Finding the greatest common factor, or GCF, of two numbers is useful in many situations in math, but particularly when it comes to simplifying fractions. If you’re struggling with this or finding common denominators, learning two methods for finding common factors will help you achieve what you’re setting out to do. First, though, it’s a good idea to learn about the basics of factors; then, you can look at two approaches for finding common factors. Finally, you can look at how to apply your knowledge to simplify a fraction.
What Is a Factor?
Factors are the numbers you multiply together to produce another number. For example, 2 and 3 are factors of 6, because 2 × 3 = 6. Similarly, 3 and 3 are factors of 9, because 3 × 3 = 9. As you may know, prime numbers are numbers that have no factors other than themselves and 1. So 3 is a prime number, because the only two whole numbers (integers) that can multiply together to give 3 as an answer are 3 and 1. In the same way, 7 is a prime number, and so is 13.
Because of this, it’s often helpful to break down a number into “prime factors.” This means finding all of the prime number factors of another number. It basically breaks the number down into its fundamental “building blocks,” which is a useful step towards finding the greatest common factor of two numbers and is also invaluable when it comes to simplifying square roots.
Finding the Greatest Common Factor: Method One
The simplest method for finding the greatest common factor of two numbers is to simply list all of the factors of each number and look for the highest number that both of them share. Imagine that you want to find the highest common factor of 45 and 60. First, look at the different numbers you can multiply together to produce 45.
The easiest way to start is with the two you know will work, even for a prime number. In this case, we know 1 × 45 = 45, so we know 1 and 45 are factors of 45. These are the first and last factors of 45, so you can just fill in from there. Next, work out whether 2 is a factor. This is easy, because any even number will be divisible by 2, and any odd number won’t. So we know that 2 isn’t a factor of 45. What about 3? You should be able to spot that 3 is a factor of 45, because 3 × 15 = 45 (you can always build on what you know to work this out, for example, you’ll know that 3 × 12 = 36, and adding threes to this leads you to 45).
Next, is 4 a factor of 45? No – you know 11 × 4 = 44, so it can’t be! Next, what about 5? This is another easy one, because any number ending in 0 or 5 is divisible by 5. And with this, you can easily spot that 5 × 9 = 45. But 6 is no good because 7 × 6 = 42 and 8 × 6 = 48. From this you can also see that 7 and 8 aren’t factors of 45. We already know 9 is, and it’s easy to see that 10 and 11 aren’t factors. Continue this process, and you’ll spot that 15 is a factor, but nothing else is.
So the factors of 45 are: 1, 3, 5, 9, 15 and 45.
For 60, you run through the exact same process. This time the number is even (so you know 2 is a factor) and divisible by 10 (so 5 and 10 are both factors), which makes things a bit easier. After going through the process again, you should see that the factors of 60 are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60.
Comparing the two lists shows that 15 is the greatest common factor of 45 and 60. This method can be time consuming, but it’s simple and it will always work. You can also start at any high common factor you can spot straight away, and then simply look for higher factors of each number.
Finding the Greatest Common Factor: Method Two
The second method of finding the GCF for two numbers is to use prime factors. The process of prime factorization is a little easier and more structured than finding every factor. Let’s go through the process for 42 and 63.
The process of prime factorization basically involves breaking the number down until you’re only left with prime numbers. It’s best to start with the smallest prime (two) and work from there. So for 42, it’s easy to see that 2 × 21 = 42. Then work from 21: Is 2 a factor? No. Is 3? Yes! 3 × 7 = 21, and 3 and 7 are both prime numbers. This means the prime factors of 42 are 2, 3 and 7. The first “break” used 2 to get to 21, and the second broke this down into 3 and 7. You can check this by multiplying all of your factors together and checking you get the original number: 2 × 3 × 7 = 42.
For 63, 2 isn’t a factor, but 3 is, because 3 × 21 = 63. Again, 21 breaks down into 3 and 7 – both prime – so you know the prime factors! Checking shows that 3 × 3 × 7 = 63, as required.
You find the highest common factor by looking at which prime factors the two numbers have in common. In this case, 42 has 2, 3 and 7, and 63 has 3, 3 and 7. They have 3 and 7 in common. To find the highest common factor, multiply all of the common prime factors together. In this case, 3 × 7 = 21, so 21 is the greatest common factor of 42 and 63.
The previous example can be solved more quickly this way too. Because 45 is divisible by three (3 × 15 = 45), and 15 is also divisible by three (3 × 5 = 15), the prime factors of 45 are 3, 3 and 5. For 60, it’s divisible by two (2 × 30 = 60), 30 is divisible by two as well (2 × 15 = 30), and then you’re left with 15, which we know has three and five as prime factors, leaving 2, 2, 3 and 5. Comparing the two lists, three and five are the common prime factors, so the greatest common factor is 3 × 5 = 15.
In the event that there are three or more common prime factors, you multiply them all together in the same way to find the greatest common factor.
Simplifying Fractions With Common Factors
If you’re presented with a fraction like 32/96, it can make any calculations that come after it very complicated unless you can spot a way to simplify the fraction. Finding the lowest common factor of 32 and 96 will tell you the number to divide both by, to get a simpler fraction. In this case:
32 = 2 × 16 \ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \ text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
For 96, the process gives:
96 = 48 × 2 \ 48 = 24 × 2 \ 24 = 12 × 2 \ 12 = 6 × 2 \ 6 = 3 × 2 \ text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
It should be clear that 25 = 32 is the highest common factor. Dividing both parts of the fraction by 32 gives:
frac{32}{96} = frac{1}{3}
Finding common denominators is a similar process. Imagine that you had to add the fractions 15/45 and 40/60. We know from the first example that 15 is the highest common factor of 45 and 60, so we can immediately express them as 5/15 and 10/15. Since 3 × 5 = 15, and both numerators are also divisible by five, we can divide both parts of both fractions by five to get 1 /3 and 2/3. Now they are much easier to add and see that
frac{15}{45} + frac{40}{60} = 1
Поиск наибольшего общего множителя, или GCF, из двух чисел полезен во многих ситуациях в математике, но особенно когда речь идет об упрощении дробей. Если вы боретесь с этим или находите общие знаменатели, изучение двух методов поиска общих факторов поможет вам достичь того, что вы намереваетесь делать. Во-первых, это хорошая идея, чтобы узнать об основах факторов; Затем вы можете взглянуть на два подхода для поиска общих факторов. Наконец, вы можете посмотреть, как применить свои знания для упрощения дроби.
Что такое фактор?
Факторы — это числа, которые вы умножаете вместе, чтобы получить другое число. Например, 2 и 3 — это коэффициенты 6, потому что 2 × 3 = 6. Аналогично, 3 и 3 — это коэффициенты 9, потому что 3 × 3 = 9. Как вы, возможно, знаете, простые числа — это числа, у которых нет других факторов, кроме сами по себе и 1. Таким образом, 3 — простое число, потому что только два целых числа (целые числа), которые могут умножаться вместе, чтобы дать 3 в качестве ответа, — это 3 и 1. Точно так же, 7 — это простое число, а также 13, Из-за этого часто бывает полезно разбить число на «простые факторы». Это означает поиск всех простых чисел для другого числа. Он в основном разбивает число на фундаментальные «строительные блоки», что является полезным шагом к нахождению наибольших общих множителей двух чисел, а также неоценимо, когда речь идет об упрощении квадратных корней.
Нахождение величайшего общего фактора: метод первый
Самый простой способ найти наибольший общий множитель двух чисел — просто перечислить все факторы каждого числа и найти наибольшее число, которое они оба разделяют. Представьте, что вы хотите найти самый высокий общий множитель 45 и 60. Сначала посмотрите на различные числа, которые вы можете умножить вместе, чтобы получить 45.
Самый простой способ начать с двух, которые, как вы знаете, будут работать, даже для простого числа. В этом случае мы знаем 1 × 45 = 45, поэтому мы знаем, что 1 и 45 — это коэффициенты 45. Это первый и последний факторы 45, поэтому вы можете просто заполнить их оттуда. Затем выясните, является ли 2 фактором. Это легко, потому что любое четное число будет делиться на 2, а любое нечетное число не будет. Итак, мы знаем, что 2 не является фактором 45. Как насчет 3? Вы должны быть в состоянии определить, что 3 является фактором 45, потому что 3 × 15 = 45 (вы всегда можете использовать то, что вы знаете, чтобы решить это, например, вы будете знать, что 3 × 12 = 36, и добавив тройки к этому приводят вас к 45).
Далее 4 это фактор 45? Нет — вы знаете 11 × 4 = 44, так что не может быть! Далее, как насчет 5? Это еще один простой способ, потому что любое число, заканчивающееся на 0 или 5, делится на 5. И с этим, вы можете легко определить, что 5 × 9 = 45. Но 6 не годится, потому что 7 × 6 = 42 и 8 × 6 = 48. Из этого вы также можете видеть, что 7 и 8 не являются факторами 45. Мы уже знаем, что 9 есть, и легко видеть, что 10 и 11 не являются факторами. Продолжите этот процесс, и вы заметите, что 15 является фактором, но больше ничего.
Таким образом, факторы 45: 1, 3, 5, 9, 15 и 45.
За 60 вы проходите точно такой же процесс. На этот раз число четное (так что вы знаете, что 2 — это фактор) и делится на 10 (так что 5 и 10 — оба фактора), что немного облегчает задачу. После повторного прохождения процесса вы должны увидеть, что факторы 60: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 и 60.
Сравнение двух списков показывает, что 15 является наибольшим общим фактором 45 и 60. Этот метод может занять много времени, но он прост и всегда будет работать. Вы также можете начать с любого высокого общего множителя, который вы можете заметить сразу, а затем просто искать более высокие факторы каждого числа.
Нахождение величайшего общего фактора: метод второй
Второй метод нахождения GCF для двух чисел — это использование простых множителей. Процесс первичной факторизации немного проще и более структурирован, чем поиск каждого фактора. Давайте пройдем через процесс для 42 и 63.
Процесс простой факторизации в основном включает разбиение числа до тех пор, пока не останутся только простые числа. Лучше всего начать с наименьшего простого числа (два) и работать оттуда. Таким образом, для 42 легко видеть, что 2 × 21 = 42. Тогда работа с 21: 2 является фактором? № 3? Да! 3 × 7 = 21, а 3 и 7 — простые числа. Это означает, что главные факторы 42 — это 2, 3 и 7. Первый «разрыв» использовал 2, чтобы добраться до 21, а второй разделил это на 3 и 7. Вы можете проверить это, умножив все свои факторы вместе и проверив Вы получите оригинальный номер: 2 × 3 × 7 = 42.
Для 63, 2 не является фактором, а 3 — потому что 3 × 21 = 63. Опять 21 разбивается на 3 и 7 — оба простые — так что вы знаете главные факторы! Проверка показывает, что 3 × 3 × 7 = 63, как требуется.
Вы найдете самый высокий общий фактор, посмотрев, какие простые факторы имеют два общих числа. В этом случае 42 имеет 2, 3 и 7, а 63 имеет 3, 3 и 7. У них есть 3 и 7 общего. Чтобы найти самый высокий общий фактор, умножьте все общие простые факторы вместе. В этом случае 3 × 7 = 21, поэтому 21 является наибольшим общим фактором 42 и 63.
Предыдущий пример также может быть решен быстрее. Поскольку 45 делится на три (3 × 15 = 45), а 15 также делится на три (3 × 5 = 15), главные факторы 45 равны 3, 3 и 5. Для 60 это делится на два (2 × 30 = 60), 30 также делится на два (2 × 15 = 30), и тогда у вас остается 15, которые, как мы знаем, имеют три и пять в качестве основных факторов, оставляя 2, 2, 3 и 5. Сравнивая два списка, три и пять являются общими простыми коэффициентами, поэтому наибольший общий фактор равен 3 × 5 = 15.
В случае, если есть три или более общих простых факторов, вы умножаете их все вместе, чтобы найти самый большой общий фактор.
Упрощение дробей с общими факторами
Если вам предложена дробь, подобная 32/96, она может сделать любые вычисления, которые последуют за ней, очень сложными, если вы не сможете найти способ упростить дробь. Поиск наименьшего общего множителя 32 и 96 подскажет вам число, на которое нужно разделить, чтобы получить более простую дробь. В таком случае:
32 = 2 × 16
16 = 2 × 2 × 2 × 2
Так что 32 = 2 5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
Для 96 процесс дает:
96 = 48 × 2
48 = 24 × 2
24 = 12 × 2
12 = 6 × 2
6 = 3 × 2
Так 96 = 2 5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
Должно быть ясно, что 2 5 = 32 является наивысшим общим фактором. Разделение обеих частей дроби на 32 дает:
32/96 = 1/3
Поиск общих знаменателей — аналогичный процесс. Представьте, что вам нужно было добавить дроби 15/45 и 40/60. Из первого примера мы знаем, что 15 является наивысшим общим множителем 45 и 60, поэтому мы можем сразу выразить их как 5/15 и 10/15. Поскольку 3 × 5 = 15, и оба числителя также делятся на пять, мы можем разделить обе части обеих фракций на пять, чтобы получить 1/3 и 2/3. Теперь их гораздо проще добавить и увидеть, что 15/45 + 40/60 = 1.
Как найти общий множитель
Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.
Инструкция
Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y — 2) и (y + 3).
Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y — 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² — 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² — 2).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Нахождение НОК и НОД двух натуральных чисел
Содержание:
- Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
- Особенности вычисления, алгоритм Евклида
- Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
- Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
Натуральными числами называют числа, которые используются при счете – 1, 2, 3, 16, 25, 101, 2560 и далее до бесконечности. Ноль, отрицательные и дробные или нецелые числа не относятся к натуральным.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из рассматриваемых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делится без остатка каждое рассматриваемое число.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свойства НОК и НОД для натуральных чисел a и b
- (НОД (a, b) = НОД (b, a);)
- (НОК (a, b) = НОК (b, a);)
- (НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.)
Особенности вычисления, алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа определения НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида:
- Способ деления.
При делении целых чисел с остатком, где a — делимое, b – делитель (b не равно 0) находят целые числа q и r согласно равенству (a=btimes) q+r, в котором q – неполное частное, r – остаток при делении (не отрицательное, по модулю меньше делителя).
Чтобы вычислить НОД, первоначально нужно выбрать наибольшее из двух чисел и поделить его на меньшее. Пока остаток не станет равным нулю, повторяется цикл деления делителя на остаток от деления в соответствии с формулой.
Пример №1
Вычислим НОД для чисел 12 и 20. Делим 20 на 12 и получаем 1 и 8 в остатке. Запишем иначе:
(20=12times1+8), так как остаток не равняется нулю, продолжаем деление. Делим 12 на 8 и получаем 1 и 4 в остатке. Записываем: (12=8times1+4) и по аналогии делим 8 на 4 и получаем 2 и 0 в остатке. НОД равен остатку, предшествующему нулю.
НОД (12;20) = 4
НОК получаем согласно свойству (НОК (a, b) = НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.) Подставляем числовые значения:
НОК (12; 20) = (12times20div4=60)
НОК (12;20) = 60
- Способ вычитания.
Здесь повторяется цикл вычитания из наибольшего числа меньшего числа до момента, пока разность не станет равна нулю. НОД равен предшествующей нулю разности.
Пример №2
Вычислим НОД для тех же чисел, 12 и 20.
20 – 12 = 8 (разность не равна нулю, продолжаем)
12 – 8 = 4
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
НОД (12;20) = 4
НОК находим также, как и при методе деления.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
Для нахождения наибольшего общего делителя воспользуемся пошаговым алгоритмом:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общий множитель одного и другого числа.
- Перемножить общие множители, если их несколько, и их произведение будет НОД.
Пример №3
Возьмем натуральные числа 24 и 36.
(24=2times2times2times3)
(36=2times2times3times3)
Правильно записать следующим образом:
(НОД (24;36)=2times3=6)
Примечание
В случае, когда одно или оба числа относятся к простым, т.е. делятся только на единицу и на само себя, то их НОД равняется 1.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Для нахождения наименьшего общего кратного воспользуемся подробным алгоритмом:
- Наибольшее из чисел, а затем остальные разложить на простые множители.
- Выделить те множители, которые отсутствуют у наибольшего.
- Перемножить множители п. 2 и множители наибольшего числа, получить НОК.
Пример №4
Возьмем натуральные числа 9 и 12.
(12=2times2times3)
(9=3times3) (видим, что у числа 12 отсутствует одна тройка)
Правильно записать следующим образом:
(НОК (9;12)=2times2times3times3=36)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.00 (Голосов: 4)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
Как найти НОД и НОК
- Главная
- /
- Математика
- /
- Арифметика
- /
- Как найти НОД и НОК
Чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух чисел воспользуйтесь нашим онлайн калькулятором:
Введите числа: и
НОК:
0
НОД:
0
Определить
Просто введите числа и получите результат.
Как найти НОК двух чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) двух или нескольких чисел – это самое маленькое число, которое можно разделить на каждое из этих чисел без остатка.
Для того чтобы найти наименьшее общее кратное (НОК) двух чисел можно воспользоваться следующим алгоритмом (5 класс):
- Оба числа разложим на простые множители (сначала наибольшее число).
- Сравним множители большего числа с множителями меньшего. Выделим все множители меньшего числа, которых нет у большего.
- Добавим выделенные множители меньшего числа к множителям большего.
- Найдём НОК, перемножив ряд множителей, полученных в пункте 3.
Пример
Для примера определим НОК чисел 8 и 22.
1) Раскладываем на простые множители:
22 = 2⋅11
8 = 2⋅2⋅2
2) Выделим все множители 8-ми, которых нет у 22-х:
8 = 2⋅2⋅2
3) Добавим выделенные множители 8-ми к множителям 22-х:
НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2
4) Вычисляем НОК:
НОК (8; 22) = 2 · 11 · 2 · 2 = 88
Как найти НОД двух чисел
Наибольший общий делитель (НОД) двух или нескольких чисел – это наибольшее натуральное целое число, на которое эти числа можно разделить без остатка.
Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) двух чисел, для начала необходимо разложить их на простые множители. Затем нужно выделить общие множители, которые имеются и у первого числа и у второго. Перемножаем их – это и будет НОД. Чтобы лучше понять алгоритм рассмотрим пример:
Пример
Для примера определим НОД чисел 20 и 30.
20 = 2⋅2⋅5
30 = 2⋅3⋅5
НОД(20,30) = 2⋅5 = 10
Если одно или несколько из рассматриваемых чисел являются простыми, то НОД этих чисел будет равен 1.