Finding the greatest common factor, or GCF, of two numbers is useful in many situations in math, but particularly when it comes to simplifying fractions. If you’re struggling with this or finding common denominators, learning two methods for finding common factors will help you achieve what you’re setting out to do. First, though, it’s a good idea to learn about the basics of factors; then, you can look at two approaches for finding common factors. Finally, you can look at how to apply your knowledge to simplify a fraction.
What Is a Factor?
Factors are the numbers you multiply together to produce another number. For example, 2 and 3 are factors of 6, because 2 × 3 = 6. Similarly, 3 and 3 are factors of 9, because 3 × 3 = 9. As you may know, prime numbers are numbers that have no factors other than themselves and 1. So 3 is a prime number, because the only two whole numbers (integers) that can multiply together to give 3 as an answer are 3 and 1. In the same way, 7 is a prime number, and so is 13.
Because of this, it’s often helpful to break down a number into “prime factors.” This means finding all of the prime number factors of another number. It basically breaks the number down into its fundamental “building blocks,” which is a useful step towards finding the greatest common factor of two numbers and is also invaluable when it comes to simplifying square roots.
Finding the Greatest Common Factor: Method One
The simplest method for finding the greatest common factor of two numbers is to simply list all of the factors of each number and look for the highest number that both of them share. Imagine that you want to find the highest common factor of 45 and 60. First, look at the different numbers you can multiply together to produce 45.
The easiest way to start is with the two you know will work, even for a prime number. In this case, we know 1 × 45 = 45, so we know 1 and 45 are factors of 45. These are the first and last factors of 45, so you can just fill in from there. Next, work out whether 2 is a factor. This is easy, because any even number will be divisible by 2, and any odd number won’t. So we know that 2 isn’t a factor of 45. What about 3? You should be able to spot that 3 is a factor of 45, because 3 × 15 = 45 (you can always build on what you know to work this out, for example, you’ll know that 3 × 12 = 36, and adding threes to this leads you to 45).
Next, is 4 a factor of 45? No – you know 11 × 4 = 44, so it can’t be! Next, what about 5? This is another easy one, because any number ending in 0 or 5 is divisible by 5. And with this, you can easily spot that 5 × 9 = 45. But 6 is no good because 7 × 6 = 42 and 8 × 6 = 48. From this you can also see that 7 and 8 aren’t factors of 45. We already know 9 is, and it’s easy to see that 10 and 11 aren’t factors. Continue this process, and you’ll spot that 15 is a factor, but nothing else is.
So the factors of 45 are: 1, 3, 5, 9, 15 and 45.
For 60, you run through the exact same process. This time the number is even (so you know 2 is a factor) and divisible by 10 (so 5 and 10 are both factors), which makes things a bit easier. After going through the process again, you should see that the factors of 60 are: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 and 60.
Comparing the two lists shows that 15 is the greatest common factor of 45 and 60. This method can be time consuming, but it’s simple and it will always work. You can also start at any high common factor you can spot straight away, and then simply look for higher factors of each number.
Finding the Greatest Common Factor: Method Two
The second method of finding the GCF for two numbers is to use prime factors. The process of prime factorization is a little easier and more structured than finding every factor. Let’s go through the process for 42 and 63.
The process of prime factorization basically involves breaking the number down until you’re only left with prime numbers. It’s best to start with the smallest prime (two) and work from there. So for 42, it’s easy to see that 2 × 21 = 42. Then work from 21: Is 2 a factor? No. Is 3? Yes! 3 × 7 = 21, and 3 and 7 are both prime numbers. This means the prime factors of 42 are 2, 3 and 7. The first “break” used 2 to get to 21, and the second broke this down into 3 and 7. You can check this by multiplying all of your factors together and checking you get the original number: 2 × 3 × 7 = 42.
For 63, 2 isn’t a factor, but 3 is, because 3 × 21 = 63. Again, 21 breaks down into 3 and 7 – both prime – so you know the prime factors! Checking shows that 3 × 3 × 7 = 63, as required.
You find the highest common factor by looking at which prime factors the two numbers have in common. In this case, 42 has 2, 3 and 7, and 63 has 3, 3 and 7. They have 3 and 7 in common. To find the highest common factor, multiply all of the common prime factors together. In this case, 3 × 7 = 21, so 21 is the greatest common factor of 42 and 63.
The previous example can be solved more quickly this way too. Because 45 is divisible by three (3 × 15 = 45), and 15 is also divisible by three (3 × 5 = 15), the prime factors of 45 are 3, 3 and 5. For 60, it’s divisible by two (2 × 30 = 60), 30 is divisible by two as well (2 × 15 = 30), and then you’re left with 15, which we know has three and five as prime factors, leaving 2, 2, 3 and 5. Comparing the two lists, three and five are the common prime factors, so the greatest common factor is 3 × 5 = 15.
In the event that there are three or more common prime factors, you multiply them all together in the same way to find the greatest common factor.
Simplifying Fractions With Common Factors
If you’re presented with a fraction like 32/96, it can make any calculations that come after it very complicated unless you can spot a way to simplify the fraction. Finding the lowest common factor of 32 and 96 will tell you the number to divide both by, to get a simpler fraction. In this case:
32 = 2 × 16 \ 16 = 2 × 2 × 2 × 2 \ text{So } 32 = 2^5 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2
For 96, the process gives:
96 = 48 × 2 \ 48 = 24 × 2 \ 24 = 12 × 2 \ 12 = 6 × 2 \ 6 = 3 × 2 \ text{So } 96 = 2^5 × 3 = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 3
It should be clear that 25 = 32 is the highest common factor. Dividing both parts of the fraction by 32 gives:
frac{32}{96} = frac{1}{3}
Finding common denominators is a similar process. Imagine that you had to add the fractions 15/45 and 40/60. We know from the first example that 15 is the highest common factor of 45 and 60, so we can immediately express them as 5/15 and 10/15. Since 3 × 5 = 15, and both numerators are also divisible by five, we can divide both parts of both fractions by five to get 1 /3 and 2/3. Now they are much easier to add and see that
frac{15}{45} + frac{40}{60} = 1
Нахождение НОК и НОД двух натуральных чисел
Содержание:
- Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
- Особенности вычисления, алгоритм Евклида
- Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
- Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Что такое НОК и НОД двух натуральных чисел
Натуральными числами называют числа, которые используются при счете – 1, 2, 3, 16, 25, 101, 2560 и далее до бесконечности. Ноль, отрицательные и дробные или нецелые числа не относятся к натуральным.
Наименьшее общее кратное (НОК) двух натуральных чисел a и b – это наименьшее число, которое делится без остатка на каждое из рассматриваемых чисел.
Наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b – это наибольшее число, на которое делится без остатка каждое рассматриваемое число.
Осторожно! Если преподаватель обнаружит плагиат в работе, не избежать крупных проблем (вплоть до отчисления). Если нет возможности написать самому, закажите тут.
Свойства НОК и НОД для натуральных чисел a и b
- (НОД (a, b) = НОД (b, a);)
- (НОК (a, b) = НОК (b, a);)
- (НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.)
Особенности вычисления, алгоритм Евклида
Рассмотрим два способа определения НОД и НОК с помощью алгоритма Евклида:
- Способ деления.
При делении целых чисел с остатком, где a — делимое, b – делитель (b не равно 0) находят целые числа q и r согласно равенству (a=btimes) q+r, в котором q – неполное частное, r – остаток при делении (не отрицательное, по модулю меньше делителя).
Чтобы вычислить НОД, первоначально нужно выбрать наибольшее из двух чисел и поделить его на меньшее. Пока остаток не станет равным нулю, повторяется цикл деления делителя на остаток от деления в соответствии с формулой.
Пример №1
Вычислим НОД для чисел 12 и 20. Делим 20 на 12 и получаем 1 и 8 в остатке. Запишем иначе:
(20=12times1+8), так как остаток не равняется нулю, продолжаем деление. Делим 12 на 8 и получаем 1 и 4 в остатке. Записываем: (12=8times1+4) и по аналогии делим 8 на 4 и получаем 2 и 0 в остатке. НОД равен остатку, предшествующему нулю.
НОД (12;20) = 4
НОК получаем согласно свойству (НОК (a, b) = НОК;(a,b)=frac{a;times;b}{НОД;(a,b)}.) Подставляем числовые значения:
НОК (12; 20) = (12times20div4=60)
НОК (12;20) = 60
- Способ вычитания.
Здесь повторяется цикл вычитания из наибольшего числа меньшего числа до момента, пока разность не станет равна нулю. НОД равен предшествующей нулю разности.
Пример №2
Вычислим НОД для тех же чисел, 12 и 20.
20 – 12 = 8 (разность не равна нулю, продолжаем)
12 – 8 = 4
8 – 4 = 4
4 – 4 = 0
НОД (12;20) = 4
НОК находим также, как и при методе деления.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД)
Для нахождения наибольшего общего делителя воспользуемся пошаговым алгоритмом:
- Разложить числа на простые множители.
- Найти общий множитель одного и другого числа.
- Перемножить общие множители, если их несколько, и их произведение будет НОД.
Пример №3
Возьмем натуральные числа 24 и 36.
(24=2times2times2times3)
(36=2times2times3times3)
Правильно записать следующим образом:
(НОД (24;36)=2times3=6)
Примечание
В случае, когда одно или оба числа относятся к простым, т.е. делятся только на единицу и на само себя, то их НОД равняется 1.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК)
Для нахождения наименьшего общего кратного воспользуемся подробным алгоритмом:
- Наибольшее из чисел, а затем остальные разложить на простые множители.
- Выделить те множители, которые отсутствуют у наибольшего.
- Перемножить множители п. 2 и множители наибольшего числа, получить НОК.
Пример №4
Возьмем натуральные числа 9 и 12.
(12=2times2times3)
(9=3times3) (видим, что у числа 12 отсутствует одна тройка)
Правильно записать следующим образом:
(НОК (9;12)=2times2times3times3=36)
Насколько полезной была для вас статья?
Рейтинг: 3.00 (Голосов: 4)
Выделите текст и нажмите одновременно клавиши «Ctrl» и «Enter»
Текст с ошибкой:
Расскажите, что не так
Поиск по содержимому
План урока:
Наибольший общий делитель
Взаимно простые числа
Минутка истории
Наибольший общий делитель
Встречаются ситуации, когда хочется понимать, на какое максимальное количество делится одновременно несколько числовых значений.
Например:
В городском парке проводился ежегодный марафон. Для участия в марафоне пришло 36 мальчиков, 24 девочки. По условиям соревнования, всех участников необходимо поделить на команды, в которые войдут и мальчики, и девочки. Сколько одинаковых команд можно сформировать из данного количества детей?
Чтобы ответь на вопрос задачи, вычислим максимальное числовое значение, являющееся делителем для количества всех ребят одновременно.
Выполним необходимые вычисления – определим существующие множители. Вычисления запишем в столбик.
Начнем с 36.
36 | 2
18
Полученное частное – 18, оно четное. Делитель остается прежним:
36 | 2
18 | 2
9
9 – нечетное, поэтому берем следующий делитель – 3:
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3
Частное – простое числовое значение, делится само на себя:
36 | 2
18 | 2
9 | 3
3 | 3
1
Частное – единица, разложение окончено.
Выпишем составляющие:
36 = 2×2×3×3
Переходим к 24.
24 заканчивается четной цифрой, значит, кратно двум:
242
12
Делитель оставляем прежним, частное 12 – четное:
242
122
6
Результат деления 6, снова делим на 2:
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3
Получили простое числовое значение, которое делится само на себя:
24 | 2
12 | 2
6 | 2
3 | 3
1
Разложение окончено. Запишем полученные компоненты:
24 = 2 × 2 × 2 × 3.
В финале выполненных вычислений мы получили:
36 = 2 × 2 × 2 × 3× 3;
24 = 2 × 2 × 2 × 3.
Давайте выберем одинаковые составляющие. Видно, что в каждом выражении такими составляющими будут: 2 ×2 × 3.
Перемножим выделенные компоненты:
2 ×2 × 3 = 12.
12 – самое большое числовое значение, на которое можно разделить оба делимых.
Мы выяснили, что всех участников можно распределить на 12 одинаковых команд.
Решая задачу, нашли самый большой делитель двух данных чисел. В арифметике число, являющееся самым большим делителем, одновременно для нескольких делимых, называют наибольшим общим делителем.
Для определения наибольшего общего делителя, нужно придерживаться определенного порядка выполнения математических действий:
Выполним задание.
Определите НОД (наибольший общий делитель) 66 и 44.
Чтобы выполнить задание будем придерживаться рассмотренного алгоритма действий.
Определим компоненты, входящие в состав числового значения.
Значит:
66 | 2
33
Результат деления оканчивается нечетной цифрой, проверяем по признакам делимости на 3:
66 | 2
33 | 3
11
Мы получили простое числовое значение
66 | 2
33 | 3
11 | 11
1
В итоге вычислений – 1, разложение окончено.
Переходим ко второму известному значению.
- 1) Определим составляющие, входящие в состав:
Проверяем по признакам делимости. Данное числовое значение заканчивается четной цифрой, значит, оно делится на 2.
44 | 2
22
Частное снова делится на 2:
44 | 2
22 | 2
11
В результате простое число, делим само на себя:
44 | 2
22 | 2
11 | 11
1
Разложение окончено.
- 2) Выпишем компоненты обоих делимых, определим одинаковые:
66 = 2 × 3 × 11
44 = 2 ×2 × 11
- 3) Перемножим выделенные составляющие:
2 × 11=22
Выходит, что наибольший общий делитель – 22.
На письме, рядом с обозначением НОД в скобочках записывают делимые, для которых определяли наибольший общий делитель:
НОД (66;44) = 22.
Разберем задачу
Выпускники на праздник последнего звонка, приготовили цветы своим учителям. Они принесли 69 роз и 46 гладиолусов и разделили поровну между всеми учителями. Сколько учителей поздравили выпускники?
Зная, что цветы были поделены поровну, нам необходимо найти максимальную численность учителей,на которую можно разделить и розы и гладиолусы.
Для определения НОД данных делимых, воспользуемся алгоритмом вычисления:
- 1) Разложим на составляющие:
69 | 3 46 | 2
23 | 23 23 | 23
1 1
- 2) Выберем общее числовое значение находящееся в составляющих :
69 = 3 × 23
46 = 2 × 23.
Нам подходит только 23.
НОД (69;46) = 23.
Наибольшим общим делителем для данных чисел будет 23.
Выпускники поздравили 23 учителя.
Взаимно простые числа
Рассмотрим ситуацию.
В первой банке лежало 9 декоративных камней, во второй – 14 . Сколько предметов интерьера, можно украсить имеющимся материалом, если на каждое изделие использовать равное, при этом, наибольшее количество,камней из первой и второй коробки?
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:
14 | 2 9 | 3
7 | 7 3 | 3
1 1
Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:
14 = 2 × 7
9 = 3 × 3
Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.
Данным количеством камней получится украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.
В арифметике числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми.
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, нужно выполнить определенные вычисления. Для этого, разложим данные значения на простые составляющие:
14 | 2 9 | 3
7 | 7 3 | 3
1 1
Выписываем компоненты, входящие в состав известных значений:
14 = 2 × 7
9 = 3 × 3
Повторяющихся составляющих нет. Мы знаем, если любое натуральное число умножить на 1, числовое значение не изменится. Значит, единственный, наибольший общий множитель чисел – 1.
Данным количеством камней, получится украсить только один предмет интерьера, если использовать равное, наибольшее количество материала из обеих банок.
В арифметике, числа, наибольшим общим множителем которых является 1, называют взаимно простыми
Чтобы ответить на главный вопрос задачи, необходимо определить самое маленькое числовое значение, которое будет, без остатка делиться на 4, на 5, то есть будет кратно 4, 5.
Сначала, подберем значения, кратные четырем: 4,8,12,16,20,24,28.
Теперь, значения, кратные пяти: 5,10,15,20,25,30.
После этого, необходимо найти самое маленькое число, которое будет кратным 4, 5 одновременно.
Из перечисленных числовых значений, подходит только 20. Оно делится без остатка на 4, на 5. Наименьшим общим кратным двух чисел будет 20.
Важно!
В математике существует специальный алгоритм для нахождения наименьшего общего кратного нескольких натуральных числовых значений:
Например:
Вычислим НОК для 30 и 32.
Чтобы выполнить нужные вычисления воспользуемся алгоритмом нахождения НОК.
Разберем задачу
В городе Москва, для качественной съемки парада, приуроченного к празднику 9 Мая, организаторы подготовили квадрокоптеры с видеокамерами. Из одной точки одновременно, будут запущены три аппарата. Время полета первого 8 минут, второго – 12.Через какое время,квадрокоптеры снова будут запущены одновременно, если по возвращению в точку запуска им меняют батарею и сразу отправляют назад.
Чтобы получить ответ на главный вопрос задачи, найдем наименьшее числовое значение, кратное двум данным величинам.
Для этого будем использовать рассмотренный алгоритм:
Квадрокоптеры будут одновременно запущены через 24 минуты.
Последняя задачка на внимательность.
На уроке Ваня около доски выполнял задание. Он написал: НОК (25; 115) = 100. Подскажите Ване, верно ли он выполнил задание (не выполняя вычислений)?
Вначале, давайте вспомним определение НОК:
Из определения следует, НОК нацело делится на известные данные. Однако,видим, что 100 на 115 нацело разделить невозможно. Поэтому Ваня, допустил ошибку в своих расчетах!
Вот так легко и просто можно решить огромное количество задач, даже не совершая сложных вычислений!
Пока, вы только ученики 6 класса. Пройдет совсем немного времени и каждому придется делать главный выбор в своей жизни – «Кем стать?». Если решите связать жизнь с программированием, интернет-ресурсами, научной деятельностью, вам нужно запомнить все правила и определения. Рассмотренные сегодня алгоритмы лежат в основе разработки, создания, компьютерных программ, сайтов, игр.
Минутка истории
1. Древнегреческий математик Эвклид, создавший алгоритм нахождения НОД, совершил множество математических открытий, аналогов которым ученые не нашли. Самым интересным, является то, что биографических сведений о самом Эвклиде не существует.
2. Среди бесконечного множества простых чисел, заканчивающихся на два и пять, существует только два: 2 и 5.
3. Результат суммирования цифр числа 18, в два раза меньше этого числа. Существует только одно число такого плана.
4. Однажды, математик Абрахам де Муавр, живший в Англии, находясь в преклонном возрасте, выяснил, что временной период, занимающий сон, увеличивается ежедневно на четвертую часть часа. Проведя вычисления, он определил день, когда длительность сна достигнет суток. По его расчетам это должно произойти двадцать седьмого ноября 1754 года. Именно эта дата стала датой смерти английского ученого.
Простые и составные числа, НОД и НОК
Тема простых чисел, общих делителей и кратных даёт простор для озадачивания юных математиков посильным и остроумным счётом. А матёрым математическим мастодонтам — простор для исследований, которые далеки от завершения.
Натуральный ряд
Натуральные числа означают количество целых предметов: 1, 2, 3, 4, 5 … Натуральный ряд бесконечен. Сумма двух натуральных чисел — это натуральное число. Произведение двух натуральных чисел — это натуральное число.
Простые числа
Простые числа — это числа, которые делятся только на себя и на единицу.
1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, …
Простых чисел бесконечно много (это утверждение доказано в отдельном уроке).
Составные числа
Составные числа — делятся на другие числа ( другими словами — представляются в виде произведения своих делителей).
24 = 2 × 2 × 2 × 3
25 = 5 × 5
26 = 2 × 13
27 = 3 × 3 × 3
28 = 2 × 2 × 7
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел
Наибольший общий делитель (НОД) нескольких данных чисел — это наибольшее число, на которое делятся все данные числа.
НОД(3;7) = 1
НОД(12;8) = 4
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел
Наименьшее общее кратное (НОК) нескольких данных чисел — это наименьшее число, которое делится на все данные числа.
НОК(3;7) = 21
НОК(12;8) = 24
Взаимно простые числа
Взаимно простые числа — это числа, у которых наибольший общий делитель = 1.
Что значит разложить число на простые множители?
Составное число можно по-разному разложить на множители
12 = 3 × 4 или 12 = 6 × 2,
потому что 4 делится и 6 делится. Но существует только одно разложение на простые множители
12 = 2 × 2 × 3,
потому что 2 и 3 уже дальше не делятся.
Как найти наибольший общий делитель (НОД) нескольких чисел?
Чтобы найти НОД нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и общие множители перемножить.
НОД(96;150) = 6
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
3 и 2 — это общие множители
3 × 2 — это наибольший общий множитель.
НОД(72;60) = 12
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
3 и 2 и 2 — это общие множители
3 × 2 × 2 — это наибольший общий множитель.
Как найти наименьшее общее кратное (НОК) нескольких чисел?
Чтобы найти НОК нескольких данных чисел, нужно представить эти числа в виде произведения простых множителей, и множители одного числа домножить на недостающие множители из других чисел.
НОК(96;150)=2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2
150 = 5 × 5 × 3 × 2 — не делится на 96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2, поэтому к 150 припишем недостающие четыре двойки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
96 = 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 — не делится на 150 = 5 × 5 × 3 × 2, поэтому к 96 припишем недостающие две пятёрки — получится 5 × 5 × 3 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 2400
НОК(72;60) = 360
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2
60 = 5 × 3 × 2 × 2
72 = 3 × 3 × 2 × 2 × 2 не делится на 60, поэтому к 72 припишем недостающую 5 — получится 3 × 3 × 2 × 2 × 2 × 5 = 360
60 = 5 × 3 × 2 × 2 не делится на 72, поэтому к 60 припишем недостающие 3 × 2 — получится 5 × 3 × 2 × 2 × 3 × 2 = 360
Как найти общий множитель
Для решения уравнений высших порядков существует множество способов. Иногда целесообразно совмещать их, чтобы добиться результата. Например, при разложении на множители и группировке часто используют метод нахождения общего множителя группы двучленов и вынесения его за скобки.
Инструкция
Определение общего множителя многочлена требуется при упрощении громоздких выражений, а также при решении уравнений высших степеней. Этот метод имеет смысл, если степень многочлена не ниже второй. При этом общим множителем может быть не только двучлен первой степени, но и более высоких степеней.
Чтобы найти общий множитель слагаемых многочлена, необходимо выполнить ряд преобразований. Простейший двучлен или одночлен, который можно вынести за скобки, будет одним из корней многочлена. Очевидно, что в случае, когда многочлен не имеет свободного члена, будет неизвестное в первой степени – корень многочлена, равный 0.
Более сложным для поиска общего множителя является случай, когда свободный член не равен нулю. Тогда применимы способы простого подбора или группировки. Например, пусть все корни многочлена рациональные, при этом все коэффициенты многочлена – целые числа:y^4 + 3·y³ – y² – 9·y – 18.
Выпишите все целочисленные делители свободного члена. Если у многочлена есть рациональные корни, то они находятся среди них. В результате подбора получаются корни 2 и -3. Значит, общими множителями этого многочлена будут двучлены (y — 2) и (y + 3).
Очевидно, что степень оставшегося многочлена при этом понизится с четвертой до второй. Чтобы получить его, проведите деление исходного многочлена последовательно на (y — 2) и (y + 3). Выполняется это подобно делению чисел, в столбик.
Метод вынесения общего множителя является одним из составляющих разложения на множители. Описанный выше способ применим, если коэффициент при старшей степени равен 1. Если это не так, то сначала необходимо выполнить ряд преобразований. Например:2y³ + 19·y² + 41·y + 15.
Выполните замену вида t = 2³·y³. Для этого умножьте все коэффициенты многочлена на 4:2³·y³ + 19·2²·y² + 82·2·y + 60. После замены: t³ + 19·t² + 82·t + 60. Теперь для поиска общего множителя применим вышеописанный способ.
Кроме того, эффективным методом поиска общего множителя является группировка элементов многочлена. Особенно он полезен, когда первый способ не работает, т.е. у многочлена нет рациональных корней. Однако реализация группировки не всегда бывает очевидной. Например:У многочлена y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 нет целых корней.
Воспользуйтесь группировкой:y^4 + 4·y³ – y² – 8·y – 2 = y^4 + 4·y³ – 2·y² + y² – 8·y – 2 = (y^4 – 2·y²) + (4·y³ – 8·y) + y² – 2 = (y² — 2)*(y² + 4·y + 1).Общий множитель элементов этого многочлена (y² — 2).
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.