Как найти оптимум полезности

Общая полезность

Общая полезность — удовлетворение, которое получают от потребления определенного набора товара или услуги.

Предельная полезность — это прирост общей полезности товарного набора при увеличении объема потребления данного товара на единицу.

Mu = (Tu₁ — Tu₀)/(Q₁ — Q₀)

Производная по количеству Q

Mu = dTu/dQ
Как найти производную.

Например, TU = x*y. Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x

Например, TU = 10x² + 2x + 2. Mu_x = d(10x² + 2x + 2)/dx = 20x + 2

Функция полезности — функция, показывающая убывание полезности блага с ростом его количества:

Tu = f(Q_i)

Условия равновесия потребителя

Условия равновесия потребителя можно выразить формулой:Mu_x / Mu_y = P_x / P_yгде P_x и P_y — цены на товары X и Y.

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает равновесие потребителя.

Пример задачи на нахождение оптимального набора покупок

Пример задачи на нахождение оптимального набора товаров при заданной функции полезности

Кривая безразличия

Кривая безразличия — это множество точек на кривой, которые показывают различные комбинации двух экономических благ, имеющих одинаковую полезность для потребителя.

Предельная норма замещения (marginal rate of substitution — MRS) — количество, на которое потребление одного из двух благ должно быть увеличено (или уменьшено), чтобы полностью компенсировать потребителю уменьшение (или увеличение) потребления другого блага на одну дополнительную единицу:

MRS_xy = ΔY / ΔXΔY = Y₁ — Y₀ΔX = X₁ — X₀илиMRS_xy = Mu_x / Mu_y

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Бюджетная линия

Бюджетная линия представляет собой прямую линию с отрицательным наклоном, графически отображающую множество наборов из двух товаров, требующих одинаковых затрат на их потребление. Она показывает, какие потребительские наборы можно приобрести за данную сумму денег.I = P_xX + P_yYгде I — доход потребителя;
P_x — цена блага Х;
P_y — цена блага Y;
X,Y — составляют соответственно купленные количества благ.

Пример. Функция полезности U(xy)=xy. Доход потребителя равен 80 ден. ед. Цены товаров x и y соответственно равны P_x=2 руб. и P_y=4 руб. Найдите равновесный набор.

Решение: Из условия равновесия потребителя: Mu_x / Mu_y = P_x / P_y получаем: Mu_x = d(x*y)/dx = y; Mu_y = d(x*y)/dy = x

Тогда: y / x = 2 / 4 = ¹/₂ или y = ¹/₂x

Для наших данных уравнение бюджетной линии запишем как: 80 = 2x + 4y = 2x + 4*1/2x = 4x

Откуда: x = 20 ед., y = ¹/₂*20 = 10 ед.

Ответ: потребитель приобретет 20 ед. товара x и 10 ед. товара y.

Пример решения определения оптимума потребителя

Потребитель тратит 600 рублей в месяц на приобретение двух товаров. Цена товара Х — 20 рублей, а товара Y — 10 рублей. Задана функция полезности потребителя U = ХY. Составить уравнение бюджетной линии. Найти предельную норму замещения. Определить оптимум потребителя. Представить графически. Если цена товара Х уменьшится на 5 руб., на сколько единиц изменится объем спроса данного товара всего?|Уравнение бюджетной линии:I = P_xX + P_yY 600 = 20X + 10Y

Предельная полезность товаров:

Mu_x = dU/dx = d(xy)/dx = yMu_y = dU/dy = d(xy)/dy = x

Оптимум потребителя достигается при равенстве:

Mu_x / Mu_y = P_x / P_yMu_x / Mu_y = 20 / 10 = 2

Предельная норма замещения

MRS_xy = Mu_x / Mu_y = 2

Выразим y через x.

Mu_x / Mu_y = y / x = 2y = 2x

Подставим в уравнение бюджетной линии:

600 = 20x + 10*2x = 20x + 20xоткуда X = 15; Y = 2x = 30

Точка касания кривой безразличия с бюджетной линией означает оптимальный набор товаров потребителя.

Проверка: 20 х 15 + 10 х 30 = 300 + 300 = 600.

При уменьшении цены товара X на 5 руб.
P_x = 20 — 5 = 15
Найдем новый оптимум потребителя.

600 = 15X + 10Y = 15X + 20X = 35Xоткуда x = 17.14; y = 2x = 34.29
Спрос на товар Х увеличился на 2.14 (17.14 — 15)

Проверка: 15 х 17.14 + 10 х 34.29 = 257.1 + 342.9 = 600.

Пример нахождения цен товаров при оптимальном выборе покупателя

Утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу

Определить утилитарное решение и решение, оптимальное по Нэшу, если функции полезности агентов равны u₁ = х₁ + 3, u₂= 3х₂ — 2 при х₁ + x₂ = 3 . Проверить независимость от масштаба для указанных ПКБ, если функция полезности первого агента была уменьшена в три раза.

Решение. Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁ + 3 = 3x₂ — 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем x₂ = 2, тогда x₁ = 1. Вектор полезностей (4,4).

Утилитарное решение находим, максимизируя сумму полезностей агентов: x₁ + 3 + 3x₂ — 2 → max, подставив x₁ вместо x₂, получаем 4x₂ + 1 → max. Рассматриваемая функция возрастает от x₁ и достигает своего максимума при x₁ = 3, тогда x₂ = 0. Здесь вектор полезностей (1,1).

Независимость от масштаба

Определим эгалитарное решение, для этого должно выполняться условие u₁ = u₂ или x₁/3 + 1 = 3x₂ — 2. Учитывая, что x₂ = 3- x₁, получаем 10/3 x₁ — 6 = 0, тогда x₁ = 9/5, то x₂ = 6/5. Вектор полезностей (8/5,8/5).

Множество допустимых распределений пары продуктов на неотрицательные количества определяется так:x₁,x₂ 0, x₁ + x₁ = a, x₂ = b.

Максимизируя ФКП Нэша, мы выбираем эффективное распределение. Оптимальное распределение определяется как решение задачи:

Минимум достигается x₁ = 2,17; x₂ = 0,83.

Видим, что соблюдается условия:
а) ,
б)

Кривые
безразличия и их свойства. Предельная
норма замещения.

1. Полезность
   и доход.

2. Условия
   оптимума потребителя при порядковом
   способе исчисления полезности.

3. Эффект
   замещения и эффект дохода.

1. Кривые безразличия и их свойства. Предельная норма замещения.

Пример.
Пусть есть два товара (обозначим их как
F
– food
и C
– clothes),
тогда U(F,C)
– функция полезности двух товаров,
показывающая степень удовлетворенности
от потребления этих товаров. Допущение:
U(F,C)
= FC,
что верно далеко не всегда. На основании
нижеследующей таб- лицы составим график,
называемый картой
безразличия
(рис. 12).

Кривая
безразличия –
линия равной полезности наборов товаров.

Карта
безразличия
– совокупность кривых безразличия,
каждая из которых соответствует своему
уровню полезности набора товаров.
Рис. 12. Карта
безразличия.

точка	F	C	U(F,C)
A	5	5	25
B	10	2,5	25
C	2,5	10	25

Свойства
кривых безразличия:

1. Кривые
   безразличия имеют отрицательный наклон.

2. Две
   кривые безразличия ни- когда не
   пересекаются.

3. Кривая
   безразличия может быть проведена через
   лю-бую точку В
   в пространстве товаров.

4. Предельная
   норма замещения (замены) одного товара
   другим уменьшается при движении вдоль
   кривой безразличия.

5. Кривые
   безразличия выпуклы по отношению к
   началу координат.

Норма
замены
– показывает, от какого количества
товара Y
мы отказываем- ся, чтобы получить
дополнительное количество единиц товара
Х
(обозначе- ние – RS
от англ. rate
of
substitution):

Предельная
норма замены
(обозначение – MRS
от англ. marginal
rate
of
substitution):

Норма
замены товара Х
товаром Y
– такое количество товара, которое
потребитель готов уступить в обмен на
увеличение другого товара на 1 с тем,
чтобы общий уровень удовлетворения
остался прежним. Величина MRS
соот- ветствует коэффициенту угла
наклона касательной к кривой безразличия
в данной точке.

Пример.
В качестве иллюстрации вышеприведенного
определения рас- смотрим следующую
таблицу:

Y	16	8	5	3
X	1	2	3	4

Рис.
13. Кривая
безразличия и MRS.

Отсюда
видно, что при движении вниз по кривой
безразличия значениеMRS
уменьшается. Крайние случаи безразличия:

1. Эта
   ситуация соответствует совершен-ной
   взаимозаменяемости товаров. В данном
   случае MRS
   не изменяется.

1. Эта
   ситуация соответствует взаимодополняемости
   товаров (например, левый и правый
   ботинки). В этом случае MRS
   равно 0.

Ситуация,
когда товар Х
слишком дорогой:

1. Ситуация,
   когда товар Y
   слишком дорогой:

2. Полезность и доход. Условия оптимума потребителя при порядковом способе исчисления полезности.

Бюджетная
линия
– все сочетания товаров Х
и Y,
при которых общая сумма затрат равна
доходу. Для каждой бюджетной кривой
можно найти опи- сывающее ее уравнение.

Пример.
Вернемся к предыдущему примеру с едой
и одеждой. Введем стоимость наших
товаров: P_F
= 1 у.е., P_C
= 2 у.е. Составим таблицу:

Наборы товаров (точки на графике)	F	C	Расходы на покупку
A	0	20	40
B	10	15	40
C	20	10	40
D	30	5	40
E	40	0	40

В
нашем случае бюджетная линия (ее
уравнение: F
+
2C
=
40)
будет
выглядеть так:

Рис.
14. Бюджетная
линия.

В
общем же случае уравнение бюджетной
линии записывается в виде

Для
удобства построения графика выразим
отсюда Y:

Задача.
Имеется
два продукта: Х
– «Пепси-Кола», Y
–
лимонад.
Цена лимонада P_Y
= 12 у.е. Требуется найти: цену «Пепси-Колы»
P_Х,
доход

потребителя
М
и уравнение бюджетной линии.

Решение
проведем в несколько шагов.

Шаг
1.

Определяем
доход:

у.е.

Шаг
2.

Находим
цену «Пепси-Колы»:

у.е.

Шаг
3.

Найдем
уравнение бюджетной линии:

Оптимум
потребителя
– наиболее эффективное использование
денежных средств или покупка товаров,
обладающих наибольшей полезностью. На
рис. 15 точка касания A
кривой безразличия и бюджетной линии
и есть точка оптимума потребителя.

В
этой точке потребитель расходует весь
свой доход, максимально удовлетворяя
при этом все свои потребности. У кривыхI₀
и I₂
точек оптимума нет, а полезность наборов
В
и С
меньше полезности набора А.

Условие
потребительского оптимума при порядковом
способе измерения полезности записывается
в виде формулы

где
отношение
показывает угол наклона бюджетной
линии.

Положение
бюджетной линии может меняться под
воздействием ряда факторов:

Рис.
15. Точка
потребительского оптимума.

1. Изменение
   дохода. Цена –
   потребление

2. Изменение
цен на товары. Доход – потребление

При
увеличении дохода мы начинаем больше
потреблять, однако, через не- которое
время наступает момент насыщения.

Соседние файлы в папке Лекции ЦИК

• #

  17.04.2013100 б15Readme.txt

• #
• #

  17.04.20132.04 Mб8Цены и конкуренциdoc

Задача № 1 Расчёт дохода потребителя

Индивид покупает 8 единиц товара Х и 4 единицы товара Y. Найти его доход, если известно, что цена товара Х равна 2 ден. ед., а предельная норма замены равна 0,5.

Решение:

В точке оптимума выполняется равенство:

По условию MRS = 0,5 и Р_х = 2. Следовательно, Р_у = Р_х / MRS = 2/0,5=4.
Найдём доход индивида, используя бюджетное ограничение:

где I – доход,
Р_х и Р_у – цены двух рассматриваемых благ,
Х и Y – их количества.

Задача № 2. Расчёт общей и предельной полезности

Общая TU и предельная MU полезности товаров А, В, С представлены в таблице. Заполнить пропуски в таблице.

Решение:

Найдём общую полезность товара А.

Общая полезность N-й единицы товара = Предельная полезность N-й единицы товара + Общая полезность N-1-й единицы товара

TU(1)=MU(1)=20

TU(2)=MU(2) + TU(1)=15 + 20=35

TU(3)=MU(3) + TU(2)=12 + 35=47

TU(4)=MU(4) + TU(3)=8 + 47=55

TU(5)=MU(5) + TU(4)=6 + 55=61

Найдём предельную полезность товара В.

Предельная полезность N-й единицы товара=Общая полезность N-й единицы товара — Общая полезность N-1-й единицы товара

MU(1)=TU(1)=19

MU(2)= TU(2) — TU(1)=30 – 19 = 11

MU(3)= TU(3) — TU(2)=38 – 30 = 8

MU(4)= TU(4) — TU(3)=43 – 38=5

MU(5)= TU(5) — TU(4)=45 – 43=2

Найдём общую и предельную полезности товара С.

MU(1)=TU(1)=22

TU(2)=MU(2) + TU(1)=10 + 22=32

MU(3)= TU(3) — TU(2)=39 – 32=7

MU(4)= TU(4) — TU(3)=44 – 39=5

TU(5)=MU(5) + TU(4)=3 + 44=47
Заполним пропуски в таблице:

Задача № 3. Расчёт общей полезности

Предельная полезность первой единицы блага равна 420. При потреблении первых трёх единиц блага предельная полезность каждой последующей единицы уменьшается в 2 раза; предельная полезность каждой последующей единицы блага при дальнейшем потреблении падает в 4 раза. Найти общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

Решение:

Распишем условие задачи следующим образом:

MU(1) = 420,

MU(2) = 420/2=210,

MU(3) = 210/2=105,

MU(4) = 105/4=26,25,

MU(5) = 26,25/4=6,5625,

MU(6) = 6,5625/4=1,640625,

MU(7) = 1,640625/4=0,410156,

MU(8) = 0,410156/4=0,102539.

Найдём общую полезность блага при условии, что его потребление составляет 8 единиц.

TU(8) = MU(8) + TU(7) = MU(8) + MU(7) + TU(6) =…=

= MU(8) + MU(7) + MU(6) + MU(5) + MU(4) + MU(3) + MU(2) + MU(1) =

= 420 + 210 + 105 + 26,25 + 6,5625 + 1,640625 + 0,410156 + 0,102539 = 769,96582

Задача № 4. Расчёт оптимального объёма потребления двух благ

В таблице представлены следующие данные о предельной полезности двух благ.

Количество, кг	Конфеты	Виноград
1	60	150
2	40	120
3	20	90

Цена 1 кг конфет 80 ден. ед., а цена 1 кг винограда 160 ден. ед.
Бюджет потребителя составляет 400 ден. ед.

Определить оптимальный объём потребления конфет и винограда.

Решение:

Оптимальный объём потребления конфет и винограда достигается тогда, когда отношение предельных полезностей равно отношению цен этих благ.

Среди перечисленных вариантов таким свойством обладает комбинация 2 кг винограда (MUв=120) и 1 кг конфет (MUк=60).

Предельная полезность винограда, разделённая на предельную полезность конфет равна отношению их цен:

Проверим соответствие этой комбинации бюджетному ограничению:

80*1 + 160*2 = 400

Бюджет полностью израсходован.

Задача № 5. Расчёт цен товаров Х и Y

Потребитель покупает 4 единицы блага Х и 9 единиц блага Y, имея доход 100 ден. ед. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены товара Y товаром X (MRSxy) равна 4.

Решение:

Предельную норму замены товара Y товаром X(MRS_xy) можно определить как отношение цены товара Х к цене товара Y:

Запишем бюджетное ограничение:

100 = 4*P_x + 9*P_y,

где

Px, Py – цены благ Х и Y соответственно.

Составим и решим систему уравнений:

Задача № 6. Расчёт оптимального объёма потребления

У студента Иванова в холодильнике сыр и колбаса нарезаны для удобства кусочками по 100 г. Общая полезность их потребления представлена в таблице. Определите количество съеденного им в день, если известно, что он в целом употребляет 700 г названных продуктов и при этом добивается максимума полезности.

Количество, г	Колбаса (общая польза)	Сыр (общая польза)
100	2000	1900
200	3900	3750
300	5700	5550
400	7400	7300
500	8000	9000
600	9500	10650

Решение:

Рассчитаем предельную полезность от потребления этих двух продуктов.

Предельная полезность в дискретном случае определяется по формуле:

где

ΔTU – приращение общей полезности (TU₁ – TU₀),

ΔQ – приращение количества потребляемого блага (Q₁ – Q₀).

Вычисления занесём в таблицу.

Количество, г	Колбаса (общая польза)	Сыр (общая польза)	Предельная полезность колбасы	Предельная полезность сыра
100	2000	1900	2000	1900
200	3900	3750	1900	1850
300	5700	5550	1800	1800
400	7400	7300	1700	1750
500	9000	9000	1600	1700
600	10500	10650	1500	1650

Известно, что в целом студент употребляет 700 г колбасы и сыра, то есть всего 7 кусочков, и при этом добивается максимума полезности.

Решение об оптимальном объёме потребления можно представить в виде таблицы, где на каждом шаге будем сравнивать предельную полезность каждого кусочка колбасы и сыра и выбирать наибольшую величину предельной полезности, что в сумме даст их максимум.

Итак, на первом шаге наибольшая предельная полезность, равная 2000 будет получена от потребления 1 кусочка/100 грамм колбасы. Дальше студенту без разницы, что употребить, так как первый кусочек сыра и второй кусочек колбасы приносят одинаковую полезность – 1900. Пусть, например, это будет сначала сыр, а затем колбаса. Но вот на четвёртом шаге наибольшую полезность принесёт  второй кусочек сыра. Предельная полезность, полученная от его потребления 1850 больше, чем 1800 – предельная полезность третьего куска колбасы или  третьего кусочка сыра. На пятом шаге студенту опять всё равно, что съесть первым, третий кусочек сыра или третий кусочек колбасы, так  как полезность от дополнительного потребления этих продуктов одинакова. И наконец, седьмым кусочком должен стать сыр, поскольку предельная полезность четвёртого кусочка сыра (1750), больше чем предельная полезность четвёртого кусочка колбасы (1700).

Общая полезность от потребления 3 кусочков колбасы и 4 кусочков сыра  будет максимальной и составит:

TU = 2000 + 1900 + 1900 + 1850 + 1800 + 1800 + 1750 = 13 000

Таким образом, студент Иванов получит максимум полезности при употреблении 3 кусочков (300 грамм) колбасы и 4 кусочков (400 грамм) сыра.

Задача № 7. Расчёт отимального объёма потребления

Определите оптимальный для потребителя объем блага Q, если известно, что функция полезности индивида от обладания этим благом имеет вид:

1) U(Q)= 1 – 5 × Q²

2) U(Q)= 5 + Q – Q²

3) U(Q) = Q² – 5 × Q³

Как будут выглядеть функции предельной полезности? Проиллюстрируйте ответ.

Решение:

Оптимальный для потребителя объем блага Q будет определяться в точке, где потребитель получит максимум удовлетворения полезности. Задача сводится к нахождению экстремума функции полезности. Найдём производную функции полезности (предельную полезность MU) и приравняем её к нулю.

1) MU = –10 × Q = 0, следовательно, Q = 0;

2) MU = 1 – 2 × Q = 0, следовательно, Q = 1/2;

3) MU = 2 × Q – 15 × Q² = 0, следовательно, Q = 0; Q = 2/15.

Задача № 8. Расчёт цен товаров X и Y

Индивид покупает 4 единицы блага X и 9 единиц блага Y, имея доход равный 100 денежным единицам. Найти цены товаров X и Y, если известно, что предельная норма замены X на Y равна 4.

Решение:

По условию задачи предельная норма замены благом Y блага X () равно 4. Это значит, что количество блага Х должно быть сокращено на 4 единицы в обмен на увеличение количества блага Y на единицу, при неизменном уровне удовлетворения потребителя.

Равновесие потребителя может быть представлено математически как:

— это предельная норма замещения, равная отношению цен благ Y и X. Данное условие оптимума потребителя следует понимать так. Соотношение, в котором потребитель при данных ценах способен замещать один товар другим, равно соотношению, в котором потребитель согласен замещать один товар другим, не изменяя уровень своего удовлетворения.

Отсюда

Далее воспользуемся формулой бюджетного ограничения:

где I – доход или бюджет потребителя.

100 = 4 × P_X + 9 × P_Y

100 = 4 × P_X + 9 × 4 × P_X

100 = 40 × P_X

P_X = 2,5

P_Y = 4 × 2,5 = 10.

Ответ: P_X = 2,5; P_Y = 10.

Задача № 9. Определение рационального выбора потребителя

Потребитель имеет функцию полезности:

и может на свой доход равный 100 единицам приобретать только эти два товара по ценам:

P_x = 2

P_y = 5

Определить рациональный выбор потребителя. Какой максимальный уровень полезности достижим?

Решение:

Рациональный выбор потребителя осуществляется в соответствии со вторым законом Госсена:

Предельная полезность товара х будет равна производной функции общей полезности по аргументу х:

Аналогично находим предельную полезность товара y:

Далее воспользуемся бюджетным ограничением:

Из условия задачи известно, что:

I = 100

P_x = 2

P_y = 5

Составим и решим систему уравнений:

При х = 25 и у = 10 общая полезность достигнет максимума:

Задача № 10. Расчёт оптимального объёма потребления

У Оксаны есть 30 рублей. Она хочет купить шоколадки «Шок» ценой 3 р. Полезность от этой покупки она оценивает функцией:

х – приобретённое количество шоколадок,

y – оставшаяся часть дохода.

Сколько купит шоколадок «Шок» рациональная Оксана?

Решение:

Рациональное поведение потребителя можно определить, как стремление максимизировать излишек потребителя. Потребитель будет покупать дополнительные единицы до тех пор, пока они приносят дополнительный избыток, т.е. пока цена, которую потребитель готов уплатить за единицу блага, превосходит реальную цену:

MU > P

Однако каждая последующая единица потребления обычно приносит уменьшающийся прирост полезности, т.е. при покупке благ «одно за другим» рано или поздно предельная полезность какого-то блага сравняется с его ценой:

MU = P

После того как предельная полезность сравняется с ценой, потребитель прекратит дальнейшие покупки: оптимальный объём потребления достигнут.

Найдём предельную полезность MU, как производную функции общей полезности по аргументу х:

Оптимальный объём потребления будет достигнут при МU = P:

Таким образом, рациональная Оксана купит 4 шоколадки, потратив на эту покупку 12 рублей.