Содержание:
- Определение и формула пути
- Виды движения и формулы длины пути
- Единицы измерения пути
- Примеры решения задач
Определение и формула пути
Линия, которую описывает материальная точка при своем движении, называется траекторией.
Определение
Длиной пути называют сумму длин всех участков траектории, которые прошла точка за рассматриваемый промежуток времени
от t1 до t2.
В том случае, если уравнения движения представлены в прямоугольной декартовой системе координат, то длина пути (s) определяется как:
$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d x}{d t}right)^{2}+left(frac{d y}{d t}right)^{2}+left(frac{d z}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{x})^{2}+(dot{y})^{2}+(dot{z})^{2}} d t(1)$$
В цилиндрических координатах длина пути может быть выражена как:
$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d rho}{d t}right)^{2}+left(rho frac{d varphi}{d t}right)^{2}+left(frac{d z}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{rho})^{2}+(rho dot{varphi})^{2}+(dot{z})^{2}} d t(2)$$
В сферических координатах формулу длины пути запишем:
$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{left(frac{d r}{d t}right)^{2}+left(r frac{d theta}{d t}right)^{2}+left(r sin theta frac{d varphi}{d t}right)^{2}} d t=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{r})^{2}+(r dot{theta})^{2}+(r varphi sin theta)^{2}} d t(3)$$
Местоположение перемещающейся материальной точки в фиксированный момент времени, например t=t1 называют начальным положением.
Очень часто полагают t1=0. Длин пути, который прошла материальная точка из начального положения – скалярная функция времени: s=s(t).
Считают, что за промежуток времени $d t rightarrow 0$ материальная точка проходит путь ds,
который называют элементарным. При этом:
$$d s=|d bar{r}|=v d t$$
где $bar{r}$ – вектор элементарного перемещения материальной точки, v – модуль скорости ее движения.
Виды движения и формулы длины пути
Длина пути при равномерном движении (v=const) точки равна:
$$s=vleft(t_{2}-t_{1}right)(5)$$
где t1 – начало отсчета движения, t2 – окончание отсчета. Формула (5) показывает то, что длина пути, который проходит равномерно движущаяся материальная точка – это линейная функция времени.
Если движение не является равномерным, то можно длину пути
$Delta s$ на отрезке времени от
$t$ до
$t + Delta t$ находят как:
$$Delta s=langle vrangle Delta t(6)$$
где $langle vrangle$ – средняя путевая скорость. При равномерном движении
$langle vrangle = v$ .
Путь, который проходит материальная тоска при равнопеременном движении (a=const)вычисляют как:
$$s=v_{0} t+frac{a t^{2}}{2}(7)$$
где a – постоянное ускорение, v0 – начальная скорость движения.
Единицы измерения пути
Основной единицей измерения пути в системе СИ является: [s]=м
В СГС: [s]=см
Примеры решения задач
Пример
Задание. Траектория движения материальной точки изображена на рис. 1. Каков путь, пройденный точкой,
чему равно перемещение, если точка двигалась 1-2-3-4.
Решение. Перемещение – кратчайшее расстояние между точками 1 и 4. Следовательно, перемещение точки равно:
$$6 — 2 = 4 (m)$$
Путь – длина траектории. Рассматривая график на рис.1 получаем, что путь материальной точки равен:
$$8 + 4 + 8 = 20 (m)$$
Ответ. Путь равен 20 м, перемещение равно 4 м.
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Уравнение движения материальной точки в прямоугольной декартовой системе координат представлено функцией:
x=-0,2t2 (м) . Какой путь пройдет материальная точка за 5 с?
Решение. Так как уравнение движения задано только одной координатой, то в качестве основы для решения
задачи примем формулу пути в виде:
$$s=int_{t_{1}}^{t_{2}} sqrt{(dot{x})^{2}} d t(2.1)$$
Подставим в (2.1) функцию x=-0,2t2, учтем, что $0 c leq t leq 5 c$ имеем:
$$s=int_{0}^{5} sqrt{left(-0,2 frac{dleft(t^{2}right)}{d t}right)^{2}} d t=0,left.4 cdot frac{t^{2}}{2}right|_{0} ^{5}=5(m)$$
Ответ. s=5м.
Читать дальше: Формула равноускоренного движения.
Андрей Геннадьевич Блохин
Эксперт по предмету «Физика»
Задать вопрос автору статьи
В физике следует различать траекторию, путь и перемещение.
Определение 1
Траектория — форма линии, описываемая телом. Ее длина представляет собой путь и является скалярной величиной. Перемещением же называется вектор, соединяющий точки начала и конца пути, и направленный от начала к концу.
Длина пути измеряется в системе СИ в метрах, в СГС (сантиметр, грамм, секунда) — в сантиметрах. Применяются и другие единицы измерения длины, в том числе внесистемные (дюйм, фут, ярд, миля и т.д.).
При движении без ускорения путь равен произведению скорости на расстояние:
$S = v cdot (t_2 — t_1) = v cdot Delta t$,
где $v_0$ – скорость тела, $t_2$ — момент времени окончания движения, $t_1$ — момент времени начала движения, $Delta t$ — время движения. График зависимости пути от времени на координатной плоскости в случае такого, называемого равномерным, движения является прямой линией.
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Замечание 1
Поскольку скорость — векторная величина, равномерным можно считать только движение по прямой, т.к. при изменении направления движения вектор не остается неизменным даже при сохранении его длины.
Если равноускоренное движение начато с нулевой скорости и известно ускорение, то формула пути имеет вид
$S = frac{a cdot t^{2}}{2}$
где $a$ – ускорение тела.
Объединив два условия, получим общую формулу нахождения пути при равноускоренном движении с произвольной начальной скоростью:
$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$.
Если движение не равномерное и известна средняя скорость движения, то путь можно выразить и другим способом:
$S = v_{ср.} cdot Delta t$,
где $v_{ср.}$ — средняя скорость движения.
На практике движение бывает равномерным или равноускоренным лишь на небольших фрагментах пути, поэтому для вычисления его длины траекторию разбивают на участки, где тело движется по простым закономерностям, вычисляют длину каждого из них и суммируют. Если известна траектория, то ее разбивают на фрагменты, каждый из которых имеет простую геометрическую форму. Сложив их длины, можно найти путь.
Пример 1
Найти путь, пройденный при движении с ускорением 2 $м/с^2$ в течение 20 с, если скорость на момент начала измерения была равна 10 м/с.
Подставим в формулу численные значения:
$S = frac{a cdot t^2}{2} + v_0 cdot Delta t$
$S = frac{2 cdot 20^2}{2} + 10 cdot 20 = 600 м$.
Ответ: длина пути составила 600 метров.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Прежде чем начать говорить о равномерном прямолинейном движении необходимо уяснить следующие определения:
- равномерное движение — это движение тела с постоянной (не меняющейся) скоростью. Т. е. скорость при таком движении является константой,
- прямолинейное движение — это такое движение, траектория которого — прямая линия. Другими словами это движение по прямой,
- равномерное прямолинейное движение в таком случае — это движение по прямой с постоянной скоростью. При таком движении тело за равные промежутки времени проходит одинаковые расстояния.
Скорость при прямолинейном движении — величина постоянная. Для того, чтобы найти скорость, необходимо пройденный путь разделить на время, за которое он был пройден.
Формула скорости равномерного прямолинейного движения
{vec V=frac {vec S}{t}}
V — скорость тела
S — перемещение при прямолинейном равномерном движении (путь)
t — время движения
Найти скорость равномерного прямолинейного движения онлайн
Применительно к равномерному движению можно сказать, что скорость показывает перемещение, которое совершает тело за единицу времени
Из формулы скорости легко выразить формулу для нахождения перемещения тела:
Формула перемещения тела при равномерном прямолинейном движении
{vec S=vec V cdot t}
S — перемещение при прямолинейном равномерном движении (путь)
V — скорость тела
t — время движения
Найти перемещение при прямолинейном равномерном движении онлайн
Координату тела при прямолинейном равномерном движении легко найти по формуле:
Формула координаты тела при равномерном прямолинейном движении
{x=x_0+ V cdot t}
x — координата тела в текущий момент времени
x0 — координата тела в начальный момент времени
V — скорость тела
t — время движения
Найти координату тела при равномерном прямолинейном движении онлайн
Примеры равномерного прямолинейного движения
- автомобиль, движущийся с неизменной скоростью по прямой автомагистрали,
- самолет, который летит не меняя курса и высоты с постоянной скоростью,
- человек, идущий по прямой дороге с одной скоростью.
На прошлых уроках мы познакомились с определением механического движения, узнали, каким бывает движение, изучили его свойства и характеристики. Теперь нам известны формулы для расчета скорости при равномерном движении ($upsilon = frac{S}{t}$) и средней скорости при неравномерном ($upsilon_{ср} = frac{S}{t}$).
На данном уроке мы посмотрим на эти формулы с другой стороны — научимся использовать их для расчета пути и времени движения, а также рассмотрим графики скорости и пути для равномерного движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при равномерном движении тела
Скорость тела при равномерном движении вычисляется по формуле $upsilon = frac{S}{t}$. Отсюда, если мы знаем скорость и время, то можем найти пройденный путь:
$S = upsilon t$.
Чтобы определить путь, пройденный телом при равномерном движении, нужно скорость тела умножить на время его движения.
Выразим время:
$t = frac{S}{upsilon}$.
Чтобы рассчитать время при равномерном движении, нужно путь, пройденный телом, разделить на скорость его движения.
Формулы для расчета пути и времени движения при неравномерном движении тела
При неравномерном движении мы используем определение средней скорости, которую можем найти по формуле:
$upsilon_{ср} = frac{S}{t}$.
Чтобы определить путь при неравномерном движении, нужно среднюю скорость движения умножить на время:
$large S = upsilon_{ср} t$.
Также мы можем рассчитать время, разделив путь, пройденный телом, на среднюю скорость его движения:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$.
График скорости равномерного движения
Так как скорость – это векторная величина, она характеризуется и модулем, и направлением. В зависимости от выбранного направления скорость по знаку может быть как положительной, так и отрицательной.
На рисунке 1 изображен динозавр, автомобиль и дом. Зададим ось координат $x$.
Если динозавр начнет двигаться к дому, то его скорость будет положительной, так как направление движения совпадает с направлением оси $x$. Если же динозавр направится к автомобилю, то его скорость будет отрицательной, так как направление движения противоположно направлению оси $x$.
Итак, график скорости равномерного движения имеет вид, представленный на рисунке 2.
Из графика видно, что скорости с течением времени не изменяется – они постоянны в любой выбранный момент времени. Если мы посмотрим на график положительной скорости, то увидим, что $upsilon = 6 frac{м}{с}$, на график отрицательной — $upsilon = -4 frac{м}{с}$.
Зная скорость и время, мы можем рассчитать пройденный путь за определенный промежуток времени. Рассчитаем какой путь пройдет тело с положительной скоростью за $4 space с$.
$S = upsilon t = 6 frac{м}{с} cdot space 4 c = 24 space м$.
График пути равномерного движения
Пример графика зависимости пути равномерного движения представлен на рисунке 3.
Здесь $S$ — ось пройденных путей, $t$ — ось времени. По этому графику мы можем найти путь, пройденный телом за определенный промежуток времени. Например, за 1 с тело проходит путь длиной 2 м, за 2 с – 4 м, за 3 с – 6 м.
Зная путь и время, мы можем рассчитать скорость. Для удобства расчета возьмем самый первый отрезок пути: $t = 1 space с$, $S = 2 space м$. Тогда,
$upsilon = frac{S}{t} = frac{2 space м}{1 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Задачи
Задача №1
Самым быстрым животным на Земле считается гепард. Он способен развивать скорость до $120 frac{км}{ч}$, но сохранять ее способен в течение короткого промежутка времени. Если за несколько секунд он не настигнет добычу, то, вероятнее всего, уже не сможет ее догнать. Найдите путь, который пробежит гепард на максимальной скорости за $3$ секунды.
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$120 frac{км}{ч} = 120 cdot frac{1000 space м}{3600 space с} approx 33 frac{м}{с}$.
Дано:
$upsilon = 120 frac{км}{ч}$
$t = 3 space c$
СИ:
$upsilon = 33 frac{м}{с}$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Гепард двигается равномерно в течение 3 с.
Путь, который он проходит за это время:
$S = upsilon t$,
$S = 33 frac{м}{с} cdot 3 с approx 100 space м$
Ответ: $S = 100 space м$.
Задача №2
Колибри – самые маленькие птицы на нашей планете. При полете они совершают около 4000 взмахов в минуту. Тем не менее, они способны пролетать очень большие расстояния. Например, некоторые виды данной птицы перелетают Мексиканский залив длиной $900 км$ со средней скоростью $40 frac{км}{ч}$. Сколько времени у них занимает такой полет?
Переведем единицы измерения скорость в СИ и решим задачу.
$40 frac{км}{ч} = 40 cdot frac{1000 м}{3600 с} approx 11 frac{м}{с}$,
$900 space км = 900 space 000 м$.
Дано:
$upsilon_{ср} = 40 frac{км}{ч}$
$S = 900 space км$
CИ:
$upsilon_{ср} = 11 frac{м}{с}$
$S = 900 space 000 space м$
$t-?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Полет колибри будет примером неравномерного движения. Зная среднюю скорость и путь, рассчитаем время перелета:
$t = frac{s}{upsilon_{ср}}$,
$t = frac{900 space 000 space м}{11 frac{м}{с}} approx 82 space 000 space с$.
Переведем время в часы:
$1 space ч = 60 space мин = 60 cdot 60 space c = 3600 space c$.
Тогда:
$t = frac{82 space 000 space c}{3600 space c} approx 23 space ч$.
Ответ: $t = 23 space ч$.
Больше задач на расчет пути и времени движения с подробными решениями смотрите в отдельном уроке.
Упражнения
Упражнение №1
Пользуясь таблицей 1 из прошлого урока, найдите скорости страуса, автомобиля, искусственного спутника Земли. Определите пути, пройденные ими за $5 space с$.
Дано:
$upsilon_1 = 22 frac{м}{с}$
$upsilon_2 = 20 frac{м}{с}$
$upsilon_3 = 8000 frac{м}{с}$
$t = 5 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
$S_3 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь, пройденный страусом:
$S_1 = upsilon_1 t$,
$S_1 = 22 frac{м}{с} cdot 5 space с = 110 space м$.
Путь, пройденный автомобилем:
$S_2 = upsilon_2 t$,
$S_2 = 20 frac{м}{с} cdot 5 space с = 100 space м$.
Путь, пройденный искусственным спутником Земли:
$S_3 = upsilon_3 t$,
$S_3 = 8000 frac{м}{с} cdot 5 space с = 40 space 000 space м = 40 space км$.
Ответ: $S_1 = 110 space м$, $S_2 = 100 space м$, $S_3 = 40 space км$.
Упражнение №2
На велосипеде можно без особого напряжения ехать со скоростью $3 frac{м}{с}$. На какое расстояние можно уехать за $1.5 space ч$?
Дано:
$t = 1.5 space ч$
$upsilon = 3 frac{м}{с}$
СИ:
$t = 5400 space с$
$S — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем путь, который можно проехать на велосипеде с указанной скоростью:
$S = upsilon t$,
$S = 3 frac{м}{с} cdot 5400 space с = 16 space 200 space м = 16.2 space км$.
Ответ: $S = 16.2 space км$.
Упражнение №3
На рисунке 4 показан график зависимости пути равномерного движения тела от времени ($S$ — ось пройденного пути, $t$ — ось времени). По этому графику найдите, чему равен путь, пройденный телом за $2 space ч$. Затем рассчитайте скорость тела.
Определим из графика путь, пройденный телом за $2 space ч$. Этому времени на графике соответствует значение пути, равное $200 space км$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 200 space км$
$t = 2 space ч$
$upsilon — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Скорость равномерного движения рассчитываем по формуле:
$upsilon = frac{S}{t}$.
$upsilon = frac{200 space км}{2 space ч} = 100 frac{км}{ч}$.
Ответ: $upsilon = 100 frac{км}{ч}$.
Упражнение №4
График зависимости скорости равномерного движения тела от времени представлен на рисунке 5. По этому графику определите скорость движения тела. Рассчитайте путь, который пройдет тело за $2 space ч$, $4 space ч$.
Из графика видно, что скорость тела равна $8 frac{м}{с}$. Этот график представляет собой прямую, параллельную оси времени, потому что движение равномерное, и скорость тела не изменяется с течением времени. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$t_1 = 2 space ч$
$t_2 = 4 space ч$
$upsilon = 8 frac{м}{с}$
СИ:
$t_1 = 7200 space с$
$t_2 = 14 space 400 space с$
$S_1 — ?$
$S_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Путь рассчитаем по формуле: $S = upsilon t$.
За $2 space ч$ тело пройдет путь:
$S_1 = upsilon t_1$,
$S_1 = 8 frac{м}{с} cdot 7200 space с = 57 space 600 space м = 57.6 space км$.
За $4 space ч$ тело пройдет путь:
$S_2 = upsilon t_2$,
$S_2 = 8 frac{м}{с} cdot 14 space 400 space с = 115 space 200 space м = 115.2 space км$.
Ответ: $S_1 = 57.6 space км$, $S_2 = 115.2 space км$.
Упражнения №5
По графикам зависимости путей от времени (рисунок 6) двух тел, движущихся равномерно, определите скорости этих тел. Скорость какого тела больше?
Для того, чтобы рассчитать скорость тела, нам нужно знать путь и время, за которое этот путь был пройден. Возьмем эти значения для двух тел из их графиков. Первое тело (I) проходит путь, равный $4 space м$, за $2 space с$. Второе тело (II) проходит путь, равный $4 space м$, за $4 space с$. Запишем условие задачи и решим ее.
Дано:
$S = 4 space м$
$t_1 = 2 space с$
$t_2 = 4 space с$
$upsilon_1 — ?$
$upsilon_2 — ?$
Показать решение и ответ
Скрыть
Решение:
Рассчитаем скорость первого тела:
$upsilon_1 = frac{S}{t_1}$,
$upsilon_1 = frac{4 space м}{2 space с} = 2 frac{м}{с}$.
Рассчитаем скорость второго тела:
$upsilon_2 = frac{S}{t_2}$,
$upsilon_2 = frac{4 space м}{4 space с} = 1 frac{м}{с}$.
Получается, что скорость первого тела больше скорости второго.
Ответ: $upsilon_1 = 2 frac{м}{с}$, $upsilon_2 = 1 frac{м}{с}$, $upsilon_1 > upsilon_2$.
|
Как найти путь в физике (формула)?Саяны 5 лет назад
владсандрович 2 года назад В физике, для того что бы найти тот или иной путь и его рассчитать, имеется специальная формула и вот как она выглядит в конечном итоге : S = V*t В ней S — является отображением пути в километрах, а вот V, отображением скорости движения, которое проделывает сам объект и выводится она в конечном итоге в км/ч. Что касается t — то это то время, которое затрачивает объект на движение и дается оно в часах. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
bezdelnik 5 лет назад Найти путь в физике можно по формуле S = V*t где S — путь в километрах, V скорость движения объекта в км/ч, а t — время движения объекта в часах. комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить
frankenshtein 5 лет назад S=u°+ut+at/2 S-путь U°-начальная скорость t-время а-ускорения Е комментировать
в избранное
ссылка
отблагодарить Знаете ответ? |
