Как найти оптимальный план производства

Как рассчитать оптимальный план производства, чтобы получить максимальную прибыль? Этот вопрос актуален для многих компаний. Интуитивное формирование плана производства может быть не таким эффективным, как расчет с помощью математических моделей.

Сравним эти способы на примере.

Компания производит шоколад трех сортов: белый, молочный и горький. У каждого — своя рецептура, но трудоемкость одинаковая. Цена каждого сорта разная, поэтому и прибыль на килограмм тоже отличается. Представим эти данные в виде таблицы:

На складе имеются определенные запасы сырья:

• какао-масло — 20 кг;
• сахар — 15 кг;
• сухое молоко — 7 кг;
• какао — 12 кг.

Расчет плана производства интуитивным методом

План производства для первого вида продукции

Больше всего прибыли приносит горький шоколад. Рассчитаем, сколько шоколада этого сорта можно произвести из сырья на складе:

Объем производства ограничивает какао — его достаточно для производства только 40 килограммов шоколада.

Прибыль от горького шоколада = 40 х 3000 = 120 000 (руб.)

Рассчитаем количество сырья, которое потребуется для производства 40 килограммов горького шоколада. Для этого умножим количество ингредиента, нужного для производства одного килограмма, на 40.

Например, для производства одного килограмма горького шоколада нужно 16 килограммов какао-масла:

0,4 х 40 = 16 (кг)

Рассчитаем расход каждого ингредиента и внесем в столбец «Резерв сырья».

После производства горького шоколада на складе останутся продукты, их объем можно рассчитать как разницу между остатками на складе и резервом.

Остаток какао-масла = 20 — 16 = 4 (кг)

Такой же расчет проводим и для других ингредиентов и вносим данные по остаткам в последний столбец.

План производства для второго вида продукции

Так как все какао зарезервировано для производства горького шоколада, компания из остатков сырья может произвести только белый шоколад, при его приготовлении какао не используется.

Рассчитаем, сколько белого шоколада можно произвести из оставшихся ингредиентов:

«Ограничивающим» ингредиентом выступает какао-масло. Из имеющегося количества можно сделать только 10 килограммов белого шоколада.

Прибыль от белого шоколада = 10 х 1000 = 10 000 (руб.)

Рассчитаем расход сырья на производство белого шоколада и остатки на складе.

Из остатков на складе произвести шоколад больше нельзя.

Общая прибыль составит 130 000 рублей.

120 000 + 10 000 = 130 000 (руб.)

Этот способ расчета достаточно трудоемкий и при большом ассортименте продукции и запасов может быть просто неприменим. Математическое моделирование плана производства позволит учесть больше переменных.

Антон Варламов, начальник производства CWS-group:

«Мы производим оборудование для моек самообслуживания. В производстве ориентируемся на спрос: в основном, начинаем сборку после заказа. Именно спрос является «толкающим» фактором.

Плюс этого способа — готовое оборудование не задерживается на складе, сразу отправляется клиентам. В процессе производства мы можем внести какие-то изменения и учесть просьбы заказчиков: сделать больше или меньше функций в пульте самообслуживания, подобрать нужную мощность аппаратов высокого давления.

Минус — мы упускаем часть прибыли из-за нерационального использования запасов. Что-то невостребованное лежит на складе, что-то приходится покупать срочно и переплачивать.

Но в текущей ситуации пока не видим возможности перехода на планирование производства»

Расчет плана производства методом математического моделирования

Для построения математической модели используется надстройка «Поиск решения» в Excel. Мы уже подготовили математическую модель, которую вы можете скачать на компьютер с установленным Excel и заполнить своими данными.

Таблица для производства шоколада выглядит так:

Желтые ячейки заполнены исходными данными из примера. Это прибыль по каждому виду продукции, расход ингредиентов и их наличие на складе.

Голубые ячейки будет изменять программа в процессе расчетов.

В оранжевых — расход сырья, нужного по плану производства. Он рассчитывается также, как и в первом способе, только не вручную, а автоматически. Для этого в ячейки введены нужные формулы.

В фиолетовых значение прибыли по сортам, рассчитывается по формуле:

Прибыль по сорту = Количество шоколада х Прибыль от сорта шоколада

Розовая — значение прибыли, максимум которой программа найдет в процессе расчета, она суммирует все прибыли по сортам.

После нажатия «Поиск решения» система рассчитывает оптимальный план производства с максимальной прибылью:

План производства, рассчитанный этим способом, отличается от первого. Сокращено количество горького шоколада, поэтому остается больше сырья для производства молочного. Это позволяет увеличить прибыль со 130 тысяч рублей до 140 тысяч и более эффективно использовать складские запасы.

Изменение плана производства

Описанные методы не учитывают спрос, подразумевается, что будет продан весь произведенный шоколад. Но в математическую модель можно внести дополнительные ограничения.

Например, объем производства горького шоколада ограничить 20 килограммами, тогда программа посчитает новый план, но прибыль в нем будет меньше, чем в оптимальном:

Моделирование оптимального плана производства позволит один раз создать математическую модель и потом изменять параметры, оценивая изменение прибыли:

1. Вводить ограничения по количеству производимой продукции: задать определенный объем или нужные пропорции. Например, чтобы объем производства горького шоколада был равен объему производства молочного.
2. Менять ограничения по ресурсам, в зависимости от объема запасов.
3. Проверить целесообразность введения новой продукции — будет ли увеличиваться или уменьшаться прибыль в этом случае.
4. Изменять прибыль по видам продукции для более корректного ценообразования.
5. Выявить слабые позиции в ассортименте и, возможно, отказаться от них.

В математической модели можно использовать не только ресурсы в натуральном выражении, как в нашем примере, но и в денежном. Это еще больше расширяет возможности ее применения, так как позволяет учесть расходы на оплату труда, электричество, время работы оборудования. Чем точнее исходные данные, тем точнее будет расчет плана производства. Компании, ведущие управленческий учет, тратят меньше времени на сбор данных для заполнения математической модели. 

Резюмируем

Расчет оптимального плана производства позволяет компании заработать больше, используя ограниченные ресурсы. Создание модели плана производства в Excel экономит время и позволяет достаточно быстро оценить изменение прибыли при разных вариантах исходных данных. 

Под столбцом свободных членов записывается начальная оценка F₀ = C_iB_i = 0*3600+0*1850+0*1500=0 .

Остальные оценки записываются под столбцами соответствующих векторов:

F₁ — C₁ = 0*8 + 0*4 + 0*4 — 25 = -25 

F₂ — C₂ = 0*10 + 0*7 + 0*3 — 30 = -30 

F₃ — C₃ = 0*8 + 0*4 + 0*3 — 40 = -40 

F₄ — C₄ = 0*10 + 0*6 + 0*5 — 35 = -35 

Следует отметить, что оценки для базисных векторов всегда равны нулю.

Преобразование симплекс-таблицы ведется следующим образом:

Шаг 1: Проверяется критерий оптимальности, суть которого состоит в том, что все оценки  должны быть неотрицательны. В нашем случае этот критерий не выполнен, поэтому переходим ко второму шагу.

Шаг 2: Для отрицательных оценок вычисляются величины:

Θ₁ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/8 ; 1850/4; 1500/4 } = min{450; 462.5; 375} = 375

Θ₂ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/10 ; 1850/7; 1500/3 } = min{360; 264.29; 500} = 1850/7

Θ₃ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/8 ; 1850/4; 1500/3 } = min{450; 462.5; 500} = 450

Θ₄ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/10 ; 1850/6; 1500/5 } = min{360; 308.33; 300} = 300

Θ₁ (F₁ — C₁ ) = 375 * (-25) = — 9375

Θ₂ (F₂ — C₂ ) = 1850/7 * (-30) = — 55500/7

Θ₃ (F₃ — C₃ ) = 450 * (-40) = — 18000

Θ₄ (F₄ — C₄ ) = 300 * (-35) = — 10500

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае  минимально -18000, поэтому выбираем третий столбец, а в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается первый элемент третьего столбца (по значению Θ₃ ) – 8 (выделен в таблице).

 Шаг 3: Третья строка таблицы делится на 8 и вычитается из остальных строк с коэффициентами, позволяющими ввести в базис третий столбец. В сущности, применяется метод исключения неизвестных, известный как метод Жордана – Гаусса..

В итоге получаем все положительные оценки Fi — Ci, что означает оптимальность полученного плана. То есть необходимо выпускать 450 единиц продукции третьего вида, чтобы выручка была максимальной и составляла 18 тысяч.

Проанализируем, что будет, если включить в ассортимент пятый вид товара.

25x₁ + 30x₂ + 40x₃ + 35x₄ + 33x₅ → max

8x₁ + 10x₂ + 8x₃ + 10x₄ + 9x₅ ≤ 3600

4x₁ + 7x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 5x₅ ≤ 1850

4x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 5x₄ + 3x₅ ≤ 1500

x₁ ≥ 0

x₂ ≥ 0

x₃ ≥ 0

x₄ ≥ 0

x₅ ≥ 0

Приведем математическую модель задачи к каноническому виду.

25x₁ + 30x₂ + 40x₃ + 35x₄ + 33x₅ — 0x₆ — 0x₇ — 0x₈ → max

8x₁ + 10x₂ + 8x₃ + 10x₄ + 9x₅ + x₆ = 3600

4x₁ + 7x₂ + 4x₃ + 6x₄ + 5x₅ + x₇ = 1850

4x₁ + 3x₂ + 3x₃ + 5x₄ + 3x₅ + x₈ = 1500

Θ₁ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/8 ; 1850/4; 1500/4 } = min{450; 462.5; 375} = 375

Θ₂ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/10 ; 1850/7; 1500/3 } = min{360; 264.29; 500} = 1850/7

Θ₃ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/8 ; 1850/4; 1500/3 } = min{450; 462.5; 500} = 450

Θ₄ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/10 ; 1850/6; 1500/5 } = min{360; 308.33; 300} = 300

Θ₅ = min{ Bi / Ai }= min{ 3600/9 ; 1850/5; 1500/3 } = min{400; 370; 500} = 370

Θ₁ (F₁ — C₁ ) = 375 * (-25) = — 9375

Θ₂ (F₂ — C₂ ) = 1850/7 * (-30) = — 55500/7

Θ₃ (F₃ — C₃ ) = 450 * (-40) = — 18000

Θ₄ (F₄ — C₄ ) = 300 * (-35) = — 10500

Θ₅ (F₅ — C₅ ) = 370 * (-33) = — 12210

Из этих элементов выбирается тот, для которого вычисленное произведение минимально, в нашем случае  минимально -18000, поэтому выбираем третий столбец, а в качестве так называемого разрешающего элемента выбирается первый элемент третьего столбца (по значению Θ₃ ) – 8 (выделен в таблице).

В итоге получаем все положительные оценки Fi — Ci, что означает оптимальность полученного плана. То есть необходимо выпускать 450 единиц продукции третьего вида, чтобы выручка была максимальной и составляла 18 тысяч.

Таким образом, введение нового продукта никак не повлияет на стратегию предприятия по максимизации выручки.

0
 

 Транспортная задача |

Описание курса

| Теория вероятности 

5.1. Планирование выпуска продукции

Основной задачей
планирования производства является
расчет оптимального плана выпуска
продукции с учетом основных факторов,
влияющих на его объем: общественные
потребности в данном продукте, наличие
сырьевых и энергетических ресурсов,
производственные возможности,
обеспеченность трудовыми, финансовыми
и другими ресурсами и т.п.

При этом большое
значение имеет разработка и обоснование
объемных показателей производства с
учетом ассортимента продукции и полного
удовлетворение постоянно растущих
потребностей населения. Наличие множества
факторов (различных ресурсов,
производственных возможностей и т.п.),
а также множества способов их использования
позволяет получить различные варианты
плана производства, которые могут
рассматриваться как возможные и
допустимые, если они выполнимы, и
обеспечены необходимыми производственными
ресурсами. Однако нас интересует
оптимальный, с точки зрения принятого
критерия эффективности, план производства.

Проблема оптимального
планирования производства существует
на всех стадиях, во всех звеньях плановой
работы — от народнохозяйственного до
низового планирования, причем на каждом
уровне характер экономической задачи
одинаков: необходимо выбрать такие
способы использования наличных ресурсов,
которые позволили бы получить наибольший
производственно-экономический эффект
при соблюдении ограничений на использование
ресурсов.

Ассортиментный
выпуск продукции, рассчитанный с учетом
спроса, создает условия для более быстрой
реализации продукции, способствует
ускорению процесса обращения товара,
снижению сверхнормативных запасов
продукции и более эффективному
использованию оборотных средств,
повышению темпов производства и росту
показателей хозяйственной деятельности.
Наряду с удовлетворением спроса
оптимальное планирование выпуска
продукции должно обеспечить наиболее
целесообразное использование
производственных ресурсов.

При оптимальном
планировании выпуска продукции большое
значение имеет выбор критерия
оптимальности, так как оптимальный план
при одном критерии, может оказаться не
оптимальным при другом. При планировании
производственной программы пищевых
предприятий целесообразно в качестве
критериев использовать стоимостные
показатели.

Решение задачи
оптимизационного выпуска продукции
разбивается на три этапа:

— построение
экономико-математической модели;

— нахождение
оптимального решения задачи одним из
математических методов;

— анализ результатов
решения и практические рекомендации.

5.2. Модель задачи оптимального ассортиментного

ВЫПУСКА ПРОДУКЦИИ

Построение модели
задачи оптимального ассортиментного
выпуска продукции рассмотрим на примере
кондитерского производства.

На кондитерской
фабрике вырабатываются три вида карамели
М₁,
М₂,
М₃.
Известны: виды используемого основного
сырья — П₁,
П₂,
П₃;
удельные нормы расхода его на производство
единицы каждого вида карамели; общий
запас расходуемого сырья – b₁,
b₂,
b₃;
уровень прибыли на единицу продукции
— С₁,.
С₂,.
С₃,.
Предполагается, что все количество
выработанной карамели может быть
реализовано, т.е. выпуск карамели не
ограничивается.

Требуется определить
оптимальный ассортимент выпуска каждого
вида карамели, чтобы прибыль от ее
реализации была максимальной. Информация,
принятая для задачи, показана в табл.
5.1.

Таблица 5.1

Для построения
математической модели за неизвестные
Х₁,
Х₂,
Х₃,
примем количество вырабатываемой
карамели видов M₁,
M₂,
M₃.
На производство каждого вида карамели
будет израсходовано: сахар-песок
патока пюре фруктовое

М₁
0,7Х₁
0,3Х₁
0Х₁,

М₂
0,7Х₂
0,3Х₂
0,2Х₂,
( 5.1 )

М₃
0,7Х₃
0,2Х₃
0,3Х₃,

Ограничения по
запасам сырья:

по
сахару песку 0,7Х₁
+ 0,7Х₂
+ 0,7Х₃ 
700

по патоке
0,3Х₁ + 0,3Х₂ + 0,2Х₃ 
300 ( 5.2
)

по фруктовому пюре
0,2Х₂
+ 0,3Х₃

150

Прибыль по каждому
виду карамели будет равна произведению
уровня прибыли на 1 т на количество
выпускаемой продукции. А общая сумма
прибыли (целевая функция):

F
= 100Х₁
+ 110Х₂
+ 120Х₃
= max
. ( 5.3 )

Количество
выпускаемой продукции каждого вида не
может быть отрицательным:

Х_i
 0, i
= 1,2,3. (
5.4 )

Для записи условий
задачи в символическом виде примем
следующие обозначения:

Х_i
— неизвестное искомое число, обозначающее
величину включаемого в программу выпуска
i-го продукта;

a_ii
— норма расхода i-го
сырья на единицу j-го
продукта;

b_i
— общий запас
i-го
сырья;

C_j
— уровень
прибыли на единицу j-го
продукта.

В общем виде модель
формализуется следующим образом:

Необходимо найти
такое количество выпускаемой продукции
каждого вида Х_i,
(i=1,2,…,n),
которое
обеспечит max
целевой функции: F
=

= max
, (
5.5 )

при ограничениях
на запас сырья:
i = 1,2,…,n
, ( 5.6 )

и неотрицательности
неизвестных: X_j

0, j
= 1,2,…,m
. ( 5.7 )

В данной модели в
качестве ограничений использованы
отдельные виды сырья для упрощения
примера. Но кроме сырья можно было
использовать ограничения и по другим
ресурсам: материальным, трудовым,
производственно-техническим и др.

Для определения
ограничительных ресурсов используется
плановая, нормативная и учетно-отчетная
информация.

В качестве плановой
информации используются показатели
работы предприятия в плановый период
(план выпуска продукции, план по труду
и заработной плате, план использования
производственных мощностей,
материально-сырьевых, энергетических,
финансовых и других ресурсов).

Нормативная
информация включает в себя большой
комплекс норм, который можно расчленить
на следующие группы: нормы использования
средств труда, предметов труда и самого
труда, внутрипроизводственного
планирования, производственных запасов
материальных ресурсов и финансовых
средств.

Учетно-отчетная
информация — это фактические показатели,
которые характеризуют
производственно-хозяйственную
деятельность предприятий и отражают
его конкретные организационно-технические
условия (выполнение планов выпуска
продукции, объем реализации, отчетная
себестоимость продукции, фактическое
выполнение норм и т.д.).

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #
• #

Понятие производства

Оно характеризует тип обмена между человеком и природой, в ходе которого индивид, прикладывая свои физические и интеллектуальные способности, преобразует дары природы в материалы и готовую продукцию, востребованную обществом. Производство всегда носит общественный характер. Если индивид занимается производством вне общества, то его предпринимательская деятельность не несет экономического смысла.

Долгое время производство было связано с материальным преобразованием даров природы в конечную продукцию. Однако, человек, удовлетворив свои базовые потребности, начинает нуждаться в духовной пище. Быстрые темпы массового производства помогли высвободить время на более сложные продукты и услуги. Теперь продукты интеллектуального труда обладают большей ценностью и спросом.

Стоит отметить, что сфера услуг и ее развитие напрямую зависят от материального производства и доходов, которое оно формирует. Инвестирование в интеллектуальную отрасль требует больших временных и денежных затрат. Создание резервов, их перераспределение в пользу интеллектуальных отраслей народного хозяйства возможно только при эффективном материальном производстве.

Производство классифицируют по типам и видам. По типам в зависимости от серийности выпускаемой продукции выделяют:

1. Единичное
2. Серийное.
3. Массовое.

Тип производства помогает спланировать затраты, провести мероприятия по контролю и надзору, а также внедрять меры оптимизации производства. Производство может классифицироваться по отраслевому признаку. Например, сельскохозяйственное, промышленное, оборонное.

Планирование на производстве

Производство представляет собой сложный процесс со множеством элементов и подпроцессов, которые требуют координации и планирования. Часто внесение изменений происходит на интуитивном уровне оперативными действиями, что может привести к негативным последствиям. Такой подход не учитывает всех нюансов и не опирается на прогнозирование будущего положения предприятия. Планирование предполагает целостное рассмотрение задач, их упорядочивание и систематизацию.

Организация планирования включает в себя поэтапное рассмотрение текущих взаимосвязей, существующих рабочих систем, дальнейших их анализ, последовательную разумную организацию с целью внесения дополнений и корректировок. Планирование так же зависит от того, какой этап работы он охватывает. Первоначальное планирование осуществляется тогда, когда частично или полностью отсутствует рабочая система. Перепланирование направлено на изменение существующей структуры работы, а внутреннее планирование позволяет создать схожую систему.

Причинами внесения изменений в производственное планирование могут стать:

1. Внесение изменений в существующий ассортимент.
2. Внедрение нового продукта или услуги.
3. Проработка выявленных слабых мест в системе.
4. Внедрение новых технологий в производственный процесс.
5. Исполнение законодательных норм.

Для разработки плана создается рабочая группа специалистов с разных участков производства. При планировании рассматривается система, включающая взаимодействие человека, техники, информации и организации. Далее осуществляется методическая проработка и оценка альтернатив, обеспечивается прозрачность самого процесса составления плана. В ходе планирования находятся обоснованные решения, обеспечивается результат, оптимизируется соотношение временных и материальных затрат.

Составление оптимального плана производства продукции

Производство готовой продукции является главной задачей любого предпринимателя. Ее качество, необходимый объем обеспечивают планируемую норму прибыли. Доход будет зависеть от количества понесенных затрат, а также от реализации благ конечному потребителю. Оптимальный план выпуска продукции обеспечит выполнение этих целей. Чаще всего при планировании производства продукции используются методы математического программирования.

При составлении плана учитываются следующие показатели:

1. Максимальный объем выпуска продукции.
2. Максимальное использование ресурсов.
3. Размер прибыли.
4. Норма расходов на производство 1 единицы продукции.
5. Количество видов продукции.
6. Структура использованных ресурсов.

Предполагается, что выручка должна быть максимальной. Линейное программирование позволяет выбрать оптимальный вариант, выразить решение через переменные величины, ограничить решения факторами, рассмотреть решение в виде линейной функции. Составление экономико-математической модели позволяет определить переменные, составить соотношения, определить структуру целевой функции, построить математическую модель. Решением станет наилучший вариант для данного типа производства.

Организация оптимального выпуска продукции поможет повысить эффективность работы всего предприятия. Минимизирование издержек, уменьшение объема закупок при сохранении объема выпуска и качества станет наилучшим решением для плана. Увеличение доходов может осуществляться за счет повышения цены, либо с помощью оптимального использования имеющихся ресурсов и мощностей. Показатели эффективности, оценивающие план организации выпуска, демонстрируют рентабельность предприятия.

Выработка плана предполагает создание альтернативных вариантов достижения поставленной цели. Важно, что в процессе создания благ возможно внесение корректировок в действующую программу. Для этого необходимо установить прозрачную и гибкую обратную связь, позволяющую изменять текущие процессы. Модель расчета, лежащая в основе производственного плана, так же должна быть гибкой и включать в себя множество переменных. Это необходимо для быстрой адаптации к изменившимся условиям.

Для изготовления двух видов изделий I и II используются три вида сырья.

На производство единицы изделия I требуется затратить сырья первого вида 13 кг, сырья второго вида — 32 кг, сырья третьего вида — 58 кг.

На производство единицы изделия II требуется затратить сырья первого вида 24 кг, сырья второго вида — 32 кг и сырья третьего вида — 29 кг.

Производство обеспечено сырьем первого вида в количестве 312 кг, сырьем второго вида — 480 кг, сырьем третьего вида — 696 кг.

Прибыль от реализации единицы готового изделия I составляет 4 усл. ед., а изделия II — 3 усл. ед.

Требуется составить план производства изделий I и II, обеспечивающий максимальную прибыль от их реализации, если заранее планируется изготовление не менее 10 единиц изделий I и II.

Решение. Рассмотрим математическую модель задачи. Если за *1 взять количество изделий I, планируемых к выпуску, а за.¾ — количество изделий II, то получим задачу линейного программирования.

найти максимум линейной функции

Геометрическое решение задачи

Поскольку задача двухмерная, то ее можно решить графически. Система ограничений (7.1) дает многоугольник решений. Для его построения проводим прямые, являющиеся границами многоугольника и с помощью пробной точки, например (0; 0), определим полуплоскости, задаваемые этими прямыми (рис. 86):

В пересечении соответствующих полуплоскостей получим шестиугольник ABCDEF’.

Для нахождения max z построим из начала координат вектор п = (4; 3) и перпендикулярную ему линию уровня z = 0, т. е. прямую 4X1 + 3X2 = 0.

Далее передвигаем линию уровня z = const в направлении возрастания z, т. е. параллельно самой себе в направлении вектора п. В последней пересекаемой вершине D получаем наибольшее значение z. Вершина D — это точка пересечения прямых /2 и /3. Находим координаты точки D из системы:

Решая систему, найдем, чтоИ при

этом(усл. ед.).

Для решения задачи симплекс — методом приведем систему ограничений (7.1) к форме равенств с помощью неотрицательных дополнительных переменных

при этом

Записываем систему с помощью укороченных таблиц (табл. 7.1).

Так как в I — столбце есть отрицательный элемент, то его нужно сделать положительным. Выбираем у 4 — строку с отрицательным свободным членом «-10».

В этой же строке есть отрицательные элементы, выбираем какой-нибудь из них, например, «-1» в *1 — столбце. И *1 — столбец принимаем в качестве разрешающего столбца.

Делим свободные члены на соответствующие элементы разрешающего столбца, получаем {24, 15, 12, 10} и наименьшее положительное отношение будет соответствовать разрешающей строке, следовательно, у4 — строка является разрешающей, а элемент 1-1 I разрешающим элементом. Совершаем шаг модифицирован-ногожорданова исключения (ШМЖИ) с разрешающим элементом -1 по правилу:

1) на месте разрешающего элемента стоит величина ему обратная;

2) элементы разрешающей строки делятся на разрешающий элемент;

3) элементы разрешающего столбца делятся на разрешающий элемент и знак меняется;

4) остальные элементы новой таблицы находятся по формуле прямоугольника [17, стр. 521:

Получаем табл. 7.2, при этом переменные *1 и у4 меняются местами. Из таблицы видно, что свободные коэффициенты в I — столбце не отрицательны, следовательно, получено опорное решение: X1 = 10, X2 = 0, у1 = 182, у2 = 5, у3 = 4, у4 = 0, Z = 40. Геометрически это означает, что мы находимся в вершине F (10;0) многоугольника решений ABCDEF’.

Это решение не является оптимальным, так как в Z — строке имеется отрицательный коэффициент, улучшаем план.

Выбираем разрешающий элемент по правилу: выбираем столбец с наименьшим отрицательным элементом в z-строке — разрешающий столбец, делим свободные члены в I-столбце на соответствующие коэффициенты и наименьшее положительное отношение соответствует разрешающей строке. На пересечении стоит разрешающий элемент [~2] . Совершая ШМЖИ с разрешающим элементом 2 по выше приведенному правилу, получаем табл. 7.3.

Решение, получаемое из табл. 7.3, также не является опти-

и-

мальным, так как в Z-строке имеется отрицательный коэф’ циент. Определяя из табл. 7.3 разрешающий элемент

и

совершая ШМЖИ, приходим к табл. 7.4, в которой все коэффициенты в Z-строке неотрицательны, а, следовательно, max Z уже достигнут и ему соответствует решение X1 = 9, X2 = 6, при этом

Zmax = 54 (усл. ед.).

Ответ: максимальная прибыль Z = 54 (усл. ед.) достигается при изготовлении 9 единиц изделий I и 6 единиц изделий II.