Как найти общие индексы товарооборота

175

9.1. Справочные материалы

Индекс
(лат. INDEX
– указатель, показатель) – относительная
величина, показывающая, во сколько раз
уровень изучаемого явления в данных
условиях отличается от уровня того же
явления в других условиях. Различие
условий может проявляться во времени,
в пространстве или в сравнении с любым
эталоном (нормативом, планом, прогнозом
и т.д.).

Основным
элементом индексного отношения является
индексируемая
величина,
т.е. значение признака статистической
совокупности, изменение которой является
предметом изучения. Индексируемая
величина содержится в названии индекса,
например, индекс цен, индекс себестоимости,
индекс товарооборота и др.

Приняты следующие
обозначения индексируемой величины:

q	–	количество (объем) какого-либо продукта в натуральном выражении (от латинского слова quantitas);
p	—	цена единицы товара (от латинского слова pretium);
z	–	себестоимость единицы продукции;
t	–	затраты времени на производство единицы продукции (трудоемкость);
w	–	выработка продукции в стоимостном выражении на одного работника или единицу времени;
v	–	выработка продукции в натуральном выражении на одного работника или единицу времени;
Т	–	общие затраты времени (T = tq) или численность работников;
рq	–	общая стоимость произведенной продукции данного вида или общая стоимость проданных товаров данного вида (товарооборот, выручка);
zq	–	затраты на производство продукции;

Схема построения
индексов может быть представлена в виде
следующей классификации (схема 9.1).

Схема 9.1

Классификация
индексов

Индивидуальные
индексы
служат для
характеристики изменения отдельных
элементов сложного явления, обозначаются
буквой “i”.

Индивидуальный
индекс цен

(9.1)

Индивидуальный
индекс физического объема продукции:

.
(9.2)

Индивидуальный индекс товарооборота:

.(9.3)

Взаимосвязь
индексов:
.(9.4)

Знак внизу справа
означает период: 0 – базисный; 1 – отчетный

Особенность сводных (общих)индексов состоит в том, что они выражают
относительное изменение сложных
(разнотоварных) явлений, отдельные части
или элементы которых непосредственно
несоизмеримы. Они отражают изменение
обобщенных величин во всей совокупности
и обозначаются символом“I”.

Агрегатные
индексы
наряду
с индексируемым
признаком
содержат и признак-вес,
позволяющий обобщить (соизмерить)
разнородные элементы совокупности.

Индексируемый
признак при построении агрегатного
индекса меняется: отчетный период
сравнивается с базисным, признак-вес
берется на неизменном фиксированном
уровне либо базисного периода (формула
Ласпейреса), либо отчетного периода
(формула Пааше).

В следующей таблице
представлены основные формулы агрегатных
индексов:

Формулы индексов	Название индексов
Индекс физического объема (количественный)	Индекс цен (качественный)
Формула Ласпейреса (с базисными весами)	(9.5)	(9.8)
Формула Пааше (с отчетными весами)	(9.6)	(9.9)
Индекс Фишера	(9.7)	(9.10)

Сводный индекс
товарооборота рассчитывается по формуле:

.
(9.11)

Мультипликативная модель индексов:

(9.12)

Прирост в абсолютном выражении может
быть представлен в виде разности
числителя и знаменателя соответствующих
индексов.

Прирост продукции в ценах соответствующих
лет:

.
(9.13)

Прирост стоимости продукции в неизменных
ценах:

.
(9.14)

Прирост стоимости продукции вследствие
изменения цен:

.
(9.15)

Пример 9.1.
Рассчитать индивидуальные и общие
индексы физического объема продаж, цен,
товарооборота по нижеследующим данным
о продаже товаров магазином оптовой
торговли:

Товар	Базисный период	Отчетный период
Цена за единицу, руб.	Объем продаж, тыс. шт.	Цена за единицу, руб.	Объем продаж, тыс. шт.
p0	q0	p1	q1
А	986,5	80,316	998,0	31,008
Б	895,0	193,151	899,0	154,525
В	341,6	5,420	343,5	3,306

Решение:
1. Индивидуальные индексы цен исчислим
по каждому товару:

;

В отчетном периоде
по сравнению с базисным цена товара А
возросла в 1,012 раза, т.е. на 1,2%, или на
11,5 руб.; товара Б – в 1,005 раза, на 0,5%, или
на 4 руб.; товара В – в 1,006 раза, на 0,6%, или
на 1,9 руб.

Общий индекс цен
Пааше:

В
отчетном периоде по сравнению с базисным
цена трех товаров возросла в среднем в
1,006 раз, или на 0,6%. В результате роста
цен стоимость товаров, проданных в
отчетном периоде, увеличилась на
1005,7798 тыс. руб. ().

Общий индекс цен
Ласпейреса:

Если
бы объем товаров А, Б и В остался на
уровне базисного периода, то увеличение
цен привело к росту стоимости продаж
на 1948,3588 тыс. руб. ().

Формула Фишера
даст среднее значение из индексов Пааше
и Ласпейреса:

2. Индивидуальные
индексы физического объема продаж:

;

В отчетном периоде
по сравнению с базисным объем продаж
товара А снизился на 61,4%, или на 49,308 тыс.
шт.; товара Б – на 20%, или на 38,626 тыс. шт.;
товара В – на 39%, или на 2,114 тыс. шт.

Общий индекс
физического объема продаж Ласпейреса:

В отчетном периоде
по сравнению с базисным объем продаж
трех товаров снизился в среднем на 33%.
В результате уменьшения количества
проданных товаров стоимость товаров,
проданных в отчетном периоде,

увеличилась
на 83757,1844 тыс. руб.
().

Общий индекс
физического объема продаж Пааше:

Если
при расчете индекса взять цены отчетного
периода, то получится большее сокращение
среднего объема продаж и стоимости
товаров, на 84699,7634 тыс. руб. ().

Среднее значение
общего индекса физического объема по
формуле Фишера:

3. Индивидуальные
индексы товарооборота в фактических
ценах:

;

В отчетном периоде
по сравнению с базисным товарооборот
в фактических ценах по товару А снизился
на 60,9%, или на 48285,75 тыс. руб. Это снижение
обусловлено сокращением объема продаж
на 61,4% при росте цен на 1,2%.

В отчетном периоде
по сравнению с базисным товарооборот
в фактических ценах по товару Б снизился
на 19,6%, или на 33952,17 тыс. руб. Уменьшение
вызвано сокращением объема продаж на
20% при росте цен на 0,5%.

В отчетном периоде
по сравнению с базисным товарооборот
в фактических ценах по товару В снизился
на 38,7%, или на 715,861 тыс. руб. Это снижение
обусловлено сокращением объема продаж
на 39% при росте цен на 0,6%.

Общий индекс
товарооборота в фактических ценах по
трем товарам вместе:

В
отчетном периоде по сравнению с базисным
товарооборот в фактических ценах по
трем товарам снизился на 32,7%, или на
751,4046 тыс. руб. ()
в результате сокращения объема продаж
по трем товарам в среднем на 33% при росте
цен в среднем на 0,6%.

4. Покажем взаимосвязь
индексов:

Взаимосвязь
абсолютных стоимостных показателей:

;

.

Данное равенство
показывает влияние двух факторов на
изменение стоимости проданных товаров:
изменения цен и объема продаж.

— 82751,4046 тыс. руб. =
1005,7798 – 83757,1844;

— 82751,4046 тыс. руб. =
1948,3588 – 84699,7634.

Сводные
индексы в среднеарифметической и
среднегармонической формах

Средний
арифметический индекс физического
объема,
тождественный агрегатному индексу
Ласпейреса, можно выразить:

Тогда

(9.13)

Средний
гармонический индекс цен,
тождественный агрегатному индексу
Пааше, можно выразить:

Тогда

(9.14)

Средний
арифметический индекс цен,
тождественный агрегатному индексу
Ласпейреса, можно выразить:

Тогда

(9.15)

Индексный анализ
изменения взвешенной средней:

индексы переменного
и постоянного состава и структурных
сдвигов

Индекс
переменного состава
представляет собой соотношение средних
величин какого-либо признака в отчетном
и базисном периодах:

(9.16)

Индекс
постоянного (фиксированного) состава
устраняет влияние структурного фактора:

(9.17)

Индекс
структурных сдвигов
характеризует влияние изменения
структуры изучаемой совокупности на
динамику среднего уровня признака:

(9.18)

Индексы переменного,
постоянного состава и структурных
сдвигов увязываются в следующую систему:

(9.19)

Ряды индексов с постоянной и переменной
базой сравнения

(цепные и базисные)

Цепными
индексами
называются индексы, которые имеют
переменную базу сравнения.

Базисные
индексы
– это индексы,
имеющие постоянную базу сравнения.

Схема построения цепных индексов

Исходные
уровни:q₁ q₂ q₃
q₄

Цепные
индексы: .
(9.20)

Схема построения
базисных индексов

Исходные
уровни:q₁ q₂ q₃ q₄

Базисные
индексы: .
(9.21)

Между
цепными и базисными индексами имеется
взаимосвязь, которая заключается в
следующем: произведение
всех цепных индексов равно общему
базисному индексу:

..=

(9.22)

Отсюда
следует: отношение
каждого последующего базисного индекса
к предыдущему базисному дает промежуточный
цепной индекс:

:


=
;:
=.
(9.23)

Взаимосвязь в
сводных (общих) индексах только при
условии постоянства весов (или
соизмерителей).

Возьмем
ряд цепных индексов с постоянными весами
(р₁):

I_q
=
; I_q
=
; I_q
=
.
(9.24)

Если перемножить
эти индексы, то получим общий базисный
индекс:

..=.
(9.25)

Этому требованию
не отвечают индексы с переменными
весами:

I_q
=
; I_q
=
; I_q
=
.
(9.26)

Соседние файлы в папке Практикум по ОТС_1

• #
• #
• #
• #
• #
• #

Индексный
метод — один из самых распространенных методов статистического анализа
экономических явлений. С помощью индексов изучаются народное хозяйство в целом
и его отдельные отрасли, а также деятельность предприятий, объединений, фирм,
хозяйств и др.; выявляется динамика развития социально-экономических явлений,
анализируется выполнение планов или норм; определяется влияние отдельных
факторов на общий результат, вскрываются резервы производства; проводятся
территориальные и международные сопоставления экономических показателей.

Индексом
в статистике называется относительный показатель, характеризующий соотношение
во времени, по сравнению с планом или в пространстве уровней социально-экономических
явлений. Так как индекс — относительный показатель, то он всегда получается при
соотношении двух величии: отчетной (или текущей), т. е. сравниваемой, и
базисной, т. е. той, с уровнем которой сравнивается отчетная величина. Если за
базу сравнения берется уровень явления за какой-то прошлый период времени,
получают динамические индексы; если за базу сравнения берется уровень явления
на другой территории, получают территориальные индексы, а если за базу
сравнения берется какой-либо нормативный уровень, получают индексы выполнения
плана, индексы выполнения норм и т. д.

В
формулах, системах уравнений, экономико-математических моделях текущие данные
помечаются единицей, стоящей чуть ниже буквенного обозначения величины.

Как
и всякая относительная величина, индексы выражаются в виде коэффициентов, если
за основание принимается единица, или в виде процентов, если за основание
принимается сто.

Социально-экономические
явления, изучаемые статистикой, обычно состоят из многих элементов. Так,
валовой выпуск продуктов и услуг включает стоимость конечных товаров и услуг,
созданных всеми общественно организованными видами экономической деятельности и
во всех отраслях экономики. Другими словами, валовой выпуск продуктов и услуг
состоит из многих отдельных видов продуктов и услуг.

Индексы
рассчитываются как для отдельных элементов сложного явления, так и для всего
сложного явления в целом. В первом случае они называются индивидуальными и
обозначаются латинской буквой

, а во второй —
общими и обозначаются

. К индивидуальным
индексам относятся индексы, характеризующие изменение выпуска одного
какого-либо вида продукции (индексы выплавки стали, добычи калийных удобрений,
производства телевизоров и др.), индексы, характеризующие изменение цены
какого-либо товара (велосипедов, цемента, говядины и др.), себестоимости
отдельного изделия и т.д.

К
индексам, исчисленным для всего сложного явления, то есть к общим, относятся
индексы, характеризующие динамику выпуска всей продукции предприятия, отрасли и
др., динамику цен группы товаров, или всех товаров, или набора
продовольственных и непродовольственных товаров и услуг, входящих в «потребительскую
корзинку», динамику себестоимости ряда изделий и т. д.

Общие
индексы используются для сопоставления непосредственно несоизмеримых,
разнородных явлений. Например, с помощью общих индексов можно охарактеризовать
динамику выпуска продукции всей промышленности или динамику объемов всей
выпускаемой продукции на мебельной фабрике, изготавливающей различные виды
продукции: столы, кресла, диваны, шкафы. Однако нельзя просто сложить объемы
продукции различных видов за два периода и отнести эти суммы одну к другой.
Такое суммирование бессмысленно не только из-за различных единиц измерения
(тонны, штуки, метры и др.), но также из-за того, что каждый вид продукции
имеет свое назначение и произведен с разными затратами средств и общественно
необходимого времени.

Чтобы
сделать сопоставимыми несоизмеримые явления (или их элементы), нужно выразить
их общей мерой; стоимостью, трудовыми затратами и т. д. Эта задача решается
построением и расчетом общих индексов. Основной формой общих индексов являются
агрегатные индексы.

Агрегатный
индекс состоит из двух элементов: индексируемых величин, изменение которых
должен отразить индекс, и показателей, которые служат соизмерителями (весами).

Произведение
каждой индексируемой величины на соизмеритель (вес) должно давать определенную
экономическую категорию.

Значение
индексируемой величины всегда изменяется: отчетное значение сопоставляется с
базисным. Конкретное название индекса дается всегда по индексируемой величине.
Например, если индексируется цена, то получают индекс цен, если индексируется физический объем,
получают индекс физического объема и т. д.

Показатель-соизмеритель
(вес) выполняет функцию веса по отношению к индексируемой величине. Значение
соизмерителя (веса) в конкретном индексе принимается одинаковым в числителе и
знаменателе, чтобы исключить влияние соизмерителя на изменение индексируемого
показателя. Веса индексов могут быть выражены в стоимостных, трудовых и других
единицах измерения, а также в виде относительных величин структуры. При
построении агрегатных индексов важно правильно выбрать веса индексов. Они
должны выбираться с учетом сущности исследуемого социально-экономического
явления, чтобы сохранить экономический смысл индекса и получить возможность на
его основе исчислять абсолютные суммы экономического эффекта.

В
зависимости от содержания и характера индексируемой величины различают индексы
количественных (объемных) показателей и индексы качественных показателей.
Количественные (экстенсивные) показатели характеризуют общий, суммарный размер
того или иного явления, например, количество (физический объем) продукции в
натуральном выражении, численность работников, общие затраты времени на
произведенную продукцию, размер посевной площади и т. д. Качественные
(интенсивные) показатели характеризуют размер признака в расчете на единицу
совокупности: цена единицы продукции (товара), себестоимость единицы продукции,
затраты рабочего времени па единицу продукции (трудоемкость единицы продукции),
выработка продукции на одного работающего, расход материала (топлива) на
единицу продукции, урожайность культуры в расчете на один гектар и т. п. Как
правило, качественные показатели представляют собой либо средние значения, либо
относительные величины.

Существует
правило построения агрегатных факторных индексов, в соответствии с которым в
индексах качественных показателей весами выступают показатели отчетного
периода, а в индексах количественных показателей — базисного периода.

Соответствующие
количественные (объемные) и качественные показатели тесно связаны друг с другом.
В общем виде эта взаимосвязь выражается в том, что произведение качественного
показателя на связанный с ним количественный показатель дает новый показатель,
другую экономическую категорию. Например, если перемножить цену одного изделия
(

, качественный
показатель) на количество этих изделий (

, количественный
показатель), то получим общую стоимость данных изделий или товарооборот (

, новый
показатель); произведение удельного расхода материала

 на количество единиц продукции

представляет собой
общий расход материала (

, новый
показатель); произведение урожайности культуры на ее посевную площадь дает
валовой сбор этой культуры (новый показатель) и т. д. Эта взаимосвязь между
количественными и качественными показателями справедлива при построении и
исчислении их агрегатных индексов.

Например,
произведение агрегатного индекса цен

 на агрегатный индекс физического объема

 равно агрегатному индексу стоимости продукции
(товарооборота)

 .

Агрегатный
индекс цен

 определяется по формуле:

Агрегатный
индекс цен характеризует, как изменились в среднем цены на различные виды
продукции, включенные в расчет общего индекса цен.

Агрегатный
индекс физического объема

 характеризует, как изменился в среднем общий
объем продукции по анализируемому перечню. Он определяется по формуле:

Индекс
стоимости продукции (товарооборота) определяется по формуле:

Индекс
стоимости продукции характеризует изменение фактической стоимости произведенной
или реализованной продукции или же размера товарооборота по анализируемой
совокупности.

Взаимосвязь
индексов может быть представлена выражением:

Используя
эти формулы, можно по двум известным индексам определить третий.

Агрегатный
индекс является основной, но не единственной формой общего индекса. Общий
индекс может быть исчислен и как средняя величина индивидуальных индексов. Эта
средняя может быть рассчитана как средняя арифметическая и как средпяя
гармоническая. Как одна, так и другая средняя выводятся из агрегатных индексов
и дают результаты, тождественные этим индексам. Выбор формы индекса зависит от
характера исходных данных. Если известны значения индексируемого показателя и
веса в отчетном (текущем) и базисном периодах, то пользуются агрегатной формой
индексов. Если отсутствуют значения индексируемого показателя или веса в
отчетном или базисном периодах, по известны изменения индексируемого показателя
или веса по отдельным единицам изучаемой совокупности, то пользуются формой
средних индексов.

При сравнении уровней
средних величин отчетного и базисного периодов получают индекс, который в
статистике называют индексом переменного состава. Так, например, индекс
себестоимости переменного состава исчисляется по формуле:

На индекс переменного
состава (динамику средних величин) оказывают влияние два фактора: во-первых,
изменение уровней осредняемого признака (в нашем
примере изменение уровней себестоимости продукции по каждому из предприятий) и,
во-вторых, изменение долей единиц совокупности с различными значениями признака
(структурные сдвиги).

Индекс переменного состава
вычисляют и по такой формуле:

где

Индекс себестоимости
постоянного фиксированного состава рассчитывают по формуле:

или

Индекс
структурных сдвигов исчисляют по формуле:

или

Взаимосвязь индексов:

Вычитая из числителя
каждого из индексов приведенной системы знаменатель, получим разложение
абсолютного изменения (прироста) среднего уровня признака за счет
непосредственного изменения уровней осредняемого
признака (индивидуальных уровней себестоимости), так и за счет изменения
удельных весов (структурных сдвигов):

Задача 1

Динамика средних  цен  и
объема продажи на колхозных рынках города характеризуется следующими данными:

На основании имеющихся данных вычислите:

• Для колхозного рынка №1 (по двум видам продукции):
• а) индивидуальные индексы цен, физического объема и стоимости;
• б) общий индекс товарооборота;
• в) общий индекс цен;
• г) общий индекс физического объема товарооборота;
• Определите в отчетном периоде абсолютный прирост товарооборота и разложите по
  факторам ( за счет изменения цен и объема продаж   товаров).
• Покажите взаимосвязь между исчисленными индексами.
• Для колхозных рынков вместе (по картофелю):
• а) индекс цен переменного состава
• б) индекс цен постоянного состава
• в) индекс влияния изменения структуры объема  продаж картофеля на динамику средней цены
• Объясните разницу между величинами индексов постоянного и  переменного состава.
• Определите общее абсолютное изменение средней цены картофеля в отчетном периоде 
  по  сравнению  с базисным и разложите его по факторам:  за счет непосредственного изменения уровней
  цен и за счет изменения структуры продаж картофеля.
• Сформулируйте выводы.

Решение

Вычисление индивидуальных индексов товарооборота, цен и физического объема

Вычислим индивидуальные индексы цен:

Картофель:

Капуста:

Цены на картофель увеличились на 18,8%, а на капусту на 16,7%

Вычислим индивидуальные индексы физического объема:

Картофель:

Капуста:

Физический объем продаж картофеля увеличился на 5%, а физический
объем продаж капусты снизился на 4%.

Вычислим индивидуальные индексы стоимости продаж:

Картофель:

Капуста:

Стоимость продаж картофеля увеличилась на 24,7%, а капусты на 12%.

Вычисление общих индексов товарооборота, цен и физического объема

Общий индекс товарооборота можно вычислить по формуле:

где

  — цена,

 -количество проданной продукции

Общий индекс цен вычисляем по формуле:

Общий индекс физического объема
товарооборота:

Эти индексы связаны между собой формулой:

Таким образом, товарооборот увеличился на 19,4%, в том числе за счет
увеличения цен на 17,9%, за счет увеличения физического объема товарооборота на
1,3%

Разложение на факторы абсолютного прироста товарооборота

Абсолютный прирост товарооборота:

В том числе за счет изменения цены:

В том числе за счет изменения продажи товаров:

Абсолютные приросты связаны между собой формулами:

Таким образом,  товарооборот
увеличился на 8,48 млн.р., в том числе за счет увеличения цен на 7,92 млн.р.,
за счет увеличения физического объема товарооборота на 0,56 млн.р.

Вычисление индесов средней цены переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов

Вычислим  для 2-х колхозных
рынков по картофелю индекс цен переменного состава:

Вычислим индекс цен постоянного состава:

Вычислим индекс влияния изменения структуры объема продаж картофеля на
динамику средней цены:

Разница между  индексами
переменного и постоянного состава заключается в том, что индекс переменного
состава равен соотношению средних уровней 
цены,  а  постоянного характеризует изменение средней
цены за счет изменения только цен на каждом рынке.

Таким образом, средняя цена на рынках уменьшилась на 1.4%. Если бы на
обоих рынках структура продаж была одна и та же, средняя цена бы  уменьшилась на 1.9%  Увеличение доли более дорогого рынка в
структуре продаж увеличило среднюю цену на 0,4%.

Разложение на факторы абсолютного прироста средней цены

Определим общее абсолютное изменение цены картофеля:

Общее абсолютное изменение 
цены  за  непосредственного  изменения уровней цен картофеля:

Общее абсолютное изменение цены за счет изменения структуры продажи
картофеля:

Таким образом,  средняя цена на
картофель снизилась на 0,11 тыс.р., в том числе за счет непосредственного
изменения уровней цен на 0,14 тыс.р. Увеличение доли рынка с более дорогим
картофелем увеличило результативный показатель на 0,03 тыс.р.

Задача 3

Имеются
следующие данные о выпуске одноименной продукции по трем цехам предприятия:

Определите:

1. Индексы себестоимости переменного состава, постоянного состава и индекс
   структурных сдвигов.
2. Абсолютное изменение средней себестоимости производства единицы продукции в
   отчетном периоде по сравнению с базисным: а) общее; б) за счет изменения
   себестоимости производства единицы продукции в отдельных цехах; в) за счет
   изменения структуры произведенной продукции.
3. Установите
   и проверьте взаимосвязи: а) между рассчитанными индексами; б) между
   рассчитанными абсолютными изменениями. Поясните, в чем состоит структурный
   сдвиг в производстве продукции в отчетном периоде по сравнению с базисным.
4. Сделайте
   выводы.

Решение

Индексы себестоимости постоянного и переменного состава

Вычислим  индекс себестоимости
переменного  состава:

Вычислим индекс себестоимости постоянного состава:

Таким образом, средняя себестоимость в отчетном периоде увеличилась на
6%, при условии одинаковой структуры производства в цехах, себестоимость
увеличилась на 3,8%. 

Индекс структурных сдвигов

Вычислим индекс  влияния  изменения структуры производства продукции на
динамику средней себестоимости:

Разница между  индексами
переменного и постоянного состава заключается в том, что индекс переменного
состава равен соотношению средних уровней 
себестоимости,  а постоянного
характеризует изменение средней себестоимости за счет изменения только
себестоимости в каждом цеху. Структурный сдвиг состоит в изменение доли цехов с
более высокой (более низкой) себестоимостью.

Взаимосвязь между рассчитанными индексами будет следующая:

Индексы средней себестоимости в разностной форме

Определим общее абсолютное изменение себестоимости:

Общее абсолютное изменение 
себестоимости  за счет
непосредственного  изменения уровня
себестоимости:

Общее абсолютное изменение себестоимости за счет изменения структуры
производства продукции:

Проверка:

 

Вывод к задаче

Средняя себестоимость изделия в отчетном периоде увеличилась на 2,8
руб., в том числе за счет изменения уровня себестоимости на 1,8 руб.,
увеличение доли продукции с более высокой себестоимостью увеличило
результативный показатель на 1 руб.  

10.3. Агрегатные индексы

При использовании индексного метода на практике чаще всего решают задачу нахождения не индивидуальных, а сводных индексов. Общий (сводный) индекс (I) представляет собой отношение уровней сложного экономического явления, состоящего из элементов, непосредственно несоизмеримых. Он дает обобщающую характеристику изменения одноименного показателя по разнородной совокупности во времени, в пространстве или по сравнению с некоторым заданным уровнем (например, планируемым или нормативным).

В индексной теории по способу (форме) построения общие (сводные) индексы подразделяют на агрегатные, средние и индексы изменения среднего показателя. Последняя группа индексов имеет свою специфику, о ней мы будем говорить ниже.

Основной формой построения индексов является агрегатная; средние индексы получаются в результате ее преобразования. В агрегатной формуле сводного индекса присутствуют два элемента:

1. индексируемая величина, изменение которой показывает индекс (обозначим ее через х);
2. некоторая постоянная величина, называемая весом индекса (f); с помощью весов несоизмеримые элементы сложного социально-экономического явления приводятся к сопоставимому виду.

Веса в общем индексе необходимы, поскольку суммировать значение признака х по элементам разнородной совокупности неправомерно (например, нельзя суммировать объемы продаж различных товаров в розничной торговле в натуральных единицах измерения). Поэтому находят такой связанный с х показатель (f), при котором произведение х и f имеет экономическое содержание и может суммироваться по всем единицам разнородной совокупности [например, умножив количества товаров на их цены, получим объемы продаж в денежном выражении (товарооборот), которые можно суммировать по разным видам товаров].

Общая формула агрегатного индекса может быть записана следующим образом:

где х₁ и х₀ — значения индексируемой величины, соответственно, в отчетном и базисном периоде;

f — вес или соизмеритель. Значения этого показателя у всех единиц совокупности при исчислении индекса должны быть взяты на уровне одного и того же периода — отчетного или базисного, с тем, чтобы индекс показал изменение только индексируемой величины.

Таким образом, в числителе и знаменателе агрегатной формы индекса находятся просуммированные произведения двух величин, одна из которых — индексируемая величина (в числителе содержится значение, относящееся к отчетному периоду, а в знаменателе — к базисному), а другая — постоянная, являющаяся весом индекса. При этом суммируемых произведений столько, сколько единиц исследуемой совокупности входит в изучаемое явление.

Но к какому периоду должны относиться веса индекса (f) — отчетному или базисному? В теории индексов обычно придерживаются следующих правил:

• индексы качественных показателей строятся с весами отчетного периода. Тогда формула агрегатного индекса примет вид

  

• индексы количественных показателей строятся с весами базисного периода. Формула агрегатного индекса в этом случае имеет следующий вид:

  

Такое построение агрегатных индексов позволяет получить систему взаимосвязанных индексов и провести анализ влияния отдельных факторов на изменение обобщающих результативных показателей.

К количественным относят показатели, характеризующие физические размеры явления, например, производство продукции в натуральном выражении, количество проданного товара, численность работающих, объем промышленно-производственных фондов и т. д. (как правило, в названии количественного показателя содержатся слова «объем», «число», «численность», «количество»; при этом используются простые единицы измерения — метры, килограммы, тонны, штуки, рубли).

Качественный показатель используется для экономической (качественной) характеристики количественной единицы совокупности. Это цена за единицу товара (продукции), себестоимость единицы продукции, фондоотдача, фондоемкость, средняя заработная плата (единица измерения качественного показателя сложная — руб./шт., руб./руб., руб./чел. и т.д.).

Построение агрегатного индекса покажем на примере сводного (общего) индекса цен (I_p). В данном случае индексируемой величиной является цена, поэтому в числителе возьмем ее значение за отчетный период (р₁), а в знаменателе — за базисный (р₀). Непосредственно просуммировать цены отчетного периода и разделить их на сумму базисных цен мы не можем. Если же цену каждого товара умножить на его количество, то полученные произведения, характеризующие товарооборот, суммировать можно. Поскольку цена — качественный показатель, данные о количестве проданных товаров необходимо взять на уровне отчетного периода. Таким образом, получаем следующую формулу агрегатного индекса цен:

Пример 10.2. В таблице представлена следующая информация по ценам и количеству проданной молочной продукции:

Проведем расчет общего индекса цен по агрегатной формуле.

Следовательно, цены на молочную продукцию увеличились в 1,121 раза, или на 12,1%. Агрегатная форма построения индекса позволяет провести расчеты с учетом веса каждого товара в их общей совокупности.

В теории индексов существуют два направления возможного анализа сводных индексов: синтетическое и аналитическое. Различие между ними состоит в интерпретации полученных результатов. При синтетическом подходе индекс рассматривается как показатель, характеризующий среднее изменение уровня индексируемой величины (отметим, что в среднем цены на молочную продукцию увеличились на 12,1%). Аналитический подход подразумевает использование индекса как меры изменения уровня результативного показателя (получаемого в виде произведения индексируемой величины и ее веса) под влиянием изменений индексируемой величины. В рассматриваемом примере числитель формулы содержит суммарный товарооборот по группе товаров отчетного периода (произведение pq представляет собой размер товарооборота), а знаменатель — товарооборот этого же периода, выраженный в ценах базисного периода. Полученный в примере результат 112,1% можно также интерпретировать следующим образом: товарооборот увеличился в отчетном периоде по сравнению с базисным на 12,1% в результате изменения цен.

Аналогичным образом строятся и другие агрегатные индексы качественных показателей. Например, сводный индекс себестоимости, показывающий среднее изменение уровней себестоимости разных видов продукции, в качестве весов также содержит величину физического объема выпускаемой продукции, зафиксированный на уровне отчетного периода (поскольку себестоимость — это качественный показатель)

где z₀ и z₁ — себестоимость единицы продукции данного вида соответственно в базисном и отчетном периодах;

q₁ — физический объем выпуска данного вида продукции в отчетном периоде.

Индексы количественных показателей также требуют применения определенных соизмерителей, в качестве которых выступают те или иные качественные показатели, зафиксированные на уровне базисного периода. В сводном индексе физического объема товарооборота в качестве соизмерителей используются цены за единицу каждого товара, взятые на уровне базисного периода, что позволяет перейти от натуральных единиц измерения к универсальным — стоимостным

Тогда в числителе и знаменателе получим товарооборот соответствующих периодов, выраженный в ценах базисного периода. Индекс покажет, как изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным в результате снижения или роста физического объема продаж (аналитический подход) или как в среднем увеличился или снизился физический объем товарооборота в отчетном периоде по сравнению с базисным (синтетический подход).

Пример 10.3. По данным таблицы из примера 10.2 определим изменения объема продаж молочной продукции. Для этого рассчитаем общий индекс физического объема товарооборота.

Таким образом, в среднем физический объем товарооборота молочной продукции увеличился в 1,038 раза, или на 3,8%.

Индекс физического объема рассчитывается при анализе не только товарооборота, но и изменения издержек производства (затрат). В этом случае соизмерителем выступит уже себестоимость единицы продукции (остальные принципы построения индекса останутся прежними):

Агрегатные индексы результативных показателей, получаемых как произведение определенных величин, имеют несколько иной вид. В качестве примера приведем индекс товарооборота (стоимости) продукции. В этом случае сравниваются объемы товарооборота отчетного и базисного периодов, при этом не требуется введения каких-либо соизмерителей, поскольку значения уже сопоставимы и их можно суммировать по разным видам товаров. Агрегатный индекс товарооборота получается как простое соотношение его суммарных значений по группам товаров за разные периоды времени:

Пример 10.4. По данным таблицы из примера 10.2 определим общий индекс товарооборота.

То есть товарооборот (объем проданной молочной продукции в денежном выражении) увеличился в 1,163 раза, или на 16,3%.

Аналогичным образом рассчитывают агрегатные индексы и других результативных показателей. Например, издержки производства можно представить как произведение себестоимости единицы продукции на объем ее производства в натуральном выражении (z_q). Агрегатный индекс издержек обращения имеет вид

Величины, находящиеся в числителе и знаменателе агрегатных индексов, имеют вполне определенный экономический смысл: они характеризуют величину явления в целом по совокупности объектов за отчетный (числитель) и базисный (знаменатель) периоды. Таким образом, если частное этих величин определяет относительное изменение явления — индекс, то их разность характеризует изменение явления в абсолютном выражении в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Например, если из числителя сводного индекса товарооборота вычесть знаменатель () то получим величину, определяющую, на сколько денежных единиц изменился товарооборот в отчетном периоде по сравнению с базисным.

И для индивидуальных, и для общих индексов действует общее правило: индексы связаны между собой так же, как и индексируемые величины. Например, товарооборот — это произведение цены на количество реализованного товара. Точно такая же зависимость выполняется для индексов этих показателей:

Аналогично индекс затрат на производство продукции является произведением индекса себестоимости и индекса физического объема продукции:

Следует отметить, что в теории и практике статистики существует несколько подходов к решению проблемы выбора системы взвешивания. В частности, при построении агрегатных индексов цен используется несколько формул расчета этих показателей, названных по имени авторов, их разработавших. Наибольшую известность получили индексы цен Пааше, Ласпейреса и Фишера.

При расчете индекса цен по формуле Пааше в качестве весов берутся количества продукции текущего периода:

С помощью этого индекса определяется изменение цен на товары, реализованные или приобретенные в текущем периоде.

При расчете индекса цен по формуле Ласпейреса в качестве весов используются количества продукции базисного периода:

Данный индекс характеризует изменение цен на товары, реализованные в базисном периоде. По такой схеме обычно строятся индексы стоимости жизни, когда хотят оценить изменение цен на фиксированный набор товаров, обычно приобретаемых определенными группами населения.

Выбор той или иной формулы для оценки динамики цен зависит от принятой в стране методологии расчета, имеющейся информации и целей исследования. Вопрос о том, какая из формул более точно характеризует изменение цен, не совсем корректен: каждый индекс предназначен для решения своей конкретной задачи. Вместе с тем желание получить один показатель для отражения динамики цен привело к появлению целого ряда работ, целью которых было найти идеальную формулу индекса. Наиболее известные работы в этой области принадлежат американскому ученому Ирвину Фишеру, который предложил свой подход к исчислению агрегатного индекса цен, а именно использовать среднюю геометрическую из индексов цен Пааше и Ласпейреса:

В данной формуле равноправно представлено количество продукции как базисного, так и текущего периодов. Это свойство позволяет применять данный индекс при исследовании цен за значительный промежуток времени, когда структура продукции претерпевает существенные изменения, и, строго говоря, не представляется возможным сделать обоснованный выбор в пользу весов базисного или отчетного периода. По этим же соображениям индекс Фишера часто используется для территориальных сопоставлений.

10.4. Средние индексы

В отличие от агрегатной формы индекса, средние индексы используются тогда, когда имеется информация об изменении индексируемой величины по отдельным единицам исследуемой совокупности (т.е. известны индивидуальные индексы).

Средний индекс — это сводный индекс, вычисленный как средневзвешенная величина из значений индивидуальных индексов.

Средний индекс получают путем преобразования агрегатного индекса. В зависимости от того, какие веса используются в соответствующей агрегатной формуле (базисного или отчетного периода), средний индекс рассчитывается по формуле средней арифметической или средней гармонической величины. Соответственно, исчисленные по одним и тем же данным агрегатный и средний индексы всегда равны.

Рассмотрим, например, как получается средний индекс физического объема товарооборота. Его агрегатная формула имеет вид

Тогда, учитывая, что индивидуальный индекс представляет собой отношение

получим [ ]. Подставим это выражение в формулу агрегатного индекса

Получен индекс физического объема товарооборота в виде средней арифметической взвешенной из индивидуальных индексов, в которой в качестве весов используется товарооборот базисного периода (q₀ p₀).

Итак, формула среднего арифметического индекса физического объема имеет вид

Обратимся теперь к индексу цен. Его агрегатная формула имеет вид

Из формулы индивидуального индекса цен выразим и, подставив в формулу агрегатного индекса, получим

Получен средний гармонический индекс цен

Пример 10.5. По данным таблицы из примера 10.2 рассчитаем средние индексы. Для этого необходимо определить индивидуальные индексы и объем товарооборота по каждому виду молочной продукции (расчеты проведены в следующей таблице).

Исчислим средний гармонический индекс цен.

Средний арифметический индекс физического объема товарооборота равен

Агрегатные индексы являются основной формой общего индекса.
Агрегатными называются индексы, которые строятся непосредственно по данным об
индексируемых величинах и весах.

Наиболее часто используются агрегатные индексы физического
объема продукции, цен, товарооборота, себестоимости и др.

Так же часто в задачах на нахождение индексов требуется
вычислить абсолютное изменение показателя за счет различных факторов, это
изменение находится как разность между числителем и знаменателем
соответствующего индекса.

Ниже приведен список систем агрегатных индексов:

·        
Агрегатные индексы товарооборота, цен,
физического объема

Общий индекс товарооборота от реализации

– цена продукции в отчетном и базисном периодах
соответственно

– количество продукции в отчетном и базисном периодах
соответственно

агрегатные индексы физического объема продукции

отпускных цен по предприятию в целом

Связь общих индексов

Абсолютное увеличение товарооборота в отчетном периоде по
сравнению с базисным

Δ_pq=–

За счет изменения физического объема продаж

Δ_q=–

В том числе за счет изменения цен

Δ_p=–

Взаимосвязь
абсолютных показателей:  

Пример:

Имеются следующие данные о
реализации продуктов на рынке города за два периода:

Определите:

1.       
Общий индекс цен.

2.       
Общие индексы
товарооборота: в фактических и неизменных ценах.

3.       
Как повлияло изменение
цен в январе по сравнению с сентябрем на общий объем выручки
от реализации данных продуктов.

4.       
Покажите взаимосвязь
исчисленных индивидуальных и общих индексов.

Решение.

1.          
Общий индекс цен.

=1,042

За счет изменения цен товарооборот
вырос на 4,2%

2.
Общие индексы товарооборота: в фактических и неизменных ценах.

В фактических
ценах

=1,067

В январе по
сравнению с сентябрем товарооборот вырос на 6,7%.

В неизменных
ценах

=1,024

За счет
физического изменения объемов продаж товарооборот в январе по сравнению с
сентябрем вырос на 2,4%.

3.
Влияние цен в январе по сравнению с сентябрем на общий объем
выручки от реализации данных продуктов.

57253,74-54935,24=2318,5 тыс. руб.

За счет изменения цен
товарооборот в январе вырос по сравнению с сентябрем на 2318,5 тыс. руб.

Связь общих индексов

!Важно: иногда при использовании формулы взаимосвязи
индексов при перемножении двух индексов (как тут получается 1,066) возможно
расхождение в третьем знаке после запятой, это не говорит о том, что у вас в
расчетах ошибка, просто вы перемножаете округленные значения
и это вызывает расхождение в третьем знаке после запятой.

• ·        
  Агрегатные индексы затрат на производство,
  себестоимости, физического объема

Индекс
затрат на производство

– себестоимость продукции в отчетном и базисном периодах
соответственно

– количество продукции в отчетном и базисном периодах
соответственно

Общий
агрегатный индекс себестоимости продукции

общий
агрегатный индекс физического объема

Взаимосвязь
индексов

 

!Важно: иногда при использовании формулы взаимосвязи
индексов при перемножении двух индексов возможно расхождение в третьем знаке
после запятой, это не говорит о том, что у вас в расчетах ошибка, просто вы перемножаете округленные значения и это вызывает расхождение
в третьем знаке после запятой.

Абсолютное
изменение затрат в отчетном году по сравнению с базисным

 

В том числе за
счет изменения себестоимости единицы продукции

 

За счет
изменения физического объема производства

 

Взаимосвязь
абсолютных показателей

 

Пример:

1. Имеются
   следующие данные о количестве произведенной продукцияии и
   ее себестоимости

Продукция	Количество произведенной продукции, тыс. шт.	Себестоимость единицы продукции, руб.
2008	2009	2008	2009
А	3.0	3.2	10	12
Б	4.0	5.0	20	18
В	5.0	6.0	8	5

Исчислить1).
общие индексы а). затрат на продукцию б). физического
объема продукции

в).  себестоимости и
экономический эффект от снижения себестоимости.

Решение.

1). общие индексы

 а). затрат на продукцию

б). физического объема продукции

в).  себестоимости и
экономический эффект от снижения себестоимости.

Абсолютное
изменение затрат в отчетном году по сравнению с базисным

 тыс. руб.

В том числе за
счет изменения себестоимости единицы продукции

 

За счет
изменения физического объема производства

 

В отчетном периоде по сравнению с базисным затраты на производство выросли на 8,4 тыс. руб.
или на  5,6%, в том числе за счет
изменения физического объема производства выросли 30 тыс. руб. или  на 20,0%, за счет изменения себестоимости
снизились на 21,6 тыс. руб. или на 12,0%.