Как найти определитель через миноры

Миноры
матрицы

Пусть
дана квадратная матрица
А, n — ого порядка. Минором
некоторого элемента а_ij
, определителя матрицы
n — ого порядка называется определитель
(n — 1) — ого порядка, полученный из исходного
путем вычеркивания строки и столбца,
на пересечении которых находится
выбранный элемент а_ij.
Обозначается М_ij.

Рассмотрим
на примере определителя
матрицы 3 — его
порядка:

, тогда
согласно определению минора,
минором
М₁₂,
соответствующим элементу а₁₂,
будет определитель:

При
этом, с помощью миноров
можно облегчать задачу вычисления
определителя матрицы.
Надо разложить определитель
матрицы по некоторой
строке и тогда определитель
будет равен сумме всех элементов этой
строки на их миноры. Разложение
определителя матрицы
3 — его порядка будет выглядеть так:

, знак
перед произведением равен (-1)ⁿ,
где n = i + j.

Алгебраические
дополнения:

Алгебраическим
дополнением элемента
а_ij
называется его минор,
взятый со знаком «+», если сумма (i
+ j) четное число, и со знаком «-«,
если эта сумма нечетное число. Обозначается
А_ij.
А_ij
= (-1)^i+j
× М_ij.

Тогда
можно переформулировать изложенное
выше свойство. Определитель
матрицы равен сумме
произведение элементов некторого ряда
(строки или столбца) матрицы
на соответствующие им алгебраические
дополнения. Пример:

4. Обратная матрица и её вычисление.

Пусть
А — квадратная матрица
n — ого порядка.

Квадратная
матрица
А называется невырожденной, если
определитель
матрицы (Δ = det A) не
равен нулю (Δ = det A ≠ 0). В противном случае
(Δ = 0) матрица
А называется вырожденной.

Матрицей,
союзной к матрице
А, называется матрица

, где
А_ij
— алгебраическое
дополнение элемента
а_ij
данной матрицы
(оно определяется так же, как и
алгебраическое
дополнение элемента
определителя матрицы).

Матрица
А^-1
называется обратной
матрице А, если
выполняется условие:
А × А^-1
= А^-1
× А = Е
, где Е — единичная матрица
того же порядка, что и матрица
А. Матрица
А^-1
имеет те же размеры, что и матрица
А.

Обратная
матрица

Если
существуют квадратные матрицы
Х и А, удовлетворяющие условию:
X × A =
A × X = E
, где Е — единичная матрица
того же самого порядка, то матрица
Х называется обратной
матрицей к матрице А
и обозначается А^-1.
Всякая невырожденная матрица
имеет обратную
матрицу и притом
только одну, т. е. для того чтобы квадратная
матрица
A имела обратную
матрицу, необходимо
и достаточно, чтобы её определитель
был отличен от нуля.

Для
получения обратной
матрицы используют
формулу:

, где
М_ji
дополнительный минор
элемента а_ji
матрицы
А.

5. Ранг матрицы. Вычисление ранга с помощью элементарных преобразований.

Рассмотрим
прямоугольную матрицу mхn. Выделим в
этой матрице какие-нибудь k строк и k
столбцов, 1 £ k £ min (m, n) . Из элементов,
стоящих на пересечении выделенных строк
и столбцов, составим определитель k-го
порядка. Все такие определители называются
минорами матрицы. Например, для матрицы
можно
составить миноры второго порядкаи
миноры первого порядка 1, 0, -1, 2, 4, 3.

Определение.Рангом матрицы называется наивысший
порядок отличного от нуля минора этой
матрицы. Обозначают ранг матрицы r (A).

В
приведенном примере ранг матрицы равен
двум, так как, например, минор

Ранг
матрицы удобно вычислять методом
элементарных преобразований. К
элементарным преобразованиям относят
следующие:

1)    
перестановки строк (столбцов);

2)    
умножение строки (столбца) на число,
отличное от нуля;

3)    
прибавление к элементам строки (столбца)
соответствующих элементов другой строки
(столбца), предварительно умноженных
на некоторое число.

Эти
преобразования не меняют ранга матрицы,
так как известно, что 1) при перестановке
строк определитель меняет знак и, если
он не был равен нулю, то уже и не станет;
2) при умножении строки определителя на
число, не равное нулю, определитель
умножается на это число; 3) третье
элементарное преобразование вообще не
изменяет определитель. Таким образом,
производя над матрицей элементарные
преобразования, можно получить матрицу,
для которой легко вычислить ранг ее и,
следовательно, исходной матрицы.

Определение.
Матрица
,
полученная из матрицыпри
помощи элементарных преобразований,
называется эквивалентной и обозначаетсяА
В.

Теорема.Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях матрицы.

С
помощью элементарных преобразований
можно привести матрицу к так называемому
ступенчатому виду, когда вычисление ее
ранга не представляет труда.

Матрица

 называется
ступенчатой если она имеет вид:

,
где
,,.

Очевидно,
что ранг ступенчатой матрицы равен
числу ненулевых строк
,
т.к. имеется минор
-го
порядка, не равный нулю:

.

Пример.Определить ранг матрицы с помощью
элементарных преобразований.

.

Ранг матрицы равен
количеству ненулевых строк, т.е.
.

Соседние файлы в папке Шпоры ИУП_1сессия

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Мы уже знакомы с понятием определителя матрицы. Также мы рассмотрели правила вычисления детерминантов (определителей) первого и второго порядка. Познакомимся с различными вариантами нахождения определителей третьего порядка.

Вычисление определителей по правилу треугольника

Схематически раскрытие определителя по этому правилу выглядит так:

Согласно рисункам №1 и №2 мы перемножаем элементы, соединенные прямыми. Произведения элементов будут иметь определенные знаки: для рисунка 1 — «+», для рисунка 2 — «-».

На рисунке 1 мы видим равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными главной диагонали; на рисунке 2 — равнобедренные треугольники с основаниями, параллельными второй (побочной) диагонали. Поэтому данное правило имеет такое название.

Определитель может быть вычислен по формуле:

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=

=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a32⋅a21−a13⋅a22⋅a31−a12⋅a33⋅a21−a11⋅a23⋅a32=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{32}cdot a_{21}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{12}cdot a_{33}cdot a_{21}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}.

Примеры

Рассмотрим примеры нахождения определителя по правилу треугольника.

Пример 1

Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу треугольника.

По правилу треугольника определитель третьего порядка равен:

∣925148637∣=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅3⋅1−5⋅4⋅6−2⋅7⋅1−9⋅8⋅3=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot3cdot1-5cdot4cdot6-2cdot7cdot1-9cdot8cdot3=

=252+96+15−120−14−216=13=252+96+15-120-14-216=13.

Пример 2

Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу треугольника.

Искомый определитель третьего порядка равен:

∣21−46−3510−1∣=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=

=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅0⋅6−(−4)⋅(−3)⋅1−1⋅(−1)⋅6−2⋅5⋅0=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot0cdot6-(-4)cdot(-3)cdot1-1cdot(-1)cdot6-2cdot5cdot0=6+5-12+6=5.

При вычислении определителей таким способом можно легко совершить ошибку из-за невнимательности. Чтобы избежать таких ошибок существует второй способ, называемый правилом Саррюса, или способом «параллельных полосок».

Вычисление определителей по правилу Саррюса

Правило Саррюса также именуют способом присоединения двух строк/столбцов или правилом параллельных полосок.

Основная идея этого правила состоит в приписывании первого и второго столбца справа от определителя.

Вычисления будем производить по следующей схеме:

Перемножаем элементы, соединенные прямыми. Данные произведения берем со знаком «+», если диагональ, на которой они стоят, является главной или параллельной ей; со знаком «-», если она является второй (побочной) или параллельной ей.

В общем виде вычисление по правилу Саррюса можно записать следующим образом:

∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣=∣a11a12a13a21a22a23a31a32a33∣a11a12a21a22a31a32=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}begin{matrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{matrix}=

=a11⋅a22⋅a33+a12⋅a23⋅a31+a13⋅a21⋅a32−a13⋅a22⋅a31−a11⋅a23⋅a32−a12⋅a21⋅a33=a_{11}cdot a_{22}cdot a_{33}+a_{12}cdot a_{23}cdot a_{31}+a_{13}cdot a_{21}cdot a_{32}-a_{13}cdot a_{22}cdot a_{31}-a_{11}cdot a_{23}cdot a_{32}-a_{12}cdot a_{21}cdot a_{33}.

Сравнивая эти два способа вычисления определителей, видим одинаковые множители, которые во втором случае немного переставлены местами.
Возможность допустить ошибку, вычисляя определитель по правилу Саррюса, намного меньше.

Примеры

Пример 1

Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

∣925148637∣921463=begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}begin{matrix}9&2\1&4\6&3end{matrix}=

=9⋅4⋅7+2⋅8⋅6+5⋅1⋅3−5⋅4⋅6−9⋅8⋅3−2⋅1⋅7=252+96+15−120−216−14=13=9cdot4cdot7+2cdot8cdot6+5cdot1cdot3-5cdot4cdot6-9cdot8cdot3-2cdot1cdot7=252+96+15-120-216-14=13.

Пример 2

Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по правилу Саррюса.

Приписываем два первых столбца справа от определителя и вычисляем его:

∣21−46−3510−1∣216−310=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}begin{matrix}2&1\6&-3\1&0end{matrix}=

=2⋅(−3)⋅(−1)+1⋅5⋅1+(−4)⋅6⋅0−(−4)⋅(−3)⋅1−2⋅5⋅0−1⋅6⋅(−1)=6+5−12+6=5=2cdot(-3)cdot(-1)+1cdot5cdot1+(-4)cdot6cdot0-(-4)cdot(-3)cdot1-2cdot5cdot0-1cdot6cdot(-1)=6+5-12+6=5.

Существует еще одна вариация правила Саррюса. Она состоит в приписывании первой и второй строки снизу от определителя. Вычисления производятся аналогично.

Минор и алгебраическое дополнение

Прежде чем перейти к рассмотрению еще одного способа вычисления определителей 3-го порядка разберем 2 понятия: минор, алгебраическое дополнение.

Минор

Минор

Минором MijM_{ij} к элементу aija_{ij} определителя n-го порядка называется определитель (n−1)(n-1)-го порядка, который получается из исходного определителя вычеркиванием ii-той строки и jj-того столбца.

Таким образом, минор — это определитель, который остается после вычеркивания определенной строки и определенного столбца. Например, M11M_{11} получается вычеркиванием 1-й строки и 1-го столбца, M23M_{23} — вычеркиванием 2-й строки и 3-го столбца.

Алгоритм нахождения миноров:

1. вычеркиваем ii-ю строку;
2. вычеркиваем jj-й столбец;
3. записываем определитель, который получили в результате действий 1 и 2.

Примеры

Пример 1

Найти миноры матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=∣925148637∣=∣4837∣=4⋅7−3⋅8=28−24=4M_{11}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\color{green}1&4&8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4cdot7-3cdot8=28-24=4,

M12=∣925148637∣=∣1867∣=1⋅7−6⋅8=7−48=−41M_{12}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&color{green}4&8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=1cdot7-6cdot8=7-48=-41,

M13=∣925148637∣=∣1463∣=1⋅3−6⋅4=3−24=−21M_{13}=begin{vmatrix}color{green}9&color{green}2&color{green}5\1&4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=1cdot3-6cdot4=3-24=-21,

M21=∣925148637∣=∣2537∣=2⋅7−3⋅5=14−15=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\color{green}6&3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=2cdot7-3cdot5=14-15=-1,

M22=∣925148637∣=∣9567∣=9⋅7−6⋅5=63−30=33M_{22}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&color{green}3&7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=9cdot7-6cdot5=63-30=33,

M23=∣925148637∣=∣9263∣=9⋅3−6⋅2=27−12=15M_{23}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\color{green}1&color{green}4&color{green}8\6&3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=9cdot3-6cdot2=27-12=15,

M31=∣925148637∣=∣2548∣=2⋅8−4⋅5=16−20=−4M_{31}=begin{vmatrix}color{green}9&2&5\color{green}1&4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=2cdot8-4cdot5=16-20=-4,

M32=∣925148637∣=∣9518∣=9⋅8−1⋅5=72−5=67M_{32}=begin{vmatrix}9&color{green}2&5\1&color{green}4&8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=9cdot8-1cdot5=72-5=67,

M33=∣925148637∣=∣9214∣=9⋅4−1⋅2=36−2=34M_{33}=begin{vmatrix}9&2&color{green}5\1&4&color{green}8\color{green}6&color{green}3&color{green}7end{vmatrix}=begin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=9cdot4-1cdot2=36-2=34.

Пример 2

Найти миноры матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.

Те строки и столбцы, которые будем вычеркивать, обозначим зеленым цветом.

M11=∣21−46−3510−1∣=∣−350−1∣=(−3)⋅(−1)−0⋅5=3−0=3M_{11}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=(-3)cdot(-1)-0cdot5=3-0=3,

M12=∣21−46−3510−1∣=∣651−1∣=6⋅(−1)−1⋅5=−6−5=−11M_{12}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&color{green}-3&5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=6cdot(-1)-1cdot5=-6-5=-11,

M13=∣21−46−3510−1∣=∣6−310∣=6⋅0−1⋅(−3)=0+3=3M_{13}=begin{vmatrix}color{green}2&color{green}1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=6cdot0-1cdot(-3)=0+3=3,

M21=∣21−46−3510−1∣=∣1−40−1∣=1⋅(−1)−0⋅(−4)=−1−0=−1M_{21}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\color{green}1&0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1cdot(-1)-0cdot(-4)=-1-0=-1,

M22=∣21−46−3510−1∣=∣2−41−1∣=2⋅(−1)−1⋅(−4)=−2+4=2M_{22}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&color{green}0&-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2cdot(-1)-1cdot(-4)=-2+4=2,

M23=∣21−46−3510−1∣=∣2110∣=2⋅0−1⋅1=0−1=−1M_{23}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\color{green}6&color{green}-3&color{green}5\1&0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=2cdot0-1cdot1=0-1=-1,

M31=∣21−46−3510−1∣=∣1−4−35∣=1⋅5−(−3)⋅(−4)=5−12=−7M_{31}=begin{vmatrix}color{green}2&1&-4\color{green}6&-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}
1&-4\-3&5end{vmatrix}=1cdot5-(-3)cdot(-4)=5-12=-7,

M32=∣21−46−3510−1∣=∣2−465∣=2⋅5−6⋅(−4)=10+24=34M_{32}=begin{vmatrix}2&color{green}1&-4\6&color{green}-3&5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=2cdot5-6cdot(-4)=10+24=34,

M33=∣21−46−3510−1∣=∣216−3∣=2⋅(−3)−6⋅1=−6−6=−12M_{33}=begin{vmatrix}2&1&color{green}-4\6&-3&color{green}5\color{green}1&color{green}0&color{green}-1end{vmatrix}=begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=2cdot(-3)-6cdot1=-6-6=-12.

Алгебраическое дополнение

Алгебраическое дополнение

Алгебраическим дополнением AijA_{ij} к элементу aija_{ij} определителя nn-го порядка называется число Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij},

где ii, jj — соответствующие строка и столбец,

MijM_{ij} — минор к элементу aija_{ij}.

Алгоритм нахождения алгебраических дополнений:

1. найти сумму номеров строки (i)(i) и столбца (j)(j);
2. найти минор MijM_{ij} по алгоритму нахождения миноров, который представлен выше;
3. подставить значения, полученные на шагах 1 и 2, в формулу Aij=(−1)i+j⋅MijA_{ij}=(-1)^{i+j}cdot M_{ij}.

Примеры

Пример 1

Найти алгебраические дополнения матрицы F=(925148637)F=begin{pmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{pmatrix}.

A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣4837∣=4A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}= (-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}4&8\3&7end{vmatrix}=4,

A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣1867∣=41A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}=41,

A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣1463∣=−21A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&4\6&3end{vmatrix}=-21,

A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣2537∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}= (-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}2&5\3&7end{vmatrix}=1,

A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣9567∣=33A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}= (-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}=33,

A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣9263∣=−15A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}= (-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&2\6&3end{vmatrix}=-15,

A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣2548∣=−4A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&5\4&8end{vmatrix}=-4,

A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣9518∣=−67A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=-67,

A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣9214∣=34A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}9&2\1&4end{vmatrix}=34.

Пример 2

Найти алгебраические дополнения матрицы G=(21−46−3510−1)G=begin{pmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{pmatrix}.

A11=(−1)1+1⋅M11=(−1)2⋅∣−350−1∣=3A_{11}=(-1)^{1+1}cdot M_{11}=(-1)^{2}cdotbegin{vmatrix}-3&5\0&-1end{vmatrix}=3,

A12=(−1)1+2⋅M12=(−1)3⋅∣651−1∣=11A_{12}=(-1)^{1+2}cdot M_{12}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}6&5\1&-1end{vmatrix}=11,

A13=(−1)1+3⋅M13=(−1)4⋅∣6−310∣=3A_{13}=(-1)^{1+3}cdot M_{13}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}6&-3\1&0end{vmatrix}=3,

A21=(−1)2+1⋅M21=(−1)3⋅∣1−40−1∣=1A_{21}=(-1)^{2+1}cdot M_{21}=(-1)^{3}cdotbegin{vmatrix}1&-4\0&-1end{vmatrix}=1,

A22=(−1)2+2⋅M22=(−1)4⋅∣2−41−1∣=2A_{22}=(-1)^{2+2}cdot M_{22}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}2&-4\1&-1end{vmatrix}=2,

A23=(−1)2+3⋅M23=(−1)5⋅∣2110∣=1A_{23}=(-1)^{2+3}cdot M_{23}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&1\1&0end{vmatrix}=1,

A31=(−1)3+1⋅M31=(−1)4⋅∣1−4−35∣=−7A_{31}=(-1)^{3+1}cdot M_{31}=(-1)^{4}cdotbegin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}=-7,

A32=(−1)3+2⋅M32=(−1)5⋅∣2−465∣=−34A_{32}=(-1)^{3+2}cdot M_{32}=(-1)^{5}cdotbegin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}=-34,

A33=(−1)3+3⋅M33=(−1)6⋅∣216−3∣=−12A_{33}=(-1)^{3+3}cdot M_{33}=(-1)^{6}cdotbegin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-12.

Зная, что такое миноры и алгебраические дополнения, рассмотрим вычисление определителя по строке и столбцу.

Вычисление определителя по строке или столбцу

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Алгоритм вычисления определителя по строке или столбцу:

1. находим алгебраические дополнения элементов строки или столбца;
2. находим произведения элементов на их алгебраические дополнения;
3. находим сумму, полученных на шаге 2, произведений.

Примеры

Пример 1

Найти определитель ∣925148637∣begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix} по 2 столбцу.

∣925148637∣=2⋅A12+4⋅A22+3⋅begin{vmatrix}9&2&5\1&4&8\6&3&7end{vmatrix}=2cdot A_{12}+4cdot A_{22}+3cdot

A32=2(−1)3M12+4(−1)4M22+3(−1)5M32=2(−1)3∣1867∣+4(−1)4∣9567∣+3(−1)5∣9518∣=A_{32}=2(-1)^{3}M_{12}+4(-1)^{4}M_{22}+3(-1)^{5}M_{32}=2(-1)^{3}begin{vmatrix}1&8\6&7end{vmatrix}+4(-1)^{4}begin{vmatrix}9&5\6&7end{vmatrix}+3(-1)^{5}begin{vmatrix}9&5\1&8end{vmatrix}=

=−2⋅(−41)+4⋅33−3⋅67=82+132−201=13=-2cdot(-41)+4cdot33-3cdot67=82+132-201=13.

Пример 2

Найти определитель ∣21−46−3510−1∣begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix} по 3 строке.

∣21−46−3510−1∣=1⋅A31+0⋅A32−1⋅A33=1(−1)4M31+0(−1)5M32−1(−1)6M33=begin{vmatrix}2&1&-4\6&-3&5\1&0&-1end{vmatrix}=1cdot A_{31}+0cdot A_{32}-1cdot A_{33}=1(-1)^{4}M_{31}+0(-1)^{5}M_{32}-1(-1)^{6}M_{33}=

=1(−1)4∣1−4−35∣+0(−1)5∣2−465∣−1(−1)6∣216−3∣=−7+0+12=5=1(-1)^{4}begin{vmatrix}1&-4\-3&5end{vmatrix}+0(-1)^{5}begin{vmatrix}2&-4\6&5end{vmatrix}-1(-1)^{6}begin{vmatrix}2&1\6&-3end{vmatrix}=-7+0+12=5.

Любой из рассмотренных способов можно применять при нахождении определителей третьего порядка. В следующий раз мы разберем вычисление определителей матриц высших порядков.

Оформите решение задачи на заказ онлайн, если возникают трудности с выполнением!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы третьего порядка»

Вычисление определителей 2-го и 3-го порядков. Миноры, алгебраические дополнения.

Литература: Сборник задач по математике. Часть 1. Под ред А. В. Ефимова, Б. П. Демидовича.

Квадратная таблица $$A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{pmatrix}$$ составленная из четырех действительных или комплексных чисел называется квадратной матрицей 2-го порядка. Определителем 2-го порядка, соответствующим матрице $A$ (или просто определителем матрицы $A$) называется число $$det A=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{vmatrix}=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$$

Аналогично если $$A=begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{pmatrix}$$

— квадратная матрица 3-го порядка, то соответсвующим ей определителем 3-го порядка называется число

$$det A=begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}=$$ $$a_{11}a_{22}a_{33}+a_{21}a_{32}a_{13}+a_{12}a_{23}a_{31}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{23}a_{32}a_{11}.$$

Эту формулу называют «правило треугольника»: одно из трех слагаемых, входящих в правую часть со знаком «+», есть произведение элементов главной диагонали матрицы, каждое из двух других — произведение элементов лежащих на параллели к этой диагонали и элемента из противоположного угла матрицы, а слагаемые, входящие в со знаком минус, строятся таким же образом, но относительно второй (побочной) диагонали. 

Примеры.

Вычислить определители второго порядка:

3.1. $begin{vmatrix}-1&4\-5&2end{vmatrix}$

Решение.

$begin{vmatrix}-1&4\-5&2end{vmatrix}=-1cdot 2-(-5)cdot 4=-2+20=18.$

Ответ: 18.

3.2. $begin{vmatrix}a+b&a-b\a-b&a+bend{vmatrix}$

 Решение.

$begin{vmatrix}a+b&a-b\a-b&a+bend{vmatrix}=(a+b)^2-(a-b)^2=a^2+2ab+b^2-a^2+2ab-b^2=4ab.$

Ответ: $4ab.$

3.8. Решить уравнение:

$begin{vmatrix}x&x+1\-4&x+1end{vmatrix}=0.$

Решение.

$begin{vmatrix}x&x+1\-4&x+1end{vmatrix}=x(x+1)-(-4)(x+1)=x^2+x+4x-4=x^2+5x+4.$

Осталось решить квадратное уравнение $x^2+5x+4=0:$

$D=25-16=9$

$x_1=frac{-5-3}{2}=-4;qquad x_2=frac{-5+3}{2}=-1.$

Ответ: $x_1=-4;,,, x_2=-1.$

 {jumi[*4]}

3.13. $begin{vmatrix}3&4&-5\8&7&-2\2&-1&8end{vmatrix}.$

Решение.

$begin{vmatrix}3&4&-5\8&7&-2\2&-1&8end{vmatrix}=3cdot 7cdot8+(-5)cdot 8cdot(-1)+4cdot(-2)cdot2-(-5)cdot7cdot2-$

$-4cdot8cdot8-3cdot(-2)cdot(-1)=168+40-16+70-256-6=0.$

Ответ: $0.$

3.16. $begin{vmatrix}sinalpha&cosalpha&1\sinbeta&cosbeta&1\singamma&cosgamma&1end{vmatrix}.$

 Решение.

 $begin{vmatrix}sinalpha&cosalpha&1\sinbeta&cosbeta&1\singamma&cosgamma&1end{vmatrix}=sinalphacosbeta+sinbetacosgamma+cosalphasingamma-$

$-cosbetasingamma-sinalphacosgamma-cosalphasinbeta=$

$=sin(alpha-beta)+sin(beta-gamma)+sin(gamma-alpha).$

Ответ: $sin(alpha-beta)+sin(beta-gamma)+sin(gamma-alpha).$

Свойства определителя:

1) Если матрицу транспонировать, то определитель не изменится: $det A^T=det A.$

2) Если все элементы строки (столбца) умножить на одно и тоже число, то определитель умножится на это число.

3) Если поменять местами две строки (столбца), то определитель поменяет знак. В частности, если две строки (столбца) равны, то определитель равен нулю.

4) Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представлен в виде суммы двух слагаемых, то определитель равен сумме двух определителей, у которых все строки (столбцы), кроме данной, прежние, а в данной строке (столбце) в первом определителе стоят первые, а во втором — вторые слагаемые.

5) Если одна строка (столбец) является линейной комбинацией других строк (столбцов), то определитель равен нулю.

6) Определитель не меняется если к одной из его строк (столбцов) добавить линейную комбинацию его других строк (столбцов).

Примеры:

3.24. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3end{vmatrix}=$ $-2xbegin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\a_2&b_2&c_2\a_3&b_3&c_3end{vmatrix}.$

Доказательство.

$begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1-b_1x&c_1\a_2+b_2x&a_2-b_2x&c_2\a_3+b_3x&a_3-b_3x&c_3end{vmatrix}=$

 $begin{vmatrix}a_1&a_1-b_1x&c_1\a_2&a_2-b_2x&c_2\a_3&a_3-b_3x&c_3end{vmatrix}+$ $begin{vmatrix}b_1x&a_1-b_1x&c_1\b_2x&a_2-b_2x&c_2\b_3x&a_3-b_3x&c_3end{vmatrix}=$ 

$=begin{vmatrix}a_1&a_1&c_1\a_2&a_2&c_2\a_3&a_3&c_3end{vmatrix}-$ $begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\a_2&b_2x&c_2\a_3&b_3x&c_3end{vmatrix}+$ $begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\b_2x&a_2&c_2\b_3x&a_3&c_3end{vmatrix}-$ $begin{vmatrix}b_1x&b_1x&c_1\b_2x&b_2x&c_2\b_3x&b_3x&c_3end{vmatrix}=$ 

$-begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\a_2&b_2x&c_2\a_3&b_3x&c_3end{vmatrix}+$ $begin{vmatrix}b_1x&a_1&c_1\b_2x&a_2&c_2\b_3x&a_3&c_3end{vmatrix}=$ $-begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\a_2&b_2x&c_2\a_3&b_3x&c_3end{vmatrix}-$ $begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\a_2&b_2x&c_2\a_3&b_3x&c_3end{vmatrix}=$ 

$-2begin{vmatrix}a_1&b_1x&c_1\a_2&b_2x&c_2\a_3&b_3x&c_3end{vmatrix}=$ $-2xbegin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\a_2&b_2&c_2\a_3&b_3&c_3end{vmatrix}.$

 Что и требовалось доказать.

3.31. Проверить, что определитель $begin{vmatrix}1&1&1\x&y&z\x^2&y^2&z^2end{vmatrix}$ делится на $x-y, y-z$ и $z-x.$

Проверка. 

1)  Пользуясь 6-м свойством определителей от первого столбца отнимаем второй, а затем используем 2-е свойство и выносим общий множетель за определитель.

 $begin{vmatrix}1&1&1\x&y&z\x^2&y^2&z^2end{vmatrix}=$ $begin{vmatrix}0&1&1\x-y&y&z\x^2-y^2&y^2&z^2end{vmatrix}=$ $begin{vmatrix}0&1&1\x-y&y&z\(x-y)(x+y)&y^2&z^2end{vmatrix}=$ 

 $(x-y)begin{vmatrix}0&1&1\1&y&z\x+y&y^2&z^2end{vmatrix}.$

Таким образом, мы доказали, что определитель делится на $x-y.$ Совершенно аналогично доказываются и два других случая:

2) $begin{vmatrix}1&1&1\x&y&z\x^2&y^2&z^2end{vmatrix}=$ $begin{vmatrix}1&0&1\x&y-z&z\x^2&y^2-z^2&z^2end{vmatrix}=$  $begin{vmatrix}1&0&1\x&y-z&z\x^2&(y-z)(y+z)&z^2end{vmatrix}=$

 $(y-z)begin{vmatrix}1&0&1\x&1&z\x^2&y+z&z^2end{vmatrix}.$

3) $begin{vmatrix}1&1&1\x&y&z\x^2&y^2&z^2end{vmatrix}=$ $begin{vmatrix}1&1&0\x&y&z-x\x^2&y^2&z^2-x^2end{vmatrix}=$  $begin{vmatrix}1&1&0\x&y&z-x\x^2&y^2)&(z-x)(z+x)end{vmatrix}=$

  $(z-x)begin{vmatrix}1&1&0\x&y&1\x^2&y^2&z+xend{vmatrix}.$

---

Минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется определитель $n-1-$ го порядка, полученного из исходного определителя вычеркиванием $i-$й строки и $j-$го столбца:

$M_{ij}=$begin{vmatrix}a_{11}&cdots&a_{1,j-1}&a_{1,j+1}&cdots&a_{1n}\cdots&cdots&cdots&cdots&cdots&cdots\a_{i-1,1}&cdots&a_{i-1,j-1}&a_{i-1,j+1}&cdots&a_{i-1,n}\a_{i+1,1}&cdots&a_{i+1,j-1}&a_{i+1,j+1}&cdots&a_{i+1,n}\cdots&cdots&cdots&cdots&cdots&cdots\a_{n1}&cdots&a_{n,j-1}&a_{n,j+1}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы $A$ $n-$ го порядка называется число равное произведению минора $M_{ij}$ на $(-1)^{i+j}:$ $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Определители $n-$го порядка вычисляются с помощью метода понижения порядка — по формуле $det A=sumlimits_{j=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($i$ фиксированно) — разложение по $i-$й строке.

Из этой формулы и второго свойства определителей — $det A^T=det A,$ следует, что верна также формула разложения по $j$ столбцу $det A=sumlimits_{i=1}^na_{ij}A_{ij}$ ($j$ фиксированно).

Метод приведения к треугольному виду заключается в преобразовании определителя, когда все элементы, лежащие по одну сторону одной из ее диагоналей, становятся равными нулю. В этом случае определитель равен произведению диагональных элементов.

Примеры.

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.50. $begin{vmatrix}1&0&2\0&2&0\2&0&3end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по второй строке: $begin{vmatrix}1&0&2\0&2&0\2&0&3end{vmatrix}=$ $0cdot(-1)^{2+1}begin{vmatrix}0&2\0&3end{vmatrix}+$ $2cdot(-1)^{2+2}begin{vmatrix}1&2\2&3end{vmatrix}+$ $0cdot(-1)^{2+3}begin{vmatrix}1&0\2&0end{vmatrix}$ $=2(3-4)=-2.$

3.54. (a) $begin{vmatrix}2&-3&4&1\4&-2&3&2\a&b&c&d\3&-1&4&3end{vmatrix}.$

Решение.

Вычислим этот определитель с помощью разложения по третьей строке: $begin{vmatrix}2&-3&4&1\4&-2&3&2\a&b&c&d\3&-1&4&3end{vmatrix}=$ $acdot(-1)^{3+1}$ $begin{vmatrix}-3&4&1\-2&3&2\-1&4&3end{vmatrix}+$ $bcdot(-1)^{3+2}begin{vmatrix}2&4&1\4&3&2\3&4&3end{vmatrix}+$ $+ccdot(-1)^{3+3}begin{vmatrix}2&-3&1\4&-2&2\3&-1&3end{vmatrix}+$ $dcdot(-1)^{3+4}begin{vmatrix}2&-3&4\4&-2&3\3&-1&4end{vmatrix}=$

$=a(-27-8-8+3+24+24)-b(18+16+24-9-16-48)+$

$+c(-12-4-18+6+4+36)-d(-16-16-27+24+6+48)=$

$=8a+15b+12c-19d.$

Ответ: $8a+15b+12c-19d.$

   {jumi[*4]}

3.61. Вычислить определитель: $begin{vmatrix}2&1&1&1&1\1&3&1&1&1\1&1&4&1&1\1&1&1&5&1\1&1&1&1&6end{vmatrix}.$

Решение.

 Вычислим этот определитель с помощью приведения определителя к треугольному виду:

$begin{vmatrix}2&1&1&1&1\1&3&1&1&1\1&1&4&1&1\1&1&1&5&1\1&1&1&1&6end{vmatrix}=$ от каждой из первых четырех строк отнимем пятую $=begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\1&1&1&1&6end{vmatrix}=$ от пятой строки отнимем первую, затем пятую строку умножим на два 

$=begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&1&1&1&11end{vmatrix}=$ $frac{1}{2}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&2&2&2&22end{vmatrix}=$ Далее от пятой строки отнимем вторую, после чего пятую строку умножим на $frac{3}{2}:$ $=frac{1}{2}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&0&2&2&27end{vmatrix}=$ $frac{1}{2}frac{2}{3}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&0&3&3&40,5end{vmatrix}=$ Теперь от пятой строки отнимем третью, после чего пятую строку умножим на $frac{4}{3}:$ $=frac{1}{3}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&0&0&3&45,5end{vmatrix}=$ $frac{1}{3}frac{3}{4}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&0&0&4&frac{182}{3}end{vmatrix}=$ Отнимем от пятой строки четвертую и перемножив диагональные элементы получаем ответ: $=frac{1}{4}begin{vmatrix}1&0&0&0&-5\0&2&0&0&-5\0&0&3&0&-5\0&0&0&4&-5\0&0&0&0&frac{197}{3}end{vmatrix}=$ $=frac{1}{4}cdot2cdot3cdot4cdotfrac{197}{3}=394.$ 

Ответ: $394.$

Домашнее задание:

Вычислить определители второго порядка:

3.3. $begin{vmatrix}cosalpha&-sinalpha\sinalpha&cosalphaend{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

3.7. $begin{vmatrix}frac{1-t^2}{1+t^2}&frac{2t}{1+t^2}\-frac{2t}{1+t^2}&frac{1-t^2}{1+t^2}end{vmatrix}.$

Ответ: $1.$

Решить уравнение:

3.9. $begin{vmatrix}cos 8x&-sin 5x\sin 8x&cos 5xend{vmatrix}=0.$

Ответ: $x=frac{pi}{6}+frac{pi k}{3},$ $kin Z.$ 

Вычислить определители 3-го порядка:

3.12.  $begin{vmatrix}1&2&3\4&5&6\7&8&9end{vmatrix}.$

Ответ: $0.$

3.15. $begin{vmatrix}alpha^2+1&alphabeta&alphagamma\alphabeta&beta^2+1&betagamma\alphagamma&betagamma&gamma^2+1end{vmatrix}.$

Ответ: $alpha^2+beta^2+gamma^2+1.$

3.25. Используя свойства определителя доказать следующее тождество: $begin{vmatrix}a_1+b_1x&a_1x+b_1&c_1\a_2+b_2x&a_2x+b_2&c_2\a_3+b_3x&a_3x+b_3&c_3end{vmatrix}=$ $(1-x^2)begin{vmatrix}a_1&b_1&c_1\a_2&b_2&c_2\a_3&b_3&c_3end{vmatrix}.$

3.32. Проверить, что определитель $begin{vmatrix}x&y&x+y\y&x+y&x\x+y&x&yend{vmatrix}$ делится на $x+y$ и $x^2-xy+y^2.$

Вычислить определители, используя подходящее разложение по строке или столбцу.

3.51. $begin{vmatrix}-1&5&2\0&7&0\1&2&0end{vmatrix}.$

Ответ: $-14.$

3.52. $begin{vmatrix}2&1&0\1&2&1\0&1&2end{vmatrix}.$

Ответ: $4.$

3.54. (б) $begin{vmatrix}5&a&2&-1\4&b&4&-3\2&c&3&-2\4&d&5&-4end{vmatrix}.$

Ответ: $2a-8b+c+5d.$

3.62. Вычислить определитель: $begin{vmatrix}5&6&0&0&0\1&5&6&0&0\0&1&5&6&0\0&0&1&5&6\0&0&0&1&5end{vmatrix}.$

Ответ: $665.$

  {jumi[*4]}

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.

Содержание:

Определители II и III порядка

Определение: Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая раскрывается по определенному правилу.

Числа

Определение: Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2×2, т.е. имеющая 2 строки и 2 столбца.

Определение: Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

Пример:

Определение: Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3×3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных:

Пример:

Определение: Минором элемента называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n путем вычеркивания строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент

Пример:

Найти миноры элементов и определителя из Примера 2. Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2: получим минор Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор

Пример:

Найти миноры элементов и определителя Исходя из определения минора получаем аналогично найдем минор

Определение: Алгебраическим дополнением элемента называется произведение минора этого элемента на т.е.

Замечание: Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма — нечетное число.

Определение: Транспонированным определителем n-го порядка называется определитель порядка n, полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если

Пример:

Найти определитель, транспонированный к определителю Из определения транспонированного определителя

Свойства определителей

1. Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя. Пусть Отсюда видно, что

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный. Пусть

Если поменять местами строки (столбцы) четное число раз, то величина и знак определителя не меняется. Нечетная перестановка местами строк (столбцов) не меняет величину определителя, но изменяет его знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то

4. Для того чтобы умножить определитель на число k, достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.

Докажем это свойство:

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка первая и вторая строки пропорциональны, тогда

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка все элементы первой строки равны нулю, тогда

7. Если элементы какой-либо строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если Доказать самостоятельно.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число к и прибавить k соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя не изменится.

Умножим элементы второго столбца на вещественное число k и прибавим результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получим

Второй определитель равен нулю по свойству 5.

Замечание: Данное свойство применяется для обнуления всех элементов какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), что существенно снижает трудоемкость вычисления определителей порядка выше 3 (см. также свойство 9.).

9. [Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка]. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример:

Вычислить определитель по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Решение:

Воспользуемся свойством 9.: раскроем определитель по элементам 3 строки Вычислим определитель по элементам 2 столбца

Из полученных результатов видно, что свойство 9. является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам любой строки или столбца.

Используя свойство 8. можно обнулить все элементы какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), а затем раскрыть определитель по элементам этой строки, воспользовавшись свойством 9.

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Обнулим элементы в третьей строке, для чего выполним следующие действия: (по свойству 4. из третьей строки вынесем множитель 2) используя свойство 8., умножим все элементы второго столбца на 1.5 и прибавим к соответствующим элементам третьего столбца, получим)

(по свойству 4. из третьего столбца вынесем множитель 0,5, тогда множитель перед определителем станет равным 1)

(раскроем определитель по элементам третьей строки: выше из определителя третьего порядка вычеркнута третья строка с нулями и второй столбец, т.е. показан необходимый для дальнейших вычислений минор Таким образом, метод обнуления позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное уравнение

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное неравенство

Пример:

Вычислить определитель четвертого порядка (аналогично выполнить такие же действия с определителем третьего порядка), преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда:

Решение:

Во второй строке исходного определителя присутствуют 1 и 0, поэтому обнуление элементов будем производить в этой строке (при обнулении элементов в строке действия производят со столбцами и наоборот): — строка обнуления; — столбцы, с которыми производят действия)=

(по методу обнуления раскроем определитель по элементам 2-ой строки ( — цифры, с которыми производятся действия))

(по универсальному методу раскроем определитель по элементам третьей строки)

Определители

Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку в которой 3 переходит в

Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

где индексы составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…,n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (-1)^q где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число то сам определитель умножится на
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов в другом — из элементов
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором элемента определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя d называется его минор взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать Таким образом,

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

• Заказать решение задач по высшей математике

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки или j- го столбца

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример:

Не вычисляя определителя показать, что он равен нулю.

Решение:

Вычтем из второй строки первую, получим определитель равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель в котором две строки пропорциональны.

Такой определитель равен нулю.

Пример:

Вычислить определитель разложив его по элементам второго столбца.

Решение:

Разложим определитель по элементам второго столбца:

Пример:

Вычислить определитель в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение:

Разложим определитель А по первой строке:

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

И так далее. После n шагов придем к равенству

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

——- в вышмате

Определители. Алгебраические дополнения

Внимание! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ. Элементы квадратной матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, составляют побочную диагональ.

Определитель матрицы обозначается одним из следующих символов:

Внимание! Определитель — это число, характеризующее квадратную мат- рицу.

Определитель матрицы второго порядка равен разности элементов главной и побочной диагоналей соответственно:

Определитель матрицы третьего порядка равен сумме элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, а также разности элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Схематично это правило изображается так (правило треугольника):

Например,

Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны нулю.

Отметим некоторые свойства определителя.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
2. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
3. От перестановки двух рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак.
4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.
7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.
8. Определитель произведения двух матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение:

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на Обозначение:

Теорема разложения.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Пример №2

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки:

Решение:

По теореме разложения

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения (метод понижения порядка) или методом приведения определителя к треугольному виду.

Пример №3

Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение:

Применяя свойство 6 определителей, преобразуем последовательно второй, третий, четвертый столбцы матрицы.

1. прибавили ко второму столбцу первый, умноженный на -2;
2. прибавили к третьему столбцу первый, умноженный на -3;
3. прибавили к четвертому столбцу первый, умноженный на -4;
4. применили свойство 1 определителей.