Как найти общий ток в схеме - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Download Article

The easiest way to picture a series circuit connection is a chain of elements. The elements are added consequently and in the same line. There is only one path wherein the electrons and charges can flow. Once you have a basic idea of what a series circuit connection involves, you can learn how to calculate total current.

1
Familiarize yourself with what current is. Current is the flow of electrically charged carriers like electrons or the flow of charge per unit of time. But what is a charge and what is an electron? An electron is a negatively charged particle. A charge is a property of matter that is used to classify whether a thing is positive or negatively charged. Like magnets, alike charges repel and opposites attract.^[1]
- We can illustrate this by using water. Water is composed of the molecule, H2O – which stands for 2 atoms of Hydrogen and 1 atom of Oxygen bonded together. We know that the oxygen atom and hydrogen atoms make up the molecule, H2O.
- A flowing body of water is composed of millions and millions of this molecule. We can compare the flowing body of water to the current; the molecule to electron; and the charge to the atoms.
2
Understand what voltage refers to. Voltage is the “force” that drives the current to flow. To best illustrate voltage; we will use the battery as an example. Inside the battery is a series of chemical based reactions which create a buildup of electrons in the positive terminal of the battery.^[2]
- If we now connect a medium (eg a wire) from the positive terminal to the negative terminal of the battery, the electron buildup will now move to get away from each other because as we said, alike charges repel.
- In addition, because of the law of conservation of charge, which states that the net charge of an isolated system should remain constant, the electrons will try to balance the charges by going from the higher concentration of electrons to the lower concentration of electrons or positive terminal to the negative terminal, respectively.
- This movement causes a potential difference in each of the terminals which we can now call voltage.
Advertisement
3
Know what resistance is. Resistance, on the other hand, is the opposition of certain elements to flow of charge.^[3]
- Resistors are elements with significant resistance. They are placed in certain parts of a circuit to regulate the flow of charge or electrons.
- If there are no resistors, the electrons are not regulated, the equipment may receive too much charge and it will be damaged or cause a fire due to overcharging.

1
Find the total resistance of the circuit. Imagine a straw you are drinking from. Pinch it several times. What do you notice? The water flowing will be lessened. Those pinches are the resistors. They block the water which is the current. Since the pinches are in a straight line, they are in series. Drawing from this example, the total resistance of resistors in a series is:^[4]
- R(total) = R1 + R2 + R3.
2
Identify the total voltage of the resistor. Most of the time, the total voltage is readily given, but in cases where individual voltages are given, we can use the equation:^[5]
- V(total) = V1 + V2 + V3.
- But why is this so? Using the straw analogy again, after pinching the straw, what do you expect? You need more effort to get water through the straw. The total effort you are delivering is brought about by the individual force the individual pinches need.
- The “force” you need is the voltage, because it drives the flow of water or the current. Therefore it is only logical that the total voltage is brought about by adding up the individual voltages across each resistor.
3
Calculate the total current of the system. Using the straw analysis again, even in the presence of pinches, did the amount of water you get change? No. Although the speed at which you are getting the water changes, the amount of water you can drink is fixed. And if you look closer at the amount of water entering and leaving, the pinches are the same because of the fixed speed the water is flowing, therefore, we can say that:^[6]
- I1 = I2 = I3 = I(total)
4
Remember Ohm’s law. But it doesn’t stop there! Remember we don’t have any of this data, so we can use the Ohm’s Law which relates voltage, current and resistance:^[7]
- V = IR.
5
Try working with an example. Three resistors, R1 = 10Ω R2=2Ω R3 = 9Ω, are connected in series. A total voltage of 2.5V is applied to the circuit. Compute for the total current of the circuit. First let’s compute for the total resistance:^[8]
- R(total) = 10Ω R2 + 2Ω R3 + 9Ω
- Therefore R(total) = 21Ω
6
Use Ohm’s Law for computing the total current:^[9]
- V(total) = I(total) x R(total).
- I(total) = V(total) / R(total).
- I(total) = 2.5V / 21Ω.
- I(total) = 0.1190A.

1

Understand what a parallel circuit is. Like it name, a parallel circuit contains elements that are arranged in a parallel way. This makes use of multiple wiring arrangements creating paths wherein current can travel.^[10]
2
Compute for the total voltage. Since we have sorted out the terminologies in a previous section, we can now go directly to the computations. Take for an example a pipe split into two paths with different diameters. For the water to flow into both of the pipes, do you need to use unequal forces in each of the pipes? No. You just need enough force for the water to flow. Therefore, using the analogy that the water is the current and the force is the voltage, we can say that:^[11]
- V(total) = V1 + V2 + V3.^[12]
3
Compute for the total resistance. Say you want to regulate the water flowing in the pipes. How will you block the pipes? Do you put just one blockage on each path or do you put multiple blockages arranged consecutively to control the water flow? You would need to do the latter. For resistances, this analogy is the same. Resistors connected in series regulate current far better than those arranged in a parallel way. The equation for the total resistance in a parallel circuit is:^[13]
- 1/R(total) = (1/R1) + (1/R2) + (1/R3).
4
Compute for the total current. Going back to our example, the water flowing from the source to the split path is divided. The same is applicable for current. Since there are multiple paths where charges can flow, it can be said that to be split. The pathways do not necessarily receive equal amounts of charge. It is dependent on the resistances and the materials the elements have in each path. Therefore, the equation of the total current is just the summation of all the currents in all of the paths:^[14]
- I(total) = I1 + I2 + I3.
- Of course, we can’t use this yet because we do not have the individual currents. In this case Ohm’s Law can also be used.

1

Try an example. 4 resistors divided into two paths which are connected in parallel. Path 1 contains, R1 = 1Ω R2=2Ω while Path 2 contains, R3 = 0.5Ω R4=1.5Ω. The resistors in each path are connected in series. The voltage applied in path 1 is 3V. Find the total current.
2
Find the total resistance. Since the resistors in each path are connected in series, we will find solve for the total resistance in each path.
- R(total 1&2) = R1 +R2.
- R(total 1&2) = 1Ω + 2Ω.
- R(total 1&2) = 3Ω.
- R(total 3&4) = R3 + R4.
- R(total 3&4) = 0.5Ω + 1.5Ω.
- R(total 3&4) = 2Ω.
3
Plug in the equation for parallel connection. Now, we since the paths are connected in parallel, we will now use the equation for parallel connection
- (1/R(total)) = (1/R(total 1&2)) + (1/R(total 3&4)).
- (1/R(total)) = (1/3Ω) + (1/2Ω).
- (1/R(total)) = ⅚.
- R(total) = 1.2Ω.
4
Find the total voltage. Now compute for the total voltage. Since the total voltage is equal to all the voltages:
- V(total) = V1 = 3V.
5
Use Ohm’s law to find the total current. Now, we can compute for the total current using Ohm’s Law.
- V(total) = I(total) x R(total).
- I(total) = V(total)/R(total).
- I(total) = 3V/1.2Ω.
- I(total) = 2.5A.

Add New Question

Question

How do you calculate resistors connected in a series?

Series resistors’ value is the value of all added together. 1 Ohm+2 Ohm = 3 Ohm total, for example.
Question

What is the formula for a total current?

Gabeericwolf

Community Answer

IT = VT/RT or I total = V total / R total or the total current = the total voltage / the total resistance.
Question

A street lamp is rated at 240V and 120W. How do I calculate the current through the lamp when it is working at its recommended power?

The answer is 0.5 amps. Using the P=IxE formula, I=P/E so plugging the numbers in gives 120W/240V=0.5 Amps

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Video

The total resistance for the parallel circuit is always smaller than ANY of the resistance of the resistors.
Terminologies:
- Circuit – composed of elements (e.g. resistors, capacitors, and inductors) connected by wires and wherein current can pass through.
- Resistors – elements that can reduce or resist current
- Current – flow of charge into wires; unit: Ampere, A
- Voltage – work done per unit charge; unit: Voltage, V
- Resistance – measurement of the opposition of an element to electric current; unit: Ohm, Ω

Thanks for submitting a tip for review!

References

About This Article

Article SummaryX

To find the total current in both series and parallel circuits, start by calculating the total resistance. For series circuits, the total resistance is equal to resistor 1 plus resistor 2 plus resistor 3 and so forth. For parallel circuits, the inverse of the total resistance is equal to the inverse of resistor 1 plus the inverse of resistor 2 and so forth. Calculate the total voltage of the circuit next. In both series and parallel circuits, the total voltage is equal to the sum of the individual voltages. Once you have worked out the total resistance and voltage, use Ohm’s Law to calculate the total current in the circuit. In Ohm’s Law, the total current is equal to the total voltage divided by the total resistance. In a series circuit, the current is the same through all of the components in the circuit, whereas in a parallel circuit, the total current is only equal to the individual current in that branch of the circuit. For more information on calculating the total current, like how to understand the difference between voltage and current, read on!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 375,829 times.

Did this article help you?

Источник

Один из способов определения силы тока в резисторе – это ее прямое измерение мультиметром. Измерения следует проводить в разрыве цепи после резистора следующим образом:

– выставить на тестере максимально допустимый диапазон,

– присоединить щупы прибора к месту разрыва цепи.

Применив закон Ома, искомую величину можно также определить расчетным путем:

где I – сила тока, U – напряжение, R – сопротивление (единицы измерения ампер (А), вольт (В), ом (Ом) соответственно).

В приборостроении и электротехнике применяются различные типы соединения и подключения резисторов, что обеспечивает разнообразие электротехнических свойств электрических схем.

Типы соединений резисторов

Соединение элементов в одну цепь осуществляется следующими способами:

последовательно;
параллельно;
смешанно.

Общие схемы типов соединений представлены на рисунке 1.

Рисунок 1. Типы соединений резисторов

Параллельным соединением принято считать соединение, при котором элементы цепи соединены так, что их начала могут соединиться в одной точке, а концы – в другой (см.рис.2)

Рисунок 2. Параллельное соединение резисторов

Потоку заряженных частиц при прохождении участка АВ предоставлено несколько вариантов пути, поэтому на каждом участке с резистором будет протекать ток, величиной, обратно пропорциональной сопротивлению резистора.

При увеличении нагрузки параллельного соединения, в случае подключения большого числа резисторов способом параллельного соединения в электрическую цепь, общее сопротивление цепи значительно уменьшится, за счет увеличения числа путей, предоставленных потоку заряженных частиц. Увеличение количества возможных вариантов движения влечет за собой уменьшение противодействия движению тока.

Как найти сопротивление параллельно соединенных резисторов?

Общее сопротивление резисторов в случае параллельного соединения определено по закону Ома в следующем соотношении:

и рассчитывается по формуле:

Для примера произведем расчет общего сопротивления для цепи из двух резисторов, обладающих сопротивлением R₁= R₂=7Ом (см. рис.3а)

R₁₂= 7*7/ (7+7) = 3,5Ом

Сопротивление на участке АВ_{(1– 2)}в 2 раза меньше Rкаждого из резисторов.

При параллельном подсоединении к рассматриваемой цепи еще одного резистора, также обладающего аналогичным сопротивлением R₃=7Ом (см. рис.3б) общее сопротивление цепи рассчитывается с учетом предыдущих вычислений, где R₁₂= 3,5Ом

Rобщ= 3,5*7/ (3,5+7) = 2,33 Ом

R₁₂₃< R₃

Рисунок 3. Увеличение цепи параллельного соединения резисторов

Из расчетов следует, что общее сопротивление (см. рис.3в) всегда будет меньше сопротивления любого параллельно включенного резистора. Такое условие обеспечивается равенством токов на входе и выходе узлов или групп параллельных резисторов и постоянством напряжения в сети.

Что такое последовательное соединение резисторов?

При последовательном соединении резисторы подсоединяются друг за другом, при этом конец предыдущего резистора соединен с началом последующего резистора (рисунок 4).

Рисунок 3. Последовательное соединение резисторов.

Потоку заряженных частиц при прохождении участка АВ предоставлен один путь, поэтому, чем больше резисторов подсоединено, тем большее сопротивление движущимся заряженным частицам они оказывают, то есть общее сопротивление участка цепи Rобщ возрастает.

Формула для расчета общего сопротивления при последовательном соединении имеет вид:

Как рассчитать напряжения на последовательно соединенных резисторах?

Последовательное соединение резисторов увеличивает общее сопротивление. Ток во всех частях схемы будет одинаковым, при этом будет определяться падение напряжения на каждом резисторе.

Общее напряжение питания на резисторах, соединенных последовательно, равно сумме разностей потенциалов на каждом резисторе:

U_R_{общ =}U_R₁+ U_R₂+ U_R₃+ U_R₄

Применив закон Ома, можно вычислить напряжение на каждом резисторе:

U_R1=I*R₁,U_R2=I*R_2,U_R3=I*R_3,U_R4=I*R₄

Напряжение на участке АВ рассчитывается по формуле:

U_АВ=I* (R₁
+ R₂+R₃+R₄)

А ток в цепи:

Резисторы, соединенные последовательно, применяются в электротехнике в качестве делителя напряжения.

Рисунок 5. Схема простейшего делителя напряжения

Регулируя сопротивление обоих резисторов можно выделить требуемую часть входящего напряжения. При необходимости деления напряжения на несколько частей к источнику напряжения подключается несколько последовательно соединенных резисторов.

Смешанное соединение резисторов

В электротехнике наиболее распространено использование различных комбинаций параллельного и последовательного подключения. Силу тока при смешанном соединении резисторов определяют путем разделения цепи на последовательно соединенные части. Однако для определения общего сопротивления в случае параллельного сопротивления различных частей следует применять соответствующую формулу.

Алгоритм расчета смешанного подключения аналогичен правилу расчета базовой схемы последовательного и параллельного подключения резисторов. В этом нет ничего нового: нужно правильно разложить предложенное решение на пригодные для расчета части. Участки с элементами подключаются поочередно или параллельно. Гибридное резистивное соединение представляет собой комбинацию последовательного и параллельного. Эту комбинацию иногда называют последовательно-параллельным соединением.

На рисунке 6 представлена схема смешанного соединения резисторов.

Рисунок 6. Смешанное соединение резисторов.

На рисунке показано, что резисторы R₂ и R₃
соединены параллельно, а R₁, R₂₃
и R₄ последовательно.

Чтобы рассчитать сопротивление этого соединения, вся схема делится на простейшие части, начиная с параллельного или последовательного сопротивления. Тогда следующий алгоритм выглядит следующим образом:

1. Определите эквивалентное сопротивление части резистора, подключенной параллельно.

2. Если эти части содержат резисторы, включенные последовательно, сначала рассчитайте их сопротивление.

3. Вычислив эквивалентное сопротивление резистора, перерисовываем схему. Обычно схема получается из последовательного эквивалентного сопротивления.

4. Рассчитайте сопротивление цепи.

Другие способы подключения хорошо видны на примере, показанном на рисунке. Без специальных расчетов очевидно, что параллельное соединение резисторов создает несколько путей для тока. Следовательно, в одиночном контуре его сила будет меньше по сравнению с контрольными точками на входе и выходе. При этом напряжение на отметке остается неизменным.

Пример участка цепи для расчета сопротивления смешанного соединения показан на рисунке 5.

Рисунок 7. Общее сопротивление участка цепи со смешанным соединением резисторов.

Источник

Расчет простых цепей постоянного тока

В электротехнике принято считать, что простая цепь – это цепь, которая сводится к цепи с одним источником и одним эквивалентным сопротивлением. Свернуть цепь можно с помощью эквивалентных преобразований последовательного, параллельного и смешанного соединений. Исключением служат цепи, содержащие более сложные соединения звездой и треугольником. Расчет цепей постоянного тока производится с помощью закона Ома и Кирхгофа.

Пример 1

Два резистора подключены к источнику постоянного напряжения 50 В, с внутренним сопротивлением r= 0,5 Ом. Сопротивления резисторов R₁ = 20 и R₂ = 32 Ом. Определить ток в цепи и напряжения на резисторах.

Так как резисторы подключены последовательно, эквивалентное сопротивление будет равно их сумме. Зная его, воспользуемся законом Ома для полной цепи, чтобы найти ток в цепи.

Теперь зная ток в цепи, можно определить падения напряжений на каждом из резисторов.

Проверить правильность решения можно несколькими способами. Например, с помощью закона Кирхгофа, который гласит, что сумма ЭДС в контуре равна сумме напряжений в нем.

Но с помощью закона Кирхгофа удобно проверять простые цепи, имеющие один контур. Более удобным способом проверки является баланс мощностей.

В цепи должен соблюдаться баланс мощностей, то есть энергия отданная источниками должна быть равна энергии полученной приемниками.

Мощность источника определяется как произведение ЭДС на ток, а мощность полученная приемником как произведение падения напряжения на ток.

Преимущество проверки балансом мощностей в том, что не нужно составлять сложных громоздких уравнений на основании законов Кирхгофа, достаточно знать ЭДС, напряжения и токи в цепи.

Пример 2

Общий ток цепи, содержащей два соединенных параллельно резистора R₁=70 Ом и R₂=90 Ом, равен 500 мА. Определить токи в каждом из резисторов.

Два последовательно соединенных резистора ничто иное, как делитель тока. Определить токи, протекающие через каждый резистор можно с помощью формулы делителя, при этом напряжение в цепи нам не нужно знать, потребуется лишь общий ток и сопротивления резисторов.

Токи в резисторах

В данном случае удобно проверить задачу с помощью первого закона Кирхгофа, согласно которому сумма токов сходящихся, в узле равна нулю.

Если у вас возникли затруднения, прочтите статью законы Кирхгофа.

Если вы не помните формулу делителя тока, то можно решить задачу другим способом. Для этого необходимо найти напряжение в цепи, которое будет общим для обоих резисторов, так как соединение параллельное. Для того чтобы его найти, нужно сначала рассчитать сопротивление цепи

А затем напряжение

Зная напряжения, найдем токи, протекающие через резисторы

Как видите, токи получились теми же.

Пример 3

В электрической цепи, изображенной на схеме R₁=50 Ом, R₂=180 Ом, R₃=220 Ом. Найти мощность, выделяемую на резисторе R₁, ток через резистор R₂, напряжение на резисторе R₃, если известно, что напряжение на зажимах цепи 100 В.

Чтобы рассчитать мощность постоянного тока, выделяемую на резисторе R₁, необходимо определить ток I₁, который является общим для всей цепи. Зная напряжение на зажимах и эквивалентное сопротивление цепи, можно его найти.

Эквивалентное сопротивление и ток в цепи

Отсюда мощность, выделяемая на R₁

Ток I₂ определим с помощью формулы делителя тока, учитывая, что ток I₁ для этого делителя является общим

Так как, напряжение при параллельном соединении резисторов одинаковое, найдем U₃, как напряжение на резисторе R₂

Таким образом производится расчет простых цепей постоянного тока.

Источник

Для вычисления рабочих параметров радиотехнических устройств и отдельных схем применяют специальные методики. После изучения соответствующих технологий результат можно узнать быстро, без сложных практических экспериментов. Корректный расчет электрических цепей пригодится на стадии проектирования и для выполнения ремонтных работ.

Закон Ома для участка цепи:

Определение: Cила тока I на участке электрической цепи прямо пропорциональна напряжению U на концах участка и обратно пропорциональна его сопротивлению R.

I — сила тока (в системе СИ измеряется — Ампер)
Сила тока в проводнике прямо пропорциональна напряжению и обратно пропорциональна сопротивлению.
Формула: I=frac
U — напряжение (в системе СИ измеряется — Вольт)

Падение напряжения на участке проводника равно произведению силы тока в проводнике на сопротивление этого участка.

Формула: U=IR

R— электрическое сопротивление (в системе СИ измеряется — Ом).
Электрическое сопротивление R это отношение напряжения на концах проводника к силе тока, текущего по проводнику.
Формула R=frac

Определение единицы сопротивления — Ом

1 Ом представляет собой электрическое сопротивление участка проводника, по которому при напряжении 1(Вольт) протекает ток 1 (Ампер).

Закон Ома для полной цепи

Определение: Сила тока в цепи пропорциональна действующей в цепи ЭДС и обратно пропорциональна сумме сопротивлений цепи и внутреннего сопротивления источника

Формула I=frac

varepsilon — ЭДС источника напряжения, В;
I — сила тока в цепи, А;
R — сопротивление всех внешних элементов цепи, Ом;
r — внутреннее сопротивление источника напряжения, Ом.

Как запомнить формулы закона Ома

Треугольник Ома поможет запомнить закон. Нужно закрыть искомую величину, и два других символа дадут формулу для её вычисления.

U — электрическое напряжение;
I — сила тока;
P — электрическая мощность;
R — электрическое сопротивление

Смотри также:

Для закрепления своих знаний решай задания и варианты ЕГЭ по физике с ответами и пояснениями.

Цепь постоянного тока

В цепи постоянного тока действуют постоянные напряжения, протекают постоянные токи и присутствуют только резистивные элементы (сопротивления).

Идеальным источником напряжения называют источник, напряжение на зажимах которого, создаваемое внутренней электродвижущей силой (ЭДС ), на зависит от формируемого им в нагрузке тока (рис. 6.1а). При этом имеет место равенство . Вольтамперная характеристика идеального источника напряжения показана на рис. 6.1б.

Идеальным источником тока называют источник, который отдает в нагрузку ток, не зависящий от напряжения на зажимах источника, Рис. 6.2а. Его вольтамперная характеристика показана на рис. 6.2б.

В сопротивлении связь между напряжением и током определяется законом Ома в виде

. (6.1)

Пример электрической цепи показан на рис. 6.3. В ней выделяются ветви, состоящие из последовательного соединения нескольких элементов (источника E и сопротивления ) или одного элемента ( и ) и узлы – точки соединения трех и более ветвей, отмеченные жирными точками. В рассмотренном примере имеется ветви и узла.

Кроме того, в цепи выделяются независимые замкнутые контуры, не содержащие идеальные источники тока. Их число равно . В примере на рис. 6.3 их число , например, контуры с ветвями E и , показанные на рис. 6.3 овалами со стрелками, указывающими положительное направление обхода контура.

Связь токов и напряжений в цепи определяется законами Кирхгофа.

Первый закон Кирхгофа: алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле электрической цепи, равна нулю,

. (6.2)

Втекающие в узел токи имеют знак плюс, а вытекающие минус.

Метод преобразования электрической цепи

Расчет мощности

Как определить силу тока в отдельных контурах сложных схем? Для решения практических задач не всегда нужно уточнение электрических параметров на каждом элементе. Чтобы упростить вычисления, используют специальные методики преобразования.

Расчет цепи с одним источником питания

Для последовательного соединения пользуются рассмотренным в примере суммированием электрических сопротивлений:

Rэкв = R1 + R2 + … + Rn.

Контурный ток – одинаковый в любой точке цепи. Проверять его можно в разрыве контрольного участка мультиметром. Однако на каждом отдельном элементе (при отличающихся номиналах) прибор покажет разное напряжение. По второму закону Кирхгофа можно уточнить результат вычислений:

E = Ur1 + Ur2 + Urn.

В этом варианте в полном соответствии с первым постулатом Кирхгофа токи разделяются и соединяются во входных и выходных узлах. Показанное на схеме направление выбрано с учетом полярности подключенного аккумулятора. По рассмотренным выше принципам сохраняется базовое определение равенства напряжений на отдельных компонентах схемы.

Как найти ток в отдельных ветвях, демонстрирует следующий пример. Для расчета приняты следующие исходные значения:

R1 = 10 Ом;
R2 = 20 Ом;
R3= 15 Ом;
U = 12 V.

По следующему алгоритму будут определяться характеристики цепи:

базовая формула для трех элементов:

Rобщ = R1*R2*R3/(R1*R2 + R2*R3 + R1*R3.

подставив данные, вычисляют Rобщ = 10 * 20 * 15 / (10*20 + 20*15 +10*15) = 3000 /(200+300+150) = 4,615 Ом;
I = 12/ 4,615 ≈ 2,6 А;
I1 = 12/ 10 = 1,2 А;
I2 = 12/20 = 0,6 А;
I3 = 12/15 = 0,8 А.

Как и в предыдущем примере, рекомендуется проверить результат вычислений. При параллельном соединении компонентов должно соблюдаться равенство токов на входе и суммарного значения:

I = 1,2 + 0,6 + 0,8 = 2,6 А.

Если применяется синусоидальный сигнал источника, вычисления усложняются. При включении в однофазную розетку 220V трансформатора придется учитывать потери (утечку) в режиме холостого хода. В этом случае существенное значение имеют индуктивные характеристики обмоток и коэффициент связи (трансформации). Электрическое сопротивление (ХL) зависит от следующих параметров:

частоты сигнала (f);
индуктивности (L).

Вычисляют ХL по формуле:

ХL = 2π * f * L.

Чтобы находить сопротивление емкостной нагрузки, подойдет выражение:

Хc = 1/ 2π * f * C.

Следует не забывать о том, что в цепях с реактивными компонентами сдвигаются фазы тока и напряжения.

Расчет разветвленной электрической цепи с несколькими источниками питания

Пользуясь рассмотренными принципами, вычисляют характеристики сложных схем. Ниже показано, как найти ток в цепи при наличии двух источников:

обозначают компоненты и базовые параметры во всех контурах;
составляют уравнения для отдельных узлов: a) I1-I2-I3=0, b) I2-I4+I5=0, c) I4-I5+I6=0;
в соответствии со вторым постулатом Кирхгофа, можно записать следующие выражения для контуров: I) E1=R1 (R01+R1)+I3*R3, II) 0=I2*R2+I4*R4+I6*R7+I3*R3, III) -E2=-I5*(R02+R5+R6)-I4*R4;
проверка: d) I3+I6-I1=0, внешний контур E1-E2=I1*(r01+R1)+I2*R2-I5*(R02+R5+R6)+I6*R7.

Сила тока – что это

Рассматривая количество электроэнергии, которое протекает через определенный проводник за различные временные интервалы, станет ясно, что за малый промежуток ток протечет более интенсивно, поэтому нужно ввести еще одно определение. Оно означает силу тока, протекающую в проводнике за секунду времени.

Если сформулировать определение на основе всего вышеперечисленного, то сила электротока – это количество электроэнергии, проходящее через поперечное сечение проводника за секунду. Маркируется величина латинской буквой «I».

Важно! Специалисты определяют силу электротока, равную одному амперу, когда через поперечное сечение проводника проходит один кулон электричества за одну секунду.

Часто в электротехнике можно увидеть другие единицы измерения силы электротока: миллиамперы, микроамперы и так далее. Связано это с тем, что для питания современных схем таких величин будет вполне достаточно. 1 ампер – это очень большое значение, так как человека может убить ток в 100 миллиампер, и потому электророзетка для человека ничуть не менее опасна, чем, к примеру, несущийся на скорости автомобиль.

Если известно количество электроэнергии, которое прошло через проводник за конкретный промежуток времени, то силу (не мощность) можно вычислить по формуле, изображенной на картинке.

Когда электросеть замкнута и не имеет никаких ответвлений, через каждое поперечное сечение за секунду протекает одно и то же количество электричества. Теоретически это обосновывается так: заряд не может накапливаться в определенном месте, и сила электротока везде одинакова.

Источники тока

Источником электротока называется такой электротехнический прибор, который конвертирует определенный вид энергии в электрическую. Такие устройства делятся на физические и химические.

Принцип действия химических источников основан на преобразовании химической энергии в электрическую. Это преобразование происходит самостоятельно и не требует участия извне. В зависимости от возобновляемости элементов и типа реакций, они делятся на:

Первичные (батарейки) Первичные источники нельзя использовать второй раз, если они разрядились, так как химические реакции, протекающие в них, необратимы. Они делятся на топливные и полутопливные элементы. Топливные аналогичны батарейкам, но химические вещества в них заправляются отдельно, как продукты химической реакции они выходят наружу. Это помогает им работать долгое время. Полутопливные включают в себя один из химических элементов, а второй постепенно поступает на протяжении всего использования. Их срок службы определяется запасом невозобновляемого вещества. Если для такого элемента возможна регенерация через зарядку, то он возобновляет свои возможности как аккумулятор.

Вторичные (аккумуляторы) перед использованием проходят цикл зарядки. Заряд, который они получают в процессе, можно транспортировать вместе с устройствами. После расходования заряда возможна его регенерация за счет зарядки и обратимости химической реакции. Также к вторичным относятся возобновляемые элементы, которые механическим или химическим путем заряжаются и восстанавливают способность питать приборы. Они разработаны таким образом, что после определенного срока требуют замены определенных частей для продолжения реакции.

Важно! Следует понимать, что разделение на батарейки и аккумуляторы условно. Свойства аккумулятора могут проявляться, например, у щелочных батарей, которые можно реанимировать при определенной степени заряда.

Также по типу реагентов химические источники делятся на:

Сила тока – чему равна, в каких единицах она измеряется, как найти силу тока по формуле

Как уже стало понятно, сила электротока – это физическая величина, показывающая заряд, который проходит через проводник за единицу времени. Основная формула для ее вычисления выглядит так: I = q/t, где q – это заряд, который идет по проводнику в кулонах, а t – это временной интервал в секундах.

Рассчитать силу электротока можно и с помощью закона Ома. Он гласит, что эта величина равна напряжению сети в вольтах, деленному на ее сопротивление в омах. В связи с этим имеет место формула такого рода — I = U/R. Этот закон применим для расчета значений постоянного тока.

Чтобы вычислить переменные параметры электричества, нужно разделить найденные величины на квадратный корень из двух.

К сведению! Это более практичный метод измерения, и им приходится пользоваться часто, так как все приборы в доме или в офисе работают от розеток, которые подают переменный ток. Делается это из-за того, что с ним легче работать, его удобнее трансформировать.

Важно! Наглядный пример работы переменного электротока можно наблюдать при включении люминесцентных ламп. Пока они полностью не загорятся, они будут моргать, потому что ток двигается в них то туда, то сюда.

Единицей измерения силы тока является ампер. Он определяется как сила неизменяющегося тока, который проходит по бесконечным параллельным проводникам с наименьшим круговым сечением (с минимальной площадью кругового сечения), отдаленным друг от друга на 1 метр и расположенным в безвоздушном вакуумном пространстве. Это взаимодействие на одном метре длины этих проводников, равное 2 × 10 в минус 7-й степени Ньютона. Если в проводнике за одну секунду времени проходит один кулон заряда, то сила тока в нем равна одному амперу.

Пример применения схемы делителя тока: электрическая измерительная схема

Цепи делителей тока также находят применение в измерительных схемах, где требуется, чтобы часть измеряемого тока проходила через чувствительный прибор. Используя формулу делителя тока, можно подобрать подходящий шунтирующий резистор таким образом, чтобы через измерительный прибор всегда проходила точно заданная доля общего тока:

Зачем нужно измерять силу тока

Силу тока в проводнике или на участке электрической цепи измеряют для того, чтобы иметь понятие о характеристиках данного проводника или цепи. Так как сила тока – один из основных параметров электричества, он неразрывно связан с другими значениями по типу напряжения и сопротивления. Более того, как уже стало понятно, три этих величины могут пропорционально определять друг друга.

Расчеты силы электротока делаются в разных случаях:

При прокладке электрических сетей.
При создании приборов.
В образовательных целях.
При выборе подходящих деталей для совершения тех или иных действий.

Расчет коэффициентов отношений токов

Ток через R1 по-прежнему ровно вдвое больше, чем у R3, несмотря на то, что напряжение источника изменилось. Пропорциональность между токами разных ветвей строго зависит от сопротивлений.

О делителях напряжения напоминает тот факт, что токи ветвей представляют собой фиксированные доли общего тока. Несмотря на четырехкратное увеличение напряжения питания, соотношение между током любой ветви и полным током остается неизменным:

[frac{I_{R1}}{I_{общ}} = frac{6 мА}{11 мА} = frac{24 мА}{44 мА} = 0,54545]

[frac{I_{R2}}{I_{общ}} = frac{2 мА}{11 мА} = frac{8 мА}{44 мА} = 0,18182]

[frac{I_{R3}}{I_{общ}} = frac{3 мА}{11 мА} = frac{11 мА}{44 мА} = 0,27273]

Теперь мы можем сами убедиться в том, что мы сделали в начале этой статьи: параллельную цепь часто называют делителем тока из-за ее способности делить общий ток на дробные части.

Электроприбор для измерения силы тока

Для измерения силы электротока используют специальный прибор под названием амперметр. Если требуется измерить токи самых разных сил, то прибегают к использованию миллиамперметров и макроамперметров. Чтобы измерить им требуемую величину, его подключают в цепь последовательно. Ток, который проходит через устройство, будет изменяться им, и данные будут выведены на цифровой дисплей или аналоговые шкалы.

Важно! Стоит помнить, что включать амперметр можно на любом участке сети, поскольку сила тока в простой замкнутой цепи без ответвлений одинакова во всех точках.

Современные тестеры и мультиметры содержат функцию измерения силы электротока, поэтому нет необходимости прибегать к габаритным приборам, предназначенным для промышленного использования

Таким образом, сила электротока – это основополагающая характеристика движущихся частиц. Она не только дает понять, какое в сети напряжение и сопротивление, но и определяет другие важные величины по типу ЭДС и т. д.

Пример формулы делителя тока

Используя исходную параллельную схему в качестве примера, мы можем по этой формуле пересчитать токи ветвей, если мы начнем, зная общий ток и общее сопротивление:

[I_{R1} = 11 мА frac{545,45 Ом}{1 кОм} = 6 мА]

[I_{R2} = 11 мА frac{545,45 Ом}{3 кОм} = 2 мА]

[I_{R3} = 11 мА frac{545,45 Ом}{2 кОм} = 3 мА]

Если вы потратите время на сравнение формул двух делителей, вы увидите, что они очень похожи. Однако обратите внимание, что отношение в формуле делителя напряжения – это Rn (отдельное сопротивление), деленное на Rобщ, а отношение в формуле делителя тока – это Rобщ, деленное на Rn:

[begin{matrix} text{делитель напряжения} & text{делитель тока} \ E_n = I_{общ} frac{R_n}{R_{общ}} & I_n = E_{I} frac{R_{общ}}{R_n} end{matrix}]

Источник

Содержание:

Методы анализа сложных электрических цепей:

Электрические цепи, которые не являются параллельно-последовательными, называются сложными. Для анализа сложных цепей используются прямые методы: метод узловых напряжений и метод контурных токов. Изучение указанных методов для простоты будет проводиться на примере резистивных цепей, что не утратит общности получаемых результатов.

Некоторые методы анализа сложных электрических цепей

Анализом электрических цепей называют определение токов (или напряжений) в ее ветвях.

Был рассмотрен расчет только относительно простых электрических цепей. В расчетах цепей сложной конфигурации с несколькими источниками энергии рассмотренные ранее методы применяются для отдельных простых участков, если имеются необходимые исходные данные.
В общих же случаях применяются другие методы, основой которых служат законы Кирхгофа.

Метод узловых и контурных уравнений

Методы анализа с применением законов Кирхгофа позволяют рассчитать электрическую цепь любой конфигурации и сложности, т. е. являются основными.

Обоснование метода

Рассматривая схему любой разветвленной электрической цепи, можно отметить в ней электрические узлы и выделить контуры. Например, в схеме рис. 3.16 имеется четыре узла (точки 1, 3, 4, 6) и несколько контуров (1-2-3-1; 1-3-6-1 и др.).

Для каждой узловой точки можно составить уравнения токов по первому закону Кирхгофа (узловые уравнения), например, для узла 3 I₁ + I₂ = I₄ + I₇ для каждого контура — уравнение напряжений по второму закону Кирхгофа (контурные уравнения), например для контура 1-3-6-1

В эти уравнения входят токи в ветвях, определение которых составляет ближайшую цель расчета, которая достигается совместным решением системы узловых и контурных уравнений; их число должно быть равно числу неизвестных токов.

Прежде чем приступить к составлению уравнений по законам Кирхгофа, необходимо выбрать условно-положительное направление тока в каждой ветви (число неизвестных токов, как нетрудно видеть, равно числу ветвей).
Положительные направления токов выбирают произвольно. Действительные направления токов могут не совпадать с условно-положительными. Ошибка в выборе направления тока в результате решения будет обнаружена: ток с неправильно выбранным направлением получится отрицательным. Изменив его направление, в дальнейших расчетах можно считать его положительным.

Узловые уравнения

Запишем систему узловых уравнений для рассматриваемой схемы

В этой системе уравнений любые три уравнения являются независимыми, так как в каждое из них входит хотя бы один новый ток по сравнению с другими уравнениями.

Четвертое уравнение не содержит нового тока, поэтому его можно получить из предыдущих трех несложными подстановками.

При наличии в схеме n узлов можно составить по первому закону Кирхгофа n — 1 независимых уравнений.

Число независимых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа, недостаточно для определения всех неизвестных токов.
В схеме рис. 3.16 насчитывается семь неизвестных токов, а независимых узловых уравнений только три. Еще четыре уравнения составим по второму закону Кирхгофа.

Контурные уравнения

Из всех контуров схемы выбирают те, для которых можно составить наиболее простые независимые уравнения.

При этом можно руководствоваться таким правилом: каждое после-дующее уравнение будет независимо от предыдущих, если в данный контур входит хотя бы одна ветвь схемы, которая не входила в уже использованные контуры.
Можно доказать, что число независимых контурных уравнений для схемы, содержащей m ветвей и n узлов, составляет m — n + 1.

Для десяти контуров при m = 7 в данном случае независимых контурных уравнений можно составить четыре, т. е. столько, сколько необходимо для определения всех токов:

Правильность определения токов в цепи можно проверить, подставив их найденные величины в одно из уравнений, которые составлены для схемы этой цепи, но не вошли в систему уравнений, взятых для решения. С этой же целью можно составить баланс мощностей цепи.

Метод наложения токов

В некоторых случаях расчет электрических цепей можно провести относительно просто, используя принцип наложения.
Этот принцип применяется только к линейным системам, а в данном случае — для расчета линейных электрических цепей.

Обоснование метода

Рассмотрим в качестве примера схему рис. 5.1, а и составим для нее систему уравнений по законам Кирхгофа:

Ток каждой ветви из этой системы линейных уравнений-определяется однозначно.
Решение системы (5.3) дает выражения для токов:

(5.4)

где

Рис. 5.1. К методу наложения токов

Как и следовало ожидать, величины токов определяются действием всех э. д. с., имеющихся в схеме, т. е. каждая э. д. с. вносит в величину тока каждой ветви свою определенную долю. Предположим, что в схеме действует только э. д. с. Е₁, а Е₂ = 0. Тогда получим величины токов, вызываемых э. д. с. Е₁:

Полагая Е₁ =0, получим величины частных токов от действия э. д. с. Е₂:

Для любой схемы с линейными элементами можно провести подобные рассуждения, из которых следует метод расчета электрических цепей: определяются частные токи в ветвях от действия каждой э. д. с.; действительный ток каждой ветви равен алгебраической сумме частных токов этой ветви:

где I_k⁽ⁿ⁾— ток к-й ветви от n-й э. д. с.

Порядок расчета

1. На основе исходной схемы составляют частные расчетные схемы (рис. 5.1, б, в), в каждой из которых действует только одна э. д. с. Все другие э. д. с. исключают и от каждого источника в схеме остается только его внутреннее сопротивление.

2. Любым подходящим методом определяют токи в частных схемах, которые чаще всего оказываются относительно простыми.
Для частных схем (рис. 5.1, б, в) выражения для токов, найденные путем свертывания, совпадают с (5.4), которые были записаны ранее из уравнений Кирхгофа. Например,

3. Алгебраическим сложением (наложением) частных токов определяют токи в исходной схеме. В рассматриваемом примере

При определении общих токов необходимо правильно учесть направления частных токов: в исходной схеме намечают условно-положительные направления токов в ветвях. Частный ток считают положительным, если он направлен одинаково с положительным током в той же ветви исходной схемы. Частный ток противоположного направления считают отрицательным.
При таком подходе общие токи в ветвях исходной схемы могут получиться положительными или отрицательными. В последнем случае надо изменить направление тока и считать его положительным в дальнейших расчетах.

Входные и взаимные проводимости и сопротивления

В равенствах (5.4) множители при э. д. с. имеют размерность проводимости. Обозначив их как проводимости, получим

где
.

Коэффициенты с одинаковыми индексами называют входными проводимостями ветвей (G_1.1; G_2.2)- Коэффициенты с разными индексами называют взаимными проводимостими ветвей (G_1.2; G_2.1; G_3.1; G_3.2).
Если предположить, что э. д. с. Е₂ = 0, из равенств системы (5.4) получим:

а при E₁ = 0

Из этих выражений следует:

входная проводимость любой ветви равна отношению тока к э. д. с. этой ветви, если э. д. с. во всех остальных ветвях приняты равными нулю; входное сопротивление — величина, обратная входной проводимости:

Взаимная проводимость двух любых ветвей равна отношению тока в одной ветви к э. д. с. в другой ветви, если э. д. с. во всех остальных ветвях приняты равными нулю; взаимное сопротивление — величина, обратная взаимной проводимости:

причем

Входные и взаимные проводимости и сопротивления можно определить расчетом, используя частные схемы, или найти путем измерений. После этого нетрудно найти токи в ветвях, составив равенства типа (5.8).

Коэффициенты передачи напряжения и тока

Режим электрической цепи в некоторых случаях характеризуется коэффициентами передачи напряжения и тока. Чаще всего они применяются к цепям, содержащим один источник э. д. с. (рис. 5.2, а) или один источник тока (рис. 5.2, б).

Коэффициент передачи напряжения равен отношению напряжения на зажимах приемника к напряжению источника э. д. с., действующего в цепи:

Коэффициент передачи тока равен отношению тока в приемнике к току источника тока, действующего в цепи:

Рис. 5.2. К вопросу о коэффициентах передачи напряжений и токов

Задача 5.3.

Для цепи (рис. 5.3, а) известны: E₁ = 120 В, Е₂ = 100 В, R₁ = 20 Ом, R₂ = 20 Ом, R₃ = 30 Ом, R₄ = 30 Ом.
Определить токи в цепи методом наложения.
Решение. Определим токи от действия каждой э. д. с. в отдельности по схемам, представленным на рис. 5.3, б, в. В схеме на рис. 5.3, б сопротивления R₁ и R₃ соединены параллельно. То же относится к паре сопротивлений R₂ и R₄.
Найдем эквивалентное сопротивление между точками 1-4:

Ток в неразветвленной части цепи

Сопротивления между точками 1-2 и 2-4 по данным задачи одинаковы (по 12 Ом). Поэтому

Рис. 5.3. К задаче 5.3

Токи в схеме

В схеме, изображенной на рис. 5.3, в, пары сопротивлений R₁, R₂ и R₃, R₄ соединены параллельно, а сопротивления, эквивалентные этим парам, — последовательно.
Найдем эквивалентные сопротивления схемы между точками 2-3:

Ток в неразветвленной части цепи

Напряжения на участках схемы между точками:
2-1

1-3

Токи в схеме

Токи в исходной схеме (рис. 5.3, а) найдем по принципу наложения, учитывая направления токов в частных схемах:

так как
так как

Метод эквивалентного генератора

В практических расчетах часто нет необходимости знать режимы работы всех элементов сложной цепи, но ставится задача исследовать режим работы одной определенной ветви.

Для определения тока, напряжения, мощности этой ветви можно воспользоваться одним из ранее описанных методов расчета.
При расчете сложной электрической цепи приходится выполнять значительную вычислительную работу даже в том случае, когда требуется определить ток в одной ветви. Объем этой работы в несколько раз увеличивается, если необходимо установить изменение тока, напряжения, мощности при изменении сопротивления данной ветви, так как вычисления нужно проводить несколько раз, задаваясь различными величинами сопротивления.

Решение такой задачи значительно упрощается при использовании метода эквивалентного генератора.

Обоснование метода

Исследуемая ветвь с сопротивлением R_ab (рис. 5.5, а) присоединяется к остальной части схемы (внутри прямоугольника А) в двух точках a и b. Эту часть схемы можно рассматривать относительно исследуемой ветви как источник с некоторой эквивалентной э. д. с. Е_эк и некоторым эквивалентным внутренним сопротивлением r_эн (рис. 5.5, б). Такой условный источник энергии называется эквивалентным генератором или активным двухполюсником (А). Если в части схемы, относящейся к двухполюснику, нет источников энергии, то двухполюсник называется пассивным (П).

Рис. 5.5. К методу эквивалентного генератора

Ток в исследуемой ветви можно найти в эквивалентной схеме (рис. 5.5, б) по известной формуле (3.15):

Таким образом, решение задачи по определению тока I_ab сводится к определению э. д. с. Е_эк эквивалентного генератора и его внутреннего сопротивления r_эк, которое называется также входным сопротивлением активного двухполюсника.

После определения Е_эк и r_эк дальнейшее исследование режима работы ветви ab при изменении сопротивления R_ab не требует громоздких вычислений, так как э.д.с Е_эк и внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора не изменяются.

Ток в ветви ab определяют по формуле (5.12) для любого значения R_ab.

Определение э.д.с. и внутреннего сопротивления эквивалентного генератора

Для определения этих величин рассмотрим два крайних режима эквивалентного генератора — режим холостого хода и режим короткого замыкания.

Отсоединим исследуемую ветвь R_ab в точках a и b, тогда эквивалентный генератор будет находиться в режиме холостого хода.
Напряжение холостого хода U_х на его внешних зажимах a и b согласно схеме, представленной на рис. 5.5, б равно эквивалентной э. д. с.:

Напряжение холостого хода U_х можно измерить (рис. 5.5, в) или определить с помощью расчета (рис. 5.5, г). Для рассматриваемой цепи

Сопротивление R₄ в расчет не вошло, так как при отключенном сопротивлении R_ab ток в сопротивлении R₄ тоже равен нулю.
Сопротивление r_эк эквивалентного генератора можно определить, используя режим короткого замыкания.

В режиме короткого замыкания эквивалентного генератора (рис. 5.5, б) ток короткого замыкания I_к выражается отношением

Отсюда

Для измерения тока I_к можно применить схему, изображенную на рис. 5.5, д, если короткое замыкание между точками a и b реальной цепи не вызовет опасного увеличения токов в ее элементах. При наличии такой опасности нужно измерить ток I_ab нагрузки эквивалентного генератора и падение напряжения U_ab в нагрузочном сопротивлении R_ab (рис. 5.5, б), а внутреннее сопротивление

Ток I_к можно определить, применив один из известных методов расчета. Для рассматриваемого примера расчетная схема приведена на рис. 5.5, е.
Однако определение I_к может оказаться громоздким, поэтому в сложных схемах r_эк определяется как входное сопротивление пассивного двухполюсника между точками a и b.

Для того чтобы получить расчетную схему для определения r_эк, нужно все э. д. с. активного двухполюсника принять равными нулю, замкнув накоротко точки цепи, к которым присоединены источники этих э. д. с. Тогда активный двухполюсник превращается в пассивный.

Справедливость этого приема следует из схемы, представленной на рис. 5.5, б; при Е_эк = 0 сопротивление r_эк является входным сопротивлением этой схемы. Таким образом, входное сопротивление пассивного двухполюсника R_вх со стороны зажимов a и b (рис. 5.5, ж) определяет внутреннее сопротивление r_эк эквивалентного генератора.

Равенство Е_эк = 0 соответствует тому, что все э. д. с. активного двухполюсника равны нулю, поэтому расчетная схема для определения r_эк имеет вид, как на рис. 5.5, з.
Для этой схемы

Задача 5.5.

Построить графики зависимости тока и мощности в ветви 2-4 (см. рис. 5.3, а) от сопротивления в этой ветви по данным условия задачи 5.1.
Решение. Для решения задачи применим метод эквивалентного генератора.
Отключим ветвь 2-4 для определения напряжения холостого хода (рис. 5.6, а). После отключения ветви 2-4 получилась схема с двумя узловыми точками 1 и 3, изображенная в несколько ином виде на рис. 5.6, 6.

Рис. 5.6. К задаче 5.5

Для расчета этой схемы целесообразно применить метод узлового напряжения:

Для определения разности потенциалов между точками 2 и 4 найдем ток

Для определения внутреннего сопротивления эквивалентного генератора полагаем равными нулю действительные э. д. с. исходной схемы.
Получим схему, представленную на рис. 5.6, в, из которой видно, что по отношению к точкам 2 и 4 все три сопротивления пассивного двухполюсника соединены параллельно:

Ток в исследуемой ветви определим по формуле (5.12), задаваясь различными величинами сопротивления.
Для сопротивления R₂ = 20 Ом получим:

Для других значений сопротивления R₂ результаты подсчетов сведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

R₂, Ом	0	2	4	6	8	10	20	30	50	∞
I₂, А P₂, Вт	16,6 0	13,5 364	11,35 515	9,8 575	8,6 592	7,7 590	5 500	3,7 410	2,42 290	0 0

Графики I₂(R₂) и P₂(R₂) показаны в прямоугольной системе координат из рис. 5.5, г.

Метод контурных токов

Число узловых и контурных уравнений для сложной схемы оказывается большим, а решение системы m уравнений — громоздким. Число уравнений можно уменьшить до m — n + 1 и тем существенно упростить расчет, если ввести понятие контурных токов и применить их для решения задачи.

Контурные токи и э.д.с.

Рассмотрим в качестве примера уже известную схему рис. 3.16 и выделенные в ней ранее четыре независимых контура, для которых записаны уравнения (5.2). Заметим, что, применяя метод контурных токов, источники энергии удобнее представлять в схемах их э, д. с. и внутренними сопротивлениями. В данной схеме внутренние сопротивления источников энергии равны нулю (или отнесены к приемникам).

Контурный ток — это некоторая расчетная величина, которая одинакова для всех ветвей данного контура. Контурные токи на схеме обозначены I_I ; I_II ; I_III ; I_IV .
Нетрудно заметить, что контурный ток равен действительному току ветви, которая принадлежит только данному контуру:

Некоторые ветви схемы относятся к двум смежным контурам (ветви 1-3; 3-6; 4-6).

Действительный ток в такой ветви определяется наложением контурных токов, т. е. равен алгебраической сумме контурных токов тех контуров, в которые эта ветвь входит:

В уравнениях (5.2) заменим токи ветвей их выражениями через контурные токи (5.14), (5.14 а):

В правую часть этих уравнений входят э. д. с. источников, встречающихся при обходе данного контура.

Алгебраическая сумма э. д. с. данного контура называется контурной э. д. с.
В данном примере в каждом контуре по одной э. д. с., поэтому контурные э. д. с.: Е_I = Е₁; Е_II = Е₂; Е_III = — Е₂; Е_IV = — Е₃.
Если в данный контур не входят источники э. д. с., то контурная э. д. с. его равна нулю.

Собственные и общие сопротивления контуров

В левую часть уравнений (5.15) входят падения напряжения, обусловленные контурными токами.

Сумма сопротивлений всех ветвей, входящих в данный контур, называется собственным сопротивлением контура.

Для схемы рис. 3.16 собственные сопротивления контуров:

Сопротивления ветвей, входящих в два смежных контура, называются общими сопротивлениями контуров. Такими сопротивлениями в схеме рис. 3.16 являются R_1.2 = R₂; R_2.3 = R₇; R_3.4 = R₅.

При определении собственных и общих сопротивлений внутренние сопротивления источников э. д. с. учитываются как и сопротивления приемников энергии.

Метод контурных токов

С учетом новых понятий и обозначений перепишем уравнения (5.15):

Решая эту систему уравнений любым способом, известным из алгебры, определяют контурные токи, а по формулам (5.14) и (5.14а) находят токи в ветвях.
В данном примере вместо семи узловых и контурных уравнений для расчета достаточно четырех уравнений с четырьмя контурными токами.

Из всего сказанного следует порядок составления уравнений с контурными токами.

В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно).
Намечают независимые контуры и выбирают направление контурных токов, например по часовой стрелке.
Определяют контурные э. д. с., собственные и общие сопротивления контуров, обходя контуры в направлении контурных токов.
Записывают систему уравнений типа (5.16); в левой части их слагаемые с собственными сопротивлениями контуров берут со знаком плюс, а слагаемые с общими сопротивлениями — со знаком минус.

Метод узловых напряжения

Законы Кирхгофа являются основой для расчета электрических цепей методом узловых напряжений, который позволяет сократить число уравнений в системе до n — 1, где n — число узлов.

Узловые напряжения и токи

Для данных рассуждений примером может служить схема рис. 3.16. Однако, применяя метод узловых напряжений, удобнее источники э. д. с. заменить эквивалентными источниками токов на основе выводов, что и показано на рис. 5.7.

Рис. 5.7. К методу узловых напряжений

Источники энергии на рисунке представлены токами короткого замыкания I_к1 = E₁G₁; I_к2 = E₂G₇; I_к3 = E₃G₆, а внутренние проводимости их приняты равными нулю или отнесены к приемникам.

Один из узлов схемы принимается базисным, и его потенциал считается равным нулю (узел 6, V₆ = 0).

Узловым напряжением называется разность потенциалов между данным узлом и базисным. В рассматриваемой схеме узловые напряжения

Выразим напряжения ветвей через узловые напряжения. Нетрудно заметить, что узловое напряжение численно равно напряжению ветви, которая присоединена к базисному узлу:

Напряжение ветви, не присоединенной к базисному узлу, равно разности узловых напряжений тех узлов, между которыми находится эта ветвь:

По первому закону Кирхгофа составим систему уравнений для трех независимых узлов (кроме базисного) рассматриваемой схемы:

Эти уравнения перепишем так, чтобы в правой части их были только внутренние токи источников тока, из которых складываются узловые токи:

Узловым током называется алгебраическая сумма внутренних токов источников тока всех ветвей, присоединенных к данному узлу.
В этой сумме токи источников тока, направленные к узлу, считаются положительными, а от узла — отрицательными:

Если к некоторому узлу не присоединены ветви с источниками токов, то его узловой ток равен нулю.

Узловые и общие проводимости

Выразим токи ветвей через напряжения и проводимости этих ветвей:

а учитывая (5.18), систему уравнений (5.19) представим в следующем виде:

Узловой проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, присоединенных к данному узлу.
В системе уравнений (5.21) узловые проводимости выражаются так:

Общей проводимостью называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих данные два узла.
В системе уравнений (5.21) общие проводимости G₁₃ = G₁ + G₂; G_3.4 = G₄.
С учетом новых обозначений уравнения (5.21) перепишем так:

Метод узловых напряжений

Решая систему уравнений (5.22) любым способом, известным из алгебры, определяют узловые напряжения, затем по (5.18), (5.18, а) находят напряжения ветвей, а по формулам (5.20) — токи ветвей.

В данном примере вместо семи узловых и контурных уравнений для расчета достаточно трех уравнений с тремя узловыми напряжениями.

Из всего сказанного следует порядок составления уравнений с узловыми напряжениями.

В заданной схеме выбирают направления токов в ветвях (произвольно). Если по условию источники энергии заданы как источники э. д. с. (напряжения), переходят к эквивалентным схемам источников тока.
Намечают базисный узел и все независимые узлы и выбирают положительные направления узловых напряжений — от независимых узлов к базисному.
Определяют узловые токи, узловые и общие проводимости; при этом токи источников тока, направленные к узлам, принимают положительными.
Записывают систему уравнений типа (5.22); в левой части уравнений слагаемые с узловыми проводимостями берут со знаком плюс, а слагаемые с общими проводимостями — со знаком минус.

Методы расчета сложных электрических цепей

Основные теоретические сведения:

Для расчета токов и напряжений в сложных электрических цепях разработаны разработаны методы, базирующиеся на основных законах токопрохождения, принципах (теоремах) теории цепей:

Метод уравнений Кирхгофа (МУК).
Метол контурных токов (MKT).
Метол узловых напряжений (МУН).
Метод сигнальных графов.
Метод наложения (МН),
Метод эквивалентного генератора (МЭГ) и другие методы.

Четыре первых метода являются универсальными, позволяющими в принципе рассчитать цепь любой сложности. С помощью других методой обычно решают частные (локальные) задачи. В ряде случаев решение задачи удается упростить, если предварительно произвести эквивалентные преобразования схемы цени.

Для решения конкретной задачи обычно выбирают метод, позволяющий описать цепь минимальным числом уравнений.

Анализ структуры электрической цепи

Анализ структуры цепи производят с целью определения числа ветвей с неизвестными токами и чисел независимых узлов и контуров.

Введем обозначения:

р — число ветвей с неизвестными токами, включающими все ветви цепи, за исключением ветвей с источниками токов; q — число узлов в цепи; НУ — число независимых узлов в цепи; НК — число независимых контуров в цепи.
Анализируя цепь, легко показать, что

Если электрическая цепь имеет достаточно простую структуру, то числа p и q определяются легко. Для анализа сложных разветвленных цепей строят топологический граф и дерево цепи. При этом ветвь и узел цепи отождествляются соответственно с ребром и узлом графа.

Внутреннее сопротивление идеального источника напряжения равно нулю. Поэтому ветвь, содержащая только этот источник, закорачивается и не образует ребра на графе цепи, вырождаясь в узел.

Внутреннее сопротивление идеального источника тока бесконечно велико, поэтому при построении графа цепи ветвь с таким источником разрывается.

Расчет электрических цепей методом уравнений Кирхгофа

Суть метода уравнений Кирхгофа состоит в том, что неизвестные токи и напряжения в цепи рассчитываются непосредственно из системы уравнений, составленных по законам Кирхгофа. По первому закону Кирхгофа составляют уравнения для независимых узлов, а по второму — для независимых контуров. При этом число уравнений в системе равно числу неизвестных токов в ветвях: Расчет цепи по этому методу наиболее сложный из-за большого числа уравнений и их разнородности.

Порядок расчета:

составляют комплексную схему замещения цепи;
производят структурный анализ пени;
выбирают условно положительные направления токов в ветвях, напряжений на элементах и направления обхода контуров;
составляют для НУ уравнения по первому закону Кирхгофа и для НК уравнения по второму закону Кирхгофа относительно неизвестных токов в ветвях;
по решению системы уравнений рассчитывают неизвестные токи в ветвях и неизвестные напряжении на элементах цепи.

Расчет электрических цепей методом контурных токов

Суть метода контурных токов состоит в том, что вводятся дополнительные формальные неизвестные — контурные токи, которые определяются из системы контурных уравнений, составленных по второму закону Кирхгофа. Далее, по известным контурным токам рассчитывают искомые токи в ветвях, а затем искомые напряжения на элементах.

Контурным током -го независимого контура называется условный ток, текущий и ветвях данного контура. Следовательно, число уравнении, необходимое для расчета цепи, равно числу независимых контуров:

Направления контурных токов в цепи выбираются произвольно. Для составления контурных уравнений в канонической форме вводятся три вспомогательных понятия: контурная ЭДС, собственное сопротивление независимого контура, общее сопротивление двух независимых контуров.

Контурной ЭДС -гo независимого контура называется алгебраическая сумма всех ЭДС источников, включенных в этот контур. При суммировании ЭДС берется со знаком плюс, если ее направление совпадает с выбранным направлением контурного тока. В противном случае ЭДС имеет знак минус.

Собственным сопротивлением -гo независимого контура называется сумма комплексных сопротивлений всех пассивных элементов, включенных в этот контур.

Общим сопротивлением или -го и -го независимых контуров называется сопротивление ветви, обшей для этих контуров, причем . Если эти контуры не имеют общей ветви, то

Как правило, направления всех контурных токов выбирают одинаковыми, например по часовой стрелке. Можно показать, что в этом случае все общие сопротивления должны иметь знак, противоположный знаку сопротивления общей ветви данных контуров.

С учетом введенных величин запишем систему линейных контурных уравнений в матричной форме, удобной для расчета с помощью определителей:

Если система (3.1) определенная, то контурные токи можно найти по формулам Крамера:

где — определитель матрицы контурных сопротивлений; — частный определитель матрицы контурных сопротивлений, который получается путем замены -ю столбца сопротивлений столбцом свободных членов уравнений (3.1), т. с. столбцом контурных ЭДС.

По известным контурным токам легко определить искомые токи и ветвях. Ток в ветви, принадлежащей только одному -му контуру (собственная ветвь контура), равен контурному току Ток в общей ветви -го и -го контуров равен разности контурных токов

В систему (3.1) контурных уравнений входят только ЭДС источников напряжения. Поэтому при расчете все источники тока в цепи необходимо заменить эквивалентными источниками напряжения (см. табл. 2.1).

Порядок расчета:

составляют комплексную схему замещения цепи;
производят структурный анализ цепи;
выбирают условно положительные направления токов в ветвях и контурных токов;
составляют по второму закону Кирхгофа систему уравнений вида (3.1) относительно неизвестных контурных токов;
рассчитывают по известным параметрам цепи собственные и общие сопротивления независимых контуров, их контурные ЭДС;
рассчитывают неизвестные контурные токи, а затем неизвестные токи в ветвях и напряжения на элементаx цели.

Примечание. Если при расчете производили эквивалентную замену источников тока в ветвях цепи источниками напряжения, то для расчета токов в этих ветвях необходимо перейти к исходной схеме.

Расчет электрических цепей методом узловых напряжений

Суть метода узловых напряжении состоит в том, что вводятся дополнительные неизвестные — узловые напряжения, которые находятся из системы узловых уравнений, составленных по первому закону Кирхгофа. Далее по известным узловым напряжениям рассчитывают искомые токи в ветвях, а затем — искомые напряжения на элементах.

Узловым напряжением называется напряжение между -м независимым узлом цепи и базисным узлом. Следовательно, число уравнений, необходимое для расчета цепи, равно числу независимых узлов:

Направление узловых напряжений выбирают произвольно. Наиболее часто полагают, что все узловые напряжения направлены к базисному узлу. Для составления узловых уравнений в канонической форме вводятся три вспомогательных понятия: узловой ток; собственная проводимость независимого узла; общая проводимость двух независимых узлов.

Узловым током -го узла называется алгебраическая сумма токов всех источников тока, подключенных к этому узлу. При суммировании ток берется со знаком минус, если источник направлен от этого узла. Если в цепи имеются источники напряжения, то в схеме замещения их заменяют эквивалентными источниками тока (см. табл. 2.1).

Собственной проводимостью -го независимого узла называется сумма проводимостей всех ветвей, соединенных в этом узле.

Общей проводимостью -го и -го независимых узлов называется сумма проводимостей всех ветвей, соединяющих эти узлы, причем Если эти узлы не имеют общих ветвей, то

Если направления всех узловых напряжений выбраны одинаковыми, например, к базисному узлу, то общие проводимости должны иметь знак, противоположный знаку проводимостей общих ветвей данных узлов.

С учетом введенных величин запишем систему линейных узловых уравнений в матричной форме

Если система (3.3) определенная, то узловые напряжения можно рассчитать но формуле Крамера:

где — определитель матрицы узловых проводимостей цепи: — частный определитель матрицы , полученный путем замены -гo столбца проводимостей столбцом свободных членов системы (3.2), т.е. столбцом узловых токов.

По известным узловым напряжениям легко найти искомые токи. Если в ветви нет источника, то ток рассчитывают но закону Ома. Если в ветви есть источник напряжения, то для расчета тока удобно воспользоваться вторым законом Кирхгофа.

Порядок расчета:

составляют комплексную схему замещения цепи;
производят структурный анализ цепи;
выбирают условно-положительные направления токов в ветвях и узловых напряжений;
составляют по первому закону Кирхгофа систему уравнений вида (3.3) относительно неизвестных узловых напряжений:
рассчитывают по известным параметрам цепи собственные и общие проводимости независимых узлов и узловые токи;
рассчитывают неизвестные узловые напряжения, а затем неизвестные токи в ветвях и напряжения на элементах.

Примечание. Если при расчете производили эквивалентную замену источников напряжения источниками токи, то для расчета токов в преобразованных ветвях необходимо перейти к исходной схеме.

Расчет электрических цепей методом наложения

Сущность метода наложения состоит в том, что в соответствии с принципом наложения неизвестные токи в ветвях определяют как алгебраическую сумму частичных токов, обусловленных действием каждого источника отдельно.

Для расчета частичных токов исходную цепь с источниками представляют и виде частных схем. Каждая частная схема содержит только один источник. Все другие источники исключаются, остаются лишь их внутренние сопротивления. Идеальный источник напряжения заменяют коротким замыканием, так как для него У идеального источника тока поэтому ветвь, в которую он включен, разрывается.

Для расчета токов в частных схемах можно использовать любой метод, а для упрощения расчетов предварительно производят эквивалентные преобразования в цепи. В достаточно простых цепях при расчете удобно использовать известные приемы расчета делителей тока и напряжения.

Порядок расчета:

составляют комплексную схему замещения цепи;
составляют частные схемы, содержащие по одному источнику;
рассчитывают частичные токи в ветвях;
определяют искомые токи как алгебраические суммы частичных токов в соответствующих ветвях.

Расчет цепей методом эквивалентного генератора

Суть метода эквивалентного генератора состоит в том, что всю электрическую цепь, кроме одной ветви с неизвестным током, заменяют эквивалентным генератором с параметрами . Далее, по закону Ома рассчитывают искомый ток где — сопротивление ветви, в которой определяется ток.

Теорема об эквивалентном генераторе утверждает, что ЭДС эквивалентного генератора равна напряжению холостого хода активного двухполюсника, а его внутреннее сопротивление равно входному сопротивлению двухполюсники:

Напряжение можно определить экспериментально или рассчитать по схеме цепи. Для расчета напряжения необходимо по второму закону Кирхгофа составить уравнение для входного контура, который содержит зажимы эквивалентного генератора (расчетную ветвь).

Для расчета входного сопротивления эквивалентного генератора необходимо составить схему пассивною двухполюсника, т.е. исключить в исходной цепи все источники, заменив их соответствующими внутренними сопротивлениями. Далее, используя известные приемы эквивалентного преобразования схемы цепи, находят входное сопротивление.

Порядок расчета:

составляют комплексную схему замещения цепи;
исключают из схемы ветвь с искомым током (нагрузку), обозначая зажимы генератора с напряжением холостого хода;
составляют для входного контура уравнение но второму закону Кирхгофа и рассчитывают
составляют схему пассивного двухполюсника, считая входом зажимы эквивалентного генератора, и рассчитывают его входное сопротивление;
рассчитывают искомый ток.

Примеры решения задач

Пример 3.2.1.

Произвести структурный анализ цепей, схемы которых приведены на рис. 3.1, а; 3,2, а; 3,3, а.

При поверхностном анализе структуры цепи рис. 3.1, а может сложиться мнение, что цепь имеет три независимых контура и три независимых узла. Однако из-за наличия в цепи идеального источника тока узлы 1 и 3 являются устранимыми. Это становится очевидным, если построить граф цепи (рис, 3,1, б), При построении графа ветвь с источником тока размыкается, поэтому узлы 1, 3 и 4 образуют узел.

Следует заметить, что в ветвях с сопротивлениями течет один и тот же ток. Поэтому рассматриваемая цепь имеет четыре ветви с неизвестными токами один независимый узел и два независимых контура (на графе им соответствуют две хорды).

На графе для цепи, показанной на рис.3.2,а, из-за наличия идеального источника ЭДС узлы 1 и 2 слились в один (рис. 3.2, б). Видно, что токи в ветвях источника и сопротивления одинаковые, поэтому в данной цепи

Построение дерева и графа для цепи (рис. 3.3, а) показывает, что в данном случае имеется один независимый узел и два независимых контура. Включение в цепь идеального источника привело к тому, что узлы 1 и 2 слились в один, а на графе цепи образовалась петля. Ток в ветви сопротивления можно считать известным, так как его легко рассчитать по закону Ома

Поэтому анализ показывает, что в данной цепи (рис.3.3, а)

Пример 3.2.2.

Составить по методу уравнений Кирхгофа систему уравнений для расчета токов в ветвях цепи (рис. 3.4).

Решение

1. Произведем структурный анализ цепи. На рис. 3.5 показаны граф и деревья цепи (хорды графа обозначены пунктиром). Анализ показывает, что число неизвестных токов независимых узлов — четыре, независимых контуров — четыре.

2. Зададимся условно-положительными направлениями токов в ветвях и напряжений на элементах (см. рис. 3.4), а также направлением обхода контуров

3. Считая узлы 1, 2, 3 и 4 независимыми, составим для них уравнения по первому закону Кирхгофа:

Токи, направленные к узлу, учитываются и уравнениях со знаком (+), направленные от узла — со знаком (-).

4. Выбрав независимые контуры I—IV (см, рис. 3.4), составим для них уравнения по второму закону Кирхгофа:

Примечание. Падения напряжений на элементах контуров выразим через искомые токи в ветвях.

Совместное решение полуденных восьми уравнений позволяет рассчитать все неизвестные токи в ветвях, а затем, если необходимо напряжения на элементах цепи.

Из приведенного примера видно, что достоинство метода уравнений Кирхгофа заключается в его простоте (с точки зрения составления уравнений). Недостаток этого метода — сложность решения системы уравнений из-за большого числа уравнений и их разнородности.

Пример 3.2.3.

Рассчитать токи в ветвях цепи (рис. 3.6) методом контурных токов.

Решение

1. Составляем комплексную схему замещений цепи (рис. 3.7).

2. Произведем структурный анализ цепи с помощью топологического графа (рис.З.8). Анализ цепи показывает, что она содержит пять ветвей, а число ветвей с неизвестными токами р = 4. Цепь имеет 1ри узла, причем узел 3 является устранимым. Поэтому независимых узлов в схеме q = 2. Очевидно, что число независимых контуров равно двум (число хорд на графе): НК = 4- 3 + 1 = 2.

3. Реальный источник тока заменяем эквивалентным источником напряжения и выбираем направления контурных токов (рис. 3.9).

4. Составляем каноническую систему контурных уравнений для независимых контуров в матричной форме

5. Рассчитаем собственные и общие сопротивления и контурные ЭДС:

6. Рассчитаем контурные токи по формулам Крамера:

Рассчитаем определитель системы

Рассчитаем частные определители системы:

Тогда контурные токи будут соответственно равны:

7. Рассчитаем токи в ветвях через контурные токи:

8. Проверим достоверность произведенного расчета по балансу мощности. Мощности, отдаваемые источниками в цепь:

Таким образом, общая мощность источников равна

Активная и реактивная мощности в пассивных элементах цепи равны соответственно:

Как видно из приведенных расчетов, отдаваемая и потребляемая мощности в электрической цепи совпадают.

Пример 3.2.4.

Рассчитать токи в ветвях цепи (рис.3.10) методом узловых напряжений.

Решение

1. Составим комплексную схему замещения (рис. 3.11) и определим комплексные источники ЭДС и тока:

2. Произведем структурный анализ цепи с помощью топологического графа (рис. 3.12).

Анализ цепи показывает, что она содержит 6 ветвей, а ветвей с неизвестными токами р= 5. Число независимых узлов составляет

3. Ветви с реальными источниками напряжения заменим эквивалентными источниками тока (рис. 3.13) и выберем направления узловых напряжений.

4.Составим каноническую систему уравнений для независимых узлов и рассчитаем собственные и общие проводимости и узловые токи.

где

5. Рассчитаем узловые напряжения по формулам Крамера:

Составим и рассчитаем определители системы:

Тогда узловые напряжения равны:

6. Рассчитаем токи в ветвях по законам Ома и Кирхгофа.

Токи в ветвях по найденным узловым напряжениям находятся из уравнений, составляемых по второму закону Кирхгофа для исходной непреобразованной схемы. При этом контур замыкается через ветвь с искомым током и найденными узловыми напряжениями. Так, если путем решения системы уравнений найдены узловые напряжения то токи определяются из уравнений: