Как найти общую часть двух окружностей

Общая площадь двух окружностей

Позволяет рассчитать площадь пересечения двух окружностей произвольных радиусов.

Используются достаточно простые формулы, которые элементарно доказываются.

Дополнительно есть калькулятор, который высчитывает координаты пересечения двух окружностей

Площадь пересечения двух окружностей состоит из двух сегментов FDG и FBG

Вывести формулу расчета площади пересечения двух окружностей можно из двух общеизвестных формул и знаний решения треугольника:

Формулы сектора окружности

и длина хорды окружности

По известным сторонам треугольника AFС определяем высоту на сторону AC.

Удвоением этой высоты мы получаем длину хорды, после этого узнаем угол альфа по второй формуле.

По известным сторонам треугольника AFG узнаем его площадь. Вычитаем её из площади сектора окружности, ведь угол альфа нам уже известен.

И получаем площадь сегмента FBG

Подобным образом вычисляем FDG

Это лишь один из способов решения задачи вычисления площади пересечения двух окружностей.

— радиус первой окружности

— радиус второй окружности

— расстояние между центрами окружностей

Пример

Хотим узнать площадь пересечения двух окружностей радиусом в 1 и расстоянием между центрами 0.8079455

Пишем okr 1 1 0.8079455

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 1.5707963388681

Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 3

Пишем okr 4 2 3

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 9.5701994729833

Первая окружность радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 0

Расчет площади пересечения окружностей методом Монте-Карло

Эта статья родилась как логическое продолжение пятничного поста о методе Бутстрапа, а особенно, комментариев к нему. Не защищая метод Бутстрапа, стоит уделить внимание методам Монте-Карло. Здесь я хочу поделиться своим опытом применения Монте-Карло в одной из своих практических задач, а также обоснованием законности этого применения.

Итак, моя задача заключалась в необходимости вычисления площади фигуры, являющейся пересечением окружностей, с последующей реализацией на языке JavaScript. Площадь под графиком – это интеграл. Интегрирование методом Монте-Карло достаточно широко известно, но, как многие верно заметят, его применение требует некоторого обоснования. За подробностями прошу под кат.

Обоснование

Задача расчета площади пересечения двух окружностей является тривиальной геометрической задачей (координаты центров окружностей и их радиусы нам известны). Площадь пересечения двух окружностей – это сумма площадей соответствующих сегментов этих окружностей. Есть решения для расчета площади пересечения двух, трех, четырех окружностей в различных частных случаях.

А вот решения общего случая для пересечения даже трех окружностей уже далеко не так тривиальны. В процессе поиска я нашел даже исследования по расчету площади пересечения N окружностей, однако они настолько же интересны, насколько и сложны.

Здесь на сцену выходит метод Монте-Карло. Благодаря современным компьютерным мощностям этот метод позволяет провести большое количество статистических испытаний, на основе результатов которых делается обобщение.

Итак, алгоритм расчета площади любой фигуры методом Монте-Карло сводится к следующему:

  1. Фигура вписывается в прямоугольник. Координаты сторон прямоугольника известны, значит, известна его площадь.
  2. Псевдослучайным образом внутри прямоугольника генерируется большое количество точек. Для каждой точки определяется, попала ли точка внутрь исходной фигуры или нет.
  3. В результате площадь исходной фигуры вычисляется исходя из обычной пропорции: отношение количества точек, попавших в фигуру, к общему количеству сгенерированных точек равно отношению площади фигуры к площади ограничивающего ее прямоугольника.

Последняя проблема, которую надо решить, заключается в том, что каким-то образом необходимо определять, попала ли точка внутрь исходной фигуры. В моем случае данная задача решается достаточно просто, поскольку моя фигура состоит из окружностей, координаты центров и радиусы которых известны.

Реализация задачи на JavaScript

Пара гвоздей в метод Бутстрапа

Если говорить именно о методе Бутстрапа, то мое личное мнение заключается в том, что случайная генерация набора данных по имеющемуся набору в общем случае не может служить для оценки закономерностей, поскольку сгенерированная информация не является достоверной. В общем, это же, только более умными (и нередко более резкими) словами, говорят и многие авторы, например, Орлов в своем учебнике по Эконометрике.

Площадь кольца

Онлайн калькулятор

Площадь кольца по радиусам или диаметрам

Чему равна площадь кольца ограниченного двумя окружностями, если:

у внешней окружности
у внутренней окружности

Площадь кольца по толщине и любому другому параметру

Чему равна площадь кольца ограниченного двумя окружностями, если:

толщина кольца t =

Теория

Площадь кольца через радиусы

Чему равна площадь кольца S ограниченного двумя окружностями, если известны радиус внешней окружности R и радиус внутренней окружности r ?

Формула

Пример

К примеру, определим площадь кольца, у которого внешний радиус R = 3 см, а внутренний радиус r = 2 см:

S = 3.14 ⋅ (3² — 2²) = 3.14 ⋅ (9 — 4) = 3.14 ⋅ 5 = 15.7 см²

Ответ: S = 15.7 см²

Площадь кольца через диаметры

Чему равна площадь кольца S ограниченного двумя окружностями, если известны диаметр внешней окружности D и диаметр внутренней окружности d ?

Формула

Пример

К примеру, определим площадь шайбы, внешний диаметр которой D = 4 см, а внутренний – d = 2 см:

S = 3.14 / 4 ⋅ (4² — 2²) = 0.785 ⋅ (16 — 4) = 9.42 см²

Ответ: S = 9.42 см²

Площадь кольца через толщину

Чтобы посчитать площадь кольца S зная его толщину t, необходимо знать ещё какой-нибудь из следующих параметров:

  • внешний диаметр D
  • внутренний диаметр d
  • радиус внешней окружности R
  • радиус внутренней окружности r

Формулы

Пример

Для примера, найдём чему равна площадь кольца толщиной t = 2 см и внешним диаметром D = 5 см:

S = 3.14/4 ⋅ (5² — (5 — 2 ⋅ 2)²) = 0.785 ⋅ (25 — 1) = 18.84 см²

источники:

http://habr.com/ru/post/192272/

http://poschitat.online/ploshad-kolca

Источник

�������

��� �����, ���������� ����� �������� ������� �����
$ sqrt{3}$ + 1,
����� ������� $ sqrt{2}$ � 2. ������� ��������� ������� �����,
���������� � ����� ����� ������ ������, � ������� ����� �����.

���������

����� ����� ������ ������ ������� �� ���� ���������. ��������, ��� ������� S �������� ����� �������
R � ����������� ����� $ varphi$ ������ ����� ��������� �� �������

S = $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$R2($displaystyle varphi$ — sin$displaystyle varphi$).

�������

����� O1 � O2 — ������ ������ ����������� ��������
r1 = $ sqrt{2}$ �
r2 = 2 ��������������,
d = $ sqrt{3}$ + 1 — ���������� ����� �������� ����
�����������. ���������
r1 + r2 = 2 + $ sqrt{2}$ > 1 + $ sqrt{3}$ = d, �� ����������
������������, � �.�.
r2 = 2 < $ sqrt{3}$ + 1 = d, �� ����� O1 ������ ����������
����� ��� ���������� � ������� O2.

����� A � B — ����� ����������� �����������, C � D ����� ����������� �
��������
O1O2 ������ � ������ ����������� ��������������. �����

d = O1O2 = O1C + O2D — CD = r1 + r2 — CD.

������ �������, ���

CD = r1 + r2 — d = $displaystyle sqrt{2}$ + 2 — $displaystyle sqrt{3}$ — 1 = $displaystyle sqrt{2}$ + 1 — $displaystyle sqrt{3}$.

���� r — ������ ����������, ��������� � ����� ����� ������ ������, � s ţ �������,
��

r = $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$ . CD = $displaystyle {frac{sqrt{2}+1-sqrt{3}}{2}}$, s = $displaystyle pi$r2 = $displaystyle {frac{pi(3+sqrt{2}-sqrt{3}-sqrt{6})}{2}}$.

����� ����� ������ ������ ������� �� ���� ���������. ��������, ��� ������� S �������� ����� �������
R � ����������� ����� $ varphi$ ������ ����� ��������� �� �������

S = $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$R2($displaystyle varphi$ — sin$displaystyle varphi$).

���������
$ angle$AO1O2 = $ alpha$,
$ angle$AO2O1 = $ beta$. �� ������������

AO1O2 �� ������� ��������� �������, ���

cos$displaystyle alpha$ = $displaystyle {frac{r_{2}^{2}+d^{2}-r_{1}^{2}}{2r_{2}d}}$ = $displaystyle {frac{2+4+2sqrt{3}-4}{2sqrt{2}(sqrt{3}+1)}}$ = $displaystyle {frac{1}{sqrt{2}}}$,

cos$displaystyle beta$ = $displaystyle {frac{r_{1}^{2}+d^{2}-r_{2}^{2}}{2r_{1}d}}$ = $displaystyle {frac{4+4+2sqrt{3}-2}{4(sqrt{3}+1)}}$ = $displaystyle {frac{sqrt{3}}{2}}$.

������,

$ alpha$ = $ {frac{pi}{4}}$,

$ beta$ = $ {frac{pi}{6}}$.

����� S0 — ������� ����� ����� ������ ������. �����

S0 = $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$r12(2$displaystyle alpha$ — sin 2$displaystyle alpha$) + $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$r22(2$displaystyle beta$ — sin 2$displaystyle beta$) =

$displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$ . 2 . $displaystyle left(vphantom{frac{pi}{2}-1}right.$$displaystyle {frac{pi}{2}}$ — 1$displaystyle left.vphantom{frac{pi}{2}-1}right)$ + $displaystyle {textstylefrac{1}{2}}$ . 4 . $displaystyle left(vphantom{frac{pi}{3}-sqrt{3}{2}}right.$$displaystyle {frac{pi}{3}}$ — $displaystyle sqrt{3}$2$displaystyle left.vphantom{frac{pi}{3}-sqrt{3}{2}}right)$ = $displaystyle {frac{7pi-6(sqrt{3}+1)}{6}}$.

�������������,

$displaystyle {frac{s}{S_{0}}}$ = $displaystyle {frac{3pi (3+sqrt{2}-sqrt{3}-sqrt{6})}{7pi-6(sqrt{3}+1)}}$.

�����

$ {frac{3pi (3+sqrt{2}-sqrt{3}-sqrt{6})}{7pi-6(sqrt{3}+1)}}$.

��������� � ���������� �������������

web-����
�������� ������� ����� �� ��������� �.�.�������
URL http://zadachi.mccme.ru
������
����� 4110
Источник

Мадридист

1

Найти площадь общей части двух окружностей

29.06.2013, 17:10. Показов 5456. Ответов 2

Студворк — интернет-сервис помощи студентам

помогите решить.есть 2 окружности.одна с центром (0,2) другая (0,-2) их радиус 3.найти площадь их общей части

Mysterious Light

Эксперт по математике/физике

4163 / 2066 / 424

Регистрация: 19.07.2009

Сообщений: 3,125

Записей в блоге: 24

29.06.2013, 20:42

2

Их общая часть есть такое множество:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{ ;(x,y); | ; x^2 + (y-2)^2 < 9, ; x^2 + (y+2)^2 < 9 ; }
Индикатор этого множества есть функция
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?I(x,y) = begin{cases} 1,quad x^2 + (y-2)^2 le 9 ;wedge; x^2 + (y+2)^2 le 9 \ 0,quad textrm{otherwise}end{cases}
Площадь этого множества
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S = iint I(x,y)d!xd!y

Matlab M 
1
2
3
4
5

In[1]:= Integrate[
 If[x^2 + (y - 2)^2 < 9 && x^2 + (y + 2)^2 < 9, 1, 0], {x, -Infinity, 
  Infinity}, {y, -Infinity, Infinity}]
 
Out[1]= -2 (2 Sqrt[5] - 9 ArcSin[Sqrt[5]/3])

Полученной число положительное:

Matlab M 
1
2
3

In[2]:= Reduce[% > 0]
 
Out[2]= True



1

137 / 137 / 21

Регистрация: 03.07.2012

Сообщений: 293

02.07.2013, 15:22

3

Забавно! (но что-то уж очень напоминает стрельбу по воробьям из пушки)))
Может быть, лучше воспользоваться известными из геометрии формулами:
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?S={S}_{1}+{S}_{2}
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{1}=frac{ {{R}_{1}}^{2}( 2{alpha }_{1}-sin 2{alpha }_{1} ) }{2}
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?{S}_{2}=frac{ {{R}_{2}}^{2}( 2{alpha }_{2}-sin 2{alpha }_{2} ) }{2}
Углы находим из теоремы косинусов
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos {alpha }_{1}=frac{ {{R}_{1}}^{2}+{delta }^{2}-{{R}_{2}}^{2} }{2{R}_{1}delta }
https://www.cyberforum.ru/cgi-bin/latex.cgi?cos {alpha }_{2}=frac{ {{R}_{2}}^{2}+{delta }^{2}-{{R}_{1}}^{2} }{2{R}_{2}delta }

Изображения

 



2

IT_Exp

Эксперт

87844 / 49110 / 22898

Регистрация: 17.06.2006

Сообщений: 92,604

 02.07.2013, 15:22

Помогаю со студенческими работами здесь

Вычислить длины двух окружностей и площадь кольца, образованного из этих окружностей
Очень нужна ваша помощь.
Вычислите длины двух окружностей с радиусами R и r, а также площадь…

Площадь общей части треугольников
В треугольнике АВС АВ=108, ВС=90, АС=72. Точки К, L, М-середины сторон АС, АВ, ВС соответственно….

Определить площадь сечения (общей части) прямоугольников
Задано N прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат (известны координатами верхнего…

Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух данных окружностей
Найти геометрическое место центров окружностей, касающихся двух
данных окружностей
(x+1)^2-y^2=4…

Искать еще темы с ответами

Или воспользуйтесь поиском по форуму:

3

Источник
Радиус первой окружности
Радиус второй окружности
Расстояние между двумя окружностями
Площадь пересечения двух окружностей
по заданным параметрам равна:
Первые координаты пересечения
Вторые координаты пересечения

Позволяет рассчитать площадь пересечения двух окружностей произвольных радиусов.

Используются достаточно простые формулы, которые элементарно доказываются.

Дополнительно есть калькулятор, который высчитывает координаты пересечения двух окружностей

 площадь пересечения двух окружностей

Площадь пересечения двух окружностей состоит из двух сегментов FDG и FBG

Вывести формулу  расчета  площади пересечения двух окружностей можно из двух  общеизвестных формул и знаний решения треугольника:

Формулы сектора окружности

(S=cfrac{alpha(R^2)}{2})

и длина хорды окружности

(L=2Rsin(cfrac{alpha}{2}))

По известным сторонам треугольника AFС определяем высоту  на сторону AC.

Удвоением этой высоты мы получаем  длину хорды,  после этого узнаем  угол альфа по второй формуле.

По известным сторонам треугольника AFG  узнаем его площадь. Вычитаем её из площади сектора окружности, ведь угол альфа нам уже известен.

И получаем  площадь сегмента FBG

Подобным образом вычисляем FDG

Это лишь один из способов решения задачи вычисления площади пересечения двух окружностей.

(S=S_1+S_2)

(S_1=cfrac{R_1^2*(F_1-sin(F_1))}{2})

(S_2=cfrac{R_2^2*(F_2-sin(F_2))}{2})

где

(F_1=2*acos{cfrac{R_1^2-R_2^2+D^2}{2*R_1*D}})

(F_2=2*acos{cfrac{R_2^2-R_1^2+D^2}{2*R_2*D}})

где

R_1 — радиус первой окружности

R_2 — радиус второй окружности

D — расстояние между центрами окружностей

Пример

Хотим узнать площадь пересечения двух окружностей радиусом в 1 и расстоянием между центрами 0.8079455

Пишем okr 1 1 0.8079455

Ответ

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 1.5707963388681~ (pi/2)

Первая окружность  радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 3

Пишем okr 4 2 3

Ответ

Площадь двух пересекающихся окружностей равна = 9.5701994729833

Первая окружность  радиус 4, вторая окружность радиус 2, расстоянием между центрами 0

Пишем okr 4 2 0

Ответ

Окружности не пересекаются

Источник

xestando389

xestando389

Вопрос по геометрии:

Найдите площадь общей части двух кругов единичного радиуса с центрами в противоположных вершинах единичного квадрата. Заранее спасибо :)

Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?

Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!

Ответы и объяснения 1

generendoup75

generendoup75

Эта площадь будет состоять из двух одинаковых площадей сегментов окружности)))
площадь сегмента = площадь сектора минус площадь треугольника с вершиной в центре окружности))

Изображение к ответу

Знаете ответ? Поделитесь им!

Гость

Гость ?

Как написать хороший ответ?

Как написать хороший ответ?

Чтобы добавить хороший ответ необходимо:

  • Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете
    правильный ответ;
  • Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не
    побуждал на дополнительные вопросы к нему;
  • Писать без грамматических, орфографических и
    пунктуационных ошибок.

Этого делать не стоит:

  • Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся
    уникальные и личные объяснения;
  • Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не
    знаю» и так далее;
  • Использовать мат — это неуважительно по отношению к
    пользователям;
  • Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.

Есть сомнения?

Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует?
Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие
вопросы в разделе Геометрия.

Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи —
смело задавайте вопросы!

Геометрия — раздел математики, изучающий пространственные структуры и отношения, а также их обобщения.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Телевизоры эриссон как найти каналы
  • Как найти набранный номер телефона
  • Как составить объявление об услугах ремонта
  • Как найти координаты точек симметричных точкам
  • Как найти облако своего телефона