Как найти определитель по первому столбцу

Понижение порядка определителя. Разложение определителя по строке (столбцу).

Для определителя четвёртого и более высоких порядков обычно применяются иные методы вычисления, нежели использование готовых формул как для вычисления определителей второго и третьего порядков. Один из методов вычисления определителей высших порядков – использование следствия из теоремы Лапласа (саму теорему можно посмотреть, например, в книге А.Г. Куроша «Курс высшей алгебры»). Это следствие позволяет разложить определитель по элементам некоторой строки или столбца. При этом вычисление определителя n-го порядка сводится к вычислению n определителей (n-1)-го порядка. Именно поэтому такое преобразование именуют понижением порядка определителя. Например, вычисление определителя четвёртого порядка сводится к нахождению четырёх определителей третьего порядка.

Допустим, нам задана квадратная матрица n-го порядка, т.е. $A=left( begin{array} {cccc} a_{11} & a_{12} & ldots & a_{1n} \
a_{21} & a_{22} & ldots & a_{2n} \
ldots & ldots & ldots & ldots \
a_{n1} & a_{n2} & ldots & a_{nn} \
end{array} right)$. Вычислить определитель этой матрицы можно, разложив его по строке или по столбцу.

Зафиксируем некоторую строку, номер которой равен $i$. Тогда определитель матрицы $A_{ntimes n}$ можно разложить по выбранной i-й строке, используя следующую формулу:

$$
begin{equation}
Delta A=sumlimits_{j=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+ldots+a_{in}A_{in}
end{equation}
$$

Что такое $A_{ij}$ и $a_{ij}$? показатьскрыть

Что обозначает знак $sum$? показатьскрыть

Аналог формулы (1) существует и для столбцов. Формула для разложения определителя по j-му столбцу выглядит следующим образом:

$$
begin{equation}
Delta A=sumlimits_{i=1}^{n}a_{ij}A_{ij}=a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+ldots+a_{nj}A_{nj}
end{equation}
$$

Правила, выраженные формулами (1) и (2), можно сформулировать так: определитель равен сумме произведений элементов некоей строки или столбца на алгебраические дополнения этих элементов. Для наглядности рассмотрим определитель четвёртого порядка, записанный в общем виде. Для примера разложим его по элементам четвёртого столбца (элементы этого столбца выделены зелёным цветом):

$$Delta=left| begin{array} {cccc}
a_{11} & a_{12} & a_{13} & normgreen{a_{14}} \
a_{21} & a_{22} & a_{23} & normgreen{a_{24}} \
a_{31} & a_{32} & a_{33} & normgreen{a_{34}} \
a_{41} & a_{42} & a_{43} & normgreen{a_{44}} \
end{array} right|$$

$$
Delta
=normgreen{a_{14}}cdot{A_{14}}+normgreen{a_{24}}cdot{A_{24}}+normgreen{a_{34}}cdot{A_{34}}+normgreen{a_{44}}cdot{A_{44}}
$$

Аналогично, раскладывая, к примеру, по третьей строке, получим такую формулу для вычисления определителя:

$$
Delta
=a_{31}cdot{A_{31}}+a_{32}cdot{A_{32}}+a_{33}cdot{A_{33}}+a_{34}cdot{A_{34}}
$$

Пример №1

Вычислить определитель матрицы $A=left( begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \ 7 & 2 & -1 \ 9 & 0 & 4 end{array} right)$, используя разложение по первой строке и второму столбцу.

Решение

Нам нужно вычислить определитель третьего порядка $Delta A=left| begin{array} {ccc} 5 & -4 & 3 \ 7 & 2 & -1 \ 9 & 0 & 4 end{array} right|$. Чтобы разложить его по первой строке нужно использовать формулу (1). Запишем это разложение в общем виде:

$$
Delta A= a_{11}cdot A_{11}+a_{12}cdot A_{12}+a_{13}cdot A_{13}.
$$

Для нашей матрицы $a_{11}=5$, $a_{12}=-4$, $a_{13}=3$. Для вычисления алгебраических дополнений $A_{11}$, $A_{12}$, $A_{13}$ станем использовать формулу №1 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков. Итак, искомые алгебраические дополнения таковы:

begin{aligned}
& A_{11}=(-1)^2cdot left| begin{array} {cc} 2 & -1 \ 0 & 4 end{array} right|=2cdot 4-(-1)cdot 0=8;\
& A_{12}=(-1)^3cdot left| begin{array} {cc} 7 & -1 \ 9 & 4 end{array} right|=-(7cdot 4-(-1)cdot 9)=-37;\
& A_{13}=(-1)^4cdot left| begin{array} {cc} 7 & 2 \ 9 & 0 end{array} right|=7cdot 0-2cdot 9=-18.
end{aligned}

Как мы нашли алгебраические дополнения? показатьскрыть

Подставляя все найденные значения в записанную выше формулу, получим:

$$
Delta A= a_{11}cdot A_{11}+a_{12}cdot A_{12}+a_{13}cdot A_{13}=5cdot{8}+(-4)cdot(-37)+3cdot(-18)=134.
$$

Как видите, процесс нахождения определителя третьего порядка мы свели к вычислению значений трёх определителей второго порядка. Иными словами, мы понизили порядок исходного определителя.

Обычно в таких простых случаях не расписывают решение подробно, отдельно находя алгебраические дополнения, а уж затем подставляя их в формулу для вычисления определителя. Чаще всего просто продолжают запись общей формулы, – до тех пор, пока не будет получен ответ. Именно так мы станем раскладывать определитель по второму столбцу.

Итак, приступим к разложению определителя по второму столбцу. Вспомогательных вычислений производить не будем, – просто продолжим формулу до получения ответа. Обратите внимание, что во втором столбце один элемент равен нулю, т.е. $a_{32}=0$. Это говорит о том, что слагаемое $a_{32}cdot A_{32}=0cdot A_{23}=0$. Используя формулу (2) для разложения по второму столбцу, получим:

$$
Delta A= a_{12}cdot A_{12}+a_{22}cdot A_{22}+a_{32}cdot A_{32}=-4cdot (-1)cdot left| begin{array} {cc} 7 & -1 \ 9 & 4 end{array} right|+2cdot left| begin{array} {cc} 5 & 3 \ 9 & 4 end{array} right|=4cdot 37+2cdot (-7)=134.
$$

Ответ получен. Естественно, что результат разложения по второму столбцу совпал с результатом разложения по первой строке, ибо мы раскладывали один и тот же определитель. Заметьте, что при разложении по второму столбцу мы делали меньше вычислений, так как один элемент второго столбца был равен нулю. Именно исходя из таких соображений для разложения стараются выбирать тот столбец или строку, которые содержат побольше нулей.

Ответ: $Delta A=134$.

Пример №2

Вычислить определитель матрицы $A=left( begin{array} {cccc}
-1 & 3 & 2 & -3\
4 & -2 & 5 & 1\
-5 & 0 & -4 & 0\
9 & 7 & 8 & -7 end{array} right)$, используя разложение по выбранной строке или столбцу.

Решение

Для разложения выгоднее всего выбирать ту строку или столбец, которые содержат более всего нулей. Естественно, что в данном случае имеет смысл раскладывать по третьей строке, так как она содержит два элемента, равных нулю. Используя формулу (1), запишем разложение определителя по третьей строке:

$$
Delta A= a_{31}cdot A_{31}+a_{32}cdot A_{32}+a_{33}cdot A_{33}+a_{34}cdot A_{34}.
$$

Так как $a_{31}=-5$, $a_{32}=0$, $a_{33}=-4$, $a_{34}=0$, то записанная выше формула станет такой:

$$
Delta A= -5 cdot A_{31}-4cdot A_{33}.
$$

Обратимся к алгебраическим дополнениям $A_{31}$ и $A_{33}$. Для их вычисления будем использовать формулу №2 из темы, посвящённой определителям второго и третьего порядков (в этом же разделе есть подробные примеры применения данной формулы).

begin{aligned}
& A_{31}=(-1)^4cdot left| begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \ -2 & 5 & 1 \ 7 & 8 & -7 end{array} right|=10;\
& A_{33}=(-1)^6cdot left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \ 4 & -2 & 1 \ 9 & 7 & -7 end{array} right|=-34.
end{aligned}

Подставляя полученные данные в формулу для определителя, будем иметь:

$$
Delta A= -5 cdot A_{31}-4cdot A_{33}=-5cdot 10-4cdot (-34)=86.
$$

В принципе, всё решение можно записать в одну строку. Если пропустить все пояснения и промежуточные вычисления, то запись решения будет такова:

$$
Delta A= a_{31}cdot A_{31}+a_{32}cdot A_{32}+a_{33}cdot A_{33}+a_{34}cdot A_{34}=\=
-5 cdot (-1)^4cdot left| begin{array} {ccc} 3 & 2 & -3 \ -2 & 5 & 1 \ 7 & 8 & -7 end{array} right|-4cdot (-1)^6cdot left| begin{array} {ccc} -1 & 3 & -3 \ 4 & -2 & 1 \ 9 & 7 & -7 end{array} right|=-5cdot 10-4cdot (-34)=86.
$$

Ответ: $Delta A=86$.

Содержание:

• Вычисления определителей второго порядка
• Методы вычисления определителей третьего порядка
• Приведение определителя к треугольному виду
• Правило треугольника
• Правило Саррюса
• Разложение определителя по строке или столбцу
• Разложение определителя по элементам строки или столбца
• Теорема Лапласа

В общем случае правило вычисления определителей
$n$-го порядка
является довольно громоздким. Для определителей второго и третьего порядка существуют рациональные способы их вычислений.

Вычисления определителей второго порядка

Чтобы вычислить определитель матрицы второго порядка, надо от произведения
элементов главной диагонали отнять произведение
элементов побочной диагонали:

$$left| begin{array}{ll}{a_{11}} & {a_{12}} \ {a_{21}} & {a_{22}}end{array}right|=a_{11} cdot a_{22}-a_{12} cdot a_{21}$$

Методы вычисления определителей третьего порядка

Для вычисления определителей третьего порядка существует такие правила.

Правило треугольника

Схематически это правило можно изобразить следующим образом:

Произведение элементов в первом определителе, которые соединены прямыми,
берется со знаком «плюс»; аналогично, для второго определителя — соответствующие произведения берутся со знаком «минус», т.е.

$$left| begin{array}{ccc}{a_{11}} & {a_{12}} & {a_{13}} \ {a_{21}} & {a_{22}} & {a_{23}} \ {a_{31}} & {a_{32}} & {a_{33}}end{array}right|=a_{11} a_{22} a_{33}+a_{12} a_{23} a_{31}+a_{13} a_{21} a_{32}-$$

$$-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}-a_{13} a_{22} a_{31}$$

Правило Саррюса

Справа от определителя дописывают первых два столбца и произведения элементов на главной диагонали и на диагоналях, ей
параллельных, берут со знаком «плюс»; а произведения элементов побочной диагонали и диагоналей, ей параллельных,
со знаком «минус»:

$$-a_{13} a_{22} a_{31}-a_{11} a_{23} a_{32}-a_{12} a_{21} a_{33}$$

Разложение определителя по строке или столбцу

Определитель равен сумме произведений элементов строки определителя на их
алгебраические дополнения. Обычно выбирают
ту строку/столбец, в которой/ом есть нули. Строку или столбец, по которой/ому ведется разложение, будет обозначать стрелкой.

Этот метод позволяет вычисление определителя свести к вычислению определителя более низкого порядка.

Для вычисления определителей четвертого порядка и выше применяется либо разложение по строке/столбцу, либо приведение
к треугольному виду, либо с помощью теоремы Лапласа.

Разложение определителя по элементам строки или столбца

Приведение определителя к треугольному виду

С помощью элементарных преобразований над строками или столбцами определитель приводится к треугольному виду и тогда его
значение, согласно свойствам определителя, равно произведению
элементов стоящих на главной диагонали.

Теорема Лапласа

Читать дальше: обратная матрица.