Как найти одномерную плотность вероятности - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Одномерные случайные величины

Понятие случайной величины. Дискретные и непрерывные случайные величины. Функция распределения вероятностей и ее свойства. Плотность распределения вероятности и ее свойства. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, дисперсия и их свойства, среднее квадратическое отклонение, мода и медиана; начальные и центральные моменты, асимметрия и эксцесс. Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин.

Понятие случайной величины

Случайной называется величина, которая в результате испытаний принимает то или иное (но при этом только одно) возможное значение, заранее неизвестное, меняющееся от испытания к испытанию и зависящее от случайных обстоятельств. В отличие от случайного события, являющегося качественной характеристикой случайного результата испытания, случайная величина характеризует результат испытания количественно. Примерами случайной величины могут служить размер обрабатываемой детали, погрешность результата измерения какого-либо параметра изделия или среды. Среди случайных величин, с которыми приходится встречаться на практике, можно выделить два основных типа: дискретные и непрерывные.

Дискретной называется случайная величина, принимающая конечное или бесконечное счетное множество значений. Например: частота попаданий при трех выстрелах; число бракованных изделий в партии из штук; число вызовов, поступающих на телефонную станцию в течение суток; число отказов элементов прибора за определенный промежуток времени при испытании его на надежность; число выстрелов до первого попадания в цель и т. д.

Непрерывной называется случайная величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного интервала. Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно. Например: ошибка при измерении дальности радиолокатора; время безотказной работы микросхемы; погрешность изготовления деталей; концентрация соли в морской воде и т. д.

Случайные величины обычно обозначают буквами X,Y и т. д., а их возможные значения — x,y и т. д. Для задания случайной величины недостаточно перечислить все ее возможные значения. Необходимо также знать, как часто могут появиться те или иные ее значения в результате испытаний при одних и тех же условиях, т. е. нужно задать вероятности их появления. Совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Законы распределения случайной величины

Законом распределения случайной величины называется соответствие между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Про случайную величину говорят, что она подчиняется данному закону распределения. Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит то того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Закон распределения случайной величины может быть задан в виде таблицы, функции распределения либо плотности распределения. Таблица, содержащая возможные значения случайной величины и соответствующие вероятности, является простейшей формой задания закона распределения случайной величины.

$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline{X}&x_1&x_2&x_3&cdots&x_{n-1}&x_n\hline{P}&p_1&p_2&p_3&cdots&p_{n-1}&p_n\hlineend{array}$

Табличное задание закона распределения можно использовать только для дискретной случайной величины с конечным числом возможных значений. Табличная форма задания закона случайной величины называется также рядом распределения.

Для наглядности ряд распределения представляют графически. При графическом изображении в прямоугольной системе координат по оси абсцисс откладывают все возможные значения случайной величины, а по оси ординат — соответствующие вероятности. Точки (x_i,p_i) , соединенные прямолинейными отрезками, называют многоугольником распределения (рис. 5). Следует помнить, что соединение точек выполняется только с целью наглядности, так как в промежутках между x_1 и x_2 , x_2 и x_3 и т. д. не существует значений, которые может принимать случайная величина , поэтому вероятности её появления в этих промежутках равны нулю.

Многоугольник распределения

Многоугольник распределения, как и ряд распределения, является одной из форм задания закона распределения дискретной случайной величины. Они могут иметь различную форму, однако все обладают одним общим свойством: сумма ординат вершин многоугольника распределения, представляющая собой сумму вероятностей всех возможных значений случайной величины, всегда равна единице. Это свойство следует из того, что все возможные значения случайной величины образуют полную группу несовместных событий, сумма вероятностей которых равна единице.

Функция распределения вероятностей и ее свойства

Функция распределения является наиболее общей формой задания закона распределения. Она используется для задания как дискретных, так и непрерывных случайных величин. Обычно ее обозначают F(x) . Функция распределения определяет вероятность того, что случайная величина принимает значения, меньшие фиксированного действительного числа , т. е. F(x)=P{X<x} . Функция распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Ее еще называют интегральной функцией распределения.

Геометрическая интерпретация функции распределения очень проста. Если случайную величину рассматривать как случайную точку оси (рис. 6), которая в результате испытания может занять то или иное положение на оси, то функция распределения F(x) — это вероятность того, что случайная точка в результате испытания попадет левее точки .

Случайная точка на оси Ox

Для дискретной случайной величины , которая может принимать значения x_1,x_2,ldots,x_n , функция распределения имеет вид

$F(x)=sumlimits_{x_i<x}P{X=x_i},$

где неравенство x_i<x означает, что суммирование распространяется на все значения x_i , меньше . Из этой формулы следует, что функция распределения дискретной случайной величины представляет собой ступенчатую ломаную линию (рис. 7). При каждом новом значении случайной величины ступень поднимается выше на величину, равную вероятности этого значения. Сумма всех скачков функции распределения равна единице.

Ломанная распределения

Непрерывная случайная величина имеет непрерывную функцию распределения, график этой функции имеет форму плавной кривой (рис. 8 ).

Непрерывная функция распределения

Рассмотрим общие свойства функций распределения.

Свойство 1. Функция распределения — неотрицательная, функция, заключенная между нулем и единицей:

0leqslant{F(x)}leqslant1

Справедливость этого свойства вытекает из того, что функция распределения F(x) определена как вероятность случайного события, состоящего в том, что X<x .

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в интервал [alpha;beta) равна разности значений функции распределения на концах этого интервала, т. е.

P{alphaleqslant{X}<beta}=F(beta)-F(alpha)

Отсюда следует, что вероятность любого отдельного значения непрерывной случайной величины равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величины есть неубывающая функция, т. е. F(beta)geqslant{F(alpha)} .

Свойство 4. На минус бесконечности функция распределения равна нулю, а на плюс бесконечности — единице, т. е. $lim_{xto-infty}F(x)=0$ и $lim_{xto+infty}F(x)=1$ .

Пример 1. Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением

$F(x)=begin{cases}0,&xleqslant1\a(x-1)^2,&1<xleqslant3\1,&x>3end{cases}.$

Найти коэффициент и построить график F(x) . Определить вероятность того, что случайная величина в результате опыта примет значение на интервале [1;2) .

Решение. Так как функция распределения непрерывной случайной величины непрерывна, то при x=3 получим a(3-1)^2=1 . Отсюда a=1slash4 . График функции F(x) изображен на рис. 9.

График функции распределения

Исходя из второго свойства функции распределения, имеем

$P{1leqslant{X}<2}=F(2)-F(1)=frac{1}{4}.$

Плотность распределения вероятности и ее свойства

Функция распределения непрерывной случайной величины является ее вероятностной характеристикой. Но она имеет недостаток, заключающийся в том, что по ней трудно судить о характере распределения случайной величины в небольшой окрестности той или другой точки числовой оси. Более наглядное представление о характере распределения непрерывной случайной величины дает функция, которая называется плотностью распределения вероятности, или дифференциальной функцией распределения случайной величины.

Плотность распределения f(x) равна производной от функции распределения F(x) , т. е.

f(x)=F'(x).

Смысл плотности распределения f(x) состоит в том, что она указывает на то, как часто случайная величина появляется в некоторой окрестности точки при повторении опытов. Кривая, изображающая плотность распределения f(x) случайной величины, называется кривой распределения.

Рассмотрим свойства плотности распределения.

Свойство 1. Плотность распределения неотрицательна, т. е.

f(x)geqslant0.

Свойство 2. Функция распределения случайной величины равна интегралу от плотности в интервале от -infty до , т. е.

$F(x)=intlimits_{-infty}^{x}f(x),dx.$

Свойство 3. Вероятность попадания непрерывной случайной величины на участок (alpha;beta) равна интегралу от плотности распределения, взятому по этому участку, т. е.

$P{alphaleqslant{X}leqslantbeta}=intlimits_{alpha}^{beta}f(x),dx.$

Свойство 4. Интеграл в бесконечных пределах от плотности распределения равен единице:

$intlimits_{-infty}^{+infty}f(x),dx=1.$

Пример 2. Случайная величина подчинена закону распределения с плотностью

$f(x)=begin{cases}0,&x<0\asin{x},&0<x<pi\0,&x>piend{cases}$

Определить коэффициент а; построить график плотности распределения; найти вероятность попадания случайной величины на участок от до pislash2 определить функцию распределения и построить ее график.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

$intlimits_{-infty}^{+infty}f(x),dx=aintlimits_{0}^{pi}sin{x},dx=Bigl.{-acos{x}}Bigl|_{0}^{pi}=2a.$

Учитывая свойство 4 плотности распределения, находим a=1slash2 . Следовательно, плотность распределения можно выразить так:

$f(x)=begin{cases}0,&x<0\dfrac{1}{2}sin{x},&0<x<pi\0,&x>piend{cases}.$

График плотности распределения на рис. 10. По свойству 3, имеем

$P!left{0<X<frac{pi}{2}right}=frac{1}{2}intlimits_{0}^{pi/2}sin{x},dx=left.{-frac{1}{2}cos{x}}right|_{0}^{pi/2}=frac{1}{2}.$

Для определения функции распределения воспользуемся свойством 2:

$F(x)=frac{1}{2}intlimits_{0}^{x}sin{x},dx=left.{-frac{1}{2}cos{x}}right|_{0}^{x}=frac{1}{2}-frac{1}{2}cos{x}$

Таким образом, имеем

$F(x)=begin{cases}0,&x<0\dfrac{1}{2}-dfrac{1}{2}cos{x},&0<x<pi\1,&x>piend{cases}.$

График функции распределения изображен на рис. 11

Плотность и функция распределения

Числовые характеристики случайных величин

Закон распределения полностью характеризует случайную величину с вероятностной точки зрения. Но при решении ряда практических задач нет необходимости знать все возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности, а удобнее пользоваться некоторыми количественными показателями. Такие показатели называются числовыми характеристиками случайной величины. Основными из них являются математическое ожидание, дисперсия, моменты различных порядков, мода и медиана.

Математическое ожидание иногда называют средним значением случайной величины. Рассмотрим дискретную случайную величину , принимающую значения x_1,x_2,ldots,x_n с вероятностями соответственно p_1,p_2,ldots,p_n Определим среднюю арифметическую значений случайной величины, взвешенных по вероятностям их появлений. Таким образом, вычислим среднее значение случайной величины, или ее математическое ожидание M(X) :

$M(X)=frac{x_1p_1+x_2p_2+cdots+x_np_n}{p_1+p_2+cdots+p_n}=frac{sumlimits_{i=1}^{n}x_ip_i}{sumlimits_{i=1}^{n}p_i}.$

Учитывая, что $sumlimits_{i=1}^{n}p_i=1$ получаем

$M(X)=sumlimits_{i=1}^{n}x_ip_i.~~~~~~~(4.1)$

Итак, математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.

Для непрерывной случайной величины математическое ожидание

$M(X)=intlimits_{-infty}^{infty}xf(x),dx.$

Математическое ожидание непрерывной случайной величины , возможные значения которой принадлежат отрезку [a;b] ,

$M(X)=intlimits_{a}^{b}xf(x),dx.~~~~~~~(4.2)$

Используя функцию распределения вероятностей F(x) , математическое ожидание случайной величины можно выразить так:

$M(X)=intlimits_{-infty}^{infty}x,d(F(x)).$

Свойства математического ожидания

Свойство 1. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме их математических ожиданий:

M(X+Y)=M(X)+M(Y).

Свойство 2. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY)=M(X)M(Y).

Свойство 3. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:

M(c)=c.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины можно вынести за знак математического ожидания:

M(cX)=cM(X).

Свойство 5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания равно нулю:

M(X-M(X))=0.

Пример 3. Найти математическое ожидание количества бракованных изделий в выборке из пяти изделий, если случайная величина (количество бракованных изделий) задана рядом распределения.

$begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|}hline{X}&0&1&2&3&4&5\hline{P}&0,!2373&0,!3955&0,!2637&0,!0879&0,!0146&0,!0010\hlineend{array}$

Решение. По формуле (4.1) находим

M(X)=0cdot0,!2373+1cdot0,!3955+2cdot0,!2637+3cdot0,!0879+4cdot0,!0146+5cdot0,!0010 =1,!25.

Модой M_0 дискретной случайной величины называется наиболее вероятное ее значение.

Модой M_0 непрерывной случайной величины называется такое ее значение, которому соответствует наибольшее значение плотности распределения. Геометрически моду интерпретируют как абсциссу точки глобального максимума кривой распределения (рис. 12).

Мода и медиана случайной величины

Медианой M_e случайной величины называется такое ее значение, для которого справедливо равенство

$P{X<M_e}=P{X>M_e}.$

С геометрической точки зрения медиана — это абсцисса точки, в которой площадь фигуры, ограниченной кривой распределения вероятностей и осью абсцисс, делится пополам (рис. 12). Так как вся площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице, то функция распределения в точке, соответствующей медиане, равна 0,5, т. е.

$F(M_e)=P{X<M_e}=0,!5.$

С помощью дисперсии и среднеквадратического отклонения можно судить о рассеивании случайной величины вокруг математического ожидания. В качестве меры рассеивания случайной величины используют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания, которое называют дисперсией случайной величины и обозначают D[X] :

D[X]=M((X-M(X))^2).

Для дискретной случайной величины дисперсия равна сумме произведений квадратов отклонений значений случайной величины от ее математического ожидания на соответствующие вероятности:

$D[X]=sumlimits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^2p_i.$

Для непрерывной случайной величины, закон распределения которой задан плотностью распределения вероятности f(x) , дисперсия

$D[X]=intlimits_{-infty}^{+infty}(x-M(X))^2f(x),dx.$

Размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины и поэтому ее нельзя интерпретировать геометрически. Этих недостатков лишено среднее квадратическое отклонение случайной величины, которое вычисляется по формуле

sigma=sqrt{D[X]}.

Свойства дисперсии случайных величин

Свойство 1. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[X+Y]=D[X]+D[Y].

Свойство 2. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания:

D[X]=M(X^2)-(M(X))^2.~~~~~~~(4.3).

Свойство 3. Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[c]=0.

Свойство 4. Постоянный множитель случайной величины, можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат:

D[cX]=c^2D[X].

Свойство 5. Дисперсия произведения двух независимых случайных величин и определяется по формуле

D[XY]=D[X]D[Y]+(M(X))^2D[Y]+(M(X))^2D[X].

Пример 4. Вычислить дисперсию количества бракованных изделий для распределения примера 3.

Решение. По определению дисперсии

$begin{gathered}D[X]=(0-1,!25)^2cdot0,!2373+(1-1,!25)^2cdot0,!3955+(2-1,!25)^2cdot0,!2637+\+(3-1,!25)^2cdot0,!0879+(4-1,!25)^2cdot0,!0146+(5-1,!25)^2cdot0,!010=0,!938.end{gathered}$

Обобщением основных числовых характеристик случайной величины является понятие моментов случайной величины.

Начальным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины X^q :

nu_q=M(X^q).

Начальный момент дискретной случайной величины

$nu_q=sumlimits_{i=1}^{n}x_i^qp_i.$

начальный момент непрерывной случайной величины

$nu_q=intlimits_{-infty}^{+infty}x^qf(x),dx.$

Центральным моментом q-го порядка случайной величины называют математическое ожидание величины [X-M(X)]^q :

mu_q=M((X-M(X))^2).

Центральный момент дискретной случайной величины

$mu_q=sumlimits_{i=1}^{n}(x_i-M(X))^qp_i.$

центральный момент непрерывной случайной величины

$mu_q=intlimits_{-infty}^{+infty}(x-M(X))^qf(x),dx.$

Начальный момент первого порядка представляет собой математическое ожидание, а центральный момент второго порядка — дисперсию случайной величины.

Нормированный центральный момент третьего порядка служит характеристикой скошенности или асимметрии распределения (коэффициент асимметрии):

$A_s=frac{mu_{{}_3}}{sigma^3}.$

Нормированный центральный момент четвертого порядка служит характеристикой островершинности или плосковершинности распределения (эксцесс):

$E=frac{mu_{{}_4}}{sigma^4}-3.$

Пример 5. Случайная величина задана плотностью распределения вероятностей

$f(x)=begin{cases}0,&x<0;\ax^2,&0<x<2;\0,&x>2.end{cases}.$

Найти коэффициент , математическое ожидание, дисперсию, асимметрию и эксцесс.

Решение. Площадь, ограниченная кривой распределения, численно равна

$intlimits_{0}^{2}f(x),dx=aintlimits_{0}^{2}x^2,dx=left.{a,frac{x^3}{3}}right|_{0}^{2}=frac{8}{3},a.$

Учитывая, что эта площадь должна быть равна единице, находим a=3slash8 . По формуле (4.2) найдем математическое ожидание:

$M(X)=intlimits_{0}^{2}xf(x),dx=frac{3}{8}intlimits_{0}^{2}x^3,dx=left.{frac{3}{8}cdotfrac{x^4}{4}}right|_{0}^{2}=1,!5.$

Дисперсию определим по формуле (4.3). Для этого найдем сначала математическое ожидание квадрата случайной величины:

$M(X^2)=intlimits_{0}^{2}x^2f(x),dx=frac{3}{8}intlimits_{0}^{2}x^4,dx=left.{frac{3}{8}cdotfrac{x^5}{5}}right|_{0}^{2}=2,!4.$

Таким образом,

$begin{aligned}D(X)&=M(X^2)-(M(X))^2=2,!4-(1,!5)^2=0,!15;\[3pt] sigma(X)&=sqrt{D(X)}=sqrt{0,!15}approx0,!3873.end{aligned}$

Используя начальные моменты, вычисляем центральные моменты третьего и четвертого порядка:

$begin{aligned}nu_1&=M(X)=1,!5;quadnu_2=M(X^2)=2,!4.\[2pt] nu_3&=M(X^3)=intlimits_0^2{x^3f(x),dx}=frac{3}{8}intlimits_0^2{x^5,dx}=left.{frac{3}{8}cdotfrac{x^6}{6}}right|_0^2=4;\[2pt] nu_4&=M(X^4)=intlimits_0^2{x^4f(x),dx}=frac{3}{8}intlimits_0^2{x^6,dx}=left.{frac{3}{8}cdotfrac{x^7}{7}}right|_0^2approx6,!8571;\[2pt] mu_3&=nu_3-3nu_1nu_2+2nu_1^3=4-3cdot1,!5cdot2,!4+2cdot(1,!5)^3=-0,!05.\[2pt] mu_4&=nu_4-4nu_1nu_3+6nu_1^2nu_2-3nu_1^4=\&=6,!8571-4cdot1,!5cdot4+6cdot(1,!5)^2cdot2,!4-3cdot(1,!5)^4=0,!0696.\[2pt] A_s&=frac{mu_3}{sigma^3}=-frac{0,!05}{(0,!3873)^3}=-0,!86.\[2pt] E&=frac{mu_4}{sigma^4}-3=frac{0,!0696}{(0,!3873)^4}-3=-0,!093.end{aligned}$

Числовые характеристики среднего арифметического n независимых случайных величин

Пусть x_1,x_2,ldots,x_n — значения случайной величины , полученные при независимых испытаниях. Математическое ожидание случайной величины равно M(X) , а ее дисперсия D[X] . Эти значения можно рассматривать как независимые случайные величины X_1,X_2,ldots,X_n с одинаковыми математическими ожиданиями и дисперсиями:

M(X_i)=M(X); quad D[X_i]=D[X],~~i=1,2,ldots,n.

Средняя арифметическая этих случайных величин

$overline{X}=sumlimits_{i=1}^{n}frac{X_i}{n}.$

Используя свойства математического ожидания и дисперсии случайной величины, можно записать:

$begin{aligned}M(overline{X})&=M!left(frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}X_iright)=frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}M(X_i)=M(X).~~~~~~~(4.4)\[3pt] D[overline{X}]&=D!left[frac{1}{n}sumlimits_{i=1}^{n}X_iright]=frac{1}{n^2}sumlimits_{i=1}^{n}D[X_i]=frac{D[X]}{n}.~~~~~~~(4.5)end{aligned}$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник

Одномерная плотность — вероятность

Cтраница 1

Одномерная плотность вероятности и связанные с ней числовые характеристики позволяют получить важную информацию о свойствах случайного процесса. Для описания его временных характеристик необходимо использовать корреляционную функцию или привлечь для этого спектральные характеристики случайного процесса. Упомянутые способы описания случайных процессов будут рассмотрены далее.
[1]

Одномерную плотность вероятности для любого сечения обозначают f ( x; t); здесь индекс 1 при f показывает, что плотность вероятности одномерная, а аргумент t принимает все возможные значения. Функция fi ( x; t) полностью характеризует только каждое отдельно взятое сечение, но не характеризует саму случайную функцию, кроме случая, когда набор сечений образует систему независимых случайных величин.
[2]

Заметим, что одномерная плотность вероятностей гармонического колебания со случайной фазой совершенно не зависит от частоты со.
[3]

Заметим, что одномерная плотность вероятности гармонического колебания со случайной фазой совершенно не зависит от частоты со.
[4]

Погрешность измерения оценок одномерной плотности вероятности и функции распределения аналоговым методом зависит от многих причин. Главными из них являются: конечный интервал времени измерения; ограниченное число уровней; значительная ширина интервала АХ, практически устанавливаемая в пределах 2 — 5 % входного сигнала. Кроме этих методических причин, имеются много инструментальных: неточность установки порогов селекции и их дрейф; искажение фронта и среза импульсов; недостаточное быстродействие амплитудных селекторов. Все эти причины не позволяют исследовать сигналы, частота которых превышает несколько десятков килогерц.
[6]

Общее решение для одномерной плотности вероятности случайной частоты 0 приходится искать, основываясь на четырехмерном совместном распределении значений функции A. После этого IV i ( 0) находится трехкратным интегрированием результата по лишним переменным. Решение существенно облегчается тем, что исходные случайные переменные Л -, А, Ас, Л, в силу нормальности шума независимы в совпадающие моменты времени и потому четырехмерная плотность задается произведением одномерных Гауссовых распределений.
[7]

Действительно, рассмотрим одномерную плотность вероятности g ( x) отличную от нуля только при 0 и имеющую конечный второй момент.
[8]

Необходимо определить правило расчета одномерной плотности вероятности выходного напряжения при произвольном законе распределения случайного напряжения на входе ограничителя.
[9]

Наибольшее распространение получили генераторы, одномерная плотность вероятностей которых имеет вид гауссовой кривой — см. формулу ( 13) — Это объясняется тем, что, во-первых, шум с плотностью вероятностей такого рода наиболее типичен и наиболее распространен, во-вторых, его легче всего воссоздавать в измерительных генераторах. Так как гауссова кривая задается двумя параметрами и — и и эфф, то должны быть известны их значения. Значение второго параметра и эфф контролируют с помощью встроенного вольтметра эффективного значения.
[10]

Маркова и для определения их одномерных плотностей вероятности можно составить уравнение Фоккера — Планка — Колмогорова.
[11]

Диагностика основана на анализе коэффициента эксцесса Е одномерной плотности вероятности р ( г) мгновенных значений вибросигнала в окрестности собственных частот механизма или акселерометра. Возможен анализ и амплитудной огибающей узкополосного процесса.
[12]

Свойства введенной функции распределения во многом подобны свойствам одномерной плотности вероятности.
[13]

Как отмечалось в разделе Вероятностные характеристики случайных процессов, одномерной плотности вероятности недостаточно для описания поведения случайного процесса во времени.
[14]

Составление уравнения Фоккера — Планка — Колмогорова для определения одномерной плотности вероятности амплитуды.
[15]

Страницы:

Источник

Случайная величина
называется непрерывной, если она может
принимать все значения из некоторого
конечного или бесконечного промежутка.

Закон
распределения вероятностей непрерывной
случайной величины

определяется функцией

—
плотностью распределения вероятностей.
И вероятность попадания возможных
значений непрерывной случайной величины
в любой интервал

вычисляется по формуле:

Причем

— условие нормировки.

Отметим также,
что, в силу определения непрерывной
случайной величины, вероятности событий
вида:

равны между собой.

§ 2. Числовые характеристики непрерывных случайных величин

Если
все возможные значения случайной
величины X
принадлежат интервалу (
),
то

 (X)
=

Если
же возможные значения непрерывной
случайной величины X
принадлежат конечному интервалу

,
то пределы
интегрирования в приведенных выше
формулах заменяются соответственно:

на 
,

на 
.

§ 3. Функция распределения вероятностей и ее свойства

Функцией
распределения вероятностей называют
функцию

,
определяемую формулой:

Если

— непрерывная случайная величина, то

Если

— дискретная случайная величина, то

Функция
распределения вероятностей позволяет
вычислять вероятность попадания
возможных значений непрерывной случайной
величины в интервал

по формуле:

В некоторых
приложениях теории вероятностей, в
частности, в страховой математике,
широко используется характеристика,
называемая функцией выживания:

которая
определяет вероятность того, что случайно
взятый человек проживет по крайней мере
х лет.
Здесь случайная величина

означает продолжительность жизни
случайно взятого человека.

Например, наглядное
представление о продолжительности
жизни населения США дает следующая
таблица:


0	1	30	0,965	60	0,837	90	0,142
10	0,983	40	0,949	70	0,682	100	0,012
20	0,977	50	0,915	80	0,432	110	0

№ 100.
Дискретная случайная величина задана
законом распределения вероятностей

	3	5	7
	0,3	0,2	0,5

Найти функцию
распределения вероятностей и построить
ее график.

Решение.
По формуле

получаем:

Построим график
этой функции:

0,5

0,3

0
3 5 7
х

№ 101.
Непрерывная случайная величина задана
функцией распределения вероятностей

.
Требуется:

а)
найти плотность распределения вероятностей

;

б)
найти математическое ожидание

;

в)
найти дисперсию

и среднее квадратическое отклонение

;

г) вычислить
вероятность попадания значений случайной
величины в интервал (-2, 6);

д)
построить графики функции распределения

и плотности распределения вероятностей

Решение.
а) Так как

,
то

б) Найдем
математическое ожидание:

в) Вычислим
дисперсию:

и среднее
квадратическое отклонение

г)
Вероятность

может быть вычислена по формулам:

или

Тогда имеем

так
как

,
при

.

Или

д)
График функции

:

0
11

График
функции

:

0
11

Ответ:
б) M(X)=7,33;
в) D(X)=6,72;

(X)=2,59; г) 0,3.

№ 102
— 103. Задана
плотность распределения вероятностей
непрерывной случайной величины X.
Найти функцию распределения вероятностей
F(x)
и построить ее график.

№ 102.