Как найти одно неизвестное в уравнении

1. 

   1

   Напишите уравнение. Например:

   • 2²(x+3) + 9 — 5 = 32

2. 

   2

   Возведите в степень. Запомните порядок операций: С.Э.У.Д.П.В. (Смотрите, Эти Умельцы Делают Порхающий Велосипед), что расшифровывается как Скобки, Экспоненты (степени), Умножение, Деление, Прибавление, Вычитание. Вы не cможете сначала выполнить выражения в скобках, поскольку там находится x. Поэтому вам нужно начать со степени: 2². 2² = 4

   • 4(x+3) + 9 — 5 = 32

3. 

   3

   Выполните умножение.^[1]
   Просто распределите множитель 4 в выражении (x +3):

   • 4x + 12 + 9 — 5 = 32

4. 

   4

   Выполните сложение и вычитание. Просто сложите или вычтите оставшиеся числа:

   • 4x+21-5 = 32
   • 4x+16 = 32
   • 4x + 16 — 16 = 32 — 16
   • 4x = 16

5. 

   5

   Изолируйте переменную.^[2]
   Чтобы сделать это, разделите обе стороны уравнения на 4, чтобы потом найти x. 4x/4 = x и 16/4 = 4, поэтому x = 4.

   • 4x/4 = 16/4
   • x = 4

6. 

   6

   Проверьте правильность решения.^[3]
   Просто подставьте x = 4 в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно сходится:

   • 2²(x+3)+ 9 — 5 = 32
   • 2²(4+3)+ 9 — 5 = 32
   • 2²(7) + 9 — 5 = 32
   • 4(7) + 9 — 5 = 32
   • 28 + 9 — 5 = 32
   • 37 — 5 = 32
   • 32 = 32

   Реклама

1. 

   1

   Напишите уравнение. Допустим, вам необходимо решить такое уравнение, где x возведен в степень:

   • 2x² + 12 = 44

2. 

   2

   Выделите член со степенью.^[4]
   Первое, что вам нужно сделать, — это объединить похожие члены, чтобы все численные значения были в правой части уравнения, а член со степенью — в левой. Просто вычтите 12 из обеих частей уравнения:

   • 2x²+12-12 = 44-12
   • 2x² = 32

3. 

   3

   Изолируйте неизвестное со степенью, разделив обе часть на коэффициент при х. В нашем случае известно, что коэффициент при x равен 2, поэтому вам нужно разделить обе части уравнения на 2, чтобы избавиться от него:

   • (2x²)/2 = 32/2
   • x² = 16

4. 

   4

   Извлеките квадратный корень из каждого уравнения.^[5]
   После извлечения квадратного корня из x² необходимость в степени при нем отпадет. Итак, извлеките квадратный корень из обеих сторон. У вас останется x в левой части и квадратный корень из 16, 4 — в правой. Следовательно, x = 4.

5. 

   5

   Проверьте правильность решения. Просто подставьте x = 4 в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно сходится:

   • 2x² + 12 = 44
   • 2 x (4)² + 12 = 44
   • 2 x 16 + 12 = 44
   • 32 + 12 = 44
   • 44 = 44

   Реклама

1. 

   1

   Напишите уравнение. Например, вам попалось такое:^[6]
   

   • (x + 3)/6 = 2/3

2. 

   2

   Перемножьте крест-накрест. Чтобы перемножить крест-накрест, просто умножьте знаменатель каждой дроби на числитель другой. По сути, вы будете перемножать вдоль диагональных линий. Итак, умножьте первый знаменатель, 6, на числитель второй дроби, 2, и вы получите 12 в правой части уравнения. Умножьте второй знаменатель, 3, на первый числитель, x + 3, при этом вы получите 3 x + 9 в левой части уравнения. Вот что у вас выйдет:

   • (x + 3)/6 = 2/3
   • 6 x 2 = 12
   • (x + 3) x 3 = 3x + 9
   • 3x + 9 = 12

3. 

   3

   Объедините подобные члены. Объедините численные значения в уравнении, вычтя 9 из обеих его частей:

   • 3x + 9 — 9 = 12 — 9
   • 3x = 3

4. 

   4

   Изолируйте x, разделив каждый член на коэффициент при x. Просто разделите 3x и 9 на 3, коэффициент при x, чтобы решить уравнение. 3x/3 = x и 3/3 = 1, поэтому x = 1.

5. 

   5

   Проверьте правильность решения. Просто подставьте x в исходное уравнение, чтобы убедиться, что оно сходится:

   • (x + 3)/6 = 2/3
   • (1 + 3)/6 = 2/3
   • 4/6 = 2/3
   • 2/3 = 2/3

   Реклама

1. 

   1

   Напишите уравнение. Допустим, нужно найти x в следующем уравнении:^[7]
   

   • √(2x+9) — 5 = 0

2. 

   2

   Изолируйте квадратный корень. Прежде чем продолжить, переместите часть уравнения с квадратным корнем в одну сторону. Для этого добавьте к обеим сторонам уравнения 5:

   • √(2x+9) — 5 + 5 = 0 + 5
   • √(2x+9) = 5

3. 

   3

   Возведите обе части уравнения в квадрат. Точно так же, как вы поделили бы обе части уравнения на коэффициент, который стоит при x, возведите обе части уравнения в квадрат, если x находится в квадратном корне (под знаком радикала). Так вы исключите из уравнения знак корня:

   • (√(2x+9))² = 5²
   • 2x + 9 = 25

4. 

   4

   Объедините подобные члены. Объедините подобные члены, вычтя из обеих сторон 9, чтобы все численные значения были на правой стороне уравнения, а x оставался слева:

   • 2x + 9 — 9 = 25 — 9
   • 2x = 16

5. 

   5

   Изолируйте неизвестную величину. Последнее, что вам необходимо сделать для нахождения значения x — это изолировать неизвестную величину, разделив обе части уравнения на 2, коэффициент при x. 2x/2 = x и 16/2 = 8, поэтому вы получите x = 8.

6. 

   6

   Проверьте правильность решения. Просто подставьте 8 в исходное уравнение вместо x, чтобы убедиться, что вы получили правильный ответ:

   • √(2x+9) — 5 = 0
   • √(2(8)+9) — 5 = 0
   • √(16+9) — 5 = 0
   • √(25) — 5 = 0
   • 5 — 5 = 0

   Реклама

1. 

   1

   Напишите уравнение. Допустим, вы хотите решить уравнение вида:^[8]
   

   • |4x +2| — 6 = 8

2. 

   2

   Изолируйте абсолютное значение. Первое, что вам предстоит сделать, это объединить подобные члены, получив выражение в модуле на одной стороне уравнения. В данном случае необходимо добавить 6 к обеим сторонам уравнения:

   • |4x +2| — 6 = 8
   • |4x +2| — 6 + 6 = 8 + 6
   • |4x +2| = 14

3. 

   3

   Уберите модуль и решите уравнение. Это первый и самый легкий шаг. При работе с модулями необходимо искать x дважды. Делать это первый раз нужно так:

   • 4x + 2 = 14
   • 4x + 2 — 2 = 14 -2
   • 4x = 12
   • x = 3

4. 

   4

   Уберите модуль и измените знак членов выражения по другую сторону знака равенства на противоположный, и только потом начинайте решать уравнение. Сейчас делайте все как прежде, только сделайте первую часть уравнения равной -14 вместо 14:

   • 4x + 2 = -14
   • 4x + 2 — 2 = -14 — 2
   • 4x = -16
   • 4x/4 = -16/4
   • x = -4

5. 

   5

   Проверьте правильность решения. Теперь, зная что x = (3, -4), просто подставьте оба числа в уравнение и убедитесь, что вы получили правильный ответ:

   • (Для x = 3):
     • |4x +2| — 6 = 8
     • |4(3) +2| — 6 = 8
     • |12 +2| — 6 = 8
     • |14| — 6 = 8
     • 14 — 6 = 8
     • 8 = 8
   • (Для x = -4):
     • |4x +2| — 6 = 8
     • |4(-4) +2| — 6 = 8
     • |-16 +2| — 6 = 8
     • |-14| — 6 = 8
     • 14 — 6 = 8
     • 8 = 8

   Реклама

Советы

• Чтобы проверить правильность решения, подставьте значение x в исходное уравнение и посчитайте полученное выражение.
• Радикалы или корни — это способ представления степени. Квадратный корень x = x^1/2.

Реклама

Сегодня на уроке вспомним, что такое уравнение и что называют корнем уравнения. Рассмотрим один из видов уравнений: линейное уравнение с одним неизвестным, определим его общий вид и узнаем, как называются составные части такого равенства.

Разберем способы и приемы решения линейных уравнений с одним неизвестным.

Рассмотрим алгоритм и пример решения задач с помощью линейных уравнений.

Связать реальную жизнь и математическое описание любой ситуации нам позволяет математическая модель.

Составив математическую модель жизненной задачи, мы можем превратить слова в формулы, неравенства, равенства, уравнения и т.п.

Математическая модель задачи в виде уравнения позволяет установить связи между всеми данными задачи, а также применить эту модель-уравнение для решения огромного множества подобного типа задач.

Вам уже хорошо известно, что уравнение — это математическое равенство, содержащее неизвестное число, которое необходимо определить.

Неизвестное число, входящее в уравнение, называют неизвестным членом данного уравнения.

Принято обозначать неизвестный член уравнения маленькими латинскими буквами.

Чаще всего в математике используют буквы x, y, z.

Найти неизвестное число, при котором из уравнения получается верное равенство, — это значит решить уравнение, т.е. найти корни уравнения или убедиться, что корней нет.

Корень уравнения — это значение неизвестного числа в уравнении, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Уравнения могут иметь разное количество корней.

Существуют уравнения, имеющие один единственный корень, и уравнения, вообще не имеющие корней.

Встречаются уравнения, решением которых являются несколько значений (два, три и более), а в некоторых случаях уравнение может иметь бесконечное множество решений.

Уравнение, в котором находится одна неизвестная, называют уравнением с одной неизвестной.

Пример:

х + 3 = 6 (уравнение с одной неизвестной х)

3 ∙ у = 15 (уравнение с одной неизвестной y).

Существуют уравнения с большим количеством неизвестных: с двумя, тремя и т. д.

Рассмотрим, что представляют собой линейные уравнения с одной неизвестной.

Линейные уравнения с одной неизвестной называют уравнения вида a ∙ x = b, где a ≠ 0

х— неизвестное число

a и b— некоторые числа:

а— это коэффициент уравнения.

b— это свободный член уравнения.

Линейное уравнение с одной неизвестной может быть представлено в виде a ∙ x + b = 0, оно является равнозначным уравнению вида a ∙ x = ax = b.

Решить линейное уравнение с одним неизвестным вида a ∙ x = b — это значит найти все его корни или доказать, что корней нет.

Наличие и количество корней линейного уравнения зависит от значений коэффициента а и значения свободного члена уравнения b.

1. Линейное уравнение при a ≠ 0 и b — любое число, будет иметь один единственный корень; это значит, что неизвестная имеет единственное верное решение, при котором уравнение обращается в верное равенство.

Известно, что деление — это обратное действие умножению (т.е. по известному множителю и произведению можно определить неизвестный множитель).

Следовательно, решение уравнения a ∙ x = b, где a ≠ 0 выглядит так:

x = b ÷ a

или (mathbf{x = frac{b}{a}}) (это корень линейного уравнения).

2. Линейное уравнение при a = 0 и b ≠ 0 не имеет корней.

Если коэффициент а равен нулю, линейное уравнение запишется, как

0 ∙ x = b

Свойство умножения числа на нуль дает право утверждать, что при любом значении неизвестной х уравнение обращается в неверное равенство 0 = b.

Равенство 0 = b при b ≠ 0 неверно, а это значит, что в таком случае решения уравнения нет, т.е. уравнение не имеет корней.

3. Линейное уравнение при а = 0 и b = 0 имеет бесконечное множество корней, т.е. при любом значении неизвестной х уравнение обращается в верное равенство.

0 ∙ x = 0

0 = 0 (верное равенство)

Чтобы решить линейное уравнение необходимо выполнить ряд математических преобразований.

Линейные уравнения обладают свойствами, которые позволяют совершать равносильные преобразования с различными уравнениями и сводить их к линейному уравнению с одной неизвестной стандартного вида, решать которое мы уже умеем.

Известно, что уравнение — это математическое равенство.

Если это равенство верно при определенных значениях неизвестной, то уравнение имеет верное решение.

Попробуем провести аналогию между уравновешенными весами и уравнением ax = b.

Как нам известно, уравновешенные весы нам показывают, что на каждой чаше весов находятся грузы равной массы.

Если весы были уравновешены, то добавив груз на одну чашу весов, необходимо добавить такой же по массе груз на вторую чашу, чтобы равновесие весов не было нарушено.

Аналогично, если убрать часть груза с одной чаши весов, то такую же часть груза нужно убрать со второй чаши, чтобы весы оставались уравновешенными.

А сейчас представим, что левая чаша весов — это левая часть линейного уравнения (ах), правая чаша весов — свободный член этого уравнения (b).

В таком случае получается, что если к левой и правой части уравнения прибавим (отнимем) одно и тоже число, то верное равенство не нарушится — получается уравнение равносильное исходному.

Добавлять к исходному можно любые числа, но необходимо выбирать то, которое упростит уравнение.

Рассмотрим пример:

Дано линейное уравнение 5х + 12 = 37

Для того, чтобы привести данное уравнение к стандартному виду: ax = b, прибавим к левой и правой части равенства —12 (противоположное числу 12, которое находится в правой части равенства, чтобы избавится в правой части от свободного члена уравнения),

5х + 12 + (-12) = 37 + (-12)

5х + 12 — 12 = 37 — 12

5х = 37 — 12

Если посмотреть внимательно на решение, то можно заметить, что число +12 исчезло из левой части исходного уравнения и появилось в правой части полученного после преобразований, при этом сменило знак и стало равным —12.

5х = 25 получили уравнение вида ax = b, так как a ≠ 0 и b ≠ 0 уравнение имеет единственный корень, найдем его:

х = 25/5

х = 5

Ответ: х = 5

Первое свойство равносильного преобразования уравнения

Любое слагаемое можно перенести из одно части уравнения в другую, при этом сменив знак этого слагаемого на противоположный, в результате получится новое уравнение, равносильное исходному.

Обычно слагаемые с неизвестным переносят в левую часть уравнения, а все остальные слагаемые в правую часть.

Рассмотрим второе свойство равносильного преобразования уравнения.

Снова обратимся к аналогии с весами.

Для того, чтобы весы оставались в равновесии, увеличивая массу груза в 1,5 раза в одной из чаш, необходимо увеличить массу груза в 1,5 раза в другой чаше весов.

Увеличивая или уменьшая массу грузов на каждой чаше весов в одинаковое количество раз, равновесие весов будет сохраняться.

Так же происходит и с уравнением. Сформулируем второе свойство равносильного преобразования уравнения:

Разделив (или умножив) обе части на одно и тоже ненулевое число, равенство остается верным, получится уравнение равносильное исходному.

Рассмотрим пример

Дано уравнение 4 ∙ (2х — 1) = 16

Приведем данное уравнение к стандартному виду: ax =b

Раскрытие скобок только усложнит исходное уравнение.

Заметим, что левую и правую часть можем разделить на 4 (это наименьшее общее кратное чисел 4 и 16).

4 ∙ (2х — 1) = 16          |÷4

(mathbf{frac{4 cdot (2x — 1)}{4} = 16 div 4})

2х — 1 = 4

Слагаемые с неизвестным оставляем в левой часть уравнения, а слагаемое -1 переносим в правую часть уравнения, сменив знак числа на противоположный, т.е. на «+».

2x = 4 + 1

2x = 5 получили уравнение вида ax = b

х = 5/2

x = 2,5

Ответ: х = 2,5

Решение линейных уравнений происходит с помощью нескольких преобразований, которые могут быть выполнены в любом порядке.

1. Освобождение от дробных членов уравнения (если такие есть) с помощью умножения левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

2. Деление левой и правой части уравнения на одно и тоже ненулевое число

3. Раскрытие скобок (если они есть и это необходимо)

4. Перенос членов уравнения из одной части в другую со сменой их знаков на противоположные

5. Приведение подобных слагаемых

Завершая решение уравнения, стоит выполнить проверку, подставив в исходное уравнение найденное значение неизвестного. Если уравнение обратилось в верное равенство, значит, корень уравнения найден верно.

Итогом решения уравнения является ответ, в котором перечисляются все найденные корни уравнения.

Решение текстовых задач часто сводится к решению уравнений.

Уравнения позволяют записать информацию в таком виде, чтобы с ней можно было выполнить любые математические действия и преобразования, известные нам.

Решение задачи обычно сводится к тому, чтобы путем некоторых рассуждений и вычислений составить математическую модель задачи и найти значение неизвестной величины.

Этапы решения задач с помощью уравнения.

1. Искомое значение обозначить через неизвестную (за неизвестную принимают наименьшее значение по условию задачи)
2. Выразить через неизвестную другие величины
3. Составить математическую модель задачи — уравнение
4. С помощью равносильных преобразований решить уравнение
5. Найти ответ на вопрос задачи
6. Решив задачу, выполнить проверку найденных корней уравнения
7. Записать ответ

Рассмотрим пример.

У Миши и Гриши было одинаковое количество денег.

Миша купил 4 одинаковые шоколадки, и у него осталось 30 рублей.

Гриша купил 2 такие же шоколадки, и у него осталось 120 рублей.

Сколько стоит шоколадка?

Решение:

Пусть х руб. стоит одна шоколадка.

4х руб. заплатил Миша за 4 шоколадки.

2х руб. заплатил Гриша за 2 шоколадки.

У Миши было денег (руб).: 4х + 30

У Гриши было денег (руб).: 2х + 120

Составим уравнение.

Так как денег у мальчиков было поровну, получим равенство:

4х + 30 = 2х + 120

Перенесем члены уравнения из одно части уравнения в другую, при этом сменив их знак на противоположный: члены уравнения, содержащие неизвестную, влево, известные члены вправо.

4х — 2х = 120 — 30

Приведем подобные:

2х = 90

Получили уравнение вида ax =b, решим его.

х = 90/2

х = 45 (руб.) стоит одна шоколадка.

Выполним проверку найденного корня уравнения, подставив в исходное уравнение полученное значение х:

4 ∙ 45 + 30 = 2 ∙ 45 + 120

180 + 30 = 90 + 120

210 = 210

Получили верное равенство, следовательно, корень уравнения был найден верно.

Ответ: х = 45 (руб.)