Содержание:
- Формула
- Примеры нахождения орта вектора
Формула
Чтобы найти орт $bar{e}$ вектора
$bar{a}$, нужно вектор
$bar{a}$ поделить на его
длину:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}$$
Если вектор задан на плоскости своими координатами
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y}right)$, то его орт вычисляется по формуле:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}right)$$
Если вектор задан в пространстве и имеет координаты
$bar{a}=left(a_{x} ; a_{y} ; a_{z}right)$, то его орт вычисляется по формуле:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}=$$
$$=left(frac{a_{x}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{y}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}} ; frac{a_{z}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}right)$$
Примеры нахождения орта вектора
Пример
Задание. На плоскости задан вектор
$bar{a}=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
$$bar{e}=frac{bar{a}}{|bar{a}|}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}}}$$
Подставляя заданные координаты, получим:
$$bar{e}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{(-2)^{2}+2^{2}}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{4+4}}=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{sqrt{8}}=$$
$$=frac{-2 cdot bar{i}+2 cdot bar{j}}{2 sqrt{2}}=-frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{2}} cdot bar{j}$$
Таким образом, искомый орт вектора $bar{a}$
имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$
Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{2}} ; frac{1}{sqrt{2}}right)$
236
проверенных автора готовы помочь в написании работы любой сложности
Мы помогли уже 4 430 ученикам и студентам сдать работы от решения задач до дипломных на отлично! Узнай стоимость своей работы за 15 минут!
Пример
Задание. Даны точки
$A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора
$overline{A B}$
Решение. Найдем координаты вектора
$overline{A B}$, для этого из координат конца вектора (точки
$B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки
$A$ ):
$$overline{A B}=(2-3 ; 0-(-1) ; 2-4)=(-1 ; 1 ;-2)$$
Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
$$bar{e}=frac{a_{x} cdot bar{i}+a_{y} cdot bar{j}+a_{z} cdot bar{k}}{sqrt{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}}}$$
Подставим в неё координаты вектора $overline{A B}$, будем иметь:
$$bar{e}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{(-1)^{2}+1^{2}+(-2)^{2}}}=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{1+1+4}}=$$
$$=frac{-1 cdot bar{i}+1 cdot bar{j}-2 cdot bar{k}}{sqrt{6}}=-frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{i}+frac{1}{sqrt{6}} cdot bar{j}-frac{2}{sqrt{6}} cdot bar{k}$$
Таким образом, орт вектора $overline{A B}$ имеет координаты $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$
Ответ. $bar{e}=left(-frac{1}{sqrt{6}} ; frac{1}{sqrt{6}} ;-frac{2}{sqrt{6}}right)$
Читать дальше: как найти вектор по точкам.
Единичный вектор
Единичный вектор (орты координатных осей) — это вектор, длина которого равна единице.
i — единичный вектор оси абсцисс;
j — единичный вектор оси ординат;
k — единичный вектор оси аппликат.
i⊥j⊥k, i=j=k=1
В прямоугольной системе координат в пространстве координаты векторов равны:
i(1;0;0), j(0;1;0), k(0;0;1)
Единичные векторы являются некомпланарными.
Любой вектор можно разложить в виде вектора по ортам координатных осей, формула ниже.
a=xi+уj+zk
где x, y, z — координаты вектора проекции на соответствующие координатные оси.
Эта формула называется разложением вектора по ортам координатных осей.
Единичный вектор определяется по формуле:
Дан вектор а = (1; 2; -2)
Требуется найти длину (модуль) и единичный вектор e направления вектора а
Находим длину вектора a
затем вычисляем единичный вектор e
Векторное произведения единичных векторов
Если направление кратчайшего пути от первого вектора ко второму вектору совпадает с направлением стрелки, то произведение равно третьему вектору, а если не совпадает, то третий вектор берется со знаком «минус» . Смотрите схему 1.
На основании схемы получаем таблицу векторного произведения единичных векторов
Пример 1
Найти векторное произведение iхj, где i, j — единичные векторы (орты) правой системы координат.
Решение
1) Так как длины основных векторов равны единице масштаба, то площадь параллелограмма MOKT численно равна единице. Значит, модуль векторного произведения равен единице.
2) Так как перпендикуляр к плоскости MOKT есть ось OZ, то искомое векторное произведение есть вектор, коллинеарный с вектором k; а так как оба они имеют модуль 1, то искомое векторное произведение равно либо k, либо -k.
3) Из этих двух возможных векторов надо выбрать первый, так как векторы i, j, k образуют правую систему (а векторы i, j, -k — левую).
iхj=k
Пример 2
Найти векторное произведение jхi.
Решение
Как в примере 1, заключаем, что вектор jхi равен либо k, либо —k. Но теперь надо выбрать -k, ибо векторы j, i, —k образуют правую систему (а векторы i, j, —k -левую).
jхi = −k
Насколько публикация полезна?
Нажмите на звезду, чтобы оценить!
Средняя оценка 3.5 / 5. Количество оценок: 4
Что такое орты
Орт:
- это вектор,
- он лежит на оси,
- направлен туда же, куда направлена ось,
- его длина равна единице.
На рисунке 1 изображены орты для двумерного а) и трехмерного б) случаев.
Орты сонаправлены с осями, на которых они лежат:
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Ox;
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Oy;
- Орт ( vec ) направлен вдоль оси Oz;
Орты обладают единичной длиной:
Все три орта взаимно перпендикулярны. Перпендикулярные векторы часто называют ортогональными.
Любые два орта из трех, лежат в одной плоскости:
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости xOy;
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости xOz;
- Орты ( vec ) и ( vec ) лежат в плоскости yOz;
Векторы, лежащие в одной плоскости, называют компланарными. Об этом подробно написано «здесь» (откроется в новой вкладке).
Координаты вектора можно указать двумя способами. Либо, перечислив эти координаты в скобках, либо, с помощью разложения вектора по ортам.
Как найти орт вектора
Формула
Примеры нахождения орта вектора
Задание. На плоскости задан вектор $bar=(-2 ; 2)$ . Найти его орт.
Решение. Для нахождения орта заданного вектора воспользуемся формулой:
Подставляя заданные координаты, получим:
Задание. Даны точки $A(3 ;-1 ; 4)$ и $B(2 ; 0 ; 2)$ . Найти орт вектора $overline$
Решение. Найдем координаты вектора $overline$, для этого из координат конца вектора (точки $B$ ) вычтем соответствующие координаты начала (точки $A$ ):
Для нахождения орта полученного вектора воспользуемся формулой
Подставим в неё координаты вектора $overline$, будем иметь:
Таким образом, орт вектора $overline$ имеет координаты $bar=left(-frac<1><sqrt<6>> ; frac<1><sqrt<6>> ;-frac<2><sqrt<6>>right)$
http://www.webmath.ru/poleznoe/formules_13_15.php
Вектор – это направленный прямолинейный отрезок, то есть отрезок, имеющий
определенную длину и определенное направление. Пусть точка А – начало вектора, а точка B – его конец, тогда вектор обозначается символом или . Вектор называется противоположным
вектору и может быть
обозначен .
Сформулируем ряд базовых определений.
Длиной
или модулем
вектора называется
длина отрезка и обозначается . Вектор нулевой длины (его суть — точка) называется нулевым и направления
не имеет. Вектор единичной длины, называется единичным. Единичный вектор,
направление которого совпадает с направлением вектора , называется ортом вектора .
Векторы
называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на
параллельных прямых, записывают. Коллинеарные векторы могут иметь совпадающие или
противоположные направления. Нулевой вектор считают коллинеарным любому
вектору.
Векторы
называются равными , если они коллинеарны, одинаково направлены и имеют
одинаковые длины.
Три вектора в пространстве называются компланарными,
если они лежат в одной плоскости или на параллельных плоскостях. Если среди
трех векторов хотя бы один нулевой или два любые коллинеарны, то такие векторы
компланарны.
Рассмотрим в
пространстве прямоугольную систему координат 0xyz. Выделим на осях координат 0x, 0y, 0z единичные векторы (орты) и
обозначим их через соответственно.
Выберем произвольный вектор
пространства и совместим его начало с началом
координат. Спроектируем вектор
на координатные
оси и обозначим проекции через ax, ay, az
соответственно. Тогда нетрудно показать, что
. (2.25)
Эта
формула является основной в векторном исчислении и называется разложением
вектора по ортам координатных осей. Числа ax, ay, az называются координатами вектора . Таким образом, координаты вектора являются его
проекциями на оси координат. Векторное равенство (2.25) часто записывают в
виде
. Мы будем использовать обозначение вектора в фигурных
скобках, чтобы визуально легче различать координаты вектора и координаты точки.
С использованием формулы длины отрезка, известной из школьной геометрии, можно
найти выражение для вычисления модуля вектора
:
, (2.26)
то
есть модуль вектора равен корню квадратному из суммы квадратов его координат.
Обозначим углы между вектором
и осями
координат через α, β, γ соответственно. Косинусы этих углов называются
для вектора направляющими, и для них выполняется соотношение:Верность данного равенства можно показать с помощью
свойства проекции вектора на ось, которое будет рассмотрено в нижеследующем
пункте 4.
Пусть в трехмерном пространстве заданы векторы своими
координатами. Имеют место следующие
операции над ними: линейные (сложение, вычитание, умножение на число и
проектирование вектора на ось или другой вектор); не линейные – различные
произведения векторов (скалярное, векторное, смешанное).
1. Сложение двух векторов производится покоординатно, то
есть если
.
Данная
формула имеет место для произвольного конечного числа слагаемых.
Геометрически
два вектора складываются по двум правилам:
а) правило треугольника –
результирующий вектор суммы двух векторов соединяет начало первого из них с
концом второго при условии, что начало второго совпадает с концом первого
вектора; для суммы векторов –
результирующий вектор суммы соединяет начало первого из них с концом последнего
вектора-слагаемого при условии, что начало последующего слагаемого совпадает с
концом предыдущего;
б)
правило
параллелограмма (для двух
векторов) – параллелограмм строится на векторах-слагаемых как на сторонах,
приведенных к одному началу; диагональ параллелограмма исходящая из их общего начала, является суммой
векторов.
2. Вычитание двух векторов производится
покоординатно, аналогично сложению, то есть если , то
.
Геометрически два
вектора складываются по уже упомянутому правилу параллелограмма с учетом того, что разностью векторов
является диагональ, соединяющая концы векторов, причем результирующий вектор
направлен из конца вычитаемого в конец уменьшаемого вектора.
Важным следствием
вычитания векторов является тот факт, что если известны координаты начала и
конца вектора, то для вычисления координат вектора необходимо из координат его конца
вычесть координаты его начала. Действительно, любой вектор пространства может быть
представлен в виде разности двух векторов, исходящих из начала координат: . Координаты векторов и совпадают с
координатами точек А и В, так как начало координат О(0;0;0). Таким образом, по правилу
вычитания векторов следует произвести вычитание координат точки А из координат точки В.
3. Умножение вектора на число λ покоординатно:.
При λ>0
– вектор сонаправлен ; λ<0 – вектор противоположно направлен ; |λ|>1 – длина вектора увеличивается в λ раз; |λ|<1 – длина вектора уменьшается в λ раз.
4. Пусть в пространстве задана
направленная прямая (ось l), вектор задан
координатами конца и начала. Обозначим проекции точек A и B на ось l
соответственно через A’ и B’.
Проекцией вектора на ось l называется длина вектора , взятая со
знаком «+», если вектор и ось l сонаправлены, и со
знаком «–», если и l противоположно направлены.
Если
в качестве оси l взять некоторый другой вектор , то получим проекцию вектора на вектор .
Рассмотрим некоторые
основные свойства проекций:
1) проекция вектора на ось l равна произведению модуля
вектора на косинус угла
между вектором и осью, то есть ;
2.) проекция вектора на ось
положительна (отрицательна), если вектор образует с осью острый (тупой) угол, и
равна нулю, если этот угол – прямой;
3) проекция суммы нескольких
векторов на одну и ту же ось равна сумме проекций на эту ось.
Сформулируем определения и
теоремы о произведениях векторов, представляющих нелинейные операции над
векторами.
5. Скалярным произведением векторов и называется
число (скаляр), равное произведению длин этих векторов на косинус угла φ между
ними, то есть
. (2.27)
Очевидно, что скалярный квадрат любого ненулевого вектора равен квадрату его длины, так как в этом случае угол , поэтому его косинус (в 2.27) равен 1.
Теорема 2.2. Необходимым и достаточным условием
перпендикулярности двух векторов является равенство нулю их скалярного
произведения
Следствие. Попарные скалярные произведения единичных орт равны нулю, то есть
Теорема 2.3. Скалярное произведение двух векторов ,
заданных своими координатами, равно сумме произведений их одноименных координат, то есть
(2.28)
С помощью скалярного произведения векторов можно
вычислить угол между ними.
Если заданы два ненулевых вектора
своими координатами , то косинус угла φ между ними:
(2.29)
Отсюда
следует условие перпендикулярности ненулевых векторов
и :
(2.30)
Нахождение проекции вектора на направление,
заданное вектором , может осуществляться по формуле
(2.31)
С помощью скалярного произведения векторов находят
работу постоянной силы на
прямолинейном участке пути.
Предположим, что под действием постоянной силы материальная точка перемещается прямолинейно из
положения А в положение B. Вектор силы образует угол φ с вектором перемещения (рис. 2.14). Физика утверждает, что работа силы при перемещении
равна .
Следовательно, работа постоянной силы
при прямолинейном перемещении точки ее приложения равна скалярному произведению
вектора силы на вектор перемещения.
Пример
2.9. С
помощью скалярного произведения векторов найти угол при вершине A параллелограмма ABCD, построенного на векторах
Решение. Вычислим модули векторов и их скалярное произведение
по теореме (2.3):
Отсюда согласно формуле (2.29) получим косинус
искомого угла
Пример 2.10. Затраты сырьевых и материальных ресурсов, используемых
на производство одной тонны творога, заданы в таблице 2.2 (руб.).
Какова общая цена этих ресурсов, затрачиваемых на изготовление одной
тонны творога?
Таблица 2.2
Решение. Введем в рассмотрение два вектора: вектор затрат
ресурсов на тонну продукции и вектор цены единицы
соответствующего ресурса .
Тогда . Общая цена
ресурсов , что представляет собой скалярное произведение
векторов . Вычислим его по формуле (2.28) согласно теореме 2.3:
Таким образом, общая цена затрат на производство одной
тонны творога составляет 279 541,5 рублей
Примечание. Действия с векторами, осуществленные в примере 2.10,
можно выполнить на персональном компьютере. Для нахождения скалярного
произведения векторов в MS Excel используют функцию СУММПРОИЗВ( ), где в качестве
аргументов указываются адреса диапазонов элементов матриц, сумму произведений
которых необходимо найти. В MathCAD
скалярное произведение двух векторов выполняется при помощи соответствующего
оператора панели инструментов Matrix
Пример 2.11. Вычислить работу, произведенную силой , если точка ее приложения перемещается прямолинейно
из положения A(2;4;6) в положение A(4;2;7). Под каким углом к AB направлена сила ?
Решение. Находим вектор перемещения, вычитая из координат его конца координаты
начала
. По формуле (2.28) (единиц работы).
Угол φ между и
находим по
формуле (2.29), то есть
6. Три некомпланарных вектора , взятые в указанном порядке, образуют правую
тройку, если при наблюдении из конца третьего вектора кратчайший
поворот от первого вектора ко второму
вектору совершается против часовой стрелки, и левую,
если по часовой стрелке.
Векторным
произведением вектора на вектор называется
вектор , удовлетворяющий следующим условиям:
– перпендикулярен векторам и ;
– имеет длину, равную , где φ – угол, образованный векторами
и ;
– векторы образуют правую
тройку (рис. 2.15).
Теорема 2.4. Необходимым и достаточным
условием коллинеарности двух векторов является равенство нулю их векторного
произведения
Теорема 2.5. Векторное произведение векторов , заданных своими координатами, равно определителю
третьего порядка вида
(2.32)
Примечание. Определитель (2.25)
раскладывается по свойству 7 определителей
Следствие 1. Необходимым и достаточным условием коллинеарности двух
векторов является пропорциональность их соответствующих координат
Следствие 2. Векторные произведения единичных орт равны
Следствие 3. Векторный квадрат любого вектора равен нулю
Геометрическая
интерпретация векторного произведения состоит в том, что длина результирующего
вектора численно равна площади S
параллелограмма, построенного на векторах–сомножителях как на сторонах,
приведенных к одному началу. Действительно, согласно определению, модуль
векторного произведения векторов равен . С другой стороны, площадь параллелограмма,
построенного на векторах и , также равна
. Следовательно,
. (2.33)
Также с помощью векторного произведения можно
определить момент силы относительно точки и линейную скорость вращения.
Пусть в точке A приложена
сила и пусть O –
некоторая точка пространства (рис. 2.16). Из курса физики известно, что моментом
силы относительно
точки O называется вектор , который проходит через точку O и удовлетворяет следующим условиям:
— перпендикулярен плоскости, проходящей через точки O, A, B;
— его модуль численно равен произведению силы на плечо .
— образует правую тройку с векторами и .
Следовательно,
момент силы относительно
точки O представляет собой векторное произведение
. (2.34)
Линейная скорость точки М твердого тела, вращающегося с
угловой скоростью вокруг
неподвижной оси, определяется формулой Эйлера , O – некоторая неподвижная
точка оси (рис. 2.17).
Пример 2.12. С помощью
векторного произведения найти площадь треугольника ABC, построенного на векторах
, приведенных к одному началу.
Решение. Найдем векторное произведение заданных векторов по
формуле (2.32).
. Согласно формуле (2.33) модуль векторного
произведения двух неколлинеарных векторов численно равен площади
параллелограмма, построенного на данных векторах как на сторонах, приведенных к
общему началу, то есть . Тогда площадь треугольника
. Следовательно, искомая площадь равна (единиц
площади)
7. Рассмотрим произведение трех векторов , составленное следующим образом: . Здесь первые два вектора перемножаются векторно, а
результирующий вектор – скалярно на третий. Такое произведение называется смешанным
произведением трех векторов
(векторно–скалярным произведением).
Теорема 2.6. Необходимым и достаточным условием компланарности
трех векторов является равенство нулю их смешанного произведения
Теорема 2.7. Если три вектора заданы своими координатами, то их смешанное
произведение представляет собой определитель третьего порядка, составленный из
координат векторов- сомножителей соответственно, то есть
(2.35)
Нетрудно показать, что объем параллелепипеда,
построенного на векторах как на
сторонах, приведенных к общему началу, численно равен модулю смешенного
произведения этих векторов .
Объем треугольной пирамиды, построенной на этих же
векторах, равен
(2.36)
Пример 2.13. Вершинами пирамиды служат точки . Вычислить объем пирамиды.
Решение. Найдем
координаты векторов
. Вычислим смешанное произведение этих векторов:
По формуле (2.36) объем пирамиды, построенной на
векторах равен
(единиц объема)
Рассмотрим очень важный вопрос о
разложении вектора по базису. Приведем
следующие определения.
Система векторов называется
линейно зависимой, если существуют такие числа , хотя бы одно из которых отлично от нуля, что имеет
место равенство
(2.37)
Отсюда всегда можно один из линейно
зависимых векторов выразить через линейную комбинацию остальных. Действительно,
допустим для определенности, что . Тогда на это число разделим равенство (2.37), имеем:
получим выражение вектора через
остальные векторы
Линейно независимыми называют векторы, если равенство
(2.37) выполняется только тогда, когда
все
В системе векторов число линейно
независимых векторов равняется рангу матрицы, которая составлена из координат
этих векторов (смотри раздел I.5).
Базисом n – мерного
пространства En называют любую совокупность линейно независимых векторов n – мерного пространства.
Произвольный вектор n
– мерного пространства можно представить
в виде линейной комбинации векторов базиса
таким образом:
Числа
называются координатами
вектора в базисе
векторов .
Линейное пространство называется
конечномерным и имеет размерность n, если в этом
пространстве существует система из n линейно независимых векторов (базис) такая,
что каждое ее расширение приводит к линейной зависимости системы.
Например, в трехмерном пространстве
существует базис единичных орт такой, что любое расширение этой системы
линейно независимых векторов, то есть каждый вектор трехмерного
пространства, приводит к линейной зависимости векторов (является линейной
комбинацией орт ): Коэффициенты {x1, x2, x3} такого разложения вектора
по ортам являются координатами вектора в трехмерном
пространстве.
Вопросы для самопроверки
Как найти орт вектора
Вектором в геометрии называют направленный отрезок или упорядоченную пару точек евклидова пространства.Ортом вектора является единичный вектор нормированного векторного пространства или вектор, норма (длина) которого равна единице.
Вам понадобится
- Знания по геометрии.
Инструкция
Для начала необходимо вычислить длину вектора. Как известно, длина (модуль) вектора равна корню квадратному из суммы квадратов координат. Пусть дан вектор с координатами: a(3, 4). Тогда его длина равна |a| = (9 + 16)^1/2 или |a|=5.
Чтобы найти орт вектора a, необходимо поделить каждую его который называется ортом или единичным вектором. Для вектора а(3, 4) ортом будет являться вектор а(3/5, 4/5). Вектор a’ будет являться единичным для вектора а.
Для проверки, правильно ли найден орт, можно проделать следующее: найти длину полученного орта, если она равна единице, то все найдено верно, если нет, то в расчеты закралась ошибка. Проверим правильно ли найден орт a’. Длина вектора a’ равна: a’ = (9/25 + 16/25)^1/2 = (25/25)^1/2 = 1. Итак, длина вектора a’ равна единице, значит орт найден верно.
Видео по теме
Обратите внимание
Орт нулевого вектора не существует, так как длина нулевого вектора равна нулю.
Полезный совет
Для того, чтобы понять единичный ли вектор, необходимо найти его длину. Если она равна единице, то вектор единичный.
Войти на сайт
или
Забыли пароль?
Еще не зарегистрированы?
This site is protected by reCAPTCHA and the Google Privacy Policy and Terms of Service apply.
Вектором называется направленный отрезок. Вектор обозначается либо символом ( — точка начала, — точка конца вектора), либо . В математике обычно рассматриваются свободные векторы, то есть векторы, точка приложения которых может быть выбрана произвольно.
2. Длиной (модулем) вектора называется длина отрезка . Модуль вектора обозначается .
3.Вектор называется единичным, если его длина равна «1»; единичный вектор направления вектора называется ортом вектора и определяется по формуле .
4. Вектор называется нулевым, если его начало и конец совпадают ; любое направление можно считать направлением нулевого вектора.
5. Векторы называются коллинеарными, если они лежат либо на одной прямой, либо на параллельных прямых. Коллинеарность векторов обозначается: . Необходимым и достаточным условием коллинеарности векторов и является существование такого числа , что .
6. Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и направление.
7. Вектор называется противоположным вектору , если модули их равны, а направления противоположны.
8. Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.
Для решения задач необходимо уметь выполнять линейные операции над вектором в геометрической форме, то есть над вектором, как над
направленным отрезком: сложение, вычитание векторов и умножение вектора на число.
9. Сложение двух векторов можно выполнить по правилу параллелограмма (рис. 1) или по правилу треугольника (рис. 2).
При сложении более двух векторов, лежащих в одной плоскости, используется правило «замыкающей линии многоугольника» (рис. 3).
При сложении трех некомпланарных векторов удобно пользоваться правилом «параллелепипеда» (рис. 4).
10. Действие вычитания двух векторов связано с действием сложения (рис.5).
Разностью двух векторов называется вектор, проведенный из конца вычитаемого в конец уменьшаемого. Заметим, что разностью является вектор, служащий второй диагональю параллелограмма.
Разность можно также представить в виде сложения с противоположным вектором (рис. 6).
11. Произведением вектора на число называется вектор , который имеет :
12. Для решения задач полезно знать также следующие законы и свойства:
Примеры задач решаемых с применением векторной алгебры
Задача:
Пусть даны точки
1) Найти координаты векторов
2) Написать разложение этих векторов по базису
3) Найти длины этих векторов
4) Найти скалярное произведение
5) Найти угол между векторами и .
6) Найти разложение вектора по базису и
Решение:
1) Вычислим координаты векторов и (нужно из координат точки его конца вычесть координаты его начала):
, аналогично,
и
2)
3)
4) Для вычисления угла между векторами воспользуемся формулой:
5) Разложить вектор по векторам и — это значит представить вектор в виде линейной комбинации векторов и , т. е.
, где . Имеем , но у равных векторов соответственно равны координаты, следовательно, получим систему, из которой найдем и .
Задача:
а). Даны векторы и в некотором базисе. Показать, что векторы образуют базис и найти координаты вектора в этом базисе.
Решение:
Три вектора образуют базис, если .
Найдем координаты вектора в базисе и .
Два вектора равны, если их соответствующие координаты равны.
Решим систему методом Крамера:
Ответ: .
Задача:
Даны координаты вершин тетраэдра и . Найти: 1) координаты точки пересечения медиан треугольника ; 2) уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно медиане, проведенной из вершины треугольника ; 3) координаты точки, симметричной точке относительно плоскости . Сделать чертёж.
Решение:
1) Найдем координаты т. середины отрезка (рис. 16):
Точка пересечения медиан треугольника делит медиану в отношении , считая от вершины . Найдем координаты точки :
2) Найдем направляющий вектор прямой . Уравнение прямой, проходящей через вершину параллельно прямой :
3) Найдем уравнение плоскости :
Найдем каноническое уравнение прямой, перпендикулярной плоскости и проходящей через т. : . Запишем каноническое уравнение прямой в параметрическом виде: .
Найдем координаты точки пересечения плоскости и найденной прямой:
Координаты точки симметричной точке относительно плоскости — .
Ответ: 1) координаты точки пересечения медиан уравнение прямой ; 3) координаты симметричном точки .
На этой странице размещён краткий курс лекций по высшей математике для заочников с теорией, формулами и примерами решения задач:
Высшая математика краткий курс лекций для заочников
Возможно вам будут полезны эти страницы:
Векторная алгебра — решение заданий и задач по всем темам с вычислением
Понятие вектора. Линейные операции над векторами
1°. Любые две точки пространства, если они упорядочены (например, А является первой, а В — второй точкой), определяют отрезок вместе с выбранным направлением (а именно, от A к В). Направленный отрезок называется вектором. Вектор с началом в A и концом в В обозначается или Длина вектора, обозначаемая , АВ или а, называется также модулем вектора. Чтобы найти координаты вектора, нужно из координат конца вектора вычесть одноименные координаты начала: Тогда длина вектора найдется так:
Векторы, расположенные на одной прямой или на параллельных прямых, называются коллинеарными.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковые модули и направления. В этом случае пишут Равные векторы имеют равные координаты.
Векторы называются противоположными, если они коллинеарны, имеют одинаковые длины и противоположные направления:
Вектор называется нулевым, если его модуль равен нулю, и обозначается
2°. Линейными называются действия сложения, вычитания векторов и умножения вектора на число.
1.Если начало совмещено с концом то начало совпадает с началом а конец — с концом (рис. 3.1).
2.Если начала векторов совмещены, то начало совпадает с концом , а конец совпадает с концом (рис. 3.2).
3.При умножении вектора на число (скаляр) длина вектора умножается на , а направление сохраняется, если и изменяется на противоположное, если (рис. 3.3).
Вектор называется ортом, или единичным вектором вектора его длина равна единице:
3°. Запись ci — означает, что вектор имеет координаты или разложен по базису — орты осей Ох, Оу и Oz пространственной системы координат Oxyz). При этом
4°. Числа называются направляющими косинусами вектора — углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Oz соответственно. Единичный вектор — орт вектора . Для любого вектора справедливо:
5°. Линейные операции над векторами, которые заданы своими координатами, определяются так: пусть тогда
Следовательно, при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число умножаются на число все координаты вектора.
6°. Необходимое и достаточное условие коллинеарности векторов , устанавливаемое равенством может быть записано соотношениями из которых следует пропорциональность их координат:
Если один из членов какого-нибудь из этих отношений равен нулю, то и второй член того же отношения должен быть нулем. Геометрически это значит, что в этом случае оба вектора перпендикулярны соответствующей координатной оси (например, если то векторы ).
7°. Система векторов называется линейно независимой, если равенство
( — действительные числа) возможно только при Если же равенство (1) возможно при некотором нетривиальном наборе то система этих векторов называется линейно зависимой. Любой вектор линейно зависимой системы линейно выражается через остальные.
Примеры с решениями
Пример:
Доказать, что треугольник с вершинами в точках A(1,2), B(2,5), С(3,4) прямоугольный.
Решение:
Построим векторы, совпадающие со сторонами треугольника (см. п. 1°): (рис. 3.4).
Найдем длины сторон:
Нетрудно видеть, что Следовательно, треугольник ABC прямоугольный с гипотенузой и катетами
Пример:
Проверить, что точки А( 2,-4,3), В(5, —2,9), С( 7,4,6) и D(6,8, -3) являются вершинами трапеции.
Решение:
Составим векторы-стороны с целью обнаружения коллинеарности векторов (в трапеции ВС || AD) (рис. 3.5):
Имеем значит, ABCD — трапеция.
Пример:
Найти орт и направляющие косинусы вектора
Решение:
Имеем В соответствии с п. 3°, 4°
и направляющие косинусы вектора причем
Пример:
Определить точку В, которая является концом вектора , если его начало совпадает с точкой
Решение:
Пусть точка В имеет координаты B(x,y,z) (рис. 3.6). Тогда координа- ^ ты вектора (п. 1°)
Следовательно, Ответ. В(5, -5,3).
Пример:
Вектор разложить по векторам
Решение:
Необходимо найти такие числа х, у, z, что т.е.
Имея в виду, что при сложении векторов складываются их координаты и равные векторы имеют равные координаты, приходим к системе уравнений
из которой
Ответ.
Пример:
Показать, что система векторов линейно независима.
Решение:
В данном случае равенство (1) имеет вид , или Отсюда получаем систему уравнений
из которой следует, что Это подтверждает линейную независимость данных векторов.
Пример:
Показать, что система векторов линейно зависима.
Решение:
Равенство (1) равносильно системе уравнений
Она имеет ненулевое решение, например, Таким образом, Отсюда видно, что т.е. вектор линейно выражается через Очевидно, что можно выразить через — через
Скалярное произведение векторов
1°. Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними:
Из (рис. 3.7) имеем ( — проекция вектора на направление вектора ).
Итак,
2°. Если
т.е. скалярное произведение векторов равно сумме произведений одноименных координат этих векторов.
При этом если же , т. е. поскольку cos 90° = 0 (условие перпендикулярности двух векторов).
3°. Из определения скалярного произведения следует формула для вычисления угла между двумя векторами:
Примеры с решениями
Пример:
Перпендикулярны ли векторы если
Решение:
Условие перпендикулярности векторов (п. 2°) в нашем случае
Ответ. Да.
Пример:
Найти проекцию вектора на направление вектора
Решение:
Имеем (п. 1°). Подставив сюда выражение для из п. 3°, получим
Ответ
Пример:
Зная векторы, совпадающие с двумя сторонами: и найти внутренние углы треугольника ABC.
Решение:
Имеем (рис. 3.8)
При помощи таблиц находим Для нахождения других углов нам понадобится вектор который является суммой : поэтому
Ответ. 123° 10′, 19°29′, 37°21′.
Пример:
Найти координаты вектора если где и
Решение:
На рис. 3.9 имеем Из условий перпендикулярности векторов (п. 2°) имеем Положим Условие задачи перепишем в виде Рис. 3.9 системы
Векторное произведение векторов
1°. Векторы приведенные к одному началу, образуют правую (левую) тройку при условии: если смотреть из конца вектора на плоскость векторов то кратчайший поворот от совершается против (по) часовой стрелки (рис. 3.10).
2°. Векторным произведением ненулевых векторов называется вектор , обозначаемый удовлетворяющий следующим трем условиям.
1) вектор перпендикулярен плоскости векторов
2) Вектор направлен так, что векторы образуют правую тройку.
3) т.е. его длина численно равна площади параллелограмма, построенного на векторах (рис. 3.11), таким образом,
Если векторы коллинеарны, то под понимается нулевой вектор:
3°. Если известны координаты векторов-сомножителей то для отыскания координат векторного произведения служит формула
в которой определитель следует разложить по элементам первой строки.
Примеры с решениями
Пример:
Найти площадь треугольника, вершины которого находятся в точках А(1,2,3), В{3,2,1), С(1,0,1).
Решение:
Найдем координаты векторов Определим координаты векторного произведения (рис. 3.12):
Найдем длину этого вектора, которая равна численно площади параллелограмма S (п. 2°): Площадь треугольника равна
Пример:
Построить параллелограмм на векторах и вычислить его площадь и высоту, опущенную на .
Сделаем чертеж (рис. 3.13). Имеем Отдельно вычисляем векторное произведение:
Следовательно,
Смешанное произведение векторов
1°. Смешанным произведением трех ненулевых векторов называется число, равное скалярному произведению двух векторов, один из которых — векторное произведение , а другой — вектор . Обозначение: Если образуют правую тройку, то Если образуют левую тройку, то
Модуль смешанного произведения векторов равен объему параллелепипеда (рис. 3.14), построенного на этих векторах, Условие равносильно тому, что векторы расположены в одной плоскости, т.е. компланарны. Имеет место равенство
Объем тетраэдра с вершинами в точках можно вычислить по формуле где
2°. Условие равносильно условию линейной независимости , а тогда любой вектор линейно выражается через них, т. е. Для определения х, у, z следует решить соответствующую систему линейных уравнений
Примеры с решениями
Пример:
Найти объем параллелепипеда, построенного на векторах
Решение:
Искомый объем Поскольку
Пример:
В точках 0(0,0,0), А(5,2,0), В(2,5,0) и С(1,2,4) находятся вершины пирамиды. Вычислить ее объем, площадь грани ABC и высоту пирамиды, опущенную на эту грань.
Решение:
1) Сделаем схематический чертеж (рис. 3.15).
2) Введем векторы .Объем пирамиды ОАВС (тетраэда) равен
3) Площадь грани ABC
4) Объем пирамиды отсюда
Ответ.
Основные понятия векторной алгебры
Прямоугольные декартовы координаты
Координатная ось
Пусть на плоскости или в пространстве задана произвольная прямая L: Ясно, что по этой прямой L сы можем перемещаться в oднoм из двух противоположных направлений. Выбор любого (одного) из этих направлений будем называть ориентацией прямой L.
Оnределение:
Прямая с заданной на ней ориентацией называется осью. На чертеже ориентация оси указывается стрелкой (рис. 1 ) . Фиксируем на оси некоторую точку О и выберем какой-нибудь отрезок а, доложив по определению его длину равной единице (рис. 2).
Пусть М — произвольная точка оси . Поставим этой точке в соответствие число х по следующему прав илу: х равно расстоюiию между точками О и М, взятому со знаком плюс или со знаком минус н зависимости от того, совпадает ли направление движения от точки О к точке М с заданным направлением или противоположно ему (рис. 3).
Оnределение:
Ось с точкой начала отсчета О и масштабными отрезками а называется координатной осью, а число х, вычисляемое по указанному правилу, называется координатой точки М. Обозначение: М (х).
Прямоугольные декартовы координаты на плоскости
Пусть П — произвольная плоскость. Возьмем на ней некоторую точку О и проведем через эту точку взаимно перпендикулярные прямые L 1 и L 2. Зададим на каждой из nрямых L 1 и L 2 ориентацию и выберем единый масштабный отрезок а. Тогда эти прямые nревратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 4).
Назовем одну из координатных осей осью абсцисс (осью Ох), друrую —осью ординат (осью Оу) (рис. 5). Точка О называется началом координат. Пусть М — произвольная точка плоскости П (рис. 6). Проведем через точку М прямые, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответствие упорядоченную пару чисел (х, у) по следующему nравилу:
Числа х и у называются прямоугольными декартовыми при этом х называется ее абсциссой, а у — ординатой. координатами точки М; Обозначение: М(х, у). Чтобы кратко охарактеризовать описанную конструкцию, говорят, что на плоскости П задана прямоугольная декартова система координат Ох у. Координатные оси разбивают плоскость на четыре части, называемые четвертями или квадрантами. На рисунке и в таблице показано, как эти квадранты нумеруются (рис. 7).
Замечание:
Масштабные от резки на координатных осях могут быть и разной длины. В этом случае координатная система называется просто прямоугольной.
Прямоугольные декартовы координаты в пространстве
Возьмем в пространстве некоторую точку О и проведем через нее три взаимно перпендикулярные прямые L 1 , L 2 и L 3 . Выберем на каждой из nрямых ориентацию и единый масштаб. Прямые L 1 , L 2 и L 3 превратятся в координатные оси с общей точкой отсчета О (рис. 8).
Назовем одну из этих осей осью абсцисс (осью Ох), вторую — осью ординат (осью Оу) и третью — осью аппликат (осью Oz) (рис. 9). Точка О называется началом координат. Пусть М — nроизвольная точка (рис. 10). Проведем через точку М nлоскости, перпендикулярные координатным осям, и поставим ей в соответстnие упорядоченную тройку чисел (х, у, z) по следующему правилу:
Числа х, у и z называются прямоугольными декартовыми координатами точки М; при этом х называется абсциссой точки М, у — ее ординатой, а z —аппликатой. Обозначение: М(х, у, z). Таким образом, в пространстве введена прямоугольная декартова система координат.
Оnределение:
Плоскость, проходящая через любую пару координатных осей, называется координатной плоскостью.
Координатных плоскостей три: Оху, Oyz и Oxz. Эти плоскости разбивают пространство на восемь частей — октантов. 1 .4. Простейшие задачи аналитической геометрии А. Расстояние между точками Пусть М 1 (х 1 ) и М 2 (х 2 )- две точки на координатной оси. Тогда расстояние d между ними вычисляется по формуле
Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат Оху, то расстояние d между любыми двумя точками М 1 (х 1 , у1 и М2 (х2 , y2) вычисляется по следующей формуле
Рассмотрим прямоугольный треугольник ∆MM1M2 (pиc. l l). По теореме Пифагора
Так как расстояние d между точками M 1 и M 2 равно длине отрезка M1M2 а |M1M| = |x 2 — x 1|, |MM2| = |y 2 — y 1|, то отсюда получаем, что
Замечая, что
,и извлекая из обеих частей равенства квадратный корень, приходим к требуемой формуле .
Замечание:
Расстояние между точками в пространстве вычисляется по следующей формуле
Задача:
Написать уравнение окружности радиуса т с центром в точке Р(а, b).
Пусть М(х, у) — точка окружности (рис. 12). Это означает, что |M P| = r. Заменим |M P|его выражением
и возведем обе части полученного равенства в квадрат:
Это есть каноническое уравнение окружности радиуса r с центром в точке Р(а, b) .
Задача:
Пусть F л (-с, 0) и F n (c, 0) -фиксированные точки плоскости, а -заданное число (а > с ≥ 0). Найти условие, которому удовлетворяют координаты х и у точки М, обладающей следующим свойством: сумма расстояний от точки М до Fл и до F n равна 2а.
Вычислим расстояния между точками М и F л и между точками М и F n . Имеем
(рис. 13). Отсюда
Перенесем второй корень в правую часть
Возводя обе части в квадрат, после простых преобразований получим
С целью дальнейших упрощений вновь возводим обе части в квадрат. В результате nриходим к равенству
Полагая b 2 = а 2 — с 2 и деля обе части nоследнего соотноwения на а 2 b2 , nолучаем уравнение эллипса
(см. главу 111) .
Деление отрезка в данном отношении:
Пусть М1 (х1 , y1) и М2 (х2 , y2) — различные точки плоскости. Пусть, далее, точка М(х, у) лежит на отрезке М1М2 и делит его в отношении λ 1 : λ 2 , т. е.
Требуется выразить координаты х и у этой точки через координаты концов отрезка М1М2 и числа λ 1 и λ 2 . Предположим сначала, что отрезок М1М2 не параллелен оси ординат Оу (рис. 14). Тогда
Так как
то из последних двух соотношений получаем, что
Точка М лежит между точками М1 и М2 , поэтому либо х 1 < х < х 2 , либо х 1 > х > х 2 . В любом из этих случаев разности х1 — х и х — х 2 имеют одинаковые знаки. Это позволяет переписать последнее равенство в следующей форме
Отсюда
В случае, когда отрезок М1М2 параллелен оси Оу, х 1 = х 2 = х. Заметим, что тот же результат дает формула (*), если nоложить в ней х 1 = х 2 . Справедливость формулы
доказывается аналогичным рассуждением .
Задача:
Найти координаты центра тяжести М треугольника с вершинами в точках . М1 ( х 1 , у 1 ), М2 ( х 2 , у 2 ) и М3 ( х 3 , у 3 ). Восnользуемся тем, что центр тяжести треугольника совпадает с точкой пересечения его медиан. Точка М делит каждую медиану в отношении 2 : 1, считая от вершины (рис. 15). Тем самым, ее координаты х и у можно найти по формулам
где х’ и у’ — координаты второго конца М’ медианы М3 М’. Так как М’ — середина отрезка М1М2, то
Полученные соотношения позволяют выразить координаты z и у центра тяжести М треугольника ∆М1М2М3 через координаты его вершин:
Замечание:
Если точка М(х,у,z ) делит отрезок с концами М1( х1, у1, z1) и М2( х2, у2, z2) в отношении λ1 : λ2, то ее координаты вычисляются по формулам
Полярные координаты
Предположим, что задана точка О, ось .содержащая точку О, и масштабный отрезок (эталон длины) (рис. 16).
Пусть М — произвольная точка плоскости, отличная от точки О (рис.17). Ее положение на плоскости однозначно определяется двумя числами: расстоянием г между точками О и М и отсчитываемым против часовой стрелки углом φ между положительным лучом оси и лучом ОМ с началом в точке О. Пару (г, φ) называют полярными координатами точки М; г — полярный радиус точки М , φ — полярный угол.
Точка О называется полюсом, — полярной осью.
Ясно, чтоЕсли точка М совпадаете полюсом, то считаем г = 0; полярный угол φ в этом случае не определен.
Таким образом, на плоскости можно задать еще одну координатную систему — полярную.
Прямоугольную декартову систему координат Оху будем называть согласованной с заданной полярной, если начало координат 0(0, 0) — полюс, ось Ох — полярная ось, а ось Оу составляете осью Ох угол, равный. Тогда
(рис.18). В свою очередь
Пример:
Пусть R > О — заданное число. Множество точек плоскости, полярные координаты (г, <р) которых удовлетворяют равенству
r = R,
является окружностью радиуса R с центром в полюсе (рис. 19)
Определители 2-го и 3-го порядков
Пусть имеем четыре числа а11, а12, а21, а22 (читается — «а-один-один», «а-один-два», «а-два-один», «а-два-два»).
Определителем второго порядка называется число
Обозначение:
Числа а11, а12, а21, а22 называются элементами определителя; пары элементов а11, а12 и а21, а22 образуют строки определителя, а пары элементов а11, а21 и а12, а22 — его столбцы; пара элементов а11, а22 образует главную диагональ определителя, а пара а12, а21 — побочную диагональ.
Тем самым, для вычисления определителя второго порядка нужно из произведения а11, а22 элементов главной диагонали вычесть произведение а12, а21 элементов его побочной диагонали (рис. 20).
Пример:
Вычислить определитель
По правилу (1) имеем
С определителями второго порядка мы встречаемся уже при отыскании решения системы двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными
Решая эту систему методом исключения неизвестных при условии, что
находим
Пусгь теперь даны девять чисел aij (i = I, 2, 3; j = I, 2, 3).
Определителем третьего порядка называется число, обозначаемое символом
и вычисляемое по следующему правилу:
Первый индекс i элемента aij указывает номер строки, в которой он расположен, а второй индекс j — номер столбца.
Элементы а11, а22, а33 образуют главную диагональ определителя ∆, элементы а13, а22, а31 — побочную диагональ, элементы а13, а22, а31 — побочную диагональ.
Чтобы разобраться с распределением знаков в правой части формулы (2), обратим внимание на следующее: произведение элементов а11, а22, а33 главной диагонали входит в формулу со своим знаком, также как и произведение а11, а22, а33 и а11, а22, а33 элементов, расположенных в вершинах треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (рис. 21); с другой стороны, произведение а13, а22, а31 элементов побочной диагонали, а также произведения а12, а21, а33 и а11, а23, а32 — с противоположным знаком (рис.22). Такой подход к вычислению определителя третьего порядка называется правилом треугольника.
Пример:
Вычислить определитель
Применяя правило треугольника, находим
Установим некоторые свойства определителей 3-го порядка, легко проверяемые при помощи разложений (1) и (2).
Свойство:
Величина определителя не изменится, если все его строки заменить его столбцами с теми же номерами
Свойство:
При перестановке любых двух строк (или любых двух столбцов) определителя он изменяет свой знак на противоположный.
Свойство:
Общий множитель всех элементов одной строки (или одного столбца) определителя можно вынести за знак определителя
Следующие три свойства определителя вытекают из свойств 1-3. Впрочем, в их справедливости можно убедиться и непосредственно, пользуясь формулами (1) и (2).
Свойство:
Если определитель имеет две равные строки (или дна равных столбца), то он равен нулю.
Свойство:
Если все элементы некоторой строки (или некоторого столбца) равны нулю, то и сам определитель равен нулю.
Свойство:
Если соответствующие элементы двух строк (или двух столбцов) пропорциональны, то определитель равен нулю.
Укажем еще один способ вычисления определителя 3-го порядка
Минором Mij элемента aij определителя ∆ называется определитель, получаемый изданного путем вычеркивания элементов i-й строки и j-ro столбца, на пересечении которых находится этот элемент. Например, минором элемента a23 будет определитель
Алгебраическим дополнением элемента Aij называется минор Mij — этого элемента, взятый со своим знаком, если сумма i + j номеров строки и столбца, на пересечении которых расположен элемент aij, есть число четное, и с противоположным знаком, если это число нечетное:
Теорема:
Определитель равен сумме произведений элементов любой его строки (любого его столбца) на их алгебраические дополнения, так что имеют место следующие равенства
Покажем, например, что
Пользуясь формулой (2), получаем, что
Правило (3) называется разложением определителя по элементам i-й строки, а правило (4) — разложением определителя по элементам j -го столбца.
Пример:
Вычислить определитель
Раскладывая определитель по элементам 1-ой строки, получим
Понятия связанного и свободного векторов
Рассмотрим две точки А и В. По соединяющему их отрезку можно перемещаться в любом из двух противоположных направлений. Если считать, например, точку А начальной, а точку В конечной, то тогда получаем направленный отрезок АВ, в другом случае — направленный отрезок В А. Направленные отрезки часто называют связанными или закрепленными векторами. На чертеже заданное направление указывается стрелкой (рис. 1).
В случае, когда начальная и конечная точки совпадают, А = В, связанный вектор называется нулевым.
Определение:
Будем говорить, что связанные векторы АВ и CD равны, если середины отрезков AD и ВС совпадают (рис. 2).
Обозначение:
А В = CD.
Заметим, что в случае, когда точки А, В, С и D не лежат на одной прямой, это равносильно тому, что четырехугольник ABCD — параллелограмм. Ясно, что равные связанные векторы имеют равные длины.
Пример:
Рассмотрим квадрат и выберем векторы, как указано на рис.3. Векторы АВ и DC равны, а векторы ВС и DA не равны.
Укажем некоторые свойства равных связанных векторов:
- Каждый связанный вектор равен самому себе: АВ = АВ.
- Если АВ = CD, той CD = АВ.
- Если АВ = CD и CD = EF,то АВ = EF (рис.4).
Пусть АВ — заданный связанный вектор и С — произвольная точка. Ясно, что, опираясь на определение, всегда можно построить точку D так, чтобы
CD = АВ.
Тем самым, от каждой точки можно отложить связанный вектор, равный исходному (рис. 5).
Мы будем рассматривать свободные векторы, т. е. такие векторы, начальную точку которых можно выбирать произвольно, или, что то же самое, которые можно произвольно переносить параллельно самим себе. Ясно, что свободный вектор однозначно определяется заданием связанного вектора АВ.
Если в качестве начальных выбирать лишь те точки, которые лежат на прямой, определяемой заданным (ненулевым) связанным вектором, то мы приходим к понятию скользящего вектора (рис. 6).
Связанные и скользящие векторы широко используются в теоретической механике.
Для обозначен ия свободных векторов будем пользоваться полужирными строчными латинскими буквами — а, b, с,… ; нулевой вектор обозначается через 0.
Пусть заданы вектор а и точка А. Существует ровно одна точка В, для которой
= а
(рис.7). Операция построения связанного вектора АВ, для которого выполняется это равенство, называется откладыванием свободного вектора а от точки А.
Заметим, что связанные векторы, получаемые в результате описанной операции откладывания, равны между собой и, значит, имеют одинаковую дли ну. Это позволяет ввести длину свободного вектора а, которую мы будем обозначать символом |а. Длина нулевого вектора равна нулю. Если а = b, то |а| = |b; обратное неверно.
Линейные операции над векторами
Сложение векторов
Пусть заданы два вектора а и b. Возьмем какую-нибудь точку О и отложим от нее вектор a: = а. От полученной точки А отложим вектор b: = b. Полученный в результате вектор называется суммой векторов а и b и обозначается через a + b (рис. 8). Этот способ построения суммы векторов называется правилом треугольника.
Нетрудно заметить, что сложение векторов коммутативно, т. е. для любых векторов а и b справедливо равенство
Если отложить векторы а и 1» от обшей точки О и построить на них как на сторонах параллелограмм, то вектор , идущий из общего начала О в противоположную вершину параллелограмма, будет их суммой а + b (или b +а) (рис. 10). Этот способ построения суммы векторов называется правилом параллелограмма.
Пусть заданы три вектора, например, a, b и с. Отложим от произвольной точки О вектор a: = а; от полученной точки А отложим вектор b: = b; отточки В — вектор с: = с (рис. 11). По определению суммы — а + b и = (а + b) + с (рис. 12). С другой стороны, АС = b + с и, значит, ОС = а + (Ь + с) (рис. 13). Тем самым, для любых векторов a, b и с выполняется равенство
(а +b) + с = а + (b + с),
т. е. сложение векторов ассоциативно. Опуская скобки, можно говорить о сумме трех векторов и записывать ее так:
а + b + с.
Аналогично определяется сумма любого числа векторов: это есть вектор, который замыкает ломаную, построенную из заданных векторов. На рис. 14 показан», как построить сумму семи векторов:
Приведенный способ сложения произвольного числа векторов называется правилом замыкающего ломаную.
Пример:
Найти сумму векторов, идущих из центра правильного шестиугольника в его вершины.
По правилу замыкающего ломаную получаем
(рис. 15).
Умножение вектора на число
Определение:
Свободные векторы а и b называются коллинеарными, если определяющие их связанные векторы лежат на параллельных или на совпадающих прямых (рис. 16).
Обозначение: а||b.
Замечание:
Из определения следует, что если хотя бы один из векторов a и b нулевой, то они коллинеарны.
Если отложить коллинеарные векторы а и b от обшей точки О, = n, = Ь, то точки О, А н В будут лежать на одной прямой. При этом возможны два случая: точки А и В располагаются на этой прямой: 1) по одну сторону от точки О, 2) по разные стороны (рис. 17). В первом случае векторы а и b называются одинаково направленными, а во втором — противоположно направленными.
Если векторы имеют равные длины и одинаково направлены, то они равны. Пусть а — вектор, λ — вещественное число.
Определение:
Произведением вектора а на число λ называется вектор b такой, что
- |Ь| = |λ| • |а|;
2) векторы а и b одинаково (соответственно, противоположно) направлены, если λ > 0 (соответственно, λ < 0).
Обозначение: b = λа.
При λ = 0 положим λа = 0.
Таким образом, векторы а и Ь = λа коллинеарны по определению. Верной обратное: если векторы а(а ≠ 0) и Ь коллинеарны, то можно найти число А такое, что h = λа.
Укажем основные свойства этой операции умножения вектора на число:
(здесь λ и μ — любые действительные числа, а и Ь — произвольные векторы).
Определение:
Вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором, или ортом, и обозначается а° (читается: а с нуликом), |а°| = 1.
Если а ≠ 0, то вектор
есть единичный вектор (орт) направления вектора а (рис. 18).
Координаты и компоненты вектора
Выберем в пространстве прямоугольную декартову систему координат. Обозначим через i, j, к единичные векторы (орты) положительных направлений осей Ox, Оу, Oz (рис. 19). Рассмотрим произвольный вектор п, начало которого лежит в начале координат О, а конец — в точке А. Проведем через точку А плоскости, перпендикулярные осям Ох, Оу и Oz. Эти плоскости пересекут координатные оси в точках Р, Q и R соответственно. Из рис. 20 видно, что
Векторы коллинеарны соответственно единичным векторам i, j, k,
поэтому найдутся числа х, у, z такие, что
и, следовательно,
а = xi + yj + zk. (2)
Формула (2) называется разложением вектора а по векторам i, j, к. Указанным способом всякий вектор может быть разложен по векторам i, j, k.
Векторы i, j, к попарно ортогональны, и их длины равны единице. Тройку i, j, k называют ортонормированным (координатным) базисом (ортобазисом).
Можно показать, что для каждого вектора а разложение (2) по базису i, j, к единственно, т. е. коэффициенты х, у, z в разложении вектора а по векторам i, j, к определены однозначно. Эти коэффициенты называются координатами вектора а. Они совпадают с координатами х, у, z точки А — конца вектора а. Мы пишем в этом случае
а = {х, y,z}.
Эта запись означает, что свободный вектор а однозначно задастся упорядоченной тройкой своих координат. Векторы xi, yj, zk, сумма которых равна вектору а, называются компонентами вектора а.
Из вышеизложенного следует, что два вектора а = { х1, у1, z1 } и b = {х2, у2, z2} равны тогда и только тогда, когда соответственно равны их координаты, т. е.
Радиус-вектором точки М(х,у, z) называется вектор г = xi + yj + zk, идущий из начала координат О в точку М (рис. 21).
Линейные операции над векторами в координатах
Пусть имеем два вектора а = { х1, у1, z1} и b = { х2, у2, z2 },так что а = х1i, у1j+ z1k. b = х2i+ у2j+z2k. На основании правила сложения векторов имеем
или, что то же,
— при сложении векторов их координаты попарно складываются. Аналогично получаем
Далее,
или, что то же,
— при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Пусть а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 } — коллинеарные векторы, причем b ≠ 0. Тогда а = μb, т.е.
или (3)
Обратно, если выполняются соотношения (3), то а = μb, т. е. векторы a и b коллинеарны.
Таким образом, векторы а и b коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны.
Пример:
Найти координаты вектора начало которого находится в точке М1 ( х1, у1, z1 ). а конец — в точке M2 (х2, у2, z2).
Из рис. 22 видно, что = r2 — r1 , где r2, r1 — радиус-векторы точек М1 и M2 соответственно. Поэтому
— координаты вектора ММг равны разностям одноименных координат конечной М2 и начальной М точек этого вектора.
Проекция вектора на ось
Рассмотрим на оси l ненулевой направленный отрезок АВ (рис.23). Величиной направленного отрезка АВ на оси l называется число, равное длине отрезка АВ, взятой со знаком «+», если направление отрезка АВ совпадаете направлением оси l, и со знаком «-», если эти направления противоположны.
Рассмотрим теперь произвольный вектор , определяемый связанным вектором АВ. Опуская из его начала и конца перпендикуляры на заданную ось l, построим на ней направленный отрезок CD (рис. 24).
Определение:
Проекцией вектора на ось l называется величина направленного отрезка CD, построенного указанным выше способом.
Обозначение:
Основные свойства проекций
- Проекция вектора АВ на какую-либо ось l равна произведению длины вектора на косинус угла между осью и этим вектором (рис. 25)
- Проекция суммы векторов на какую-либо ось l равна сумме проекций векторов на ту же ось.
Например,
(рис. 26).
Скалярное произведение векторов
Пусть имеем два вектора a и b.
Определение:
Скалярным произведением вектора а на вектор b называется число, обозначаемое символом (а, b) и определяемое равенством
(1)
где φ, или в иной записи (), есть угол между векторами а и b (рис. 27 а).
Заметив, что |b| cos φ есть проекция вектора b на направление вектора а, можем написать
(рис. 27 б) и, аналогично,’ (2)
(рис. 27 в), т.е. скалярное произведение двух векторов равно длине одного из них, помноженной на проекцию на него другого вектора. В случае, если один из векторов а или b — нулевой, будем считать, что
(a, b) = 0.
Свойства скалярного произведения
- Скалярное произведение обращается в нуль в том и только в том случае, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда векторы а и b ортогональны, a ⊥ b.
Это следует из формулы (1), определяющей скалярное произведение.
Поскольку направление нулевого вектора не определено, мы можем его считать ортогональным любому вектору. Поэтому указанное свойство скалярного произведения можно сформулировать так:
2. Скалярное произведение коммутативно:
(а, b) = (b, а).
Справедливость утверждения вытекает из формулы (I), если учесть четность функции cos φ: cos(- φ) = cos φ.
3. Скалярное произведение обладает распределительным свойством относительно сложения:
(а + b, с) = (а, с) + (b, c).
Действительно,
4. Числовой множитель А можно выносить за знак скалярного произведения
(λа, b) = (а, λb) = λ (а, b).
- Действительно, пусть λ > 0. Тогда
поскольку при λ > 0 углы () и (λ) равны (рис.28).
Аналогично рассматривается случай λ < 0. При λ = 0 свойство 4 очевидно.
Замечание:
В общeм случае (а, b)c ≠ a(b, c).
Скалярное произведение векторов, заданных координатами
Пусть векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе i, j, k:
Рассмотрим скалярное произведение векторов а и b:
Пользуясь распределительным свойством скалярного произведения, находим
Учитывая, что
получаем (4)
То есть, если векторы а и b заданы своими координатами в ортонормированном базисе, то их скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат.
Пример:
Найти скалярное произведение векторов n = 4i — 2j + k и b = 6i + 3j + 2k.
(a, b) = 4 • 6 + (-2) • 3 + 1 • 2 = 20.
Скалярное произведение вектора на себя называется скалярным квадратом:
(а, а) = а2.
Применяя формулу (4) при b = а, найдем (5)
С другой стороны,
так что из (5) следует, что (6)
— в ортонормированном базисе длина вектора равна квадратному корню из суммы квадратов его координат.
Косинус угла между векторами. Направляющие косинусы
Согласно определению
(а, b) = |а| • |b| • cos φ,
где φ — у гол между векторами а и b. Из этой формулы получаем
(7)
(предполагается, что векторы а и b — ненулевые).
Пусть а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 }. Тогда формула (7) примет следующий вид
Пример:
Найти угол между векторами a = {2, -4,4,} и d = {-3,2,6}. Пользуясь формулой (8), находим
Пусть b = i, T.e. b = {1,0,0}. Тогда для всякого вектора а = { х1, у1, z1} ≠ 0 имеем
или, в координатной записи, (9)
где а есть угол, образованный вектором я с осью Ох. Аналогично получаем формулы
Формулы (9)-(11) определяют направляющие косинусы вектора а, т. е. косинусы углов, образуемых вектором n с осями координат (рис. 29).
Пример:
Найти координаты единичного вектора n°. По условию | n°| = 1. Пусть n° = zi+ yj+ zk. Тогда
Таким образом, координатами единичного вектора являются косинусы углов, образованных этим вектором с осями координат:
Отсюда получаем
Пример:
Пусть единичный вектор n° ортогонален оси z:
(рис. 30). Тогда его координаты г и у соответственно равны
x=cos φ, y = sin φ.
Тем самым,
Векторное произведение векторов
Определение:
Векторным произведением вектора а на вектор b называется вектор, обозначаемый символом [a, b] (или a х b), такой, что
1) длина вектора [а, b] равна |а| • |Ь| • sin φ, где φ — угол между векторами а и b (рис.31);
2) вектор [а, b] перпендикулярен векторам а и b, т.е. перпендикулярен плоскости этих векторов;
3) вектор [а, Ь] направлен так, что из конца этого вектора кратчайший поворот от л к Ь виден происходящим против часовой стрелки (рис. 32).
Иными словами, векторы я, b и [a, b] образуют правую тройку векторов, т.е. расположены так, как большой, указательный и средний пальцы правой руки. В случае, если векторы a и b коллинеарны, будем считать, что [a, b] = 0.
По определению длина векторного произведения (1)
численно равна площади параллелограмма (рис.33), построенного на перемножаемых векторах a и b как на сторонах:
|[a, b]| = .
Свойства векторного произведения
- Векторное произведение равно нулевому вектору тогда и только тогда, когда по крайней мере один из перемножаемых векторов является нулевым или когда эти векторы коллинеарны (если векторы я и b коллинеарны, то угол между ними равен либо 0, либо тг).
Это легко получить из того, что |[a, b]| = |a| • |b| • sin φ.
Если считать нулевой вектор коллинеарным любому вектору, то условие коллинеарности векторов a и b можно выразить так
2. Векторное произведение антикоммутативно, т. е. всегда (2)
В самом деле, векторы [а, b] и [b, а] имеют одинаковую длину и коллинеарны. Направления же этих векторов противоположны, так как из конца вектора [a, b] кратчайший поворот от a к b будет виден происходящим против часовой стрелки, а из конца вектора [b, a] — почасовой стрелке (рис. 34).
3. Векторное произведение обладает распределительным свойством по отношению к сложению
4. Числовой множитель λ можно выносить за знак векторного произведения
Векторное произведение векторов, заданных координатами
Пусть векторы a и b заданы своими координатами в базисе i,j, k: а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 }. Пользуясь распределительным свойством векторного произведения, находим (3)
Выпишем векторные произведения координатных ортов (рис. 35):
Поэтому для векторного произведения векторов a и b получаем из формулы (3) следующее выражение (4)
Формулу (4) можно записать в символической, легко запоминающейся форме, если воспользоваться определителем 3-го порядка: (5)
Разлагая этот определитель по элементам 1-й строки, получим (4). Примеры:
- Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах а = i + j- k, b = 2i + j- k.
Искомая площадь = |[а, b]. Поэтому находим
откуда
2. Найти площадь треугольника ОАВ (рис.36).
Ясно, что площадь S∆ треугольника ОАВ равна половине площади S параллелограмма О АС В. Вычисляя векторное произведение [a, b] векторов a= и b = , получаем
Отсюда
Замечание:
Векторное произведение не ассоциативно, т.е. равенство [[а, b], с] = [а, b,с]] в общем случае неверно. Например, при а = i, b = j. c= j имеем
Смешанное произведение векторов
Пусть имеем три вектора а, b и с. Перемножим векторы а и b векторно. В результате получим вектор [а, b). Умножим его скалярно на вектор с:
([a, b], с).
Число ([а, b], с) называется смешанным произведением векторов а, b, с и обозначается символом (а, b, с).
Геометрический смысл смешанного произведения
Отложим векторы а, b и с от общей точки О (рис. 37). Если все четыре точки О, А, В, С лежат в одной плоскости (векторы a, b и с называются в этом случае компланарными), то смешанное произведение ([а, b], с) = 0. Это следует из того, что вектор [а, b] перпендикулярен плоскости, в которой лежат векторы а и b, а значит, и вектору с.
Если же точки О, А, В, С не лежат в одной плоскости (векторы a, b и с некомпланарны), построим на ребрах OA, OB и ОС параллелепипед (рис. 38 а). По определению векторного произведения имеем
где — площадь параллелограмма OADB, а с — единичный вектор, перпендикулярный векторам а и b и такой, что тройка а, b, с — правая, т. е. векторы a, b и с расположены соответственно как большой, указательный и средний пальцы правой руки (рис. 38 6).
Умножая обе части последнего равенства справа скалярно на вектор с, получаем, что
Число ргe с равно высоте h построенного параллелепипеда, взятого со знаком « + », если угол ip между векторами с и с острый (тройка а, b, с — правая), и со знаком «-», если угол — тупой (тройка а, b, с — левая), так что
Тем самым, смешанное произведение векторов a, b и с равно объему V параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах, если тройка а, b, с — правая, и -V, если тройка а, b, с — левая.
Исходя из геометрического смысла смешанного произведения, можно заключить, что, перемножая те же векторы a, b и с в любом другом порядке, мы всегда будем О получать либо +V, либо -V. Знак произведения будет зависеть лишь от того, какую тройку образуют перемножаемые векторы — правую или левую. Если векторы а, b, с образуют правую тройку, то правыми будут также тройки b, с, а и с, а, b. В то же время все три тройки b, а, с; а, с, b и с, b, а — левые. Тем самым,
(а, b, с) = (b, с, а) = (с, a,b) = -(b, а, с) = -(а, с, b) = -(с, b, а).
Еще раз подчеркнем, что смешанное произведение векторов равно нулю тогда и только тогда, когда перемножаемые векторы а, b, с компланарны:
{а, b, с компланарны} <=> (а, b, с) = 0.
Смешанное произведение в координатах
Пусть векторы а, b, с заданы своими координатами в базисе i, j, k:
Найдем выражение для их смешанного произведения (а, b, с). Имеем
Откуда
Итак,
— смешанное произведение векторов, заданных своими координатами в базисе i, j, k, равно определителю третьего порядка, строки которого составлены соответственно из координат первого, второго и третьего из перемножаемых векторов.
Необходимое и достаточное условие компланарности векторов а = { х1, у1, z1}, b = { х2, у2, z2 }, c = { х3, у3, z3} запишется в следующем виде
Пример:
Проверить, компланарны ли векторы
a = {7, 4,-6}, b = {2, 1,1}, с ={19, 11,17}.
Рассматриваемые векторы будут компланарны или некомпланарны в зависимости от того, будет равен нулю или нет определитель
Разлагая его по элементам первой строки, получим
Двойное векторное произведение
Двойное векторное произведение [а, [b, с]] представляет собой вектор, перпендикулярный к векторам а и [b, с]. Поэтому он лежит в плоскости векторов b и с и может быть разложен по этим векторам. Можно показать, что справедлива формула
[а, [b, с]] = b(а, с) — с(а, b).
Решение заданий и задач по предметам:
- Математика
- Высшая математика
- Математический анализ
- Линейная алгебра
Дополнительные лекции по высшей математике:
- Тождественные преобразования алгебраических выражений
- Функции и графики
- Преобразования графиков функций
- Квадратная функция и её графики
- Алгебраические неравенства
- Неравенства
- Неравенства с переменными
- Прогрессии в математике
- Арифметическая прогрессия
- Геометрическая прогрессия
- Показатели в математике
- Логарифмы в математике
- Исследование уравнений
- Уравнения высших степеней
- Уравнения высших степеней с одним неизвестным
- Комплексные числа
- Непрерывная дробь (цепная дробь)
- Алгебраические уравнения
- Неопределенные уравнения
- Соединения
- Бином Ньютона
- Число е
- Непрерывные дроби
- Функция
- Исследование функций
- Предел
- Интеграл
- Двойной интеграл
- Тройной интеграл
- Интегрирование
- Неопределённый интеграл
- Определенный интеграл
- Криволинейные интегралы
- Поверхностные интегралы
- Несобственные интегралы
- Кратные интегралы
- Интегралы, зависящие от параметра
- Квадратный трехчлен
- Производная
- Применение производной к исследованию функций
- Приложения производной
- Дифференциал функции
- Дифференцирование в математике
- Формулы и правила дифференцирования
- Дифференциальное исчисление
- Дифференциальные уравнения
- Дифференциальные уравнения первого порядка
- Дифференциальные уравнения высших порядков
- Дифференциальные уравнения в частных производных
- Тригонометрические функции
- Тригонометрические уравнения и неравенства
- Показательная функция
- Показательные уравнения
- Обобщенная степень
- Взаимно обратные функции
- Логарифмическая функция
- Уравнения и неравенства
- Положительные и отрицательные числа
- Алгебраические выражения
- Иррациональные алгебраические выражения
- Преобразование алгебраических выражений
- Преобразование дробных алгебраических выражений
- Разложение многочленов на множители
- Многочлены от одного переменного
- Алгебраические дроби
- Пропорции
- Уравнения
- Системы уравнений
- Системы уравнений высших степеней
- Системы алгебраических уравнений
- Системы линейных уравнений
- Системы дифференциальных уравнений
- Арифметический квадратный корень
- Квадратные и кубические корни
- Извлечение квадратного корня
- Рациональные числа
- Иррациональные числа
- Арифметический корень
- Квадратные уравнения
- Иррациональные уравнения
- Последовательность
- Ряды сходящиеся и расходящиеся
- Тригонометрические функции произвольного угла
- Тригонометрические формулы
- Обратные тригонометрические функции
- Теорема Безу
- Математическая индукция
- Показатель степени
- Показательные функции и логарифмы
- Множество
- Множество действительных чисел
- Числовые множества
- Преобразование рациональных выражений
- Преобразование иррациональных выражений
- Геометрия
- Действительные числа
- Степени и корни
- Степень с рациональным показателем
- Тригонометрические функции угла
- Тригонометрические функции числового аргумента
- Тригонометрические выражения и их преобразования
- Преобразование тригонометрических выражений
- Комбинаторика
- Вычислительная математика
- Прямая линия на плоскости и ее уравнения
- Прямая и плоскость
- Линии и уравнения
- Прямая линия
- Уравнения прямой и плоскости в пространстве
- Кривые второго порядка
- Кривые и поверхности второго порядка
- Числовые ряды
- Степенные ряды
- Ряды Фурье
- Преобразование Фурье
- Функциональные ряды
- Функции многих переменных
- Метод координат
- Гармонический анализ
- Вещественные числа
- Предел последовательности
- Аналитическая геометрия
- Аналитическая геометрия на плоскости
- Аналитическая геометрия в пространстве
- Функции одной переменной
- Высшая алгебра
- Векторный анализ
- Векторы
- Скалярное произведение векторов
- Векторное произведение векторов
- Смешанное произведение векторов
- Операции над векторами
- Непрерывность функций
- Предел и непрерывность функций нескольких переменных
- Предел и непрерывность функции одной переменной
- Производные и дифференциалы функции одной переменной
- Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных
- Дифференциальное исчисление функции одной переменной
- Матрицы
- Линейные и евклидовы пространства
- Линейные отображения
- Дифференциальные теоремы о среднем
- Теория устойчивости дифференциальных уравнений
- Функции комплексного переменного
- Преобразование Лапласа
- Теории поля
- Операционное исчисление
- Системы координат
- Рациональная функция
- Интегральное исчисление
- Интегральное исчисление функций одной переменной
- Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
- Отношение в математике
- Математическая логика
- Графы в математике
- Линейные пространства
- Первообразная и неопределенный интеграл
- Линейная функция
- Выпуклые множества точек
- Система координат