Как найти определенный интеграл от корня - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Recall that for $alpha neq -1$, we have
$$int (ax+b)^{alpha}dx = dfrac1a cdot dfrac{(ax+b)^{alpha+1}}{alpha+1} + text{ constant}$$
A way to see the above is as follows. Let $y = ax+b$. We then have $dy = adx$. Hence for $alpha neq -1$,
$$int (ax+b)^{alpha}dx = int y^{alpha} dfrac{dy}a = dfrac1a dfrac{y^{alpha+1}}{alpha+1} + text{ constant} = dfrac1a dfrac{(ax+b)^{alpha+1}}{alpha+1} + text{ constant}$$
If $alpha = -1$, we then have
$$int dfrac{dx}{ax+b} = dfrac{log(ax+b)}a + text{ constant}$$

In general, there is no easy way to get $$int sqrt{P(x)} dx,$$ if degree of $P(x)$ is greater than $2$.

If $P(x)$ is linear, i.e., has degree $1$, I have mentioned above how to proceed.

Below we will see how to proceed if $P(x)$ is quadratic, i.e., $$P(x) = ax^2 + bx + c = a ((x+b_1)^2 + c_1).$$
$$b_1=frac{a}{2b}$$ $$c_1=frac{c}{a}-b_1^2$$

We now have the following
$$sqrt{P(x)} = sqrt{a} sqrt{(x+b_1)^2 pm c_1}$$
which gives us that
$$int sqrt{P(x)} dx = sqrt{a} int sqrt{(x+b_1)^2 + c_1} dx$$
and
$$int sqrt{(x+b_1)^2 + c_1} dx = dfrac{(b_1+x)sqrt{P(x)} + c_1 log left(b_1 + x + sqrt{P(x)}right)}2 + text{constant}$$

Источник

Интеграл от корня

Интеграл от корня в таблице интегрирования записан как: $$ int sqrt{x} dx = frac{2}{3}sqrt{x^3} + C $$

Словами это звучит как интеграл от корня равен две трети от квадратного корня из икс в кубе плюс постоянная. Далее в примере сделаем вывод данной формулы с помощью интегрирования показательной функции.

Пример 1

Найти интеграл корень из икс: $ int sqrt{x} dx $

Решение

Вспомним, что такое квадратный корень. Это степень $frac{1}{2}$ при $ x $. Записывается следующим образом: $$ sqrt{x} = x^{frac{1}{2}} $$

Подставляем в интеграл эту формулу и интегрируем уже как показательную функцию по правилу: $$ int x^{p} dx = frac{x^{p+1}}{p+1} + C $$

$$ int sqrt{x} dx = int x^{frac{1}{2}} dx = frac{x^{frac{1}{2}+1}}{frac{1}{2}+1} + C = $$

$$ = frac{x^{frac{3}{2}}}{frac{3}{2}} + C = frac{2}{3} x^frac{3}{2} + C = frac{2}{3} sqrt{x^3} + C $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ int sqrt{x} dx = frac{2}{3}sqrt{x^3} + C $$

Источник

Содержание:

Формула
Примеры вычисления интеграла корня

Формула

$$int frac{d x}{sqrt{x}}=2 sqrt{x}+C$$

Интеграл от единицы, деленной на корень, равен двум таким же корням плюс константа интегрирования.

$$int sqrt{x} d x=frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C$$

Заметим, что данные формулы сводятся к
интегралу от степенной функции при помощи следующих свойств:

$sqrt[m]{x^{n}}=x^{frac{n}{m}}$ и $frac{1}{x^{n}}=x^{-n}$

Примеры вычисления интеграла корня

Пример

Задание. Найти неопределенный интеграл $int frac{d x}{2 sqrt{x}}$

Решение. Согласно
свойствам неопределенного интеграла, константу можно выносить за знак интеграла, то есть получим:

$$int frac{d x}{2 sqrt{x}}=frac{1}{2} int frac{d x}{sqrt{x}}$$

А тогда, согласно формуле, будем иметь:

$$int frac{d x}{2 sqrt{x}}=frac{1}{2} int frac{d x}{sqrt{x}}=frac{1}{2} cdot 2 sqrt{x}+C=sqrt{x}+C$$

Ответ. $int frac{d x}{2 sqrt{x}}=sqrt{x}+C$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание.$int 2 sqrt{x} d x$

Решение. Константу выносим за знак интеграла:

$$int 2 sqrt{x} d x=2 int sqrt{x} d x$$

Далее интеграл находи по формуле:

$$int 2 sqrt{x} d x=2 int sqrt{x} d x=2 cdot frac{2}{3} sqrt{x^{3}}+C=frac{4 sqrt{x^{3}}}{3}+C$$

Ответ. $int 2 sqrt{x} d x=frac{4 sqrt{x^{3}}}{3}+C$

Читать дальше: интеграл обратной функции.

Источник

Преподаватель который помогает студентам и школьникам в учёбе.

Интегрирование иррациональных функций с примерами решения

Содержание:

Интегрирование иррациональных функций.

Определение 1. Функция вида

Пример 1.
— рациональная функция переменных u и v, при этом:

п.1. Интегралы вида:

Пусть s – общий знаменатель дробей Тогда подстановка
делает подинтегральную функцию рациональной.

Пример 2.

Пример 3

п.2. Интегралы вида— интегралы от дифференциального бинома.
Интегралы вида (1) выражаются через элементарные функции в следующих случаях:
а) p∈Z — интегралы рассмотрены в п.1.
б) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
в) , тогда подстановка , где s – знаменатель р приводит интегральную функцию к рациональной.
Во всех других случаях интегралы (1) выразить через элементарные функции нельзя (теорема Чебышева).

Пример 4.

Пример 5.

п.3. Интегралы вида Вычисление интегралов проводится аналогично интегралам выделением полного квадрата в трехчлене
(см. § 21, примеры 1, 2).

Пример 6.

п 4. Интегралы вида , где — многочлен степени n.
Для вычисления интегралов используют равенство:
многочлен степени n−1 . Коэффициенты многочлена а также число λ находятся, если продифференцировать правую и левую часть равенства (2).

Заказать решение задач по высшей математике

Пример 7.
После взятия производной:

Приравниваем друг к другу коэффициенты при одинаковых степенях х в правой и левой частях.

Решив систему (3), получим :

(сравни с примером 5).

п.5. Интегралы вида
В данных интегралах можно избавиться от иррациональности, если применить подходящую тригонометрическую или гиперболическую подстановку.
— для первого интеграла,
— для второго,
— для третьего (см. § 23).