Как найти одну медиану в правильном треугольнике - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

В данной статье мы рассмотрим определение и свойства медианы равностороннего треугольника, а также разберем примеры решения задач для закрепления изложенного материала.

Определение медианы
Свойства медианы равностороннего треугольника
- Свойство 1
- Свойство 2
- Свойство 3
- Свойство 4
- Свойство 5
- Свойство 6
- Свойство 7
Примеры задач

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

BD – медиана, проведенная к стороне AC;
AD = DC.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

Любая медиана в равностороннем треугольнике одновременно является и высотой, и серединным перпендикуляром, и биссектрисой угла, из которого проведена.

BD – медиана, высота и серединный перпендикуляр к стороне AC, а также биссектриса угла ABC;
∠ABD = ∠CBD.

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

G – центр тяжести (центроид) треугольника;
AG = 2GF;
BG = 2GD;
CG = 2GE.

Свойство 4

Любая медиана равностороннего треугольника делит его на два равных по площади (равновеликих) прямоугольных треугольника. Т.е. S₁ = S₂.

Свойство 5

Равносторонний треугольник делится тремя медианами на шесть равновеликих прямоугольных треугольников. Т.е. S₁ = S₂ = S₃ = S₄ = S₅ = S₆.

Свойство 6

Точка пересечения медиан в равностороннем треугольнике является центром описанной вокруг и вписанной окружностей.

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Задача 2
Самая большая сторона одного из треугольников, образованных в результате пересечения трех медиан в равностороннем треугольнике, равняется 8 см. Найдите длину стороны данного треугольника.

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF² = BG² – FG² = 8² – 4² = 48 см².
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Источник

Определение и свойства медианы равностороннего треугольника

Определение медианы

Медиана – это отрезок, соединяющий вершину треугольника и середину противоположной стороны.

Треугольник называется равносторонним, если все его стороны равны (AB = BC = AC).

Свойства медианы равностороннего треугольника

Свойство 1

ABC

Свойство 2

Все три медианы в равностороннем треугольнике равны между собой. Т.е. AF = BD = CE.

Свойство 3

Медианы в равностороннем треугольнике пресекаются в одной точке, которая делит их в отношении 2:1.

Свойство 4

Свойство 5

Свойство 6

r – радиус вписанной окружности;
R – радиус описанной окружности;
R = 2r (следует из Свойства 3).

Свойство 7

Длину медианы равностороннего треугольника можно вычислить по формуле:

a – сторона треугольника.

Примеры задач

Задача 1
Вычислите длину медианы равностороннего треугольника, если известно, что его сторона равна 6 см.

Решение
Для нахождения требуемого значения применим формулу выше:

Решение
Нарисуем чертеж согласно условиям задачи.

Из Свойства 5 мы знаем, что в результате пересечения всех медиан образуются 6 прямоугольных треугольников.

BG = 8 см (самая большая сторона, является гипотенузой △BFG);
FG = 4 см (катет △BFG, в 2 раза меньше гипотенузы BG – следует из Свойства 3).

Применяем теорему Пифагора, чтобы найти длину второго катета BF:
BF 2 = BG 2 – FG 2 = 8 2 – 4 2 = 48 см 2 .
Следовательно, BF ≈ 6,93 см.

BF равняется половине стороны BC (т.к. медиана делит сторону треугольника пополам), следовательно, BC ≈ 13,86 см.

Элементы треугольника. Медиана

Определение

Медианой треугольника называют отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны

Свойства

1. Медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины . Эта точка называется центром тяжести треугольника.

2. Медиана треугольника делит его на два треугольника равной площади (равновеликих треугольника)

3. Медианы треугольника делят треугольник на 6 равновеликих треугольников

4. Медиана, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна половине гипотенузы

5. Длина медианы треугольника вычисляется по формуле:

, где где — медиана к стороне ; — стороны треугольника

6. Длина стороны треугольника через медианы вычисляется по формуле:

, где – медианы к соответствующим сторонам треугольника, — стороны треугольника.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Медиана равностороннего треугольника

Какими свойствами обладает медиана равностороннего треугольника? Как выразить длину медианы через сторону треугольника? Через радиус вписанной и описанной окружностей?

(свойство медианы равностороннего треугольника)

В равностороннем треугольнике медиана, проведённая к любой стороне, является также его биссектрисой и высотой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать .

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

Что и требовалось доказать .

Из 1 и 2 теоремы следует, что все медианы, биссектрисы и высоты равностороннего треугольника равны между собой.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

Так как центр вписанной окружности лежит в точке пересечения биссектрис треугольника, а медианы равностороннего треугольника являются также его биссектрисами, в равностороннем треугольнике ABC OF — радиус вписанной, BO — радиус описанной окружностей:

Так как медианы треугольника в точке пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины, то BO:OF=2:1. Таким образом,

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

источники:

Элементы треугольника. Медиана

Медиана равностороннего треугольника

Источник

Длина медианы правильного треугольника

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 132.

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 132.

Медиана – это один из характеризующих отрезков треугольника, наравне с биссектрисой и высотой. Особую сложность у учеников часто вызывают задачи на нахождение медианы. В обычном случае приходится применять формулу, но для правильного треугольника можно вывести упрощенную версию нахождения медианы.

Необходимые данные

Для вывода формул потребуется вспомнить несколько теоретических выкладок:

Медиана это отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны. Три медианы треугольника пересекаются в одной точке.
В равнобедренном треугольнике, медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. А правильный треугольник это частный случай равнобедренного треугольника, у которого основанием может выступать любая из сторон. Значит каждая медиана равностороннего треугольника будет совпадать с соответствующей биссектрисой и высотой.
В правильном треугольнике все стороны равны, а каждый из углов равен 60 градусам.

Нахождение медианы по общей формуле

Для начала воспользуемся общей формулой. Вспомним формулу длины медианы через длины сторон треугольника:

Рис. 1. Медиана в правильном треугольнике.

$$m_c={{sqrt{2a^2+2b^2-c^2}}over{2}}$$

Но в правильном треугольнике все стороны равны между собой:

a=b=c

Подставим условия равенства в формулу и приведем подобные слагаемые:

$$m_c={{sqrt{2a^2+2а^2-а^2}}over{2}}$$

$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$

Значение $ {a^2} $ можно вынести за пределы корня. Тогда:

$$m_c={{sqrt{3a^2}}over{2}}$$

$$m_c={{sqrt{3}}over{2}*а}$$

Нахождением медианы через теорему Пифагора

Теперь попробуем вывести ту же формулу через теорему Пифагора.

В имеющемся правильном треугольнике АВС проведем медиану АМ. Она совпадет с биссектрисой и высотой. Тогда по теореме Пифагора из треугольника АВМ найдем сторону АМ, которая и будет являться медианой большого треугольника.

Рис. 2. Рисунок к задаче.

$$АМ=sqrt{AB^2-BM^2}$$

Но все стороны треугольника равны, а точка М является серединой стороны ВС. Значит:

$$АВ=а$$

$$ВМ={1over2}BC={1over2}a$$

Подставим эти значения в начальную формулу:

$$АМ={sqrt{AB^2-BM^2}}= {sqrt{а^2-{{а}over{2}}^2}}= sqrt{а^2-{{а^2}over{4}}}=sqrt{{3a^2}over{4}}$$

Вынесем значения $a^2$ и 4 за знак корня.

$$АМ=sqrt{{3a^2}over{4}}=a*{{3}over{sqrt{2}}}$$

Получилась та же формула длины медианы правильного треугольника. Значит, вывод первым способом был осуществлен верно и можно использовать любой из двух способов, если вы вдруг забыли формулу нахождения медианы правильного треугольника.

Рис. 3. Точка пересечения медиан правильного треугольника.

Последний метод очень часто используется не только для вывода формул правильного треугольника, но и для решения задач.

Что мы узнали?

Мы несколькими методами вывели формулу длины медианы правильного треугольника. Указали на метод решения простых задач на нахождение характеристик правильного треугольника, а так же вспомнили основные свойства медианы.

Тест по теме

Доска почёта

Чтобы попасть сюда — пройдите тест.

Милана Швецова

3/5
Оксана Шмидт

3/5

Оценка статьи

3.9

Средняя оценка: 3.9

Всего получено оценок: 132.

А какая ваша оценка?

Источник

Теорема 1

(свойство медианы равностороннего треугольника)

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC.

Проведём медиану BF.

Так как AB=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AC.

По свойству медианы равнобедренного треугольника, BF является также его биссектрисой и высотой.

Аналогично, так как AB=AC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием BC, AK — его медиана, биссектриса и высота;

так как AC=BC, треугольник ABC — равнобедренный с основанием AB, CD — его медиана, биссектриса и высота.

Что и требовалось доказать.

Теорема 2

(свойство медиан равностороннего треугольника)

Все три медианы равностороннего треугольника равны между собой.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC AB=BC=AC,

AK, BF, CD — его медианы.

Тогда AF=FC=BK=CK=AD=BD.

∠BAF=∠BFC=∠ABC (как углы равностороннего треугольника).

Следовательно, треугольники ABK, BCF и CAK равны (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

AK=BF=CD.

Что и требовалось доказать.

1) Выразим длину медианы равностороннего треугольника через его сторону.

Так как медиана равностороннего треугольника является также его высотой, треугольник ABF- прямоугольный.

Обозначим AB=a, BF=m, тогда AF=a/2.

По теореме Пифагора

$[m = sqrt {{a^2} - {{(frac{a}{2})}^2}} = sqrt {frac{{4{a^2} - {a^2}}}{4}} = sqrt {frac{{3{a^2}}}{4}} = frac{{asqrt 3 }}{2}.]$

Таким образом, формула медианы равностороннего треугольника по его стороне:

$[m = frac{{asqrt 3 }}{2}.]$

2) Выразим медиану равностороннего треугольника через радиусы вписанной и описанной окружностей.

Центр правильного треугольника является центром его вписанной и описанной окружностей.

OF=r, BO=R.

$[OF = frac{1}{3}BF,BO = frac{2}{3}BF,]$

$[ Rightarrow BF = 3 cdot OF;BF = frac{3}{2} cdot BO.]$

Отсюда медиана равностороннего треугольника через радиус вписанной окружности равна

через радиус описанной окружности —

$[m = frac{{3R}}{2}.]$

Источник

Знание геометрических свойств различных элементов той или иной фигуры позволяет с легкостью решать практические задачи. Одной из них является определение длины медианы правильного треугольника. Формул для решения этой задачи существует несколько, и каждая из них может быть получена с помощью простых геометрических рассуждений.

Оглавление:

Характеристика правильного треугольника

Медиана в геометрии

Длина Ma для равносторонней фигуры

Решение задачи

Характеристика правильного треугольника

Прежде чем вывести формулу длины медианы, необходимо рассмотреть фигуру, которая будет изучаться.Правильный треугольник является самым простым и высоко симметричным плоским геометрическим объектом.Состоит он из трех сторон и трех вершин. Для него справедливы следующие свойства:

Все три стороны фигуры равны между собой. При решении задач их длина обычно обозначается латинской буквой a. Тогда периметр треугольника будет равен P = 3*a.
Три угла фигуры равны между собой и составляют 60 градусов каждый. Это утверждение доказать несложно, если вспомнить, что, во-первых, против равных сторон лежат одинаковые углы, а во-вторых, их сумма должна составлять 180 градусов.
Все известные линейные геометрические элементы совпадают друг с другом в равностороннем треугольнике. Это означает, что биссектриса, медиана и высота, которые проведены из одной вершины, лежат на одной прямой. Например, высота не только под прямым углом пересекает противоположную сторону, но и делит ее на две равные части так же, как и угол соответствующей вершины.
Точка пересечения высот (медиан, биссектрис) является центром геометрическим, симметрии и масс. Этот факт следует из высокой симметричности рассматриваемого треугольника.
Фигура переходит сама в себя за счет вращения вокруг ее барицентра на углы 0, 120, 240 и 360 градусов. Кроме того, разделенная пополам медианой, она переходит сама в себя за счет зеркального отражения относительно указанного элемента.
Любые два равносторонних треугольника являются подобными друг другу. Каждый из них представляет собой миниатюрную или увеличенную копию другого.

Геометрические свойства треугольника с равными сторонами изучались со времен философов античной Греции. Ими же получены многие формулы, касающиеся расчетов площади, высоты, геометрического центра и других элементов.

Не только математики интересовались характеристиками этой симметричной фигуры. Так, в 1825 году в военном дневнике Наполеона Бонапарта был обнаружен чертеж, который показывал, что если на сторонах произвольного треугольника достроить равносторонние объекты, а затем, соединить их геометрические центры, то получится новый треугольник с равными сторонами. Это утверждение получило название теоремы Наполеона.

До того как привести вывод формулы медианы треугольника, полезно рассмотреть подробнее этот геометрический элемент. Он представляет собой отрезок, который начинается в вершине фигуры и заканчивается в точке, лежащей на середине противоположной стороны. Таким образом, медиана делит пополам сторону треугольника, к которой она проведена. Следует не путать ее с биссектрисой, которая делит пополам угол при вершине, а не сторону.

Основные свойства элемента

Как и любой геометрический объект, медиана также обладает некоторыми присущими только ей математическими свойствами. Основными из них являются следующие:

Рассматриваемый элемент делит пополам любой треугольник так, что образуется две новых фигуры с тремя вершинами каждая. Новые треугольники в общем случае не являются равными или подобными, однако, их площади всегда равны друг другу. Иными словами, медиана делит произвольный треугольник на две одинаковые по площади фигуры.
Поскольку рассматриваемая фигура имеет три вершины, то внутри нее можно провести только три медианы. Все они будут пересекаться в одной точке, которая является барицентром или центром масс исходного треугольника. Это утверждение справедливо только в том случае, если фигура имеет равномерную плотность.
Точка барицентра делит медиану на две части таким образом, что та ее часть, которая ограничивается вершиной треугольника, оказывается всегда в два раза длиннее, чем отрезок, который ограничивает сторона фигуры. Математически это записывается так: AO = 2*OM, где O — барицентр, АМ — медиана.

Две важные формулы

Зная свойства медианы, можно получить несколько формул, которые связывают ее длину со сторонами треугольника. Здесь следует отметить два важных выражения, каждое из которых часто применяется при решении геометрических задач:

Связь между длинами трех медиан и сторон треугольника.
Теорема Аполлония.

Первая формула выглядит следующим образом:

Ma² + Mb² + Mc² = ¾*(a² + b² + c²).

Здесь Ma, Mb и Mc — длины медиан, опущенных на стороны треугольника a, b и c, соответственно. Это соотношение справедливо всегда, независимо от типа рассматриваемой фигуры (равнобедренный, равносторонний, произвольный).

С помощью теоремы Апполония можно вычислить длину медианы через стороны. Античный греческий философ Аполлоний Пергский в III веке до нашей эры установил, что для произвольного плоского треугольника сумма квадратов двух его сторон равна половине квадрата его третьей стороны плюс удвоенный квадрат соответствующей медианы. Математически следует записать такое выражение:

a² + b² = ½*c² + 2*Mc².

Здесь видно, что соответствующая медиана Mc опущена именно на сторону c.

Обе записанные формулы можно с успехом применять при решении сложных геометрических проблем с треугольниками. Например, чтобы получить длину Mc, следует произвести несложные математические преобразования с формулой Аполлония. В результате можно записать следующее полезное равенство:

Mc = ½*(2*(a² + b²) — c²)^(½).

Оно является искомым для расчета длины рассматриваемого элемента через стороны произвольного треугольника на плоскости. Аналогичные выражения можно записать для отрезков Ma и Mb:

Ma = ½*(2*(c² + b²) — a²)^(½);
Mb = ½*(2*(c² + a²) — b²)^(½).

Длина Ma для равносторонней фигуры

Благодаря высокой симметрии треугольника с равными сторонами можно применить несколько формул для определения искомого выражения длины его медианы. Поскольку все они равны между собой, то можно ввести единое обозначение для их длины латинской буквой M. В списке приведены способы определения M для рассматриваемого треугольника:

Через формулу Ma² + Mb² + Mc² = ¾*(a² + b² + c²). Это довольно простой способ. Необходимо учесть равенство сторон и длин Ma, Mb и Mc, тогда это выражение преобразуется в следующее простое равенство: 3*M² = 9/4*a². Откуда следует искомая формула: M = 3^0,5/2*a.
С использованием теоремы Аполлония. Соответствующее выражение для длины медианы произвольного треугольника имеет форму: Ma = ½*(2*(c² + b²) — a²)^(½). Применяя его к случаю с равносторонней фигурой, получается следующий результат: M = ½*(2*(a² + a²) — a²)^(½) = 3^0,5/2*a.
Применяя теорему Пифагора. Предположим, что имеется равносторонний треугольник ABC, AM — его медиана, которая опущена на сторону BC. Поскольку она также является высотой, то фигура AMC будет прямоугольной, где угол при вершине M имеет 90 градусов. В треугольнике AMC отрезок AM — это катет, AC — гипотенуза, MC — второй катет. Согласно теореме Пифагора длина AM равна следующей величине: AM = (AC² — MC²)^0,5 = (a² — (a/2)^2)^0,5 = 3^0,5/2*a.
Воспользовавшись тригонометрическими выражениями, чтобы вывести формулу длины медианы. Пусть AM — медиана в равностороннем треугольнике ABC. Тогда можно воспользоваться тригонометрическими функциями синуса и косинуса применительно к фигуре AMC или AMB. Для случая косинуса получается следующее выражение: cos (MAC) = AM/AC. Если подставить известные величины, получается: cos (30) = AM/a. Откуда следует искомое выражение: AM = 3^0,5/2*a.

Все выводы формулы для медианы в равносторонней фигуре с тремя вершинами приводят к одному и тому же результату: исследуемая характеристика однозначно определяется длиной стороны треугольника. Это утверждение не является удивительным, поскольку рассматривается высоко симметричный геометрический объект на плоскости.

Решение задачи

Лучшим способом закрепления полученных знаний является решение практических задач. Пусть имеются следующие три точки на координатной плоскости:

A (0;0);
B (6;0);
C (3;5).

Они соединены друг с другом отрезками так, что получился треугольник ABC. Необходимо доказать, что он является равносторонним, и найти длину его медианы.

Для решения задачи следует рассчитать все стороны фигуры, используя для этого формулу длины вектора через координаты его конца и начала:

PQ = ((Px — Qx)^2+(Py-Qy)^2)^0,5.

Здесь P (Px; Py) и Q (Qx; Qy) — точки, определяющие начало и конец вектора PQ.

Применяя эту формулу для случая задачи, получается следующий результат:

AB = ((6 — 0)^2+(0−0)^2)^0,5 = 6;
BC = ((3 -6)^2+(5−0)^2)^0,5 = 6;
AC = ((3 — 0)^2+(5−0)^2)^0,5 = 6.

Поскольку три стороны треугольника имеют равную друг другу длину, то он является равносторонним (необходимый и достаточный признак).

Для определения длины M любой из медиан фигуры, воспользуемся простой формулой:

M = 3^0,5/2*a = 3^0,5/2*6 = 5,196.

Таким образом, из-за высокой симметрии равностороннего треугольника все его медианы равны друг другу и являются одновременно высотами и биссектрисами. Их длины однозначно вычисляются из знания стороны фигуры.

Источник