Как найти общий знаменатель при умножении дробей - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Приведение дробей к общему знаменателю

27 июля 2011

Изначально я хотел включить методы приведения к общему знаменателю в параграф «Сложение и вычитание дробей». Но информации оказалось так много, а важность ее столь велика (ведь общие знаменатели бывают не только у числовых дробей), что лучше изучить этот вопрос отдельно.

Итак, пусть у нас есть две дроби с разными знаменателями. А мы хотим сделать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми. На помощь приходит основное свойство дроби, которое, напомню, звучит следующим образом:

Дробь не изменится, если ее числитель и знаменатель умножить на одно и то же число, отличное от нуля.

Таким образом, если правильно подобрать множители, знаменатели у дробей сравняются — этот процесс называется приведением к общему знаменателю. А искомые числа, «выравнивающие» знаменатели, называются дополнительными множителями.

Для чего вообще надо приводить дроби к общему знаменателю? Вот лишь несколько причин:

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. По-другому эту операцию никак не выполнить;
Сравнение дробей. Иногда приведение к общему знаменателю значительно упрощает эту задачу;
Решение задач на доли и проценты. Процентные соотношения являются, по сути, обыкновенными выражениями, которые содержат дроби.

Есть много способов найти числа, при умножении на которые знаменатели дробей станут равными. Мы рассмотрим лишь три из них — в порядке возрастания сложности и, в некотором смысле, эффективности.

Умножение «крест-накрест»

Самый простой и надежный способ, который гарантированно выравнивает знаменатели. Будем действовать «напролом»: умножаем первую дробь на знаменатель второй дроби, а вторую — на знаменатель первой. В результате знаменатели обеих дробей станут равными произведению исходных знаменателей. Взгляните:

Задача. Найдите значения выражений:

В качестве дополнительных множителей рассмотрим знаменатели соседних дробей. Получим:

Да, вот так все просто. Если вы только начинаете изучать дроби, лучше работайте именно этим методом — так вы застрахуете себя от множества ошибок и гарантированно получите результат.

Единственный недостаток данного метода — приходится много считать, ведь знаменатели умножаются «напролом», и в результате могут получиться очень большие числа. Такова расплата за надежность.

Метод общих делителей

Этот прием помогает намного сократить вычисления, но, к сожалению, применяется он достаточно редко. Метод заключается в следующем:

Прежде, чем действовать «напролом» (т.е. методом «крест-накрест»), взгляните на знаменатели. Возможно, один из них (тот, который больше), делится на другой.
Число, полученное в результате такого деления, будет дополнительным множителем для дроби с меньшим знаменателем.
При этом дробь с большим знаменателем вообще не надо ни на что умножать — в этом и заключается экономия. Заодно резко снижается вероятность ошибки.

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 84 : 21 = 4; 72 : 12 = 6. Поскольку в обоих случаях один знаменатель делится без остатка на другой, применяем метод общих множителей. Имеем:

Заметим, что вторая дробь вообще нигде ни на что не умножалась. Фактически, мы сократили объем вычислений в два раза!

Кстати, дроби в этом примере я взял не случайно. Если интересно, попробуйте сосчитать их методом «крест-накрест». После сокращения ответы получатся такими же, но работы будет намного больше.

В этом и состоит сила метода общих делителей, но, повторюсь, применять его можно лишь в том случае, когда один из знаменателей делится на другой без остатка. Что бывает достаточно редко.

Метод наименьшего общего кратного

Когда мы приводим дроби к общему знаменателю, мы по сути пытаемся найти такое число, которое делится на каждый из знаменателей. Затем приводим к этому числу знаменатели обеих дробей.

Таких чисел очень много, и наименьшее из них совсем не обязательно будет равняться прямому произведению знаменателей исходных дробей, как это предполагается в методе «крест-накрест».

Например, для знаменателей 8 и 12 вполне подойдет число 24, поскольку 24 : 8 = 3; 24 : 12 = 2. Это число намного меньше произведения 8 · 12 = 96.

Наименьшее число, которое делится на каждый из знаменателей, называется их наименьшим общим кратным (НОК).

Обозначение: наименьшее общее кратное чисел a и b обозначается НОК(a; b). Например, НОК(16; 24) = 48; НОК(8; 12) = 24.

Если вам удастся найти такое число, итоговый объем вычислений будет минимальным. Посмотрите на примеры:

Задача. Найдите значения выражений:

Заметим, что 234 = 117 · 2; 351 = 117 · 3. Множители 2 и 3 взаимно просты (не имеют общих делителей, кроме 1), а множитель 117 — общий. Поэтому НОК(234; 351) = 117 · 2 · 3 = 702.

Аналогично, 15 = 5 · 3; 20 = 5 · 4. Множители 3 и 4 взаимно просты, а множитель 5 — общий. Поэтому НОК(15; 20) = 5 · 3 · 4 = 60.

Теперь приведем дроби к общим знаменателям:

Обратите внимание, насколько полезным оказалось разложение исходных знаменателей на множители:

Обнаружив одинаковые множители, мы сразу вышли на наименьшее общее кратное, что, вообще говоря, является нетривиальной задачей;
Из полученного разложения можно узнать, каких множителей «не хватает» каждой из дробей. Например, 234 · 3 = 702, следовательно, для первой дроби дополнительный множитель равен 3.

Чтобы оценить, насколько колоссальный выигрыш дает метод наименьшего общего кратного, попробуйте вычислить эти же примеры методом «крест-накрест». Разумеется, без калькулятора. Думаю, после этого комментарии будут излишними.

Не думайте, что таких сложных дробей в настоящих примерах не будет. Они встречаются постоянно, и приведенные выше задачи — не предел!

Единственная проблема — как найти этот самый НОК. Иногда все находится за несколько секунд, буквально «на глаз», но в целом это сложная вычислительная задача, требующая отдельного рассмотрения. Здесь мы не будем этого касаться.

Смотрите также:

Сложение и вычитание дробей
Тест к уроку «Что такое числовая дробь» (средний)
Тест к уроку «Простые проценты» (легкий)
Метод узлов в задаче B5
Процент: неизвестно начальное значение (метод пропорции)
Задача B14: движение навстречу

Источник

Наталья Игоревна Восковская

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Как приводить дроби к общему знаменателю

Если у обыкновенных дробей одинаковые знаменатели, то говорят, что эти дроби приведены к общему знаменателю.

Пример 1

Например, дроби $frac{3}{18}$ и $frac{20}{18}$ имеют одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $18$. Дроби $frac{1}{29}$, $frac{7}{29}$ и $frac{100}{29}$ имеют также одинаковые знаменатели. Говорят, что они имеют общий знаменатель $29$.

Если у дробей знаменатели не одинаковые, то их можно свести к общему знаменателю. Для этого необходимо умножить их числители и знаменатели на определенные дополнительные множители.

Пример 2

Как привести две дроби $frac{6}{11}$ и $frac{2}{7}$ к общему знаменателю.

Решение.

Умножим дроби $frac{6}{11}$ и $frac{2}{7}$ на дополнительные множители $7$ и $11$ соответственно и приведем их к общему знаменателю $77$:

$frac{6cdot 7}{11cdot 7}=frac{42}{77}$

$frac{2cdot 11}{7cdot 11}=frac{22}{77}$

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Таким образом, приведением дробей к общему знаменателю называют умножение числителя и знаменателя данных дробей на дополнительные множители, которые в результате позволяют получить дроби с одинаковыми знаменателями.

Общий знаменатель

Определение 1

Любое положительное общее кратное всех знаменателей некоторого набора дробей называют общим знаменателем.

Другими словами, общий знаменатель заданных обыкновенных дробей – любое натуральное число, которое можно разделить на все знаменатели заданных дробей.

Из определения вытекает бесконечное множество общих знаменателей данного набора дробей.

Пример 3

Найти общие знаменатели дробей $frac{3}{7}$ и $frac{2}{13}$.

Решение.

Данные дроби имеют знаменатели, равные $7$ и $13$ соответственно. Положительные общие кратные чисел $2$ и $5$ равны $91, 182, 273, 364$ и т.д.

Любое из этих чисел можно использовать в качестве общего знаменателя дробей $frac{3}{7}$ и $frac{2}{13}$.

«Приведение дробей к общему знаменателю» 👇

Пример 4

Определить, можно ли дроби $frac{1}{2}$, $frac{16}{7}$ и $frac{11}{9}$ привести к общему знаменателю $252$.

Решение.

Чтобы определить, как привести дробь к общему знаменателю $252$, необходимо проверить является ли число $252$ общим кратным знаменателей $2, 7$ и $9$. Для этого разделим число $252$ на каждый из знаменателей:

$frac{252}{2}=126,$
$frac{252}{7}=36$,
$frac{252}{9}=28$.

Число $252$ делится нацело на все знаменатели, т.е. является общим кратным чисел $2, 7$ и $9$. Значит, данные дроби $frac{1}{2}$, $frac{16}{7}$ и $frac{11}{9}$ можно свести к общему знаменателю $252$.

Ответ: можно.

Наименьший общий знаменатель

Определение 2

Среди всех общих знаменателей заданных дробей можно выделить наименьшее натуральное число, которое называют наименьшим общим знаменателем.

Т.к. НОК – наименьший положительный общий делитель данного набора чисел, то НОК знаменателей заданных дробей является наименьшим общим знаменателем данных дробей.

Следовательно, чтобы найти наименьший общий знаменатель дробей, нужно найти НОК знаменателей этих дробей.

Пример 5

Заданы дроби $frac{4}{15}$ и $frac{37}{18}$. Найти их наименьший общий знаменатель.

Решение.

Знаменатели данных дробей равны $15$ и $18$. Найдем наименьший общий знаменатель как НОК чисел $15$ и $18$. Используем для этого разложение чисел на простые множители:

$15=3cdot 5$, $18=2cdot 3cdot 3$

$НОК(15, 18)=2cdot 3cdot 3cdot 5=90$.

Ответ: $90$.

Правило приведения дробей к наименьшему общему знаменателю

Чаще всего при решении задач алгебры, геометрии, физики и т.п. принято обыкновенные дроби приводить к наименьшему общему знаменателю, а не к любому общему знаменателю.

Алгоритм:

С помощью НОК знаменателей заданных дробей найти наименьший общий знаменатель.
2.Вычислить дополнительный множитель для заданных дробей. Для этого найденный наименьший общий знаменатель необходимо разделить на знаменатель каждой дроби. Полученное число и будет дополнительным множителем данной дроби.
Умножить на найденный дополнительный множитель числитель и знаменатель каждой дроби.

Пример 6

Найти наименьший общий знаменатель дробей $frac{4}{16}$ и $frac{3}{22}$ и привести к нему обе дроби.

Решение.

Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к наименьшему общему знаменателю.

Вычислим наименьшее общее кратное чисел $16$ и $22$:

Разложим знаменатели на простые множители: $16=2cdot 2cdot 2cdot 2$, $22=2cdot 11$.

$НОК(16, 22)=2cdot 2cdot 2cdot 2cdot 11=176$.
Вычислим дополнительные множители для каждой дроби:

$176div 16=11$ – для дроби $frac{4}{16}$;

$176div 22=8$ – для дроби $frac{3}{22}$.
Умножим числители и знаменатели дробей $frac{4}{16}$ и $frac{3}{22}$ на дополнительные множители $11$ и $8$ соответственно. Получим:

$frac{4}{16}=frac{4cdot 11}{16cdot 11}=frac{44}{176}$

$frac{3}{22}=frac{3cdot 8}{22cdot 8}=frac{24}{176}$

Обе дроби приведены к наименьшему общему знаменателю $176$.

Ответ: $frac{4}{16}=frac{44}{176}$, $frac{3}{22}=frac{24}{176}$.

Иногда для того, чтобы находить наименьший общий знаменатель, нужно провести ряд трудоемких вычислений, что может не оправдывать цель решения задачи. В таком случае можно воспользоваться наиболее простым способ – свести дроби к общему знаменателю, который представляет собой произведение знаменателей данных дробей.

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник

Загрузить PDF

Для сложения или вычитания дробей с разными знаменателями (числа, стоящие под дробной чертой) сначала необходимо найти их наименьший общий знаменатель (НОЗ). Таким числом будет наименьшее кратное, которое встречается в списке кратных каждого знаменателя, то есть число, делящееся нацело на каждый знаменатель.^[1] Также вы можете вычислить наименьшее общее кратное (НОК) двух или более знаменателей. В любом случае речь идет о целых числах, методы нахождения которых весьма схожи. Определив НОЗ, вы сможете привести дроби к общему знаменателю, что в свою очередь позволит вам складывать и вычитать их.

1
Перечислите кратные каждого знаменателя. Составьте список из нескольких кратных для каждого знаменателя в уравнении. Каждый список должен состоять из произведения знаменателя на 1, 2, 3, 4 и так далее.
- Пример: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Кратные 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; и так далее.
- Кратные 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; и так далее.
- Кратные 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; и так далее.
2
Определите наименьшее общее кратное. Просмотрите каждый список и отметьте любые кратные числа, которые являются общими для всех знаменателей. После выявления общих кратных определите наименьший знаменатель.
- Обратите внимание, что если общий знаменатель не найден, возможно, потребуется продолжить выписывать кратные до тех пор, пока не появится общее кратное число.
- Лучше (и легче) пользоваться этим методом в том случае, когда в знаменателях стоят небольшие числа.
- В нашем примере общим кратным всех знаменателей является число 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
- НОЗ = 30
3
Перепишите исходное уравнение. Для того чтобы привести дроби к общему знаменателю, при этом не изменив их значения, умножьте каждый числитель (число, стоящее над дробной чертой) на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Пример: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- Новое уравнение: 15/30 + 10/30 + 6/30
4
Решите полученное уравнение. После нахождения НОЗ и изменения соответствующих дробей, просто решите полученное уравнение. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30
Реклама

1
Перечислите делители каждого знаменателя. Делитель – это целое число, которое делит нацело данное число.^[4] Например, делителями числа 6 являются числа 6, 3, 2, 1. Делителем любого числа является 1, потому что любое число делится на единицу.
- Пример: 3/8 + 5/12
- Делители 8: 1, 2, 4, 8
- Делители 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
2
Найдите наибольший общий делитель (НОД) обоих знаменателей. Перечислив делители каждого знаменателя, отметьте все общие делители. Самый большой общий делитель является наибольшим общим делителем, который понадобится вам для решения задачи.
- В нашем примере общими делителями для знаменателей 8 и 12 являются числа 1, 2, 4.
- НОД = 4.
3
Перемножьте знаменатели между собой. Если вы хотите использовать НОД для решения задачи, сначала перемножьте знаменатели между собой.
- Пример: 8 * 12 = 96
4
Разделите полученное значение на НОД. Получив результат перемножения знаменателей, разделите его на вычисленный вами НОД. Полученное число будет наименьшим общим знаменателем (НОЗ).
- Пример: 96 / 4 = 24
5
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
6
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 9/24 + 10/24 = 19/24
Реклама

1
Разложите каждый знаменатель на простые множители. Разложите каждый знаменатель на простые множители, то есть простые числа, которые при перемножении дают исходный знаменатель. Напомним, что простые множители – это числа, которые делятся только на 1 или самих себя.^[6]
- Пример: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Простые множители 4: 2 * 2
- Простые множители 5: 5
- Простые множители 12: 2 * 2 * 3
2
Подсчитайте число раз каждый простой множитель есть у каждого знаменателя. То есть определите, сколько раз каждый простой множитель появляется в списке множителей каждого знаменателя.
- Пример: Есть две 2 для знаменателя 4; нуль 2 для 5; две 2 для 12
- Есть нуль 3 для 4 и 5; одна 3 для 12
- Есть нуль 5 для 4 и 12; одна 5 для 5
3
Возьмите только наибольшее число раз для каждого простого множителя. Определите наибольшее число раз наличия каждого простого множителя в любом знаменателе.
- Например: наибольшее число раз для множителя 2 — 2 раза; для 3 – 1 раз; для 5 – 1 раз.
4
Запишите по порядку найденные в предыдущем шаге простые множители. Не записывайте число раз наличия каждого простого множителя во всех исходных знаменателях – делайте это с учетом наибольшего числа раз (как описано в предыдущем шаге).
- Пример: 2, 2, 3, 5
5
Перемножьте эти числа. Результат произведения этих чисел равен НОЗ.
- Пример: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- НОЗ = 60
6
Разделите НОЗ на исходный знаменатель. Для вычисления множителя, который требуется для приведения дробей к общему знаменателю, разделите найденный вами НОЗ на исходный знаменатель. Умножьте числитель и знаменатель каждой дроби на этот множитель. Вы получите дроби с общим знаменателем.
- Пример: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
7
Решите полученное уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15
Реклама

1
Преобразуйте каждое смешанное число в неправильную дробь. Для этого умножьте целую часть смешанного числа на знаменатель и сложите с числителем – это будет числитель неправильной дроби. Целое число тоже превратите в дробь (просто поставьте 1 в знаменателе).
- Пример: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4, 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Переписанное уравнение: 8/1 + 9/4 + 2/3
2
Найти наименьший общий знаменатель. Вычислите НОЗ любым способом, описанным в предыдущих разделах. Для этого примера мы будем использовать метод «перечисление кратных», в котором выписываются кратные каждого знаменателя и на их основе вычисляется НОЗ.
- Обратите внимание, что вам не нужно перечислять кратные для 1, так как любое число, умноженное на 1, равно самому себе; иными словами, каждое число является кратным 1.
- Пример: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; т.д.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; т.д.
- НОЗ = 12
3
Перепишите исходное уравнение. Числители и знаменатели исходных дробей умножьте на число, равное частному от деления НОЗ на соответствующий знаменатель.
- Например: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
4
Решите уравнение. НОЗ найден; теперь вы можете сложить или вычесть дроби. Не забудьте упростить полученный ответ (если это возможно).
- Пример: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12
Реклама

Что вам понадобится

Карандаш
Бумага
Калькулятор (по желанию)

Об этой статье

Эту страницу просматривали 223 547 раз.

Была ли эта статья полезной?

Источник

Download Article

In order to add or subtract fractions with different denominators (the bottom number of the fraction), you must first find a common denominator shared between them. In order to have the simplest fraction at the end, it is best to find not just a common denominator, but the least (or smallest) common denominator. This refers to the lowest multiple shared by each original denominator in the equation, or the smallest whole number that can be divided by each denominator.^[1] You may also see the phrase least common multiple. This generally refers to whole numbers, but the methods to find it are the same for both. Determining the least common denominator allows you convert the denominators to the same number so you can then add and subtract them.

1
List the multiples of each denominator. Make a list of several multiples for each denominator in the equation. Each list should consist of the denominator numeral multiplied by 1, 2, 3, 4, and so on.^[2]
- Example: 1/2 + 1/3 + 1/5
- Multiples of 2: 2 * 1 = 2; 2 * 2 = 4; 2 * 3 = 6; 2 * 4 = 8; 2 * 5 = 10; 2 * 6 = 12; 2 * 7 = 14; etc.
- Multiples of 3: 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 *3 = 9; 3 * 4 = 12; 3 * 5 = 15; 3 * 6 = 18; 3 * 7 = 21; etc.
- Multiples of 5: 5 * 1 = 5; 5 * 2 = 10; 5 * 3 = 15; 5 * 4 = 20; 5 * 5 = 25; 5 * 6 = 30; 5 * 7 = 35; etc.
2
Identify the lowest common multiple. Scan through each list and mark any multiples that are shared by all of the original denominators. After identifying the common multiples, identify the lowest multiple common to all the denominators.^[3]
- Note that if no common multiple exists at this point, you may need to continue writing out multiples until you eventually come across a shared multiple.
- This method is easier to use when small numbers are present in the denominator.
- In this example, the denominators only share one multiple and it is 30: 2 * 15 = 30; 3 * 10 = 30; 5 * 6 = 30
- The LCD = 30
Advertisement
3
Rewrite the original equation. In order to change each fraction in the equation so that it remains true to the original equation, you will need to multiply each numerator (the top of the fraction) and denominator by the same factor used to multiply the corresponding denominator when reaching the LCD.^[4]
- Example: (15/15) * (1/2); (10/10) * (1/3); (6/6) * (1/5)
- New equation: 15/30 + 10/30 + 6/30
4
Solve the rewritten problem. After finding the LCD and changing the fractions accordingly, you should be able to solve the problem without further difficulty. Remember to simplify the fraction at the end.^[5]
- Example: 15/30 + 10/30 + 6/30 = 31/30 = 1 1/30

1
List all of the factors of each denominator. The factors of a number are all of the whole numbers that are evenly divisible into that number.^[7] The number 6 has four factors: 6, 3, 2, and 1. (Every number has a factor of 1, because every number can be evenly divided by 1.)
- For example: 3/8 + 5/12.
- Factors of 8: 1, 2, 4, and 8
- Factors of 12: 1, 2, 3, 4, 6, 12
2
Identify the greatest common factor between both denominators. Once you have listed the factors of each denominator, circle all of the common factors. The largest of the common factors is the greatest common factor (GCF) that will be used to continue solving the problem.
- In our example, 8 and 12 share the factors 1, 2, and 4.
- The greatest common factor is 4.
3
Multiply the denominators together. In order to use the greatest common factor to solve the problem, you must first multiply the two denominators together.
- Continuing our example: 8 * 12 = 96
4
Divide this product by the GCF. After finding the product of the two denominators, divide that product by the GCF you found previously. This number will be your least common denominator (LCD).^[8]
- Example: 96 / 4 = 24
5
Divide the LCD by the original denominator. To determine the multiple needed to make the denominators equal, divide the LCD you determined by the original denominator. Multiply the numerator and the denominator of each fraction by this number. The denominators should now both be equal to the LCD.^[9]
- Example: 24 / 8 = 3; 24 / 12 = 2
- (3/3) * (3/8) = 9/24; (2/2) * (5/12) = 10/24
- 9/24 + 10/24
6
Solve the rewritten equation. With the LCD found, you should be able to add and subtract the fractions in the equation without further difficulty. Remember to simplify the fraction at the end, if possible.
- Example: 9/24 + 10/24 = 19/24

1
Break each denominator into prime numbers. Factor each denominator digit into a series of prime numbers that multiply together to make that number. Prime numbers are numbers that cannot be divided by any other number.^[10]
- Example: 1/4 + 1/5 + 1/12
- Prime factorization of 4: 2 * 2
- Prime factorization of 5: 5
- Prime factorization of 12: 2 * 2 * 3
2
Count the number of times each prime appears in each factorization. Tally up the number of times that each prime number appears in the factorization of each denominator digit.^[11]
- Example: There are two 2’s in 4; zero 2’s in 5; two 2’s in 12
- There are zero 3’s in 4 and 5; one 3 in 12
- There are zero 5’s in 4 and 12; one 5 in 5
3
Take the largest count for each prime. Identify the largest number of times you used each prime number for any of the denominators and note that count.
- Example: The largest count of 2 is two; the largest of 3 is one; the largest of 5 is one
4
Write that prime as many times as you counted in the previous step. Do not write out the number of times each prime number appeared throughout all the original denominators. Only write out the largest count, as determined in the previous step.
- Example: 2, 2, 3, 5
5
Multiply all the prime numbers written in this manner. Multiply the prime numbers together as they appeared in the previous step. The product of these numbers equals the LCD for the original equation.^[12]
- Example: 2 * 2 * 3 * 5 = 60
- LCD = 60
6
Divide the LCD by the original denominator. To determine the multiple needed to make the denominators equal, divide the LCD you determined by the original denominator. Multiply the numerator and the denominator of each fraction by this number. The denominators should now both be equal to the LCD.
- Example: 60/4 = 15; 60/5 = 12; 60/12 = 5
- 15 * (1/4) = 15/60; 12 * (1/5) = 12/60; 5 * (1/12) = 5/60
- 15/60 + 12/60 + 5/60
7
Solve the rewritten equation. With the LCD found, you should be able to add and subtract the fractions as usual. Remember to simplify the fraction at the end, if possible.
- Example: 15/60 + 12/60 + 5/60 = 32/60 = 8/15

1
Convert each integer and mixed number into an improper fraction. Convert mixed numbers into improper fractions by multiplying the integer by the denominator and adding the numerator to the product. Convert integers into improper fractions by placing the integer over a denominator of “1.”
- Example: 8 + 2 1/4 + 2/3
- 8 = 8/1
- 2 1/4; 2 * 4 + 1 = 8 + 1 = 9; 9/4
- Rewritten equation: 8/1 + 9/4 + 2/3
2
Find the least common denominator. Implement any of the methods used for finding the LCD of common fractions, as explained in the previous method sections. Note that for this example, we will be using the “listing multiples” method, in which a list of multiples is created for each denominator and the LCD is identified from these lists.^[14]
- Note that you do not need to create a list of multiples for 1 since any number multiplied by 1 equals itself; in other words, every number is a multiple of 1.
- Example: 4 * 1 = 4; 4 * 2 = 8; 4 * 3 = 12; 4 * 4 = 16; etc.
- 3 * 1 = 3; 3 * 2 = 6; 3 * 3 = 9; 3 * 4 = 12; etc.
- The LCD = 12
3
Rewrite the original equation. Instead of multiplying the denominator alone, you must multiply the entire fraction by the digit required for changing the original denominator into the LCD.
- Example: (12/12) * (8/1) = 96/12; (3/3) * (9/4) = 27/12; (4/4) * (2/3) = 8/12
- 96/12 + 27/12 + 8/12
4
Solve the equation. With the LCD determined and the original equation changed to reflect the LCD, you should be able to add and subtract without difficulty. Remember to simplify the fraction at the end, if possible.^[15]
- Example: 96/12 + 27/12 + 8/12 = 131/12 = 10 11/12

Practice Problems and Answers

Add New Question

Question

How do you find the LCD of two fractions?

Mario Banuelos is an Assistant Professor of Mathematics at California State University, Fresno. With over eight years of teaching experience, Mario specializes in mathematical biology, optimization, statistical models for genome evolution, and data science. Mario holds a BA in Mathematics from California State University, Fresno, and a Ph.D. in Applied Mathematics from the University of California, Merced. Mario has taught at both the high school and collegiate levels.

Assistant Professor of Mathematics

Expert Answer

Support wikiHow by
unlocking this expert answer.

One way to do this is to write out all of the multiples of both denominators, then see where they match for the first time. You can also factor both the denominators and see if there are any common factors. If they do share common factors, the ones they do not have in common will give you insight into how to get the least common denominator.
Question

What is the LCD of 1/4 and 3/8?

First, you must see what lowest number that both 4 and 8 will go into evenly. Since four can go evenly into 8, and 8 goes into itself evenly, then LCD of these two fractions is 8.
Question

How do I subtract 4/5 from 8/10?

Express both fractions with the same denominator. 4/5 is the equivalent of 8/10. 8/10 — 8/10 equals zero.

See more answers

Ask a Question

200 characters left

Include your email address to get a message when this question is answered.

Submit

Things You’ll Need

Pencil
Paper
Calculator (optional)

References

About This Article

Article SummaryX

One way to find the least common denominator (LCD) of two or more fractions is by listing the factors of each denominator, which are all of the whole numbers that divide evenly into that number. Then, identify the greatest common factor between the two denominators. To use this number to find the LCD, multiply the two denominators together and divide that number by the greatest common factor. For example, for ⅜ and 5/12, the greatest common factor is 4, and the two denominators multiplied are 96. 96 divided by four is 24, which is the LCD. If you want to learn how to find the LCD using prime numbers, keep reading the article!

Did this summary help you?

Thanks to all authors for creating a page that has been read 667,518 times.

Reader Success Stories

«I learned how to find the least common denominator. I needed to learn that information for my university homework.»

Did this article help you?

Источник

Так для чего нужен общий знаменатель, или когда нужен общий знаменатель?
Ответ довольно прост, мы имеем право дроби складывать и вычитать только когда у данных дробей есть общий знаменатель. Поэтому важно понять, как находить общий знаменатель.

Определение:
Общий знаменатель – это число всегда положительное на которое делятся знаменатели данных дробей.

Формула основного свойства рациональных чисел.

Основное свойство рациональных чисел гласит:

(frac{p}{q}=frac{p times n}{q times n})

Такое решение называется приведением к общему знаменателю. Мы имеем право умножать одновременно на одно и тоже число и числитель и знаменатель.

Рассмотрим пример:

(frac{1}{2}=frac{1 times 4}{2 times 4}=frac{4}{8})

Получаем,

(frac{1}{2}=frac{4}{8})

Наименьший общий знаменатель.

Что такое наименьший общий знаменатель?

Определение:
Наименьший общий знаменатель – это наименьшее положительное число кратное знаменателям данных дробей.

Как привести к наименьшему общему знаменателю? Чтобы ответить на этот вопрос рассмотрим пример:

Приведите дроби с разными знаменателями к наименьшему общему знаменателю .

Решение:
Чтобы найти наименьший общий знаменатель нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей этих дробей.

У первой дроби знаменатель равен 20 разложим его на простые множители.
20=2⋅5⋅2

Так же разложим и второй знаменатель дроби 14 на простые множители.
14=7⋅2

НОК(14,20)= 2⋅5⋅2⋅7=140

Ответ: наименьший общий знаменатель будет равен 140.

Как привести дробь к общему знаменателю?

Нужно первую дробь (frac{1}{20}) домножить на 7, чтобы получить знаменатель 140.

(frac{1}{20}=frac{1 times 7}{20 times 7}=frac{7}{140})
А вторую дробь умножить на 10.

(frac{3}{14}=frac{3 times 10}{14 times 10}=frac{30}{140})

Правила или алгоритм приведения дробей к общему знаменателю.

Алгоритм приведения дробей к наименьшему общему знаменателю:

Нужно разложить на простые множители знаменатели дробей.
Нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) для знаменателей данных дробей.
Привести дроби к общему знаменателю, то есть умножить и числитель и знаменатель дроби на множитель.

Общий знаменатель для нескольких дробей.

Как найти общий знаменатель для нескольких дробей?

Рассмотрим пример:
Найдите наименьший общий знаменатель для дробей (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22})

Решение:
Разложим знаменатели 11, 15 и 22 на простые множители.

Число 11 оно само по себе уже простое число, поэтому его расписывать не нужно.
Разложим число 15=5⋅3
Разложим число 22=11⋅2

Найдем наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей 11, 15, и 22.
НОК(11, 15, 22)=11⋅2⋅5⋅3=330

Мы нашли наименьший общий знаменатель для данных дробей. Теперь приведем данные дроби (frac{2}{11}, frac{1}{15}, frac{3}{22}) к общему знаменатели равному 330.

(begin{align}
frac{2}{11}=frac{2 times 30}{11 times 30}=frac{60}{330} \\
frac{1}{15}=frac{1 times 22}{15 times 22}=frac{22}{330} \\
frac{3}{22}=frac{3 times 15}{22 times 15}=frac{60}{330} \\
end{align})

Вопросы по теме:
Какой общий знаменатель у дробей (bf frac{2}{25}) и (bf frac{1}{14})?
Ответ:
Какой наименьший общий знаменатель у дробей 14 и 25? Воспользуемся алгоритмом приведения дробей к общему знаменателю алгебраических дробей.

Сначала разложим на простые множители знаменатели 14 и 25.
14=2⋅7
25=5⋅5
Теперь найдем НОК(14,25)=2⋅7⋅5⋅5=350.

Это мы нашли наименьший общий знаменатель:

( begin{align}
frac{2}{25}=frac{2 times 14}{25 times 14}=frac{28}{350} \\
frac{1}{14}=frac{1 times 25}{14 times 25}=frac{25}{350} \\
end{align})

Но не всегда нужно находит наименьший общий знаменатель иногда, можно найти любой знаменатель, а потом можно конечную дробь сократить. Например, для дробей (frac{2}{25}) и (frac{1}{14}) знаменателем может быть число 700, 1400 и т.д.

Источник