Содержание:
- Вычисления определителей второго порядка
- Методы вычисления определителей третьего порядка
- Приведение определителя к треугольному виду
- Правило треугольника
- Правило Саррюса
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Разложение определителя по элементам строки или столбца
- Теорема Лапласа
В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.
Вычисления определителей второго порядка
Чтобы вычислить определитель матрицы 
второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:
$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$
Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$
Методы вычисления определителей третьего порядка
Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.
Правило треугольника
Схематически это правило можно изобразить следующим образом:
Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.
$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$
$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.
Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$
$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Правило Саррюса
Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:
$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.
Решение. 
$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$
Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$
Разложение определителя по строке или столбцу
Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.
Пример
Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$
$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.
Пример
Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$
Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.
$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$
$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$
Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.
Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$
Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Пример
Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.
Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:
$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$
Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:
$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$
Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:
$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$
$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$
Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$
Замечание
Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.
Приведение определителя к треугольному виду
С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.
Пример
Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.
Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$
Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:
$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$
Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:
$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$
Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:
$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$
$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$
Ответ. $Delta=-80$
Теорема Лапласа
Теорема
Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.
Пример
Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$
Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):
$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$
$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$
$$=-23+128+90=195$$
Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$
Читать дальше: обратная матрица.
Пример вычисления
определителя (детерминанта) матрицы
Определитель матрицы — является
многочленом от элементов квадратной
матрицы (если элементы матрицы это
числа, тогда определитель матрицы тоже
будет числом).
Для нахождения определителя матрицы,
исходная матрица должна быть квадратной.
Пример №1
Дана матрица размером 2х2;
Что бы вычислить определитель матрицы
2х2 нужно из произведения элементов
главной диагонали, вычесть произведение
элементов побочной диагонали;
Ответ: -6
Пример №2
Дана матрица размером 3х3;
Что бы вычислить определитель матрицы
3х3 нужно воспользоваться формулой;
Подставляем наши значения в формулу;
Пример №3
Дана матрица размером 4х4;
Есть два способа вычисления определителя
матрицы:
-
По определению — через разложение
по строке или столбцу; -
По методу Гаусса — приведение матрицы
к треугольному виду (этот способ лучше
использовать для решения матриц,
размером 4х4 и более).
Решим пример первым
способом (по определению — через
разложение по строке или столбцу)
Чтобы вычислить определитель матрицы,
нужно воспользоваться следующей
формулой, в ней рассмотрен пример
разложения матрицы по первой строке;
Итак, начнём
-
Выбираем строку или столбец (любую),
лучше всего выбирать строку или столбец,
где больше нулей, для удобства
вычисления;
В данном случае мы выбираем
третью строку, так как в ней присутствует
ноль;
-
Берём первый элемент этой строки
(2);
Теперь вычёркиваем
третью строку и первый столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Согласно формуле, мы умножаем выбранный
нами элемент на определитель получившейся
матрицы;
Вычисление определителя матрицы 3х3,
мы рассматривали в примере №2
-
Далее делаем всё тоже самое, что и в
шаге два, только берём второй элемент
данной строки (0) и
вычёркиваем третью строку и второй
столбец;
Так как этот элемент равен нулю, то ни
чего не нужно считать и так всё ясно;
-
Теперь берём третий элемент строки (6)
и вычёркиваем третью строку и третий
столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Вычисляем определитель этой матрицы и
умножаем на выбранный нами элемент (6)
-
Берём четвёртый элемент строки (-3)
и вычёркиваем третью строку и четвёртый
столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Вычисляем определитель этой матрицы и
умножаем на выбранный нами элемент (-3)
-
Чтобы вычислить определитель исходной
матрицы, нужно сложить полученные
результаты;
Ответ: -1926
Опишем решение примера
вторым способом (по методу Гаусса
— приведение матрицы к треугольному
виду)
Суть способа заключается в том, чтобы
перед вычислением определителя, привести
матрицу к треугольному виду. Если в ходе
приведения матрицы к треугольному виду
вы умножаете (делите) строку на число,
то на это же число нужно будет умножить
(разделить) полученный в конце определитель;
Пример приведения матрицы к треугольному
виду мы уже рассматривали здесь
Итак, мы привили матрицу к треугольному
виду;
Теперь чтобы вычислить определитель
приведённой матрицы, нужно перемножить
все элементы, стоящие на главной
диагонали;
Ответ: -1926
Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
- #
Определитель матрицы и его вычисление
Эксперт по предмету «Математика»
Задать вопрос автору статьи
Любой квадратной матрице $A=left(a_{ij} right)_{ntimes n} $ можно сопоставить некоторое число, которое будем называть определителем данной матрицы (детерминант).
Для обозначения определителя матрицы используют следующие символы: $|A|,, Delta $ или $det A$.
В зависимости от порядка матрицы различают несколько способов вычисления определителя.
Определитель матрицы 2-го порядка можно вычислить по формуле:
Пример 1
Дана матрица $A=left(begin{array}{cc} {1} & {-2} \ {3} & {1} end{array}right)$. Найти определитель.
Решение:
[det A=left|begin{array}{cc} {1} & {-2} \ {3} & {1} end{array}right|=1cdot 1-3cdot (-2)=1+6=7]
Для нахождения определителя матрицы 3-го порядка можно использовать одно из двух правил:
- правило треугольника;
- правило Саррюса.
Определитель матрицы 3-го порядка с помощью правила треугольника вычисляется по формуле:
[left|begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } end{array}right|=]
[=a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} +a_{31} cdot a_{12} cdot a_{23} +a_{21} cdot a_{32} cdot a_{13} -a_{31} cdot a_{22} cdot a_{13} -a_{21} cdot a_{12} cdot a_{33} -a_{11} cdot a_{23} cdot a_{32} ]
Для лучшего запоминания правила треугольника можно пользоваться следующей схемой:
Сдай на права пока
учишься в ВУЗе
Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!
Получить скидку 3 000 ₽
Пример 2
Дана матрица $A=left(begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {1} & {5} & {-1} end{array}right)$. Найти определитель.
Решение:
[begin{array}{l} {det A=left|begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {1} & {5} & {-1} end{array}right|=1cdot 2cdot (-1)+1cdot 3cdot 1+4cdot 0cdot 5-1cdot 2cdot 4-0cdot 3cdot (-1)-5cdot 1cdot 1=} \ {=-2+3+0-8-0-5=-12} end{array}]
Для вычисления определителя по правилу Саррюса необходимо выполнить следующие действия:
- дописать слева от определителя для первых столбца;
- перемножить элементы, расположенные на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
- перемножить элементы побочной диагонали и параллельных ей диагоналей, взяв произведения со знаком «-»
[left|begin{array}{ccc} {a_{11} } & {a_{12} } & {a_{13} } \ {a_{21} } & {a_{22} } & {a_{23} } \ {a_{31} } & {a_{32} } & {a_{33} } end{array}right|=]
[=a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} +a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} +a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} -a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31} -a_{11} cdot a_{23} cdot a_{32} -a_{12} cdot a_{21} cdot a_{33} ]
Для лучшего запоминания правила треугольника можно пользоваться следующей схемой:
«Определитель матрицы и его вычисление» 👇
Пример 3
Дана матрица $A=left(begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {-2} & {5} & {-1} end{array}right)$. Найти определитель.
Решение:
[begin{array}{l} {A=left|begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {-2} & {5} & {-1} end{array}right|, , , begin{array}{c} {1} \ {0} \ {-2} end{array}, , , , begin{array}{c} {3} \ {2} \ {5} end{array}=1cdot 2cdot (-1)+3cdot 1cdot (-2)+4cdot 0cdot 5-4cdot 2cdot (-2)-1cdot 1cdot 5-3cdot 0cdot (-1)=} \ {=-2-6+0+16-5-0=3} end{array}]
Для вычисления определителя матрицы 4-го порядка и выше можно использовать один из двух способов:
- разложение по элементам строки;
- разложение по элементам столбца.
Данные способы сводят вычисление определителя порядка $n$ к вычислению определителя порядка $n-1$ за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.
Разложение определителя матрицы по элементам строки в общем виде можно записать по формуле:
[det A=a_{i1} cdot A_{i1} +a_{i2} cdot A_{i2} +…+a_{in} cdot A_{in} ]
Разложение определителя матрицы по элементам столбца в общем виде можно записать по формуле:
[det A=a_{1j} cdot A_{1j} +a_{2j} cdot A_{2j} +…+a_{nj} cdot A_{nj} ]
Замечание 1
При разложении определителя по элементам строки (столбца) желательно выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.
Пример 3
Дана матрица $A=left(begin{array}{cccc} {0} & {1} & {-1} & {3} \ {2} & {1} & {0} & {0} \ {-2} & {4} & {5} & {1} \ {3} & {2} & {1} & {0} end{array}right)$. Записать разложение определителя по произвольной строке (столбцу).
Решение:
- разложение по второй строке:
- разложение по четвертому столбцу:
[A=left|begin{array}{cccc} {0} & {1} & {-1} & {3} \ {2} & {1} & {0} & {0} \ {-2} & {4} & {5} & {1} \ {3} & {2} & {1} & {0} end{array}right|=2cdot (-1)^{3} cdot left|begin{array}{ccc} {1} & {-1} & {3} \ {4} & {5} & {1} \ {2} & {1} & {0} end{array}right|+1cdot (-1)^{4} cdot left|begin{array}{ccc} {0} & {-1} & {3} \ {-2} & {5} & {1} \ {3} & {1} & {0} end{array}right|=-2cdot left|begin{array}{ccc} {1} & {-1} & {3} \ {4} & {5} & {1} \ {2} & {1} & {0} end{array}right|+1cdot left|begin{array}{ccc} {0} & {-1} & {3} \ {-2} & {5} & {1} \ {3} & {1} & {0} end{array}right|]
[A=left|begin{array}{cccc} {0} & {1} & {-1} & {3} \ {2} & {1} & {0} & {0} \ {-2} & {4} & {5} & {1} \ {3} & {2} & {1} & {0} end{array}right|=3cdot (-1)^{5} cdot left|begin{array}{ccc} {2} & {1} & {0} \ {-2} & {4} & {5} \ {3} & {2} & {1} end{array}right|+1cdot (-1)^{7} cdot left|begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \ {2} & {1} & {0} \ {3} & {2} & {1} end{array}right|=-3cdot left|begin{array}{ccc} {2} & {1} & {0} \ {-2} & {4} & {5} \ {3} & {2} & {1} end{array}right|-1cdot left|begin{array}{ccc} {0} & {1} & {-1} \ {2} & {1} & {0} \ {3} & {2} & {1} end{array}right|]
Свойства определителя:
- элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы не меняют значения определителя;
- перестановка строк (столбцов) меняет знак определителя на противоположный (c «+» на «-» и наоборот);
- определитель треугольной матрицы находится как произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.
Пример 4
Дана матрица $A=left(begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {5} end{array}right)$. Найти определитель.
Решение:
[det A=left|begin{array}{ccc} {1} & {3} & {4} \ {0} & {2} & {1} \ {0} & {0} & {5} end{array}right|=1cdot 2cdot 5=10]
Замечание 2
Определитель матрицы, содержащей нулевую строку, равен нулю.
Замечание 3
Определитель матрицы, содержащей нулевой столбец, равен нулю.
Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу
Поиск по теме
Дата последнего обновления статьи: 18.11.2022
Содержание
- Предупреждение
- Примеры вычисления определителя матрицы
- Определение
- Обозначения
- Свойства определителя
- Минор матрицы
- Алгебраическое дополнение элемента матрицы
- Порядок определителя
- Вычисление определителя матрицы
- Вычисление определителя матрицы 2×2
- Вычисление определителя матрицы 3×3
- Вычисление определителя матрицы 4×4
Пример вычисления определителя (детерминанта) матрицы
Определитель матрицы — является многочленом от элементов квадратной матрицы (если элементы матрицы это числа, тогда определитель матрицы тоже будет числом).
Для нахождения определителя матрицы, исходная матрица должна быть квадратной.
Дана матрица размером 2х2;
Что бы вычислить определитель матрицы 2х2 нужно из произведения элементов главной диагонали, вычесть произведение элементов побочной диагонали;
Дана матрица размером 3х3;
Что бы вычислить определитель матрицы 3х3 нужно воспользоваться формулой;
Подставляем наши значения в формулу;
Дана матрица размером 4х4;
Есть два способа вычисления определителя матрицы:
По определению — через разложение по строке или столбцу;
По методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду (этот способ лучше использовать для решения матриц, размером 4х4 и более).
Решим пример первым способом (по определению — через разложение по строке или столбцу)
Чтобы вычислить определитель матрицы, нужно воспользоваться следующей формулой, в ней рассмотрен пример разложения матрицы по первой строке;
Выбираем строку или столбец (любую), лучше всего выбирать строку или столбец, где больше нулей, для удобства вычисления; В данном случае мы выбираем третью строку, так как в ней присутствует ноль;
Берём первый элемент этой строки (2); Теперь вычёркиваем третью строку и первый столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Согласно формуле, мы умножаем выбранный нами элемент на определитель получившейся матрицы;
Вычисление определителя матрицы 3х3, мы рассматривали в примере №2
Далее делаем всё тоже самое, что и в шаге два, только берём второй элемент данной строки (0) и вычёркиваем третью строку и второй столбец;
Так как этот элемент равен нулю, то ни чего не нужно считать и так всё ясно;
Теперь берём третий элемент строки (6) и вычёркиваем третью строку и третий столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (6)
Берём четвёртый элемент строки (-3) и вычёркиваем третью строку и четвёртый столбец;
Получаем матрицу 3х3;
Вычисляем определитель этой матрицы и умножаем на выбранный нами элемент (-3)
Чтобы вычислить определитель исходной матрицы, нужно сложить полученные результаты;
Опишем решение примера вторым способом (по методу Гаусса — приведение матрицы к треугольному виду)
Суть способа заключается в том, чтобы перед вычислением определителя, привести матрицу к треугольному виду. Если в ходе приведения матрицы к треугольному виду вы умножаете (делите) строку на число, то на это же число нужно будет умножить (разделить) полученный в конце определитель;
Пример приведения матрицы к треугольному виду мы уже рассматривали здесь
Итак, мы привили матрицу к треугольному виду;
Теперь чтобы вычислить определитель приведённой матрицы, нужно перемножить все элементы, стоящие на главной диагонали;
Данный онлайн калькулятор вычисляет определитель матрицы. Дается подробное решение. Для вычисления определителя матрицы выбирайте порядок (размер) квадратной матрицы. Введите данные в ячейки. Выберите метод решения и нажмите на кнопку «Вычислить». Теоретическую часть смотрите на странице определитель матрицы.
Предупреждение
Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.
Примеры вычисления определителя матрицы
Пример 1. Найти определитель матрицы
.
Для вычисления определителя матрицы, приведем матрицу к верхнему треугольному виду.
Выбираем самый большой по модулю ведущий элемент столбца 1. Для этого меняем местами строки 1 и 2. При этом меняется знак определителя на «−»:
.
Исключим элементы 1-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строки 2,3 со строкой 1, умноженной на -1/78,-2/78 соответственно:
.
Исключим элементы 2-го столбца матрицы ниже главной диагонали. Для этого сложим строку 3 со строкой 2, умноженной на -5928/9048:
.
Мы привели матрицу к верхнему треугольному виду. Определитель матрицы равен произведению всех элементов главной диагонали (учитывая знак определителя):
.
Пример 2. Найти определитель матрицы A, разложением определителя по первой строке:
.
Для вычисления определителя матрицы методом разложения по первой строке, вычисляем произведение каждого элемента первой строки на соответствующее алгебраическое дополнение и суммируем полученные результаты:
Определение
Определитель (детерминант) квадратной матрицы A — это число, обладающее определенными свойствами, которое может быть получено из элементов матрицы рядом методов.
Обозначения
Пусть $ A = egin 1 & 4 & 2 5 & 3 & 7 6 & 2 & 1 end$
$det(A) = left|A
ight| = egin 1 & 4 & 2 5 & 3 & 7 6 & 2 & 1 end$
Свойства определителя
- Если матрица имеет строку или столбец, все элементы которого равны нулю, то ее определитель равен 0.
Пример 12
$egin 1 & 4 & 2 0 & 0 & 0 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin 1 & 4 & 0 4 & 2 & 0 3 & 9 & 0 end=0$
Если в матрице есть две одинаковых строки или два одинаковых столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 13
$egin 1 & 4 & 2 1 & 4 & 2 3 & 9 & 5 end= 0$ или $egin 1 & 4 & 1 4 & 2 & 4 3 & 9 & 3 end=0$
Если в матрице есть две пропорциональных строки или два пропорциональных столбца, то ее определитель равен 0.
Пример 14
$egin 1 & 4 & 2 2 & 8 & 4 3 & 9 & 5 end= 0$ (две первые строки пропорциональны)
или
$egin 8 & 4 & 7 4 & 2 & 3 18 & 9 & 8 end=0$ (два первых столбца пропорциональны)
Если некоторая строка (столбец) является суммой или разностью других строк (столбцов), то определитель равен 0.
Пример 15
$egin 1 & 4 & 2 7 & 2 & 3 8 & 6 & 5 end= 0$ $R_ <1>+R_ <2>=R_<3>$ или
$ egin 9 & 12 & 3 1 & 8 & 7 5 & 7 & 2 end=0$ $C_<1>+C_<3>=C_<2>$
При вычислении определителя можно выносить общие множители целых строк или столбцов.
Пример 17
$egin 1 & 5 3 & 8 end$ $xlongequal<1>+R_<2>> egin 4 & 13 3 & 8 end$
Пример 18
$egin 1 & 5 3 & 8 end$ $xlongequal<1>+C_<2>> egin 6 & 5 11 & 8 end$
При вычислении определителя можно прибавлять или отнимать строки и столбцы, умноженные на произвольный коэффициент .
Пример 20
$egin 1 & 5 3 & 8 end$ $xlongequal<5C_<1>-C_<2>> egin 0 & 5 7 & 8 end$
Минор матрицы
Определитель матрицы, полученной вычеркиванием некоторых строк и столбцов матрицы, называется минором этой матрицы.
Пример 21
$A=egin 1 & 4 & 2 5 & 3 & 7 6 & 2 & 1 end$
Один из миноров матрицы A есть $egin 1 & 2 5 & 3 end$ (он получается вычеркиванием строки 3 и столбца 3 из матрицы A)
Другим минором является $egin 1 & 2 6 & 1 end$ (получается вычеркиванием строки 2 и столбца 2 из матрицы A)
Пример 22
$B=egin 2 & 5 & 1 & 3 4 & 1 & 7 & 9 6 & 8 & 3 & 2 7 & 8 & 1 & 4 end $
Один из миноров матрицы B есть $ egin 1 & 7 & 9 8 & 3 & 2 8 & 1 & 4 end$ (получается вычеркиванием строки 1 и столбца 1 из матрицы B)
Другим минором является $egin 1 & 7 8 & 3 end$ (получается вычеркиванием строк 1 и 4 и столбцов 1 и 4 из матрицы B)
Пусть $A= egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n> a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n> a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n> . & . & . & . & .& . a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$
Можно определить минор $Delta_$, полученный вычеркиванием строки i и столбца j, для любого элемента $a_$ квадратной матрицы A. Такой минор называется дополнительным.
Определить дополнительный минор элемента 2. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 1, видно, что это $a_<2,1>$.
Нужно вычеркнуть строку 2 и столбец 1 из матрицы A, после чего получаем 
Минор, дополнительный к элементу 2, есть $Delta_ <2,1>= 7$.
Пример 24
$B=egin 1 & 4 & 2 5 & 3 & 7 6 & 2 & 1 end$
Нужно найти минор, дополнительный к элементу 7. Так как данный элемент находится в строке 2, столбце 3, видно, что это $a_<2,3>$.
Мы должны вычеркнуть строку 2 и столбец 3 из матрицы B, после чего мы получаем 
Минор, дополнительный к элементу 7, — это $Delta_<2,3>= egin 1 & 4 6 & 2 end$
Пример 25
$C=egin 2 & 5 & 1 & 3 4 & 1 & 7 & 9 6 & 8 & 3 & 2 7 & 8 & 1 & 4 end$
Нужно найти минор, дополнительный к элементу 5. Так как данный элемент находится в строке 1, столбце 2, видно, что это $a_<1,2>$.
Мы должны вычеркнуть строку 1 и столбец 2 из матрицы C, после чего мы получаем 
Минор, дополнительный к элементу 5, — это $Delta_<1,2>= egin 4 & 7 & 9 6 & 3 & 2 7 & 1 & 4 end$
Алгебраическое дополнение элемента матрицы
Каждому элементу $a_$ матрицы A соответствует алгебраическое дополнение $(-1)^cdotDelta_$. Например, алгебраическое дополнение $(-1)^<2+5>cdotDelta_<2,5>=(-1)^<7>cdotDelta_<2,5>= -Delta_ <2,5>$ соответствует элементу $a_<2,5>$.
Порядок определителя
Порядок определителя матрицы равен числу ее строк и столбцов.
Пример 26
$egin 1 & 4 6 & 2 end$ (матрица имеет 2 строки и 2 столбца, так что порядок определителя равен 2)
Пример 27
$egin 4 & 7 & 9 6 & 3 & 2 7 & 1 & 4 end$ (матрица имеет 3 строки и 3 столбца, так что порядок определителя равен 3)
Вычисление определителя матрицы
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любой строки или любого столбца и их алгебраических дополнений.
$left| A
ight| = egin a_ <1,1>& a_ <1,2>& a_ <1,3>& . & . & a_<1,n> a_ <2,1>& a_ <2,2>& a_ <2,3>& . & . & a_<2,n> a_ <3,1>& a_ <3,2>& a_ <3,3>& . & . & a_<3,n> . & . & . & . & .& . a_ & a_ & a_ & . & . & a_ end$
Можно посчитать определитель, например, используя строку i:
Либо же можно посчитать определитель, используя столбец j:
Вычисление определителя матрицы 2×2
Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.
Заметим, что $ Delta_<1,1>= a_ <2,2>$ и $ Delta_<1,2>=a_<2,1>$
$ left| A
ight| =a_ <1.1>cdot a_<2,2>- a_ <1.2>cdot a_<2,1>$
$color < egina & b c & d end =a cdot d — b cdot c>$
Пример 28
$egin 2 & 5 3 & 8 end =2 cdot 8 — 3 cdot 5 = 16 -15 =1$
Пример 29
$egin -4 & 7 -2 & 9 end =-4 cdot 9 — 7 cdot (-2) = -36 -(-14) =-36 + 14 = — 22$
Вычисление определителя матрицы 3×3
Используем строку 1, чтобы вычислить определитель.
Упростить получение последней формулы можно следующим образом.
Начнем с того, что перепишем первые две строки под определителем как показано ниже.
Умножаем элементы на каждой из трех красных диагоналей (на главной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
$colorcdot a_<2,2>cdot a_<3,3>+ a_<2,1>cdot a_<3,2>cdot a_<1,3>+a_<3,1>cdot a_<1,2>cdot a_<2,3>>$
Умножаем элементы на каждой из трех синих диагоналей (на побочной диагонали и на диагоналях под ней) и складываем результаты:
Вычитая вторую сумму из первой, получаем формулу определителя:
Пример 30
$A=egin 1 & 4 & 3 2 & 1 & 5 3 & 2 & 1 end$
Пример 31
$A=egin 3 & 5 & 1 1 & 4 & 2 7 & 1 & 9 end$
$= 3cdot4cdot9 + 1cdot1cdot1 + 7cdot5cdot2 -(1cdot4cdot7 + 2cdot1cdot3 + 9cdot5cdot1) =$ $ 108 + 1 + 70 -(28 + 6 + 45)=79-79=100$
Элементы матрицы могут быть обозначены буквами. Вычисление их определителей можно упростить, используя свойства определителей. Например, можно вычислить определитель матрицы, в которой к какой-либо строке (или столбцу) прибавлена линейные комбинация других строк (столбцов).
$egin a & b & c c & a & b b & c & a end$ $ xlongequal<1>+C_<2>+C_<3>> egin a + b + c & b & c c + a + b & a & b b + c + a & c & a end = (a + b + c) cdot egin 1 & b & c 1 & a & b 1 & c & a end$
Вычисляем последней определитель:
$ = a^ <2>+ b^ <2>+ c^ <2>-acdot c — bcdot c — acdot b =$ $frac<1><2>cdot(2a^ <2>+2b^<2>+2c^ <2>-2acdot b -2acdot c-2bcdot c) =$ $frac<1><2>cdot(a^<2>-2acdot b + b^<2>+ a^<2>-2acdot c +c^<2>+b^<2>-2bcdot c + c^<2>)=$ $frac<1><2>cdot[(a-b)^<2>+(a-c)^<2>+(b-c)^<2>]$
В итоге получаем:
Пример 32
Вычислим определитель матрицы Вандермонде.
$egin 1 & 1 & 1 a & b & c a^ <2>& b^ <2>& c^ <2>end$
Используя свойства определителей, модифицируем строку 1 так, чтобы два элемента обратились в 0. В этом случае, когда мы используем полученную выше формулу для определителя матрицы 3×3, нет необходимости вычислять алгебраические дополнения этих элементов, поскольку их произведение будет равно 0.
Вычисление определителя матрицы 4×4
Вычислить определитель матрицы 4×4 можно с использованием общей формулы для определителя матрицы 3×3.
Но сначала надо использовать свойства определителей:
- Проверим, не выполняется ли одно из условий того, что определитель равен 0.
- Проверим, нельзя ли вынести общий множитель из одной или нескольких строк или столбцов.
- Проверим, не является ли данная матрица матрицей Вандермонде, возможно, такой, в которой некоторые строки или столбцы переставлены.
В любом из этих случаев нам пригодятся соответствующие методы вычисления определителей матриц 3×3. Модифицируем строку или столбец так, чтобы все его элементы, кроме одного, обратились в 0. Определитель будет равен произведению этого ненулевого элемента на его алгебраическое дополнение. В этом случае, алгебраическое дополнение — это определитель матрицы 3×3, который считается по уже известной формуле.
Пример 33
$egin 1 & 3 & 9 & 2 5 & 8 & 4 & 3 0 & 0 & 0 & 0 2 & 3 & 1 & 8 end$
Замечаем, что все элементы в строке 3 равны нулю, а значит, определитель равен 0.
Пример 34
$egin 1 & 3 & 1 & 2 5 & 8 & 5 & 3 0 & 4 & 0 & 0 2 & 3 & 2 & 8 end$
Замечаем, что $C_<1>$ равно $C_<3>$, следовательно, определитель равен 0.
Пример 35
$egin 1 & 3 & 9 & 2 5 & 8 & 4 & 3 10 & 16 & 18 & 4 2 & 3 & 1 & 8 end$
Замечаем, что строки 2 и 3 пропорциональны друг другу, следовательно, определитель равен 0.
Пример 36
$egin color <4>& 3 & 2 & 2 0 & 1 & -3 & 3 0 & -1 & 3 & 3 0 & 3 & 1 & 1 end$
Поскольку в столбце 1 только один элемент отличен от нуля, применяем общую формулу, используя этот столбец. Алгебраические дополнения нулевых элементов считать не надо, так как их произведения на эти элементы все равно будут равны нулю.
=
$=4(1cdot3cdot1 +(-1)cdot1cdot3+3cdot(-3)cdot3$ $-(3cdot3cdot3+3cdot1cdot1 +1cdot(-3)cdot(-1)))$ $=4(3-3-27-(27+3+3))=4cdot(-60)=-240$
Пример 37
$egin 4 & 3 & 2 & 2 0 & 1 & 0 & -2 1 & -1 & 3 & 3 2 & 3 & 1 & 1 end$
Чтобы изменить строку так, чтобы в ней стало больше нулей, нужно совершать операции со столбцами, и наоборот. Выбираем строку или столбец, содержащий элемент 1, поскольку из него можно получить любое число простым умножением.
Заметим, что в строке 2 уже есть два нулевых элемента. Достаточно обратить лишь еще один элемент в 0, чтобы осталось посчитать только одно алгебраическое дополнение единичного элемента.
$egin 4 & 3 & 2 & 2 0 & 1 & 0 & -2 1 & -1 & 3 & 3 2 & 3 & 1 & 1 end xlongequal<4>+2C_<2>>$ $egin 4 & 3 & 2 & 8 0 & color <1>& 0 & 0 1 & -1 & 3 & 1 2 & 3 & 1 & 7 end=$ 
$=$br />
$= 1cdot(-1)^<2+2>cdot egin 4 & 2 & 8 1 & 3 & 1 2 & 1 & 7 end=$
$=4cdot3cdot7 + 1cdot1cdot8 + 2cdot2cdot1$ $-(8cdot3cdot2 + 1cdot1cdot4 + 7cdot2cdot1) =$ $ 84 + 8 + 4- 48-4-14=30$
Пример 38
$egin 1 & -2 & 3 & 2 2 & 3 & 1 & -1 3 & 3 & 3 & 3 -1 & 4 & 2 & 1 end$
Можно вынести множитель 3 из строки 3:
$3cdot egin 1 & -2 & 3 & 2 2 & 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 4 & 2 & 1 end$
Поскольку в строке 3 все элементы равны 1, легко обратить получить нули.
$egin 1 & -2 & 3 & 2 2 & 3 & 1 & -1 1 & 1 & 1 & 1 -1 & 4 & 2 & 1 end$ $ xlongequal <1>— C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>> egin -1 & -4 & 1 & 2 3 & 4 & 2 & -1 0 & 0 & 0 & color<1> -2 & 3 & 1 & 1 end$ $=1cdot(-1)^<3+4>cdot$ 
$=(-1)cdot egin -1 & -4 & 1 3 & 4 & 2 -2 & 3 & 1 end$
$=-((-1)cdot 4cdot 1 +3 cdot 3cdot1 + (-2)cdot (-4)cdot 2$ $- (1cdot 4cdot (-2) + 2cdot 3cdot (-1) + 1cdot (-4)cdot3))$ $=-(-4 + 9 + 16 + 8 + 6 + 12) =-47$
Пример 39
$egin 2 & 5 & 1 & 4 4 & 1 & 6 & 3 5 & 3 & 7 & 2 1 & 0 & 2 & 4 end$
Здесь мы можем использовать единицу из последней строки и обратить остальные элементы первого столбца в нули.
$egin 2 & 5 & 1 & 4 4 & 1 & 6 & 3 5 & 3 & 7 & 2 1 & 0 & 2 & 4 end$ $xlongequal<1>-2R_<4>,R_<2>-4R_<4>, R_<3>-5R_<4>> egin 0 & 5 & -3 & -4 0 & 1 & -2 & -13 0 & 3 & -3 & -18 color <1>& 0 & 2 & 4 end=$ 
$=1cdot(-1)^<4+1>cdot egin 5 & -3 & -4 1 & -2 & -13 3 & -3 & -18 end=$ $(-1)cdot egin 5 & -3 & -4 1 & -2 & -13 3 & -3 & -18 end$
Выносим общий множитель -1 из столбца 2 и еще раз -1 из столбца 3.
$ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 5 & 3 & 4 1 & 2 & 13 3 & 3 & 18 end=$ $(-1)cdot egin 5 & 3 & 4 1 & 2 & 13 3 & 3 & 18 end=$ $-[5cdot 2cdot 18 + 1cdot 3cdot 4+ 3cdot 3cdot 13 — (4cdot 2cdot 3cdot + 13cdot 3cdot 5 + 18cdot 3cdot 1)]=$ $-(180+12+117-24-195-54)=36$
Пример 40
$egin 4 & 7 & 2 & 3 1 & 3 & 1 & 2 2 & 5 & 3 & 4 1 & 4 & 2 & 3 end$
Мы видим элемент 1 в столбце 3, так что мы можем обратить остальные элементы строки 2 в нули.
$egin 4 & 7 & 2 & 3 1 & 3 & 1 & 2 2 & 5 & 3 & 4 1 & 4 & 2 & 3 end$ $xlongequal<1>-C_<3>, C_<2>-3C_<3>,C_<4>-2C_<3>> egin 2 & 1 & 2 & -1 0 & 0 & color <1>& 0 -1 & -4 & 3 & -2 -1 & -2 & 2 & -1 end=$ 
$=1cdot(-1)^<2+5>cdot egin 2 & 1 & -1 -1 & -4 & -2 -1 & -2 & -1 end$
Выносим общий множитель -1 из строки 2 и еще раз -1 из строки 3.
$ (-1)cdot(-1)cdot(-1)cdot egin 2 & 1 & -1 1 & 4 & 2 1 & 2 & 1 end=$ $(-1)cdot egin 2 & 1 & -1 1 & 4 & 2 1 & 2 & 1 end=$ $-[2cdot 4cdot 1 + 1cdot 2cdot (-1)+ 1cdot 1cdot 2 — ((-1)cdot 4cdot 1 + 2cdot 2cdot 2 + 1cdot 1cdot 1)]=$ $-(8-2+2+4-8-1)=-3$
Пример 41
$egin 2 & 1 & 3 & 4 1 & 3 & 4 & 2 3 & 4 & 2 & 1 4 & 2 & 1 & 3 end$
Заметим, что все строки и все столбцы состоят из одних и тех же элементов, но в разном порядке. В таком случае мы можем сложить все строки или все столбцы.
$egin 2 & 1 & 3 & 4 1 & 3 & 4 & 2 3 & 4 & 2 & 1 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal<1>+L_<2>+L_<3>+L_<4>> egin 10 & 10 & 10 & 10 1 & 3 & 4 & 2 3 & 4 & 2 & 1 4 & 2 & 1 & 3 end =$ $10cdot egin 1 & 1 & 1 & 1 1 & 3 & 4 & 2 3 & 4 & 2 & 1 4 & 2 & 1 & 3 end$ $xlongequal <1>— C_<4>,C_<2>-C_<4>,C_<3>-C_<4>>10cdot egin 0 & 0 & 0 & color<1> -1 & 1 & 2 & 2 2 & 3 & 1 & 1 1 & -1 & -2 & 3 end=$
$=10cdot1cdot(-1)^<1+4>$ 
$ = (-10)cdot egin -1 & 1 & 2 2 & 3 & 1 1 & -1 & -2 end=$ $(-10)cdot((-1)cdot 3cdot (-2) +2 cdot (-1)cdot2 + 1cdot 1cdot 1$ $-(2cdot 3cdot 1 + 1cdot (-1)cdot (-1) + (-2)cdot1cdot2))$ $= -10cdot(6 -4 +1 -6 — 1 + 4) =0$
Содержание
- Как вычислить определитель?
- Способы вычисления определителя матрицы
- Нахождение определителя (детерминанта) матрицы
- Что такое определитель матрицы
- Нахождение определителя
- Второй порядок
- Третий порядок
- Произвольный размер матрицы
- Разложение определителя по строке или столбцу
- Приведение определителя к треугольному виду
Как вычислить определитель?
В ходе решения задач по высшей математике очень часто возникает необходимость вычислить определитель матрицы. Определитель матрицы фигурирует в линейной алгебре, аналитической геометрии, математическом анализе и других разделах высшей математики. Таким образом, без навыка решения определителей просто не обойтись. Также для самопроверки Вы можете бесплатно скачать калькулятор определителей, он сам по себе не научит решать определители, но очень удобен, поскольку всегда выгодно заранее знать правильный ответ!
Я не буду давать строгое математическое определение определителя, и, вообще, буду стараться минимизировать математическую терминологию, большинству читателей легче от этого не станет. Задача данной статьи – научить Вас решать определители второго, третьего и четвертого порядка. Весь материал изложен в простой и доступной форме, и даже полный (пустой) чайник в высшей математике после внимательного изучения материала сможет правильно решать определители.
Определитель можно вычислить только для квадратной матрицы (более подробно см. Действия с матрицами)
На практике чаще всего можно встретить определитель второго порядка, например: 
, и определитель третьего порядка, например: 
.
Определитель четвертого порядка 
тоже не антиквариат, и к нему мы подойдём в конце урока.
Надеюсь, всем понятно следующее: Числа внутри определителя живут сами по себе, и ни о каком вычитании речи не идет! Менять местами числа нельзя!
(Как частность, можно осуществлять парные перестановки строк или столбцов определителя со сменой его знака, но часто в этом нет никакой необходимости – см. следующий урок Свойства определителя и понижение его порядка)
Таким образом, если дан какой-либо определитель, то ничего внутри него не трогаем!
Обозначения: Если дана матрица 
, то ее определитель обозначают 
. Также очень часто определитель обозначают латинской буквой 
или греческой 
.
1) Что значит решить (найти, раскрыть) определитель? Вычислить определитель – это значит НАЙТИ ЧИСЛО. Знаки вопроса 
в вышерассмотренных примерах – это совершенно обыкновенные числа.
2) Теперь осталось разобраться в том, КАК найти это число? Для этого нужно применить определенные правила, формулы и алгоритмы, о чём сейчас и пойдет речь.
Начнем с определителя «два» на «два»:
ЭТО НУЖНО ЗАПОМНИТЬ, по крайне мере на время изучения высшей математики в ВУЗе.
Сразу рассмотрим пример:
Готово. Самое главное, НЕ ЗАПУТАТЬСЯ В ЗНАКАХ.
Определитель матрицы «три на три» можно раскрыть 8 способами, 2 из них простые и 6 — нормальные.
Начнем с двух простых способов
Аналогично определителю «два на два», определитель «три на три» можно раскрыть с помощью формулы:
Формула длинная и допустить ошибку по невнимательности проще простого. Как избежать досадных промахов? Для этого придуман второй способ вычисления определителя, который фактически совпадает с первым. Называется он способом Саррюса или способом «параллельных полосок».
Суть состоит в том, что справа от определителя приписывают первый и второй столбец и аккуратно карандашом проводят линии:
Множители, находящиеся на «красных» диагоналях входят в формулу со знаком «плюс».
Множители, находящиеся на «синих» диагоналях входят в формулу со знаком минус:
Сравните два решения. Нетрудно заметить, что это ОДНО И ТО ЖЕ, просто во втором случае немного переставлены множители формулы, и, самое главное, вероятность допустить ошибку значительно меньше.
Теперь рассмотрим шесть нормальных способов для вычисления определителя
Почему нормальных? Потому что в подавляющем большинстве случаев определители требуется раскрывать именно так.
Как Вы заметили, у определителя «три на три» три столбца и три строки.
Решить определитель можно, раскрыв его по любой строке или по любому столбцу.
Таким образом, получается 6 способов, при этом во всех случаях используется однотипный алгоритм.
Определитель матрицы равен сумме произведений элементов строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения. Страшно? Все намного проще, будем использовать ненаучный, но понятный подход, доступный даже для человека, далекого от математики.
В следующем примере будем раскрывать определитель по первой строке.
Для этого нам понадобится матрица знаков: 
. Легко заметить, что знаки расположены в шахматном порядке.
Внимание! Матрица знаков – это мое собственное изобретение. Данное понятие не научное, его не нужно использовать в чистовом оформлении заданий, оно лишь помогает Вам понять алгоритм вычисления определителя.
Сначала я приведу полное решение. Снова берем наш подопытный определитель и проводим вычисления:
И главный вопрос: КАК из определителя «три на три» получить вот это вот: 
?
Итак, определитель «три на три» сводится к решению трёх маленьких определителей, или как их еще называют, МИНОРОВ. Термин рекомендую запомнить, тем более, он запоминающийся: минор – маленький.
Коль скоро выбран способ разложения определителя по первой строке, очевидно, что всё вращается вокруг неё: 
Элементы обычно рассматривают слева направо (или сверху вниз, если был бы выбран столбец)
Поехали, сначала разбираемся с первым элементом строки, то есть с единицей:
1) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 
2) Затем записываем сам элемент: 
3) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит первый элемент: 
Оставшиеся четыре числа и образуют определитель «два на два», который называется МИНОРОМ данного элемента (единицы).
Переходим ко второму элементу строки.
4) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак:
5) Затем записываем второй элемент: 
6) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит второй элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Ну и третий элемент первой строки. Никакой оригинальности:
7) Из матрицы знаков выписываем соответствующий знак: 
Записываем третий элемент: 
9) МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит третий элемент: 
Оставшиеся четыре числа записываем в маленький определитель.
Остальные действия не представляют трудностей, поскольку определители «два на два» мы считать уже умеем. НЕ ПУТАЕМСЯ В ЗНАКАХ!
Аналогично определитель можно разложить по любой строке или по любому столбцу. Естественно, во всех шести случаях ответ получается одинаковым.
Определитель «четыре на четыре» можно вычислить, используя этот же алгоритм.
При этом матрица знаков у нас увеличится:
В следующем примере я раскрыл определитель по четвертому столбцу:
А как это получилось, попробуйте разобраться самостоятельно. Дополнительная информация будет позже. Если кто захочет прорешать определитель до конца, правильный ответ: 18. Для тренировки лучше раскрыть определитель по какому-нибудь другому столбцу или другой строке.
Потренироваться, раскрыть, провести расчёты – это очень хорошо и полезно. Но сколько времени вы потратите на большой определитель? Нельзя ли как-нибудь быстрее и надёжнее? Предлагаю ознакомиться с эффективными методами вычисления определителей на втором уроке – Свойства определителя. Понижение порядка определителя.
Автор: Емелин Александр
(Переход на главную страницу)
«Всё сдал!» — онлайн-сервис помощи студентам
Источник
Способы вычисления определителя матрицы
У любой квадратной матрицы есть определитель, который можно найти. В данной статье мы разберем способы нахождения этого значения, для чего приведем конкретный пример (для наглядности мы выделили все столбцы разными цветами).
Рассмотрим такую систему уравнений:
Выписываем матрицу, для которой необходимо найти определитель:
1. Правило Пьера Фредерика Саррюса
1.1. Раскрываем матрицу так, как показано ниже.
1.2. В пустых промежутках необходимо продолжить матрицу.
1.3. Каждую тройку чисел необходимо перемножить между собой (ВАЖНО! Цвета в тройках не должны повторяться), после чего мы складываем полученные числа и вычитаем вторую часть из первой:
2. Вычисление определителя, используя разложение по строке (столбцу)
3. Правило треугольника
Иллюстрация метода треугольника выглядит так:
Таким образом, каждый из этих способов может быть использован в вычислении определителя.
Источник
Нахождение определителя (детерминанта) матрицы
В данной публикации мы рассмотрим, каким образом можно найти определитель (детерминат) матрицы. Теоретический материал сопровождается практическими примерами для лучшего понимания.
Что такое определитель матрицы
Чаще всего в различных математических задачах требуется найти определитель матрицы второго и третьего порядка, реже – четвертого и т.д. Сразу отметим, что детерминант можно вычислить только для квадратной матрицы.
Обычно определитель обозначается двумя вертикальными черточками. Т.е. если у нас есть матрица A, то определитель может обозначаться как |A|, буквой D, сокращением “det” или символом △.
Важно помнить, что менять числа внутри определителя нельзя.
Нахождение определителя
Результатом нахождение определителя матрицы является обычное число. Давайте рассмотрим самые популярные варианты.
Второй порядок
Пожалуй, это самая легкая задача. Чтобы найти определитель матрицы “два на два” пользуемся формулой ниже:
Пример 1:
Пример 2:
Примечание: Не забываем обращать внимание на знаки элементов матрицы и учитывать их в расчетах.
Третий порядок
Для вычисления определителя матрицы “три на три” следует использовать такую формулу:
Пример:
|A| = 3 ⋅ 4 ⋅ 3 + (-1) ⋅ 6 ⋅ (-6) + 2 ⋅ 2 ⋅ 9 – (-1) ⋅ 4 ⋅ 9 – 3 ⋅ 2 ⋅ (-6) – 2 ⋅ 6 ⋅ 3 = 144.
Как мы видим, формула длинная, и запомнить ее достаточно сложно. Но есть специальное правило Саррюса (или метод параллельных полосок), благодаря которому ничего запоминать не нужно. Вот, в чем оно заключается.
С правой стороны от определителя мы дописываем первый и второй столбцы, затем проводим линии, как показано на рисунке ниже.
Множители, расположенные на диагоналях красного цвета в формуле участвуют со знаком “плюс”, синего цвета – со знаком минус.
Как мы видим, это те же самые множители, что и в первой формуле, но переставленные местами, что на результат не влияет. Таким образом, используя метод Саррюса, можно значительно снизить риск допущения ошибки в процессе выполнения расчетов.
Произвольный размер матрицы
Разложение определителя по строке или столбцу
Первый вариант: определитель равняется сумме произведений элементов строки определителя на их алгебраические дополнения.
Второй вариант: определитель равен сумме произведений элементов столбца определителя на их алгебраические дополнения.
Примечание: рекомендуется для разложения выбирать ту строку (столбец), в которой больше всего элементов, равных нулю.
Пример: Вычислим определитель матрицы ниже.
Ее определитель выглядит так:
Решим пример с помощью разложения по первому столбцу.
Теперь мы можем рассчитать детерминант:
|A| = 3 ⋅ 1 ⋅ ((-2) ⋅ 9) – 6 ⋅ 4) + 0 ⋅ (-1) ⋅ (5 ⋅ 9 – 6 ⋅ 1) + 2 ⋅ 1 ⋅ (5 ⋅ 4 – (-2) ⋅ 1)
|A| = 3 ⋅ (-42) + 0 + 2 ⋅ 22 = -126 + 44 = -82
Приведение определителя к треугольному виду
Выполнив элементарные преобразования в отношении строк или столбцов, определитель можно привести к треугольному виду, после чего его можно вычислить путем перемножения элементов главной диагонали.
Пример: найдем определитель матрицы ниже.
Представив матрицу в виде определителя вычтем из элементов третьей строки удвоенную первую строку.
Переставим местами второй и третий столбцы, при этом знак определителя поменяется на противоположный.
Мы получили треугольный вид детерминанта, значение которого равняется произведению элементов главной диагонали.
Источник