Как найти одз в иррациональных неравенствах

ВИДЕО УРОК

Под иррациональными неравенствами понимаются неравенства, в которых
неизвестные величины находятся под знаком корня (радикала). 

При решении иррационального неравенства следует
сначала найти его  ОДЗ, то есть все значения неизвестного, при которых
обе части неравенства определены (имеют смысл).

Обычный способ
решения таких неравенств заключается в сведении их к рациональным неравенствам
(не содержащих корней). 

Так при этой операции может получиться неравенство,
неравносильное исходному неравенству, то следует установить, при каких
значениях неизвестного левая и правая части заданного неравенства принимают
положительные или отрицательные значения.

Освободиться от корней иногда удаётся путём возведения
обеих частей неравенства в степень. 

При этом (в силу того что проверка
полученных решений подстановкой затруднена) необходимо следить за тем, чтобы
при преобразовании неравенств каждый раз получалось неравенство, равносильное
исходному неравенству.

Если обе части
неравенства принимают на некотором множестве 
Х  только неотрицательные
значения, то, возведя обе части неравенства в квадрат (или в любую чётную степень) и, сохранив знак исходного неравенства,
получим неравенство, равносильное данному (на множестве  Х).

При решении иррациональных неравенств, следует помнить, что при возведении
обеих частей неравенства в нечётную степень всегда получается неравенство,
равносильное исходному неравенству. 

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

x – 5 ˃ 0,  х ∈ [5; +∞).

Обе части исходного неравенства
неотрицательны – можно возводить в квадрат:

x – 5 < 1,  x – 6 < 0, 

х ∈ (–∞; 6).

Найдём пересечение полученного множества с
областью допустимых значений исходного неравенства

ОТВЕТ:  [5; 6)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

–х ≥ 0, х ∈ (–∞;0].

Так как по определению квадратный корень из
любого числа есть величина неотрицательная и 
х = 0  не
является решением исходного неравенства, то, разделив обе части неравенства на

Получим неравенство,
эквивалентное исходному

x + 1 ˃ 0.

Решение этого неравенства

х ∈ (–1; +∞).

Найдём пересечение полученного множества с
областью допустимых значений исходного неравенства

х ∈ (–1; 0].

Учитывая, что  х
= 0  не является
решением исходного неравенства, окончательно имеем

х ∈ (–1; 0).

ОТВЕТ:  (–1; 0)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Область допустимых значений
исходного неравенства

х ∈ [0; +∞).

Одна часть неравенства (левая) неотрицательна, а другая (правая) часть отрицательна.

Следовательно, неравенство выполняется
при всех допустимых значениях  х

ОТВЕТ:  [0; +∞)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

9х – 20 ≥ 0,  x ∈ [²⁰/₉; +∞).

Правая часть неравенства может
быть отрицательной, но с учётом области допустимых значений обе части
неравенства неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства врзвести в
квадрат можно:

9х – 20 < x²,

–x² + 9x – 20 < 0,

–(x – 4)(x – 5) < 0,

(x – 4)(x – 5) ˃ 0.

Получим

x ∈ (–∞; 4) ∪ (5; +∞).

Найдём пересечение
полученного множества с областью допустимых значений неравенств.

ОТВЕТ: 

[²⁰/₉; 4) ∪ (5; +∞)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

х + 61 ≥ 0,  
x ∈ [–61; +∞).

Правая часть неравенства

х + 5

может быть отрицательной.
Причём область допустимых значений не выручает, как в предыдущем примере.

Рассмотрим два случая.

1)  х + 5 ≥ 0, т. е.  х ∈ [–5; +∞).

В этом случае обе части неравенства
неотрицательны. Следовательно, обе части неравенства можно возвести в квадрат:

х + 61 < х² + 10х + 25,

–х² –
9х + 36 < 0,

–(х – 3)(х + 12) < 0,

(х – 3)(х + 12) ˃ 0.

Решение этого неравенства

х ∈ (–∞; –12) ∪ (3; + ∞).

Найдём пересечение полученного
множества с множеством 

[–5; +∞) – это  (3; +∞).

И пересечение последнего
множества с областью допустимых значений исходного неравенства будет

х ∈ (3; +∞).

2)  х + 5 < 0, т. е.  х ∈ (–∞; –5).

В этом случае левая часть
неравенства неотрицательна, а правая отрицательна. Такое неравенство неверно,
т. е. рассматриваемый промежуток не содержит решений исходного неравенства.

ОТВЕТ:  (3; +∞)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

х + 7 ≥ 0,  
x ∈ [–7; +∞).

Правая часть неравенства может
быть отрицательной. примере.

Рассмотрим два случая.

1)  х + 1 ≥ 0, т. е.  х ∈ [–1; +∞).

Возведём обе части неравенства
в квадрат:

х + 7 ˃ х² + 2х + 1,

–х² –
х + 6 ˃ 0,

–(х – 2)(х + 3) ˃ 0,

(х – 2)(х + 3) < 0.

Решение последнего неравенства

х ∈ (–3; 2).

Найдём пересечение полученного
множества с множеством

[–1; +∞)

и областью допустимых значений исходного
неравенства

это

[–1; 2).

2)  х + 1 < 0,  х ∈ (–∞; –1).

В этом случае левая часть неравенства
неотрицательна, а правая отрицательна. Такое неравенство верно. Следовательно,
та часть рассматриваемого участка, которая входит в область допустимых значений
исходного неравенства, является его решением. Находим пересечение
рассматриваемого множества и области допустимых значений

это

[–7; –1).

Ответом является объединение
ответов, полученных в  1)  и  2) 
случаях:

х ∈ [–7; –1) ∪ [–1; 2), или  
х ∈ [–7; 2)

ОТВЕТ:  [–7; 2)

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Найдём область допустимых
значений исходного неравенства

х² – х – 2 ≥ 0,  (x + 1)(х – 2) ≥
0.

Решение этого неравенства

х ∈ (–∞; –1] ∪ [2; +∞)

Множеством решений исходного
неравенства является объединение двух множеств:

множества решений строгого неравенства

и множества решений
уравнения

Последнее уравнение имеет корни

х₁  = 1, х₂  = –1, х₃  = 2.

Найдём решение строгого неравенства

Разделим обе части
неравенства на положительную величину

(значения  х, обращающие

в  0  не являются решениями строгого
неравенства). Получим эквивалентное неравенство

х – 1 < 0.

Решим его:

х < 1  или 
х ∈ (–∞; 1).

Итак, для окончательного результата нужно найти
пересечение множества  (–∞; 1), корней уравнения

с областью допустимых значений
исходного неравенства.

ОТВЕТ:

–∞ < х
< –1  и  х = 2.

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Решив неравенство

х² + х – 12 ≥ 0,

найдём ОДЗ
исходного неравенства, то есть множество, которое является объединением
промежутков

(–∞, –4]  и  [3, +∞).

Рассмотрим два случая:

х ≥ 0  и  х < 0.

Первый случай.

х ≥ 0, то
есть  х ≥ 3.

Тогда обе части неравенства

неотрицательны. Возведя их в квадрат,
получаем:

х² + х – 12 ˃ х²,

откуда  х ˃ 12.

Таким
образом, все значения  х  из
промежутка 

(12, +∞)

принадлежат
множеству решений неравенства:

Второй случай.

х < 0,

тогда правая часть неравенства

Отрицательна, а его левая часть
неотрицательна. Поэтому все значения  х  такие, что

х < 0  и  х ∈ Е,

то есть значения  х  из промежутка  (–∞, –4], являются решениями исходного неравенства.

ОТВЕТ:  х ≤
–4,  х ˃ 12

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Множество  Е  допустимых значений (ОДЗ неравенства) определяется условием

х² –
х – 2 ≥ 0,

откуда находим:

х ≤ –1,  х ≥ 2.

При всех  х ∈ Е  левая часть неравенства
неотрицательна, а правая часть – отрицательное число, так как

Следовательно, все
значения  х ∈ Е  и только эти значения являются решениями
неравенства.

ОТВЕТ:  х ≤
–1,  х ≥ 2

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Рассмотрим правую часть неравенства. Она будет
отрицательной, так как:

а левая часть неравенства неотрицательна. Поэтому данное
неравенство не имеет решений.

ОТВЕТ:  решений
нет

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Левая часть неравенства
определена при условии 

1 – х²
≥ 0,

то есть на множестве 

Е₁ = [–1, 1],

а правая часть неравенства
определена при условии

3 – х²
≥ 0,

то есть на множестве 

Е₂ = [–√͞͞͞͞͞3, √͞͞͞͞͞3].

Поэтому ОДЗ
неравенства – пересечение множеств Е₁   и  Е₂, то есть множество 

Е = Е₁ = [–1, 1].

На множестве 
Е  обе
части неравенства определены и неотрицательны и поэтому обе части неравенства
можно возвести в квадрат.

Это
неравенство равносильно на множестве  Е  каждому из
неравенств:

4(1 – х²)
< 1,

4х² ˃
3,

х² ˃ ³/₄,

Таким образом, решениями
неравенства являются все те и только те числа 
х  из
отрезка  [–1, 1], которые удовлетворяют
следующим промежуткам:

ПРИМЕР:

Решите неравенство:

РЕШЕНИЕ:

Первый способ.

Область допустимых значений
неравенства определяется условием:

х² + 4х – 5
≥ 0,

а множество  Е  решений неравенства – объединение промежутков

(–∞, –5]  и 
[1, +∞).

Числа из множества  Е, и только они, могут
быть решениями неравенства:

Так как левая часть этого
неравенства неотрицательна при всех 

х ∈
Е,

а правая часть меняет знак при
переходе через точку  х = 5, поэтому следует рассмотреть два возможных случая:

х < 5  и  х ≥ 5.

1)  если  х ≥ 5, то 

10 – 2х ≤ 0 

и неравенство

не имеет решений, так как его
левая часть неотрицательна.

2)  если  х < 5  и  х ∈ Е, то обе части неравенства

 <
10 – 2х

определены и неотрицательны,
поэтому оно равносильно следующему неравенству

х² + 4х – 5
< (10 – 2х)²

а
это неравенство равносильно следующему неравенству:

3х² – 44х + 105 ˃ 0.

Чтобы
решить это неравенство найдём корни уравнения:

3х² – 44х + 105 = 0.

Получим:

откуда

х₁ = 3,  х₂
= ³⁵/₃.

Поэтому множество  Е₁  решений неравенства

3х² – 44х + 105 ˃ 0

это объединение интервалов (–∞, 3)  и  (³⁵/₃, +∞).

Условиям  х ∈ Е, х < 5  и  х ∈ Е₁  удовлетворяют значения  х  из промежутков  (–∞, –5]  и 
[1,
3).

ОТВЕТ: 

х ≤ –5, 1 ≤ х <
3

Второй способ.

Построим графики функций

y = f(x)  и 
у = g(x), где

Решить неравенство

это значит найти все
значения  х ∈ Е, при которых график
функции  f(x)  лежит ниже
графика функции  g(x).
Абсциссы точек пересечения этих графиков – корни уравнения

f(x) = g(x).

Это уравнение – следствие
уравнения

f ²(x) = g²(x),

то есть уравнения

х² + 4х – 5
= (10 – 2х)²,

которое равносильно уравнению

3х² – 44х + 105 = 0

Из
рисунка

видно,
что прямая

 у = 10 – 2х

пересекает
график функции  y = f(x)   только в точке  А, абсцисса
 х₀  которой – корень уравнения 

3х² – 44х + 105 = 0,

принадлежащий
отрезку  [1, 5]  то есть

х₀ = х₁ = 3.

Отметим, что корень  х₂  уравнения

3х² – 44х + 105 = 0

это корень уравнения

–f(x) = g(x),

то есть абсцисса точки  В,
в которой прямая

у = 10 – 2х

пересекает график функции  у = –f(x).

Из рисунка заключаем, что
график функции  f(x)  лежит ниже графика функции  g(x)  на промежутках:

(–∞, –5]  и 
[1,
3).

ОТВЕТ: 

х ≤ –5, 1 ≤ х
< 3

Задания к уроку 12

• Задание 1
• Задание 2
• Задание 3

Решите неравенство `sqrt(x + 3) > x + 1`.

Это неравенство можно решить несколькими способами. Решим его графически.

Рис. 1

Построим графики функций `y = sqrt(x + 3)`,  `y = x + 1` и  посмотрим, где первый график расположен выше второго. Для нахождения решения останется решить только уравнение `sqrt(x + 3) = x + 1` (и не надо рассматривать случаи разных знаков для `x + 1`!).

x+3=x+1⇔x+1≥0,x+3=x2+2x+1⇔x=1⇒x∈[-3;1).sqrt{x+3}=x+1Leftrightarrowleft{begin{array}{l}x+1geq0,\x+3=x^2+2x+1end{array}Leftrightarrow x=1Rightarrow xinlbrack-3;1).right.

ПУНКТ 1. НЕРАВЕНСТВА ВИДА `sqrt(f(x)) >= g(x)` и `sqrt(f(x)) <= g(x)` 

ОДЗ: `f(x) >= 0`.

Рассмотрим неравенство

`sqrt(f(x)) >= g(x)`.

Докажем, что

1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) >= g(x)`, то `f(x) >= 0` и `sqrt(f(x))` существует. При этом неравенство заведомо выполнено при `g(x) < 0`.  Если же `g(x) >= 0`, то возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f^2 (x) >= g^2 (x)`. 

2. Пусть теперь `x` является решением совокупности неравенств       

$$left[begin{array}{l}left{begin{array}{l}gleft(xright)<0,\fleft(xright)geq0;end{array}right.\left{begin{array}{l}gleft(xright)geq0,\fleft(xright)geq g^2left(xright).end{array}right.end{array}right.$$

Тогда:

а) если `g(x) < 0`  и  `f(x) >= 0`, то существует `sqrt(f(x))` и заведомо выполнено неравенство `sqrt(f(x)) >= g(x)`:

б) если `g(x) >= 0`  и

`f(x) — g^2 (x) >= 0 iff (sqrt(f(x)) — g(x)) (sqrt(f(x)) + g(x)) >= 0`,

то

`f(x) — g^2 (x) >= 0 iff sqrt(f(x)) — g(x) >= 0`.

Можно ОДЗ неравенства найти отдельно, тогда условие равносильности примет вид:

Теперь рассмотрим неравенство вида

`sqrt(f(x)) <= g(x)`.  

Докажем, что

1. Если `x` является решением неравенства `sqrt(f(x)) <= g(x)`,

то  `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`, а тогда `g(x) >= 0`, и возведение в квадрат обеих частей неравенства приводит к равносильному неравенству `f(x) <= g^2 (x)`.

2.  Если `x` является решением системы неравенств   g(x)≥0,f(x)≤g2(x),f(x)≥0,left{begin{array}{l}g(x)geq0,\f(x)leq g^2(x),\f(x)geq0,end{array}right.   

то `f(x) >= 0` и существует `sqrt(f(x))`,     а тогда `f(x) — g^2 (x) <= 0 iff (sqrt(f(x)) — g(x))(sqrt(f(x)) + g(x)) <= 0`. 

Но, по условию, `g(x) >= 0`, поэтому `f(x) — g^2 (x) <= 0 iff sqrt(f(x)) — g(x) <= 0`.

Решите неравенство `3 sqrt(3x^2 -8x — 3) > 1 — 2x`.

Для строгих неравенств в условиях равносильности надо просто заменить значок `«>=»` или `«<=»` на `«>»` или `«<»` соответственно.

Решите неравенство `sqrt(2x + 1) <= sqrt(x^3 — 4x^2 + x + 5)`.

`[- 1/2;1] uu [4; + oo)`.

`(sqrt(f(x)) — g(x))/(h(x)) >= 0 (<= 0)`.

`(sqrt(f(x)) — g(x))/(h(x)) >= 0` или `(sqrt(f(x)) — g(x))h(x) >=0`.

Решите неравенство `(4x+15-4x^2)/(sqrt(4x+15) +2x) >=0`.

ОДЗ^*. `4x+15>=0 iff x>=-(15)/4`. 

Теперь в ОДЗ  преобразуем неравенство:

4x+15-4x24x+15+2x=4x+15+2x4x+15-2x4x+15+2x≥0⇔4x+15-2x≥0,4x+15+2x≠0.dfrac{4x+15-4x^2}{sqrt{4x+15}+2x}=dfrac{left(sqrt{4x+15}{displaystyle+}{displaystyle2}{displaystyle x}right){displaystyleleft(sqrt{4x+15}-2xright)}}{sqrt{4x+15}{displaystyle+}{displaystyle2}{displaystyle x}}geq0Leftrightarrowleft{begin{array}{l}sqrt{4x+15}-2xgeq0,\sqrt{4x+15}+2xneq0.end{array}right.

Попробуем решить эту систему графически. Из графика на рисунке 2 видно, что неравенство выполнено от точки `x=-(15)/4` до абсциссы точки пересечения кривой `y=sqrt(4x+15)` и прямой `y=2x`.               

Рис. 2

Найдём эту абсциссу:

4x+15=2x⇔2x≥0,4x+15=4×2⇔2x≥0,x=-32,x=52⇔x=52.sqrt{4x+15}=2xLeftrightarrowleft{begin{array}{l}2xgeq0,\4x+15=4x^2end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}2xgeq0,\left[begin{array}{l}x=-dfrac32,\x=dfrac52end{array}right.Leftrightarrow x=dfrac52.end{array}right.

Заметим, что для решения  уравнения мы возводили обе части в квадрат, а, значит, одновременно с нашим решили «чужое» уравнение:

4x+15+2x=0⇔4x+15=-2x⇔2x≤0,4x+15=4×2.sqrt{4x+15}+2x=0Leftrightarrowsqrt{4x+15}=-2xLeftrightarrowleft{begin{array}{l}2xleq0,\4x+15=4x^2.end{array}right.

А в нашей системе решение этого уравнения `x=-3/2` как раз нам надо исключить. Главное в том, что для решения всей системы, оказалось достаточно решить единственное уравнение

4x+15=4×2⇔x=-32,x=52.4x+15=4x^2Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x=-dfrac32,\x=dfrac52.end{array}right.

Теперь можно записать

x∈-154;-32∪-32;52xinleft[-dfrac{15}4;-dfrac32right)cupleft[-dfrac32;dfrac52right).

Решите неравенство `(sqrt(2-x) +4x-3)/x >= 2`.

Найдём сначала ОДЗ*: `2-x>=0 iff x<=2`. 

Теперь воспользуемся (УР К9):

2-x+4x-3x≥2⇔2-x+2x-3x≥0⇔2-x-3-2xx≥0⇔ОДЗ*dfrac{sqrt{2-x}+4x-3}xgeq2Leftrightarrowdfrac{sqrt{2-x}{displaystyle+}{displaystyleleft(2x-3right)}}xgeq0Leftrightarrowdfrac{sqrt{2-x}{displaystyle-}{displaystyleleft(3-2xright)}}xgeq0overset{mathrm{ОДЗ}ast}Leftrightarrow

$$Leftrightarrowleft[begin{array}{l}left{begin{array}{l}3-2x<0,\x>0;end{array}right.\left{begin{array}{l}3-2xgeq0,\dfrac{2-x-left(2x-3right)^2}xgeq0end{array}right.end{array}right.Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x>dfrac32,\left{begin{array}{l}xleqdfrac32,\dfrac{4x^2-11x+7}xleq0end{array}right.end{array}right.Leftrightarrow$$

$$Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x>dfrac32,\left{begin{array}{l}xleqdfrac32,\dfrac{left(x-{displaystyledfrac74}right)left(x-1right)}xleq0end{array}right.end{array}right.Leftrightarrow$$

⇔x>32,x∈-∞;0∪1;32⇔с учётом ОДЗ*x∈-∞;0∪1;2.Leftrightarrowleft[begin{array}{l}x>dfrac32,\xinleft(-infty;0right)cupleft[1;dfrac32right]end{array}right.overset{mathrm с;mathrm{учётом};mathrm{ОДЗ}ast}Leftrightarrow xinleft(-infty;0right)cupleft[1;2right].

Систему неравенств x≤32,x-74x-1x≤0left{begin{array}{l}xleqdfrac32,\dfrac{left(x-{displaystyledfrac74}right)left(x-1right)}xleq0end{array}right. решили классическим методом интервалов — рис. 3.

Рис. 3

`(- oo; 0) uu [1; 2]`.

`(sqrt(x^2 -4x+3) -2(x+7))/(x^2 -x-72) <= 0`.

`(-8; (-30+sqrt(321))/3 ] uu (9; + oo)`.

Замечательный пример на применение (УР К11)!

Приведём всё к общему знаменателю, затем разложим разность кубов на множители. При этом учтём, что неполный квадрат суммы `x^2 +x+1` никогда в `0` не обращается — он всегда положителен, потому что его дискриминант отрицателен. Поэтому на `sqrt(x^2 +x+1)` можно сократить. Затем воспользуемся (УР К11), или, что то же, тем, что умножение неравенства на положительное сопряжённое выражение приводит к равносильному неравенству. Тогда

`(sqrt(1-x^3 ) -1)/(1+x) <= x iff (sqrt(1-x^3) -1-x-x^2 )/(1+x) <= 0 iff`

`iff (sqrt((1-x)(x^2 +x+1)) — (sqrt(x^2 +x+1))^2)/(1+x) <= 0 iff`

`iff (sqrt(1-x) — sqrt(x^2 +x+1))/(1+x) <= 0 iff`

`iff ((sqrt(1-x) — sqrt(x^2 +x+1))(sqrt(1-x) + sqrt(x^2 +x+1)))/(1+x) <= 0 iff`

⇔1-x≥0,1-x-x2+x+11+x≤0⇔x≤1,xx+21+x≥0⇔x∈-2;-1∪0;+∞⇔Leftrightarrowleft{begin{array}{l}1-xgeq0,\dfrac{left(1-xright)-left(x^2+x+1right)}{1+x}leq0end{array}right.Leftrightarrowleft{begin{array}{l}xleq1,\dfrac{xleft(x+2right)}{1+x}geq0Leftrightarrow xinleft[-2;-1right)cupleft[0;+inftyright)end{array}right.Leftrightarrow

`iff x in [-2; -1) uu [0; 1]`.

Неравенство решено методом интервалов — рис. 4.

Рис. 4

Наименьшая длина промежутка, который содержит все решения, равна `3`.

`[-2; -1) uu [0; 1], 3`.

`(2; 3), 1`.

Решите неравенство `(sqrt(6-x-x^2))/(x^2 -1) <= 0`.

`{-3} uu (-1; 1) uu {2}`.

• Производная в математике
• Как найти производную функции
• Асимптоты графика функции
• Касательная к графику функции и производная
• Формулы преобразования суммы и разности синусов (косинусов) в произведение
• Корень n-й степени из числа и его свойства
• Свойства и график функции y=ⁿ√x (n>1, n∈N) 
• Иррациональные уравнения