Как найти орт радиус вектора

Содержание:

  • Формула
  • Примеры нахождения орта вектора

Формула

Чтобы найти орт $bar{e}$ вектора
$bar{a}$, нужно вектор
$bar{a}$ поделить на его
длину:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}$$

Если вектор задан на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}right)$$

Если вектор задан в пространстве и имеет координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то его орт вычисляется по формуле:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$
$$=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}right)$$

Примеры нахождения орта вектора

Пример

Задание. На плоскости задан вектор
$bar{a}=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.

Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:

$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$

Подставляя заданные координаты, получим:

$$bar{e}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{4+4}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{8}}=$$
$$=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{2 sqrt{2}}=-frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{j}$$

Таким образом, искомый орт вектора $bar{a}$
имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$

Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$

236

проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности

Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!

Пример

Задание. Даны точки
$A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора
$overline{A B}$

Решение. Найдем координаты вектора
$overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки
$B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):

$$overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$

Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой

$$bar{e}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$

Подставим в неё координаты вектора $overline{A B}$, будем иметь:

$$bar{e}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{1+1+4}}=$$
$$=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{6}}=-frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{j}-frac{2}{sqrt{6}} cdot bar{k}$$

Таким образом, орт вектора $overline{A B}$ имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$

Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$

Читать дальше: как найти вектор по точкам.

Источник

Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.

Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).

Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.

Как найти орт вектор

Как найти орт вектора

Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.Вам понадобится

Для начала необходимо вычислить длину вектора. Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.

Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a’ будет являться единичным для вектора а.

Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a’. Длина вектора a’ равна: a’ = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a’ равна единице, значит орт найден верно.

Единичный вектор

Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.

i — единичный вектор оси абсцисс;

j — единичный вектор оси ординат;

k — единичный вектор оси аппликат.

i⊥j⊥k, i=j=k=1

В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:

i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)

Единичные векторы являются некомпланарными.

Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.

a=xi+уj+zk

где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.

Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.

Единичный вектор определяется по формуле:

Дан вектор а = (1; 2; -2)

Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а

Находим длину вектора a

затем вычисляем единичный вектор e

Векторное произведения единичных векторов

Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.

На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов

Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.

Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).

iхj=k

Пример 2
Найти векторное произведение jхi.

Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k

Насколько публикация полезна?

Нажмите на звезду, чтобы оценить!

Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4

Как найти орт вектора

Формула

Примеры нахождения орта вектора

Задание. На плоскости задан вектор $bar=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.

Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:

Подставляя заданные координаты, получим:

Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $overline$

Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой

Подставим в неё координаты вектора $overline$, будем иметь:

источники:

Источник

Орт:

  • это вектор,
  • он лежит на оси,
  • направлен туда же, куда направлена ось,
  • его длина равна единице.

На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.

Орты располагаются на осях координат, сонаправлены с осями, длина каждого орта равна единице

Рис. 1. Единичные векторы – орты, располагаются на осях координат

Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:

  • Орт ( vec{i} ) направлен вдоль оси Ox;
  • Орт ( vec{j} ) направлен вдоль оси Oy;
  • Орт ( vec{k} )  направлен вдоль оси Oz;

Орты обладают единичной длиной:

[ |vec{i}| = |vec{j}| = |vec{k}| = 1]

Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.

Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:

  • Орты ( vec{i} ) и ( vec{j} ) лежат в плоскости xOy;
  • Орты ( vec{i} ) и ( vec{k} ) лежат в плоскости xOz;
  • Орты ( vec{j} ) и ( vec{k} ) лежат в плоскости yOz;

Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).

Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.

Пример:

Сравните два способа обозначения вектора

[ vec{a} = left{ -2; 7; -5 right} ]

и

[vec{a} = -2 cdot vec{i} + 7cdot vec{j} – 5 cdot vec{k} ]

Источник

§ 1. Векторы. Основные понятия

1.1. Геометрические векторы. Линейные операции

рис
Вектор –
отрезок с указанным на нем направлением.
Обозначается
или.
Дина вектора (модуль) обозначаетсяили.

Два вектора равны,
если они имеют одинаковые длину и
направление (т.е. при параллельном
переносе вектор не меняется).

Вектор единичной
длины называется ортом.
Очевидно, на плоскости и в пространстве
существует бесконечно ортов.

Мы изучим следующие
операции над векторами:

линейные операции
(сложение, вычитание, умножение вектора
на число); скалярное произведение;
векторное произведение; смешанное
произведение векторов.

Линейные операции
над векторами

Пусть
начало вектора
совпадает с концом вектора.Суммой
векторов
ибудем называть вектор, соединяющий
начало векторас концом вектора.

Разностью
векторов
иназывается вектортакой, что.

Правило
параллелограмма.
Сумма векторов
и– диагональ построенного на них
параллелограмма, идущая из их общего
начала. Разность–
вторая диагональ, идущая к уменьшаемому

При
умножении
вектора

—на положительное числоего длина увеличивается враз, направление не меняется;

— на отрицательное
число
его длинаувеличивается
в

раз, направление меняется на
противоположное;

— на ноль – получаем
нуль-вектор (направление не определено).

Свойства линейных
операций

1.2. Проекция вектора на ось

Числовая
ось – прямая
с указанным на ней направлением, началом
отсчета и единицей масштаба.

Проекция точки
M
на
числовую ось – основание перпендикуляра
(точка
),
опущенного на эту ось.

Проекцией
вектора на
числовую ось называется число

,

где
– координаты начала и конца вектора
соответственно.

Свойства проекции

§2. Координатное представление вектора

2.1. Разложение вектора по декартову базису. Координаты вектора

Декартовой
системой координат
(ДСК)
в пространстве называется тройка
попарно перпендикулярных числовых
осей с общим началом и одинаковой
единицей масштаба. Обозначим
–
орты координатных осей (координатные
орты).

Декартовым
базисом в
пространстве будем называть тройку
попарно перпендикулярных ортов.
Задание ДСК равносильно заданию
декартова базиса

рис

Пусть
в пространстве задана ДСК и произвольный
вектор,
причем его начало совпадает с началом
координат.

–проекции вектора
на оси координат.

Из рисунка имеем:

или


Таким
образом доказано: если в пространстве
задан декартов базис, то любой вектор
может быть представлен в виде суммы
,
где
–
проекции вектора на координатные оси.
Формула

называется
разложением
вектора по базису
,
числа–координаты
вектора
в данном базисе.

Замечание.
На плоскости справедливо представление
вектора в виде

или
.

Пример
2.1. Найти
координаты вектора

приведенного
на рисунке.

Решение.

I
способ. Найдем проекции вектора на
координатные оси:
.
Следовательно,.

II
способ. Параллельным переносом вектора
совмести его начало с началом координат.
Нетрудно убедиться, что согласно
правилу параллелограмма, вектор
равен сумме векторов.

Теорема. Линейные
операции над векторами сводятся к таким
же операциям над их одноименными
координатами:

Доказательство.
Пусть
–
координаты векторав данном базисе. Тогда:

Остальное ()
доказывается аналогично.

В частности,
.

Правило «конец
— начало»

рисРадиус-вектором
точки
называется
вектор, идущий из начала координат в
данную точку:

.

Координаты
точки будем называть координаты ее
радиус-вектора.

Справедливо
утверждение

Доказательство.

Пример
2.2. Даны
координаты концов отрезка
:и некоторое число.

На отрезке
найти: координаты точки
такой, что
.

Решение.

Обозначим координаты
искомой точки
.
Тогда

Таким образом
.

В частном случае,
при
(деление отрезка пополам), имеем

.

Модуль вектора.
Направляющие косинусы. Орт вектора

Зная координаты
вектора в ДСК

,

можно найти его
модуль как длину диагонали прямоугольного
параллелепипеда:

.

Пусть углы
вектора с осями
соответственно равны.

По
свойству проекции
имеем:

,

или

Из приведенных
выражений нетрудно получить:

.

Обозначим орт
вектора
(вектор, имеющий то же направление и
единичную длину) через.
Очевидно

или
.

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
  • #
Источник

Как найти орт вектора

Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.

Как найти орт вектора

Вам понадобится

  • Знания по геометрии.

Инструкция

Для начала необходимо вычислить длину вектора. Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.

Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a’ будет являться единичным для вектора а.

Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a’. Длина вектора a’ равна: a’ = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a’ равна единице, значит орт найден верно.

Видео по теме

Обратите внимание

Орт нулевого вектора не существует, так как длина нулевого вектора равна нулю.

Полезный совет

Для того, чтобы понять единичный ли вектор, необходимо найти его длину. Если она равна единице, то вектор единичный.

Войти на сайт

или

Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?

This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.

Источник

Понравилась статья? Поделить с друзьями:
  • Как найти диаметр цистерны
  • Как найти профессиональных сотрудников
  • Как найти людей на подселение
  • Как найти ссылку дискорд сервера
  • Как исправить аденоидное лицо у ребенка 11 лет