Поиск общих касательных к двум окружностям
Даны две окружности. Требуется найти все их общие касательные, т.е. все такие прямые, которые касаются обеих окружностей одновременно.
Описанный алгоритм будет работать также в случае, когда одна (или обе) окружности вырождаются в точки. Таким образом, этот алгоритм можно использовать также для нахождения касательных к окружности, проходящих через заданную точку.
Количество общих касательных
Сразу отметим, что мы не рассматриваем вырожденные случаи: когда окружности совпадают (в этом случае у них бесконечно много общих касательных), или одна окружность лежит внутри другой (в этом случае у них нет общих касательных, или, если окружности касаются, есть одна общая касательная).
В большинстве случаев, две окружности имеют четыре общих касательных.
Если окружности касаются, то у них будет три обших касательных, но это можно понимать как вырожденный случай: так, как будто две касательные совпали.
Более того, описанный ниже алгоритм будет работать и в случае, когда одна или обе окружности имеют нулевой радиус: в этом случае будет, соответственно, две или одна общая касательная.
Подводя итог, мы, за исключением описанных в начале случаев, всегда будем искать четыре касательные. В вырожденных случаях некоторые из них будут совпадать, однако тем не менее эти случаи также будут вписываться в общую картину.
Алгоритм
В целях простоты алгоритма, будем считать, не теряя общности, что центр первой окружности имеет координаты . (Если это не так, то этого можно добиться простым сдвигом всей картины, а после нахождения решения — сдвигом полученных прямых обратно.)
Обозначим через и радиусы первой и второй окружностей, а через — координаты центра второй окружности (точка отлична от начала координат, т.к. мы не рассматриваем случае, когда окружности совпадают, или одна окружность находится внутри другой).
Для решения задачи подойдём к ней чисто алгебраически. Нам требуется найти все прямые вида , которые лежат на расстоянии от начала координат, и на расстоянии от точки . Кроме того, наложим условие нормированности прямой: сумма квадратов коэффициентов и должна быть равна единице (это необходимо, иначе одной и той же прямой будет соответствовать бесконечно много представлений вида ). Итого получаем такую систему уравнений на искомые :
Чтобы избавиться от модулей, заметим, что всего есть четыре способа раскрыть модули в этой системе. Все эти способы можно рассмотреть общим случаем, если понимать раскрытие модуля как то, что коэффициент в правой части, возможно, умножается на .
Иными словами, мы переходим к такой системе:
Введя обозначения и , мы приходим к тому, что четыре раза должны решать систему:
Решение этой системы сводится к решению квадратного уравнения. Мы опустим все громоздкие выкладки, и сразу приведём готовый ответ:
Итого у нас получилось решений вместо . Однако легко понять, в каком месте возникают лишние решения: на самом деле, в последней системе достаточно брать только одно решение (например, первое). В самом деле, геометрический смысл того, что мы берём и , понятен: мы фактически перебираем, по какую сторону от каждой из окружностей будет прямая. Поэтому два способа, возникающие при решении последней системы, избыточны: достаточно выбрать одно из двух решений (только, конечно, во всех четырёх случаях надо выбрать одно и то же семейство решений).
Последнее, что мы ещё не рассмотрели — это как сдвигать прямые в том случае, когда первая окружность не находилась изначально в начале координат. Однако здесь всё просто: из линейности уравнения прямой следует, что от коэффициента надо отнять величину (где и — координаты первоначального центра первой окружности).
Реализация
Опишем сначала все необходимые структуры данных и другие вспомогательные определения:
Тогда само решение можно записать таким образом (где основная функция для вызова — вторая; а первая функция — вспомогательная):
Две окружности на плоскости.
Общие касательные к двум окружностям
Взаимное расположение двух окружностей
Взаимное расположение на плоскости двух окружностей радиусов r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов
r1 – r2 лежит внутри другой
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d r1 и r2 с центрами O1 и O2 определяется расстоянием d между центрами этих окружностей
Расстояние между центрами окружностей равно разности их радиусов
Расстояние между центрами окружностей меньше разности их радиусов
d внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также
две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Каждая из окружностей лежит вне другой
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Фигура | Рисунок | Свойства |
| Две окружности на плоскости |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей | |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
|
||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
||
|
||
| Каждая из окружностей лежит вне другой | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше суммы их радиусов |
||
| Внешнее касание двух окружностей | ||
|
Расстояние между центрами окружностей равно сумме их радиусов |
||
| Внутреннее касание двух окружностей | ||
| Окружности пересекаются в двух точках | ||
|
Расстояние между центрами окружностей больше разности их радиусов, но меньше суммы их радиусов r1 – r2 лежит внутри другой |
||
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |  |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |  |
|
| Внешнее касание двух окружностей |  |
|
 |
||
 |
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
| Внешняя касательная к двум окружностям |
 |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутреннее касание двух окружностей |
|
| Окружности пересекаются в двух точках |
|
| Внешнее касание двух окружностей |
|
|
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
|
Прямую называют внешней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по одну сторону от этой прямой.
Прямую называют внутренней касательной к двум окружностям, если она касается каждой из окружностей, а окружности лежат по разные стороны от этой прямой.
Существует единственная общая внешняя касательная. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существует единственная общая внутренняя касательная, а также две общих внешних касательных. Других общих касательных нет.
Существуют две общих внешних касательных, а также две общих внутренних касательных. Других общих касательных нет
Формулы для длин общих касательных и общей хорды двух окружностей
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Внутреннее касание двух окружностей |
| Окружности пересекаются в двух точках |
| Внешнее касание двух окружностей |
| Каждая из окружностей лежит вне другой |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Фигура | Рисунок | Формула |
| Внешняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |  |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |  |
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
|
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
|
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей внешней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
Длина общей внутренней касательной к двум окружностям вычисляется по формуле
| Внешняя касательная к двум окружностям |
| Внутренняя касательная к двум окружностям |
| Общая хорда двух пересекающихся окружностей |
|
Длина общей хорды двух окружностей вычисляется по формуле
Доказательства формул для длин общих касательных и общей хорды двух окружностейУтверждение 1 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d (рис.1), то длина общей внешней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 2 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей внутренней касательной к этим окружностям вычисляется по формуле
что и требовалось доказать. Утверждение 3 . Если расстояние между центрами двух окружностей радиусов r1 и r2 равно d , то длина общей хорды AB этих окружностей вычисляется по формуле
Доказательство . Для того, чтобы найти длину общей хорды AB двух окружностей, введём, как показано на рисунке 3, Построение общей внутренней касательной к двум окружностямДаны две окружности (а это значит, что даны и их центры O1 и O2). Требуется провести общую внутреннюю касательную к ним, то есть такую касательную, от которой данные окружности лежат по разные стороны. Радиус большей окружности называем R, радиус меньшей окружности — r. Сначала вокруг меньшей окружности построим вспомогательную окружность с тем же центром и с радиусом, равным сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Затем построим из центра большей окружности вспомогательную касательную к вспомогательной окружности. Требуемая внутренняя касательная будет параллельна вспомогательной касательной. Отложим первый вспомогательный луч с началом в точке A. Замерим циркулем радиус большей окружности, и тем же раствором циркуля от начала первого луча отложим отрезок AB, равный R. Теперь циркулем замерим радиус меньшей окружности, и тем же раствором циркуля от точки B отложим отрезок BC, равный r. Получился отрезок AC, равный сумме радиусов двух данных окружностей (R + r). Замерим AC циркулем, и тем же раствором циркуля построим первую вспомогательную окружность с центром в O1. Теперь соединим отрезком центры O1 и O2. Произвольным раствором циркуля строим вторую вспомогательную дугу окружности с центром O1. И тем же раствором циркуля строим третью вспомогательную дугу окружности с центром O2 — так, чтобы третья дуга пересекала вторую в двух точках (называем их D и E). Соединяем D и E отрезком, который пересекает O1O2 в середине — эту точку называем F. Теперь замерим циркулем FO1 и этим раствором циркуля строим четвёртую вспомогательную окружность с центром в F на отрезке O1O2, как на диаметре. Эта четвёртая окружность пересекает первую вспомогательную окружность в двух точках (называем их G и H). Выбираем из этих двух точек ту, которая нам больше нравится (в данном построении это точка H), и соединяем прямой с точкой O2. Прямая HO2 — это касательная к первой вспомогательной окружности, проходящая через центр большой данной окружности. Прямая HO2 пересекла большую окружность в двух точках (называем их K и L). Эти точки равно отстоят от O2 и помогут нам построить перпендикуляр к HO2. Произвольным раствором циркуля проводим пятую вспомогательную дугу окружности с центром в K. Тем же раствором циркуля проводим шестую вспомогательную дугу окружности с центром в L — так, чтоб шестая дуга пересекала пятую в некоторой точке (называем точку M). Соединяем O2 и M прямой — эта прямая (перпендикуляр к HO2) пересекает большую данную окружность в некоторой точке (называем её N). Теперь через N проведём прямую, параллельную вспомогательной касательной HO2. Произвольным раствором циркуля строим седьмую вспомогательную окружность с центром в точке N — так, чтоб седьмая окружность пересекала HO2 в двух точках (точки называем P и Q). Тем же раствором циркуля строим восьмую вспомогательную окружность с центром в Q, и восьмая окружность пересекает вспомогательную касательную HO2 в двух точках (точки называем Z и S). Тем же раствором циркуля проводим девятую вспомогательную дугу окружности с центром в S — так, чтобы девятая дуга пересекала седьмую окружность в некоторой точке (точку называем T). Соединяем N и Т прямой — эта прямая NT и будет требуемой общей внутренней касательной к двум данным окружностям. И вот почему. NT проходит через конец радиуса O2N, лежащий на окружности. Также по построению NT параллельна HO2 и перпендикулярна радиусу O2N — следовательно, NT — касательная к большой данной окружности. Теперь проведём радиус O1H и точку его пересечения с прямой TN называем U. Радиус O1H перпендикулярен касательной O2H — значит, угол O2HU — прямой. Получилось, что в четырёхугольнике UHO2N есть три прямых угла — значит, и четвёртый угол HUN прямой, и UHO2N — прямоугольник, в котором сторона HU равна противоположной стороне O2N, то есть радиусу R. Теперь можем найти длину отрезка O1U (составляющего вместе с UH отрезок O1H). Длина равна разности длин O1H и HU, то есть (r + R) — R = r. Выходит, что U отстоит от O1 на r, то есть U лежит на меньшей данной окружности, а это значит, что TN, проходящая через U — проходит через конец радиуса O1U, лежащий на окружности, и перпендикулярна радиусу, то есть TN — касательная к меньшей данной окружности. Построение закончено. источники: http://www.resolventa.ru/demo/him/demohim.htm http://blitztest.ru/geometriya/svojstva-vpisannogo-ugla-kasatelnaya-k-okruzhnosti/postroenie-obshchey-vnutrenney-kasatelnoy-k-dvum |
mat:geom:circle-angles
Содержание
Вписанный и центральный углы. Касательная
Угловой мерой дуги окружности является величина центрального угла, опирающегося на эту дугу.
Центральный угол — угол с вершиной в центре окружности.
Центральный угол равен градусной мере дуги, на которую опирается (по определению).
Если провести два радиуса, то образуется два центральных угла (сумма которых 360°) и две дуги окружности (сумма длин которых 2πR). Большему центральному углу соответствует большая дуга.
Вписанный угол — угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают эту окружность.
Когда говорят, что вписанный угол опирается на дугу — имеют в виду часть окружности, не содержащую вершину угла.
Проще говоря, угол (и центральный и вписанный) опирается на ту дугу, которая принадлежит части плоскости между сторонами угла.
Радианы — отношение длины s стягивающей дуги к её радиусу r. Таким образом, на единичной окружности величина центрального угла в радианах равна длине стягивающей дуги.
Любой конкретной дуге окружности можно сопоставить единственный центральный и бесконечное множество вписанных углов.
Теорема. Вписанный угол равен половине градусной меры дуги, на которую он опирается, или иначе говоря, равен половине центрального угла, опирающегося на ту же дугу.
Следствия:
-
Вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, равны.
-
Вписанные углы, опирающиеся на диаметр, равны 90° (прямые).
Следствие из 2-го следствия:
Гипотенуза прямоугольного треугольника является диаметром описанной около него окружности.
Касательная
Касательная прямая к окружности в евклидовой геометрии на плоскости — прямая, которая имеет с окружностью ровно одну общую точку. Также можно определить касательную как предельное положение секущей, когда точки пересечения её с окружностью бесконечно сближаются.
англ Tangent line (танго — касаться)
Две секущие образуют угол, в который попадают две дуги окружности. В этом случае говорят, что секущие высекают эти дуги.
Построение касательной
Соединить данную точку P и центр окружности O. На отрезке OP нужно «восстановить» прямоугольный треугольник. Воспользуемся тем, что если вписанный угол опирается на диаметр окружности, то этот угол прямой.
Разделим отрезок OP пополам — получили точку H. Радиусом OH проводим еще одну окружность. Точка пересечения окружностей и есть точка касания.
Касательная к двум окружностям
Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.
Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r
Из центра окружности большего радиуса – точки O1 описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O2O1 – точку O3 и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O3O2 или O3O1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O1 и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O2 параллельно прямой O1D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).
напоминает яйцо — скорлупа и желток — это две окружности радиуса R и r, а белок — это кольцо толщиной R-r
Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r
Из центра любой окружности, например: точки O1, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O2O1 пополам, получают точку O3. Из точки O3 как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O3O2 = O3О1 и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O1 (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O1D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.
Общие касательные к двум окружностям — варианты касательных к двум окружностям, сохранено в pdf
также хорошо написано в Tangent lines to circles — Wikipedia
Касательные прямые и бильярд
Система касательных прямых прицеливания битка использует прямую, проходящую через середину кия, для создания двух касательных прямых от битка в направлении прицельного шара. Две касательные прямые и прямая через середину битка пересекают прямую, проходящую через середину прицельного шара и центр лузы. Необходимо направить удар так, чтобы конечное положение битка (воображаемый шар на рисунке) касалось прицельного шара в точке касания прямой, перпендикулярной направлению на лузу (на рисунке эта касательная выделена зелёным цветом).
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине угловой величины дуги, заключенной между ними.
Угол между касательной и хордой является вырожденным случаем вписанного угла, в котором вершина угла совпадает с одним из концов дуги.
Доказательство
Касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания.
Пусть $angle MCA=varphi$. Тогда $angle OCA = 90 ^{circ}-varphi$. Треугольник $OCA$ – равнобедренный, $OA = OC$ (как радиусы окружности). Значит, $angle AOC= 180 ^{circ}-2left ( 90 ^{circ} — varphi right )=2varphi$, что и требовалось доказать.
Заметим, что $angle ABC = varphi$ – как вписанный, опирающийся на ту же дугу.
Теорема о секущей и касательной
Квадрат отрезка касательной равен произведению длин отрезков секущей.
или
Квадрат касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть.
$ PM cdot PN=PT^2$
Мысленно сближать точки пересечения секущей с окружностью: тогда PN будет стремиться к PT с одной стороны, а PM — с другой стороны, а произведение их длин будет стремиться к $PT^2$
Доказательство следует из подобия треугольников PMT и PTN https://i.imgur.com/C5EMn1t.jpg
Угол между секущими
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится внутри окружности, то угол между секущими равен полусумме дуг, которые они высекают.
Если точка пересечения двух секущих к окружности находится вне окружности, то угол между секущими равен половине разности дуг, которые они высекают.
Теорема выполняется, если заменить секущую на касательную к окружности.
Свойства дуг, хорд и углов окружности
-
Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.
-
Если хорды равны, то они равноудалены от центра окружности.
-
Большая из двух хорд находится ближе к центру окружности.
-
Наибольшая хорда является диаметром.
-
Если диаметр делит хорду пополам, то он перпендикулярен ей.
-
Если диаметр перпендикулярен хорде, то он делит ее пополам.
-
Равные дуги стягиваются равными хордами.
-
Дуги, заключенные между параллельными хордами, равны.
-
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, раны.
-
Все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по одну сторону от этой хорды, равны.
-
Все вписанные углы, опирающиеся на диаметр, прямые.
-
Вписанный угол является прямым углом, тогда и только тогда, когда он опирается на диаметр.
-
Любая пара углов, опирающихся на одну и ту же хорду, вершины которых лежат по разные стороны хорды, составляют в сумме 180.
-
Другими словами: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же хорду, либо равны, либо их сумма 180°.
-
Угол между хордой и касательной измеряется половиной содержащейся в этом угле дуги окружности.
-
Угол с вершиной внутри окружности: Величина угла, образованного пересекающимися хордами, равна половине суммы величин дуг, заключённых между его сторонами.
-
Величина угла, образованного двумя касательными к окружности, равна половине разности величин дуг, заключённых между его сторонами.
Доказательство. Заметим, что углы BOD и BED в сумме составляют π радиан. Поэтому справедливо равенство α = π – γ. Далее получаем γ = 2π — β, значит, α = β — π. Складываем два выражения для α и делим пополам. α = (β-γ)/2
-
Величина угла, образованного касательной и секущей, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла. α = (β-γ)/2
-
Величина угла, образованного секущими, пересекающимися вне круга, равна половине разности величин дуг, заключённых между сторонами этого угла.
Еще рисунки:
∠ABC = ½∪AB Кут між хордою і дотичною
∠AEB = ½(∪AB+∪CD) Кут між хордами
∠AED = ½(∪AB-∪CD) Кут між січними
· Последние изменения: 2020/02/06 00:36 —
kc
При
вычерчивании контуров предметов
сравнительно часто приходится строить
общие касательные к двум дугам окружностей.
Общая касательная к двум окружностям
может быть внешней, если обе окружности
расположены с одной стороны от нее, и
внутренней, если окружности расположены
с разных сторон касательной.
Построение
общей внешней касательной к двум
окружностям радиусами R и r (рисунок
47). Из центра окружности большего радиуса
– точкиO1
описывают окружность радиусомR
– r(рисунок
47, а). Находят середину отрезкаO2O1
– точкуO3и из нее проводят вспомогательную
окружность радиусомO3O2
илиO3O1.Обе проведенные окружности пересекаются
в точкахA иВ. ТочкиO1
иB соединяют
прямой и в пересечении ее с окружностью
радиусомR
определяют точку касанияD
(рисунок 47, б). Из точкиO2параллельно прямойO1D
проводят линию до пересечения с
окружностью радиусомrи получают
вторую точку касанияC.
ПрямаяCDявляется
искомой касательной. Так же строится
вторая общая внешняя касательная к этим
окружностям (прямаяEF).
а
б
Рисунок
47
Построение
общей внутренней касательной к двум
окружностями радиусов R и r (рисунок
48). Из центра любой окружности, например:
точкиO1,
описывают окружность радиусомR
+r (рисунок
48, а). Разделив отрезокO2O1
пополам, получают точкуO3.
Из точкиO3как из центра описывают вторую
вспомогательную окружность радиусомO3O2
= O3О1
и отмечают точки A
и
В
пересечения вспомогательных окружностей.
Соединив прямой точки A
и
O1
(рисунок
48, б), в пересечении ее с окружностью
радиуса R
получают
точку касания D.
Через центр окружности радиуса r
проводят
прямую, параллельную прямой O1D,
и
в пересечении ее с заданной окружностью
определяют вторую точку касания С.
Прямая CD
– внутренняя
касательная к заданным окружностям.
Аналогично строится и вторая касательная
EF.
а
б
Рисунок
48
3.3 Сопряжения с помощью дуги окружности
3.3.1 Сопряжение двух прямых дугой окружности
Все
задачи на сопряжение дугой могут быть
сведены к двум видам. Сопряжение
осуществляется либо заданным радиусом
сопрягающей дуги, либо через точку,
заданную на одной из сопрягаемых линий.
В том и другом случаях необходимо
построить центр сопрягающей дуги.
Сопряжение
двух пересекающихся прямых дугой
заданным радиусом Rc
(рисунок 49, а). Так как сопрягающая
дуга должна касаться заданных прямых,
то центр ее должен быть удален от каждой
прямой на величину равную радиусуRc.
Сопряжение строят так. Проводят две
прямые, параллельные заданным и удаленные
от них на величину радиусаRcи в пересечении этих прямых отмечают
точкуO – центр
сопрягающей дуги. Из точкиОопускают перпендикуляр на каждую из
заданных прямых. Основания перпендикуляров
– точкиA иB – являются
точками касания сопрягающей дуги. Такое
построение сопряжения справедливо для
двух пересекающихся прямых, составляющих
любой угол. Для сопряжения сторон прямого
угла можно воспользоваться также
способом, указанным на рисунке 49, б.
а
б
Рисунок
49
Сопряжение
двух пересекающихся прямых, на одной
из которых задана точка касания А
сопрягающей дуги (рисунок 50).
Известно, что геометрическим местом
центров дуг, сопрягающих две пересекающиеся
прямые, является биссектриса угла,
образованного этими прямыми. Поэтому,
построив биссектрису угла, из точки
касанияA
восстанавливают
перпендикуляр к прямой до пересечения
его с биссектрисой и отмечают точку O
– центр
сопрягающей дуги. Опустив из точки О
перпендикуляр на другую прямую, получают
вторую точку касания В и радиусом Rc=
OA = OB
осуществляют сопряжение двух прямых,
на одной из которых была задана точка
касания.
Сопряжение
двух параллельных прямых дугой, проходящей
через заданную точку касания А (рисунок
51). Из точкиA
восставляют перпендикуляр к заданным
прямым и на пересечении его со второй
прямой отмечают точкуB.
ОтрезокAB делят
пополам и получают точкуО–
центр сопрягающей дуги радиусом
.
Рисунок
50 Рисунок 51
Угол между касательной и хордой
Угол между касательной и хордой равен половине градусной меры дуги, которая находится внутри угла.
Прежде всего: как это понимать? Подробнее о том, что такое «градусная мера дуги», написано в теме «Окружность. Вписанный угол».
Здесь напомним только, что в дуге столько же градусов, сколько в центральном угле, заключающем эту дугу.
То есть «градусная мера дуги» – это «сколько градусов в центральном угле» – и всё!
Ну вот, как говорит Карлсон, продолжаем разговор. Рисуем ещё раз теорему об угле между касательной и хордой.
Смотри, хорда ( displaystyle AB) разбила окружность на две дуги. Одна дуга находится ВНУТРИ угла ( displaystyle BAC), а другая дуга – внутри угла ( displaystyle BAD).
И теорема об угле между касательной и хордой говорит, что ( displaystyle angle CAB) равен ПОЛОВИНЕ угла ( displaystyle AOB), ( displaystyle angle DAB) равен ПОЛОВИНЕ большего (на рисунке — зеленого) угла ( displaystyle AOB).
При чем же тут тот факт, что радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной?
Сейчас и увидим. ( displaystyle OA) – радиус, ( displaystyle AC) – касательная.
Значит, ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Поэтому:( displaystyle angle 1=90{}^circ -angle 4).
Но ( displaystyle angle 2=angle 1) (( displaystyle OA) и ( displaystyle OB) – радиусы)( displaystyle angle 2=90{}^circ -angle 4).
И осталось вспомнить, что сумма углов треугольника ( displaystyle AOB) равна ( displaystyle 180{}^circ ).
Пишем:
Короче:
Здорово, правда? И самым главным оказалось то, что ( displaystyle angle OAC=90{}^circ ).
Равенство отрезков касательных
Задумывался ли ты над вопросом «а сколько касательных можно провести из одной точки к одной окружности»? Вот, представь себе, ровно две! Вот так:
А ещё более удивительный факт состоит в том, что:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки к одной окружности, равны.
То есть, на нашем рисунке, ( displaystyle AB=AC).
И для этого факта тоже самым главным является то, что радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.
Вот, убедись.
Проведём радиусы ( displaystyle OB) и ( displaystyle OC) и соединим ( displaystyle O) и ( displaystyle A).
( displaystyle OB) – радиус.
( displaystyle AB) – касательная, значит, ( displaystyle OBbot AB).
Ну, и так же ( displaystyle OCbot AC).
Получилось два прямоугольных треугольника ( displaystyle AOB) и ( displaystyle AOC), у которых:
- ( displaystyle OB=OC) — равные катеты
- ( displaystyle OA) — общая гипотенуза
( displaystyle Rightarrow Delta AOB = Delta AOC)
(заглядываем в тему «Прямоугольный треугольник«, если не помним, когда бывают равны прямоугольные треугольники).
Но раз ( displaystyle Delta AOB=Delta AOC,) то( displaystyle AB=AC). УРА!
И ещё раз повторим – этот факт тоже очень важный:
Отрезки касательных, проведённых из одной точки, – равны.
И есть ещё один факт, который мы здесь не будем доказывать, но он может оказаться тебе полезен при решении задач.
Для любой прямой ( displaystyle AD), пересекающей окружность,( displaystyle ADcdot AC=A{{B}^{2}}), где ( displaystyle AB) – отрезок касательной.
Хитроумными словами об этом говорят так:
«Квадрат длины отрезка касательной равен произведению секущей на её внешнюю часть».
Страшно? Не бойся, помни только, что в буквах это:
План урока:
Понятие окружности и круга
Касательная к окружности
Взаимное расположение двух окружностей
Понятие окружности и круга
Тарелки, шины, колеса и монеты – все эти предметы имеют одинаковую форму, их называют круглыми. Этот термин понятен каждому, однако в геометрии каждое понятие надо строго определять. Дадим строгое определение понятию окружности:
Та точка, от которой равноудалены все точки, образующие окруж-ть, именуется центром окружности. Обратите внимание, что сам центр частью окружности НЕ считается. Расстояние, отделяющее точки окруж-ти от ее центра, именуют радиусом окружности. Получается, что для построения окруж-ти достаточно знать только ее радиус и центр. Выглядит она так:
Для построения окруж-ти используется специальный инструмент – циркуль. Он представляет собой два длинных стрежня, которые соединены шарниром. На конце одного стержня находится иголка, на конце другого – грифель карандаша или иной пишущий предмет. Сначала необходимо выставить расстояние между концами стержней – оно будет равно радиусу окруж-ти. Потом иголку ставят в центр будущей окруж-ти, после чего поворачивают циркуль так, что его пишущий конец оставил на бумаге след:
Отрезок, соединяющий две точки окруж-ти, именуется хордой. Хорда, проходящая через центр окруж-ти, именуется диаметром окружности.
Особо отметим, что сам диаметр также считается хордой.
Непосредственно из определения окруж-ти вытекает первое важное её свойство – все радиусы, построенные в одной окруж-ти, равны друг другу.
Так как центр окруж-ти делит ее диаметр на два отрезка, каждый из которых – это радиус, то диаметр окружности равен двум ее радиусам:
Традиционно диаметр обозначается буквой D, а радиус – буквой R. Получается, что справедлива формула:
D = 2R
Очевидно, что диаметр длиннее, чем любая другая хорда окружности, не являющаяся диаметром. Докажем это. Пусть хорда AВ не проходит через О, центр окруж-ти (он почти всегда обозначается именно этой буквой). Тогда можно построить ∆AВО:
Мы знаем про неравенство треугольника, согласно которому любая сторона треугольника меньше суммы двух других. В данном случае можно записать, что
AB < OA + OB
ОА и ОВ – радиусы. Обозначив их буквой R, получим, что
AB < R + R
AB < 2R
Величина 2R как раз равна диаметру, то есть
AB < D
ч. т. д.
Ещё раз сформулируем простейшие свойства окруж-ти:
Задание. AВ и СD – диаметры окружности. Верно ли, что BD = АС?
Решение. Выполним построение по условию задачи:
Заметим, что отрезки ОА, ОВ, ОС и ОD одинаковы, ведь они являются радиусами одной окруж-ти:
В итоге получается, что у ∆АОС и ∆ВОD одинаковы две стороны образованный ими угол. Тогда по первому признаку равенства треуг-ков они равны:
Отсюда вытекает, что одинаковы и отрезки АС и BD.
Ответ: верно.
Задание. AВ и CD – диаметры, проходящие через точку О. Длина ВС составляет 13, а АВ – 16. Вычислите периметр ∆АОD.
Решение.
Чтобы вычислить периметр, нужно узнать длины всех сторон треугольника, то есть AD, OD и ОА. Как и в предыдущей задаче, хорды ВС и AD оказываются одинаковыми, так как ∆ОВС и ∆ОАD равны:
AB = DC = 13
Нам известен отрезок AВ, который является диаметром. Поделив его на два, узнаем и радиус:
Задание. Точки А и В на окруж-ти выбраны так, что радиусы АО и ВО пересекаются под углом 40°. Найдите ∠ОВА.
Решение.
Заметим, что в ∆ОAВ есть две одинаковые стороны. Это ОА и ОВ, которые являются радиусами и потому одинаковы. Значит, ∆ОAВ равнобедренный, причем AВ – это его основание. Но тогда углы при основании должны быть одинаковы:
Задание. Угол между радиусом ОА и хордой AВ составляет 60°. AВ имеет длину 29. Каков радиус окруж-ти?
Решение. Исследуем ∆ОAВ. ОВ и ОА являются радиусами одной длины, поэтому он равнобедренный. Тогда ∠ОAВ и ∠ОВА одинаковы:
В итоге получили, что у ∆ОAВ все углы составляют по 60°. Из этого вытекает, что он равносторонний, то есть все его стороны, в частности AВ и ОВ, одинаковы:
OB = AB = 29
Ответ: 29.
Выделяют ещё несколько элементов окруж-ти. Всякие две точки окруж-ти разбивают ее на две кривые линии, которые именуются дугами окружности. Для обозначения дуг используется символ ⋃, после которого пишутся три буквы. Первая и третья буквы указывают на концы дуги, а вторая буква – на какую-либо точку между ними:
Но иногда дугу обозначают только двумя буквами, указывая только ее концы: ⋃AВ. Так поступают, когда ясно, о какой именно из двух дуг идет речь.
Часть плоскости, ограниченная окруж-тью, именуется кругом. То есть окруж-ть – это лишь линия, граница круга, имеющая длину, не имеющая площади. Круг же, наоборот, обладает какой-то площадью, но не имеет длины. На рисунке точка А принадлежит кругу, но НЕ принадлежит окруж-ти:
Очевидно, что любая точка внутри окруж-ти ближе к ее центру, чем точки на самой окруж-ти. Действительно, через центр O и точку A внутри окруж-ти можно построить прямую, которая пересечет окруж-ть в некоторой точке B:
Ясно, что
OB = OA + AB
Значит, отрезок ОВ длиннее ОА. Точки на самой окруж-ти обычно также считают частью круга. Таким образом, круг представляет собой множество точек, удаленных от некоторого центра не более чем на величину заданного радиуса.
Круг можно разделить на две части, либо проведя хорду, либо построив два радиуса. В первом случае образуется фигура, которую называют сегментом. Во втором случае образуется сектор окружности:
Касательная к окружности
Возможно три варианта расположения прямой и окруж-ти относительно друг друга. Если расстояние между центром окруж-тии прямой меньше радиуса, то у них обязательно будут две общие точки. В таком ситуации прямую именуют секущей:
Если же расстояние между прямой и центром окруж-ти больше радиуса, то тогда никаких точек пересечения не будет:
Наконец, возможен особый случай, когда расстояние между прямой и центром окруж-ти в точности равно радиусу. Тогда окруж-ть и прямая будут иметь только одну общую точку. Прямую же в такой ситуации называют касательной к окружности:
Общая точка касательной и окруж-ти именуется точкой касания. Сформулируем одну важную теорему, которая представляет собой основное свойство касательной:
Действительно, предположим, что это утверждение ошибочно, и радиус может образовать с касательной угол, отличный от 90°. Тогда из центра окруж-ти опустим перпендикуляр на прямую, и он упадет на нее в точке B, не совпадающую с точкой касания A. Далее от В на прямой AВ отложим отрезок ВA1, который будет равен AВ.
Получается, что в ∆АОА1 ОВ одновременно высота (ведь ОВ – это перпендикуляр) и медиана (ведь AВ = ВА1). Но это возможно лишь в том случае, если ∆АОА1 – равнобедренный, то есть АО = А1О. Отсюда вытекает, что точка А1 находится на том же расстоянии от О, что и точка А, поэтому она также должна принадлежать окруж-ти. Но тогда прямая имеет уже 2 общие точки с окруж-тью, А и А1, а потому по определению она уже не касательная, ч. т. д.
Оказывается, верна и обратная теорема, которая представляет собой признак касательной.
Действительно, пусть прямая, описанная в теореме, не является касательной. Тогда она имеет не одну, а 2 общие точки с окруж-тью, которые можно обозначить буквами А и А1:
Заметим, что ∆АОА1 равнобедренный, так как две его стороны, ОА и ОА1, представляют собой одинаковые радиусы. Тогда и углы при его основании одинаковы. Если один из них составляет 90°, то и другой также будет составлять 90°. Однако треугольник с двумя прямыми углами не может существовать. Полученное противоречие показывает, что прямая должна быть не секущей, а касательной, ч. т. д.
Из каждой точки плоскости, не принадлежащей кругу, можно провести не одну, а сразу 2 касательных к окруж-ти:
Докажем, что образовавшиеся отрезки AВ и АС (их называют отрезками касательных) одинаковы. Посмотрим на ∆АОС и ∆АОВ. Они прямоугольные, ведь
по свойству касательной. Также у них общая гипотенуза АО и одинаковые катеты ОС и ОВ, которые одинаковы как радиусы одной окруж-ти. Получается, что ∆АOС и ∆АOВ равны, AВ = АС. Также можно запомнить, что и ∠OАС = ∠OAВ, то есть OА оказывается биссектрисой ∠СAВ.
Задание. Угол между двумя касательными к одной окруж-ти составляет 39°.Каков угол между радиусами, построенными к точкам касания?
Решение. Обозначим точки касания буквами С и B, а точку их пересечения буквой А:
Теперь посмотрим на четырехугольник AВОС. Сумма углов в нем, как и во всяком выпуклом четырехугольнике, составляет 360°. По условию известен ∠A, а ∠B и ∠C составляют по 90°. Зная три угла, легко найдем и четвертый:
Задание. Радиус окруж-ти ОМ делит хорду AB пополам. Докажите, что эта хорда будет параллельна касательной к окружности в точке С.
Решение: Обозначим точку касания как С, а середину хорды буквой Н:
Проведем из центра радиусы к точкам А и В. В результате мы получим ∆ОAВ, который оказывается равнобедренным, ведь радиусы ОА и ОВ одинаковы. Так как радиус ОС делит AВ пополам, то он является медианой. Но в равнобедренном треуг-ке медиана, проведенная к основанию, ещё и высота, поэтому прямые ОС и AВ перпендикулярны. В свою очередь касательная также перпендикулярна радиусу. Получается, что хорда и касательная одновременно перпендикулярны третьей прямой, значит, они параллельны, ч. т. д.
Задание. Касательная проходит через точку А окруж-ти. Хорда AВ равна радиусу окруж-ти. Какой угол образуют хорда и касательная?
Решение. Соединим точки А и В с центром окруж-ти:
Хорда по условию имеет такую же длину, как и радиусы, поэтому в ∆ОAВ оказывается три одинаковых стороны. Следовательно, он равносторонний, а у него все углы составляют по 60°. В частности,
∠BAO = 60°
Нам надо найти ∠СAВ. ∠САО должен быть прямым как угол между радиусом и касательной, но ∠САО также является суммой ∠СAВ и ∠ВАО, что позволяет найти ∠СAВ:
Задание. В окруж-ти проведены радиус ОВ длиной 5 и перпендикулярная ему хорда АС, которая отсекает от радиуса отрезок BD длиной 1. Какова длина этой хорды?
Решение:
Сначала можно найти длину OD:
OD = OB — BD = 5 -1 = 4
Теперь исследуем ∆АОD. Он прямоугольный, при этом мы знаем длину его гипотенузы ОА и катет OD. Значит, по теореме Пифагора можно найти и второй катет:
Так как ∆ОАС – равнобедренный, то высота OD– это также и медиана, поэтому DC = AВ = 3. (Примечание: вообще всегда хорда, перпендикулярная диаметру, делится им на одинаковых отрезка). Тогда
AC = DC + AB = 3 + 3 = 6
Ответ: 6.
Задание. Через центр окруж-ти О проходит секущая ОА, а AВ – касательная. Найдите величину радиуса ОВ, если AВ = 12, АО = 13.
Решение. Выполним построение:
Ясно, что угол между отрезками AВ и ОВ должен быть прямым по свойству касательной. Тогда ∆АОВ оказывается прямоугольным, и для него справедлива теорема Пифагора. С ее помощью легко найдем неизвестный нам катет ОВ:
Задание. Длина хорды окружности составляет 72, и находится эта хорда на расстоянии 27 от центра окруж-ти. Каков диаметр этой окруж-ти?
Решение. Ещё раз напомним, что расстояние между точкой и некоторым отрезком – это длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на отрезок. С учетом этого построим рисунок:
Здесь отрезок ОН – это как раз перпендикуляр к хорде AВ. Так как ОА и ОВ – радиусы, то ∆ОAВ – равнобедренный, и ОН в нем – это высота, проведенная к основанию. Значит, она является и медианой тоже, то есть делит AВ пополам. Это позволяет найти АН:
AH = AB/2 = 72/2 = 36
∆АОН – прямоугольный, и в нем нам известны оба катета. По теореме Пифагора можно найти и гипотенузу ОА:
Отрезок АО является радиусом. Нам надо в ответе указать диаметр. Диаметр вдвое длиннее радиуса, то есть он равен 45•2 = 90.
Ответ:90.
Задание. Хорда МК образует с касательной КH угол 83°. Найдите угол между этой хордой и радиусом ОМ.
Решение.
Заметим, что ∠ОКН составляет 90°, так как он образован касательной НК и радиусом ОК. Но он состоит из двух углов, ∠МКН и ∠МКО. Так как ∠МКН известен, то можно найти и ∠МКО:
Задание. Точка А находится на расстоянии 8 от центра окруж-ти. Если из точки А провести касательные к окруж-ти, то они образуют угол в 60°. Каков радиус окруж-ти?
Решение:
По условию ∠ВАС = 60°. ОА разбивает этот угол пополам, то есть
∠OAB = ∠OАС = 30°
Посмотрим на ∆AВО. Он прямоугольный, и ∠ОAВ = 30°. Известно, что в прямоугольном треугольнике с углом 30° напротив этого угла находится катет, который вдвое короче гипотенузы. Но гипотенуза в ∆AВО – это ОА, значит, катет ОВ в 2 раза меньше:
OB = OA/2 = 8/2 = 4
ОВ – это и есть искомый нами радиус окруж-ти.
Ответ: 4.
Взаимное расположение двух окружностей
Касаться друг друга могут не только прямая и окруж-ть, но и две окруж-ти. Это значит, что у них есть ровно одна общая точка. Докажем важное утверждение:
Действительно, предположим обратное, что окруж-ти с центрами в точках О1 и О2 касаются в точке К, но точки О1, О2 и К НЕ лежат на одной прямой. Тогда можно построить ∆О1КО2, причем отрезки О1К и О2К будут радиусами соответствующих окруж-тей:
Отложим от точки О1 луч так, чтобы он образовывал с О1О2 угол, равный ∠О2О1K, но не совпадал с лучом ОК. Аналогично отложим луч и от О2 так, чтобы он образовал с О2О1 угол, равный ∠О1О2К. Эти лучи пересекутся в некоторой точке M:
У ∆О1О2К и ∆О1О2М есть общая сторона О1О2, а прилегающие к ней углы одинаковы. По 2-ому признаку равенства треугольников они оказываются равными. То есть
O1K = O1M = R1
O2K = O2M = R2
Выходит, что точка М лежит на том же расстоянии от О1, что и K. Значит, по определению окруж-ти, она принадлежит окруж-ти с центром в О1 и радиусом R1. Аналогично М лежит на том же расстоянии от О2, что и К. Значит, она также принадлежит и второй окруж-ти, с центром в О2. То есть М принадлежит обеим окруж-тям, а значит, является их общей точкой. Но тогда оказывается, что у окруж-тей уже есть сразу две общие точки, М и К, а изначально мы предположили, что они только касаются, то есть имеют 1 общую точку. Противоречие означает, что точки О1, О2 и K обязательно должны лежать на одной прямой, ч. т. д.
Очевидно, что когда три точки лежат на прямой, то каждая из низ либо лежит между двумя другими, либо находится «с краю», то есть по одну сторону от двух других точек. В связи с этим возможны два принципиально различных случая касания окружностей. В первом случае точка касания находится между центрами окруж-тей. Тогда говорят, что окруж-ти касаются внешним образом:
Важно заметить, что при внешнем касании двух окружностей расстояние между их центрами равно сумме их радиусов:
O1O2 = O1K + O2K
Во втором случае одна из окруж-тей находится внутри другой, в таком случае говорят, что окруж-ти касаются внутренним образом. Такое расположение окруж-тей означает, что точка касания находится «с краю»:
При внутреннем касании двух окружностей расстояние между их центрами – это уже разность их радиусов:
O1O2 = O1K — O2K
Заметим, что если в точке касания двух окружностей провести ещё и касательную прямую, то она, во-первых, окажется общей касательной для обоих окруж-тей, а во-вторых, будет перпендикулярна линии, соединяющей их центра:
Однако окруж-ти (не обязательно касающиеся друг друга) могут иметь и другие общие касательные, которые соприкасаются с ними в различных точках. Важно отличать внешние и внутренние касательные. Если обе окруж-ти лежат по одну сторону от касающейся их прямой, то эту прямую именуют внешней касательной. Обычно можно построить сразу две таких внешних касательных:
Однако касательную можно провести и так, что окруж-ти окажутся по разные стороны от нее. В этом случае ее называют уже внутренней касательной:
Задание. Две окруж-ти соприкасаются в точке К. Построена общая касательная к этим окруж-тям, которая касается первой окруж-ти в точке А, а второй – в точке В. Длины хорд АК и ВК равны 15 и 8. Найдите длину отрезка AВ.
Решение:
Решение. Выполним дополнительное построение – проведем общую касательную к окруж-тям через точку К:
Получается, что АМ и КМ – это отрезки касательных, проведенные из одной точки. Мы знаем, что они должны быть одинаковыми:
AM = KM
По той же логике одинаковую длину имеют и отрезки ВМ и КВ, ведь это также касательные к одной окруж-ти, проведенные из одной точки:
BM = KM
В итоге получается, что на рисунке есть два равнобедренных треугольника, ∆АМК и ∆КМВ. Значит, углы при их основании одинаковы. Вместе же они образуют ∆AВК. Попытаемся найти в нем ∠АКВ. Пусть ∠МАК = α, а ∠AВК = β. Тогда можно записать, что
Заметим, что сумма углов в ∆AВК должна составлять 180°, то есть можно записать уравнение:
Задание. Центры окруж-тей, радиусы которых составляют 3 и 10, находятся на расстоянии 25 друг от друга. К ним построена внешняя касательная, касающаяся их в точках А и В. Какова длина отрезка AВ?
Решение. Построим к точкам касания окружностей радиусы, а также проведем через центр меньшей окруж-ти прямую О2Н, параллельную касательной:
Радиусы перпендикулярны касательным. Так как О2Н параллельна AВ, то она также должна быть перпендикулярна радиусам. Получается, что в четырехугольнике AВО2Н все углы прямые, то есть это прямоугольник. Его противоположные стороны одинаковы, поэтому нам достаточно найти длину НО2. Также заметим, что одинаковы и стороны АН и ВО2:
AH = BO2 = 3
Тогда можно найти и длину НО1:
HO1 = AO1 — AH = 10 — 3 = 7
Заметим, что ∆НО1О2 прямоугольный, поэтому длину его катета НО2 можно найти по теореме Пифагора:
Ответ: 24.
Задание. В окруж-ти на радиусе О1А (его длина составляет 10) отмечена точка К на расстоянии 4 от центра окруж-ти О1. Построена ещё одна окруж-ть, которая касается как исходной окруж-ти, так и отрезка О1А в точке К. Какой у неё радиус?
Решение: Соединим центры обоих окруж-тей прямой, которая также пройдет через их точку касания. Также построим радиус О2К:
Обозначим искомый нами радиус буквой R. Теперь посмотрим на отрезок О1О2. С одной стороны, его можно найти как разность радиусов окруж-тей:
Задание на построение. Постройте три окруж-ти, которые касаются друг друга внешним образом. Известны радиусы окруж-тей, они составляют 2, 3 и 4 см.
Решение. Для построения окруж-тей надо лишь знать их центры и величины их радиусов. Радиусы уже известны. Если окруж-ти касаются внешним образом, то расстояние между их центрами равно сумме их радиусов. Значит, в данном случае эти расстояния составят:
2 + 3 = 5 см
2 + 4 = 6 см
3 + 4 = 7 см
Но если расстояния между центрами составляют 5, 6 и 7 см, то это значит, что они образуют треугольник, стороны которого имеют такую же длину. Значит, нам надо просто построить треугольник со сторонами 5, 6 и 7 см, а строить треугольник по известным сторонам мы уже научились в 7 классе:
Сегодня мы узнали многие свойства окруж-ти, а также касательных к ней. Однако это только малая часть геометрических знаний об окруж-ти. В будущих уроках мы узнаем об соотношениях между углами, которые можно в ней провести, вписанных и описанных многоугольниках, вычислениях площадей окруж-ти и способах ее построения.