Как найти общую прямую для двух графиков

На примере двух парабол покажем, как составить уравнение общей касательной к графикам функций. Заметим, что общих касательных может быть несколько.

Для решения данной задачи потребуются знания о производной на уровне школьного курса.

В рамках подготовки к профильному ЕГЭ при изучении производной я предлагаю своим ученикам решать, в том числе, и подобные задачи, помимо стандартных 7 и 12 заданий.

Это необходимо для того, чтобы школьники учились применять свои знания при решении задач, а не просто решать стандартные задания по шаблону.

Составим уравнение общих касательных к графикам квадратичных функций (параболам):

Касательная представляет собой прямую. Запишем уравнение касательной в виде уравнения прямой с угловым коэффициентом:
y = kx + b, k – угловой коэффициент.
Обозначим точку, в которой она касается первой параболы, как A (a1, a2), второй параболы – B (b1, b2).

Рассмотрим функцию

1. Вычислим ее производную: y’ = 2(x – 1).

2. Найдем координаты точки касания A (a1, a2).
Используем геометрический смысл производной: значение производной в точке касания равно угловому коэффициенту касательной.
y’ = 2(a1 – 1) — значение производной в точке касания, 
k – угловой коэффициент.
Таким образом,
2(a1 – 1) = k
a1 = k/2 + 1.

Подставим a1 в уравнение (1) и найдем a2:
a2 = (a1 — 1)^2 + 1 = (k/2 + 1 — 1)^2 + 1 = k^2/4 + 1.

Таким образом, мы выразили координаты точки A через угловой коэффициент касательной:
A (k/2 + 1, k^2/4 + 1).

Аналогичным способом выразим координаты точки B:
B (-k/2 + 3, — k^2/4 + 1).

3. Угловой коэффициент прямой, проходящей через точки A (a1, a2) и B (b1, b2), равен (a2 – b2) / (a1 – b1). Значит
k = (a2 – b2) / (a1 – b1).

Подставим в это уравнение координаты точек A и B и получим уравнение относительно k:

Находим корни: k = 0 и k = 4.

Для k = 4.
4. Находим координаты точек A и B.
A (4/2 + 1, 4^2/4 + 1) = A (3, 5)
B (-4/2 + 3, — 4^2/4 + 1) = B (1, -3).

5. Составляем уравнение касательной (прямой) по двум точкам. (Данная тема разобрана в предыдущем посте)
(x – a1) / (b1 – a1) = (y – a2) / (b2 – a2)
(x – 3) / (1 – 3) = (y – 5) / (-3 – 5)
(x – 3) / (–2) = (y – 5) / (-8) – каноническое уравнение прямой
Выражаем y:
y = 4x – 7 – уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Аналогично находим уравнение еще одной касательной (при k = 0):
y = 1.

✔ Для того, чтобы задать вопрос или записаться на консультацию, пишите в whatsapp 8 968 814 30 80.

Содержание  

По теореме Виета.

Первый способ применяется довольно часто, поскольку с его помощью можно понижать степень при неизвестной величине. Второй подразумевает выделение квадрата по одной из формул сокращенного умножения. Чтобы воспользоваться одним из двух методов, необходимо знать соответствующие тождества (правила разложения на множители).

Однако не всегда можно быстро решить квадратное уравнение при помощи первых двух методов. Еще один вариант — нахождение корней через дискриминант (Д), т. е. дополнительный параметр, позволяющий сразу находить решения. Он находится по следующей формуле: Д=(-S)^2 -4PU.

Следует отметить, что при Д>0 переменная принимает два значения, которые превращают равенство в истину. Если Д=0, то корень только один. Когда Д

Учитель физики, информатики и вычислительной техники. Победитель конкурса лучших учителей Российской Федерации в рамках Приоритетного Национального Проекта «Образование».

Построение графиков функций

О чем эта статья:

11 класс, ЕГЭ/ОГЭ

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие функции

Функция — это зависимость y от x, где x является переменной или аргументом функции, а y — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

• Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
• Графический способ — наглядно.
• Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
• Словесный способ.

Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.

Например, для функции вида область определения выглядит так

• х ≠ 0, потому что на ноль делить нельзя. Записать можно так: D (y): х ≠ 0.

Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.

Например, естественная область значений функции y = x² — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.

Понятие графика функции

Графиком функции y = f(x) называется множество точек (x; y), координаты которых связаны соотношением y = f(x). Само равенство y = f(x) называется уравнением данного графика.

График функции — это множество точек (x; y), где x — это аргумент, а y — значение функции, которое соответствует данному аргументу.

Проще говоря, график функции показывает множество всех точек, координаты которых можно найти, просто подставив в функцию любые числа вместо x.

Для примера возьмём самую простую функцию, в которой аргумент равен значению функции, то есть y = x.

В этом случае нам не придётся вычислять для каждого аргумента значение функции, так как они равны, поэтому у всех точек нашего графика абсцисса будет равна ординате.

Отметим любые три точки на координатной плоскости, например: L (-2; -2), M (0; 0) и N (1; 1).

Если мы последовательно от наименьшего значения аргумента к большему соединим отмеченные точки, то у нас получится прямая линия. Значит графиком функции y = x является прямая. На графике это выглядит так:

Надпись на чертеже y = x — это уравнение графика. Ставить надпись с уравнением на чертеже удобно, чтобы не запутаться в решении задач.

Важно отметить, что прямая линия бесконечна в обе стороны. Хоть мы и называем часть прямой графиком функции, на самом деле на чертеже изображена только малая часть графика.

Исследование функции

Важные точки графика функции y = f(x):

• стационарные и критические точки;
• точки экстремума;
• нули функции;
• точки разрыва функции.

Стационарные точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю.

Критические точки — точки, в которых производная функции f(x) равна нулю либо не существует. Стационарные точки являются подмножеством множества критических точек.

Экстремум в математике — максимальное или минимальное значение функции на заданном множестве. Точка, в которой достигается экстремум, называется точкой экстремума. Соответственно, если достигается минимум — точка экстремума называется точкой минимума, а если максимум — точкой максимума.

Нули функции — это значения аргумента, при которых функция равна нулю.

Асимптота — прямая, которая обладает таким свойством, что расстояние от точки графика функции до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат. По способам их отыскания выделяют три вида асимптот: вертикальные, горизонтальные, наклонные.

Функция непрерывна в точке k, если предел функции в данной точке равен значению функции в этой точке:

Если функция f(x) не является непрерывной в точке x = a, то говорят, что f(x) имеет разрыв в этой точке.

Если нам нужно построить график незнакомой функции, когда заранее невозможно представить вид графика, полезно применять схему исследования свойств функции. Она поможет составить представление о графике и приступить к построению по точкам.

Схема построения графика функции:

1. Найти область определения функции.
2. Найти область допустимых значений функции.
3. Проверить не является ли функция четной или нечетной.
4. Проверить не является ли функция периодической.
5. Найти нули функции.
6. Найти промежутки знакопостоянства функции, то есть промежутки, на которых она строго положительна или строго отрицательна.
7. Найти асимптоты графика функции.
8. Найти производную функции.
9. Найти критические точки в промежутках возрастания и убывания функции.
10. На основании проведенного исследования построить график функции.

У нас есть отличные курсы по математике для учеников с 1 по 11 классы!

Построение графика функции

Чтобы понять, как строить графики функций, потренируемся на примерах.

Задача 1. Построим график функции

Упростим формулу функции:

при х ≠ -1.

График функции — прямая y = x — 1 с выколотой точкой M (-1; -2).

Задача 2. Построим график функции

Выделим в формуле функции целую часть:

График функции — гипербола, сдвинутая на 3 вправо по x и на 2 вверх по y и растянутая в 10 раз по сравнению с графиком функции

Выделение целой части — полезный прием, который применяется в решении неравенств, построении графиков и оценке целых величин.

Задача 3. По виду графика определить знаки коэффициентов общего вида функции y = ax2 + bx + c.

1. 
2. 
3. 

Вспомним, как параметры a, b и c определяют положение параболы.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Точка пересечения с осью Oy — c = 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на положительное дает отрицательный результат, то это число отрицательное, следовательно, b > 0.

Ветви вниз, следовательно, a 0.

Координата вершины , т.к. неизвестное число при делении на отрицательное дает в результате положительное, то это число отрицательное, следовательно, b

Как видим, k = 3 > 0 и угол наклона к оси Ox острый, b = -1 — смещение по оси Oy.

k = -1 > 0 и b = 2 можно сделать аналогичные выводы, как и в первом пункте.

k = 2 > 0 — угол наклона к оси Ox острый, B = 0 — график проходит через начало координат.

k = 0 — константная функция, прямая проходит через точку b = -1 и параллельно оси Ox.

Задача 5. Построить график функции

Это дробно-рациональная функция. Область определения функции D(y): x ≠ 4; x ≠ 0.

Нули функции: 3, 2, 6.

Промежутки знакопостоянства функции определим с помощью метода интервалов.

Вертикальные асимптоты: x = 0, x = 4.

Если x стремится к бесконечности, то у стремится к 1. Значит, y = 1 — горизонтальная асимптота.

Вот так выглядит график:

Задача 6. Построить графики функций:

б)

г)

д)

Когда сложная функция получена из простейшей через несколько преобразований, то преобразования графиков можно выполнить в порядке арифметических действий с аргументом.

а)

Преобразование в одно действие типа f(x) + a.

Сдвигаем график вверх на 1:

б)

Преобразование в одно действие типа f(x — a).

Сдвигаем график вправо на 1:

В этом примере два преобразования, выполним их в порядке действий: сначала действия в скобках f(x — a), затем сложение f(x) + a.

Сдвигаем график вправо на 1:

Сдвигаем график вверх на 2:

г)

Преобразование в одно действие типа

Растягиваем график в 2 раза от оси ординат вдоль оси абсцисс:

д)

Мы видим три преобразования вида f(ax), f (x + a), -f(x).

Чтобы выполнить преобразования, посмотрим на порядок действий: сначала умножаем, затем складываем, а уже потом меняем знак. Чтобы применить умножение ко всему аргументу модуля в целом, вынесем двойку за скобки в модуле.

Сжимаем график в два раза вдоль оси абсцисс:

Сдвигаем график влево на 1/2 вдоль оси абсцисс:

Отражаем график симметрично относительно оси абсцисс:

Как найти координаты точек пересечения графика функции: примеры решения

Вы будете перенаправлены на Автор24

В практике и в учебниках наиболее распространены нижеперечисленные способы нахождения точки пересечения различных графиков функций.

Первый способ

Первый и самый простой – это воспользоваться тем, что в этой точке координаты будут равны и приравнять графики, а из того что получится можно найти $x$. Затем найденный $x$ подставить в любое из двух уравнений и найти координату игрек.

Найдём точку пересечения двух прямых $y=5x + 3$ и $y=x-2$, приравняв функции:

Теперь подставим полученный нами икс в любой график, например, выберем тот, что попроще — $y=x-2$:

$y=-frac<1> <2>– 2 = — 2frac12$.

Точка пересечения будет $(-frac<1><2>;- 2frac12)$.

Второй способ

Второй способ заключается в том, что составляется система из имеющихся уравнений, путём преобразований одну из координат делают явной, то есть, выражают через другую. После это выражение в приведённой форме подставляется в другое.

Узнайте, в каких точках пересекаются графики параболы $y=2x^2-2x-1$ и пересекающей её прямой $y=x+1$.

Решение:

Второе уравнение проще первого, поэтому подставим его вместо $y$:

Вычислим, чему равен x, для этого найдём корни, превращающие равенство в верное, и запишем полученные ответы:

Подставим наши результаты по оси абсцисс по очереди во второе уравнение системы:

$y_1= 2 + 1 = 3; y_2=1 — frac<1> <2>= frac<1><2>$.

Точки пересечения будут $(2;3)$ и $(-frac<1><2>; frac<1><2>)$.

Третий способ

Готовые работы на аналогичную тему

Перейдём к третьему способу — графическому, но имейте в виду, что результат, который он даёт, не является достаточно точным.

Для применения метода оба графика функций строятся в одном масштабе на одном чертеже, и затем выполняется визуальный поиск точки пересечения.

Данный способ хорош лишь в том случае, когда достаточно приблизительного результата, а также если нет каких-либо данных о закономерностях рассматриваемых зависимостей.

Найдите точку пересечения графиков на общем рисунке.

Рисунок 1. Точка пересечения двух функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Решение:

Тут всё просто: ищем точки пересечения пунктиров, опущенных с графиков с осями абсцисс и ординат и записываем по порядку. Здесь точка пересечения равна $(2;3)$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 07 05 2021

Для построения графика каждой линейной функции составим таблицу значений.

прямых.

§ 1  Взаимное расположение графиков линейных функций

Из курса геометрии мы знаем, что 2 прямые на плоскости могут совпадать, т.е. иметь бесконечно много общих точек; пересекаться, т.е. иметь одну общую точку или не пересекаться, т. е. не иметь ни одной общей точки. Такие прямые называются параллельными.

Линейная функция задаётся равенством вида у = kх + m. Коэффициент k называют угловым коэффициентом. Он «отвечает» за угол наклона прямой относительно положительного направления оси х. Если k > 0, то угол наклона острый (как на рисунке 1), если k < 0, то угол наклона тупой (как на рисунке 2).

А теперь посмотрим на рисунок 3. На нём изображены 2 прямые, заданные уравнениями у = k1 + m1 и у = k2 + m2. Предположим, что k1 = k2. Это означает, что углы наклона прямой одинаковы. Это соответственные углы, а значит данные нам прямые параллельны по признаку параллельных прямых.

Таким образом, если 2 линейные функции имеют одинаковый угловой коэффициент, то их графики будут параллельны. Если же угловые коэффициенты не равны, то графики будут пересекаться.

Например, даны линейные функции, заданные формулами у = 2х – 1 и у = 2х + 3. Как будут располагаться на плоскости их графики по отношению друг к другу? Так как угловой коэффициент первой функции k1 = 2 и угловой коэффициент второй функции k2 = 2, то графики будут параллельны.

Или другая пара: у = х – 3 и у = 2х + 3. У первой функции коэффициент k1 = 1, а у второй функции коэффициент k2 = 2. Это неравные коэффициенты, поэтому графики этих функций будут пересекаться. А в каком же случае прямые будут совпадать?

Для ответа надо сначала ответить на другой вопрос: а за что «отвечает» коэффициент m? Давайте посмотрим на рисунок, на котором изображены графики трёх функций:

у = х, у = х + 3 и у = х – 2.

У всех трёх функций угловой коэффициент k= 1, т. е. графики параллельны. Но обратите внимание: график функции у = х проходит через начало координат, здесь m = 0. График функции у = х + 3 получен сдвигом графика у = х на 3 единицы вверх, как показывает коэффициент m = 3.

График функции у = х – 2 получен сдвигом графика у = х на 2 единицы вниз, как показывает коэффициент m = –2. Иначе говоря, коэффициент m отвечает за параллельный перенос графика у = kх относительно начала координат на m единиц вдоль оси у.

Теперь можно ответить на поставленный вопрос. 2 прямые будут совпадать, если у них одинаковые угловые коэффициенты и коэффициент m1равен коэффициенту m2.

§ 2  Краткие итоги по теме урока

Графики линейных функций по отношению друг к другу на плоскости могут быть параллельны, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны, а коэффициенты m1 и m2 различны. Могут пересекаться в случае, когда угловые коэффициенты k1 и k2 не равны. А также могут совпадать, если угловые коэффициенты k1 и k2 равны и коэффициенты m1 и m2 так же равны. График функции у = kх проходит через начало координат, т. к. коэффициент m = 0, а график функции у = kх + m проходит через точку (0; m).

Графики
двух линейных функций представляют собой прямые, которые либо пересекаются,
либо параллельны.

ПРИМЕР:

Даны графики функций, заданных формулами:

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

с различными коэффициентами при  х.

Выясним, пересекаются ли эти графики.
Пересечение графиков означает, что они имеют общую точку. В этом случае
найдётся такое значение х, которому соответствует одно и то же значение  у  для
обеих функций. Чтобы найти это значение  х,
надо решить уравнение

0,9х – 1 = 0,8х + 1.

Имеем:

0,9х – 0,8х = 1 + 1,

0,1х = 2,

х =
20.

При  х = 20  обе
функции

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

принимают одно и то же значение,
равное  17. Точка 
(20; 17)  принадлежит как одному, так и другому
графику. Такая точка только одна. Значит, прямые, являющиеся графиками функций

у =
0,9х – 1,

у =
0,8х + 1

пересекаются.

ПРИМЕР:

Даны графики функций, заданных формулами:

у =
0,5х + 1,

у =
0,5х – 2

с одинаковыми коэффициентами при  х.

Чтобы выяснить, пересекаются ли графики
этих функций, надо решить уравнение

0,5х + 4 = 0,5х – 2.

Так как это уравнение не имеет корней, то
прямые, которые являются графиками функций

у =
0,5х + 1,

у =
0,5х – 2

Не имеют общих точек, т. е. они
параллельны.

Графики двух
линейных функций, заданных формулами вида

y = аx + b, 

пересекаются,
если коэффициенты при  х  различны, и параллельны, если коэффициенты
при  х  одинаковы.

На
рисунке изображены прямые, которые являются графиками линейных функций,
заданных формулами вида

y = аx + b, 

с
одинаковыми коэффициентами при  х  и различными
значениями  b.

Все эти прямые параллельны и наклонены к оси  х  под одним и тем же углом. Этот угол зависит
от коэффициента  а. Число  а  называют угловым
коэффициентом прямой – графика функции

y = аx + b, 

используя термин угловой 
коэффициент прямой, доказанное выше свойство можно
сформулировать так:

– если угловые
коэффициенты прямых, являющихся графиками двух линейных функций, различны, то
эти прямые пересекаются, а если угловые коэффициенты одинаковы, то прямые
параллельны.

Из формулы

y = аx + b, 

Следует, что при  х
= 0  значение 
у  равно  b. Значит, график функции 
y = аx + b  пересекает ось  у  в точке с
координатами  (0; b). На рисунке
изображены прямые, которые являются графиками функций, заданных формулами
вида  y = аx + b  с различными  а  и одним и тем же
значением  b.
Все эти прямые пересекаются в одной точке, лежащей на оси  у.

Задания к уроку 21

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Другие уроки: