Как найти определитель матрицы по первой строке

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.

Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков. Один из методов вычисления определителей высших порядков – использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=left( begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} \
ldots & ldots & ldots & ldots \
a_{n1} & a_{n2} & ldots & a_{nn} \
end{array} right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{ntimes n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

$$
begin{equation}
Delta A=sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ldots+a_{in}A_{in}
end{equation}
$$

Что такое $A_{ij}$ и $a_{ij}$? показатьскрыть

Что обозначает знак $sum$? показатьскрыть

Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

$$
begin{equation}
Delta A=sumlimits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ldots+a_{nj}A_{nj}
end{equation}
$$

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде. Для примера разложим его по элементам четвёртого столбца (элементы этого столбца выделены зелёным цветом):

$$Delta=left| begin{array} {cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & normgreen{a_{14}} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & normgreen{a_{24}} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & normgreen{a_{34}} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & normgreen{a_{44}} \
end{array} right|$$

$$
Delta
=normgreen{a_{14}}cdot{A_{14}}+normgreen{a_{24}}cdot{A_{24}}+normgreen{a_{34}}cdot{A_{34}}+normgreen{a_{44}}cdot{A_{44}}
$$

Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:

$$
Delta
=a_{31}cdot{A_{31}}+a_{32}cdot{A_{32}}+a_{33}cdot{A_{33}}+a_{34}cdot{A_{34}}
$$

Пример №1

Вычислить определитель матрицы $A=left( begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \ 7 & 2 & -1 \ 9 & 0 & 4 end{array} right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Решение

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $Delta A=left| begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \ 7 & 2 & -1 \ 9 & 0 & 4 end{array} right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:

$$
Delta A= a_{11}cdot A_{11}+a_{12}cdot A_{12}+a_{13}cdot A_{13}.
$$

Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:

begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^2cdot left| begin{array} {cc} 2 & -1 \ 0 & 4 end{array} right|=2cdot 4-(-1)cdot 0=8;\
& A_{12}=(-1)^3cdot left| begin{array} {cc} 7 & -1 \ 9 & 4 end{array} right|=-(7cdot 4-(-1)cdot 9)=-37;\
& A_{13}=(-1)^4cdot left| begin{array} {cc} 7 & 2 \ 9 & 0 end{array} right|=7cdot 0-2cdot 9=-18.
end{aligned}

Как мы нашли алгебраические дополнения? показатьскрыть

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$
Delta A= a_{11}cdot A_{11}+a_{12}cdot A_{12}+a_{13}cdot A_{13}=5cdot{8}+(-4)cdot(-37)+3cdot(-18)=134.
$$

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, – до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, – просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}cdot A_{32}=0cdot A_{23}=0$. Используя формулу (2) для разложения по второму столбцу, получим:

$$
Delta A= a_{12}cdot A_{12}+a_{22}cdot A_{22}+a_{32}cdot A_{32}=-4cdot (-1)cdot left| begin{array} {cc} 7 & -1 \ 9 & 4 end{array} right|+2cdot left| begin{array} {cc} 5 & 3 \ 9 & 4 end{array} right|=4cdot 37+2cdot (-7)=134.
$$

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ: $Delta A=134$.

Пример №2

Вычислить определитель матрицы $A=left( begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\
4 & -2 & 5 & 1\
-5 & 0 & -4 & 0\
9 & 7 & 8 & -7 end{array} right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.

Решение

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу (1), запишем разложение определителя по третьей строке:

$$
Delta A= a_{31}cdot A_{31}+a_{32}cdot A_{32}+a_{33}cdot A_{33}+a_{34}cdot A_{34}.
$$

Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:

$$
Delta A= -5 cdot A_{31}-4cdot A_{33}.
$$

Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).

begin{aligned}
& A_{31}=(-1)^4cdot left| begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \ -2 & 5 & 1 \ 7 & 8 & -7 end{array} right|=10;\
& A_{33}=(-1)^6cdot left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \ 4 & -2 & 1 \ 9 & 7 & -7 end{array} right|=-34.
end{aligned}

Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:

$$
Delta A= -5 cdot A_{31}-4cdot A_{33}=-5cdot 10-4cdot (-34)=86.
$$

В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:

$$
Delta A= a_{31}cdot A_{31}+a_{32}cdot A_{32}+a_{33}cdot A_{33}+a_{34}cdot A_{34}=\=
-5 cdot (-1)^4cdot left| begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \ -2 & 5 & 1 \ 7 & 8 & -7 end{array} right|-4cdot (-1)^6cdot left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \ 4 & -2 & 1 \ 9 & 7 & -7 end{array} right|=-5cdot 10-4cdot (-34)=86.
$$

Ответ: $Delta A=86$.

Найти определитель матрицы

Этот калькулятор поможет Вам вычислить определитель, разложив его по строке или столбцу, либо предварительно получив нули в строке или столбце. Детерминант будет вычислен с выводом промежуточных результатов.

• Оставляйте лишние ячейки пустыми для ввода неквадратных матриц.

• Элементы матриц — десятичные (конечные и периодические) дроби: 1/3, 3,14, -1,3(56) или 1,2e-4; либо арифметические выражения: 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0,5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi), cos(3,142rad), a_1 или (root of x^5-x-1 near 1,2).

  • decimal (finite and periodic) fractions:

    1/3, 3,14, -1,3(56) или 1,2e-4

  • 2/3+3*(10-4), (1+x)/y^2, 2^0,5 (=2), 2^(1/3), 2^n, sin(phi), cos(3,142rad), a_1 или (root of x^5-x-1 near 1,2)

  • matrix literals:

    {{1,3},{4,5}}

  • operators:

    +, -, *, /, , !, ^, ^{*}, ,, ;, ≠, =, ⩾, ⩽, > и <

  • functions:

    sqrt, cbrt, exp, log, abs, conjugate, min, max, gcd, rank, adjugate, inverse, determinant, transpose, pseudoinverse, cos, sin, tan, cot, cosh, sinh, tanh, coth, arccos, arcsin, arctan, arccot, arcosh, arsinh, artanh и arcoth

  • units:

    rad, deg

  • special symbols:

    • pi, e, i — mathematical constants
    • k, n — integers
    • I or E — identity matrix
    • X, Y — matrix symbols
• Используйте ↵ Ввод, Пробел, ←↑↓→, Backspace и Delete для перемещения по ячейкам, Ctrl⌘ Cmd+C/Ctrl⌘ Cmd+V — для копирования матриц.
• Перетаскивайте матрицы из результата (drag-and-drop), или даже из текстового редактора.
• За теорией о матрицах и операциях над ними обращайтесь к страничке на Википедии.

Содержание:

Определители II и III порядка

Определение: Определителем порядка n называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы, имеющей n строк и n столбцов, которая раскрывается по определенному правилу.

Числа

Определение: Определителем II порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 2×2, т.е. имеющая 2 строки и 2 столбца.

Определение: Определитель II порядка вычисляется по правилу: из произведения элементов, стоящих на главной диагонали, надо вычесть произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

Пример:

Определение: Определителем III порядка называется число (выражение), записанное в виде квадратной таблицы размером 3×3, то есть имеющей 3 строки и 3 столбца.

Определитель III порядка вычисляется по правилу Саррюса: за определителем выписывают первый и второй столбцы, затем из суммы произведений элементов, стоящих на главной диагонали ей параллельных диагоналях, надо вычесть сумму произведений элементов, стоящих на побочной диагонали и ей параллельных:

Пример:

Определение: Минором элемента называется определитель порядка (n-1), который получается из исходного определителя порядка n путем вычеркивания строки i и столбца j, на пересечении которых стоит элемент

Пример:

Найти миноры элементов и определителя из Примера 2. Вычеркивая в определителе строку 1 и столбец 2: получим минор Поступая аналогично со строкой 3 и столбцом 3, получим минор

Пример:

Найти миноры элементов и определителя Исходя из определения минора получаем аналогично найдем минор

Определение: Алгебраическим дополнением элемента называется произведение минора этого элемента на т.е.

Замечание: Из определения алгебраического дополнения следует, что алгебраическое дополнение совпадает со своим минором, если сумма является четным числом, и противоположно ему по знаку, если сумма — нечетное число.

Определение: Транспонированным определителем n-го порядка называется определитель порядка n, полученный из исходного определителя путем замены строк на соответствующие столбцы, а столбцов на соответствующие строки.

Если

Пример:

Найти определитель, транспонированный к определителю Из определения транспонированного определителя

Свойства определителей

1. Величина транспонированного определителя равна величине исходного определителя. Пусть Отсюда видно, что

2. Перестановка местами двух строк (столбцов) изменяет знак определителя на противоположный. Пусть

Если поменять местами строки (столбцы) четное число раз, то величина и знак определителя не меняется. Нечетная перестановка местами строк (столбцов) не меняет величину определителя, но изменяет его знак на противоположный.

3. Определитель, содержащий две (или более) одинаковых строки (столбца), равен нулю. Если определитель содержит два одинаковых столбца, то

4. Для того чтобы умножить определитель на число k, достаточно умножить на это число все элементы какой-либо одной строки (столбца). Обратно: если все элементы какой-либо строки (столбца) имеют общий множитель k, то его можно вынести за знак определителя.

Докажем это свойство:

5. Если две каких-либо строки (столбца) пропорциональны, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка первая и вторая строки пропорциональны, тогда

6. Если все элементы какой-либо строки (столбца) равны нулю, то определитель равен нулю.

Пусть в определителе II порядка все элементы первой строки равны нулю, тогда

7. Если элементы какой-либо строки (или столбца) можно представить в виде двух слагаемых, то сам определитель можно представить в виде суммы двух определителей. Если Доказать самостоятельно.

8. Если все элементы какой-либо строки (столбца) умножить на вещественное число к и прибавить k соответствующим элементам другой строки (соответственно, столбца), то величина определителя не изменится.

Умножим элементы второго столбца на вещественное число k и прибавим результат умножения к соответствующим элементам первого столбца, получим

Второй определитель равен нулю по свойству 5.

Замечание: Данное свойство применяется для обнуления всех элементов какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), что существенно снижает трудоемкость вычисления определителей порядка выше 3 (см. также свойство 9.).

9. [Метод раскрытия определителя по элементам какой-либо строки (или столбца); универсальный способ вычисления определителя любого порядка]. Определитель любого порядка равен сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

Пример:

Вычислить определитель по элементам 3 строки и по элементам 2 столбца.

Решение:

Воспользуемся свойством 9.: раскроем определитель по элементам 3 строки Вычислим определитель по элементам 2 столбца

Из полученных результатов видно, что свойство 9. является универсальным методом вычисления любых определителей по элементам любой строки или столбца.

Используя свойство 8. можно обнулить все элементы какой-либо строки (столбца) за исключением одного (метод обнуления), а затем раскрыть определитель по элементам этой строки, воспользовавшись свойством 9.

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Обнулим элементы в третьей строке, для чего выполним следующие действия: (по свойству 4. из третьей строки вынесем множитель 2) используя свойство 8., умножим все элементы второго столбца на 1.5 и прибавим к соответствующим элементам третьего столбца, получим)

(по свойству 4. из третьего столбца вынесем множитель 0,5, тогда множитель перед определителем станет равным 1)

(раскроем определитель по элементам третьей строки: выше из определителя третьего порядка вычеркнута третья строка с нулями и второй столбец, т.е. показан необходимый для дальнейших вычислений минор Таким образом, метод обнуления позволяет значительно ускорить процесс вычисления любого определителя.

Пример:

Решить уравнение

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное уравнение

Пример:

Решить неравенство

Решение:

Вычислим определители второго и третьего порядков согласно вышеописанным правилам:

Найденные величины подставим в исходное неравенство

Пример:

Вычислить определитель четвертого порядка (аналогично выполнить такие же действия с определителем третьего порядка), преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и вычислить полученный определитель по элементам этого ряда:

Решение:

Во второй строке исходного определителя присутствуют 1 и 0, поэтому обнуление элементов будем производить в этой строке (при обнулении элементов в строке действия производят со столбцами и наоборот): — строка обнуления; — столбцы, с которыми производят действия)=

(по методу обнуления раскроем определитель по элементам 2-ой строки ( — цифры, с которыми производятся действия))

(по универсальному методу раскроем определитель по элементам третьей строки)

Определители

Перестановкой чисел 1, 2,…, n называется любое расположение этих чисел в определенном порядке. В элементарной алгебре доказывается, что число всех перестановок, которые можно образовать из n чисел, равно 12…n = n!. Например, из трех чисел 1, 2, 3 можно образовать 3!=6 перестановок: 123, 132, 312, 321, 231, 213. Говорят, что в данной перестановке числа i и j составляют инверсию (беспорядок), если i>j, но i стоит в этой перестановке раньше j, то есть если большее число стоит левее меньшего.

Перестановка называется четной (или нечетной), если в ней соответственно четно (нечетно) общее число инверсий. Операция, посредством которой от одной перестановки переходят к другой, составленной из тех же n чисел, называется подстановкой n-ой степени.

Подстановка, переводящая одну перестановку в другую, записывается двумя строками в общих скобках, причем числа, занимающие одинаковые места в рассматриваемых перестановках, называются соответствующими и пишутся одно под другим. Например, символ обозначает подстановку в которой 3 переходит в

Подстановка называется четной (или нечетной), если общее число инверсий в обеих строках подстановки четно (нечетно). Всякая подстановка n-ой степени может быть записана в виде т.е. с натуральным расположением чисел в верхней строке.

Пусть нам дана квадратная матрица порядка n

Рассмотрим все возможные произведения по n элементов этой матрицы, взятых по одному и только по одному из каждой строки и каждого столбца, т.е. произведений вида:

где индексы составляют некоторую перестановку из чисел 1, 2,…,n. Число таких произведений равно числу различных перестановок из n символов, т.е. равно n!. Знак произведения (4.4) равен (-1)^q где q — число инверсий в перестановке вторых индексов элементов.

Определителем n-го порядка, соответствующим матрице (4.3), называется алгебраическая сумма n! членов вида (4.4). Для записи определителя употребляется символ (детерминант, или определитель, матрицы А).

Свойства определителей:

1. Определитель не меняется при транспонировании.
2. Если одна из строк определителя состоит из нулей, то определитель равен нулю.
3. Если в определителе переставить две строки, определитель поменяет знак.
4. Определитель, содержащий две одинаковые строки, равен нулю.
5. Если все элементы некоторой строки определителя умножить на некоторое число то сам определитель умножится на
6. Определитель, содержащий две пропорциональные строки, равен нулю.
7. Если все элементы i-й строки определителя представлены в виде суммы двух слагаемых то определитель равен сумме определителей, у которых все строки, кроме i-ой, — такие же, как в заданном определителе, а i-я строка в одном из слагаемых состоит из элементов в другом — из элементов
8. Определитель не меняется, если к элементам одной из его строк прибавляются соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число.

Замечание. Все свойства остаются справедливыми, если вместо строк взять столбцы.

Минором элемента определителя d n-го порядка называется определитель порядка n-1, который получается из d вычеркиванием строки и столбца, содержащих данный элемент.

Алгебраическим дополнением элемента определителя d называется его минор взятый со знаком Алгебраическое дополнение элемента будем обозначать Таким образом,

Способы практического вычисления определителей, основанные на том, что определитель порядка n может быть выражен через определители более низких порядков, дает следующая теорема.

• Заказать решение задач по высшей математике

Теорема (разложение определителя по строке или столбцу).

Определитель равен сумме произведений всех элементов произвольной его строки (или столбца) на их алгебраические дополнения. Иначе говоря, имеет место разложение d по элементам i-й строки или j- го столбца

В частности, если все элементы строки (или столбца), кроме одного, равны нулю, то определитель равен этому элементу, умноженному на его алгебраическое дополнение.

Пример:

Не вычисляя определителя показать, что он равен нулю.

Решение:

Вычтем из второй строки первую, получим определитель равный исходному. Если из третьей строки также вычесть первую, то получится определитель в котором две строки пропорциональны.

Такой определитель равен нулю.

Пример:

Вычислить определитель разложив его по элементам второго столбца.

Решение:

Разложим определитель по элементам второго столбца:

Пример:

Вычислить определитель в котором все элементы по одну сторону от главной диагонали равны нулю.

Решение:

Разложим определитель А по первой строке:

Определитель, стоящий справа, можно снова разложить по первой строке, тогда получим:

И так далее. После n шагов придем к равенству

Пример:

Вычислить определитель

Решение:

Если к каждой строке определителя, начиная со второй, прибавить первую строку, то получится определитель, в котором все элементы, находящиеся ниже главной диагонали, будут равны нулю. А именно, получим определитель: равный исходному.

Рассуждая, как в предыдущем примере найдем, что он равен произведению элементов главной диагонали, т.е. n!. Способ, с помощью которого вычислен данный определитель, называется способом приведения к треугольному виду.

——- в вышмате

Определители. Алгебраические дополнения

Внимание! Понятие определителя вводится только для квадратной матрицы.

Матрица называется квадратной порядка n, если количество ее строк совпадает с количеством столбцов и равно n.

Элементы квадратной матрицы, имеющие одинаковые значения индексов, составляют главную диагональ. Элементы квадратной матрицы порядка n, сумма индексов каждого из которых равна n+1, составляют побочную диагональ.

Определитель матрицы обозначается одним из следующих символов:

Внимание! Определитель — это число, характеризующее квадратную мат- рицу.

Определитель матрицы второго порядка равен разности элементов главной и побочной диагоналей соответственно:

Определитель матрицы третьего порядка равен сумме элементов главной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными главной диагонали, а также разности элементов побочной диагонали и элементов, расположенных в вершинах треугольников с основаниями, параллельными побочной диагонали.

Схематично это правило изображается так (правило треугольника):

Например,

Квадратная матрица называется верхней (нижней) треугольной, если все элементы, стоящие под (над) главной диагональю равны нулю.

Отметим некоторые свойства определителя.

1. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов главной диагонали.
2. При транспонировании матрицы ее определитель не изменяется.
3. От перестановки двух рядов (строк или столбцов) определитель меняет знак.
4. Общий множитель всех элементов некоторого ряда определителя можно выносить за знак определителя.
5. Если все элементы какого-нибудь ряда матрицы равны нулю, то определитель равен нулю.
6. Определитель, содержащий два пропорциональных ряда, равен нулю.
7. Определитель не изменится, если к элементам какого-либо ряда прибавить соответствующие элементы другого ряда, умноженные на одно и то же число.
8. Определитель произведения двух матриц одинакового порядка равен произведению определителей этих матриц.

Минором элемента определителя n-го порядка называется определитель (n-l)-ro порядка, получаемый вычеркиванием i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых стоит этот элемент. Обозначение:

Алгебраическим дополнением элемента называется его минор, умноженный на Обозначение:

Теорема разложения.

Определитель матрицы равен сумме произведений элементов любого ряда на их алгебраические дополнения.

Пример №2

Вычислить определитель, разлагая его по элементам первой строки:

Решение:

По теореме разложения

Найдем алгебраические дополнения элементов матрицы А:

Следовательно,

Для вычисления определителя порядка выше третьего удобно пользоваться теоремой разложения (метод понижения порядка) или методом приведения определителя к треугольному виду.

Пример №3

Вычислить определитель, приведя его к треугольному виду:

Решение:

Применяя свойство 6 определителей, преобразуем последовательно второй, третий, четвертый столбцы матрицы.

1. прибавили ко второму столбцу первый, умноженный на -2;
2. прибавили к третьему столбцу первый, умноженный на -3;
3. прибавили к четвертому столбцу первый, умноженный на -4;
4. применили свойство 1 определителей.

Пример вычисления
определителя (детерминанта) матрицы

Определитель матрицы — является
многочленом от элементов квадратной
матрицы (если элементы матрицы это
числа, тогда определитель матрицы тоже
будет числом).

Для нахождения определителя матрицы,
исходная матрица должна быть квадратной.

Пример №1

Дана матрица размером 2х2;

Что бы вычислить определитель матрицы
2х2 нужно из произведения элементов
главной диагонали, вычесть произведение
элементов побочной диагонали;

Ответ: -6

Пример №2

Дана матрица размером 3х3;

Что бы вычислить определитель матрицы
3х3 нужно воспользоваться формулой;

Подставляем наши значения в формулу;

Пример №3

Дана матрица размером 4х4;

Есть два способа вычисления определителя
матрицы:

1. По определению — через разложение
   по строке или столбцу;

2. По методу Гаусса — приведение матрицы
   к треугольному виду (этот способ лучше
   использовать для решения матриц,
   размером 4х4 и более).

Решим пример первым
способом (по определению — через
разложение по строке или столбцу)

Чтобы вычислить определитель матрицы,
нужно воспользоваться следующей
формулой, в ней рассмотрен пример
разложения матрицы по первой строке;

Итак, начнём

1. Выбираем строку или столбец (любую),
   лучше всего выбирать строку или столбец,
   где больше нулей, для удобства
   вычисления;
   В данном случае мы выбираем
   третью строку, так как в ней присутствует
   ноль;

1. Берём первый элемент этой строки
   (2);
   Теперь вычёркиваем
   третью строку и первый столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Согласно формуле, мы умножаем выбранный
нами элемент на определитель получившейся
матрицы;

Вычисление определителя матрицы 3х3,
мы рассматривали в примере №2

1. Далее делаем всё тоже самое, что и в
   шаге два, только берём второй элемент
   данной строки (0) и
   вычёркиваем третью строку и второй
   столбец;

Так как этот элемент равен нулю, то ни
чего не нужно считать и так всё ясно;

1. Теперь берём третий элемент строки (6)
   и вычёркиваем третью строку и третий
   столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и
умножаем на выбранный нами элемент (6)

1. Берём четвёртый элемент строки (-3)
   и вычёркиваем третью строку и четвёртый
   столбец;

Получаем матрицу 3х3;

Вычисляем определитель этой матрицы и
умножаем на выбранный нами элемент (-3)

1. Чтобы вычислить определитель исходной
   матрицы, нужно сложить полученные
   результаты;

Ответ: -1926

Опишем решение примера
вторым способом (по методу Гаусса
— приведение матрицы к треугольному
виду)

Суть способа заключается в том, чтобы
перед вычислением определителя, привести
матрицу к треугольному виду. Если в ходе
приведения матрицы к треугольному виду
вы умножаете (делите) строку на число,
то на это же число нужно будет умножить
(разделить) полученный в конце определитель;

Пример приведения матрицы к треугольному
виду мы уже рассматривали здесь

Итак, мы привили матрицу к треугольному
виду;

Теперь чтобы вычислить определитель
приведённой матрицы, нужно перемножить
все элементы, стоящие на главной
диагонали;

Ответ: -1926

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #