Как найти ограниченность последовательности

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется
ограниченной сверху, если существует такое число , что для любого номера $n$ , $x_{n} leq M$

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется
ограниченной снизу, если существует такое число
$m in R$ , что для любого номера $n$ , $x_{n} geq m$

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется ограниченной , если она ограниченная сверху и ограниченная снизу, то есть существует такое число $M geq 0$ , что для любого номера
$n$ , $left|x_{n}right| leq M$

Последовательность $left{x_{n}right}$ называется
неограниченной, если существует такое число $M geq 0$ ,
что существует такой номер $n$ , что $left|x_{n}right| geq M$

Задание. Исследовать последовательность $left{x_{n}right}=left{frac{1}{n}right}, n in N$ на ограниченность.

Решение. Заданная последовательность является ограниченной, так как для любого
натурального номера $n$ выполняются неравенства:

$$0 lt frac{1}{n} leq 1, forall n in N$$

То есть последовательность является ограниченной снизу нулем, и вместе с тем является ограниченной сверху единицей,
а значит, является и ограниченной.

Ответ. Последовательность ограничена — снизу нулем, а сверху единицей.

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Задание. Исследовать последовательность $left{x_{n}right}=left{frac{n+1}{sqrt{n^{2}+1}}right}, n in N$ на ограниченность.

Решение. Рассмотрим $|x_{n}|$ и попробуем его оценить сверху:

$$left|x_{n}right|=left|frac{n+1}{sqrt{n^{2}+1}}right|=left|frac{n}{sqrt{n^{2}+1}}+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}right|$$

Так как модуль суммы меньше либо равен сумме модулей: $|a+b| leq |a|+|b|$ , то получаем, что

$$left|x_{n}right| leqleft|frac{n}{sqrt{n^{2}+1}}right|+left|frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}right|=frac{n}{sqrt{n^{2}+1}}+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}} lt $$ $$ lt frac{n}{sqrt{n^{2}}}+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}=1+frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}$$

Выражение $frac{1}{sqrt{n^{2}+1}}$ принимает свое максимальное
значение, когда знаменатель является наименьшим. Знаменатель будет минимальным при наименьшем значении $n$ , то есть для $m=1$ . А тогда

$$left|x_{n}right|<1+frac{1}{sqrt{1^{2}+1}}=1+frac{sqrt{2}}{2}, forall n in N$$

А таким образом, существует такое число $M=1+frac{sqrt{2}}{2}>0$ , что для любого номера $n$ ,
$|x_{n} leq M|$
. Значит, по определению последовательность ${x_{n}}$ ограничена.

Ответ. Последовательность $left{x_{n}right}=left{frac{n+1}{sqrt{n^{2}+1}}right}, n in N$ ограничена

1. Определение последовательности
2. Предел последовательности
3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?
4. Ограниченные и неограниченные последовательности
5. Как доказать неограниченность последовательности?
6. Примеры

п.1. Определение последовательности

С понятием «последовательность» мы уже познакомились, когда изучали прогрессии (см. §24 справочника для 9 класса). По определению:

Числовой последовательностью называют функцию натурального аргумента (y_n=f(n), ninmathbb{N}).
Значения (y_1,y_2,…,y_n,…) называют членами последовательности.
В символе (y_n) число (n) называют индексом последовательности.

Т.е., числовая последовательность – это некий набор чисел с присвоенными им порядковыми номерами. Это набор можно задать формулой, описанием или просто перечислением.

Например:
1) Формула (y_n=frac1n, ninmathbb{N}) задает бесконечную последовательность дробей:

2) Формула (y_n=(-1)^n, ninmathbb{N}) задает бесконечную последовательность «прыгающих» единиц:

3) Рекуррентная формула (y_1=1, y_2=1, y_(n+2)=y_(n+1)+y_n) задает бесконечную последовательность чисел Фибоначчи:

4) Описание «число π точностью до (10^{-n})» задает бесконечную последовательность все более «подробных» значений числа π:

Этот ряд можно также задать формулой (y_n=frac{[picdot 10^n]}{10^n}), где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

п.2. Предел последовательности

Поведение последовательности «на длинных дистанциях» может быть неочевидным. Чтобы лучше понять, возрастает или убывает заданный ряд чисел, ограничен ли он какой-либо величиной или уходит на бесконечность, проще всего построить график.

Например:

В приведенных примерах мы видим, что последовательность (y_n=frac1n) сходится к 0, а приближение числа π (y_n=frac{[picdot 10^n]}{10^n}) конечно же сходится к π.
Говорят, что у таких последовательностей есть конечный предел, и записывают это так: $$ lim_{nrightarrowinfty}frac1n=0, lim_{nrightarrowinfty}frac{[picdot 10^n]}{10^n}=pi $$

Последовательность, имеющая предел, называется сходящейся.
Последовательность, не имеющая предела, называется расходящейся.
Если предел последовательности (lim_{nrightarrowinfty}y_n=0), последовательность называется бесконечно малой.

Число (binmathbb{R}) называют пределом последовательности (left{y_nright}), если последовательность (left{y_n-bright}) является бесконечно малой, т.е. все её элементы, начиная с некоторого номера (N_{varepsilon}), меньше по модулю любого заранее взятого положительного числа (varepsilongt 0): $$ lim_{nrightarrowinfty}y_n=bLeftrightarrow forallvarepsilongt 0 exists N_{varepsilon}inmathbb{N}: ngeq NRightarrow |a_n-b|lt varepsilon $$

Промежуток ((b-varepsilon; b+varepsilon)) $$ b-varepsilonlt y_nlt b+varepsilon $$ называют ε-окрестностью точки b.

п.3. Как доказать сходимость последовательности к пределу?

Разберем данное выше определение предела на конкретном примере.
Пусть (y_n=frac{1}{n+4}). Докажем, что предел этой последовательности b=0.
Найдем номер (N_{varepsilon}) члена последовательности, который первым окажется меньше одной тысячной. Т.е. «заранее взятое число» у нас ε=0,001, а ε-окрестность окружает точку предела (b=0: -varepsilonlt y_nltvarepsilon).
Решаем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon): begin{gather*} left|frac{1}{n+4}-0right|lt 0,001Rightarrow frac{1}{n+4}lt 0,001Rightarrow n+4gt frac{1}{0,001}=1000\ ngt 996Rightarrow N_{varepsilon}=997 end{gather*} Значит, начиная с (N_{varepsilon}=997), все (y_n=frac{1}{n+4}, ngeq N_{varepsilon}=997) будут меньше ε=0,001.
Если попробовать еще больше приблизиться к пределу b=0, например с ε=0,00001, стартовый номер (N_{varepsilon}) для членов последовательности, которые умещаются в 100 раз меньшей ε-окрестности, очевидно, увеличится.
Теперь найдем общую формулу зависимости (N_{varepsilon}) для последовательности (y_n=frac{1}{n+4}) с пределом b=0: begin{gather*} left|frac{1}{n+4}-0right|lt varepsilon Rightarrow frac{1}{n+4}lt varepsilonRightarrow n+4gt frac{1}{varepsilon}\ ngtfrac1varepsilon-4Rightarrow N_{varepsilon}=left[frac1varepsilon-4right]+1 end{gather*} где квадратные скобки обозначают целую часть от числа.

И построим график (в логарифмическом масштабе):

Мы видим, что чем меньше ε, тем больше (N_{varepsilon}). Но главное – мы всегда можем его указать.
Таким образом, мы доказали, что действительно (lim_{nrightarrowinfty}frac{1}{n+4}=0)
Ведь для любого сколь угодно малого (varepsilongt 0) мы можем указать такой номер (N_{varepsilon}=left[frac1varepsilon-4right]+1), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_{varepsilon}) разность (left|frac{1}{n+4}-0right|), т.е. эти члены не выйдут за переделы ε окрестности предела b=0.

Построенный график интересен еще и тем, что показывает одно из важных практических применений логарифмов: если разбросы по шкалам очень велики, отличаются на порядки, то графики удобней строить в десятичных логарифмах.
Такие графики часто можно увидеть у физиков-ядерщиков, копающих вглубь, от нанометров до планковских длин; или у астрономов, всматривающихся вдаль, от тысяч километров до гигапарсек.

п.4. Ограниченные и неограниченные последовательности

Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной сверху, если существует такое число (Minmathbb{R}), что для любого номера (n, y_nleq M).
Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной снизу, если существует такое число (minmathbb{R}), что для любого номера (n, y_ngeq m).
Последовательность (left{y_nright}) называется ограниченной, если она ограничена сверху и ограничена снизу, т.е. для любого номера (n, mleq y_nleq M).
Последовательность (left{y_nright}) называется неограниченной, если для любого сколь угодно большого (Mgt 0) найдется такой номер (N_M), что для любого (ngeq N_Mcdot|y_n|gt M)

Например:
1) последовательность (y_n=frac1n) ограничена сверху (M=y_1=1) и ограничена снизу (m=lim_{nrightarrowinfty}y_n=0). Т.е. (0lt y_nleq 1, forall n) — последовательность ограничена.
2) последовательность (y_n=(-1)^n) ограничена сверху (M=1) и ограничена снизу (m=-1). Т.е. (-1leq y_nleq 1, forall n) — последовательность ограничена.
3) последовательность чисел Фибоначчи (y_1=1, y_2=1, y_{n+2}=y_{n+1}+y_n) ограничена снизу (m=1), но неограничена сверху. Т.е. последовательность неограничена: (lim_{nrightarrowinfty}=+infty)

Неограниченную последовательность также называют бесконечно большой (стремящейся к бесконечности) и в зависимости от знаков (y_n) при (nrightarrow infty) используют запись: $$ lim_{nrightarrowinfty}y_n=+infty text{или} lim_{nrightarrowinfty}y_n=-infty $$

п.5. Как доказать неограниченность последовательности?

Разберем данное выше определение неограниченности (стремления к бесконечности) на конкретном примере.
Пусть (y_n=n^2). Докажем, что последовательность неограничена.
Найдем номер (N_M) члена последовательности, который первым окажется больше (M=100) — нашего «сколько угодно большого числа».
Согласно определению, подставляем значения в неравенство (|y_n|gt M): begin{gather*} |n^2|gt 100Rightarrow n^2gt 100Rightarrow ngt 10\ N_M=11 end{gather*} Т.е. все (y_n), начиная с 11-го, будут больше 100.
Выведем общую формулу для (N_M): begin{gather*} |n^2|gt MRightarrow n^2gt MRightarrow ngtsqrt{M}\ N_M=[sqrt{M}]+1 end{gather*} где квадратные скобки обозначают целую часть числа.

Например:

Таким образом, мы доказали, что действительно (lim_{nrightarrowinfty}n^2=+infty)
Ведь для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=[sqrt{M}]), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=n^2gt M), т.е. члены последовательности становятся ещё больше.

п.6. Примеры

Пример 1. Используя определение предела последовательности, докажите, что:
a) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{n+1}{3-2n}=-frac12 )
По условию: $$ y_n=frac{n+1}{3-2n}, b=-frac12 $$ Находим (N_{varepsilon}) для произвольного ε>0 из неравенства (|y_n-b|ltvarepsilon)
$$ left|frac{n+1}{3-2n}+frac12right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{2n+2+3-2n}{2(3-2n)}right| lt varepsilonRightarrow frac52left|frac{1}{3-2n}right|lt varepsilon $$ Знаменатель у дроби под модулем при (ngeq 2) отрицательный . Поэтому, раскрывая модуль, получаем: begin{gather*} frac52left|frac{1}{3-2n}right|=frac{5}{2(2n-3)}lt varepsilonRightarrow 2n-3gt frac{5}{2varepsilon}Rightarrow ngtfrac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)\ N_{varepsilon}=left[frac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)right]+1 end{gather*} Например:

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[frac12left(frac{5}{2varepsilon}+3right)right]+1), начиная с которого
(left|frac{n+1}{3-2n}+frac12right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}geq 2).
Что и требовалось доказать.

б) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{n^2+1}{3n^2+n+1}=frac13 )
По условию: $$ y_n=frac{n^2+1}{3n^2+n+1}, b=frac13 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
$$ left|frac{n^2+1}{3n^2+n+1}-frac13right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{3n^2+3-3n^2-n-1}{3(3n^2+n+1)}right| lt varepsilonRightarrow frac13left|frac{2-n}{3n^2+n+1}right|lt varepsilon $$ Раскрываем модуль: $$ frac13cdot left|frac{2-n}{3n^2+n+1}right|=frac{n-2}{3(3n^2+n+1)}lt varepsilon $$ Усилим неравенство, чтобы было легче найти (N_{varepsilon}). Заметим, что для (ngeq 3): begin{gather*} frac{n-2}{3(3n^2+n+1)}geqfrac{1}{3(3n^2+n+1)} = frac{1}{9left(n^2+frac n3+frac13right)}gtfrac{1}{9(n^2+2n+1)}=frac{1}{9(n+1)^2}\ frac{1}{9(n+1)^2}ltfrac{n-2}{3(3n^2+n+1)}lt varepsilonRightarrowfrac{1}{9(n+1)^2}lt varepsilonRightarrow (n+1)^2gtfrac{1}{9varepsilon}\ n+1gtfrac{1}{3sqrt{varepsilon}}Rightarrow ngtfrac{1}{3sqrt{varepsilon}}-1\ N_{varepsilon}=left[frac{1}{3sqrt{varepsilon}}-1right]+1 =left[frac{1}{3sqrt{varepsilon}}right], N_{varepsilon}geq 3 end{gather*} Например:

в) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{3^n+1}{3^n}=1 )
По условию: $$ y_n=frac{3^n+1}{3^n}, b=1 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
begin{gather*} left|frac{3^n+1}{3^n}-1right|ltvarepsilonRightarrow left|frac{3^n+1-3^n}{3^n}right|ltvarepsilonRightarrow frac{1}{3^n}lt varepsilonRightarrow 3^ngt frac1varepsilon\ ngtlog_3frac1varepsilonRightarrow ngt -log_3varepsilon\ N_{varepsilon}=left[-log_3varepsilonright]+1 end{gather*} Например:

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[-log_3varepsilonright]), начиная с которого (left|frac{3^n+1}{3^n}-1right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}).
Что и требовалось доказать.

г) ( lim_{nrightarrowinfty}frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}=frac15 )
По условию: $$ y_n=frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}, b=frac15 $$ Записываем неравенство (|y_n-b|ltvarepsilon):
begin{gather*} left|frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}-frac15right|ltvarepsilonRightarrow frac15left|frac{sqrt{n}-sqrt{n}-1}{sqrt{n}+1}right|ltvarepsilon Rightarrow frac{1}{5(sqrt{n}+1)}ltvarepsilonRightarrow sqrt{n}+1gtfrac{1}{5varepsilon}\ sqrt{n}gtfrac{1}{5varepsilon}-1Rightarrow ngtleft(frac{1}{5varepsilon-1}right)^2\ N_{varepsilon}=left[left(frac{1}{5varepsilon}-1right)^2right]+1 end{gather*} Например:

Таким образом, для любого сколь угодно малого ε>0 найдется номер в последовательности (N_{varepsilon}=left[left(frac{1}{5varepsilon}-1right)^2right]), начиная с которого (left|frac{sqrt{n}}{5sqrt{n}+1}-frac15right|ltvarepsilon, ngeq N_{varepsilon}).
Что и требовалось доказать.

Пример 2. Используя определения неограниченной последовательности, докажите, что:
a) ( lim_{nrightarrowinfty}2^n=+infty )
По условию: (y_n=2^n)
Записываем неравенство (|y_n|gt M):
begin{gather*} 2^ngt MRightarrow ngt log_2M\ N_M=left[log_2Mright]+1 end{gather*} Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=left[log_2Mright]+1), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=2^ngt M).
Что и требовалось доказать.

б) ( lim_{nrightarrowinfty}sqrt{n+1}=+infty )
По условию: (y_n=sqrt{n+1})
Записываем неравенство (|y_n|gt M):
begin{gather*} sqrt{n+1}gt MRightarrow n+1gt M^2Rightarrow ngt M^2 -1\ N_M=left[M^2-1right]+1=left[M^2right] end{gather*} знак целой части оставляем, т.к. (Minmathbb{R}) — не обязательно целое.
Например:

Таким образом, для любого сколь угодно большого (Mgt 0) мы можем указать такой номер (N_M=left[M^2right]), начиная с которого, для всех членов последовательности с номерами (ngeq N_M, y_n=sqrt{n+1}gt M).
Что и требовалось доказать.