призму, у которой все ребра равны.^[2]
2
Найдите длину ребра куба. Все ребра равны, поэтому неважно, какое ребро рассматривать.
- Например: длина ребра = 3 см.
3
Возведите длину в куб. Для возведения в куб просто дважды умножьте число на само себя. Например, куб «А» — это «А x А x А». Поскольку все длины ребер куба равны, вам не нужно вычислять площадь основания и умножать его на высоту. Перемножение любых двух ребер куба даст вам площади основания, а любое третье ребро может представлять высоту. Вам не нужно задумываться над перемножением длины, ширины и высоты, так как в кубе этими величинами может быть любое ребро.
- Например: 3 см³ = 3 см * 3 см * 3 см = 27 см³.
4

Запишите ответ в кубических единицах. Не забудьте записать окончательный ответ в кубических единицах. В нашем случае окончательный ответ: 27 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для нахождения объема прямоугольной призмы. Формула: V = длина * ширина * высота Прямоугольная призма — призма с прямоугольным основанием.
2
Найдите длину. Длина прямоугольной призмы — длинная сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: длина = 10 см.
3
Найдите ширину. Ширина прямоугольной призмы — короткая сторона прямоугольника, лежащего в основании призмы.
- Например: ширина = 8 см.
4
Найдите высоту. Высота прямоугольной призмы — любая грань, перперндикулярная основанию (грань, поднимающаяся вверх). Вы можете представить себе высоту прямоугольной призмы как грань, которая простирается вверх от основания до верхнего плоского прямоугольник и делает фигуру трехмерной.
- Например: высота = 5 см.
5
Перемножьте длину, ширину и высоту. Вы можете умножить их в любом порядке и получите тот же результат. С помощью этого метода вы, по сути, вычисляете площадь прямоугольного основания (10 х 8 ), а затем умножаете его на высоту (5). Поэтому для нахождения объема этой призмы можно умножить длины ребер в любом порядке.
- Например: 10 см * 8 см * 5 см = 400 см³.
6

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 400 см³.

Реклама

1

Запишите формулу для вычисления объема трапецеидальной призмы. Формула: V = [1/2 x (основание трапеции₁ + основание трапеции₂) x высота трапеции] x высота призмы. Прежде чем вычислять объем призмы, необходимо использовать первую часть этой формулы, чтобы найти площадь основания призмы (площадь трапеции).^[3]
2
Найдите площадь основания трапецеидальной призмы. Для этого просто подставьте в формулу длину обоих основания и высоту трапеции.
- Например, основание1 = 8 см, основание2 = 6 см, а высота = 10 см.
- 1/2 х ( 6 + 8 ) х 10 = 1/2 х 14 см х 10 см = 70 см².
3

Найдите высоту трапецеидальной призмы. Допустим, высота трапецеидальной призмы составляет 12 см.
4
Умножьте площадь основания на высоту. Чтобы рассчитать объем трапецеидальной призмы, надо просто умножить площадь основания на высоту.
- 70 см² x 12 см = 840 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 840 см³.

Реклама

1
Запишите формулу для нахождения объема пятиугольной призмы. Формула: V = [1/2 x 5 x сторона пятиугольника x апофема] x высота призмы. Можно использовать первую часть формулы для нахождения площади пятиугольника в основании призмы. Это можно представить как нахождение площади пяти треугольников, составляющих правильный пятиугольник. В этом случае сторона пятиугольника равна основанию треугольника, а апофема — высоте треугольника. Умножим эти величины на 1/2 и получим площадь треугольника, а затем умножим результат на 5, так как 5 одинаковых треугольников составляют основу правильной пятиугольной призмы.^[4]
- Больше информации о том, как найти апофему, если она не дана, можно найти здесь.^[5]
2
Найдите площадь пятиугольного основания. Допустим, длина стороны составляет 6 см и длина апофемы равна 7 см. Просто подставьте эти цифры в формулу:
- А = 1/2 х 5 х сторона х апофема.
- А= 1/2 х 5 х 6 см х 7 см = 105 см².
3

Найдите высоту призмы. Допустим, высота призмы равна 10 см.
4
Умножьте площадь пятиугольного основания на высоту призмы. Просто умножьте площадь основания (105 см²) на высоту (10 см) и найдете объем правильной пятиугольной призмы.
- 105 см² x 10 см = 1050 см³.
5

Запишите ответ в кубических единицах. Окончательный ответ: 1050 см³.

Реклама

Советы

Постарайтесь не путать «основание призмы» с «основанием фигуры». Основание призмы — это двухмерная фигура, которая образует основание всей призмы (как правило, ее верхняя и нижняя грань). Но эта двухмерная фигура может иметь свое собственное основание — сторону, на которую опускается перпендикуляр и которая помогает вычислить площадь двухмерной фигуры.

Об этой статье

Эту страницу просматривали 189 465 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник