Как найти опред интеграл

Решение интегралов – задача легкая, но только для избранных. Эта статья для тех, кто хочет научиться понимать интегралы, но не знает о них ничего или почти ничего. Интеграл… Зачем он нужен? Как его вычислять? Что такое определенный и неопределенный интегралы?

Если единственное известное вам применение интеграла – доставать крючком в форме значка интеграла что-то полезное из труднодоступных мест, тогда добро пожаловать! Узнайте, как решать простейшие и другие интегралы и почему без этого никак нельзя обойтись в математике.

Ежедневная рассылка с полезной информацией для студентов всех направлений – на нашем телеграм-канале.

Изучаем понятие «интеграл»

Интегрирование было известно еще в Древнем Египте. Конечно, не в современном виде, но все же. С тех пор математики написали очень много книг по этой теме. Особенно отличились Ньютон и Лейбниц, но суть вещей не изменилась.

Как понять интегралы с нуля? Никак! Для понимания этой темы все равно понадобятся базовые знания основ математического анализа. Сведения о пределах и производных, необходимые и для понимания интегралов, уже есть у нас в блоге.

Неопределенный интеграл

Пусть у нас есть какая-то функция f(x).

Неопределенным интегралом функции f(x) называется такая функция F(x), производная которой равна функции f(x).

математика для чайников интегралы

Другими словами интеграл – это производная наоборот или первообразная. Кстати, о том, как вычислять производные, читайте в нашей статье.

Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц

Первообразная существует для всех непрерывных функций. Также к первообразной часто прибавляют знак константы, так как производные функций, различающихся на константу, совпадают. Процесс нахождения интеграла называется интегрированием.

Простой пример:

найти интегралы для чайников

Чтобы постоянно не высчитывать первообразные элементарных функций, их удобно свести в таблицу и пользоваться уже готовыми значениями.

Полная таблица интегралов для студентов

Первообразные элементарных функций

Определенный интеграл

Имея дело с понятием интеграла, мы имеем дело с бесконечно малыми величинами. Интеграл поможет вычислить площадь фигуры, массу неоднородного тела, пройденный при неравномерном движении путь и многое другое. Следует помнить, что интеграл – это сумма бесконечно большого количества бесконечно малых слагаемых.

В качестве примера представим себе график какой-нибудь функции.

Определенный интеграл - площадь фигуры

Как найти площадь фигуры, ограниченной графиком функции? С помощью интеграла! Разобьем криволинейную трапецию, ограниченную осями координат и графиком функции, на бесконечно малые отрезки. Таким образом фигура окажется разделена на тонкие столбики. Сумма площадей столбиков и будет составлять площадь трапеции. Но помните, что такое вычисление даст примерный результат. Однако чем меньше и уже будут отрезки, тем точнее будет вычисление. Если мы уменьшим их до такой степени, что длина будет стремиться к нулю, то сумма площадей отрезков будет стремиться к площади фигуры. Это и есть определенный интеграл, который записывается так:

Определенный интеграл
Точки а и b называются пределами интегрирования.

Бари Алибасов и группа

Бари Алибасов и группа

«Интеграл»

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правила вычисления интегралов для чайников

Свойства неопределенного интеграла

Как решить неопределенный интеграл? Здесь мы рассмотрим свойства неопределенного интеграла, которые пригодятся при решении примеров.

  • Производная от интеграла равна подынтегральной функции:

как решать определенный интеграл для чайников

  • Константу можно выносить из-под знака интеграла:

интегралы начало

  • Интеграл от суммы равен сумме интегралов. Верно также для разности:

как решать интегралы для чайников

Свойства определенного интеграла

  • Линейность:

интегралы для чайников подробно

  • Знак интеграла изменяется, если поменять местами пределы интегрирования:

интегралы для чайников подробно

  • При любых точках a, b и с:

высшая математика для чайников интегралы

Как считать определенный интеграл? С помощью формулы Ньютона-Лейбница.

Мы уже выяснили, что определенный интеграл – это предел суммы. Но как получить конкретное значение при решении примера? Для этого существует формула Ньютона-Лейбница:

Формула Ньютона-Лейбница

Примеры решения интегралов

Ниже рассмотрим неопределенный интеграл и примеры с решением. Предлагаем самостоятельно разобраться в тонкостях решения, а если что-то непонятно, задавайте вопросы в комментариях.

Примеры

Для закрепления материала посмотрите видео о том, как решаются интегралы на практике. Не отчаиваетесь, если интеграл не дается сразу. Обратитесь в профессиональный сервис для студентов, и любой тройной или криволинейный интеграл по замкнутой поверхности станет вам по силам.

Иван

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

Содержание:

  1. Определённый интеграл
  2. Геометрическое содержание определённого интеграла
  3. Основные свойства определённого интеграла
  4. Непосредственное вычисление определённого интеграла
  5. Вычисление определённого интеграла методом подстановки
  6. Вычисления определённого интеграла частями
  7. Приближённые методы вычисления определённых интегралов
  8. Практическое применение определённого интеграла
  9. Вычисление площадей плоских фигур
  10. Объём тела вращения
  11. Путь, пройденный точкой
  12. Сила давления жидкости
  13. Несобственные интегралы
  14. История определенного интеграла
  15. Определенный интеграл в математике
  16. Геометрический смысл интеграла
  17. Понятие определенного интеграла
  18. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
  19. Задача о нахождении площади криволинейной трапеции
  20. Задача об определении пройденного пути материальной точки
  21. Задача о нахождении объема продукции
  22. Основные свойства определенного интеграла
  23. Связь между определенным и неопределенным интегралами
  24. Формула Ньютона-Лейбница
  25. Методы вычисления определенного интеграла
  26. Непосредственное определенное интегрирование
  27. Вычисление интеграла методом подстановки
  28. Интегрирования по частям в определенном интеграле
  29. Длина дуги плоской кривой
  30. Вычисление площади геометрической фигуры
  31. Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений
  32. Вычисление объема тела вращения
  33. Приближенное вычисление определенных интегралов
  34. Формула прямоугольников
  35. Формула трапеций
  36. Формула Симпсона

Определённый интеграл

Определенный интеграл – это число, а именно величина площади криволинейной трапеции. Неопределенный интеграл – это функция (точнее, семейство функций), которая является первообразной для интегрируемой функции.

Понятие определённого интеграла:

Пусть функция f(х) определена на промежутке Определенный интеграл Считаем для удобства, что функция f(х) на указанном промежутке неотъемлемая и Определенный интеграл Разобьём этот отрезок на n частей точками Определенный интеграл На каждом из отрезков Определенный интеграл возьмём произвольную точку Определенный интеграл и вычислим сумму:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл Эта сумма называется интегральной суммой функции f(х) на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

Геометрически (рис. 1) каждое слагаемое интегральной суммы равно площади прямоугольника с основанием Определенный интеграл и высотой Определенный интеграл, а вся сумма равна площади фигуры, которую получили соединением всех указанных выше прямоугольников.

Очевидно, при всех возможных разбиениях отрезка Определенный интеграл на части получим разные интегральные суммы, а значит и разные ступенчатые фигуры.

Будем увеличивать число точек разбиения так, чтобы длина наибольшего отрезка  Определенный интеграл стремилась к нулю. Во многих случаях при таком разбиении интегральная сумма будет стремиться к некоторому конечному пределу, независимым ни от способа, которым выбираются точки деления Определенный интеграл ни от того, как выбираются промежуточные точкиОпределенный интеграл

Это предел и называют определённым интегралом для функции f(х) на отрезке Определенный интеграл

Определённым интегралом для функции f(х) на отрезке Определенный интеграл называется предел, к которому стремится интегральная сумма при стремлении к нулю длины большего частичного промежутка. Он обозначается Определенный интеграл и читается «интеграл от Определенный интеграл до b от функции f(х) по dx», или сокращённо «интеграл от Определенный интеграл до b от f(х)dx».

По определению Определенный интеграл

Число Определенный интеграл называется нижней границей интегрирования; число b — верхней границей; отрезок Определенный интеграл — отрезком интегрирования.

Отметим, что любая непрерывная на промежутке Определенный интеграл функция f(х) имеет определённый интеграл на этом отрезке.

Геометрическое содержание определённого интеграла

Если интегрированная на отрезке Определенный интеграл функция f(х) неотъемлемая, то определённый интеграл Определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции Определенный интегралABb (рис. 1).

Уточним, что криволинейную трапецией называют фигуру, ограниченную графиком непрерывной функции у=f(х), где Определенный интеграл, прямыми х=Определенный интеграл, х=b и осью ОХ.

Следовательно, геометрическое содержание определённого интеграла — это площадь криволинейной трапеции.

Рассмотрим криволинейную трапецию CHKD (см. рис. 2), в которой абсцисса точки С равна х, а точки Определенный интеграл. График функции у=f(х) пересекает ось OY в точке А. Тогда площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности площади криволинейных трапеций OAKD и OAHC.

Определенный интеграл

Поскольку площадь криволинейной трапеции ОАНС зависит от х, то её можно изобразить символом S(х). Аналогично, площадь криволинейной трапеции CHKD является функцией от Определенный интеграл и её можно обозначить Определенный интеграл. Поэтому площадь криволинейной трапеции CHKD равна разности Определенный интеграл и S(х) и обозначается символом Определенный интеграл

Построим два прямоугольника CHED и CMKD. Площадь первого равна Определенный интегралПоскольку площадь криволинейной трапеции CHKD не меньшая площадь прямоугольника  CHED и не большая площади прямоугольника CMKD, то можно записать неравенство:

Определенный интеграл

Разделим обе части этого неравенства на Определенный интеграл и найдём пределы выражений при Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вспомним, что Определенный интеграл и учитывая непрерывность функции f(х), 

Определенный интеграл

получим:

Определенный интеграл

отсюда

Определенный интеграл,

то есть производная площади криволинейной трапеции равна функции, которая задаёт верхнюю границу трапеции.

Таким образом, площадь криволинейной трапеции является одной из первичных функций, которая задаёт верхнюю границу трапеции, и может быть вычислена с помощью интегрирования.

Определенный интеграл

Последнее равенство верно для всех х с промежутка Определенный интеграл. Подставим вместо х число Определенный интеграл. Получим Определенный интеграл. Но S(Определенный интеграл)=0, ведь криволинейная трапеция преобразуется в отрезок, поэтому Определенный интеграл Таким образом,

Определенный интеграл

При х=b получим выражение для вычисления площади криволинейной трапеции

Определенный интеграл

Полученное выражение для вычисления S является приростом первичной F(х) на Определенный интеграл. Поскольку первичные отличаются только на постоянную, то очевидно, что все они будут иметь одинаковый прирост на промежутке Определенный интеграл. Отсюда выходит ещё одно определение определённого интеграла:

определённым интегралом называют прирост произвольной первичной при изменении аргумента от Определенный интеграл до b.

Данное определение записывают в виде формулы Ньютона-Лейбница:

 Определенный интеграл

где F(х) — первичная для функции f(х).

Основные свойства определённого интеграла

Все ниже приведённые свойства сформулированы в предположении, что данные функции интегрированы на определённых промежутках.

1. Определённый интеграл с одинаковыми границами интегрирования равен нулю:

Определенный интеграл

2. При перестановке границ интегрирования определённый интеграл меняет знак на противоположный:

Определенный интеграл

3. Отрезок интегрирования можно разбивать на части:

Определенный интегралгде Определенный интеграл

4. Постоянный множитель можно вынести за знак определённого интеграла:

Определенный интеграл

5. Определённый интеграл от алгебраической суммы конечного числа функции равен алгебраической сумме определённых интегралов от функции, сто доказываются:

Определенный интеграл

Доказательство свойств базируется на формуле ньютона-Лейбница. Как пример, докажем свойство 3:

Определенный интегралОпределенный интеграл

что и требовалось доказать.

Данное свойство легко иллюстрировать графически (рис. 3).

Определенный интеграл

Определенный интеграл

илиОпределенный интеграл

На рис. 3 легко увидеть справедливость утверждения теоремы о среднем.

Теорема. Если функция f(х) непрерывна на промежутке Определенный интеграл, то существует точка с которая принадлежит данному промежутку, такая, что

Определенный интеграл

То есть, площадь криволинейной трапеции Определенный интеграл равна площади прямоугольника со сторонами f(с) и (b — Определенный интеграл).

Непосредственное вычисление определённого интеграла

Для вычисления определённого интеграла при условии существования первичной пользоваться формулой Ньютона-Лейбница:

Определенный интеграл

По этой формуле виден порядок вычисления определённого интеграла:

1) найти неопределённый интеграл от данной функции;

2) в полученную первичную подставить на место аргумента сначала в верхнюю, а потом нижнюю границу интеграла;

3) найти прирост первично, то есть вычислить интеграл.

Пример 1: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Использовав указанные правила, вычислим данный определённый интеграл:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Используем определение степени с дробным отрицательным показателем и вычислить определённый интеграл:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 3: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Интеграл от разности функций заменим разностью интегралов от каждой функции.

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 4: Вычислить интеграл:

Определенный интеграл

Решение: Используем определения степени с дробным показателем, правило деления суммы на число и вычислить определённый интеграл от суммы:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Вычисление определённого интеграла методом подстановки

Вычисление определённого интеграла методом подстановки выполняется в такой последовательности:

1) ввести новую переменную;

2) найти дифференциал новой переменной;

3) найти новые границы определённого интеграла;

4) всё подынтегральное выражение выразить через новую переменную;

5) вычислить полученный интеграл.

Пример 5. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Сделаем замену Определенный интеграл тогда Определенный интеграл

Вычислим границы интегрирования для переменной t.

При х=0 получаем tн=8-0=8, при х=7 получим tb=8-7=1.

Выразим подынтегральное выражение через t и dt и перейдём к новым границам, получим:

Определенный интеграл

Пример 6. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Будем считать, что х3+2=t, тогда Определенный интеграл. Определим границу интегрирования для переменной t. При х=1, получим Определенный интеграл при х=2 получим Определенный интеграл

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, затем перейдём к новым пределам, получим:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 7. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Пусть Определенный интеграл тогда Определенный интеграл

Вычислим границы интегрирования для переменной t:

Определенный интеграл

Выразим подынтегральное выражение через t и dt, и перейдём к новым пределам, получим:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Пример 8. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение: Сначала преобразуем подынтегральное выражение:

Определенный интеграл

Вычислим интеграл от разности функций, заменив его разностью определённых интегралов от каждой функции:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Вычисления определённого интеграла частями

Если функции Определенный интеграл и их производные Определенный интеграл непрерывны на промежутке Определенный интеграл, то формула интегрирования для определённого интеграла имеет вид:

Определенный интеграл.

Пример 9. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

Пример 10. Вычислить интеграл: Определенный интеграл

Решение:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

Приближённые методы вычисления определённых интегралов

В тех случаях, когда вычислить определённый интеграл по формуле Ньютона-Лейбница невозможно или сложно, используют методы приближённого интегрирования. Все они основываются на простых геометрических построениях. Очевидно, что при достаточно малом отрезке Определенный интеграл площадь S криволинейной трапеции приближённо равна площади прямоугольника («левого» прямоугольника рис. 4а, и «правого» прямоугольника рис. 4б), трапеции (рис. 5) или параболы (рис. 6).

Определенный интеграл

Запишем следующие приближённые равенства:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Чтобы добиться большей точности при нахождении площади S, промежуток от Определенный интеграл разбивают на n равных частей (рис. 7) (при приближении параболами промежуток разбивают на 2n частей).

Определенный интеграл

Если для каждой из маленьких дуг использовать предыдущие приближения, то для всей площади S получим приближённое значение представленное в виде суммы площадей криволинейных трапеций:

Определенный интеграл

Первые две формулы носят названия формул «левых» и «правых» прямоугольников соответственно, третья — формулы трапеции, а последняя — формулы Симпсона.

Пример 11. Вычислить по формулам прямоугольников и трапеций Определенный интеграл при n=10.

Решение: Разделим отрезок [0; 1] на (n=10) заданное количество частей. Тогда составим таблицу значений подынтегральной функции в точках разбиения.

Определенный интеграл

По формуле «левых» прямоугольников имеем:

Определенный интеграл

По формуле «правых» прямоугольников имеем:

Определенный интеграл

По формуле трапеции получим:

Определенный интеграл

Для достижения большей точности число разбиений отрезка необходимо увеличить, например взять n=20.

Практическое применение определённого интеграла

С помощью определённого интеграла можно решать задачи физики, механики и т. д., которые тяжело или невозможно решить методами элементарной математики. Так, понятия определённого интервала используют при решении задач на вычисление площади фигур, работы переменной силы, давления на вертикальную поверхность, пути, пройденного телом и ряда других. Рассмотрим некоторые из них.

Вычисление площадей плоских фигур

Если фигура Ф является криволинейной трапецией, то её площадь Sф согласно геометрическому содержанию определённого интеграла равна:

Определенный интеграл

Если фигура Ф  не является криволинейной трапецией, то вычисления её площади сводится к одному из следующих случаев:

а) кривая у=f(х)<0 на Определенный интеграл,

Определенный интеграл

в этом случаи площадь можно вычислить по формуле:

Определенный интеграл

б) если f(х)= Определенный интеграл

Определенный интеграл

в этом случаи для нахождения площади фигуры находят точку с, как абсциссу точки перегиба графиков функций Определенный интеграл а площадь вычисляют по формуле:

 Определенный интеграл

в) если фигура ограничена двумя кривыми у=f1(х) и у=f2(х), (Определенный интегралОпределенный интеграл),

Определенный интеграл

в этом случаи площадь Sф находят по формуле:

Определенный интеграл

Пример 12. Вычислить площадь фигуры, ограниченную гиперболой ху=1, осью ОХ и прямыми х=1; х=е (рис. 11).

Определенный интеграл

Решение: Использовав формулу вычисления площади криволинейной трапеции, получаем:

Определенный интеграл

Ответ: S=1 кв. ед.

Пример 13. Вычислить площадь фигуры ограниченной линиями у=х2 и у2=х (рис. 12).

Определенный интеграл

Решение: найдём пределы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=х2 и у2=х. Для этого решим систему:

Определенный интеграл

Вычисление площади фигуры сводится к случаю в) Определенный интеграл поэтому

Определенный интеграл

Ответ: Sф = 1/3 кв. ед.

Пример 14. Вычислить площадь фигуры ограниченной параболами у=4-х2; у=х2-2х (рис. 13).

Определенный интеграл

Решение: Найдём границы интегрирования, то есть абсциссы точек перегиба графиков функций у=4-хи у=х2-2х. Для этого решим систему:

Определенный интеграл

Искомую площадь вычисляем по формуле

Определенный интеграл

Ответ: S=9 кв. ед.

Объём тела вращения

Объём тела, образованного вращением вокруг оси ОХ криволинейной трапеции Определенный интеграл, ограниченной непрерывной кривой у=f(х), (где Определенный интеграл),  отрезком Определенный интеграл оси ОХ и отрезками прямых Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 14), вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 15. Вычислить объём шара радиусом R (рис. 15).

Решение: Шар образован вращением вокруг оси ОХ круга, ограниченного кругом х22=R2 с центром в начале координат и радиусом R.

Определенный интеграл

Учитывая симметрию круга относительно оси ординат, сначала найдём половину искомого объёма:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл (куб. ед.).

Путь, пройденный точкой

Если точка движется прямолинейно и её скорость Определенный интеграл является известной функцией времени, то путь, который прошла точка за промежуток времени Определенный интеграл, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 16. Тело движется прямолинейно со скоростью Определенный интеграл Найти путь, пройденный телом за 10 с.

Решение: Используя формулу находим:

Определенный интеграл.

Ответ: S = 250 (м).

Пример 17. Скорость тела, которое движется прямолинейно равна Определенный интеграл Определенный интеграл Вычислить путь, который прошло тело от начала движения до остановки.

Решение: В момент остановки скорость тела равна нулю, то есть

Определенный интеграл

Следовательно, тело остановится через 4 с.

Путь, который прошло тело за это время, вычисляем по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: Определенный интеграл

Работа силы.

Если переменная силы F=F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке Определенный интеграл вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Пример 18. Вычислить работу силы, которая необходима при сжимании пружины на 0,08 м., если для сжимания её на 1 см., необходима сила 10Н.

Решение: Согласно закона Гука, сила F, которая растягивает или сжимает пружину на х метров, равна F=kх, где k — коэффициент пропорциональности.

Следовательно, 10=k*0.01, то есть k=1000, отсюда F=kx=1000x.

Искомую работу находим по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: А= 3,2 (Дж).

Пример 19. Сила 196,2Н растягивает пружины на 18 см. Какую работу она выполняет?

Решение: Согласно закона Гука F=kx, отсюда Определенный интеграл F = 1090х. Находим искомую работу:

Определенный интеграл

Ответ: А=17,7 (Дж).

Пример 20. Для сжатия пружины на 3 см. необходимо выполнить работу в 16 Дж. На какую длину можно сжать пружину, выполнив работу в 144 Дж.?

Решение: Согласно закона Гука, F=kx; тогда

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Ответ: Пружину можно сжать на 9 см.

Сила давления жидкости

Сила давления Р жидкости плотностью р на вертикальную пластину, погружённую в жидкость, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Где Определенный интеграл ускорение свободного падения, S — площадь пластинки, а глубина погружения пластинки меняется от a до b.

Пример 21. Вычислить силу давления воды на одну из стенок аквариума, длиною 30 см. и высотою 20 см.

Решение: Стенка аквариума имеет форму прямоугольника, поэтому S=0,3х, где Определенный интеграл. Плотность воды равна 1000 кг/м3. Тогда сила давления воды на стенку аквариума, вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Ответ: Р=58,86 (Н).

Пример 22. Вычислить силу давления бензина на стенки цилиндрического бака высотой 3 м. и радиусом 1 м. 

Решение: Площадь поверхности стенки цилиндрического бака Определенный интеграл, где Определенный интеграл. Плотность бензина — 800 кг/м3. Тогда сила давления бензина на стенки бака будет:

Определенный интеграл

Ответ: Р= 2,2*105 (Н).

Пример 23. Вычислить давление воды на погружённую в неё вертикальную треугольную пластину, с основанием 6 м. и высотой 2 м., считая, что вершина треугольника лежит на поверхности воды, а основание параллельно ей (рис. 16).

Определенный интеграл

Решение: Пусть NM — ширина пластины на уровне BE=х. Из схожих треугольников ABC и MBN, находим

Определенный интеграл

Использовав формулу получаем:

Определенный интеграл

Ответ: Р = 78480 (Н).

Несобственные интегралы

Интегралы с бесконечными границами интегрирования или от функций, которые имеют бесконечный разрыв называют несобственными.

Несобственные интегралы с бесконечными границами интегрирования определяют следующим образом:

Определенный интеграл

где с — произвольное действительное число.

Несобственные интегралы от функций с бесконечными разрывами также вычисляют через предельный переход.

Если функция разрывная на одном конце отрезка интегрирования, например, в точке х=b, то

Определенный интеграл

если же функция f(х) имеет безграничный разрыв в точке х=с, где Определенный интеграл и непрерывна во всех других точках этого промежутка, то

Определенный интеграл

Если приведённые выше пределы существуют для конкретного интеграла, то его называют сходящимся, если же предела не существует — расходящимся.

Поскольку вычисление пределов — трудоёмкая работа, то иногда для вычисления схожести несобственного интеграла можно воспользоваться признаком схожести:

Признак схожести: Пусть Определенный интеграл Тогда, если Определенный интеграл сходящийся, то и Определенный интеграл будет сходящимся.

Геометрически, в прямоугольной системе координат, несобственный интеграл — это площадь криволинейной трапеции с бесконечной основой либо «незакрытой» сверху.

Определенный интеграл

Пример 1: Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение: Это несобственный интеграл с верхней границей равной Определенный интеграл. Согласно определения

Определенный интеграл

Следовательно, интеграл сходящийся.

Пример 2: Вычислить интеграл Определенный интеграл

Решение: Это несобственный интеграл, так как функция Определенный интеграл неопределённая в точке х=0 и Определенный интеграл. Согласно определениям

Определенный интеграл

Вычислим Определенный интеграл частями:

Определенный интеграл

Ответ:Определенный интеграл

История определенного интеграла

Интегральный расчет получен в результате определения площади и объема. Эмпирически обнаруженные правила измерения площади и объема некоторых простейших фигур были известны древним восточным ученым. Уже в 2000 году до нашей эры. Египтяне и вавилоняне, в частности, знали правила расчета площади круга и расчета объема усеченной пирамиды на основе квадрата. Древнегреческая наука значительно продвинула расчет площади и объема различных фигур. Особенно значительный вклад внес Архимед. Архимед обнаружил множество человеческих территорий и значительное количество объемов тела, основываясь на идее, что плоская фигура состоит из бесчисленных прямых линий, а геометрическое тело состоит из бесчисленных параллельных плоских частей.

Архимед (287-212 до н.э.) — древнегреческий математик, физик, астроном и изобретатель. Родился в Сиракуз (Сицилия) и жил во времена Первой и Второй Поенских войн. Архимед является автором многих технических изобретений. Ирригационные машины с нулевой точкой, подъемные механизмы (винты Архимеда), рычажные системы, блоки для подъема тяжелых предметов, военные метательные машины. Его метательная машина заставила римлян отказаться от попыток совершить набег на город и заставить их пойти на осаду.

Математические исследования Архимеда намного опередили свое время и были правильно оценены только в эпоху исчисления. Архимед вычислил площадь эллипса, параболы и осколков из сегментов и нашел площадь поверхности и шара, сегмент шара и сферы, а также объем различных вращающихся тел и их сегментов. Он также относится к понятию центра тяжести тела, находит положение центра тяжести различных людей и тел и дает математический вывод закона биений. Архимед, как сообщается, находит решение проблемы определения количества золота и серебра в короне жертвоприношения короля Сиракузы Иерона во время омовения и крика «Эврика!» Его величайшим достижением в астрономии было создание планетария — полой вращающейся сферы, которая могла наблюдать Солнце и пять планет, фазы Луны, а также движение Солнца и лунное затмение.

Архимед был убит римским солдатом во время захвата Сиракузы. Согласно легенде, он сталкивался со словами «Не трогай мою фотографию». На могиле Архимеда был установлен памятник с изображением шара и цилиндра вокруг него. Надпись показала, что эти объемы тела i, i называются двумя.

Систематическое развитие подобные представления получили значительно позже — лишь в Определенный интеграл веке.

Теорема Архимеда о том, что площадь круга равна площади треугольника с основанием, равным окружности, и высотой, равной радиусу, I. Площадь круга состоит из бесконечного числа треугольников, которые в совокупности равны одинаковой высоте, радиусу и треугольнику, основание которого равно сумме всех оснований, окружности.

Кеплер (Kepler) Йохан (1571-1630) — немецкий астроном и математик. Родился в Вайль-дер-Штадт (Вюртемберг, Германия). Обрабатывая наблюдения датского астронома Г. Врага, он установил три закона движения планет. Он изложил теорию солнечных и лунных затмений, их причины и методы прогнозирования. Изобрел самый легкий телескоп. Это до сих пор называют его именем. Он нашел 92 вращающихся тела как оригинальный метод интеграции.

Используя такие рассуждения, Кеплер нашел объем многих новых революционных тел. Закон Кеплера, известный в астрономии, также был фактически получен с использованием приближенного интегрирования.

Удивительно остроумный трюк Архимеда. Но Кеплер и другие ученые не были строгими, и, самое главное, в принципе, они обладали свойством геометрического преобразования.

Кавальер и, Торричелли, Ферма, Паскаль и другие ученые Определенный интеграл века еще больше приблизились к современным представлениям об интеграле. Барроу установил связь между задачей о разыскании площади и задачей о разыскании касательной. А И. Ньютон и Г. Лейбниц независимо друг от друга в 70-х годах Определенный интеграл века отделили эту связь от упомянутых частных геометрических задач и создали алгоритмы дифференциального и интегрального исчислений.

И. Ньютон открыл взаимность операций дифференциации и интеграции. Он отметил, что все задачи нового анализа сводятся к двум взаимно противоположным задачам, которые можно сформулировать с точки зрения механики: 1) Использование известного пути к скорости в определенный момент 2) определите путь, пройденный в конкретное время по известной скорости движения. В данном случае «время» понималось просто как общее обсуждение всех переменных. Он также вводит понятие дифференциации. И. Ньютон намечает программу построения анализа на основе учения о пределе, не давая впрочем формального определения этого понятия, получившего глубокое развитие в математике Определенный интегралвека.

Г. Лейбниц использует нотацию для выражения определенных различных способов вычисления площадей и получения касательных в единую систему взаимосвязанных аналитических концепций и для бесконечного отслеживания действий определенных алгоритмов. Это может быть выполнено. Кроме того, различие в основном понималось как небольшая разница между двумя смежными значениями величины (поэтому символ Определенный интеграл-первая буква латинского слова Определенный интеграл (дифференция) — разница и отношение производной к производной) кривой считалась многоугольником с бесконечно большой бесконечно малой стороной, касательной в виде прямой линии, следующей за одной из таких сторон. Г. Лейбниц ввел понятие интегрирования как сумму бесконечного числа производных. Следовательно, Г. Основной концепцией анализа Лейбница была дифференциация как дифференциал и интеграция как сумма.

Дальнейшее развитие методы интегрирования получили в Определенный интеграл и Определенный интегралвеках. В Определенный интеграл веке в работах Л. Эйлера были найдены практически все известные в настоящее время приемы интегрирования в элементарных функциях. В Определенный интегралвеке О. Коши он аналитически доказал существование интегралов от непрерывных функций, реконструированных производных и интегральных вычислений и построил концепцию пределов функций в качестве основы для них.

Дальнейшее обобщение концепции интеграции связано с немецким ученым Б. Риманом и французским ученым А. Лебегом.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по высшей математике:

Определенный интеграл в математике

Пусть на отрезке Определенный интеграл задана функция Определенный интеграл Проделаем следующие 5 операций над отрезком Определенный интеграл и функцией Определенный интеграл

1. Раздробим отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл частей при помощи точек Определенный интеграл где

Определенный интеграл

Для единообразия обозначений положим еще Определенный интеграл Наибольшую из разностей Определенный интеграл где Определенный интеграл мы обозначим через Определенный интеграл. Эта величина, характеризующая, насколько мелко раздроблен отрезок Определенный интеграл

называется рангом произведенного дробления.

2. На каждом отрезке Определенный интеграл выберем по точке Определенный интеграл и вычислим значение Определенный интеграл нашей функции Определенный интеграл в этой точке.

3. Умножим Определенный интеграл на длину Определенный интеграл отрезка Определенный интеграл

4. Сложим все полученные произведения, т. е. составим сумму

Определенный интеграл

Эта сумма носит название интегральной суммы или суммы Римана (по имени немецкого математика 19-го века, изучавшего такие суммы).

5. Будем измельчать произведенное дробление, заставляя Определенный интеграл стремиться к нулю. Во многих случаях при этом измельчении сумма Римана будет стремиться к некоторому конечному пределу Определенный интеграл не зависящему ни от способа, каким выбираются точки деления Определенный интеграл ни от того, как выбираются промежуточные точки Определенный интеграл

Этот предел

Определенный интеграл

и называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл по промежутку Определенный интеграл Он обозначается символом

Определенный интеграл

Числа Определенный интеграл называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок Определенный интеграл — промежутком интегрирования. Таким образом Определенный интеграл есть конечный предел суммы Римана при стремлении к нулю ранга дробления, порождающего эту сумму

Определенный интеграл

Так как определенный интеграл есть предел некоторой переменной величины, а вовсе не всякая переменная имеет предел, то не у всякой функции существует определенный интеграл. Однако справедлива важная

Теорема. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то интеграл

Определенный интеграл

существует.

Эту теорему мы примем без доказательства. В дальнейшем будут рассматриваться, главным образом, функции непрерывные, хотя справедлива и более общая

Теорема. Интеграл Определенный интеграл существует, если Определенный интеграл кусочно непрерывна.

Понятие .кусочно непрерывной* функции легко разъяснить на простом примере. Пусть Определенный интеграл функция Определенный интеграл задана и непрерывна на Определенный интеграл а функция Определенный интеграл на Определенный интеграл Тогда функция Определенный интеграл совпадающая с Определенный интеграл при Определенный интеграл и Определенный интеграл при Определенный интеграл (чему равно Определенный интеграл безразлично), как бы состоит из двух непрерывных кусков (рис. 199). Такая функция и называется .кусочно непрерывной*. Она может состоять и из нескольких непрерывных кусков. Все же, если не будет оговорено противное, подынтегральные функции будут предполагаться непрерывными.

Определенный интеграл

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Геометрический смысл интеграла

Пусть Определенный интеграл — положительная непрерывная функция, заданная на отрезке Определенный интеграл

Заметим, что дробление, т. е. набор точек деленияОпределенный интеграл не полностью определяет сумму Определенный интеграл Для задания Определенный интеграл нужно указать еще промежуточные

точки Определенный интеграл

Рассмотрим (рис. 200) фигуру, ограниченную снизу осью Определенный интеграл сверху линией Определенный интеграл (т. е. графиком нашей функции), а с боков прямыми Определенный интеграл Определенный интеграл Если бы линия Определенный интеграл

была прямой, то наша фигура представила бы собой обыкновенную трапецию. В общем же случае эта фигура называется криволинейной трапецией.

Найдем площадь Определенный интеграл этой криволинейной трапеции. Для этого разложим отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл малых отрезков точками

Определенный интеграл

Если через точки деления провести прямые Определенный интеграл то они разрежут нашу криволинейную трапецию (рис. 201) на Определенный интеграл узких полосок. Каждую из этих полосок можно приближенно принять за прямоугольник. В самом деле, если бы функция Определенный интеграл в пределах отрезка Определенный интеграл была постоянной, то полоска, имеющая своим основанием этот отрезок, и в самом деле была бы прямоугольником. В действительности Определенный интеграл не будет постоянной на Определенный интеграл но благодаря своей

Определенный интеграл

непрерывности эта функция не успевает заметно измениться на Определенный интеграл если только этот отрезок весьма мал. Иными словами, Определенный интеграл почти постоянна на отрезках Определенный интеграл когда эти отрезки малы, а это и значит, что упомянутые полоски почти являются прямоугольниками (один такой прямоугольник заштрихован на рис. 201). Принимая за значение Определенный интеграл на всем Определенный интеграл ее значение в какой-нибудь точке Определенный интеграл этого отрезка (выбор этой точки безразличен, поскольку речь все равно идет о приближенном подсчете, а все точки отрезка Определенный интеграл равноправны), получаем, что высотой прямоугольника, за который мы принимаем нашу полоску, будет Определенный интеграл

Поскольку длина основания этого прямоугольника, очевидно, равна Определенный интеграл то площадь одной полоски приближенно равна произведению Определенный интеграл Отсюда для интересующей нас площади Определенный интеграл всей криволинейной трапеции получается приближенное равенство

Определенный интеграл

Из самого вывода ясно, что точность этого равенства тем выше, чем меньше отрезки Определенный интеграл т. е. чем меньше ранг дробления Определенный интеграл Но тогда точное значение площади Определенный интеграл будет пределом написанной суммы при Определенный интеграл

Определенный интеграл

Поскольку, однако, сумма (8) является суммой Римана, то по самому

Определенный интеграл

определению ее пределом при Определенный интеграл

служит интеграл

Определенный интеграл

Таким образом мы приходим к формуле

Определенный интеграл

Читая ее справа налево, выясняем

Геометрический смысл интеграла.

Если Определенный интеграл

непрерывна и положительна на Определенный интеграл то интеграл Определенный интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями

Определенный интеграл

Интеграция может быть использована для поиска областей, объемов, центральных точек и многих полезных вещей. Но это часто используется, чтобы найти область под графиком функции

Определенный интеграл

Примеры с решением

Пример 1:

Найти Определенный интеграл

Решение:

Фигура, ограниченная линиями Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 202), есть обыкновенная трапеция. Ее площадь равна полусумме оснований, умноженной на высоту:

Определенный интеграл

откуда

Определенный интеграл

Пример 2:

Найти Определенный интеграл

Решение:

Линия Определенный интеграл есть расположенная выше Определенный интеграл половина окружности Определенный интегралТа часть линии, которая получается при изменении Определенный интеграл лежит в 1-м координатном угле. Отсюда ясно, что фигура, ограниченная линиями Определенный интеграл является (рис. 203) четвертью круга с центром в начале координат и радиусом Определенный интеграл Площадь этой фигуры равна Определенный интеграл откуда

Определенный интеграл

Сейчас мы еще не научились вычислять определенные интегралы, я в этих примерах нам пришлось прибегнуть к помощи геометрии. В дальнейшем, наоборот, с помощью интегрального исчисления мы сможем вычислять площади различных криволинейных фигур *).

Два простейших свойства интеграла. Когда мы занимались неопределенными интегралами, то отмечали, что

Определенный интеграл

Таким образом, в записи подынтегральной функции и в записи результата интегрирования независимая переменная обозначалась одной и той же буквой. Стало быть, обозначение этой независимой переменной, которую называют переменной интегрирования, оказывалось существенным .

Это становится ясным, если мы вспомним хотя бы, как вычисляетсяинтеграл Определенный интеграл Ведь его надо записать сначала в виде Определенный интеграл а затем в виде Определенный интеграл Значит, Определенный интегралОпределенный интеграл Таким образом, нам совсем не безразлично, написать ли Определенный интеграл (что верно) или Определенный интеграл (что уже неверно!).

I. Обозначение переменной интегрирования в определенном интеграле никакой роли не играет

Определенный интеграл

Читатель сразу поймет это, если задаст себе вопрос: который из двух интегралов Определенный интеграл

Больше? Ясно, что они одинаковы! Более отчетливо мы разберемся в этом, если заметим, что для вычисления любого из интегралов мы должны разбить отрезок [3, 5] на мелкие части, в каждой части выбрать по точке и вычислить в ней значение подынтегральной функции (а она в обоих интегралах одна и та же: удвоенный куб аргумента, сложенный с самим аргументом) и т. д. Иными словами все вычисления в обоих случаях будут тождественными. Также обстоит дело и в более общем случае интегралов чем и доказано формулированное свойство Определенный интеграл чем и доказано формулированное свойство I определенного интеграла.

Переходя к другому важному его свойству, заметим, что в выражении

Определенный интеграл

мы предполагали Определенный интеграл Что же следует понимать под символом

Определенный интеграл

На этот вопрос легко ответить, если вспомнить геометрический смысл интеграла. В нашем случае боковые стороны криволинейной трапеции Определенный интеграл сливаются в одну прямую Определенный интеграли трапеция вырождается в прямолинейный отрезок (рис. 204). Площадь этого отрезка равна нулю, а потому и

Определенный интеграл

т.е.

Определенный интеграл с совпадающими пределами интегрирования равен нулю.

Например,

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла

Рассмотрим непрерывную функцию Определенный интеграл не принимающую отрицательных значений, так что график ее целиком лежит выше оси Определенный интеграл в некоторых точках. Пусть Определенный интеграл такие числа, что функция определена при Определенный интеграл Кривая Определенный интеграл и прямые Определенный интегралограничивают некоторую область плоскости, называемую областью под кривой Определенный интеграл от Определенный интеграл

или криволинейной трапецией.

Если требуется вычислить площадь Определенный интеграл криволинейной трапеции, то можно, например, покрыть плоскость сетью мелких квадратов и сосчитать число квадратов, лежащих внутри нашей области (рис. 12.1). Это не дает еще всей площади, поскольку некоторые из квадратов лежат частично внутри, а частично вне рассматриваемой области. Но если сделать сеть достаточно густой. то можно вычислить Определенный интеграл с любой степенью точности.

Можно вычислить площадь криволинейной трапеции и с помощью тонких прямоугольников. Лейбниц считал, что криволинейная трапеция составлена из бесконечно тонких прямоугольников (рис. 12.2). Каждый такой прямоугольник поднимается над точкой Определенный интегралинтервала Определенный интеграл он имеет высоту Определенный интеграл и бесконечно

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Малую ширину Определенный интеграл площадь ого равна, следовательно, Определенный интеграл Общая же площадь Определенный интеграл есть сумма всех таких площадей.

Напомним, Лейбниц писал Определенный интеграл Символ Определенный интеграл означал у него сумму. Этот символ происходит от удлинения буквы Определенный интеграл

(первой буква слова Summa). Погаже ученик Лейбница Иоган Вернул-ли предложил отличат!» «целостную сумму бесконечно малых» от обычной суммы и предложил знак именовать интегралом от латинского слова integrals (целостный). Фурье усовершенствовал обозначение Лейбница, предложив явно указывать начальное и конечное значения Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рассуждения математиков XIX века носили нестрогий характер. Термин бесконечно малая величина не был достаточно строго определен, что приводило к противоречиям. Строгое определение основано на понятии предела и интегральной суммы. Оно вобрало в себя качественный смысл определения Лейбница и устранило нечеткость формулировок.

Пусть функция Определенный интеграл неотрицательна на Определенный интеграл Разобьем отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл промежутков точками Определенный интеграл

Определенный интеграл

На каждом отрезке разбиения выберем точку Определенный интеграл и положим

Определенный интеграл

Тогда произведение Определенный интеграл равно площади прямоугольника Определенный интеграл ,-со сторонами Определенный интеграл

Сумма площадей всех таких прямоугольников равна сумме вида

Определенный интеграл

Эта сумма представляет площадь ступенчатой фигуры. Чем уже ступеньки, тем ближе площадь ступенчатой фигуры к площади криволинейной трапеции (рис. 12.2). Естественно ожидать, что при неограниченном возрастании числа промежутков, так что наибольшая из их длин стремится к нулю, сумма Определенный интеграл стремится к площади криволинейной трапеции Определенный интеграл

Введем теперь точное определение. Пусть на отрезке Определенный интеграл задана функция Определенный интеграл (теперь уже не обязательно неотрицательная). Разобьем отрезок Определенный интеграл на Определенный интеграл промежутков точками Определенный интеграл

Определенный интеграл

На каждом отрезке разбиения Определенный интеграл выберем точку Определенный интеграл и положим

Определенный интеграл

Сумму вида

Определенный интеграл

назовем интегральной суммой для функции Определенный интегралОчевидно, что интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка Определенный интеграл точками Определенный интеграл так и от выбора точек Определенный интегралОпределенный интеграл на каждом из промежутков разбиения Определенный интегралОпределенный интеграл Обозначим через Определенный интеграл максимальную из длин отрезков Определенный интеграл где Определенный интеграл

Определение. Пусть предел интегральной суммы

Определенный интеграл

при стремлении Определенный интеграл к нулю существует, конечен и не зависит от способа выбора точек Определенный интеграл Тогда этот предел называется определенным интегралом от функции Определенный интеграл на Определенный интеграл и обозначается

Определенный интеграл

а сама функция Определенный интеграл называется интегрируемой на отрезке Определенный интеграл т.е.

Определенный интеграл

Эта запись читается: «интеграл от а до бэ эф от икс дэ икс». При этом число Определенный интеграл называется нижним пределом, число Определенный интегралего верхним пределом («пределы интегрирования» не имеют ничего общего с термином «предел функции»); функция Определенный интеграл подынтегральной функцией, выражение Определенный интеграл подынтегральным выражением, а задача о нахождение Определенный интеграл интегрированием функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Несмотря на сходство в обозначениях и терминологии, определенный и неопределенный интегралы существенно различные понятия. Неопределенный интеграл представляет функцию (а точнее семейство функций), а определенный интеграл — это число.

Из определения следует, что величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования, т. е. Определенный интеграл

Верхний предел Определенный интеграл может быть больше или меньше нижнего Определенный интеграл

В первом случае Определенный интеграл

Определенный интеграл Во втором случае

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Поэтому по определению полагают

Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла распространяют и на случай Определенный интеграл интеграл с равными пределами считается равным нулю:

Определенный интеграл

Это соглашение оправдано тем, что интегральная сумма стремится к нулю при сближении Определенный интеграл

Очевидно, если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она и ограничена на этом отрезке. В самом деле, если Определенный интеграл не ограничена на отрезке Определенный интеграл то она не ограничена на некотором отрезке Определенный интеграл За счет выбора точки Определенный интеграл

интегральную сумму можно сделать сколь угодно большой, а такая интегральная сумма не имеет конечного предела, что противоречит определению, согласно которому предел интегральной суммы Определенный интеграл существует и конечен.

Покажем на примере функции Дирихле, что обратное утверждение неверно: существует ограниченная функция, не являющаяся интегрируемой. Напомним, что функция Дирихле равна единице в рациональных точках и нулю — в иррациональных. На любом отрезке Определенный интегралэта функция ограничена, но не является интегрируемой на нем. Действительно, если в каждом отрезке Определенный интеграл выбрать рациональную точку Определенный интеграл то интегральная сумма

Определенный интеграл

Если выбрать иррациональную точку Определенный интеграл то Определенный интеграл и

Определенный интеграл

Таким образом, с одной стороны Определенный интеграл а, с другой стороны Определенный интеграл

Поэтому предел интегральных сумм не существует и функция Дирихле не является интегрируемой.

Отметим без доказательств, что справедливы следующие утверждения:

1. Если функцияОпределенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема на любом отрезке Определенный интеграл содержащимся в Определенный интеграл

2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема на этом отрезке.

3. Если функция Определенный интеграл имеет на отрезке Определенный интеграл конечное число точек разрыва первого рода, то она интегрируема на Определенный интеграл

Пример 3:

Вычислить Определенный интеграл

Решение. Запишем выражение для интегральной суммы, предполагая, что все отрезки Определенный интеграл разбиения имеют одинаковую длину Определенный интеграл равную Определенный интеграл где Определенный интеграл число отрезков разбиения, причем для каждого из отрезков , Определенный интеграл разбиения точка совпадает с правым концом этого отрезка, т.е Определенный интеграл где Определенный интеграл (В силу интегрируемости функции Определенный интеграл выбор такого «специального» способа разбиения отрезка интегрирования на части и точек , Определенный интеграл на отрезках разбиения не повлияет на искомый предел интегральной суммы.) Тогда

Определенный интеграл

Известно, что сумма квадратов чисел натурального ряда равна

Определенный интеграл

Следовательно,

Определенный интеграл

Анализ приведенного примера показывает, что успешное решение поставленной задачи оказалось возможным благодаря тому, что интегральную сумму удалось привести к виду, удобному для нахождения предела. Однако такая возможность существует далеко не всегда, поэтому долгое время задача интегрирования конкретных функций оставалась задачей чрезвычайно сложной.

Пример 4:

Вычислить: Определенный интеграл

Решение:

а) Произвольная первообразная для функции Определенный интеграл имеет вид Определенный интеграл Для нахождения интеграла 3 по формуле Ньютона—Лейбница возьмем такую первообразную, у которой Определенный интеграл (см. замечание выше). Тогда

Определенный интеграл

что совпадает, конечно, с результатом, полученным в примере 11.1.

б) Первообразную подынтегральной функции найдем, используя формулу (10.9). Применяя формулу Ньютона—Лейбница, получаем При нахождении интеграла из примера 11.26 было использовано свойство приращения первообразной

Определенный интеграл

где-Определенный интеграл некоторое число.

Заметим,что введеное ранее определение (11.2) и его следствие (11.3) согласованы с формулой Ньютона-Лейбница. Действительно,

Определенный интеграл

и

Определенный интеграл

Таким образом, и при применении формулы Ньютона-Лейбница несущественно, какой из пределов интегрирования больше: верхний или нижний.

Пример 5:

Вычислить Определенный интеграл

Решение:

Положим Определенный интеграл Тогда

Определенный интеграл Если Определенный интеграл то

Определенный интеграл Следовательно

Определенный интеграл

Рассмотрим теперь, как выполняется интегрирование по частям в определенном интеграле.

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла

Пусть неотъемлемая функция Определенный интеграл определена и непрерывна на отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл и Определенный интеграл — конечные числа.            

Задача о нахождении площади криволинейной трапеции

Пусть плоская фигура ограничена графиком функции Определенный интеграл осью Определенный интеграл вертикальными прямыми Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 23.1). Эта геометрическая фигура называется криволинейной трапецией для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл    

Определенный интеграл

Рис. 23.1

Необходимо определить ее площадь.
Для решения задачи выполним следующее:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл произвольно образом на Определенный интеграл частей точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных отрезков Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

Длину частичного отрезка Определенный интеграл обозначим через Определенный интегралОпределенный интеграл

3) вычислим значение функции Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и составим сумму произведений этих значений с длинами частичных отрезков:

Определенный интеграл

Сумма Определенный интеграл называется интегральной суммой для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл Геометрический смысл этой суммы очевиден — это сумма площадей прямоугольников с основами Определенный интеграл и высотами Определенный интеграл

4) найдем границу Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл и наибольшая (максимальная) длина частных отрезков Определенный интеграл стремится к нулю.

Если существует конечный предел интегральной суммы при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл то ее принимают за числовое значение площади Определенный интеграл криволинейной трапеции для Определенный интеграл на Определенный интеграл

Определенный интеграл

Задача об определении пройденного пути материальной точки

Задача об определении пройденного пути материальной точки за промежуток времени от Определенный интеграл до Определенный интеграл Пусть скорость прямолинейного движения материальной точки задана как функция времени Определенный интеграл Необходимо найти путь, который пройдет точка за промежуток времени от Определенный интеграл до Определенный интеграл

Если скорость не изменяется в течение времени, то есть Определенный интеграл — постоянная величина, то путь Определенный интеграл пройденный точкой за промежуток времени Определенный интеграл вычисляется по формуле Определенный интеграл

При переменной скорости совершаем те же действия, что и в предыдущей задаче:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл в Определенный интеграл частичных промежутков времени Определенный интеграл Определенный интеграл точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных отрезков времени Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

3) вычислим значения скорости Определенный интеграл в точке Определенный интеграл то есть Определенный интеграл на каждом отрезке времени Определенный интеграл и определим путь Определенный интеграл пройденный точкой за промежуток времени Определенный интеграл как произведение Определенный интеграл тогда весь путь, пройденный за время Определенный интеграл приближенно определяется интегральной суммой Определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при Определенный интеграл и при Определенный интеграл

Если существует конечный предел интегральной суммы (при условии — Определенный интеграл при Определенный интеграл), то ее и принимают за числовое значение пути Определенный интеграл пройденного материальной точкой за промежуток времени Определенный интеграл

Определенный интеграл

Задача о нахождении объема продукции

Пусть функция Определенный интеграл описывает зависимость производительности труда Определенный интеграл некоторого производства от времени Определенный интеграл Необходимо найти объем продукции Определенный интеграл произведенной за промежуток времени Определенный интеграл

Если производительность не меняется в течение времени, то есть Определенный интеграл — постоянная величина, то объем продукции Определенный интеграл произведенной за промежуток времени Определенный интеграл вычисляется по формуле Определенный интеграл При переменной производительности труда, используя приближенную равенство Определенный интеграл где Определенный интеграл которая будет тем более точной, чем меньше будет Определенный интеграл выполним следующие действия:

1) разобьем отрезок Определенный интеграл на промежутки времени Определенный интеграл точками:

Определенный интеграл

2) выберем на каждом из отрезков Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл

3) вычислим производительность труда в каждой точке Определенный интеграл то есть Определенный интеграл для каждого промежутка времени; определим объем продукции Определенный интеграл произведенной за время Определенный интеграл как произведение Определенный интеграл если на каждом промежутке времени Определенный интеграл считать производительность труда постоянной величиной; тогда полный объем продукции Определенный интеграл приближенно определяется как интегральная сумма для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

4) найдем границу Определенный интеграл если Определенный интеграл стремится к нулю и Определенный интеграл и получим объем продукции, произведенной за промежуток времени Определенный интеграл

Определенный интеграл

Следует отметить, что при решении этих трех различных задач, были выполнены одни и те же действия, и мы пришли к одному и тому же итоге — возникает необходимость определить границу интегральной суммы.

Если существует конечный предел интегральной суммы Определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл найденная при условии, что Определенный интеграл при неограниченном возрастании числа точек разбиения Определенный интеграл которая не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек Определенный интеграл то эта граница называется определенным интегралом функции Определенный интеграл на отрезкеОпределенный интеграл и обозначается Определенный интеграл Следовательно,

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — пределы интегрирования (Определенный интеграл — нижняя, Определенный интеграл — верхняя)

Определенный интеграл — подынтегральная функция;

Определенный интеграл — дифференциал переменной интегрирования;

Определенный интеграл — подынтегральное выражение.

Теорема 23.1 (о существовании определенного интеграла). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл или ограничена на нем и имеет конечное число точек разрыва первого рода, то существует конечное предел интегральной суммы, и она не зависит ни от способа разбиения отрезка на части, ни от выбора точек внутри них для составления интегральной суммы, то есть существует определенный интеграл от функции Определенный интеграл

Теорема существования определенного интеграла примем без доказательства.
Соответственно, функция Определенный интеграл для которой на отрезке Определенный интеграл существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.

Вернемся к первой из рассмотренных задач и приведем геометрический смысл определенного интеграла: если функция Определенный интеграл неотъемлемая на конечном отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл то определенный интеграл

Определенный интеграл

численно равна площади криволинейной трапеции, ограниченной кривой Определенный интеграл отрезком Определенный интеграл и прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл

Основные свойства определенного интеграла

Поскольку по определению определенный интеграл является границей интегральной суммы, то доказательства его свойств базируется на свойствах границ с привлечением, для наглядности и лучшего понимания, геометрического содержания определенного интеграла.

1 (о интеграл с равными пределами интегрирования). Для любой интегрируемой функции Определенный интеграл определенный интеграл с равными пределами интегрирования равен нулю:

Определенный интеграл

ведь криволинейная трапеция вырождается в вертикальный отрезок.

2 (об изменении знака). Если функция Определенный интеграл интегрируема наОпределенный интеграл то имеет место формула

Определенный интеграл

то есть, если поменять местами пределы интегрирования, то определенный интеграл изменит свой знак на противоположный.

Действительно, в интегральной сумме приросты Определенный интеграл меняют знак на противоположный.

3 (о стабильном множителе). Если функция Определенный интеграл интегрируема на Определенный интеграл то постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:

Определенный интеграл

поскольку Определенный интеграл как общий множитель слагаемых интегральной суммы можно вынести за знак суммы и, соответственно, за знак границы.

4 (о определенном интеграле от суммы функций). Если функции Определенный интеграл и Определенный интеграл интегрируемые на Определенный интеграл то интеграл от их суммы или разности равна соответственно сумме или разности интегралов от этих функций:

Определенный интеграл

Справедливость (23.11) следует из того, что интегральную сумму левой части равенства можно представить в виде алгебраической суммы двух интегральных сумм:

Определенный интеграл

а по свойству границы суммы функций и получаем (23.11).

Свойство распространяется на любое конечное число слагаемых.

5 (о аддитивности). Если отрезок интегрирования разбит на две части, то определенный интеграл на Определенный интеграл равна сумме интегралов на этих частях:

Определенный интеграл

так как по геометрическим содержанием таком разбивке соответствуют две криволинейные трапеции, сумма площадей которых равна площади выходной трапеции.
Свойство распространяется на любое конечное число частей разбиения.

6 (о переходе к определенному интегралу в неровностях). Если на отрезке интегрирования Определенный интеграл значения функций Определенный интеграл и Определенный интеграл связанные неравенством Определенный интеграл то такой же, по знаку, неравенством связаны определенные интегралы от этих функций :

Определенный интеграл

Действительно, при одном и том же разбиении отрезка Определенный интеграл на части слагаемые интегральной суммы для Определенный интеграл и Определенный интеграл будут связаны тем же знаком неравенства, и те же функции, а предельный переход не изменит знака неравенства.

7 (о границах значений определенного интеграла). Если Определенный интеграл и Определенный интеграл — наибольшее и наименьшее значения функции Определенный интеграл то есть Определенный интеграл и Определенный интеграл то

Определенный интеграл

Если функция Определенный интеграл определена и непрерывна на отрезке Определенный интеграл то среди ее значений на этом отрезке существуют меньше Определенный интеграл и больше Определенный интеграл то есть Определенный интеграл (рис. 23.2). Тогда (23.14) можно рассматривать как следствие свойства (23.13), а именно:

Определенный интеграл

при этом

Определенный интеграл

тогда

Определенный интеграл

и свойство доказано.

Если доводить это свойство по геометрическим содержанием определенного интеграла (рис. 23.2), то площадь криволинейной трапеции, которая соответствует определенному интегралу, не может быть меньше (больше) за площадь прямоугольника с основанием Определенный интеграл высота которого, соответственно, наименьшим Определенный интеграл (крупнейшим Определенный интеграл) значением функции на Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 23.2

8 (теорема о среднем). Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то на нем найдется такая точка Определенный интеграл что:

Определенный интеграл

Таких точек на промежутке Определенный интеграл может быть несколько.
Отношение определенного интеграла от функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл к длине отрезка интегрирования называется средним значением функции:

Определенный интеграл

С геометрической точки зрения теорема о среднем (рис. 23.3) означает, что площадь под кривой Определенный интеграл на отрезке интегрирования Определенный интеграл равна площади прямоугольника с высотой Определенный интеграл и основой Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 23.3

Связь между определенным и неопределенным интегралами

Если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то она интегрируема и на отрезке Определенный интеграл где Определенный интеграл Интеграл от такой функции также является функцией от Определенный интеграл и называется интегралом с переменным верхним пределом интегрирования. Обозначим его через Определенный интеграл

Определенный интеграл

В этом выражении переменная интегрирования обозначена буквой Определенный интеграл чтобы отличить ее от верхней границы интегрирования. Численно функция Определенный интеграл равна площади криволинейной трапеции, основой которой является промежуток Определенный интеграл

Теорема 23.2. Если функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл то в каждой точке Определенный интеграл  производная от функции Определенный интеграл по переменным верхним пределом равна подынтегральной функции от верхней границы интегрирования, то есть:

Определенный интеграл

Доказательство. Для доказательства этой теоремы применим определение производной.
По условию функция Определенный интеграл непрерывна на отрезке Определенный интеграл поэтому она непрерывна и на любом отрезке Определенный интеграл Предоставим аргумента Определенный интеграл прирост Определенный интеграл тогда и функция Определенный интеграл также получит некоторый прирост Определенный интеграл

Определенный интеграл

Последний интеграл было получено с помощью свойства 5 определенного интеграла. Поскольку

Определенный интеграл

то применяя на отрезке Определенный интеграл теорему о среднем (23.15), получим:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл

Переходя к пределу при Определенный интеграл а также ввиду того, что при этом Определенный интеграл и Определенный интеграл получим:

Определенный интеграл

Равенство Определенный интеграл значит, что функция Определенный интеграл является первоначальной для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл Следовательно, с теоремы 23.2 следует важное следствие: для всякой непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл существуют первобытные на этом отрезке, одной из которых является определенный интеграл с переменным верхним пределом. Поэтому согласно определению неопределенного интеграла в семье первичных имеем:

Определенный интеграл

Формула (23.19) описывает связь между определенным и неопределенным интегралами: неопределенный интеграл является суммой определенного интеграла с переменным верхним пределом и произвольной действительной постоянной.

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема 23.3 (основная формула интегрального исчисления). Если функция Определенный интеграл интегрируема на отрезке Определенный интеграл то определенный интеграл от Определенный интеграл Определенный интеграл является разницей значений любой из ее первоначальных функций Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и Определенный интеграл

Определенный интеграл

Формула (23.20) для вычисления определенного интеграла называется формулой Ньютона-Лейбница

Доказательство основывается на соотношении (23.19), которое позволяет любую первоначальную функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл записать так: Определенный интегралОпределенный интеграл. Последнее равенство будет справедливой при соответствующем выборе постоянной Определенный интеграл для всех значений Определенный интеграл

Подставляя вместо Определенный интеграл поочередно Определенный интеграл и Определенный интеграл получаем (23.20):

Определенный интеграл

Отметим, что поскольку все первоначальные отличаются друг от друга только константой, то разница Определенный интеграл не зависит от выбора Определенный интеграл

Для обозначения прироста первоначальной на отрезке Определенный интеграл вводят символ двойной подстановки Определенный интеграл который удобно использовать при решении примеров:

Определенный интеграл

Заметим, что именно формула Ньютона-Лейбница отображает тесная связь между неопределенным и определенным интегралами. По этой формуле вычисления определенного интеграла сводится к двум шагов:

1) нахождение одной из первоначальных Определенный интеграл для Определенный интеграл на Определенный интеграл (по сути это нахождение неопределенного интеграла)
2) вычисление значений первоначальной в точках, соответствующих границам интегрирования и определение разницы между ее значениями на верхней и нижней границах.

Вычислим определенный интеграл: Определенный интеграл

Обычно шаги 1), 2) осуществляют одной цепочкой:

Определенный интеграл

Методы вычисления определенного интеграла

При вычислении определённых интегралов используются методы непосредственного интегрирования, замены переменной (подста-. новки) и интегрирования по частям. Непосредственное интегрирование предполагает сведение данного интеграла с помощью алгебраических и арифметических преобразований к формулам таблицы основных интегралов и использование формулы Ньютона-Лейбница.

Непосредственное определенное интегрирование

Поскольку вычисления определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница предполагает сначала взятия неопределенного интеграла, а затем выполнение арифметических действий, то это означает, что принципиальных различий в методах нахождения неопределенного и вычисления определенного интегралов нет, следовательно, непосредственное вычисление определенного интеграла предусматривает непосредственное неопределенное интегрирование (нахождение одной из первоначальных).

Вычислим интеграл Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вычисление интеграла методом подстановки

Напомним, что существует два типа подстановок, которые используются при интегрировании с применением новой переменной: Определенный интеграл и Определенный интеграл

Пусть для определенности при вычислении интеграла Определенный интеграл проведения подстановкуОпределенный интеграл

Теорема 23.4 (о замене переменной в определенном интеграле). если:
1) функция Определенный интеграл и ее производная Определенный интеграл непрерывные на отрезке [, α β];
2) значение Определенный интеграл в точках Определенный интеграл и Определенный интеграл такие, что Определенный интеграл и Определенный интеграл
3) составлена функция Определенный интеграл непрерывна на Определенный интеграл то

то сравнивая результаты интегрирования по переменным Определенный интеграл и Определенный интеграл получаем справедливость (23.22).

Подстановка Определенный интеграл в случае существования обратной к Определенный интеграл функции сводится к рассматриваемой: Определенный интеграл

Отметим, что при вычислении определенного интеграла методом подстановки нет необходимости возвращаться к исходной переменной, вместо этого нужно находить пределы интегрирования по новой переменной.

Вычислим определенные интегралы:

Определенный интеграл

Интегрирования по частям в определенном интеграле

Рассмотрим случай, когда при вычислении определенного интеграла нахождения первоначальной требует применения интегрирования по частям.

Теорема 23.5 (формула интегрирования по частям для определенного интеграла). Если в определенном интеграле Определенный интеграл подынтегральное выражение представлен в виде произведения Определенный интеграл где Определенный интеграл и Определенный интеграл — дифференцируемы на отрезке Определенный интеграл функции, то выполняется соотношение:

Определенный интеграл

Доказательство. Поскольку

Определенный интеграл

то

Определенный интеграл

Применяя к левой части последнего равенства формулу Ньютона-Лейбница, а также учитывая, что Определенный интеграл а vОпределенный интеграл d ¢ x d = v, получим

Определенный интеграл

отсюда окончательно имеем:

Определенный интеграл

Теорема доказана.

Соотношение (23.23) называется формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Если пределы интегрирования симметричны относительно нуля, то для упрощения вычислений целесообразно учитывать четности и нечетности подынтегральной функции.

Так, если Определенный интеграл — четная функция, то

Определенный интеграл

а если Определенный интеграл — нечетная функция, то

Это легко обосновать, опираясь на формулу Ньютона-Лейбница.
Вычислим определенные интегралы:

Определенный интеграл

Подынтегральная функция является четной, то есть Определенный интеграл поэтому

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Применение определенного интеграла в некоторых геометрических и экономических задачах

Длина дуги плоской кривой

Пусть функция Определенный интеграл является непрерывной и дифференцируемой на отрезке Определенный интеграл Найдем на этом отрезке длину линии, соответствующей графику данной функции.

Разобьем отрезок Определенный интеграл произвольным образом на Определенный интеграл частей точками разделения Определенный интеграл и впишем в дугу кривой ломаную линию (рис. 24.1) . Длиной дуги называется предел длины вписанной ломаной линии при неограниченном уменьшении длин ее звеньев.

Определенный интеграл

Рис. 24.1

Пусть абсциссами вершин ломаной линии имеет значение Определенный интеграл Тогда длина одного звена ломаной согласно теореме Пифагора определяется формулой:

Определенный интегралгде Определенный интеграл

Отсюда

Определенный интеграл

На каждом частичном отрезке Определенный интеграл функция Определенный интеграл удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа, поэтому существует точка Определенный интеграл такая, что

Определенный интеграл

Тогда

Определенный интеграл

Длина Определенный интеграл всей ломаной линии определяется как сумма длин ее звеньев: Определенный интегралОпределенный интеграл и представляет собой интегральную сумму для сложной функцииОпределенный интеграл

Следовательно, длина дуги кривой, соответствующей графику функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл составляет:

Определенный интеграл

Если кривая задана уравнениями в параметрической форме

Определенный интеграл

то длина дуги такой кривой определяется формулой:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значение параметра Определенный интеграл соответствующие концам дуги.

Наряду с хорошо известной декартовой системой координат Определенный интеграл в которой каждой точке плоскости соответствует пара чисел Определенный интеграл — проекций точки на координатные оси, пользуются также полярной системой координат.
Зафиксируем на плоскости некоторую точку Определенный интегралполюс — и луч Определенный интегралполярную ось. Выберем произвольным образом отличную от полюса точку Определенный интеграл (рис. 24.2).

Расстояние Определенный интеграл от полюса Определенный интеграл до точки Определенный интеграл называется полярным радиусом точки Определенный интеграл

Угол наклона Определенный интеграл полярного радиуса к полярной оси называется полярным углом точки Определенный интеграл В точке Определенный интеграл полярный угол определен.

Числа Определенный интеграл и Определенный интеграл называются полярными координатами точки Определенный интеграл, и пишут: Определенный интеграл илиОпределенный интеграл
Полюс Определенный интеграл полярная ось Определенный интеграл и масштабный (единичный) отрезок Определенный интеграл определяют полярную систему координат Определенный интеграл

Полярный угол определяется неоднозначно: при заданном Определенный интеграл точки с координатами Определенный интеграл где Определенный интеграл совпадают. Обычно значение Определенный интеграл берут из промежутка Определенный интеграл или Определенный интеграл и называют их главными значениями полярного угла.

Уравнения Определенный интеграл является уравнением линии Определенный интеграл в полярных координатах, если координаты любой точки Определенный интеграл на линии удовлетворяют его, и наоборот, если пара чисел Определенный интеграл удовлетворяет уравнению, то Определенный интеграл и Определенный интеграл являются координатами точки, принадлежащей линии:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — закон, который отображает свойство точек линии, Определенный интеграл и Определенный интегралтекущие координаты точек линии.

Связь между координатами точки в полярной Определенный интеграл и декартовой Определенный интеграл (рис. 24.3) системах координат легко устанавливается, если полюс совпадает с началом декартовой системы координат, а полярная ось лежит на оси абсцисс, и масштаб систем одинаков.

Определенный интеграл

Рис. 24.3

С Определенный интеграл получаем формулы перехода от декартовых к полярным координатам:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл или Определенный интеграл

Если дуга задается уравнением в полярных координатах:

Определенный интеграл

то по формулам (24.2) и (24.4) определяем:

Определенный интеграл

Следовательно, длину дуги в полярных координатах находим по формуле:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл и Определенный интеграл — значение полярного угла, соответствующие концам дуги.

Вычислить длину дуги кривой Определенный интеграл

Сначала надо установить пределы интегрирования. для этого найдем область определения данной функции, решив систему неравенств:

Определенный интеграл

Далее находим производную функции Определенный интеграл

Определенный интеграл

следовательно,

Определенный интеграл

По формуле (24.1) имеем:

Определенный интеграл

Рассмотрим пример нахождения длины дуги, если кривая заданная параметрически. Система уравнений

Определенный интеграл

определяет линию, которая называется астроидом (рис. 24.4). Найдем ее длину.

Определенный интеграл

Рис. 24.4

Кривая симметрична относительно осей Определенный интеграл и Определенный интеграл Следовательно, определим длину Определенный интеграл всей дуги, а именно той части, расположенной в первой четверти. Тогда параметр Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл до Определенный интеграл

Находим производные от Определенный интеграли сумму их квадратов:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

По формуле (24.2) получаем:

Определенный интеграл

Соответственно, длина всей астроиды равна: Определенный интеграл

Найдем длину дуги, заданной в полярных координатах уравнением Определенный интеграл Эта кривая называется кардиоидой (рис. 24.5).

Определенный интеграл

Рис. 24.5

Кардиоида симметрична относительно полярной оси, поэтому найдем половину ее длины. Итак, полярный угол Определенный интеграл будет изменяться от Определенный интеграл до Определенный интеграл
Имеем: Определенный интеграл

Определенный интеграл

По формуле (24.5) получаем:

Определенный интеграл

Тогда длина всей линии равна: Определенный интеграл

Вычисление площади геометрической фигуры

Вычисление площади плоской фигуры в декартовых координатах опирается на геометрический смысл определенного интеграла.

Рассмотрим несколько случаев вычисления площадей геометрических фигур.

1. По геометрическому содержанию определенный интеграл от непрерывной функции Определенный интеграл x на отрезке Определенный интеграл численно равна площади Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции Определенный интеграл осью Определенный интеграл и прямыми Определенный интеграл и Определенный интеграл при условии , что функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл является неотъемлемой.
То есть для Определенный интеграл имеем:

Определенный интеграл

2. Если функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неположительные (рис. 24.6), т.е. Определенный интеграл то определенный интеграл от нее также будет числом неположительные, потому что он является границей интегральной суммы, а значит сохраняет знак подынтегральной функции. Тогда для Определенный интеграл площадь криволинейной трапеции равна:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.6

3. Если функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл меняет знак (рис. 24.7), проходя через точки Определенный интеграл то для нахождения площади фигуры, ограниченной графиком такой функции и осью Определенный интеграл отрезок Определенный интеграл надо разбить на три промежутки Определенный интегралОпределенный интеграл на которых знак функции остается постоянным, и применить формулы (24.7) и (24.8).
Следовательно, если функция Определенный интеграл несколько раз меняет знак на промежутке Определенный интеграл то формулы (24.7) и (24.8) можно объединить в одну:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.7

4. Если надо определить площадь фигуры, ограниченной кривыми Определенный интеграл по данным на отрезке Определенный интеграл причем Определенный интеграл то эта площадь (рис. 24.8) вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.8

5. Если плоская фигура ограничена графиком непрерывной на промежутке Определенный интеграл функции Определенный интеграл прямыми Определенный интеграл и осью ординат (рис. 24.9), то площадь Определенный интеграл такой фигуры вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.9

Найдем площадь фигуры, ограниченной графиком функции Определенный интеграл прямой Определенный интеграл и осью Определенный интеграл (рис. 24.10).

Определенный интеграл

Рис. 24.10

Устанавливаем пределы интегрирования: Определенный интеграл
Поскольку функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неотъемлемая, то по формуле (24.7) имеем:

Определенный интеграл

Вычислим площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интеграл Определенный интеграл и Определенный интеграл (рис. 24.11).

Определенный интеграл

Рис. 24.11

Промежутком интегрирования является отрезок Определенный интеграл
Поскольку подынтегральная функция Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл неположительная, то по формуле (24.8) имеем:

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интегралОпределенный интеграл(рис. 24.12).

Определенный интеграл

Рис. 24.12

Функция Определенный интеграл на промежутке интегрирования Определенный интеграл меняет знак в точке Определенный интеграл Поэтому по формуле (24.9) имеем:

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной линиями: Определенный интеграл Определенный интеграл (рис. 24.13).

Определенный интеграл

Рис. 24.13

Для определения границ интегрирования находим точки пересечения линий:

Определенный интеграл

Откуда получаем:

Определенный интеграл

Согласно формуле (24.10) имеем:

Определенный интеграл

Подчеркнем, что в формуле (24.10) в роли Определенный интеграл всегда выступает функция, график которой ограничивает фигуру сверху.

6. Пусть фигура ограничена кривой, уравнение которой задано в параметрической форме, то есть зависимость Определенный интеграл задается параметрически системой уравнений

Определенный интеграл

где Определенный интеграл которая определяет некоторую кривую на отрезке Определенный интеграл

Площадь фигуры, как и раньше, вычисляем по формуле (24.7), но в ней сделаем замену переменной: Определенный интеграл тогда Определенный интеграл
Следовательно,

Определенный интеграл

Найдем площадь фигуры, ограниченной эллипсом (рис. 24.14), заданным параметрическими уравнениями

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.14

Поскольку эллипс симметричен относительно осей координат, то найдем площадь Определенный интеграл-ой части площади, расположенной в первой четверти.

Определим границы интегрирования. Если Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл то по системе уравнений

Определенный интеграл

получаем, что параметр Определенный интеграл изменяется от Определенный интеграл

Осуществляем по формуле (24.12) определено интегрирование:

Определенный интеграл

Отсюда площадь всей фигуры равна:

Определенный интеграл

7. Площадь криволинейного сектора

Рассмотрим в полярных координатах геометрическую фигуру, которая ограничена линией Определенный интеграл и двумя лучами Определенный интеграл где функция Определенный интеграл непрерывна при Определенный интеграл (рис. 24.15). Такую фигуру называют криволинейным сектором для Определенный интеграл на Определенный интеграл Вычислим площадь этого сектора.

Определенный интеграл

Рис. 24.15

Выполняем те же шаги, которые осуществлялись при решении задачи нахождения площади криволинейной трапеции:

1) разобьем криволинейный сектор для Определенный интеграл на Определенный интеграл произвольным образом на Определенный интеграл частей с центральными углами Определенный интеграл Определенный интеграл

2) выберем на каждом из частичных секторов произвольный луч под углом Определенный интеграл к полярной оси;

3) вычислим площадь кругового сектора радиуса Определенный интеграл с центральным углом Определенный интеграл по известной формуле: Определенный интеграл площадь криволинейного сектора на Определенный интеграл приближенно равен сумме всех Определенный интеграл

Определенный интеграл

которая является интегральной суммой для сложной функции от Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл которая, в случае ее существования, определяет площадь криволинейного сектора:

Определенный интеграл

Вычислим площадь фигуры, ограниченной полярной осью и первым витком спирали Архимеда Определенный интеграл где Определенный интеграл — положительное число (рис. 24.16).

Определенный интеграл

Рис. 24.16

При чередовании Определенный интеграл от Определенный интеграл полярный радиус описывает кривую, ограничивает криволинейный сектор Определенный интеграл По формуле (24.14) имеем:

Определенный интеграл

Вычисление объемов тел по известным площадям поперечных сечений

Пусть имеем некоторое геометрическое тело, для которого известна площадь любого сечения этого тела плоскостью Определенный интеграл перпендикулярной к оси Определенный интеграл (рис. 24.17). Выведем формулу для вычисления объема тела Определенный интеграл для чего составим соответствующую интегральную сумму Определенный интеграл как это делалось при определении понятия определенного интеграла:

Определенный интеграл

Рис. 24.17

1) разобьем тело произвольным образом на Определенный интеграл частей (слоев) плоскостями: Определенный интеграл Определенный интеграл (на рисунке показано слой на Определенный интеграл);

2) выберем на каждом частичном промежутке Определенный интеграл произвольную точку Определенный интеграл и для каждой такой точки построим цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси Определенный интеграл а направляющая является контуром сечения тела Определенный интеграл плоскостью Определенный интеграл (на рисунке он не изображен)

3) вычислим объем цилиндра с площадью основания Определенный интеграл и высотой Определенный интегралОпределенный интеграл тогда объем тела на промежутке Определенный интеграл приближенно равен сумме всех частных объемов Определенный интеграл

Определенный интеграл

которая является интегральной суммой для функции Определенный интеграл на промежутке Определенный интеграл

4) найдем границу интегральной суммы Определенный интеграл при условии, что Определенный интеграл при Определенный интеграл которую, в случае ее существования, принимают за объем тела по площадям поперечных сечений:

Определенный интеграл

Найдем объем тела, ограниченного плоскостями Определенный интеграл и Определенный интеграл и однополостным гиперболоидом, который задан уравнением: Определенный интеграл

Проведем плоскость Определенный интеграл (рис. 24.18). В сечении получим эллипс:

Определенный интеграл

Перейдем к каноническому уравнению эллипса:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл

Площадь сечения находим по известной формуле площади фигуры, ограниченной эллипсом (24.13): Определенный интеграл

Следовательно, вычислим объем тела по формуле (24.15) с переменной интегрирования Определенный интеграл

Определенный интеграл

Вычисление объема тела вращения

Пусть на промежутке Определенный интеграл задана непрерывная функция Определенный интеграл Надо определить объем тела, которое образовалось при вращении криволинейной трапеции для Определенный интеграл на Определенный интеграл вокруг оси Определенный интеграл (рис. 24.19). Такое тело называется тело вращения.

Определенный интеграл

Рис. 24.19

При вращении каждая точка дуги кривой описывает круг, а поперечным сечением тела вращения является круг радиуса Определенный интеграл с центром на оси Определенный интеграл площадь которого Определенный интеграл определяется по известной формуле: Определенный интеграл где Определенный интеграл

На этом основании расчетную формулу для вычисления объема тела Определенный интеграл образованного вращением криволинейной трапеции для функции Определенный интеграл на промежутке Определенный интеграл вокруг оси Определенный интеграл получим как частный случай формулы (24.15) при условии, что Определенный интеграл

Определенный интеграл

Найдем объем шара радиуса Определенный интеграл Его можно рассматривать как результат вращения вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной полукругом Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Объем этого шара можно найти по формуле (24.16):

Определенный интеграл

Если в соотношении для Определенный интеграл формально заменить Определенный интеграл на Определенный интеграл то получим формулу объема тела, образованного вращением вокруг оси Определенный интеграл криволинейной трапеции, ограниченной линиями Определенный интеграл — функция, обратная к Определенный интеграл

Определенный интеграл

Приближенное вычисление определенных интегралов

Формула Ньютона-Лейбница как основная формула интегрального исчисления является главным средством вычисления определенного интеграла, если при нахождении первоначальной не возникает трудностей. В случае, если неопределенный интеграл «не берется», то есть первоначальную нельзя представить в виде конечного числа элементарных функции, или подынтегральная функция задана графиком или таблицей, то используют приближенные формулы. Эти формулы основаны на геометрическом смысле определенного интеграла как площади криволинейной трапеции.

Формула прямоугольников

Пусть надо вычислить определенный интеграл от непрерывной на отрезке Определенный интеграл функции Определенный интеграл Согласно определению определенного интеграла построим интегральную сумму для функции Определенный интеграл

Поделим отрезок Определенный интеграл равных частей длины Определенный интеграл — точками Определенный интегралОпределенный интеграл

Вычислим значение функции Определенный интеграл в точках Определенный интеграл а именно Определенный интегралОпределенный интеграл

Тогда площадь криволинейной трапеции, изображенной на рис. 24.23, а вместе с тем и определенный интеграл для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл приближенно равна сумме площадей прямоугольников с высотами Определенный интегралОпределенный интеграл и основами Определенный интеграл

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.23

Полученное выражение (24.24) называется формулой прямоугольников с высотами Определенный интеграл вычисленным на левой грани частичных интервалов.

Если высоты прямоугольников взять равными значениям функции Определенный интеграл на правой грани частичных интервалов, то формула прямоугольников иметь вид:

Определенный интеграл

Поскольку для функции Определенный интеграл непрерывной на Определенный интеграл существует конечное предел интегральной суммы при Определенный интеграл и Определенный интеграл то можно утверждать, что ошибка при вычислении интеграла будет тем меньше, чем больше Определенный интеграл Абсолютная погрешность Определенный интеграл при этом вычисляется по формуле:

Определенный интеграл

где

Определенный интеграл

Относительная погрешность определяется как отношение абсолютной погрешности к точному значению интеграла и подается в процентах.

Формула трапеций

Рассмотрим еще один способ приближенного вычисления определенного интеграла.

Как и в предыдущем случае, отрезок Определенный интеграл делится на Определенный интеграл равных частей точками Определенный интеграл и в этих точках вычисляются значения функции Определенный интеграл (рис. 24.24). Построим прямоугольные трапеции с высотами Определенный интеграл и основами длиной Определенный интеграл иОпределенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.24

Каждая часть площади под кривой Определенный интеграл будет приближенно равняться площади прямоугольной трапеции со средней линией Определенный интеграл и высотой Определенный интеграл а площадь всей криволинейной трапеции для функции Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл приближенно равна площади под ломаной, то есть сумме площадей всех
трапеций, ограниченных сверху отрезками этой ломаной.

Соответственно, получаем:

Определенный интеграл

Это и есть формула трапеций. Формула (24.26), как и в предыдущем случае, будет тем точнее, чем больше число Определенный интеграл

Можно доказать, что если функция fОпределенный интеграл имеет непрерывную ограниченную производную Определенный интеграл которая удовлетворяет неравенство Определенный интеграл (где Определенный интеграл — постоянная), то для формул прямоугольников и трапеций абсолютная погрешность определяется неравенством:

Определенный интеграл

Для функций, которые имеют ограниченную вторую производную Определенный интеграл (где Определенный интеграл — постоянная), для абсолютной погрешности имеет место такая оценка:

Определенный интеграл

Формула Симпсона

Поделим отрезок Определенный интеграл на четное число Определенный интеграл одинаковых частей (рис. 24.25). Функцию Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл заменим параболой Определенный интеграл которая проходит через точки Определенный интеграл Определенный интеграл и Определенный интеграл с осью симметрии, параллельной оси Определенный интеграл

Определенный интеграл

Рис. 24.25

Аналогичные параболы строим и для всех остальных пар частичных отрезков.
Сумма площадей криволинейных трапеций, ограниченных параболами, и даст приближенное значение интеграла.

Покажем, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной сверху параболой, проходящей через три точки Определенный интеграл равна:

Определенный интеграл

где Определенный интеграл — длина отрезка Определенный интеграл — промежуток интегрирования (рис. 24.26).

Определенный интеграл

Рис. 24.26

Коэффициенты параболы Определенный интеграл и значение функции Определенный интеграл в точках с абсциссами Определенный интеграл связанные такими соотношениями:

Определенный интеграл

Найдем площадь криволинейной трапеции для Определенный интеграл на отрезке Определенный интеграл

Определенный интеграл

С учетом значений функции в точках с абсциссами Определенный интеграл и Определенный интеграл следует, чтоОпределенный интегралОпределенный интеграл Определенный интеграл

Итак, Определенный интеграл то есть получили равенство (24.28). Применяя на каждом отрезке Определенный интеграл формулу (24.28), при Определенный интеграл получим:

Определенный интеграл

Если сложить левые и правые части записанных равенств, то получим:

Определенный интеграл

или

Определенный интеграл

формула Симпсона, или формула парабол.

Если функция Определенный интеграл имеет Определенный интеграл непрерывную четвертую производную и Определенный интеграл где Определенный интеграл — наибольшее значение y Определенный интеграл в интервале Определенный интеграл то абсолютная погрешность формулы парабол определяется неравенством:

Определенный интеграл

Таким образом, формула Симпсона (при одинаковом количестве частичных отрезков разбиения промежутка интегрирования) дает наилучшее приближение к искомому интеграла по сравнению с формулами прямоугольников или трапеций.

Вычислим интеграл Определенный интеграл применив непосредственное интегрирование.

Определенный интеграл

Сравним этот результат с результатами приближенного вычисления по формулам прямоугольников, трапеций, парабол при Определенный интеграл и найдем абсолютные и относительные погрешности этих вычислений.

Для применения выведенных формул приближенного вычисления определенных интегралов разобьем отрезок Определенный интеграл на 10 равных частей. Тогда длина каждого отрезка равна Определенный интеграл а значение функции в точках разбиения:

Определенный интеграл

Составим таблицу значений функции для каждой границы интервала разбиения.

                                                                                                                                                           Таблица 24.1

Определенный интеграл

По формуле прямоугольников (24.24), если принимать высоты прямоугольника значение Определенный интеграл вычисленное на левой грани частичного интервала, находим:

Определенный интеграл

По формуле прямоугольников (24.25), если принимать высоты прямоугольника значение Определенный интеграл на правой грани частичного интервала, получаем несколько иное значение:

Определенный интеграл

По формуле трапеций (24.26) имеем промежуточное значение по сравнению с обеими формулами прямоугольников:

Определенный интеграл

По формуле парабол (24.30):

Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.24) абсолютная погрешность составляет:

Определенный интеграл

а относительная погрешность равна:

Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле прямоугольников (24.25) абсолютная и относительная погрешности составляют: 

Определенный интеграл или Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле трапеций имеем:

Определенный интеграл и Определенный интеграл

При вычислении интеграла по формуле парабол получаем:

Определенный интеграл и Определенный интеграл

Итоговая таблица (табл. 24.2) убедительно подтверждает, что формула парабол действительно дает наибольшую точность при приближенном вычислении определенных интегралов. Конечно, если подынтегральная функция отлична от многочлена второго или третьей степени, то погрешность не будут нулевыми.

                                                                                                                                                       Таблица 24.2

Определенный интеграл

По объему вычислительной работы формула Симпсона не имеет преимуществ перед другими формулами.

Определенный интеграл

Определенный интеграл

Лекции:

  • Замена переменной в определенном интеграле
  • Формулы тригонометрии и их использование для преобразования тригонометрических выражений
  • Интегральный признак Коши
  • Правила дифференцирования
  • Построение графика функции
  • Связь между непрерывностью и дифференцируемостью функции
  • Функции комплексного переменного
  • Преобразование подобия
  • Формулы производных
  • Изометрия

Вычисление определённых интегралов: базовые алгоритмы

Время на прочтение
13 мин

Количество просмотров 83K

image
В этой публикации описаны простейшие методы вычисления интегралов функций от одной переменной на отрезке, также называемые квадратурными формулами. Обычно эти методы реализованы в стандартных математических библиотеках, таких как GNU Scientific Library для C, SciPy для Python и других. Публикация имеет целью продемонстрировать, как эти методы работают «под капотом», и обратить внимание на некоторые вопросы точности и производительности алгоритмов. Также хотелось бы отметить связь квадратурных формул и методов численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, о которых хочу написать ещё одну публикацию.

Определение интеграла

Интегралом (по Риману) от функции $f(x)$ на отрезке $[a;b]$ называется следующий предел:

$int_a^b f(x)dx = lim_{Delta x to 0} sum_{i=0}^{n-1} f(xi_i)(x_{i+1} - x_i),~~(1)$

где $Delta x = maxlbrace x_{i+1} - x_irbrace$ — мелкость разбиения, $x_0 = a$, $x_n = b$, $xi_i$ — произвольное число на отрезке $[x_i; x_{i+1}]$.

Если интеграл от функции существует, то значение предела одно и то же вне зависимости от разбиения, лишь бы оно было достаточно мелким.
image
Более наглядно геометрическое определение — интеграл равен площади криволинейной трапеции, ограниченной осью 0x, графиком функции и прямыми x = a и x = b (закрашенная область на рисунке).

Квадратурные формулы

Определение интеграла (1) можно переписать в виде

$I = int_a^b f(x)dx approx I_n = (b - a)sum_{i=0}^{n-1} w_i f(xi_i),~~(2)$

где $w_i$ — весовые коэффициенты, сумма которых должна быть равна 1, а сами коэффициенты — стремиться к нулю при увеличении числа $n$ точек, в которых вычисляется функция.

Выражение (2) — основа всех квадратурных формул (т.е. формул для приближенного вычисления интеграла). Задача состоит в том, чтобы выбрать точки $lbrace xi_i rbrace$ и веса $w_i$ таким образом, чтобы сумма в правой части приближала требуемый интеграл как можно точнее.

Вычислительная задача

Задана функция $f(x)$, для которой есть алгоритм вычисления значений в любой точке отрезка $[a;b]$ (имеются в виду точки, представимые числом с плавающей точкой — никаких там функций Дирихле!).

Требуется найти приближённое значение интеграла $int_a^b f(x)dx$.
Решения будут реализованы на языке Python 3.6.

Для проверки методов используется интеграл $int_0^{3/2} left[ 2x + frac{1}{sqrt{x + 1/16}}right]dx = 17/4$.

Кусочно-постоянная аппроксимация

Идейно простейшие квадратурные формулы возникают из применения выражения (1) «в лоб»:

$I_n = sum_{i=0}^{n-1} f(xi_i) (x_{i+1} - x_i)$

Т.к. от метода разбиения отрезка точками $lbrace x_irbrace$ и выбора точек $lbracexi_irbrace$ значение предела не зависит, то выберем их так, чтобы они удобно вычислялись — например, разбиение возьмём равномерным, а для точек вычисления функции рассмотрим варианты: 1) $xi_i = x_i$; 2) $xi_i = x_{i+1}$; 3) $xi_i = (x_i + x_{i+1}) / 2$.

Получаем методы левых прямоугольников, правых прямоугольников и прямоугольников со средней точкой, соответственно.

Реализация

def _rectangle_rule(func, a, b, nseg, frac):
    """Обобщённое правило прямоугольников."""
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = 0.0
    xstart = a + frac * dx # 0 <= frac <= 1 задаёт долю смещения точки, 
                           # в которой вычисляется функция,
                           # от левого края отрезка dx
    for i in range(npoints):
        sum += func(xstart + i * dx)

    return sum * dx

def left_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило левых прямоугольников"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, nseg, 0.0)

def right_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило правых прямоугольников"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, npoints, 1.0)

def midpoint_rectangle_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило прямоугольников со средней точкой"""
    return _rectangle_rule(func, a, b, nseg, 0.5)

Для анализа производительности квадратурных формул построим график погрешности в координатах «число точек — отличие численного результата от точного».

image

Что можно заметить:

  1. Формула со средней точкой гораздо точнее, чем с правой или левой точками
  2. Погрешность формулы со средней точкой падает быстрее, чем у двух остальных
  3. При очень мелком разбиении погрешность формулы со средней точкой начинает возрастать
    Первые два пункта связаны с тем, что формула прямоугольников со средней точкой имеет второй порядок аппроксимации, т.е. $|I_n - I| = O( 1/n^2)$, а формулы правых и левых прямоугольников — первый порядок, т.е. $|I_n - I| = O(1/n)$.
    Возрастание погрешности при измельчении шага интегрирования связано с нарастанием погрешности округления при суммировании большого числа слагаемых. Эта ошибка растёт как $|I_n - I| = O(1/n)$, что не даёт при интегрировании достигнуть машинной точности.
    Вывод: методы прямоугольников с правой и левой точками имеют низкую точность, которая к тому же медленно растёт с измельчением разбиения. Поэтому они имеют смысл разве что в демонстрационных целях. Метод прямоугольников со средней точкой имеет более высокий порядок аппроксимации, что даёт ему шансы на использование в реальных приложениях (об этом чуть ниже).

Кусочно-линейная аппроксимация

Следующий логический шаг — аппроксимировать интегрируемую функцию на каждом из подотрезков линейной функцией, что даёт квадратурную формулу трапеций:

$I_n = sum_{i=0}^{n-1} frac{f(x_i) + f(x_{i+1})}{2}(x_{i+1} - x_i)~~(3)$

image
Иллюстрация метода трапеций для n=1 и n=2.

В случае равномерной сетки длины всех отрезков разбиения равны, и формула имеет вид

$I_n = hleft(frac{f(a) + f(b)}{2} + sum_{i=1}^{n-1} f(a + ih)right),~h=frac{b-a}{n}~~(3a)$

Реализация

def trapezoid_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило трапеций
       nseg - число отрезков, на которые разбивается [a;b]"""
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = 0.5 * (func(a) + func(b))
    for i in range(1, nseg):
        sum += func(a + i * dx)

    return sum * dx

Построив график ошибки от числа точек разбиения, убеждаемся, что метод трапеций тоже имеет второй порядок аппроксимации и вообще даёт результаты, слабо отличающиеся от метода прямоугольников со средней точкой (в дальнейшем — просто метод прямоугольников).
image

Контроль точности вычисления

Задание в качестве входного параметра числа точек разбиения не слишком практично, поскольку обычно требуется вычислить интеграл не с заданной плотностью разбиения, а с заданной погрешностью. Если подынтегральная функция известна наперёд, то можно оценить погрешность заранее и выбрать такой шаг интегрирования, чтобы заданная точность заведомо достигалась. Но так редко бывает на практике (и вообще, не проще ли при известной наперёд функции и сам интеграл протабулировать наперёд?), поэтому необходима процедура автоматической подстройки шага под заданную погрешность.

Как это реализовать? Один из простых методов оценки погрешности — правило Рунге — разность значений интегралов, рассчитанных по n и 2n точкам, даёт оценку погрешности: $Delta_{2n} approx |I_{2n} - I_n|$. Метод трапеций удобнее для удвоения мелкости разбиения, чем метод прямоугольников с центральной точкой. При расчёте методом трапеций для удвоения числа точек нужны новые значения функции только в серединах отрезков предыдущего разбиения, т.е. предыдущее приближение интеграла можно использовать для вычисления следующего.

Чем ещё хорош метод прямоугольников

Метод прямоугольников не требует вычислять значения функции на концах отрезка. Это означает, что его можно использовать для функций, имеющих на краях отрезка интегрируемые особенности (например, sinx/x или x-1/2 от 0 до 1). Поэтому показанный далее метод экстраполяции будет работать точно так же и для метода прямоугольников. Отличие от метода трапеций лишь в том, что при уменьшении шага вдвое отбрасывается результат предыдущих вычислений, однако можно утроить число точек, и тогда предыдущее значение интеграла также можно использовать для вычисления нового. Формулы для экстраполяции в этом случае необходимо скорректировать на другое соотношение шагов интегрирования.

Отсюда получаем следующий код для метода трапеций с контролем точности:

def trapezoid_rule(func, a, b, rtol = 1e-8, nseg0 = 1):
    """Правило трапеций
       rtol - желаемая относительная точность вычислений
       nseg0 - начальное число отрезков разбиения"""
    nseg = nseg0
    old_ans = 0.0
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    ans = 0.5 * (func(a) + func(b))
    for i in range(1, nseg):
        ans += func(a + i * dx)

    ans *= dx
    err_est = max(1, abs(ans))
    while (err_est > abs(rtol * ans)):
        old_ans = ans
        ans = 0.5 * (ans + midpoint_rectangle_rule(func, a, b, nseg)) # новые точки для уточнения интеграла
                                                                      # добавляются ровно в середины предыдущих отрезков
        nseg *= 2
        err_est = abs(ans - old_ans)

    return ans

С таким подходом подынтегральная функция не будет вычисляться по нескольку раз в одной точке, и все вычисленные значения используются для окончательного результата.

Но нельзя ли при том же количестве вычислений функции добиться более высокой точности? Оказывается, что можно, есть формулы, работающие точнее метода трапеций на той же самой сетке.

Кусочно-параболическая аппроксимация

Следующим шагом аппроксимируем функцию элементами парабол. Для этого требуется, чтобы число отрезков разбиения было чётным, тогда параболы могут быть проведены через тройки точек с абсциссами {(x0=a, x1, x2), (x2, x3, x4), …, (xn-2, xn-1, xn=b)}.


Иллюстрация кусочно-параболического приближения на 3 и 5 точках (n=2 и n=3).

Приближая интеграл от функции на каждом из отрезков [xk;xk+2] интегралом от параболической аппроксимации на этом отрезке и считая точки равномерно распределенными (xk+1=xk+h), получаем формулу Симпсона:

$I_{Simps, n} = sum_{i=0}^{n/2-1}frac{h}{3}[f(x_{2i})+4f(x_{2i+1})+f(x_{2i + 2})] = \ =frac{h}{3}[f(a)+4f(a+h)+2f(a+2h) + ... +4f(b-h) + f(b)]~~(4)$

Из формулы (4) напрямую получается «наивная» реализация метода Симпсона:

Заголовок спойлера

def simpson_rule(func, a, b, nseg):
    """Правило трапеций
       nseg - число отрезков, на которые разбивается [a;b]"""
    if nseg%2 = 1:
        nseg += 1
    dx = 1.0 * (b - a) / nseg
    sum = (func(a) + 4 * func(a + dx) + func(b))
    for i in range(1, nseg / 2):
        sum += 2 * func(a + (2 * i) * dx) + 4 * func(a + (2 * i + 1) * dx)

    return sum * dx / 3

Для оценки погрешности можно использовать точно так же вычисление интеграла с шагами h и h/2 — но вот незадача, при вычислении интеграла с более мелким шагом результат предыдущего вычисления придётся отбросить, хотя половина новых вычислений функции будет в тех же точках, что и раньше.

Бесполезной траты машинного времени, к счастью, можно избежать, если реализовать метод Симпсона более хитроумным образом. Присмотревшись повнимательнее, заметим, что интеграл по формуле Симпсона может быть представлен через два интеграла по формуле трапеций с разными шагами. Яснее всего это видно на базовом случае аппроксимации интеграла по трём точкам $(a, f_0),~(a+h, f_1),~(a+2h, f_2)$:

$I_{Simps,2} = frac{h}{3}(f_0 + 4f_1 + f_2) = frac{4}{3}hleft(frac{f_0 + f_1}{2} + frac{f_1 + f_2}{2}right) - frac{1}{3}cdot2hfrac{f_0 + f_2}{2} = \ =frac{4I_{trap,2} - I_{trap,1}}{3}$

Таким образом, если реализовать процедуру уменьшения шага вдвое и хранить два последних вычисления методом трапеций, метод Симпсона с контролем точности реализуется более эффективно.

Как-то так…

class Quadrature:
    """Базовые определения для квадратурных формул"""
    __sum = 0.0
    __nseg = 1  # число отрезков разбиения
    __ncalls = 0 # считает число вызовов интегрируемой функции

    def __restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls = True):
        """Обнуление всех счётчиков и аккумуляторов.
           Возвращает интеграл методом трапеций на начальном разбиении"""
        if reset_calls:
            Quadrature.__ncalls = 0
        Quadrature.__nseg = nseg0
        # вычисление суммы для метода трапеций с начальным числом отрезков разбиения nseg0
        Quadrature.__sum = 0.5 * (func(x0) + func(x1))
        dx = 1.0 * (x1 - x0) / nseg0
        for i in range(1, nseg0):
            Quadrature.__sum += func(x0 + i * dx)

        Quadrature.__ncalls += 1 + nseg0
        return Quadrature.__sum * dx

    def __double_nseg(func, x0, x1):
        """Вдвое измельчает разбиение.
           Возвращает интеграл методом трапеций на новом разбиении"""
        nseg = Quadrature.__nseg
        dx = (x1 - x0) / nseg
        x = x0 + 0.5 * dx
        i = 0
        AddedSum = 0.0
        for i in range(nseg):
            AddedSum += func(x + i * dx)

        Quadrature.__sum += AddedSum
        Quadrature.__nseg *= 2
        Quadrature.__ncalls += nseg
        return Quadrature.__sum * 0.5 * dx

    def trapezoid(func, x0, x1, rtol = 1e-10, nseg0 = 1):
        """Интегрирование методом трапеций с заданной точностью.
           rtol - относительная точность,
           nseg0 - число отрезков начального разбиения"""
        ans = Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0)
        old_ans = 0.0
        err_est = max(1, abs(ans))
        while (err_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            ans = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
            err_est = abs(old_ans - ans)

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

    def simpson(func, x0, x1, rtol = 1.0e-10, nseg0 = 1):
        """Интегрирование методом парабол с заданной точностью.
           rtol - относительная точность,
           nseg0 - число отрезков начального разбиения"""
        old_trapez_sum = Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0)
        new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
        ans = (4 * new_trapez_sum - old_trapez_sum) / 3
        old_ans = 0.0
        err_est = max(1, abs(ans))
        while (err_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            old_trapez_sum = new_trapez_sum
            new_trapez_sum = Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)
            ans = (4 * new_trapez_sum - old_trapez_sum) / 3
            err_est = abs(old_ans - ans)

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

Сравним эффективность метода трапеций и парабол:

>>> import math
>>> Quadrature.trapezoid(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.simpson(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1 / 16), 0, 1.5, rtol=1e-9)
Total function calls: 2049
4.2500000000490985

Как видим, обоими методами ответ можно получть с достаточно высокой точностью, но количество вызовов подынтегральной функции разительно отличается — метод более высокого порядка эффективнее в 32 раза!

Построив график погрешности интегрирования от числа шагов, можно убедиться, что порядок аппроксимации формулы Симпсона равен четырём, т.е. ошибка численного интегрирования $|I_{Simps, n} - I| = O(1/n^4)$ (а интегралы от кубических многочленов с помощью этой формулы вычисляются с точностью до ошибок округления при любом чётном n>0!).
image
Отсюда и возникает такой рост эффективности по сравнению с простой формулой трапеций.

Что дальше?

Дальнейшая логика повышения точности квадратурных формул, в целом, понятна — если функцию продолжать приближать многочленами всё более высокой степени, то и интеграл от этих многочленов будет всё точнее приближать интеграл от исходной функции. Этот подход называется построением квадратурных формул Ньютона-Котеса. Известны формулы вплоть до 8 порядка аппроксимации, но выше среди весовых коэффициентов wi в (2) появляются знакопеременные члены, и формулы при вычислениях теряют устойчивость.

Попробуем пойти другим путём. Ошибка квадратурной формулы представляется в виде ряда по степеням шага интегрирования h. Замечательное свойство метода трапеций (и прямоугольников со средней точкой!) в том, что для неё этот ряд состоит только из чётных степеней:

$I_{trap,n}[f, a, b] = int_a^b f(x)dx + C_2h^2 + C_4h^4 + C_6h^6 + ...,~h = frac{b-a}{n}~~~(5)$

На нахождении последовательных приближений к этому разложению основана экстраполяция Ричардсона: вместо того, чтобы приближать подынтегральную функцию многочленом, по рассчитанным приближениям интеграла $I(h)$ строится полиномиальная аппроксимация, которая при h=0 должна давать наилучшее приближение к истинному значению интеграла.

Разложение ошибки интегрирования по чётным степеням шага разбиения резко ускоряет сходимость экстраполяции, т.к. для аппроксимации порядка 2n нужно всего n значений интеграла методом трапеций.

Если считать, что каждое последующее слагаемое меньше предыдущего, то можно последовательно исключать степени h, имея приближения интеграла, рассчитанные с разными шагами. Поскольку приведённая реализация легко позволяет дробить разбиение вдвое, удобно рассматривать формулы для шагов h и h/2.

$I_{trap,n} - I approx C_2h^2;~I_{trap,2n} - I approx C_2left(frac{h}{2}right)^2$

Легко показать, что исключение старшего члена погрешности формулы трапеций в точности даст формулу Симпсона:

$I = I_{trap,2n} - C_2left(frac{h}{2}right)^2 + O(h^4) approx I_{trap,2n} - frac{I_{trap,2n}-I_{trap,n}}{1-2^2} = I_{Simps,2n}$

Повторяя аналогичную процедуру для формулы Симпсона, получаем:

$I_{Simps,2n} - I approx C_4left(frac{h}{2}right)^4;~I_{Simps,n} - I approx C_4h^4$

$I = I_{Simps,2n} - C_4left(frac{h}{2}right)^4 + O(h^6) approx I_{Simps,2n} - frac{I_{Simps,2n}-I_{Simps,n}}{1-2^4}$

Если продолжить, вырисовывается такая таблица:

2 порядок 4 порядок 6 порядок
I0,0
I1,0 I1,1
I2,0 I2,1 I2,2

В первом столбце стоят интегралы, вычисленные методом трапеций. При переходе от верхней строки вниз разбиение отрезка становится вдвое мельче, а при переходе от левого столбца вправо повышается порядок аппроксимации интеграла (т.е. во втором столбце находятся интегралы по методу Симпсона и т.д.).

Элементы таблицы, как можно вывести из разложения (5), связаны рекуррентным соотношением:

$I_{i,j} = I_{i,j-1} - frac{I_{i,j-1}-I_{i-1,j-1}}{1-left(frac{h_{i-j}}{h_i}right)^2} = I_{i,j-1} - frac{I_{i,j-1}-I_{i-1,j-1}}{1-2^{2j}}~~~(6)$

Погрешность приближения интеграла можно оценить по разности формул разных порядков в одной строке, т.е.

$Delta_{i,j} approx I_{i,j} - I_{i,j-1}$

Применение экстраполяции Ричардсона вместе с интегрированием методом трапеций называется методом Ромберга. Если метод Симпсона учитывает два предыдущих значения по методу трапеций, то метод Ромберга использует все ранее вычисленные методом трапеций значения для получения более точной оценки интеграла.

Реализация

Дополнительный метод добавляется в класс Quadrature

class Quadrature:
    """Базовые определения для квадратурных формул"""
    __sum = 0.0
    __nseg = 1  # число отрезков разбиения
    __ncalls = 0 # считает число вызовов интегрируемой функции

    def __restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls = True):
        """Обнуление всех счётчиков и аккумуляторов.
           Возвращает интеграл методом трапеций на начальном разбиении"""
        if reset_calls:
            Quadrature.__ncalls = 0
        Quadrature.__nseg = nseg0
        # вычисление суммы для метода трапеций с начальным разбиением на nseg0 отрезков
        Quadrature.__sum = 0.5 * (func(x0) + func(x1))
        dx = 1.0 * (x1 - x0) / nseg0
        for i in range(1, nseg0):
            Quadrature.__sum += func(x0 + i * dx)

        Quadrature.__ncalls += 1 + nseg0
        return Quadrature.__sum * dx

    def __double_nseg(func, x0, x1):
        """Вдвое измельчает разбиение.
           Возвращает интеграл методом трапеций на новом разбиении"""
        nseg = Quadrature.__nseg
        dx = (x1 - x0) / nseg
        x = x0 + 0.5 * dx
        i = 0
        AddedSum = 0.0
        for i in range(nseg):
            AddedSum += func(x + i * dx)

        Quadrature.__sum += AddedSum
        Quadrature.__nseg *= 2
        Quadrature.__ncalls += nseg
        return Quadrature.__sum * 0.5 * dx

    def romberg(func, x0, x1, rtol = 1e-10, nseg0 = 1, maxcol = 5, reset_calls = True):
        """Интегрирование методом Ромберга
           nseg0 - начальное число отрезков разбиения
           maxcol - максимальный столбец таблицы"""
        # инициализация таблицы
        Itable = [[Quadrature.__restart(func, x0, x1, nseg0, reset_calls)]]
        i = 0
        maxcol = max(0, maxcol)
        ans = Itable[i][i]
        error_est = max(1, abs(ans))
        while (error_est > abs(rtol * ans)):
            old_ans = ans
            i += 1
            d = 4.0
            ans_col = min(i, maxcol)
            Itable.append([Quadrature.__double_nseg(func, x0, x1)] * (ans_col + 1))
            for j in range(0, ans_col):
                diff = Itable[i][j] - Itable[i - 1][j]
                Itable[i][j + 1] = Itable[i][j] + diff / (d - 1.0)
                d *= 4.0

            ans = Itable[i][ans_col]
            if (maxcol <= 1): # методы трапеций и парабол обрабатываются отдельно
                error_est = abs(ans - Itable[i - 1][-1])
            elif (i > maxcol):
                error_est = abs(ans - Itable[i][min(i - maxcol - 1, maxcol - 1)])
            else:
                error_est = abs(ans - Itable[i - 1][i - 1])

        print("Total function calls: " + str(Quadrature.__ncalls))
        return ans

Проверим, как работает аппроксимация высокого порядка:

>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 0) # трапеции
Total function calls: 65537
4.250000001385811
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 1) # параболы
Total function calls: 2049
4.2500000000490985
>>> Quadrature.romberg(lambda x: 2 * x + 1 / math.sqrt(x + 1/16), 0, 1.5, rtol=1e-9, maxcol = 4)
Total function calls: 257
4.250000001644076

Убеждаемся, что, по сравнению с методом парабол, число вызовов подынтегральной функции снизилось ещё в 8 раз. При дальнейшем увеличении требуемой точности преимущества метода Ромберга проявляются ещё заметнее:
image

Некоторые замечания

Замечание 1. Количество вызовов функции в этих задачах характеризует число суммирований при вычислении интеграла. Уменьшение числа вычислений подынтегрального выражения не только экономит вычислительные ресурсы (хотя при более оптимизированной реализации и это тоже), но и уменьшает влияние погрешностей округления на результат. Так, при попытке вычислить интеграл тестовой функции метод трапеций зависает при попытке достигнуть относительной точности 5×10-15, метод парабол — при желаемой точности 2×10-16(что является пределом для чисел в двойной точности), а метод Ромберга справляется с вычислением тестового интеграла вплоть до машинной точности (с ошибкой в младшем бите). То есть, повышается не только точность интегрирования при заданном числе вызовов функции, но и предельно достижимая точность вычисления интеграла.

Замечание 2. Если метод сходится при задании некоторой точности, это не означает, что вычисленное значение интеграла имеет ту же самую точность. В первую очередь, это относится к случаям, когда задаваемая погрешность близка к машинной точности.

Замечание 3. Хотя метод Ромберга для ряда функций работает почти магическим образом, он предполагает наличие у подынтегральной функции ограниченных производных высоких порядков. Это значит, что для функций с изломами или разрывами он может оказаться хуже простых методов. Например, проинтегрируем f(x)=|x|:

>>> Quadrature.trapezoid(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 9
5.0
>>> Quadrature.simpson(abs, -1, 3, rtol=1e-5)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 2)
Total function calls: 17
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 3)
Total function calls: 33
5.0
>>> Quadrature.romberg(abs, -1, 3, rtol=1e-5, maxcol = 4)
Total function calls: 33
5.000001383269357

Замечание 4. Может показаться, что чем выше порядок аппроксимации, тем лучше. На самом деле, лучше ограничить число столбцов таблицы Ромберга на уровне 4-6. Чтобы понять это, посмотрим на формулу (6). Второе слагаемое представляет собой разность двух последовательных элементов j-1-го столбца, поделенную на примерно 4j. Т.к. в j-1-м столбце находятся аппроксимации интеграла порядка 2j, то сама разность имеет порядок (1/ni)2j ~ 4ij. C учётом деления получается ~4-(i+1)j ~ 4j2. Т.е. при j~7 второе слагаемое в (6) теряет точность после приведения порядков при сложении чисел с плавающей точкой, и повышение порядка аппроксимации может вести к накоплению ошибки округления.

Замечание 5. Желающие могут ради интереса применить описанные методы для нахождения интеграла $int_0^1sqrt{x}sin{x}dx$ и эквивалентного ему $int_0^1 2t^2sin{t^2}dt$. Как говорится, почувствуйте разницу.

Заключение

Представлено описание и реализация базовых методов численного интегрирования функций на равномерной сетке. Продемонстрировано, как с помощью несложной модификации получить на базе метода трапеций класс квадратурных формул по методу Ромберга, что значительно ускоряет сходимость численного интегрирования. Метод хорошо работает для интегрирования «обычных» функций, т.е. слабо меняющихся на отрезке интегрирования, не имеющих особенностей на краях отрезка (см. Замечание 5), быстрых осцилляций и т.д.

Продвинутые методы численного интегрирования для более сложных случаев можно найти в книгах из списка литературы (в [3] — с примерами реализации на C++).

Литература

  1. А.А. Самарский, А.В. Гулин. Численные методы. М.: Наука. 1989.
  2. J. Stoer, R. Bulirsch. Introduction to Numerical Analysis: Second Edition. Springer-Verlag New York. 1993.
  3. W.H. Press, S.A. Teukolsky, W.T. Vetterling, B.P. Flannery. Numerical Recipes: Third Edition. Cambridge University Press. 2007.

Пусть дан подграфик функции f(x)f(x) на участке [a;b][a; b]:

определенный интеграл.png

Разобьем отрезок [а;b][а; b] точками x1x_1, x2x_2, x3x_3, xn−1x_{n-1} на nn равных отрезков: [а;x1][а; x_1], [x1;x2][x_1; x_2], [x2;x3],…[xn−1;b][x_2; x_3], …[ x_{n-1}; b].

Построим на первом из этих отрезков прямоугольник с высотой f(x1)f(x_1), на втором — прямоугольник высоты f(x2)f(x_2)… на n-ном — прямоугольник с высотой f(b)f(b). В результате получим восходящий многоугольник, составленный из n прямоугольников. Пусть основание каждого из построенных прямоугольников равно ΔxΔx тогда площадь всего ступенчатого многоугольника составит:

Sn=Δx⋅f(x1)+Δx⋅f(x2)+…+Δx⋅f(b){{S}_{n}}=Delta xcdot f({{x}_{1}})+Delta xcdot f({{x}_{2}})+…+Delta xcdot f(b)

Суммы такого вида называют интегральными суммами. Полученную интегральную сумму можно считать приближенным значением площади SS подграфика функции f(x)f(x) на [a;b][a; b]. При этом если n→∞n → ∞, то Sn→SS_n→S.

Не только задача о нахождении площади подграфика, но и многие другие важные прикладные задачи приводят к вычислению границ подобных интегральных сумм. Поэтому для этого понятия введено специальное название и обозначение.

Границу интегральной суммы Δx⋅f(x1)+Δx⋅f(x2)+…+Δx⋅f(xn),Delta xcdot f({{x}_{1}})+Delta xcdot f({{x}_{2}})+…+Delta xcdot f({{x}_{n}}), если n→∞n → ∞, называют определенным интегралом функции f(x)f(x) от aa до bb.

Его обозначают символом ∫abf(x)dxintlimits_{a}^{b}{f(x)}dx (читают: (определенный) интеграл от aa до bb эф от икс дэ икс). Здесь числа от aa до bb – пределы (границы) интегрирования, ∫∫ – знак интеграла, f(x)f(x) – подынтегральная функция, xx – переменная интегрирования.
Из всего сказанного следует, что площадь подграфика функции f(x)f(x) на [a;b][a; b] равна ∫abf(x)dxintlimits_{a}^{b}{f(x)}dx.

Главная теорема интегрального исчисления

Если у функции f(x)f(x) на отрезке [a,b][a, b] существует первоначальная F(x)F(x), то
I=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)I=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)

Это формула Ньютона-Лейбница, основная формула интегрального исчисления в математическом анализе.

Она дает возможность решать многие важные задачи не вычислением границ интегральных сумм, что достаточно трудно, а с помощью первоначальной.

Свойства определенных интегралов

Рационализировать вычисления интеграла часто помогает знание об их свойствах.
При формулировке определения определенного интеграла мы считали, что a<ba < b. Удобно расширить понятие определенного интеграла, и для случая a>ba > b принять по определению, что

∫abf(x)dx=−∫baf(x)dxintlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=-intlimits_{b}^{a}{f(x)}dx

Для случая a=ba = b также по определению будем считать, что

∫aaf(x)dx=0intlimits_{a}^{a}{f(x)}dx=0]

Отметим, что формальное применение формулы Ньютона-Лейбница к вычислению интегралов в данных формулах дает такой же результат. Действительно, если функция F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), то

∫aaf(x)dx=F(x)∣aa=F(a)−F(a)intlimits_{a}^{a}{f(x)}dx=left. F(x) right|_{a}^{a}=F(a)-F(a)

Также

∫abf(x)dx=F(b)−F(a)=−(F(a)−F(b))=−∫baf(x)dxintlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a)=-(F(a)-F(b))=-intlimits_{b}^{a}{f(x)}dx

С помощью формулы Ньютона-Лейбница легко обосновываются и другие свойства определенных интегралов:

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), то для функции kf(x)kf(x) первоначальной будет функция kF(х)kF(х). Тогда

∫abkf(x)dx=kF(x)∣ab=kF(b)−kF(a)=k(F(b)−F(a))=k∫abf(x)dxintlimits_{a}^{b}{kf(x)}dx=kleft. F(x) right|_{a}^{b}=kF(b)-kF(a)=k(F(b)-F(a))=kintlimits_{a}^{b}{f(x)}dx

Таким образом,

∫abk⋅f(x)dx=k⋅∫abf(x)dxintlimits_{a}^{b}{kcdot f(x)}dx=kcdot intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(x)f(x), a G(х)G(х) — первоначальной для функции g(x)g(x), то для функции f(x)+g(x)f(x) + g(x) первоначальной будет функция F(x)+G(х)F(x) + G (х).

Tогда

∫ab(f(x)+g(x))dx=(F(x)+G(x))∣ab=(F(b)+G(b))−(F(a)+G(a))=(F(b)−F(a))+(G(b)−G(a))=∫abf(x)dx+∫abg(x)dxintlimits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))dx=(left. F(x)+G(x)) right|_{a}^{b}=(F(b)+G(b))-(F(a)+G(a))=(F(b)-F(a))+(G(b)-G(a))=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx+intlimits_{a}^{b}{g(x)}dx

Таким образом ∫ab(f(x)+g(x))d=∫abf(x)dx+∫abg(x)dxintlimits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx+intlimits_{a}^{b}{g(x)}dx

  • Если F(x)F(x) является первообразной для функции f(х)f(х) и сс на отрезке [a;b][a; b], то

∫ac(f(x))dx+∫cb(f(x))dx=F(x)∣ac+F(x)∣cb=F(c)−F(a)+F(b)−F(c)=F(b)−F(a)=∫ab(f(x))dxintlimits_{a}^{c}{(f(x)})dx+intlimits_{c}^{b}{(f(x)})dx=left. F(x) right|_{a}^{c}+left. F(x) right|_{c}^{b}=F(c)-F(a)+F(b)-F(c)=F(b)-F(a)=intlimits_{a}^{b}{(f(x)})dx

Итак, если функция f(x)f (x) интегрирована на отрезке [a;b][a; b] и с∈[a;b]с ∈ [a; b], то

∫ab(f(x))dx=∫ac(f(x))dx+∫cb(f(x))dxintlimits_{a}^{b}{(f(x)})dx=intlimits_{a}^{c}{(f(x)})dx+intlimits_{c}^{b}{(f(x)})dx

Пример 1

Вычислить ∫0π41cos⁡2xdxintlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{1}{{{cos }^{2}}x}}dx.

Поскольку для функции f(x)=1cos⁡2xf(x)=frac{1}{{{cos }^{2}}x} мы знаем первообразную – это F(х)=tgхF(х) = tgх, то заданный интеграл вычисляется непосредственным применением формулы Ньютона-Лейбница I=∫abf(x)dx=F(b)−F(a)I=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx=F(b)-F(a).

Решение

∫0π4dxcos⁡2x=tgx∣0π4=tgπ4−tg0=1−0=1intlimits_{0}^{frac{pi }{4}}{frac{dx}{{{cos }^{2}}x}}=left. tgx right|_{0}^{frac{pi }{4}}=tgfrac{pi }{4}-tg0=1-0=1

Ответ: 1.

Пример 2

Вычислите ∫13(4x−x)dxintlimits_{1}^{3}{left( frac{4}{x}-x right)}dx

Решение
Возможны два пути вычисления заданного интеграла.

  1. Сначала найти первообразную для функции, используя правила исчисления первообразных и таблицу первобытных, а затем найти интеграл по формуле Ньютона-Лейбница.

  2. Использовать правило (∫ab(f(x)+g(x))d=∫abf(x)dx+∫abg(x)dxintlimits_{a}^{b}{(f(x)}+g(x))d=intlimits_{a}^{b}{f(x)}dx+intlimits_{a}^{b}{g(x)}dx и записать заданный интеграл как алгебраическую сумму двух интегралов, каждый из которых можно непосредственно вычислить, как в примере 1.

1 способ
Для функции f(x)=(4/x−x)f(x) = (4/x — x) одной из первообразных является F(х)=4ln∣х∣−x2/2F(х) = 4ln|х| — x2/2. Тогда

∫13(4x−x)dx=(4ln⁡∣x∣−x22)∣13=(4ln⁡∣3∣−322)−(4ln⁡∣1∣−122)=4ln⁡3−4intlimits_{1}^{3}{left( frac{4}{x}-x right)}dx=left. left( 4ln left| x right|-frac{{{x}^{2}}}{2} right) right|_{1}^{3}=(4ln left| 3 right|-frac{{{3}^{2}}}{2})-(4ln left| 1 right|-frac{{{1}^{2}}}{2})=4ln 3-4

2 способ

∫13(4x−x)dx=∫134xdx−∫13xdx=4ln⁡∣x∣∣13−x22∣13=4(ln⁡∣3∣−ln⁡∣1∣)−(322−122)=4ln⁡3−4intlimits_{1}^{3}{left( frac{4}{x}-x right)}dx=intlimits_{1}^{3}{frac{4}{x}}dx-intlimits_{1}^{3}{x}dx=left. 4ln left| x right| right|_{1}^{3}-left. frac{{{x}^{2}}}{2} right|_{1}^{3}=4(ln left| 3 right|-ln left| 1 right|)-(frac{{{3}^{2}}}{2}-frac{{{1}^{2}}}{2})=4ln 3-4

Ответ: 4ln(3)−4.4ln(3) — 4.

Тест по теме “Вычисление определенного интеграла”

Простое объяснение принципов решения определённых интегралов и 10 наглядных примеров. В каждом примере поэтапный ход решения и ответ.

Алгоритм решения определенных интегралов

Определённым интегралом функции на отрезке [a, b] называется разность первообразных функции, вычисленных на концах этого отрезка.

Определённый интеграл вычисляется при помощи формулы Ньютона-Лейбница:

    [int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)]

Для нахождения определённых интегралов, используются свойства неопределённых интегралов, правила вычисления определённых интегралов, а также таблица основных неопределённых интегралов.

Таблица основных неопределенных интегралов

Примеры решений определенных интегралов

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_0^pi sin{x}dx]

Решение

По таблице интегралов находим:

    [int_0^pi sin{x}dx = Bigl. -cos{x} Bigr|_0^pi = -(cospi - cos0) = -(-1 - 1) = 2]

Ответ

    [int_0^pi sin{x}dx = 0]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_0^pi -cos{x}dx]

Решение

По таблице интегралов находим:

    [int_0^pi -cos{x}dx = Bigl. -sin{x} Bigr|_0^pi = -(sinpi - sin0) = -(0 - 0) = 0]

Ответ

    [int_0^pi -cos{x}dx = 0]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_0^1 e^{kx}dx]

Решение

По таблице интегралов находим:

    [int_0^1 e^{kx}dx = Bigl. frac{e^{kx}}{k} Bigr|_0^1 = frac{e^{k}}{k} - frac{1}{k}]

= frac{e^{k} - 1}{k}

Ответ

    [int_0^1 e^{kx}dx = frac{e^{k} - 1}{k}]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_{-1}^{1} frac{1}{1 + x^{2}}dx]

Решение

    [int_{-1}^{1} frac{1}{1 + x^{2}}dx = Bigl.  arctgx Bigr|_{-1}^{1} =  arctg(1) -  arctg(-1) = frac{pi}{4} - (-frac{pi}{4}) = frac{pi}{2}]

Ответ

    [int_{-1}^{1} frac{1}{1 + x^{2}}dx = frac{pi}{2}]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_{0}^{sqrt{3}} frac{1}{1 + x^{2}}dx]

Решение

    [int_{0}^{sqrt{3}} frac{1}{1 + x^{2}}dx = Bigl.  arctgx Bigr|_{0}^{sqrt{3}} =  arctg(sqrt{3}) -  arctg(0)]

    [ arctg(sqrt{3}) = frac{pi}{3},  arctg(0) = 0]

    [ arctg(sqrt{3}) -  arctg(0) = frac{pi}{3} - 0 = frac{pi}{3}]

Ответ

    [int_{0}^{sqrt{3}} frac{1}{1 + x^{2}}dx = frac{pi}{3}]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx]

Решение

Вычислим по частям неопределённый интеграл

    [int frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx]

Обозначим: u = sin{x}, dv = frac{dx}{cos^{2}{x}}, du = cos{x}dx, v =  tg{x}

    [int frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx = sin{x} tg{x} - int  tg{x}cos{x}dx = sin{x} tg{x} - int sin{x}dx]

    [sin{x} tg{x} - int sin{x}dx = sin{x} tg{x} + cos{x} + C]

    [int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx = Bigl. sin{x} tg{x} + cos{x} Bigr|_{0}^{frac{pi}{4}}]

    [int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx = (sin{frac{pi}{4}} tg{frac{pi}{4}} + cos{frac{pi}{4}}) - (sin{0} tg{0} + cos{0})]

    [int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx = frac{sqrt{2}}{2}cdot1 + frac{sqrt{2}}{2} - 1 = sqrt{2} - 1]

Ответ

    [int_{0}^{frac{pi}{4}} frac{sin{x}}{cos^{2}{x}}dx = sqrt{2} - 1]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_a^b frac{dx}{x} (a > 0, b > 0)]

Решение

    [int_a^b frac{dx}{x} = Bigl. ln|x| Bigr|_a^b = ln|b| - ln|a|]

Т.к. a > 0 и b > 0, то:

ln|b| - ln|a| = ln{b} - ln{a} = ln{frac{b}{a}}

Ответ

    [int_a^b frac{dx}{x} = ln{frac{b}{a}}]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_0^1 frac{dx}{1 + x}]

Решение

    [int_0^1 frac{dx}{1 + x} = Bigl. ln(1 + x) Bigr|_0^1 = ln2 - ln1 = ln2 - 0 = ln2]

Ответ

    [int_0^1 frac{dx}{1 + x} = ln2]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_{5}^{20} frac{1}{x^{3}}dx]

Решение

    [int_{5}^{20} frac{1}{x^{3}}dx = Bigl. -frac{1}{2x^{2}} Bigr|_{5}^{20} = -frac{1}{800} - (-frac{1}{50}) = frac{-5 + 80}{4000} = frac{3}{160}]

Ответ

    [int_{5}^{20} frac{1}{x^{3}}dx = frac{3}{160}]

Задача

Вычислить интеграл:

    [int_{frac{pi}{2}}^{pi}cos{x}dx]

Решение

    [int_{frac{pi}{2}}^{pi}cos{x}dx = Bigl. sin{x} Bigr|_{frac{pi}{2}}^{pi} = sin{pi} - sin{frac{pi}{2}} = 0 - 1 = -1]

Ответ

    [int_{frac{pi}{2}}^{pi}cos{x}dx = -1]

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Cos как найти физика
  • Как составить план генеральной уборки
  • Как найти радиус зная диагональ цилиндра
  • Как найти потерянную зарядку от айфона
  • Как найти нод числа 441