Как найти определитель вырожденной матрицы - Исправление недочетов и поиск решений вместе с Examum.ru

Правило Саррюса (правило треугольника).

Пример
1:

=
–
2×1×
(–5)
+ 5×4×(–
4)
+ 3×2×(–
3)
–
(–
3)
×1× (–
4)
–
4×2×

(–
2)
–
5×3 × (–
5)
= 10 –
80
–18
–12
+16 +75 = –
9.

Пример
2:

=
45 + 8 ‒ 24 ‒ 60 + 6 ‒ 24 = ‒ 49.

Минором
M_ij
элемента a_ijквадратной
матрицы n
‒ го порядка называется определитель
(n
‒ 1) ‒ го порядка, полученный из данной
матрицы вычеркиванием i
‒ й
строки и j
‒ го
столбца, на пересечении которых стоит
данный элемент.

Пример:

;

M₁₁=

= 15 + 2 = 17;

M₁₂=

= –
6
–
6
= –12;
и т. д. всего 9 миноров.

Алгебраическим
дополнением A_ijэлемента
a_ij
квадратной матрицы называется его
минор,
взятый со знаком (‒1)^i+j.

Пример:

А₁₁=
(–1)¹⁺¹×
M₁₁=
17.

А₁₂=
(–1)¹⁺²×
M₁₂=
‒ 1×M₁₂
= 12.

А₁₃=
(–1)¹⁺³×
=
4 ‒ 30= – 26; и т.д.

Теорема Лапласа

Определитель
квадратной матрицы равен сумме
произведений элементов любой строки
(столбца) на их алгебраические дополнения.

по
I
стр. =
×
(–1)
¹⁺²
×
+×(–1)
¹⁺²
×

×
+×(–1)
¹⁺²×
;

Пример:

по
II
стр. = ‒ 2×(–1)²⁺¹×+5×(–1)²⁺²×+1×

×(–1)
²⁺³×=
2×(–12+4)+5×(9–12)–1×(–6+24) = 16–15–18= – 49.

Свойства определителей.

1.
Определитель равен нулю, если содержит:

—
нулевую строку или нулевой столбец;

—
две одинаковые строки (столбца);

—
две пропорциональных строки (столбца).

Пример:

=
0;
= 0;= 0;III
= I
× (-3).

2.
Общий множитель элементов любой строки
(столбца) можно выносить за знак
определителя.

Пример:

=
2×= 2×(30+24+4‒24+8+15) = 2×57= 114.

3.
Определитель не изменится, если к
элементам любой строки (столбца) прибавить
элементы другой строки (столбца)
умноженные на одно число.

Пример:

I
× 5 + II; I × (‒2) + III; I × (‒ 4) + IV;

=
= 1×(–1)¹⁺³×.

Вырожденные и невырожденные матрицы, обратная матрица.

Матрица
А^-1называется
обратной к матрице A,
если при умножении ее на матрицу A,
как справа, так и слева, получится
единичная матрица.

А^-1×A=A×
А^-1=E

Матрица
называется невырожденной,
если ее определитель не равен 0, и
называется вырожденной,
если ее определитель равен 0.

Теорема.

Обратная
матрица А^-1существует
только тогда, когда матрица невырожденная,
т.е. |A|
≠ 0.

Алгоритм
нахождения.

1.
Найти определитель матрицы А.

Если
│A│=
0, то обратная матрица не существует,
если │A│≠
0, то перейти ко второму шагу.

2.
Найти матрицу A^T,
транспонированную к матрице А.

3.
Найти алгебраические дополнения
элементов матрицы A^T
и составить из них матрицу Ã,
которая называется присоединенной.

Ã
=

4.
Обратную матрицу найти по формуле:

5.
Сделать проверку А^—¹×
A
= E

Решение матричных уравнений.

Матричное
уравнение имеет вид:

A
× Х= B

Умножим
обе части уравнения на матрицу А^—¹слева:

А^-1×
A
×Х = А^-1×
В.

Так
как
А^-1×А=Е,
то
Е×Х = А^-1×В.

Так
какЕ
× Х=X,
то
Х= А^-1×В

Пример:

Дано:

А
=
;

В
=
;

Найти:

X
‒?

Решение:

1)
│А│=

2)
A^T=
.

Ã=
.

4)
А^-1
=
× Ã =×=

Х=
А^-1×
B
=

Ответ:

Ранг матрицы, нахождение ранга матрицы.

Рангом
матрицы называется наивысший порядок
не равных нулю миноров этой матрицы.

Обозначается
rang
(A)
или r
(A).

Теорема
1.
Ранг матрицы не превосходит наименьшего
из ее размеров.

r(A)
≤ min (m; n)

Пример:

А_2×3
=
;

r
(A)
≤ min
(2; 3) = 2, т. е. согласно теореме r
(A)
≤ 2.

=
3 + 24 = 27 
0; r
(A)
= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема
2.
Ранг квадратной матрицы n-го
порядка равен ее порядку, если она не
вырожденная.

Примеры:

1)А_3×3
=
;
r
(A)
≤ 3.

│А│=

= 24 + 0 – 4 + 4 – 18 – 0 = 6 
0
матрица не вырожденнаяr
(A)
= 3.

2)А_3×3=;
│А│=
0, т.к.
III = I × (– 3)
r
(A)
< 3.

=
0 + 5 = 5 
0
r
(A)
= 2 (порядок ненулевого минора).

Теорема
3.
Ранг матрицы не изменяется при элементарных
преобразованиях матрицы.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Источник

1. Анализ состояния проблемы исследования, отражающий актуальность темы работы

Исследователями отмечается, что формирование научно-исследовательской работы студентов (НИРС) должно происходить в учебном процессе с самых первых занятий и стать одним из важных направлений подготовки бакалавров ([1]). Без соответствующего опыта, знаний, умений и мотивов в области исследовательской деятельности обучающиеся не смогут проводить научные изыскания ([2]).

С первых занятий научным руководителем перед студентами ставились проблемные учебные задачи. В качестве примера рассмотрим решение одной из учебных задач, поставленных научным руководителем перед обучающимися.

Во время изучения нескольких взаимосвязанных тем по (дисциплина «Математика» 1-й курс) изучению матриц, определителей и решения систем линейных уравнений вычисление одного из определителей привело к неожиданным результатам. В качестве элементов определителя выступали коэффициенты системы линейных уравнений, которые представляли собой члены прогрессирующих последовательностей, в частности, арифметических и геометрических прогрессий. Члены указанных прогрессий, последовательно записанные в квадратные матрицы различных порядков, обладают свойством: определители указанных матриц равны 0.

Поиск по литературным источникам, среди которых литература из рабочей программы по математике, а также такие источники, как «Введение в теорию матриц» Р.Беллман [3], «Курс высшей алгебры» А.Г.Курош [4], показывает, что указанный выше результат ни в одном из источников не представлен. Поэтому изучение вопроса о прогрессирующих последовательностях и квадратных матрицах (и их определителях), составленных из последовательных членов последовательностей, является актуальным.

2. Постановка проблемы исследования и вытекающие из неё задачи

Сама идея исследования возникла во время обсуждения некоторых свойств систем линейных уравнений во время лекционного занятия по математике. Нужно было записать матрицу, определитель которой отличен от нуля. В квадратную матрицу были занесены последовательные натуральные числа, преподаватель в среде MathCAD вычислил определитель – его значение оказалось нулевым!

Изменения в одной из строк – поменялись элементы 1 и 3 во второй строке, а, затем, и вовсе во 2-й строке (аналогично и 2-м столбце) записаны члены убывающей арифметической прогрессии с отрицательными членами, привели к тому, что определитель матрицы по-прежнему давал значение нуль. Более того, вместо членов арифметической прогрессии были подставлены члены геометрической прогрессии и вновь определитель получился нулевым (само по себе это не удивительно – элементы строк пропорциональны!). Но для членов арифметической прогрессии пропорциональности в явном виде не наблюдается. Но автору и его научному руководителю удалось обнаружить причины вырожденности квадратных матриц, составленных из членов одной и той же арифметической прогрессии.

Появляется вопрос: как поведёт себя квадратная матрица размерностью больше двух, если её заполнять элементами различных последовательностей. Таким образом, проблема состоит в следующем: установление свойства вырожденности квадратных матриц, составленных из последовательных элементов различных последовательностей.

Были поставлены цели и задачи: выявить свойства прогрессирующих последовательностей; определить класс последовательностей, обладающих аналогичными свойствами; определить значимость найденных свойств, их применения.

3. Характеристика объектов и методов исследования

Объектами исследования выступают числовые последовательности с заданными законами их получения, квадратные матрицы различных порядков, в которые заносятся последовательно члены последовательностей, их определители.

Предметом исследования являются свойства числовых последовательностей, а, именно, значения определителей, получаемых из последовательных членов числовых последовательностей.

Данное исследование проводилось с помощью математического пакета «MathCAD» с целью анализа и выявления свойств различных числовых последовательностей.

Для того чтобы провести данное исследование, необходимо владеть навыками интеллектуальной деятельности, уметь сопоставлять, обобщать, анализировать и делать самостоятельные выводы. Поэтому применены следующие методы исследования: анализ научно-методической литературы по теме, индукция и дедукция, анализ и синтез, сравнение, обобщение, эксперимент, в частности компьютерный эксперимент.

4. Результаты исследования во множестве вещественных чисел

Обсуждая во время лекционного занятия по математике некоторые свойства систем линейных уравнений, при вычислении основного определителя системы 3-х уравнений с тремя переменными был получен интересный результат. Вычисления определителей производились в среде MathCAD. Нужно было записать матрицу, определитель которой отличен от нуля (вырожденность или невырожденность предложенного преобразования, заданного системой линейных уравнений). Записав в матрицу первые девять чисел натурального ряда, преподаватель вычислил определитель – его значение оказалось нулевым (рисунок 1).

Рисунок 1 – Значение определителя матрицы

Изменение в одной из строк: поменялись элементы 1 и 3 во второй строке, а, затем, и вовсе во 2-й строке (аналогично и 2-м столбце) записаны члены убывающей арифметической прогрессии с отрицательными членами, ни к чему не привели: определитель матрицы по-прежнему давал значение нуль (рисунок 2).

Рисунок 2 – Значение определителей матриц с изменениями:

а) во 2-й строке; б) во 2-м столбце

Автор данной работы заинтересовался полученными свойствами матриц, члены которых состоят из членов арифметических прогрессий. Был подготовлен обучающий интерактивный документ, в котором на примерах было показано вычисление определителей матриц, подготавливаемых указанным выше способом. Результаты были выложены в виде электронного документа, с которым могли ознакомиться все желающие – как преподаватели, так и студенты института. Некоторые из замечаний были учтены в обновляемом обучающем интерактивном документе [5].

4.1 Исследование вырожденности квадратных матриц, составленных из последовательных членов арифметических прогрессий

Учитывая, что ручной ввод различных наборов значений элементов матрицы значителен по времени для инициализации матриц была использована программа (функция пользователя) в среде MathCAD (рисунок 3) [5].

Поясним программу: происходит инициализация матрицы, в которой формируется линейный массив заданной длины (3-й параметр функции пользователя), переформируется с помощью вложенных циклов в двумерный квадратный массив с количеством строк и столбцов, вычисляемым с помощью отбрасывания дробной части корня квадратного из введенного пользователем числа, определяющего количество элементов в матрице, с целью предотвратить возможную ошибку (т.е. число – не квадрат натурального числа) при их вводе. Первый параметр – первый элемент арифметической прогрессии, второй – разность арифметической прогрессии.

Для того чтобы убедиться в выводе о том, что определитель, составленный из членов арифметических прогрессий, будет всегда равен нулю, достаточно в указанную программу вводить в функцию пользователя всякий раз различные значения. Указанная программа позволяет рассчитать определители и больших порядков (и с тем же результатом!) для членов арифметических прогрессий (рисунок 4).

Рисунок 3 – Функция пользователя по заполнению матрицы элементами арифметической прогрессии

Рисунок 4 – Вычисление по программе (функция пользователя) определителя 5-го порядка для членов арифметической прогрессии

Проводя исследования с помощью MathCAD на множестве вещественных чисел, у нас возникла гипотеза 1.

Гипотеза 1. Определитель квадратной матрицы, заполненной произвольными, но последовательными членами одной или разных арифметических прогрессий для каждой строки (столбца), равен нулю.

4.1.1 Исследование вырожденности квадратных матриц третьего порядка, составленных из последовательных членов одной или разных арифметических прогрессий

1. Берем произвольную арифметическую прогрессию c первым элементом a₁ и разностью d. Составим квадратную матрицу третьего порядка из последовательных членов данной арифметической прогрессии.

Пропорциональности строк или столбцов визуально не наблюдается. На основании свойств элементарных преобразований матриц вычтем из элементов второй и третьей строки соответствующие элементы первой строки, получим:

Наглядно видна пропорциональность второй и третьей строки, следовательно, определитель матрицы, составленный из элементов арифметической прогрессии, всегда равен 0.

Даже если поменяем первым и третий элементы любой строки, матрица тоже окажется вырожденной. Покажем на примере:

Поменяем в исходной матрице в третьей строке первый элемент с третьим местами, получим:

На основании свойств элементарных преобразований матриц вычтем из элементов второй и третьей строки соответствующие элементы первой строки, получим:

По свойству матриц транспонируем полученную матрицу:

Вычтем из элементов второй и третьей строки соответствующие элементы первой строки:

Тоже видна пропорциональность второй и третьей строки, следовательно, определитель матрицы, составленный из членов арифметической прогрессии, всегда равен 0.

2. Пойдем дальше: составим матрицу 3-его порядка из разных арифметических прогрессий, т.е. в каждой новой строке (или столбце) будет записана новая арифметическая прогрессия.

В первой и третьей строке возрастающая арифметическая погрессия, а во второй строке убывающая арифметическая прогрессия.

По свойству матриц транспонируем данную матрицу:

Вычтем из второй и третьей строки первую строку, получим:

Как мы видим, вторая строка пропорциональна третьей строке с коэффициентом пропорциональности, равным 2. А, значит, определитель данной матрицы будет равен 0.

3. В исходной матрице (см. п. 1) заменим элементы любой строки произвольными числами. Выясним, при каких значениях этих чисел определитель полученной матрицы будет равняться нулю.

Вычтем из второй строки первую строку, получим:

По свойству матриц транспонируем полученную матрицу:

Вычтем из второй и третьей строк первую строку, получим:

Вычислим определитель данной матрицы:

Приравняем определитель матрицы к 0:

Мы видим, что число k равно полусумме чисел c и m и находится между ними. Это свойство является характерным для последовательных членов арифметической прогрессии.

Т.е. определитель матрицы третьего порядка, составленный из последовательных членов арифметической прогрессии и тремя произвольными числами в одной из строк (столбцов), будет равен нулю тогда и только тогда, когда указанные числа будут являться последовательными членами этой либо другой арифметической прогрессии.

4.1.2 Исследование вырожденности квадратных матриц четвертого порядка и выше, составленных из последовательных членов одной или разных арифметических прогрессий

1. Заполним матрицу четвертого порядка разными арифметическими прогрессиями, т.е. в каждой строке – члены разных арифметических прогрессий:

В первой и третьей строках записана возрастающая арифметическая прогрессия, а во второй и четвертой строках — убывающая арифметическая прогрессия.

По свойству матриц транспонируем данную матрицу:

Вычтем из второй, третьей и четвертой строк первую строку, получим:

Как мы видим, вторая строка пропорциональна третьей (коэффициент пропорциональности равен 2) и четвертой строке (коэффициент пропорциональности равен 3); также третья строка пропорциональна четвертой строке (коэффициент пропорциональности равен 1,5). А, значит, определитель матрицы будет равен 0.

2. Возьмем квадратную матрицу 4-ого порядка, составленную из последовательных членов одной арифметической прогрессии и заменим произвольную строку (столбец) произвольными числами.

Вычтем из второй и третьей строк первую строку, получим:

Как мы видим, вторая и третья строки пропорциональны. Вычтем из третьей строки вторую строку, умноженную на 2:

По свойству матриц, если все значения одной из строк (столбцов) равны 0, то определитель этой матрицы будет равен 0.

3. Найдем определитель матрицы четвертого порядка, в которой каждая новая строка (столбец) состоит из последовательных членов новой арифметической прогрессии. Причем, заменим одну из данных строк (или столбцов) произвольными числами.

По свойству матриц транспонируем данную матрицу:

Вычтем из второй, третьей и четвертой строк первую строку получим:

Вычтем из третьей и четвертой строк вторую строку, умноженную на 2 и умноженную на 3 соответственно:

Вычислим определитель данной матрицы, разложением по 4 столбцу:

Как мы знаем, если в матрице одна из строк (или столбцов) состоит из нулей, то определитель этих матриц даст значение нуль. То есть мы получаем:

То есть, определитель матрицы 4-ого порядка, состоящей из последовательных членов разных арифметических прогрессий (в каждой строке новая арифметическая прогрессия), причем в одной из строк стоят произвольные числа, все равно даст значение нуль!

В ходе исследования мы сформулировали Гипотезу 2.

Гипотеза 2. Квадратная матрица порядка n≥4, составленная из последовательных членов одной или разных арифметических прогрессий для каждой строки (столбца), при замене (n-3) строк (столбцов) или их сочетаний произвольными числами, будет всегда вырожденной.

4. Вычислим определитель матрицы 10-ого порядка, в которой каждая новая строка (столбец) состоит из последовательных членов другой арифметической прогрессии.

Очевидно, что определитель данной матрицы равен нулю. Покажем это:

Вычтем из 2, 3, 4 … 10 столбца первый столбец, получим:

Очевидно, что 2 – 10 столбцы пропорциональны, следовательно, определитель данной матрицы равен нулю.

Проверим гипотезу 2 на квадратной матрице 10-ого порядка, т.е заменим (10-3) строк (столбцов) или их сочетания на произвольные числа: p₁, p_{2, …}p_n

Очевидно, при замене семи любых столбцов среди оставшихся трех столбцов два — будут всегда пропорциональны, следовательно, определитель данной матрицы будет равен нулю.

При замене семи строк произвольными семьюдесятью числами матрица также останется вырожденной:

Транспонируем данную матрицу:

Вычтем из 2, 3 … 10 строк первую строку. Примем p₂-p₁=q₂; p₃-p₁=q₃; … p₁₀-p₁=q₁₀; p₁₂-p₁₁=q₁₂; … p₇₀-p₆₁=q₇₀, получим:

Мы видим, что в первых трех столбцах строки со второй по десятую пропорциональны. Произведем вычитание из 3, 4 … 10 срок вторую строку, умноженную соответственно на 2, 3, 4 … 9. Примем разности в столбцах 4-10 и строках 3-10 соответственно равными: s₃; s₄; … s₇₀. Получим матрицу:

Вычислим определитель данной матрицы, как сумму произведений элементов первого столбца на их алгебраические дополнения.

Раскроем эти миноры:

При вычислении определителей M₁₁ и M₂₁ по первому столбцу, как суммы произведений элементов первого столбца на их алгебраические дополнения, получаем значение нуль. Следовательно, – матрица вырожденная.

Если мы заменим 3 строки и 4 столбца (или их любой комбинации) на произвольные числа, мы получим также вырожденную матрицу. Покажем это:

Транспонируем эту матрицу:

Вычтем из 2, 3 … 6 строк первую строку. Примем p₂-p₁=q₂; p₃-p₁=q₃; … p₆-p₁=q₆; p₁₂-p₁₁=q₁₂; … p₂₆-p₂₁=q₂₆, получим:

Видим, что строки 2-6 пропорциональны в первых семи столбцах. Вычтем из 3-6 строк вторую строку, умноженную на соответствующие коэффициенты. Примем разности в столбцах 8-10 в строках 3-6 соответственно равными: s₃; s₄; … s₂₆. Получим матрицу:

Вычислим определитель этой матрицы через сумму произведений элементов десятого столбца на их алгебраические дополнения:

Полученные миноры являются определителями девятого порядка. Каждый определитель девятого порядка вычислим, как сумму произведений элементов 9 столбца на их алгебраические дополнения. Таким образом получили сумму определителей 8-ого порядка, умноженные на соответствующие коэффициент.

Вычислим каждый минор 8-ого порядка, как сумму произведений элементов 8 столбца на их алгебраические дополнения. Получим сумму определителей 7-ого порядка, умноженные на соответствующие коэффициент. Причем значение каждого определителя 7-го порядка равно нулю. Объясним это.

За трёхэтапное вычисление определителя исходной матрицы A₁₀ мы получили сумму произведений определителей 7-ого порядка на соответствующие коэффициенты. Каждый полученный определитель 7-го порядка состоит из элементов семи строк и семи первых столбцов.

В вычисляемой матрице (1) присутствует 4 нулевые строки по седьмой столбец. Для вычисления определителей 7-ого порядка, мы берем первые семь столбцов и семь любых строк. Любые семь строк данной матрицы всегда содержит как минимум одну нулевую строку. Поэтому все определители 7-го порядка равны 0. Следовательно, определитель матрицы 10 порядка равен нулю.

Гипотеза 2 о вырожденности квадратной матрицы 10-го порядка при замене 7 строк (столбцов) или их сочетаний на произвольные числа, верно!

5. Докажем, что квадратная матрица n-ого порядка, в которой каждая новая строка (столбец) состоит из последовательных членов другой арифметической прогрессии, сохраняет свойство вырожденности при замене (n-3) строк (столбцов) или их сочетаний на произвольные числа: p∈{p_n₍_n_-3)}

Пусть дана квадратная матрица n-ого порядка, каждый столбец которой состоит из последовательных членов другой арифметической прогрессии.

Вычтем из 2, 3, … n строк первую строку, получим:

Очевидно, что 2, 3 … n строки пропорциональны, следовательно, определитель данной матрицы равен нулю, т.е. матрица вырожденная.

Таким образом гипотеза 1 о вырожденности квадратной матрицы, заполненной последовательными членами одной или разных арифметических прогрессий для каждой строки (столбца) – Доказана.

В исходной матрице A_n заменим x cтолбцов на произвольные числа, где n≥x+3. Тогда мы можем изменить только (n-3-x) строк. (Мы можем изменить любые строки и столбцы, но для удобства доказательства мы меняем последние строки и столбцы). Неизменными останутся (n—x) столбцов и (x+3) строк.

Вычтем из 2, 3, … ,(x+3) строк первую строку. Обозначим разности, получающиеся в x последних столбцах через букву q, где q∈{q_x₍_x₊₂₎}.

Мы видим пропорциональность строк со 2-ой по (x+3) в первых (n-x) столбцах.

Вычтем из 3-ей, 4-ой, … ,(x+3) строк первую строку умноженную на соответствующие коэффициенты. Разности в последних x столбцах обозначим буквой s, где s∈{s_x₍_x₊₁₎}.

Мы получили в первых (x+3) строках и первых (n-x) столбцах только две ненулевые строки, а остальные (x+1) – нулевые строки.

Вычислим определитель матрицы через суммы произведений элементов n-ого столбца на их алгебраические дополнения. Эти алгебраические дополнения являются определителями (n-1) порядка. Дальнейшее вычисления сводим к понижению порядка миноров в алгебраических дополнениях до столбца (n-x).

Все миноры порядка (n-x) содержат как минимум одну нулевую строку. Докажем это:

В результате преобразований ушло x последних столбцов, и x строк. Выше мы доказали, что количество нулевых строк в матрице A_n равно (x+1). Следовательно, в минорах как минимум остается одна нулевая строка.

Следовательно, каждый минор равен нулю. И определитель матрицы A_n равен нулю.

Т.е. матрица n-ого порядка, строки (столбцы) которой состоят из последовательных членов разных арифметических прогрессий, при замене (n-3) строк (столбцов) или их сочетаний на произвольные числа, остается вырожденной. Иными словами, гипотеза 2 доказана.

Нами был сделан следующий важный вывод.

При исследовании квадратных матриц любого порядка, начиная с 3-го, наблюдаются закономерности:

I) квадратная матрица, составленная из последовательных членов арифметической прогрессии, начиная с любого номера, является вырожденной;

II) квадратная матрица, составленная из последовательных членов разных арифметических прогрессий для каждой строки (столбца), является вырожденной.

III) квадратная матрица порядка n≥4, составленная из последовательных членов одной или разных арифметических прогрессий для каждой строки (столбца), при замене (n-3) строк (столбцов) или их сочетаний произвольными числами, будет всегда вырожденной.

Научная новизна работы заключается в том, что в ней сформулированы и подробно обоснованы новые свойства отрезков прогрессирующих последовательностей (и некоторых других) длиной, равной квадрату натурального числа (начиная с 3: 3² = 9): равенство нулю определителя, элементы которого составлены из последовательных членов арифметических прогрессий.

Наиболее существенный результат исследования, обладающий научной новизной – вывод о том, что квадратные матрицы порядка больше трёх, составленные из последовательных членов арифметический прогрессий (для каждой строки, столбца), обладают помехоустойчивостью. Иначе говоря, замена в таких матрицах какой-либо строки или столбца на совершенно произвольные числа, не влияет на значение ее определителя – он равен нулю.

Авторы продолжают исследования условия вырожденности квадратных матриц, составленных из элементов других последовательностей.

Источник

Виды матриц.

Матрица A размера m×n — это прямоугольная таблица чисел, расположенных в m строках и n столбцах

где a_ij (i =1, …, m; j =1, …, n) — это элементы матрицы A. Первый индекс i — это номер строки, второй индекс j — это номер столбца, на пересечении которых расположен элемент a_ij.
Сокращённое обозначение матрицы A=(a_ij)_m×n.
Порядок матрицы — это число ее строк или столбцов.
Главная диагональ квадратной матрицы — это диагональ, идущая из левого верхнего в правый нижний угол.
Прямоугольная матрица — это матрица, у которой число строк не равно числу столбцов.
Квадратная матрица — это матрица у которой число строк равно числу столбцов:
Матрица-столбец — это матрица, у которой всего один столбец:
Матрица-строка — это матрица, у которой всего одна строка:
Диагональная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, кроме, быть может, стоящих на главной диагонали, равны нулю.
Единичная матрица — это диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице:
Матрица квадратная диагональная:
Треугольная матрица — это квадратная матрица, у которой все элементы, расположенные по одну сторону главной диагонали, равны нулю.
Матрица верхняя треугольная:
Матрица нижняя треугольная:
Нулевая матрица — это матрица, все элементы которой равны 0:

Операции над матрицами.

Равенство матриц.
Две матрицы A (a_ij), B (b_ij) совпадают |A=B|, если совпадают их размеры и соответствующие элементы равны,
то есть при всех i, j a_ij=b_ij.
Сложение матриц.
Суммой двух матриц A=(a_ij)_m×n и B=(b_ij) _m×n одинаковых размеров называется матрица C=(c_ij)_m×n=A+B тех же размеров, элементы которой определяются равенствами c_ij=a_ij+b_ij. Пример 1.
Умножение матрицы на число.
Произведением матрицы A=(a_ij)_m×n на число λ ∈ R называется матрица B=(b_ij)_m×n=λA, элементы которой определяются равенствами b_ij=λa_ij. Пример 2.
Умножение матриц.
Произведением матрицы A=(a_ij)_m×k на матрицу B=(b_ij)_k×n называется матрица C=(c_ij)_m×n=A· B размера m×n, элементы которой c_ij определяются равенством
c_ij=a_i1b_1j+a_i2b_2j+ … a_ikb_kj.
Таким образом, элемент матрицы C=A·B, расположенный в i-й строке и j-м столбце, равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы A на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B. Пример 3.
Транспонированные матрицы.
Транспонированием матрицы А называется замена строк этой матрицы ее столбцами с сохранением их номеров.
Полученная матрица обозначается через A’ или A^T. Пример 4.
Квадратная матрица называется симметричной, если A=A’, то есть для элементов выполнены равенства a_ij=a_ji.
Обратная матрица.
Квадратная матрица n–го порядка называется вырожденной, если определитель этой матрицы равен нулю, |A| = 0, и невырожденной, если |A| ≠ 0.
Матрица А^-1 называется обратной матрицей для некоторой квадратной матрицы А, если выполняется соотношение:
$A*A^{-1}=A^{-1}*A=E$
Если матрица А^-1 не вырождена, то существует, и притом единственная, обратная матрица А^-1, равная $A^{-1}={1/{detA}}(A^V)^T$ , где А^V = A_ij — присоединенная матрица (матрица, составленная из алгебраических дополнений элементов исходной матрицы, стоящих на тех же местах).
1) $(A^{-1})^{-1}=A$
2) ${alpha}*A^{-1}={1/{alpha}}*A^{-1}$
3) $(A*B)^{-1}=B^{-1}*A^{-1}$
4) $(A^{-1})^{T}=(A^{T})^{-1}$
Алгоритм нахождения А^-1 заключается в следующих пунктах:
1) Находим det A, проверяем det A ≠ 0.
2) Находим M_ij — все миноры матрицы A.
3) Определяем $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$
4) Строим матрицу алгебраических дополнений $A^{V}=(A_{ij})$ и транспонируем: $(A^{V})^T=(A_{ij})$
5) Делим каждый элемент матрицы на det A: $A^{-1}={1/{det A}}(A^V)^T$ Пример 5.
Элементарные преобразования строк (столбцов) матрицы:
1) перестановка строк (столбцов);
2) умножение строки (столбца) на число α ≠ 0;
3) прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки (столбца), умноженных на некоторое число.
Решение матричных уравнений.
Матричное уравнение — это уравнение, содержащее неизвестную матрицу X и известные матрицы A, B, …, .
Простейшие типы матричных уравнений:
1) . Матрица A – квадратная и невырожденная,
|A| ≠ 0, следовательно, существует обратная матрица A^-1.
Умножим уравнение на A^-1 слева: $A^{-1}*A*X=A^{-1}*B,~E*X=A^{-1}*B,~X=A^{-1}*B$
2) . Матрица A – квадратная, |A| ≠ 0.
Умножим уравнение на A^-1 справа: $X*A*A^{-1}=B*A^{-1} {doubleright} X=B*A^{-1}$ .
3) . Матрицы A и B – квадратные, |A| ≠ 0, |B| ≠ 0.
Умножим уравнение на A^-1 слева: $A^{-1}*A*X*B=A^{-1}*C~{doubleright}~X*B=A^{-1}*C$
Умножим уравнение на B^-1 справа: $X*B*B^{-1}=A^{-1}*C*B^{-1}~{doubleright}~X=A^{-1}*C*B^{-1}$ .
Ранг матрицы.
Ранг матрицы A — это число, равное максимальному порядку отличных от нуля миноров.
M_k этой матрицы:
Матрицы называются эквивалентными, что обозначается
A ∼ B, если .
Ранг матрицы A вычисляется методом окаймляющих миноров или методом элементарных преобразований.
Метод окаймляющих миноров.
Пусть в матрице A элемент a_ij ≠ 0, тогда M₁ ≠ 0 и r(A) ≥ 1. Окаймляем этот элемент элементами соседнего столбца и соседней строки (например, (j+1)–го столбца и (i+1)–й строки), получаем минор 2-го порядка: $M_2 = delim{|}{matrix{2}{2}{{a_{i,j}} {a_{i,j+1}} {a_{i+1,j}} {a_{i+1,j+1}}} }{|}$ .
Если M₂, то присоединяем другие строки и столбцы, перебирая все возможные миноры 2-го порядка.
Если все миноры второго порядка равны нулю, то r(A) = 1; если же существует хотя бы один минор 2-го порядка, отличный от нуля, то r(A) ≥ 1.
Выбираем отличный от нуля минор 2-го порядка M₂ и окаймляем его элементами соседних строк и столбцов до минора 3-го порядка и так до тех пор, пока не будет выполнено условие: M_r ≠ 0, но все M_r+1 = 0. Пример 6.
Метод элементарных преобразований.
Элементарные преобразования матрицы не меняют ее ранга.
К элементарным преобразованиям матрицы относятся следующие: транспонирование; перестановка строк (столбцов); умножение строки (столбца) на число α ≠ 0; прибавление к элементам строки (столбца) матрицы элементов другой строки, умноженных на некоторое число; отбрасывание нулевой строки (столбца) матрицы.
Для определения ранга матрицы A методом элементарных преобразований следует:
1) Переставить строки и столбцы так, чтобы в верхнем левом углу матрицы был ненулевой элемент.
2) Все элементы первого столбца, кроме a₁₁, обратить в ноль с помощью элементарных преобразований строк:

3) Переставить строки со 2–й по m и столбцы со 2–го по n так, чтобы a₂₂ ≠ 0. Повторить операцию (2) со вторым столбцом: во втором столбце все элементы, кроме a₁₂ и a₂₂, обратить в ноль.
Окончательно после многократного применения указанной процедуры и отбрасывания нулевых строк преобразованная матрица будет иметь вид:

Тогда ранг матрицы A равен: rang A = rang Ã.

Свойства определителей.

Определитель квадратной матрицы А не меняется при транспонировании: |A^T|=|A|.
При перестановке местами любых двух строк (столбцов) определитель |A| меняет знак:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}= - delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{21}} {a_{22}} {a_{23}}{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Определитель, содержащий две одинаковые строки (столбца), равен нулю.
Умножение всех элементов некоторой строки (столбца) определителя |A| на число k равносильно умножению определителя на это число:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{k*a_{11}} {k*a_{12}} {k*a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = k*delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|},~k=const$
Если все элементы некоторой строки (столбца) определителя |A| равны нулю, то и сам определитель равен нулю (вытекает из предыдущего свойства при (k = 0):
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {0} {0} {0} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|} = 0$
Если все элементы двух строк (столбцов) определителя |A| пропорциональны, то определитель равен нулю.
Если каждый элемент некоторой строки (столбца) определителя представляет собой сумму двух слагаемых, то такой определитель можно представить в виде суммы двух определителей:
$delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}+{{a{{prime}{prime}}}_{11}}} {{a{prime}}_{12}+{{a{{prime}{prime}}}_{12}}} {{a{prime}}_{13}+{{a{{prime}{prime}}}_{13}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=$
${=}delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}}_{11}} {{a{prime}}_{12}} {{a{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}+delim{|}{matrix{3}{3}{{{a{prime}{prime}}_{11}} {{a{prime}{prime}}_{12}} {{a{prime}{prime}}_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Если к элементам какой-нибудь строки (столбца) определителя |A| прибавить соответствующие элементы другой строки (столбца), умноженные на произвольный множитель k, то величина определителя не изменится:
$delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}+{k*a_{21}}} {a_{12}+{k*a_{22}}} {a_{13}+{k*a_{23}}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}$
Определитель |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения:
$delim{|}{A}{|}=delim{|}{matrix{3}{3}{{a_{11}} {a_{12}} {a_{13}} {a_{21}} {a_{22}} {a_{23}} {a_{31}} {a_{32}} {a_{33}}} }{|}={a_{i1}}{A_{i1}}+{a_{i2}}{A_{i2}}+{a_{i3}}{A_{i3}},~i=1,~2,~3$
Определитель произведения матриц А и В равен произведению их определителей:
.

Определители n–го порядка.

Минор М_ij или Δ_ij элемента а_ij ( иначе – дополнительный минор элемента а_ij) определителя n-го порядка — это определитель (n–1) порядка, полученный из исходного вычеркиванием i–й строки и j–го столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij.
Алгебраическое дополнение А_ij элемента а_ij — это его минор со знаком (-1)^i+j, где i – номер строки, а j – номер столбца, на пересечении которых стоит элемент a_ij, А_ij=(-1)^i+jM_ij или А_ij=(-1)^i+jΔ_ij. Пример 8.
Для определителей n-го порядка имеют место все перечисленные выше свойства определителей.
Правило выбора знака перед минором в алгебраическом дополнении:
Определитель n-го порядка |A| численно равен сумме произведений элементов любой его строки (столбца) на соответствующие алгебраические дополнения.
Метод сведения к треугольному виду.
Используя свойства (1–9), определитель преобразуют к виду, когда элементы, лежащие по одну сторону от главной диагонали, становятся равными нулю. Преобразованный таким образом определитель равен произведению элементов, лежащих на главной диагонали.

Формулы, уравнения, теоремы, примеры решения задач

Источник

Определители (детерминанты) матриц и их свойства

Пусть — квадратная матрица порядка . Определитель (детерминант) квадратной матрицы — это число det{A} , которое ставится в соответствие матрице и вычисляется по ее элементам согласно следующим правилам.

1. Определителем матрицы $A=(a_{11})$ порядка n=1 называется единственный элемент этой матрицы: $det(a_{11})=a_{11}$ .

2. Определителем матрицы $A=begin{pmatrix}a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn}end{pmatrix}$ порядка n>1 называется число

$det{A}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}+ldots+ (-1)^{1+n}a_{1n}M_{1n},$

(2.1)

где $M_{1j}$ — определитель квадратной матрицы порядка n-1 , полученной из вычеркиванием первой строки и j-го столбца.

Определитель матрицы обозначают, заключая матрицу в «прямые» скобки:

$det{A}= |A|= begin{vmatrix}a_{11}&cdots&a_{1n}\ vdots&ddots&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{nn}end{vmatrix}!.$

Имея в виду это обозначение, для краткости говорят о порядке определителя, строках или столбцах определителя, элементах определителя, опуская при этом слово «матрица». Например, первая строка определителя n-го порядка — это первая строка $a_{11},a_{12},ldots,a_{1n}$ квадратной матрицы n-го порядка.

Индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. По второму правилу (т.е. по формуле (2.1)) нахождение определителя n-го порядка сводится к вычислению и определителей (n-1)-го порядка. Нахождение каждого определителя (n-1)-го порядка сводится к вычислению n-1 определителя (n-2)-го порядка и т.д., пока не получим n^2 определителей n-го порядка, которые находим по первому правилу. Конечно, такая процедура неудобна из-за своей громоздкости, но вполне реализуема и может быть принята в качестве определения.

Квадратную матрицу, определитель которой равен нулю, называют вырожденной {особой), в противном случае — невырожденной (неособой).

Получим формулы вычисления определителей второго и третьего порядков. По определению при n=2

$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{vmatrix}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}.$

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем матрицу, содержащую один элемент, поэтому

$M_{11}=det(a_{22})=a_{22},quad M_{12}=det(a_{21})=a_{21}.$

Схема вычисления определителя второго порядка

Подставляя эти значения в правую часть, получаем формулу вычисления определителя второго порядка

$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}\a_{21}&a_{22}end{vmatrix}= a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.$

(2.2)

Определитель второго порядка равен разности произведения элементов, стоящих на главной диагонали, и произведения элементов, стоящих на побочной диагонали (см. схему на рис. 2.1).

Для определителя третьего порядка имеем

$begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\a_{21}&a_{22}&a_{23}\a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}= (-1)^{1+1}a_{11}M_{11}+ (-1)^{1+2}a_{12}M_{12}+ (-1)^{1+3}a_{13}M_{13}.$

При вычеркивании первой строки и одного столбца получаем определители квадратных матриц второго порядка:

$M_{11}= begin{vmatrix}a_{22}&a_{23}\a_{32}&a_{33}end{vmatrix}!,quad M_{12}= begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\a_{31}&a_{33}end{vmatrix}!,quad M_{13}= begin{vmatrix}a_{21}&a_{22}\a_{31}&a_{32}end{vmatrix}!.$

Эти определители второго порядка записываем по формуле (2.2) и получаем формулу вычисления определителя третьего порядка

$begin{aligned}begin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\ a_{31}&a_{32}&a_{33}end{vmatrix}&= a_{11}cdotbegin{vmatrix} a_{22}&a_{23}\ a_{32}&a_{33} end{vmatrix}- a_{12}cdot begin{vmatrix}a_{21}&a_{23}\ a_{31}&a_{33} end{vmatrix}+ a_{13}cdotbegin{vmatrix} a_{21}&a_{22}\ a_{31}&a_{32} end{vmatrix}=\ &=a_{11} (a_{22}a_{33}- a_{23}a_{32})- a_{12}(a_{21}a_{33}-a_{23}a_{31})+ a_{13}(a_{21}a_{32}- a_{22}a_{31})=\[2pt] &=a_{11}a_{22}a_{33}+ a_{12}a_{23}a_{31}+ a_{13}a_{21}a_{32}- a_{13}a_{22}a_{31}- a_{12}a_{21}a_{33}- a_{11}a_{23}a_{32}.end{aligned}$

(2.3)

Определитель (2.3) представляет собой сумму шести слагаемых, каждое из которых есть произведение трех элементов определителя, стоящих в разных строках и разных столбцах. Причем три слагаемых берутся со знаком плюс, а три других — со знаком минус.

Для запоминания формулы (2.3) используется правило треугольников: надо сложить три произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную главной диагонали (рис. 2.2,а), и вычесть три произведения элементов, стоящих на побочной диагонали и в вершинах двух треугольников, имеющих сторону, параллельную побочной диагонали (рис. 2.2,6).

Правило треугольников для вычисления определителей третьего порядка

Можно также пользоваться схемой вычисления, изображенной на рис. 2.3 (правило Саррюса): к матрице приписать справа первый и второй столбцы, вычислить произведения элементов, стоящих на каждой из указанных шести прямых, а затем найти алгебраическую сумму этих произведений, при этом произведение элементов на прямых, параллельных главной диагонали, берутся со знаком плюс, а произведение элементов на прямых, параллельных побочной диагонали, — со знаком минус (согласно обозначениям на рис. 2.3).

Правило Саррюса для вычисления определителей третьего порядка

Итак, получены формулы для вычисления определителей второго и третьего порядков. Можно продолжить вычисления по формуле (2.1) для n>3 и получить формулы для вычисления определителей четвертого, пятого и т.д. порядков. Следовательно, индуктивное определение позволяет вычислить определитель любого порядка. Другое дело, что формулы будут громоздкими и неудобными при практических вычислениях. Поэтому определители высокого порядка (четвертого и более), как правило, вычисляют на основании свойств определителей.

Пример 2.1. Вычислить определители

$begin{vmatrix}1&2\3&4end{vmatrix}!,quad begin{vmatrix}1&2&3\ 5&4&6\ 7&-8&-9end{vmatrix}!.$

Решение. По формулам (2.2) и (2.3) находим $begin{vmatrix}1&2\3&4end{vmatrix}=1cdot 4-2cdot 3=-2$ ;

$begin{aligned} begin{vmatrix}1&2&3\ 5&4&6\ 7&-8&-9end{vmatrix}&= 1cdot4cdot(-9)+ 2cdot6cdot7+ 3cdot5cdot(-8)- 3cdot4cdot7- 2cdot5cdot(-9)- 1cdot6cdot(-8)=\[-14pt] &= -36+84-120-84+90+48=-18.end{aligned}$

Формула разложения определителя по элементам строки (столбца)

Пусть дана квадратная матрица порядка .

Дополнительным минором $M_{ij}$ элемента $a_{ij}$ называется определитель матрицы порядка n-1 , полученной из матрицы вычеркиванием i-й строки и j-го столбца.

Алгебраическим дополнением $A_{ij}$ элемента $a_{ij}$ матрицы называется дополнительный минор $M_{ij}$ этого элемента, умноженный на $(-1)^{i+j}:$

$A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.$

Теорема 2.1 формула разложения определителя по элементам строки (столбца). Определитель матрицы равен сумме произведений элементов произвольной строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

$det{A}= sum_{k=1}^{n}(-1)^{i+k}a_{ik}M_{ik}= sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{ik}$ (разложение по i-й строке);

$det{A}= sum_{k=1}^{n}(-1)^{k+j}a_{kj}M_{kj}= sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}$ (разложение по j-му столбцу).

Замечания 2.1.

1. Доказательство формулы проводится методом математической индукции.

2. При индуктивном определении (2.1) фактически использована формула разложения определителя по элементам первой строки.

Пример 2.2. Найти определитель матрицы

$A=begin{pmatrix}2&1&0&0\ 0&1&3&2\ 0&0&0&5\ -1&2&0&0end{pmatrix}!.$

Решение. Разложим определитель по 3-й строке:

$det{A}= 0cdot A_{31}+ 0cdot A_{33}+ 0cdot A_{33}+ 5cdot A_{34}= 5cdot(-1)^{3+4} begin{vmatrix}2&1&0\ 0&1&3\ -1&2&0end{vmatrix}= -5cdot begin{vmatrix}2&1&0\ 0&1&3\ -1&2&0end{vmatrix}!.$

Теперь разложим определитель третьего порядка по последнему столбцу:

$det{A}= -5cdotbegin{vmatrix}2&1&0\ 0&1&3\ -1&2&0end{vmatrix}= -5cdotBigl(0cdot A_{13}+ 3cdot A_{23}+ 0cdot A_{3}Bigr)= -5cdot3cdot(-1)^{2+3} begin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}!.$

Определитель второго порядка вычисляем по формуле (2.2):

$det{A}= 15cdotbegin{vmatrix}2&1\-1&2end{vmatrix}= 15cdot(2cdot2-(-1)cdot1)= 15cdot5=75.$

Определитель матрицы треугольного вида

Применим формулу разложения для нахождения определителя верхней треугольной матрицы

$Delta_n= begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}\ 0&a_{22}&cdots&a_{2n}\ vdots&vdots&ddots&vdots\ 0&0&cdots&a_{nn} end{vmatrix}$

Разложим определитель по последней строке (по n-й строке):

$Delta_n= 0cdot A_{n1}+ldots+ 0cdot A_{n,n-1}+ a_{nn}cdot A_{nn}= a_{nn}cdot underbrace{(-1)^{n+n}cdot M_{nn}}_{A_{nn}}= a_{nn}M_{nn}.$

где $M_{nn}$ — дополнительный минор элемента $a_{nn}$ . Обозначим $M_{nn}=Delta_{n-1}$ . Тогда $Delta_n= a_{nn}cdotDelta_{n-1}$ . Заметим, что при вычеркивании последней строки и последнего столбца определителя Delta_n , получаем определитель $Delta_{n-1}$ верхней треугольной матрицы такого же вида, как Delta_n , но (n-1)-го порядка. Раскладывая определитель $Delta_{n-1}$ , по последней строке ((n-1)-й строке), получаем $Delta_{n-1}= a_{n-1,n-1}Delta_{n-2}$ . Продолжая аналогичным образом и учитывая, что $Delta_{11}=a_{11}$ , приходим к формуле

$Delta_{n}= a_{nn}cdotDelta_{n-1}= a_{nn}cdot a_{n-1,n-1}cdotDelta_{n-2}= ldots= a_{nn}cdot a_{n-1,n-1}cdotldotscdot a_{11}.$

т.е. определитель верхней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Замечания 2.2

1. Определитель нижней треугольной матрицы равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

2. Определитель единичной матрицы равен 1.

3. Определитель матрицы треугольного вида будем называть определителем треугольного вида. Как показано выше, определитель треугольного вида (определитель верхней или нижней треугольной матрицы, в частности, диагональной) равен произведению элементов, стоящих на главной диагонали.

Основные свойства определителей (детерминантов)

1. Для любой квадратной матрицы $det{A}=det{A^T}$ , т.е. при транспонировании определитель не изменяется. Из этого свойства следует, что столбцы и строки определителя «равноправны»: любое свойство, верное для столбцов, будет верным для строк.

2. Если в определителе один из столбцов нулевой (все элементы столбца равны нулю), то определитель равен нулю: det(ldots oldots)=0 .

3. При перестановке двух столбцов определитель меняет знак на про тивоположный (свойство антисимметричности):

detBigl(ldots a_jldots a_kldotsBigr)= -detBigl(ldots a_kldots a_jldotsBigr).

4. Если в определителе имеется два одинаковых столбца, то он равен нулю:

detBigl(ldots a_jldots a_kldotsBigr)=0 при a_j=a_k.

5. Если определитель имеет два пропорциональных столбца, то он равен нулю:

detBigl(ldots a_jldots a_kldotsBigr)=0 при a_j=lambda a_k.

6. При умножении всех элементов одного столбца определителя на число определитель умножается на это число:

detBigl(a_1ldotslambda a_jldots a_nBigr)= lambdacdotdetBigl(a_1ldots a_jldots a_nBigr).

7. Если j-й столбец определителя представляется в виде суммы двух столбцов a_j+b_j , то определитель равен сумме двух определителей, у которых j-ми столбцами являются a_j и b_j соответственно, а остальные столбцы одинаковы:

detBigl(ldots a_j+b_jldotsBigr)= detBigl(ldots a_jldotsBigr)+ detBigl(ldots b_jldotsBigr).

8. Определитель линеен по любому столбцу:

detBigl(ldots alphacdot a_j+betacdot b_jldotsBigr)= alphacdotdetBigl(ldots a_jldotsBigr)+ betacdotdetBigl(ldots b_jldotsBigr).

9. Определитель не изменится, если к элементам одного столбца прибавить соответствующие элементы другого столбца, умноженные на одно и тоже число:

detBigl(ldots a_j+lambda a_kldots a_kldotsBigr)= detBigl(ldots a_jldots a_kldotsBigr).

10. Сумма произведений элементов какого-либо столбца определителя на алгебраические дополнения соответствующих элементов другого столбца равна нулю:

$sum_{k=1}^{n}(a_{ki}cdot A_{kj})=0$ при ine j .

Замечания 2.3

1. Первое свойство определителя доказывается по индукции. Доказательства остальных свойств проводятся с использованием формулы разложения определителя по элементам столбца. Например, для доказательства второго свойства достаточно разложить определитель по элементам нулевого столбца (предположим, что j-й столбец нулевой, т.е. $a_{kj}=0$ k=1,2,ldots,n ):

$det{A}= sum_{k=1}^{n}a_{kj}A_{kj}= sum_{k=1}^{n}0cdot A_{kj}=0.$

Для доказательства свойства 10 нужно прочитать формулу разложения определителя справа налево, а именно, сумму произведений элементов i-го столбца на алгебраические дополнения элементов j-го столбца представить как разложение по j-му столбцу определителя

$sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}= begin{pmatrix} a_{11}&cdots&a_{1i}&cdots&a_{1i}&cdots&a_{1n}\ vdots&{}&vdots&{}&vdots&{}&vdots\ a_{n1}&cdots&a_{ni}&cdots&a_{ni}&cdots&a_{nn} end{pmatrix}!.$

у которого на месте элементов j-ro столбца стоят соответствующие элементы i-го столбца. Согласно четвертому свойству такой определитель равен нулю.

2. Из первого свойства следует, что все свойства 2-10, сформулированные для столбцов определителя, будут справедливы и для его строк.

3. По формулам разложения определителя по элементам строки (столбца) и свойству 10 заключаем, что

$sum_{k=1}^{n}a_{ki}A_{kj}= begin{cases}0,&ine j\ det{A},&i=j;end{cases}~~ sum_{k=1}^{n}a_{ik}A_{jk}= begin{cases}0,&ine j\ det{A},&i=j.end{cases}$

(2.4)

4. Пусть — квадратная матрица. Квадратная матрица $A^{+}$ того же порядка, что и , называется присоединенной по отношению к , если каждый ее элемент $a_{ij}^{+}$ равен алгебраическому дополнению элемента $a_{ji}$ матрицы $Acolon a_{ij}^{+}=A_{ji}$ . Иными словами, для нахождения присоединенной матрицы следует:

а) заменить каждый элемент матрицы $A=begin{pmatrix}a_{ij}end{pmatrix}$ его алгебраическим дополнением $A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}$ , при этом получим матрицу $begin{pmatrix}A_{ij}end{pmatrix}$ ;

б) найти присоединенную матрицу $A^{+}$ , транспонируя матрицу $begin{pmatrix}A_{ij}end{pmatrix}$ .

Из формул (2.4) следует, что $AA^{+}=A^{+}cdot A=det{A}cdot E$ , где — единичная матрица того же порядка, что и .

Пример 2.3. Дана матрица $A=begin{pmatrix}1&2\ 3&4end{pmatrix}$ . Сравнить определитель матрицы с определителями матриц

$A^{T},quad B=begin{pmatrix}2&1\4&3end{pmatrix}!;quad C=begin{pmatrix}3&4\1&2end{pmatrix}!;quad D=begin{pmatrix}1&2\ 3lambda& 4lambdaend{pmatrix}!;quad F=begin{pmatrix}1+3lambda&2+4lambda\ 3&4 end{pmatrix}!.$

Решение. Определитель матрицы был найден в примере 2.1: det{A}=-2 . По формуле (2.2) вычисляем определители остальных матриц:

$det{A^T}= begin{vmatrix}1&3\2&4end{vmatrix}= 1cdot4-3cdot2=-2=det{A},$

что соответствует свойству 1;

$det{B}= begin{vmatrix}2&1\4&3end{vmatrix}= 2cdot3-1cdot4=2=-det{A},$

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-го и 2-го столбцов;

$det{C}= begin{vmatrix}3&4\1&2end{vmatrix}= 3cdot2-4cdot1=2=-det{A},$

что соответствует свойству 3, так как матрица получена из матрицы перестановкой 1-й и 2-й строк;

$det{D}= begin{vmatrix}1&2\3lambda&4lambdaend{vmatrix}= 1cdot4lambda-2cdot3lambda=-2lambda=lambdadet{A},$

что соответствует свойству 6, так как матрица получена из матрицы умножением элементов 2-й строки на число lambda ;

$det{F}= begin{vmatrix}1+3lambda&2+4lambda\3&4end{vmatrix}= (1+3lambda)cdot4-(2+4lambda)cdot3= -2=det{A},$

что соответствует свойству 9, так как матрица получена из матрицы прибавлением к элементам первой строки соответствующих элементов второй строки, умноженных на lambda .

Пример 2.4. Дана матрица $A=begin{pmatrix}1&2&3\5&4&6\ 7&-8&-9end{pmatrix}$ . Найти присоединенную матрицу $A^{+}$ и вычислить произведения $AA^{+}$ и $A^{+}A$ .

Решение. Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы :

$begin{array}{lll}A_{11}=(-1)^{1+1}!begin{vmatrix}4&6\-8&-9end{vmatrix}=12,&quad A_{21}=(-1)^{2+1}!begin{vmatrix}2&3\-8&-9end{vmatrix}=-6,&quad A_{31}=(-1)^{3+1}!begin{vmatrix}2&3\4&6end{vmatrix}=0,\\[-7pt] A_{12}=(-1)^{1+2}!begin{vmatrix}5&6\7&-9end{vmatrix}=87,&quad A_{22}=(-1)^{2+2}!begin{vmatrix}1&3\7&-9end{vmatrix}=-30,&quad A_{32}=(-1)^{3+2}!begin{vmatrix}1&3\5&6end{vmatrix}=9,\\[-7pt] A_{13}=(-1)^{1+3}!begin{vmatrix}5&4\7&-8end{vmatrix}=-68,&quad A_{23}=(-1)^{2+3}!begin{vmatrix}1&2\7&-8end{vmatrix}=22,&quad A_{33}=(-1)^{3+3}!begin{vmatrix}1&2\5&4end{vmatrix}=-6. end{array}$

Составим присоединенную матрицу, транспонируя матрицу $begin{pmatrix}A_{ij}end{pmatrix}$ (см. п.4 замечаний 2.3), т.е.

$A^{+}= begin{pmatrix}A_{ij}end{pmatrix}^{T}= begin{pmatrix}12&87&-68\ -6&-30&22\ 0&9&-6end{pmatrix}^T= begin{pmatrix}12&-6&0\ 87&-30&9\ -68&22&-6 end{pmatrix}!.$

Вычислим произведения

$begin{aligned}AA^{+}&= begin{pmatrix}1&2&3\ 5&4&6\ 7&-8&-9end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix} 12&-6&0\ 87&-30&9\ -68&22&-6end{pmatrix}= begin{pmatrix} -18&0&0\ 0&-18&0\ 0&0&-18 end{pmatrix}!,\[2pt] A^{+}A&= begin{pmatrix} 12&-6&0\ 87&-30&9\ -68&22&-6end{pmatrix}!cdot! begin{pmatrix}1&2&3\ 5&4&6\ 7&-8&-9end{pmatrix}= begin{pmatrix} -18&0&0\ 0&-18&0\ 0&0&-18 end{pmatrix}!.end{aligned}$

что соответствует п.4 замечаний 2.3, так как det{A}=-18 (см. пример 2.1).

Пример 2.5. Найти определитель блочно-диагональной матрицы $begin{pmatrix}A!!&vline!!&O\hline O^T!!&vline!!&Eend{pmatrix}$ , где — произвольная квадратная матрица, — единичная, а — нулевая матрица соответствующего порядка, O^T — транспонированная.

Решение. Разложим определитель по последнему столбцу. Так как в этом столбце все элементы нулевые, за исключением последнего, равного 1, получим определитель такого же вида, что и исходный, но меньшего порядка. Раскладывая полученный определитель по последнему столбцу, уменьшаем его порядок. Продолжая таким же образом, получаем определитель матрицы . Следовательно,

$begin{pmatrix}A!!&vline!!&O\hline O^T!!&vline!!&Eend{pmatrix}=det{A}.$

Математический форум (помощь с решением задач, обсуждение вопросов по математике).

Кнопка "Поделиться"

Если заметили ошибку, опечатку или есть предложения, напишите в комментариях.

Источник