Как найти определить не квадратной матрицы

[math]BadCatss,[/math]
У неквадратных матриц нет определитель(детерминант), но у каждая матрица [math]m times n[/math] (m — ряда и n- столбца) независимо от того [math]m = n[/math] или [math]m ne n[/math] есть ПЕРМАНЕНТ.
Eсли [math]A = begin{pmatrix} a_{11} & … & a_{1n} \ … & … & … \ a_{m1} & … & a_{mn} end{pmatrix}[/math]

и [math]mleqslant n[/math] , то [math]per(A)= sum a_{1i_{1} }a_{2i_{2} } cdot cdot cdot a_{mi_{m} }[/math]

где суммирование производиться по всем [math]m[/math] перестановком [math](i_{1 }, i_{2}, cdot cdot cdot i_{m} )[/math] целых чисeл [math]= 1, 2, …, n[/math]
Так что в Вашем случае
[math]perbegin{pmatrix} 1 & -5 & 2 & 2 end{pmatrix} = 1 +(- 5) + 2 + 2 = 0[/math]

P.S. Я не знаю уровен Вашим знаниям, но судя по вопрос, каторы задаете — он очень недостающий, поетому скажу в дополнение, что перманент (per) используется в комбинаторной математике, смотрите например Г.Дж. Райзер «Комбинаторная математика».

определитель по определению — для квадратной матрицы. по смыслу он объем параллелепипеда, натянутого на вектора-столбцы или строки. Так что в лоб смысла либо нет, либо определитель — ноль (что тоже не несет смысла)

можно ввести какие-то аналоги.

например, навскидку:
можно принять для неквадратной матрицы
|A| = sqrt(|At * A|), где (At — транспонированная А)

В этом есть какой-то смысл, например, при решении системы с числом уравнений, большим, чем число неизвестных по МНК, такой определитель покажет вырожденность системы

Все знают, что определитель квадратной матрицы — это объем n-мерного куба, с ориентированными сторонами, заданными векторами в данной матрице
С квадратными матрицами тут все понятно, но ведь найти опреелитель неквадттной (Например для псевдообъема куба, натянутого на 3 ветора из 4-мерного пространства)

Итак, к самому нахожению оперделителя неквадратной матрицы Если пользоваться правилом миноров, то получаем набор невычисленных векторов, иначе говоря определитель неквадраной матрицы это не число, а вектор
Все бы хорошо, но как понять псевдообщем куба как вектор?
Или тут вообще ковекторы?

P.S. Я слышал что можно получить такой опреелитель ЧИСЛЕННО, высчитывая число перестановок (Или перемещений, или сочетаний — не знаю чего именно) квадратных подопреелителей, составляющий общий опреелитель

P.P.S. А если заместо векторов свзять корень из скаляроног произведения самого на себя (Грубо говоря длину вектора)

This extension of determinants has all 4 properties if A is a square matrix, and retains some attributes of determinants otherwise.

$$|A|^2=|A^{T}A|$$

If you’re willing to break the rules a little bit, this has a valid and useful geometric interpretation. If you have a space defined in a dimension higher than its own, this can still return the area it defines.

Since the square of the determinant of a matrix can be found with the above formula, and because this multiplication is defined for nonsquare matrices, we can extend determinants to nonsquare matrices. For example, take the 3 wide matrix A defined with column vectors, x y and z, where each have n components:

$$A=begin{pmatrix}x|y|zend{pmatrix}$$

You can dot each of the vectors with each other by right multiplying A by its transpose:

$$A^{T}A=begin{pmatrix}x\y\zend{pmatrix}begin{pmatrix}x&y&zend{pmatrix}=begin{pmatrix}
xcdot x & xcdot y & xcdot z\
xcdot y & ycdot y & ycdot z\
xcdot z & ycdot z & zcdot z
end{pmatrix}$$

Taking the determinant of this, you get the square of A’s determinant:
$$2 (xcdot y) (xcdot z) (ycdot z)+(xcdot x) (ycdot y) (zcdot z)-(xcdot z)^2 (ycdot y) — (xcdot x )(ycdot z)^2 — (xcdot y)^2 (zcdot z)$$

In this 3 vector example, the equation above returns the value of the volume defined by vectors x y and z.

You may take the positive square root of this to be the absolute value of the determinant. It’s always positive because it doesn’t make sense to define positive and negative areas for spaces defined in dimensions higher than the space itself. Depending on the perspective, a positive area can become a negative area if looked at from behind.

0 Пользователей и 1 Гость просматривают эту тему.