Как найти определитель методом саррюса - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

С помощью метода Саррюса находится определитель матрицы третьего порядка.
Матрица третьего порядка — это матрица 3х3. Что бы найти ее определитель, нужно воспользоваться формулой:

К определителю матрицы справа добавляется первых два столбца определителя. Складываем умноженные элементы на главной диагонали с умноженными элементами диагоналей параллельные главной. От полученного значения отнимаем умноженные элементы побочной диагонали с умноженными элементами диагоналей параллельные побочной.

Пример

Найдем определитель матрицы третьего порядка методом Саррюса.

Источник

Определитель матрицы: алгоритм и примеры вычисления определителя матрицы

Перед тем как находить и считать определитель, дадим определение определителю матрицы.

Определение 1

Что такое определитель матрицы или детерминант матрицы? Определитель матрицы — это некоторое число, с которым можно сопоставить любую квадратную матрицу А=(aij)n×n.

|А|, ∆, det A — символы, которыми обозначают определитель матрицы.

Как найти определитель матрицы? Вычислить определитель или найти определитель можно с помощью разных способов (в том числе онлайн и при помощи калькулятора). Конкретный способ поиска и того, как решать, выбирают в зависимости от порядка матрицы.

Пример 1

Определитель матрицы второго порядка можно вычислять по формуле:

А=1-231.

Решение матрицы:

det A=1-231=1×1-3×(-2)=1+6=7

Определитель матрицы 3-го порядка: правило треугольника

Нахождение определителя матрицы 3-го порядка осуществляется по одному из правил:

он может считаться по правилу треугольника;
расчет также проводится по правилу Саррюса.

Как найти определитель матрицы третьего порядка по методу треугольника (определитель матрицы 3×3)?

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 2

А=13402115-1

Решение:

det A=13402115-1=1×2×(-2)+1×3×1+4×0×5-1×2×4-0×3×(-1)-5×1×1=(-2)+3+0-8-0-5=-12

Правило Саррюса

Чтобы вычислить определитель по методу Саррюса, необходимо учесть некоторые условия и выполнить следующие действия:

дописать слева от определителя два первых столбца;
перемножить элементы, которые расположены на главной диагонали и параллельных ей диагоналях, взяв произведения со знаком «+»;
перемножить элементы, которые расположены на побочных диагоналях и параллельных им, взяв произведения со знаком «—».

а11а12а13а21а22а23а31а32а33=a11×a22×a33+a31×a12×a23+a21×a32×a13-a31×a22×a13-a21×a12×a33-a11×a23×a32

Пример 3

А=134021-25-11302-25=1×2×(-1)+3×1×(-2)+4×0×5-4×2×(-2)-1×1×5-3×0×(-1)=-2-6+0+16-5-0=3

Методы разложения по элементам строки и столбца

Чтобы вычислить определитель матрицы четвертого порядка, можно воспользоваться одним из 2-х способов:

разложением по элементам строки;
разложением по элементам столбца.

Представленные способы определяют вычисление определителя n как вычисление определителя порядка n-1 за счет представления определителя суммой произведений элементов строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Пример 4

Разложение матрицы по элементам строки:

det A=ai1×Ai1+ai2×Ai2+…+аin×Аin

Разложение матрицы по элементам столбца:

det A=а1i×А1i+а2i×А2i+…+аni×Аni

Замечание

Если раскладывать матрицу по элементам строки (столбца), необходимо выбирать строку (столбец), в которой(-ом) есть нули.

Пример 5

А=01-132100-24513210

Решение:

раскладываем по 2-ой строке:

А=01-132100-24513210=2×(-1)3×1-13-251310=-2×1-13451210+1×0-13-251310

раскладываем по 4-му столбцу:

А=01-132100-24513210=3×(-1)5×210-245321+1×(-1)7×01-1210321=-3×210-245321-1×01-1210321

Свойства определителя

Свойства определителя:

если преобразовывать столбцы или строки незначительными действиями, то это не влияет на значение определителя;
если поменять местами строки и столбцы, то знак поменяется на противоположный;
определитель треугольной матрицы представляет собой произведение элементов, которые расположены на главной диагонали.

Замечание

В рамках темы советуем обратиться к модулю определителя.

Пример 6

А=134021005

Решение:

det А=134021005=1×5×2=10

Замечание

Матричныый определитель, который содержит нулевой столбец, равный нулю (представляет собой минор).

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Источник

Содержание:

Вычисления определителей второго порядка
Методы вычисления определителей третьего порядка
Приведение определителя к треугольному виду
Правило треугольника
Правило Саррюса
Разложение определителя по строке или столбцу
Разложение определителя по элементам строки или столбца
Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель второго порядка
$left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=11 cdot 5-(-2) cdot 7=55+14=69$

Ответ. $left| begin{array}{rr}{11} & {-2} \ {7} & {5}end{array}right|=69$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ методом треугольников.

Решение. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=3 cdot 1 cdot(-2)+4 cdot(-2) cdot(-1)+$

$$+3 cdot 3 cdot 1-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot(-2) cdot 3-4 cdot 3 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|$ с помощью правила Саррюса.

Решение.

$$+(-1) cdot 4 cdot(-2)-(-1) cdot 1 cdot 1-3 cdot 3 cdot(-2)-3 cdot 4 cdot(-2)=54$$

Ответ. $left| begin{array}{rrr}{3} & {3} & {-1} \ {4} & {1} & {3} \ {1} & {-2} & {-2}end{array}right|=54$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Пример

Задание. Разложив по первой строке, вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right| leftarrow=a_{11} cdot A_{11}+a_{12} cdot A_{12}+a_{13} cdot A_{13}=$

$1 cdot(-1)^{1+1} cdot left| begin{array}{cc}{5} & {6} \ {8} & {9}end{array}right|+2 cdot(-1)^{1+2} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {6} \ {7} & {9}end{array}right|+3 cdot(-1)^{1+3} cdot left| begin{array}{cc}{4} & {5} \ {7} & {8}end{array}right|=-3+12-9=0$

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Пример

Задание. Вычислить определитель $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|$

Решение. Выполним следующие
преобразования над строками определителя: из второй строки отнимем четыре
первых, а из третьей первую строку, умноженную на семь, в результате, согласно свойствам определителя, получим определитель,
равный данному.

$$left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {4-4 cdot 1} & {5-4 cdot 2} & {6-4 cdot 3} \ {7-7 cdot 1} & {8-7 cdot 2} & {9-7 cdot 3}end{array}right|=$$

$$=left| begin{array}{rrr}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {-6} & {-12}end{array}right|=left| begin{array}{ccc}{1} & {2} & {3} \ {0} & {-3} & {-6} \ {0} & {2 cdot(-3)} & {2 cdot(-6)}end{array}right|=0$$

Определитель равен нулю, так как вторая и третья строки являются пропорциональными.

Ответ. $left| begin{array}{lll}{1} & {2} & {3} \ {4} & {5} & {6} \ {7} & {8} & {9}end{array}right|=0$

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Пример

Задание. Вычислить определитель
$left| begin{array}{llll}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|$ , разложив его по элементам какой-то строки или какого-то столбца.

Решение. Предварительно выполним
элементарные преобразования над строками определителя, сделав
как можно больше нулей либо в строке, либо в столбце. Для этого вначале от первой строки отнимем девять третьих,
от второй — пять третьих и от четвертой — три третьих строки, получаем:

$$left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=left| begin{array}{cccc}{9-1} & {8-0} & {7-9} & {6-18} \ {5-5} & {4-0} & {3-5} & {2-10} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|$$

Полученный определитель разложим по элементам первого столбца:

$$left| begin{array}{rrrr}{0} & {8} & {-2} & {-12} \ {0} & {4} & {-2} & {-8} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {0} & {4} & {2} & {0}end{array}right|=0+0+1 cdot(-1)^{3+1} cdot left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|+0$$

Полученный определитель третьего порядка также разложим по элементам строки и столбца, предварительно получив нули,
например, в первом столбце. Для этого от первой строки отнимаем две вторые строки, а от третьей — вторую:

$$left| begin{array}{rrr}{8} & {-2} & {-12} \ {4} & {-2} & {-8} \ {4} & {2} & {0}end{array}right|=left| begin{array}{rrr}{0} & {2} & {4} \ {4} & {-2} & {-8} \ {0} & {4} & {8}end{array}right|=4 cdot(-1)^{2+2} cdot left| begin{array}{ll}{2} & {4} \ {4} & {8}end{array}right|=$$

$$=4 cdot(2 cdot 8-4 cdot 4)=0$$

Ответ. $left| begin{array}{cccc}{9} & {8} & {7} & {6} \ {5} & {4} & {3} & {2} \ {1} & {0} & {1} & {2} \ {3} & {4} & {5} & {6}end{array}right|=0$

Замечание

Последний и предпоследний определители можно было бы и не вычислять,
а сразу сделать вывод о том, что они равны нулю, так как содержат пропорциональные строки.

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Пример

Задание. Вычислить определитель
$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|$ приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования
будет выполнять проще, если элемент $a_{11}$ будет
равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя,
приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{-2} & {1} & {3} & {2} \ {3} & {0} & {-1} & {2} \ {-5} & {2} & {3} & {0} \ {4} & {-1} & {2} & {-3}end{array}right|=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {2} & {-5} & {3} & {0} \ {-1} & {4} & {2} & {-3}end{array}right|$$

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента $a_{11}$ ,
для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

$$Delta=-left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если
диагональный элемент будет равен $pm 1$ , то
вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на
противоположный знак определителя):

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {3} & {-1} & {2} \ {0} & {2} & {5} & {-1}end{array}right|$$

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом:
к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой — две вторых строки, получаем:

$$Delta=left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {-10} & {-10} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|$$

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под
главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

$$Delta=-10 left| begin{array}{rrrr}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {-1} & {-9}end{array}right|=$$

$$=-10 cdot left| begin{array}{cccc}{1} & {-2} & {3} & {2} \ {0} & {-1} & {-3} & {-4} \ {0} & {0} & {1} & {1} \ {0} & {0} & {0} & {-8}end{array}right|=(-10) cdot 1 cdot(-1) cdot 1 cdot(-8)=-80$$

Ответ. $Delta=-80$

Теорема Лапласа

Теорема

Пусть $Delta$ — определитель
$n$-го порядка. Выберем в нем произвольные
$k$ строк (или столбцов), причем
$k leq n-1$ . Тогда сумма произведений всех
миноров
$k$-го порядка, которые содержатся в выбранных
$k$ строках (столбцах), на их
алгебраические дополнения равна определителю.

Пример

Задание. Используя теорему Лапласа, вычислить определитель
$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|$

Решение. Выберем в данном определителе пятого порядка две строки —
вторую и третью, тогда получаем (слагаемые, которые равны нулю, опускаем):

$$left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=left| begin{array}{cc}{1} & {-1} \ {4} & {-5}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+4} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {0} & {5} \ {3} & {1} & {1} \ {1} & {2} & {1}end{array}right|+$$

$$+left| begin{array}{ll}{1} & {2} \ {4} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+2+5} cdot left| begin{array}{rrr}{2} & {0} & {4} \ {3} & {1} & {0} \ {1} & {2} & {-2}end{array}right|+left| begin{array}{cc}{-1} & {2} \ {-5} & {0}end{array}right| cdot(-1)^{2+4+5} cdot left| begin{array}{ccc}{2} & {3} & {0} \ {3} & {2} & {1} \ {1} & {1} & {2}end{array}right|=$$

$$=-23+128+90=195$$

Ответ. $left| begin{array}{rrrrr}{2} & {3} & {0} & {4} & {5} \ {0} & {1} & {0} & {-1} & {2} \ {3} & {2} & {1} & {0} & {1} \ {0} & {4} & {0} & {-5} & {0} \ {1} & {1} & {2} & {-2} & {1}end{array}right|=195$

Читать дальше: обратная матрица.

Источник

Правило Саррюса (правило треугольника).

Пример
1:

=
–
2×1×
(–5)
+ 5×4×(–
4)
+ 3×2×(–
3)
–
(–
3)
×1× (–
4)
–
4×2×

(–
2)
–
5×3 × (–
5)
= 10 –
80
–18
–12
+16 +75 = –
9.

Пример
2:

=
45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

Минором
M_ij
элемента a_ijквадратной
матрицы n
‒ го порядка называется определитель
(n
‒ 1) ‒ го порядка, полученный из данной
матрицы вычеркиванием i
‒ й
строки и j
‒ го
столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент.

Пример:

;

M₁₁=

= 15 + 2 = 17;

M₁₂=

= –
6
–
6
= –12;
и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическим
дополнением A_ijэлемента
a_ij
квадратной матрицы называется его
минор,
взятый со знаком (‒1)^i+j.

Пример:

А₁₁=
(–1)¹⁺¹×
M₁₁=
17.

А₁₂=
(–1)¹⁺²×
M₁₂=
‒ 1×M₁₂
= 12.

А₁₃=
(–1)¹⁺³×
=
4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Теорема Лапласа

Определитель
квадратной матрицы равен сумме
произведений элементов любой строки
(столбца) на их алгебраические дополнения.

по
I
стр. =
×
(–1)
¹⁺²
×
+×(–1)
¹⁺²
×

×
+×(–1)
¹⁺²×
;

Пример:

по
II
стр. = ‒ 2×(–1)²⁺¹×+5×(–1)²⁺²×+1×

×(–1)
²⁺³×=
2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.

Свойства определителей.

1.
Определитель равен нулю, если содержит:

—
нулевую строку или нулевой столбец;

—
две одинаковые строки (столбца);

—
две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=
0;
= 0;= 0;III
= I
× (-3).

2.
Общий множитель элементов любой строки
(столбца) можно выносить за знак
определителя.

Пример:

=
2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.
Определитель не изменится, если к
элементам любой строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца)
умноженные на одно число.

Пример:

I
× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

=
= 1×(–1)¹⁺³×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.

Матрица
А^-1называется
обратной к матрице A,
если при умножении ее на матрицу A,
как справа, так и слева, получится
единичная матрица.

А^-1×A=A×
А^-1=E

Матрица
называется невырожденной,
если ее определитель не равен 0, и
называется вырожденной,
если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратная
матрица А^-1существует
только тогда, когда матрица невырожденная,
т.е. |A|
≠ 0.

Алгоритм
нахождения.

1.
Найти определитель матрицы А.

Если
│A│=
0, то обратная матрица не существует,
если │A│≠
0, то перейти ко второму шагу.

2.
Найти матрицу A^T,
транспонированную к матрице А.

3.
Найти алгебраические дополнения
элементов матрицы A^T
и составить из них матрицу Ã,
которая называется присоединенной.

Ã
=

4.
Обратную матрицу найти по формуле:

5.
Сделать проверку А^—¹×
A
= E

Решение матричных уравнений.

Матричное
уравнение имеет вид:

A
× Х= B

Умножим
обе части уравнения на матрицу А^—¹слева:

А^-1×
A
×Х = А^-1×
В.

Так
как
А^-1×А=Е,
то
Е×Х = А^-1×В.

Так
какЕ
× Х=X,
то
Х= А^-1×В

Пример:

Дано:

А
=
;

В
=
;

Найти:

X
‒?

Решение:

1)
│А│=

2)
A^T=
.

Ã=
.

4)
А^-1
=
× Ã =×=

Х=
А^-1×
B
=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

Рангом
матрицы называется наивысший порядок
не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается
rang
(A)
или r
(A).

Теорема
1.
Ранг матрицы не превосходит наименьшего
из ее размеров.

r(A)
≤ min (m; n)

Пример:

А_2×3
=
;

r
(A)
≤ min
(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r
(A)
≤ 2.

=
3 + 24 = 27 
0; r
(A)
= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема
2.
Ранг квадратной матрицы n-го
порядка равен ее порядку, если она не
вырожденная.

Примеры:

1)А_3×3
=
;
r
(A)
≤ 3.

│А│=

= 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 
0
матрица не вырожденнаяr
(A)
= 3.

2)А_3×3=;
│А│=
0, т.к.
III = I × (– 3)
r
(A)
< 3.

=
0 + 5 = 5 
0
r
(A)
= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема
3.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях матрицы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

Щебетун Виктор

Эксперт по предмету «Математика»

Задать вопрос автору статьи

Существует несколько способов нахождения определителей матриц третьего порядка. Рассмотрим их подробнее.

Перечислим основные способы, используемые для этого:

Правило Саррюса;
Правило треугольников;
Использование специальной формулы для вычисления;
Использование метода Гаусса или иначе метода перестановок.

Правило Саррюса

Правило Саррюса для вычисления матриц 3-ьего порядка применяется просто: достаточно соответственно рисунку переписать 2 первых столбика справа рядом с матричной таблицей, а затем записать произведения, стоящие по диагоналям со знаками.

Замечание 1

Если диагональ идёт сверху слева вниз направо — то произведение записывается со знаком «+», а если диагональ идёт из правого верхнего угла в нижний левый — то со знаком «-».

Сдай на права пока
учишься в ВУЗе

Вся теория в удобном приложении. Выбери инструктора и начни заниматься!

Получить скидку 3 000 ₽

Рисунок 1. Формула третьего порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 1

Дана матричная таблица $A$. Вычислите детерминант с помощью правила Саррюса.

$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$

Решение:

Рисунок 2. Вычисление определителя 3 порядка. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$Δ = 0 cdot 4 cdot 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 1 cdot 5 – 3 cdot 1 cdot 3 – 0 cdot 2 cdot 5 + 1 cdot 4 cdot 2 = 0 + 12 – 5 — 9 – 0 + 8 = 6$

Правило треугольников

Это правило немного похоже на предыдущее. Суть его в том, что произведения элементов с главной диагонали и двух треугольников, задействующих все остальные элементы как показано на рисунке, записываются со знаком плюс, а произведения элементов с побочной диагонали и двух синих треугольников — с противоположным.

«Найти определитель матрицы третьего порядка» 👇

Рисунок 3. Треугольники. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

Пример 2

Найдите определитель из прошлого задания, используя метод треугольников.

Решение:

Рисунок 4. Наглядный пример как пользоваться. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ

$Δ= 0 cdot 4 3 + 3 cdot 2 cdot 2 – 1 cdot 5 cdot 1 + 1 cdot 4 cdot 2 – 1 cdot 3 cdot 3 – 2 cdot 5 cdot 0 = 0 + 12 – 5 + 8 – 9 – 0 = 6$

Использование формулы разложения по строчке

$A = begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{pmatrix}$

Для матрицы 3 на 3, приведённой выше, определитель можно сосчитать по формуле:

$Δ =begin{array}{|ccc|} a_{11} & a_{12} & a_{13} \ a_{21} & a_{22} & a_{23} \ a_{31} & a_{32} & a_{33} \ end{array}=a_{11} cdot begin{array}{|cc|} a_{22} & a_{23} \ a_{32} & a_{33} \ end{array} – a_{12} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{13} \ a_{21} & a_{23} \ a_{31} & a_{33} \ end{array} + a_{13} cdot begin{array}{|cc|} a_{11} & a_{12} \ a_{21} & a_{22} \ a_{31} & a_{32} \ end{array}= a_{11} cdot a_{22} cdot a_{33} – a_{12} cdot a_{23} cdot a_{31} + a_{13} cdot a_{21} cdot a_{32} — a_{13} cdot a_{22} cdot a_{31}$.

Пример 3

Разложите определитель матрицы из предыдущих примеров по 1-ой строчке и найдите его.

Решение:

$Δ = 0 cdot begin{array}{|cc|} 4 & 2 \ 5 & 3 \ end{array} – 3 cdot begin{array} {|cc|} 1 & 2 \ 2 & 3 \ end{array} + (-1) cdot begin{array}{|cc|} 1 & 4 \ 2 & 5 \ end{array} = 0 – 3 cdot (1 cdot 3 – 2 cdot 2) + (-1) cdot (5 – = 0 – 3 cdot(-1) + (-1) cdot (-3) = 3 + 3 = 6$

Метод Гаусса

Чтобы вычислить детерминант этим методом, нужно используя разрешённые преобразования получить треугольную матрицу.

Разрешёнными преобразованиями являются сложение и вычитание строчек и столбцов, в то время как при перестановке строчек и столбцов между собой необходимо помнить о смене знака определителя в конце.

После этого нужно перемножить элементы, стоящие на главной диагонали, их произведение и будет определителем.

Пример 4

Примените метод Гаусса для получения детерминанта матрицы из предыдущих примеров.

Решение:

$A = begin{pmatrix} 0 & 3 & -1 \ 1 & 4 & 2 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$

Переставим первую строчку со второй, при этом запомним, что знак детерминанта в конце поменяется:

$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 2 & 5 & 3 \ end{pmatrix}$;

Вычтем из третьей строчки 1-ую, умноженную на 2:

$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & -3 & -1 \ end{pmatrix}$;

Сложим между собой третью строчку со второй:

$begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}$;

Получили искомый вид матрицы. Теперь можно сосчитать определитель, минус появляется из-за перемены строчек местами:

$Δ=-begin{pmatrix} 1 & 4 & 2 \ 0 & 3 & -1 \ 0 & 0 & -2 \ end{pmatrix}= -(1 cdot 3 cdot ( — 2) ) = 6 $

Находи статьи и создавай свой список литературы по ГОСТу

Поиск по теме

Источник