Как найти оптимальный набор потребителя если

Потребитель свой располагаемый доход в размере 90 руб. тратит на приобретение кефира и картофеля.

Стоимость продуктов питания:

Р_кеф = 15 руб. за 1 л.

Р_кар= 3 руб. за 1 кг.

Предпочтения потребителя описываются следующей функцией полезности:

Насколько изменится оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

1)

2)

Решение:

Оптимальный набор потребителя должен удовлетворять условию второго закона Госсена:

Найдём предельную полезность кефира и картофеля как частные производные от общей полезности:

На основе формулы

получим уравнение бюджетного ограничения: 90 = 15*х_кеф + 3*х_кар

Составим и решим систему уравнений:

Оптимальный набор потребителя состоит из 15 кг картофеля и 3 литров кефира.

Найдём оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

Предельную полезность кефира и картофеля найдём как частные производные от общей полезности:

Подставим эти выражения в условие второго закона Госсена:

Данное равенство ничем не отличается от предыдущего случая, следовательно, оптимальный набор потребителя не изменится.

Найдём теперь оптимальный набор потребителя, если его предпочтения станут описываться функцией полезности вида:

Предельная полезность при этом будет равна:

Тогда

Уравнение бюджетного ограничения не изменилось и равно: 90 = 15*х_кеф + 3*х_кар

Составим и решим систему уравнений:

Оптимальный набор потребителя теперь состоит из 10 кг картофеля и 4 литров кефира.

Таким образом, объём потребления картофеля снизится на 5 кг, а потребление кефира возрастёт на 1 литр.

Потребитель
всегда стремится достичь наилучшей
комбинации товаров в наборе, а она, как
известно, находится на самой высокой
кривой безразличия. Но потребителю при
этом приходится учитывать свои финансовые
возможности, которые имеют бюджетное
ограничение. Поэтому для того, чтобы
найти наилучший из возможных вариантов,
необходимо наложить на карту безразличия
бюджетную линию. Выбор потребителя
будет оптимальным, если при этом будут
соблюдены следующие два условия:

—
оптимальная комбинация должна находиться
на бюджетной линии, так как слева
расположена область решений, при которых
доход не расходуется полностью, а справа
— наборы, находящиеся за пределами
бюджетной линии;

—оптимальная комбинация товара должна
обеспечивать максимизацию полезности
для потребителя, т. е. находится на кривой
безразличия как можно дальше удаленной
от начала координат.

На
графике отражен алгоритм поиска
оптимального набора товаров потребителем.

Потребитель
предпочел бы приобрести набор,
принадлежащий кривой безразличия U₃,
например, набор М, но ему это недоступно
в силу бюджетного ограничения. Он может
позволить себе выбрать наборы А или В
на кривой безразличия U₁,
но они не удовлетворяют условию
максимизации полезности. Только набор,
соответствующий точке Е на кривой U₂,
отвечает двум условиям одновременно.
Именно в этой точке соприкасается кривая
безразличия с бюджетной линией, т.е.
достигается равновесие потребителя,
когда он уже не стремится переходить
на более высокую кривую безразличия и
улучшать соотношение товаров в наборе.
Эта точка носит название оптимума
потребителя.

Две
линии, соприкасающиеся в одной точке,
всегда имеют одинаковый наклон. При
этом наклон кривой безразличия, как
известно, определяется предельной
нормой замещения MRS,
а наклон бюджетной линии — соотношением
цен товаров, входящих в набор. Следовательно,
условием равновесия потребителя является
равенство

MRS
= Р_в
/
Р_а.

Конъюнктура
рынка находится в непрерывном движении,
поэтому равновесие потребителя,
определяемое точкой оптимальности,
также меняется в результате колебания
его дохода и рыночных цен. Известно, что
рост или снижение дохода приводит к
сдвигу бюджетной линии. Предположим,
что доход потребителя вырос. Тогда новые
финансовые возможности позволяют
потребителю переместиться на новую,
более высокую бюджетную линию А₁В₁,
на которой он отыскивает точку нового
оптимума Е₁;
если же у потребителя доход снижается,
то бюджетная линия опускается вниз до
А₂В₂,
а равновесие перемещается в точку Е₂.

Выявленная
реакция потребителя на изменение дохода
имеет два исключения: рост дохода не
всегда приводит к увеличению потребления,
а его снижение — к сокращению потребления.
Связано это с тем, что потребительские
предпочтения не ограничиваются
количеством, а включают и качественные
параметры: степень необходимости,
престижность и т.д.

Если
спрос на товар возрастает по мере
увеличения дохода, то такие товары
принято называть нормальными. Подобных
товаров на рынке большинство и именно
на них ориентируются в своем стандартном
поведении потребители.

Если
же динамика спроса на товар и дохода
потребителя имеет обратную зависимость,
то такие товары принято называть низшими.
По мере увеличения дохода потребитель
от них отказывается, заменяя на более
ценные. При этом следует учитывать, что
для одного потребителя товар может быть
нормальным, а для другого — низшим. Кроме
того, один и тот же товар в некоторых
ситуациях увеличения дохода может
превратиться для потребителя из
нормального в низший. Наконец, среди
низших особо выделяются товары Гиффена,
потребление которых, несмотря на снижение
дохода, не уменьшается.

Изменение
цен, так же как и доход, оказывает влияние
на равновесие потребителя. При изменении
цены только на один товар в оптимальном
наборе бюджетное ограничение сдвигается
вправо при увеличении и влево — при
снижении. Это ведет к изменению наклона
бюджетной линии.

Переход
потребителя при изменении цен с одного
оптимума на другой может быть разложен
на два эффекта — эффект дохода и эффект
замещения, которые впервые исследовал
в начале XX
в. российский экономист и математик Е.
Слуцкий.

Эффект
замещения
отражает движение потребителя из
прежнего оптимума Е до точки С. Обе точки
приемлемы для потребителя и различаются
только количественным соотношением
товаров внутри набора, что находит
выражение в различных предельных нормах
замещения. При этом уровень дохода
потребителя не меняется, так как точки
Е и С принадлежат одной кривой безразличия
U.
По существу этот эффект сродни действиям
бизнесмена, когда при относительном
росте цены он замещает подорожавший
фактор другим, чем обеспечивает сохранение
объема производства при наименьших
издержках.

Эффект
дохода
проявляется в переходе потребителя от
точки С до точки Е₁.
Несмотря на то что точки С и Е₁
принадлежат разным кривым безразличия,
у них одинаковые предельные нормы
замещения (MRS),
т.е. наклоны кривых в этих точках
совпадают, это и обеспечивает переход
с одного уровня потребления на другой.
Понятно, что для того, чтобы этот переход
состоялся, необходимо изменение уровня
дохода потребителя до бюджетного
ограничения А₁В.

В
действительности точку С потребитель
никогда не фиксирует и на ней не
останавливается, но ее гипотетическая
фиксация на кривой безразличия позволяет
экономической теории разделить влияние
изменения цен на равновесное положение
потребителя в части эффектов замещения
и дохода.

Эффекты
замещения и дохода применимы к решению
различных задач, в частности при анализе
фактора «труд» и определения его цены
было учтено конкретное действие этих
эффектов. Используются они, например,
и при анализе динамики процентной
ставки, социальной политики государства
в макроэкономическом разделе экономической
теории.

В
реальной жизни покупатель на рынке не
строит кривых безразличия и бюджетных
ограничений, не совмещает их на одной
плоскости графика и не вычисляет
оптимальную точку потребления. Все свои
действия он осуществляет на основе
рационального поведения. Именно это
рациональное поведение и объясняет
теория потребительского выбора. Ее
выводы, как уже было сказано, делают
поведение покупателя на рынке предсказуемым
и целесообразным. Разработанная в
течение 75 лет теория потребительского
поведения (с середины XIX
по первую треть XX
в.) позволяет оценить действия потребителя
не только на сложившихся рынках, но и
на находящихся в стадии становления,
что чрезвычайно актуально для российских
условий.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Задача № 1 Расчёт дохода потребителя

Индивид покупает 8 единиц товара Х и 4 единицы товара Y. Найти его доход, если известно, что цена товара Х равна 2 ден. ед., а предельная норма замены равна 0,5.

Решение:

В точке оптимума выполняется равенство:

По условию MRS = 0,5 и Р_х = 2. Следовательно, Р_у = Р_х / MRS = 2/0,5=4.
Найдём доход индивида, используя бюджетное ограничение:

где I – доход,
Р_х и Р_у – цены двух рассматриваемых благ,
Х и Y – их количества.

Задача № 2. Расчёт общей и предельной полезности

Общая TU и предельная MU полезности товаров А, В, С представлены в таблице. Заполнить пропуски в таблице.

Решение:

Найдём общую полезность товара А.

Общая полезность N-й единицы товара = Предельная полезность N-й единицы товара + Общая полезность N-1-й единицы товара

TU(1)=MU(1)=20

TU(2)=MU(2) + TU(1)=15 + 20=35

TU(3)=MU(3) + TU(2)=12 + 35=47

TU(4)=MU(4) + TU(3)=8 + 47=55

TU(5)=MU(5) + TU(4)=6 + 55=61

Найдём предельную полезность товара В.

Предельная полезность N-й единицы товара=Общая полезность N-й единицы товара — Общая полезность N-1-й единицы товара

MU(1)=TU(1)=19

MU(2)= TU(2) — TU(1)=30 – 19 = 11

MU(3)= TU(3) — TU(2)=38 – 30 = 8

MU(4)= TU(4) — TU(3)=43 – 38=5

MU(5)= TU(5) — TU(4)=45 – 43=2

Найдём общую и предельную полезности товара С.

MU(1)=TU(1)=22

TU(2)=MU(2) + TU(1)=10 + 22=32

MU(3)= TU(3) — TU(2)=39 – 32=7

MU(4)= TU(4) — TU(3)=44 – 39=5

TU(5)=MU(5) + TU(4)=3 + 44=47
Заполним пропуски в таблице:

Задача № 3. Расчёт общей полезности

Предельная полезность первой единицы блага равна 420. При потреблении первых трёх единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы уменьшается в 2 раза; предельная полезность каждой последующей единицы блага при дальнейшем потреблении падает в 4 раза. Найти общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

Решение:

Распишем условие задачи следующим образом:

MU(1) = 420,

MU(2) = 420/2=210,

MU(3) = 210/2=105,

MU(4) = 105/4=26,25,

MU(5) = 26,25/4=6,5625,

MU(6) = 6,5625/4=1,640625,

MU(7) = 1,640625/4=0,410156,

MU(8) = 0,410156/4=0,102539.

Найдём общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

TU(8) = MU(8) + TU(7) = MU(8) + MU(7) + TU(6) =…=

= MU(8) + MU(7) + MU(6) + MU(5) + MU(4) + MU(3) + MU(2) + MU(1) =

= 420 + 210 + 105 + 26,25 + 6,5625 + 1,640625 + 0,410156 + 0,102539 = 769,96582

Задача № 4. Расчёт оптимального объёма потребления двух благ

В таблице представлены следующие данные о предельной полезности двух благ.

Количество, кг	Конфеты	Виноград
1	60	150
2	40	120
3	20	90

Цена 1 кг конфет 80 ден. ед., а цена 1 кг винограда 160 ден. ед.
Бюджет потребителя составляет 400 ден. ед.

Определить оптимальный объём потребления конфет и винограда.

Решение:

Оптимальный объём потребления конфет и винограда достигается тогда, когда отношение предельных полезностей равно отношению цен этих благ.

Среди перечисленных вариантов таким свойством обладает комбинация 2 кг винограда (MUв=120) и 1 кг конфет (MUк=60).

Предельная полезность винограда, разделённая на предельную полезность конфет равна отношению их цен:

Проверим соответствие этой комбинации бюджетному ограничению:

80*1 + 160*2 = 400

Бюджет полностью израсходован.

Задача № 5. Расчёт цен товаров Х и Y

Потребитель покупает 4 единицы блага Х и 9 единиц блага Y, имея доход 100 ден. ед. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены товара Y товаром X (MRSxy) равна 4.

Решение:

Предельную норму замены товара Y товаром X(MRS_xy) можно определить как отношение цены товара Х к цене товара Y:

Запишем бюджетное ограничение:

100 = 4*P_x + 9*P_y,

где

Px, Py – цены благ Х и Y соответственно.

Составим и решим систему уравнений:

Задача № 6. Расчёт оптимального объёма потребления

У студента Иванова в холодильнике сыр и колбаса нарезаны для удобства кусочками по 100 г. Общая полезность их потребления представлена в таблице. Определите количество съеденного им в день, если известно, что он в целом употребляет 700 г названных продуктов и при этом добивается максимума полезности.

Количество, г	Колбаса (общая польза)	Сыр (общая польза)
100	2000	1900
200	3900	3750
300	5700	5550
400	7400	7300
500	8000	9000
600	9500	10650

Решение:

Рассчитаем предельную полезность от потребления этих двух продуктов.

Предельная полезность в дискретном случае определяется по формуле:

где

ΔTU – приращение общей полезности (TU₁ – TU₀),

ΔQ – приращение количества потребляемого блага (Q₁ – Q₀).

Вычисления занесём в таблицу.

Количество, г	Колбаса (общая польза)	Сыр (общая польза)	Предельная полезность колбасы	Предельная полезность сыра
100	2000	1900	2000	1900
200	3900	3750	1900	1850
300	5700	5550	1800	1800
400	7400	7300	1700	1750
500	9000	9000	1600	1700
600	10500	10650	1500	1650

Известно, что в целом студент употребляет 700 г колбасы и сыра, то есть всего 7 кусочков, и при этом добивается максимума полезности.

Решение об оптимальном объёме потребления можно представить в виде таблицы, где на каждом шаге будем сравнивать предельную полезность каждого кусочка колбасы и сыра и выбирать наибольшую величину предельной полезности, что в сумме даст их максимум.

Итак, на первом шаге наибольшая предельная полезность, равная 2000 будет получена от потребления 1 кусочка/100 грамм колбасы. Дальше студенту без разницы, что употребить, так как первый кусочек сыра и второй кусочек колбасы приносят одинаковую полезность – 1900. Пусть, например, это будет сначала сыр, а затем колбаса. Но вот на четвёртом шаге наибольшую полезность принесёт  второй кусочек сыра. Предельная полезность, полученная от его потребления 1850 больше, чем 1800 – предельная полезность третьего куска колбасы или  третьего кусочка сыра. На пятом шаге студенту опять всё равно, что съесть первым, третий кусочек сыра или третий кусочек колбасы, так  как полезность от дополнительного потребления этих продуктов одинакова. И наконец, седьмым кусочком должен стать сыр, поскольку предельная полезность четвёртого кусочка сыра (1750), больше чем предельная полезность четвёртого кусочка колбасы (1700).

Общая полезность от потребления 3 кусочков колбасы и 4 кусочков сыра  будет максимальной и составит:

TU = 2000 + 1900 + 1900 + 1850 + 1800 + 1800 + 1750 = 13 000

Таким образом, студент Иванов получит максимум полезности при употреблении 3 кусочков (300 грамм) колбасы и 4 кусочков (400 грамм) сыра.

Задача № 7. Расчёт отимального объёма потребления

Определите оптимальный для потребителя объем блага Q, если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:

1) U(Q)= 1 – 5 × Q²

2) U(Q)= 5 + Q – Q²

3) U(Q) = Q² – 5 × Q³

Как будут выглядеть функции предельной полезности? Проиллюстрируйте ответ.

Решение:

Оптимальный для потребителя объем блага Q будет определяться в точке, где потребитель получит максимум удовлетворения полезности. Задача сводится к нахождению экстремума функции полезности. Найдём производную функции полезности (предельную полезность MU) и приравняем её к нулю.

1) MU = –10 × Q = 0, следовательно, Q = 0;

2) MU = 1 – 2 × Q = 0, следовательно, Q = 1/2;

3) MU = 2 × Q – 15 × Q² = 0, следовательно, Q = 0; Q = 2/15.

Задача № 8. Расчёт цен товаров X и Y

Индивид покупает 4 единицы блага X и 9 единиц блага Y, имея доход равный 100 денежным единицам. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены X на Y равна 4.

Решение:

По условию задачи предельная норма замены благом Y блага X () равно 4. Это значит, что количество блага Х должно быть сокращено на 4 единицы в обмен на увеличение количества блага Y на единицу, при неизменном уровне удовлетворения потребителя.

Равновесие потребителя может быть представлено математически как:

— это предельная норма замещения, равная отношению цен благ Y и X. Данное условие оптимума потребителя следует понимать так. Соотношение, в котором потребитель при данных ценах способен замещать один товар другим, равно соотношению, в котором потребитель согласен замещать один товар другим, не изменяя уровень своего удовлетворения.

Отсюда

Далее воспользуемся формулой бюджетного ограничения:

где I – доход или бюджет потребителя.

100 = 4 × P_X + 9 × P_Y

100 = 4 × P_X + 9 × 4 × P_X

100 = 40 × P_X

P_X = 2,5

P_Y = 4 × 2,5 = 10.

Ответ: P_X = 2,5; P_Y = 10.

Задача № 9. Определение рационального выбора потребителя

Потребитель имеет функцию полезности:

и может на свой доход равный 100 единицам приобретать только эти два товара по ценам:

P_x = 2

P_y = 5

Определить рациональный выбор потребителя. Какой максимальный уровень полезности достижим?

Решение:

Рациональный выбор потребителя осуществляется в соответствии со вторым законом Госсена:

Предельная полезность товара х будет равна производной функции общей полезности по аргументу х:

Аналогично находим предельную полезность товара y:

Далее воспользуемся бюджетным ограничением:

Из условия задачи известно, что:

I = 100

P_x = 2

P_y = 5

Составим и решим систему уравнений:

При х = 25 и у = 10 общая полезность достигнет максимума:

Задача № 10. Расчёт оптимального объёма потребления

У Оксаны есть 30 рублей. Она хочет купить шоколадки «Шок» ценой 3 р. Полезность от этой покупки она оценивает функцией:

х – приобретённое количество шоколадок,

y – оставшаяся часть дохода.

Сколько купит шоколадок «Шок» рациональная Оксана?

Решение:

Рациональное поведение потребителя можно определить, как стремление максимизировать излишек потребителя. Потребитель будет покупать дополнительные единицы до тех пор, пока они приносят дополнительный избыток, т.е. пока цена, которую потребитель готов уплатить за единицу блага, превосходит реальную цену:

MU > P

Однако каждая последующая единица потребления обычно приносит уменьшающийся прирост полезности, т.е. при покупке благ «одно за другим» рано или поздно предельная полезность какого-то блага сравняется с его ценой:

MU = P

После того как предельная полезность сравняется с ценой, потребитель прекратит дальнейшие покупки: оптимальный объём потребления достигнут.

Найдём предельную полезность MU, как производную функции общей полезности по аргументу х:

Оптимальный объём потребления будет достигнут при МU = P:

Таким образом, рациональная Оксана купит 4 шоколадки, потратив на эту покупку 12 рублей.