Как найти определитель матрицы второго порядка - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Определитель матрицы

Пусть задана матрица второго порядка $ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22} end{pmatrix} $. Тогда её определитель находится по формуле:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22} end{vmatrix} = a_{11}cdot a_{22} — a_{12}cdot a_{21} $$

Из произведения элементов, стоящих на главной диагонали $ a_{11}cdot a_{22} $, вычитается произведение элементов, расположенных на побочной диагонали $ a_{12}cdot a_{21} $. Это правило верно только (!) для определителя 2-го порядка.

Если дана матрица третьего порядка $ A = begin{pmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{pmatrix} $, то вычислить её определитель следует по формуле:

$$ Delta = begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33} end{vmatrix} = $$

$$ = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31}+a_{21}a_{32}a_{13} — a_{13}a_{22}a_{31}-a_{23}a_{32}a_{11}-a_{12}a_{21}a_{33} $$

Пример 1

Найти определитель матрицы $ A = begin{pmatrix} 1&2\3&4 end{pmatrix} $

Решение

Обратим внимание на то что матрица квадратная второго порядка, то есть количество столбцов равно количеству строк и они содержат по 2 элемента. Поэтому применим первую формулу. Перемножим элементы, стоящие на главной диагонали и вычтем из них произведение элементов, стоящих на побочной диагонали:

$$ Delta = begin{vmatrix} 1&2\3&4 end{vmatrix} = 1 cdot 4 — 2 cdot 3 = 4-6 = -2 $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение онлайн. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ

$$ Delta = -2 $$

Пример 2

Вычислить определитель $ A = begin{pmatrix} 2&2&1\1&-3&-1\3&4&-2 end{pmatrix} $

Решение

Так как в задаче квадратная матрица 3-го порядка, то найти определитель матрицы следует по второй формуле. Для простоты решения задачи достаточно подставить вместо $ a_{ij} $ переменных, стоящих в формуле значения из матрицы нашей задачи:

$$ Delta = begin{vmatrix} 2&2&1\1&-3&-1\3&4&-2 end{vmatrix} = $$

$$ = 2cdot (-3) cdot (-2) + 2cdot (-1) cdot 3 + 1cdot 4cdot 1 — $$ $$ — 1cdot (-3)cdot 3 — (-1)cdot 4cdot 2 — 2cdot 1cdot (-2) = $$

$$ = 12 — 6 + 4 + 9 + 8 + 4 = 31 $$

Стоит отметить когда мы находим произведения элементов на побочной диагонали и подобных её, то перед произведениями ставится знак минус.

Ответ

$$ Delta = 31 $$

Пример 3

Найти определитель матрицы $ A = begin{pmatrix} 1&3&-2\-2&4&1 end{pmatrix} $

Решение

Замечаем сразу, что количество строк не равно количеству столбцов, поэтому матрица не является квадратной. Так как определить существует только у квадратных матриц, то задача не имеет решения.

Ответ

Невозможно посчитать определитель

Источник

В прошлый раз мы рассмотрели понятие определителя матрицы. Для вычисления определителей существуют различные правила. Например, определитель матрицы FF первого порядка — элемент f11:∣F∣=f11f_{11}: |F|= f_{11}. Рассмотрим вычисление определителя второго порядка.

Правило нахождения определителя второго порядка

Для того чтобы вычислить определитель второго порядка необходимо из произведения элементов главной диагонали вычесть произведение элементов второй (побочной) диагонали.

В общем случае нахождение определителя выглядит следующим образом:

∣B∣=∣b11b12b21b22∣=b11⋅b22−b12⋅b21|B|=begin{vmatrix}color{green}{b_{11}}&color{purple}{b_{12}}\color{purple}{b_{21}}&color{green}{b_{22}}end{vmatrix}=color{green}{b_{11}}cdotcolor{green}{b_{22}}-color{purple}{b_{12}}cdotcolor{purple}{b_{21}}.

Схема вычисления определителя второго порядка выглядит следующим образом:

Алгоритм нахождения определителя второго порядка:

Определяем порядок определителя (подробнее о порядке определителя можно узнать в теме «Что такое определитель матрицы»).
Если порядок определителя = 2, то находим произведение элементов главной диагонали, и произведение элементов второй (побочной) диагонали (с понятием главной и побочной диагонали можно ознакомиться в теме «Основные типы матриц»).
Находим разность произведения элементов главной диагонали и произведения элементов второй (побочной диагонали).

Пример 1

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−1543−2∣Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен

Δ=∣−1543−2∣=−15⋅(−2)−4⋅3=30−12=18Delta=begin{vmatrix}-15&4\3&-2end{vmatrix}=-15cdot(-2)-4cdot3=30-12=18.

Пример 2

Вычислить определитель второго порядка Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}.

Определитель второго порядка равен Δ=∣−cos⁡α−sin⁡α−sin⁡α−cos⁡α∣=−cosα⋅(−cosα)−(−sinα⋅(−sinα))=cos2α−sin2α=cos(2α)Delta=begin{vmatrix}-cosalpha&-sinalpha\-sinalpha&-cosalphaend{vmatrix}=-cosalphacdot(-cosalpha)-(-sinalphacdot(-sinalpha))=cos^{2}alpha-sin^{2}alpha=cos(2alpha).

Обратитесь к нашим экспертам, если вам потребовалась онлайн-помощь с решением задач!

Тест по теме «Как вычислить определитель матрицы второго порядка»

Источник

Содержание

Определитель квадратной матрицы первого порядка
Определитель квадратной матрицы второго порядка
Схема вычисления определителя второго порядка
Примеры вычисления определителей второго порядка
Определитель квадратной матрицы третьего порядка
Правило треугольников нахождения определителя третьего порядка
Примеры вычисления определителей третьего порядка

Используя специальное правило каждой квадратной матрице можно поставить в соответствие число, которое будем называть определителем (детерминантом) и обозначать или или

Определитель квадратной матрицы первого порядка

Определителем квадратной матрицы первого порядка $A=(a_{11})$ называется число

$|A|=|a_{11}|=a_{11}.$

Заметим, что здесь выражение $|a_{11}|$ означает определитель, хоть внешне очень похоже на запись модуля числа $a_{11}.$ Таким образом, определитель матрицы первого порядка равен единственному элементу этой матрицы, например для матриц

определители

Определитель квадратной матрицы второго порядка

Определителем квадратной матрицы второго порядка

$A=left(!!begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}end{array}!!right)$

называется число

$left|Aright|= left|!!begin{array}{cc}a_{11}^{}& a_{12}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}&a_{22}^{}end{array}!!right|=a_{11}^{}a_{22}^{}-a_{12}^{}a_{21}.$

Таким образом, для того, что вычислить определитель матрицы 2-го порядка нужно умножить элементы главной диагонали матрицы и от полученного произведения вычесть произведение элементов побочной диагонали матрицы. Схема вычисления определителя второго порядка представлена на рис. 1.

Рис. 1

Рассмотрим примеры, где требуется вычислить определитель второго порядка. У матриц

$A=left(!!begin{array}{cc} 3& -4\[0.5ex] 2&1end{array}!!right),$ $B=left(!!begin{array}{cc} cosalpha & sinalpha\[0.5ex] -sinalpha&cosalpha end{array}!!right)$

определители

$left|Aright|=left|!!begin{array}{cc} 3& -4\[0.5ex] 2&1end{array}!!right|=3cdot 1-({}-4)cdot2=3+8=11,$

$left|Bright|=left(!!begin{array}{cc} cosalpha & sinalpha\[0.5ex] -sinalpha&cosalpha end{array}!!right) =cosalphacosalpha-sinalpha({}-sinalpha)=$

Определитель квадратной матрицы третьего порядка

Определителем квадратной матрицы третьего порядка

$A=left(!!begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}end{array}!!right)$

называется число

$left|Aright|=left|!!begin{array}{ccc}a_{11}^{}& a_{12}^{}&a_{13}^{}\[0.5ex]a_{21}^{}& a_{22}^{}&a_{23}^{}\[0.5ex]a_{31}^{}& a_{32}^{}&a_{33}^{}end{array}!!right|=$

$=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-$ $(a_{13}a_{22}a_{31}+a_{12}a_{21}a_{33}+ a_{11}a_{23}a_{32}).$

Как видим, для того чтобы вычислить определитель матрицы третьего порядка необходимо использовать достаточно сложную для запоминания формулу, однако, заучивать ее вовсе не обязательно. Гораздо легче понять и запомнить схему вычисления определителя третьего порядка (рис. 2) (ее еще называют правилом треугольников). Используя эту схему решаются задачи на вычисление определителей матриц 3×3, и с ее помощью всегда можно восстановить формулу нахождения определителя 3-го порядка.

Рис. 2

Как видно из схемы (рис. 2), для того чтобы найти определитель третьего порядка необходимо вычислить 6 чисел, каждое из которых представляет собой произведение трех чисел. Для нахождения первого числа требуется найти произведение элементов главной диагонали, второе и третье числа представляют собой произведения элементов, находящихся в вершинах равнобедренных треугольников (см. рис. 2), чьи основания параллельны главной диагонали матрицы. Аналогично, четвертое число в схеме есть произведение элементов второй (побочной) диагонали матрицы, а пятое и шестое числа находятся как произведения элементов-вершин равнобедренных треугольников с основаниями параллельными второй диагонали матрицы. Затем следует сложить первые три числа и из этой суммы вычесть сумму чисел с номерами 4 — 6.

Рассмотрим пример вычисления определителя матрицы третьего порядка. Определитель

$left|!!begin{array}{ccc}2& 3&-1\[0.5ex] 1& 3&{}-1\[0.5ex] 1& {}-3&0}end{array}!!right|= 2cdot3cdot0+3cdot(-1)cdot1+(-1)cdot 1cdot(-3)-$

Источник

Содержание:

Вычисления определителей второго порядка
Методы вычисления определителей третьего порядка
Приведение определителя к треугольному виду
Правило треугольника
Правило Саррюса
Разложение определителя по строке или столбцу
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$

$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.

$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$

$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$

$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$

$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Источник

ЭЛЕМЕНТЫ ЛИНЕЙНОЙ АЛГЕБРЫ

Определители

Определение. Определитель — это число, которое ставится
в соответствие квадратной матрице A по определенному правилу.
Итак, задана матрица

Обозначение определителя:

Определители второго порядка

Определитель второго порядка вычисляется по правилу:

Вначале перемножаются элементы, стоящие на главной диагонали — a₁₁ и a₂₂, затем на побочной диагонали — a₂₁ и a₁₂.
И, наконец, из первого слагаемого вычитается второе
Пример 2.1

Пример 2.2.
Найти значения параметра a, при которых заданный определитель равен -2.

Вычислим определитель:

По условию

a²-5a+4=-2.

Следовательно,

a²-5a+6=0, a=2, a=3.

При a=2 и a=3 определитель равен -2.

Определители третьего порядка

Выпишем определитель третьего порядка:

Вычислим его по правилу треугольника.Правило треугольника вначале запишем схематично:

Здесь xxx — произведение элементов, стоящих на главной
диагонали, ●●● — произведение трех элементов, два из которых
находятся над главной диагональю, а третий в нижнем левом углу, ⊕⊕⊕
— произведение трех элементов, два из которых находятся
под главной диагональю, а третий в верхнем правом углу. Остальные произведения входят в формулу со знаком минус и связаны
с побочной диагональю.

Теперь запишем правило треугольника:

Пример 2.3

Минор M_ij элемента a_ij

Определение. Минором M_ij называется определитель, полученный из определителя матрицы A вычеркиванием i-й строки
и j‑го столбца.
Пример 2.4. Рассмотрим

Чтобы найти M₁₁, вычеркнем первую строку и первый столбец.

Чтобы найти M₂₃, вычеркнем вторую строку и третий столбец.

Пример 2.5. Для определителя

Алгебраическое дополнение A_ij элемента a_ij

Определение. Алгебраическим дополнением A_ij элемента a_ij
называется минор M_ij, взятый со знаком плюс, если сумма i + j —
число четное, и со знаком минус, если i + j — число нечетное, т. е.

Пример 2.6. Рассмотрим

Алгебраическое дополнение A

элемента a₁₁ равно M₁₁
и равно −8.

A₂₃=-M₂₃ =-12.

Пример 2.7. Рассмотрим

Вычисление определителей разложением
по строке (столбцу)

Определение. Определитель Δ равен сумме произведений
элементов i-й строки на их алгебраические дополнения:

Δ=a_i1A_i1+a_i2A_i2+…+a_inA_in

или определитель Δ равен сумме произведений элементов j‑го
столбца на их алгебраические дополнения:

Δ=a_1jA_1j+a_2jA_2j+…+a_njA_nj

Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по первой строке.

Запишем вычисление определителя третьего порядка разложением по второму столбцу

Пример 2.8

Вычислим этот определитель разложением по первому
столбцу.

Системы линейных
алгебраических уравнений (СЛАУ)

Задача. Выборы декана.
Пусть на факультете три кафедры. На первой работает 20 человек, на второй — 35, на третьей — 18. Голосуют все. Известно,
что за предложенного кандидата на второй кафедре проголосовало
в 2 раза больше, чем на первой, воздержалось — в 2 раза меньше,
«против» проголосовало в 3 раза больше. На третьей кафедре «за»
проголосовало столько же человек, сколько на первой, воздержавшихся нет, «против» проголосовало в 2 раза больше, чем на первой.
Кандидат выбран деканом, если получил больше 50 % голосов. Будет ли кандидат выбран деканом?

Пусть на первой кафедре «за», воздержалось, «против» соответственно x, y, z человек. Тогда получится три соотношения,
которые образуют систему линейных уравнений:

Системы линейных
алгебраических уравнений второго порядка

Система линейных алгебраических уравнений второго
порядка имеет вид:

где x₁
, x₂ — искомые неизвестные, которые называются решением
системы; a₁₁,…, a₂₂ — коэффициенты системы; b₁
, b₂ — правые
части системы или свободные члены.

Запись системы в матричной форме

В матричной форме система линейных алгебраических уравнений записывается так:

Пример 2.9

Матричная форма записи системы:

Решение системы методом Крамера

Домножим первое уравнение системы на a₂₂, второе уравнение — на a₁₂:

Получим

Вычтем из первого второе:

Обозначим

Тогда (2.2) запишется в виде Δ*x₁=Δ₁.
Аналогично получим, что Δ*x₂=Δ₂,где

Правило
1. Пусть , тогда система (2.1) имеет единственное
решение:

Эти формулы называются формулами Крамера.
2. Пусть Δ = 0 и Δ₁= 0, тогда система (2.1) имеет бесконечно
много решений.
3. Пусть Δ = 0, а Δ₁ ≠ 0, тогда система (2.1) не имеет решений.
Пример 2.10