Как найти ординату точки касания касательной

егэ — Как найти ординату касательной?

Чтобы
правильно и рационально решать задачи, связанные
с уравнением касательной, нужно четко понимать, что такое
касательная, владеть техникой составления
уравнения касательной к графику функции и
представлять себе, для решения каких задач (в том
числе и задач с параметрами) можно использовать метод касательной.

Опр.
1. Касательной к графику функции у
= f(x)
называется
предельное положение секущей MN
при

(рис. 1).

Рис. 1

Касательная к кривой может
иметь с ней несколько общих точек или пересекать ее. Можно дать и
другое определение касательной к кривой.

Опр.
2. Касательной к графику функции у
= f(x) в
точке A₀(x₀;
f(x₀))
называется
прямая, проходящая через точку A₀,
угловой
коэффициент которой
равен значению производной функции у
=f(x)
в точке
с абсциссой x₀.

Уравнение
касательной
к кривой у =
f(x)
в точке с
абсциссой х₀
имеет вид:
.

Между
понятием касательной и понятие производной имеется тесная
связь. Геометрический
смысл производной можно выразить так: если функция
у = f(x)
в точке
х₀
имеет
производную, то в точке с этой абсциссой определена касательная к
графику функции
,
причем ее
угловой коэффициент
равен
.
Вывод: если в точке х₀
есть производная
функции
,
то в точке с
этой абсциссой есть касательная к графику
функции

и наоборот; если
в точке х₀
нет производной
функции
,
то в точке с
этой абсциссой нет касательной к графику функции

и наоборот.

Укажем
случаи, когда
функция не имеет в точке касательной, и, следовательно, не
имеет и производной. Таких случаев три: угловая точка, точка
возврата, узловая точка
(рис. 2 а, б, в). Особо
отметим случай, когда в точке функция имеет бесконечную
производную (рис. 2 г).

угловая точка
точка возврата узловая
точка

а) б) в) г)

Рис. 2

Рассмотрим решение
некоторых задач.

Задачи,
связанные с определением того, является ли прямая
у = kx
+ b
касательной к графику функции
у = f(x).
Можно указать два способа решения таких задач.

1. Находим общие
   точки графиков, т. е. решаем уравнение f(x)
   = kx
   + b,
   а затем для каждого из его решений
   вычисляем
   .
   В тех случаях, когда
   
   = k,
   имеет место касание, в других —
   пересечение.

2. Находим корни
   уравнения
   
   = k
   и для каждого из них проверяем, выполняется ли
   равенство f(x)
   = kx
   + b.
   При его выполнении получаем абсциссы точек
   касания.

Обобщая
оба способа, заметим, что для того чтобы прямая у
= kx
+ b
была касательной к графику функции
у = f(x),
необходимо и достаточно существование хотя
бы одного числа х₀,
для которого выполняется система

1. При каких
   значениях b
   прямая у = 3х +b
   является касательной к графику функции у
   =?

Решение.
Записав условие касания

получим

Ответ:
_.

1. При каких
   значениях а прямая
   у=ах+2
   является касательной к графику функции
   

Указание.

Ответ:
а = e^-3

1. При каких
   значениях а прямая
   
   является касательной к графику функции
   

Указание.

Ответ:
а = 7 или а =
-1.

1. Является ли
   прямая
   
   касательной к графику функции
   ?
   Если является, то найти координаты точки касания.

Решение.
Пусть
.
Из условия следует, что должны выполняться равенство
,
где
—
возможная абсцисса точки касания. Имеем:

Если теперь
составить уравнение касательной к графику заданной функции в каждой
из двух найденных точек, то окажется, что в точке

как раз и получится
.
Значит, точка касания имеет координаты (1;-1).

1. К графику
   функции
   проведена
   касательная, параллельная прямой
   .
   Найти ординату точки касания.

Решение.
.
Абсцисса интересующей нас точки касания удовлетворяет уравнению
.
Имеем:

Таким образом,
.
Значит,
—
абсцисса точки касания. Чтобы найти ординату точки касания
преобразуем выражение, задающее функцию:

Ответ: 1.

1. Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   параллельных прямой
   .

Решение.
Так как касательная должна быть параллельна прямой
,
то ее угловой коэффициент, равный у'(х₀),
где х₀
— абсцисса точки касания, совпадает с
угловым коэффициентом данной прямой, т. е.
.
Отсюда

или
.
Далее составляем уравнение касательной для каждой точки.

Ответ:
,.

1. Найти все
   значения
   ,
   при каждом из которых касательная к графикам функций
   
   и
   в
   точках с абсциссой
   
   параллельны.

Решение.
Известно, что тангенс угла наклона касательной к графику функций

в точке с абсциссой

равен
.
Следовательно, все искомые значения

будут корнями уравнения
,
откуда
.
Используя формулу разности синусов углов, будем иметь
.
Решая полученное уравнение, получаем

1. Найти
   расстояние между касательными к графику функции
   ,
   расположенными параллельно оси
   .

Решение.
Найдем критические точки заданной функции:

Так как,
производная в точках

и

равна нулю, то касательные, проведенные к кривой в точках с этими
абсциссами, параллельны оси
.
Найдем значения функций в этих точках.

Итак,
расстояние d
между касательными, параллельными оси
,
равно

С составлением
уравнения касательной, параллельной данной прямой, связана задача о
нахождении кратчайшего расстояния между графиком
некоторой функции f(x)
и прямой
.

Во многих
случаях удается найти касательную к графику
,
параллельную данной прямой

и делящую плоскость на две части, в одной из
которых расположен график функции, а в другой — заданная
прямая. Тогда кратчайшим расстоянием между графиком функции и прямой

является расстояние от точки М(х₀;
у₀),
в которой проведена параллельная касательная,
до заданной прямой у =
kx
+ b;
это расстояние можно вычислить по формуле

1. Найти
   кратчайшее расстояние между параболой
   
   и прямой
   

Решение.
Убедившись, что графики не имеют общих
точек (уравнение

не имеет решений), запишем
уравнение такой касательной к графику функции
,
которая параллельна прямой

Уравнение касательной имеет
вид

касание происходит в точке

Прямая у =
х
– 2 и парабола у
= х²
расположены по разные
стороны от касательной. Таким образом, кратчайшее
расстояние между параболой и прямой равно
расстоянию от точки М до
прямой
.

Ответ:

Довольно
сложной является задача составления уравнения всех касательных к
графику функции у = f(x),
проходящих через заданную точку М(х₀;
у₀),
вообще говоря, не лежащую на графике.
Приведем алгоритм решения этой задачи.

1. Составляем
уравнение касательной к графику функции
у = f(x)
в произвольной
точке графика с абсциссой
t:

2. Решаем
относительно t
уравнение

и для каждого его
решения t
записываем
соответствующую
касательную в виде
.

1. Написать
   уравнение всех касательных к графику функции
   ,
   проходящих через точку
   М(2; -2).

Указание.
Уравнение касательной в точке с абсциссой t
имеет вид
.
Так как эта
касательная проходит через точку
(2; -2), то
,
откуда
.

Ответ:
.

1. Найти
   площадь треугольника, образованного касательными, проведенными
   к графику функции
   
   через точку
   
   и секущей,
   проходящей через точки касания.

Указание.
Уравнение

дает два
решения: t₁
= 1, t₂
= 4. Таким
образом, точки K₁
(1;1) и
K₂(4;2)
являются точками касания.

Ответ:
0,25.

Говорят, что
прямая

является общей касательной графиков функции


и
,
если она касается как одного, так и другого
графиков (но совершенно не обязательно в одной и той же точке).
Например, прямая

является общей касательной графиков функций

(в точке М(2; 5) и

(в точке K(0,5;
-1)). Заметим, что графики функций
и

имеют в точке их пересечения М(х₀;
у₀)
общую невертикальную касательную тогда и
только тогда, когда
.

1. Доказать,
   что параболы
   
   и
   имеют
   в их общей точке общую касательную. Найти
   уравнение этой общей касательной. Решение.
   Уравнение
   имеет
   единственный корень х=2,
   т. е. параболы имеют единственную общую точку
   М(2;0). Убедимся, что значения производных для
   обеих функций в точке х =
   2 равны; действительно,
   и
   .
   Далее составляем уравнение касательной.

Ответ:.

В завершении рассмотрим
решение еще нескольких задач на касательную с параметром.

1. При
   каких значениях параметра
   касательная
   к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку (2;3)?

Решение.
Составим уравнение касательной к графику заданной функции в точке
:

Так как эта прямая проходит через точку (2;3), то имеет место
равенство
,
откуда находим:
.

1. Может ли
   касательная к кривой
   
   в какой-либо ее точке составлять острый угол с положительным
   направлением оси
   ?

Решение.
Найдем производную функции
.
В любой точке, в которой функция определена, производная
отрицательна. Но производная есть тангенс угла наклона касательной, а
так как он отрицателен, то угол тупой.

Ответ: Не
может.

1. Найти
   значение параметра
   ,
   при котором касательная к графику функции
   
   в точке
   
   проходит через точку М(1;7).

Решение.
Пусть
тогда
.
Составим уравнение касательной:

По условию эта
касательная проходит через точку М(1;7), значит,
,
откуда получаем:

1. При каких
   значениях параметра
   
   прямая
   
   является касательной к графику функции
   ?

Решение.
Из условия следует, что должно выполнятся равенство
где

абсцисса
точки касания. Значит,
и

связаны между собой равенством

(1). Составим уравнение касательной к графику заданной функции в
точке

Из условия
следует, что должно выполняться равенство
.
Решив это уравнение, получим
.
Тогда из (1) получаем, что
.

1. При каком
   значении
   
   прямая
   
   является касательной у графику
   ?

Решение.
Так как прямая

является касательной к графику функции
,
то в точке касания угловой коэффициент касательной равен 3. Но
угловой коэффициент касательной равен значению производной функции в
этой точке, то есть
,
откуда
,
следовательно,
—
абсцисса точки касания. Найдем теперь
из
условия равенства значений функций
и

при
.
Имеем
,
откуда
.

1. При каких
   значениях параметра а касательные к графику функции
   ,
   проведенные в точках его пересечения с осью оx,
   образуют между собой угол 60^о?

Решение.
В этой задаче, как и в предыдущих, речь идет о касательных к графику
функции. Составлять уравнение касательной не надо, достаточно
использовать геометрический смысл производной, то есть угловые
коэффициенты касательных. Графиком данной функции является парабола с
ветвями, направленными вверх, пересекающая ось оx
в двух точках (случай а=0
нас не устраивает):

и
учитываем,
что х₂>0
(рис. 3)

Рис. 3

Касательные АМ
и ВМ пересекаются под углом 60^о
в точке М, лежащей на оси параболы, причем возможны два случая: либо
,
либо смежный угол равен 60^о.
в первом случае угол между касательной АО и осью х равен 120^о,
следовательно, угол коэффициента касательной равен tg120^o,
то есть равен

Далее имеем:
.
Таким образом, получаем, что
,
то
.
Во втором случае
,
поэтому угол между касательной АО и остью ох
равен 150^о.
Значит, угловой коэффициент касательной равен tg150^o
, то есть он равен
.
Таким образом, получаем, что
,
то есть

Ответ:
.

Литература:

1. Далингер,
   В.А. Начала математического анализа в задачах [Текст]: учебное
   пособие / В.А. Далингер. – Омск: Изд-во ГОУ ОМГПУ, 2009. –
   312 с.

2. Звавич, Л.И. Алгебра и
   начала анализа. 8-11 кл. [Текст]: пособие для школ и классов с
   углубл. изучением математики / Л. И. Звавич, Л.Я. Шляпочник, М.В.
   Чинкина.– М.: Дрофа, 1999. – 352 с.

Задания

Версия для печати и копирования в MS Word

забыли пароль? Помощь сайту

Вопросы » Исследование функций,графики, minmax,производные » найдите ординату точки касания прямой L и данного графика. найдите ординату точки касания прямой L и данного графика. создана: 02.04.2012 в 23:37 ………………………………………… Marishaa : прямая у=30х-2 параллельна прямой L которая является касательной к графику функции у=х^6+36х+9. найдите ординату точки касания прямой L и данного графика.  ( +746 )  02.04.2012 19:43 Комментировать Верное решение (баллы:+1) т.к. прямая у=30х-2 параллельна прямой L, то угловой коэффициент прямой L равен 30, значит значение производной функции у=х6 +36х+9 равно 30 у´=6х5 +36 6х5 +36=30 6х5 =-6 х5 =-1 х=-1 у(-1)=1-36+9=-26 Ответ:-26 Хочу написать ответ